ET77J – Sistemas de Potência 1
Linhas de Transmissão: Modelos elétricos em regime permanente
Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto
ET77J – Sistemas de Potência 1
Objetivo da Aula
2
Apresentar os modelos elétricos equivalentes paralinhas de transmissão aéreas em correntealternada operando em regime permanente, bemcomo, a partir daqueles determinar ocomportamento elétrico da linha quando a um deseus terminais for aplicada uma tensão trifásica,senoidal e equilibrada.
ET77J – Sistemas de Potência 1
Conteúdo Programático
3
Equação geral para as linhas de transmissãoaéreas em corrente alternada;
Equações para as Linhas de transmissão aéreasMédias em corrente alternada;
Equações para as Linhas de transmissão aéreasCurtas em corrente alternada.
ET77J – Sistemas de Potência 1
Construção de Conhecimento Esperado
4
Desenvolver proficiência na aplicação dosmodelos usuais em regime permanenterelativos a linhas de transmissão aéreas emcorrente alternada para determinação docomportamento elétrico da mesma.
ET77J – Sistemas de Potência 1
Idéia Geral
5
R L CParâmetros Elétricos
Baseada na disposição,
quantidade e raio dos condutores
Equações e/ou circuitos equivalentes que tornem possível estudar o
comportamento elétrico da linha
• Tensões nos terminais;• Correntes nos terminais;• Regulação da linha;• Eficiência;• Potência.
ET77J – Sistemas de Potência 1
Linha de Transmissão
Premissas – Condição de operação
6
Carga equilibrada; geração equilibrada → implica ?
In = 0A
ET77J – Sistemas de Potência 1
Linha de Transmissão
Premissas– Modelo por fase
7
Terminal emissor (Sender)
Terminal receptor (Receiver)
dX
Parâmetros distribuídos
ET77J – Sistemas de Potência 1
Linha de Transmissão
Premissas– r e l formam a impedância série da linha 𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =
R + j𝑋𝑋𝐿𝐿→Limita a circulação de corrente;
– c e g formam a admitância paralela 𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 = G +jB; B = 1 𝑋𝑋𝑐𝑐1→outro caminho para circulação decorrente.
8
Para a qual: r = resistência unitária [Ω/km]; l= indutância unitária [H/km]; c= capacitância unitária[F/km]; g = condutância unitária [S/km]; b= susceptância unitária [S/km]; R = resistência elétrica total[Ω]; XL = reatância indutiva total [Ω]; XC = Reatância capacitiva total [Ω]; G=Condutância total [S];B=susceptância total [S]; d= comprimento da linha [km].
G=f(Iescape) = perdas por fuga de corrente
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão Equação geral para a linha de transmissão
aérea– Tomando um elemento diferencial de comprimento
da linha:
9
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão
Equação geral para a linha de transmissãoaérea– Tomando um elemento diferencial de comprimento
da linha:
10
c g
r xlI+dI
V+dV V
dx
IZ.dx – impedância série do
elemento infinitesimal
Y.dx – Admitância em paralelo do elemento infinitesimal
[a]
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão
Equação geral para a linha de transmissão aérea– Escrevendo a equação para a malha do elemento
diferencial:
11
− 𝑉𝑉 + 𝑑𝑑𝑉𝑉 + 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑉𝑉 = 0
𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥𝑑𝑑𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑧𝑧𝑥𝑥
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão
Equação geral para a linha de transmissão aérea– Escrevendo a equação do nó [a]:
12
𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑉𝑉 + 𝑑𝑑𝑉𝑉 − 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 0
𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑦𝑦𝑉𝑉
𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑉𝑉 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑉𝑉 − 𝑥𝑥 − 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 0
≈ 𝟎𝟎
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão Equação geral para a linha de transmissão aérea
– Conjunto de equações acopladas:
– Sugestão: Derivar novamente as equações em relação ax
13
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑦𝑦𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑧𝑧𝑥𝑥
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão
Equação geral para a linha de transmissão aérea– Conjunto de equações acopladas:
14
𝑑𝑑2𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥2
= 𝑧𝑧𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥
= zyV
𝑑𝑑2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥2
= 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥
= zyI
𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝐴𝐴1𝑠𝑠 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑥𝑥 + 𝐴𝐴2𝑠𝑠 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑥𝑥 [V]
𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐴𝐴1𝑧𝑧𝑦𝑦
𝑠𝑠 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑥𝑥 − 𝐴𝐴2𝑧𝑧𝑦𝑦
𝑠𝑠− 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑥𝑥 [A]
ZC = impedância característica [Ω].
𝛾𝛾 = constante de propagação [adimensional]
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão
Impedância característica da linha
– é a impedância a ser colocada no final da linha paraque se tenha a máxima transferência de potenciaentre gerador e carga (casamento de impedâncias);
– Depende apenas dos parâmetros construtivos dalinha.
15
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão Constante de propagação
– Depende apenas dos parâmetros construtivos da linha.
16
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão
Equação geral para a linha de transmissão aérea– Aplicando as seguintes condições de contorno:
• 𝑥𝑥 = 0 → 𝑉𝑥𝑥 = 𝑉𝑅𝑅 e 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑅𝑅 as equações de 𝑉𝑥𝑥 e 𝑥𝑥𝑥𝑥:
17
𝐴𝐴1 =𝑉𝑅𝑅 + 𝑍𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑅𝑅
2
𝐴𝐴2 =𝑉𝑅𝑅 − 𝑍𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑅𝑅
2
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão
Equação geral para a linha de transmissãoaérea– Substituindo A1 e A2 em 𝑉𝑥𝑥 e 𝑥𝑥𝑥𝑥:
18
𝑉𝑥𝑥 = 𝐴𝐴1𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥 + 𝐴𝐴2𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥
𝑉𝑥𝑥 = 𝑉𝑅𝑅𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥 + 𝑠𝑠−𝛾𝛾𝑥𝑥
2+ 𝑍𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑅𝑅
𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥 − 𝑠𝑠−𝛾𝛾𝑥𝑥
2
cosh 𝛾𝛾𝑥𝑥 sinh 𝛾𝛾𝑥𝑥
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão
Equação geral para a linha de transmissãoaérea– Substituindo A1 e A2 em 𝑉𝑥𝑥 e 𝑥𝑥𝑥𝑥 :
19
𝑉𝑥𝑥 = 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝛾𝛾𝑥𝑥 + 𝑍𝑍𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑅𝑅𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝛾𝛾𝑥𝑥 [𝑉𝑉]
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão
Equação geral para a linha de transmissãoaérea– Substituindo A1 e A2 em 𝑉𝑥𝑥 e 𝑥𝑥𝑥𝑥 :
20
𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑅𝑅𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥 + 𝑠𝑠−𝛾𝛾𝑥𝑥
2+𝑉𝑅𝑅𝑍𝑐𝑐
𝑠𝑠𝛾𝛾𝑥𝑥 − 𝑠𝑠−𝛾𝛾𝑥𝑥
2
𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐴𝐴1𝑍𝑍𝐶𝐶𝑠𝑠𝛿𝛿𝑥𝑥 − 𝐴𝐴2
𝑍𝑍𝐶𝐶𝑠𝑠−𝛿𝛿𝑥𝑥
cosh 𝛾𝛾𝑥𝑥 sinh 𝛾𝛾𝑥𝑥
ET77J – Sistemas de Potência 1
Equacionamento para a Linha de Transmissão
Equação geral para a linha de transmissãoaérea– Substituindo A1 e A2 em 𝑉𝑥𝑥 e 𝑥𝑥𝑥𝑥:
21
𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝛾𝛾𝑥𝑥 +𝑉𝑉𝑅𝑅𝑍𝑍𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝛾𝛾𝑥𝑥 [𝐴𝐴]
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão Equação para linha Média
– Considerações
• Parâmetros concentrados (𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = R + j𝑋𝑋𝐿𝐿);• Capacitância não é desprezada; G é desconsiderado →𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑌𝑌;
• Tensões de linha ≤ 230kV;• 80km ≤ Comprimento da linha ≤ 240km;
22
𝑅𝑅 = 𝑠𝑠 × d 𝑋𝑋𝐿𝐿 = 𝜔𝜔 × 𝐿𝐿 × 𝑑𝑑
𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 = jB
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão
Equação para linha média – Modelo π
23
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão
Equação para linha média– Resolvendo o circuito anterior
• Corrente através da impedância série
24
𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑅𝑅 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠
𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑉𝑅𝑅𝑌2
𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑅𝑅 + 𝑉𝑅𝑅𝑌2
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão
Equação para linha média– Resolvendo o circuito anterior
• Tensão no emissor
25
𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑅𝑅 + 𝑍 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑅𝑅 + 𝑍 𝑥𝑥𝑅𝑅 + 𝑉𝑅𝑅𝑌2
𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 1 + 𝑍𝑌2
+ 𝑍 𝑥𝑥𝑅𝑅 [V]
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão
Equação para linha média– Resolvendo o circuito anterior
• Corrente no emissor
26
𝑥𝑥𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠
𝑥𝑥𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑉𝑆𝑆𝑌2
𝑥𝑥𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑅𝑅 + 𝑉𝑅𝑅𝑌2
+ 𝑉𝑆𝑆𝑌2
Substituindo 𝑉𝑠𝑠 em 𝑥𝑥𝑆𝑆:
𝑥𝑥𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑅𝑅 1 + 𝑍𝑌2
+ 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑌 1 + 𝑍𝑌4
[A]
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão
27
Modelo π - equivalente
– Pode ser aplicado para determinar tensões ecorrentes nos extremos da linha de transmissãolonga (parâmetros concentrados ao invés dedistribuídos);
– Para tanto é necessário “corrigir” os parâmetros domodelo π nominal (𝑍 → 𝑍’ 𝑠𝑠 𝑌 → 𝑌’).
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão
28
Modelo π - equivalente– Determinação dos parâmetros corrigidos
– Para que ambas as equações tenham o mesmoresultado é preciso que os termos que multiplicamVR e IR, em ambas, sejam iguais, logo:
𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑅𝑅 1 + 𝑍′𝑌′
2+ 𝑍′𝑥𝑥𝑅𝑅 [V]
𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑅𝑅 cosh 𝛾𝛾𝑑𝑑 + 𝑍𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑅𝑅 sinh 𝛾𝛾𝑑𝑑 [𝑉𝑉]
Eq. π nominal
Eq. Geral
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão
29
Modelo π - equivalente– Determinação dos parâmetros corrigidos
𝑍′ = 𝑍𝑐𝑐 sinh 𝛾𝛾𝑑𝑑
1 + 𝑍′𝑌′
2= cosh 𝛾𝛾𝑑𝑑
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão
30
Modelo π - equivalente– Determinação dos parâmetros corrigidos
• Substituindo 𝑍′ em 1 + 𝑍′𝑌′
2= cosh 𝛾𝛾𝑑𝑑
𝑌′
2=
cosh 𝛾𝛾𝑑𝑑 − 1𝑍′
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão Equação para linha curta
– Considerações
• Parâmetros concentrados (𝑍𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = R + j𝑋𝑋𝐿𝐿);• Capacitância muito pequena e desconsiderando G→𝑌𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 = 0 (simplificação do modelo π);
• Tensões de linha ≤ 69kV;• Comprimento da linha ≤ 80km;
31
𝑅𝑅 = 𝑠𝑠 × d 𝑋𝑋𝐿𝐿 = 𝜔𝜔 × 𝐿𝐿 × 𝑑𝑑
A precisão dos resultadospiora para o aumento decomprimento da linha.
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão
Equação para linha curta
32
ET77J – Sistemas de Potência 1
Modelos Elétricos para Linhas de Transmissão
Equação para linha curta
– Resolvendo o circuito anterior
𝑥𝑥𝑠𝑠 = 𝑥𝑥𝑅𝑅
𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 + 𝑥𝑥𝑅𝑅𝑍
33
Para a qual: IS é a corrente que sai da barra emissora; IR é a corrente que chega nabarra receptora; VS é a tensão fase-neutro da barra emissora; VR é a tensão fase-neutro da barra receptora.
Não é possível calculartensões e correntesem qualquer ponto dalinha.
ET77J – Sistemas de Potência 1
Regulação da Linha de Transmissão Representa a variação de tensão entre os
terminais da linha em uma dada condição decarregamento/operação.
34
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟% =𝑉𝑉𝑠𝑠 − 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑉𝑉𝑅𝑅
× 100%
Para a qual: VR é a tensão fase-neutro ou fase-fase da barra receptora; VS é atensão fase-neutro ou fase-fase da barra emissora.
ET77J – Sistemas de Potência 1
Eficiência da Linha de Transmissão
Relação entre a potência fornecida peloemissor e aquela efetivamente utilizada peloreceptor.
35
𝐸𝐸𝐸𝐸% =𝑃𝑃𝑅𝑅𝑃𝑃𝑆𝑆
× 100%
Para a qual: PS é a potência ativa no emissor; PR é a potência ativa no receptor.
ET77J – Sistemas de Potência 1
“Reativo natural “ Linha de Transmissão
Representa o valor da potência reativa quecircula na linha quando esta é energizada,mesmo estando sem carga no receptor;– É devida à capacitância da linha.
36
𝑄𝑄𝑐𝑐 = 𝑉𝑉𝐹𝐹𝐹𝐹 2 × 𝑌𝑌∗
Para a qual: QC = potência reativa natural da linha [Var/fase]; VFT = Média dastensões entre o emissor e o receptor [V]; Y = adimitância paralela total da linha [s]
ET77J – Sistemas de Potência 1
Surge Impedance Loading (SIL) Representa um parâmetro de comparação da
capacidade de carregamento da linha– Potencia fornecida pela linha a uma carga puramente
resistiva de valor igual a impedância característica
37Limitado pela abertura angular entre barras da linha
ET77J – Sistemas de Potência 1
Exemplo de Zc e SIL
Alguns exemplos de ZC e SIL para certos valoresde tensão – Linhas aéreas em 60 Hz
38
EPRI AC Transmission Line Reference Book— 200 kV and Above (Palo Alto, CA: EPRI, www.epri.com, December 2005);Westinghouse Electric Corporation, Electrical Transmission and Distribution Reference Book, 4th ed. (East Pittsburgh, PA, 1964))
ET77J – Sistemas de Potência 1
Perfil de Tensão
Perfil de Tensão para uma linha sem perdas ecom a tensão do emissor fixa.
39
ET77J – Sistemas de Potência 1
Referências bibliográficas
40
STEVENSON, William D.. Elementos de análise de sistemas de potencia. São Paulo: McGraw-Hilldo Brasil, 1978. 347 p.
MONTICELLI, Alcir Jose; GARCIA, Ariovaldo. Introdução a sistemas de energia elétrica.Campinas, SP: UNICAMP, c2003. 251 p.
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná. LINHAS de transmissão e redes dedistribuição: código: ET30B/ET38D. [Curitiba]: [s.n.], [19--?]. 1 v. (várias paginações).
FUCHS, Rubens Dario. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas; teoria das linhas emregime permanente. Rio de Janeiro: LTC; Escola Federal de Engenharia, 1977. 2 v.
MOHAN, Ned. Electric Power Systems – A First Course. New Jersey: Wiley; 2012.
BENEDITO, R. A. S. ET77J – Sistemas de Potência 1. Notas de aula. UTFPR, 2015, Curitiba.
CASTRO, C. A. IT 720 - Sistemas de Energia Elétrica I. Notas de aula. Unicamp, 2019, Campinas.
ET77J – Sistemas de Potência 1
Obrigado pela Atenção!Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto – [email protected]
Departamento Acadêmico de Eletrotécnica – DAELT – (41)3310-4626 Av. Sete de Setembro, 3165 - Bloco D – Rebouças - CEP 80230-901
Curitiba - PR - Brasil