Linearis transzformaciok(Bevezetes a szamıtaselmeletbe I.)
Dr. Karasz Peter
Obudai Egyetem, Neumann J. Informatikai Kar
MERNOK INFORMATIKUS SZAKESTI TAGOZAT
2013/14. oszi felev
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 1 / 32
Tartalom
Tartalom
1 Linearis lekepezesek, transzformaciokLinearis lekepezesekLinearis transzformaciokKepter, magterSajatertek, sajatvektor
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 2 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek
Tartalom
1 Linearis lekepezesek, transzformaciokLinearis lekepezesekLinearis transzformaciokKepter, magterSajatertek, sajatvektor
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 3 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek
Linearis lekepezesek
Linearis lekepezes
V1 es V2 ugyanazon T test feletti vektorterek.A ϕ : V1 → V2 fuggveny linearis lekepezes, ha
∀a, b ∈ V1 eseten ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b),
(azaz ϕ osszegtarto);
∀λ ∈ T ,∀a ∈ V1 eseten ϕ(λa) = λϕ(a),
(azaz ϕ aranytarto).
Megjegzes: ϕ un. vektorter-homomorfizmus (muvelettarto lekepezes; bovebben majdaz Algebrai strukturak c. fejezetben).
Peldak
V1 := C1(R) ϕ(f ) = f ′
(C1(R): R-en ertelmezett, egyszer folytonosan derivalhato fuggvenyek)
Linearis lekepezes, mert
(f + g)′ = f ′ + g′ es (λf )′ = λf ′.
(Egy kis analızis ismetles: Mit tudunk mondani V2-rol?)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 4 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek
Linearis lekepezesek
Linearis lekepezes
V1 es V2 ugyanazon T test feletti vektorterek.A ϕ : V1 → V2 fuggveny linearis lekepezes, ha
∀a, b ∈ V1 eseten ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), (azaz ϕ osszegtarto);
∀λ ∈ T ,∀a ∈ V1 eseten ϕ(λa) = λϕ(a), (azaz ϕ aranytarto).
Megjegzes: ϕ un. vektorter-homomorfizmus (muvelettarto lekepezes; bovebben majdaz Algebrai strukturak c. fejezetben).
Peldak
V1 := C1(R) ϕ(f ) = f ′
(C1(R): R-en ertelmezett, egyszer folytonosan derivalhato fuggvenyek)
Linearis lekepezes, mert
(f + g)′ = f ′ + g′ es (λf )′ = λf ′.
(Egy kis analızis ismetles: Mit tudunk mondani V2-rol?)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 4 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek
Linearis lekepezesek
Linearis lekepezes
V1 es V2 ugyanazon T test feletti vektorterek.A ϕ : V1 → V2 fuggveny linearis lekepezes, ha
∀a, b ∈ V1 eseten ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), (azaz ϕ osszegtarto);
∀λ ∈ T ,∀a ∈ V1 eseten ϕ(λa) = λϕ(a), (azaz ϕ aranytarto).
Megjegzes: ϕ un. vektorter-homomorfizmus (muvelettarto lekepezes; bovebben majdaz Algebrai strukturak c. fejezetben).
Peldak
V1 := C1(R) ϕ(f ) = f ′
(C1(R): R-en ertelmezett, egyszer folytonosan derivalhato fuggvenyek)
Linearis lekepezes, mert
(f + g)′ = f ′ + g′ es (λf )′ = λf ′.
(Egy kis analızis ismetles: Mit tudunk mondani V2-rol?)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 4 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek
Linearis lekepezesek
Linearis lekepezes
V1 es V2 ugyanazon T test feletti vektorterek.A ϕ : V1 → V2 fuggveny linearis lekepezes, ha
∀a, b ∈ V1 eseten ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), (azaz ϕ osszegtarto);
∀λ ∈ T ,∀a ∈ V1 eseten ϕ(λa) = λϕ(a), (azaz ϕ aranytarto).
Megjegzes: ϕ un. vektorter-homomorfizmus (muvelettarto lekepezes; bovebben majdaz Algebrai strukturak c. fejezetben).
Peldak
V1 := C1(R) ϕ(f ) = f ′
(C1(R): R-en ertelmezett, egyszer folytonosan derivalhato fuggvenyek)Linearis lekepezes, mert
(f + g)′ = f ′ + g′ es (λf )′ = λf ′.
(Egy kis analızis ismetles: Mit tudunk mondani V2-rol?)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 4 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek
Peldak (folyt.)
ϕ : R3[x ]→ R2[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
Laplace-transzformacio: ϕ : V1 → V2, ϕ(f ) = f .
Linearis lekepezes, mert
f + g = f + g es λf = λf .
(Mit tudunk mondani V1, V2-rol?)
Transzponalas: ϕ : Rm×n → Rn×m, ϕ(X) = XT .
Linearis lekepezes, mert
(A + B)T = AT + BT es (λA)T = λAT .
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 5 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek
Peldak (folyt.)
ϕ : R3[x ]→ R2[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
Laplace-transzformacio: ϕ : V1 → V2, ϕ(f ) = f .
Linearis lekepezes, mert
f + g = f + g es λf = λf .
(Mit tudunk mondani V1, V2-rol?)
Transzponalas: ϕ : Rm×n → Rn×m, ϕ(X) = XT .
Linearis lekepezes, mert
(A + B)T = AT + BT es (λA)T = λAT .
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 5 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek
Peldak (folyt.)
ϕ : R3[x ]→ R2[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
Laplace-transzformacio: ϕ : V1 → V2, ϕ(f ) = f .Linearis lekepezes, mert
f + g = f + g es λf = λf .
(Mit tudunk mondani V1, V2-rol?)
Transzponalas: ϕ : Rm×n → Rn×m, ϕ(X) = XT .
Linearis lekepezes, mert
(A + B)T = AT + BT es (λA)T = λAT .
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 5 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek
Peldak (folyt.)
ϕ : R3[x ]→ R2[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
Laplace-transzformacio: ϕ : V1 → V2, ϕ(f ) = f .Linearis lekepezes, mert
f + g = f + g es λf = λf .
(Mit tudunk mondani V1, V2-rol?)
Transzponalas: ϕ : Rm×n → Rn×m, ϕ(X) = XT .
Linearis lekepezes, mert
(A + B)T = AT + BT es (λA)T = λAT .
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 5 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek
Peldak (folyt.)
ϕ : R3[x ]→ R2[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
Laplace-transzformacio: ϕ : V1 → V2, ϕ(f ) = f .Linearis lekepezes, mert
f + g = f + g es λf = λf .
(Mit tudunk mondani V1, V2-rol?)
Transzponalas: ϕ : Rm×n → Rn×m, ϕ(X) = XT .Linearis lekepezes, mert
(A + B)T = AT + BT es (λA)T = λAT .
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 5 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Tartalom
1 Linearis lekepezesek, transzformaciokLinearis lekepezesekLinearis transzformaciokKepter, magterSajatertek, sajatvektor
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 6 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearis transzformaciok
Linearis transzformacio
ϕ linearis lekepezes linearis transzformacio, ha V1 = V2.
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre
uv
ϕ(u) ϕ(v)
u + v
ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)
λv
ϕ(λv) = λϕ(v)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 7 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearis transzformaciok
Linearis transzformacio
ϕ linearis lekepezes linearis transzformacio, ha V1 = V2.
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre
uv
ϕ(u) ϕ(v)
u + v
ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)
λv
ϕ(λv) = λϕ(v)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 7 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearis transzformaciok
Linearis transzformacio
ϕ linearis lekepezes linearis transzformacio, ha V1 = V2.
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre
uv
ϕ(u) ϕ(v)
u + v
ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)
λv
ϕ(λv) = λϕ(v)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 7 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearis transzformaciok
Linearis transzformacio
ϕ linearis lekepezes linearis transzformacio, ha V1 = V2.
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre
uv
ϕ(u) ϕ(v)
u + v
ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)
λv
ϕ(λv) = λϕ(v)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 7 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearis transzformaciok
Linearis transzformacio
ϕ linearis lekepezes linearis transzformacio, ha V1 = V2.
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre
uv
ϕ(u) ϕ(v)
u + v
ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)
λv
ϕ(λv) = λϕ(v)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 7 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearis transzformaciok
Linearis transzformacio
ϕ linearis lekepezes linearis transzformacio, ha V1 = V2.
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre
uv
ϕ(u) ϕ(v)
u + v
ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)
λv
ϕ(λv) = λϕ(v)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 7 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearis transzformaciok
Linearis transzformacio
ϕ linearis lekepezes linearis transzformacio, ha V1 = V2.
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre
uv
ϕ(u) ϕ(v)
u + v
ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)
λv
ϕ(λv) = λϕ(v)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 7 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z.
Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z.
Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z.
Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;
λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z.
Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z.
Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z.
Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);
ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.
NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2. NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2. NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);
ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert
z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. Linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).
ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2. NEM linearis transzformacio, mert
ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2
2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 8 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesre
2v = ϕ(v)
2v = 2ϕ(v)
ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)
NEM linearis transzformacio.
ϕ : Rm×n → Rm×n, ϕ(X) = X + C, ahol C 6= 0 adott matrix.
ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).
NEM linearis transzformacio.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 9 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesre
2v = ϕ(v)
2v = 2ϕ(v)
ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)
NEM linearis transzformacio.
ϕ : Rm×n → Rm×n, ϕ(X) = X + C, ahol C 6= 0 adott matrix.
ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).
NEM linearis transzformacio.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 9 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesre
2v = ϕ(v)
2v = 2ϕ(v)
ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)
NEM linearis transzformacio.
ϕ : Rm×n → Rm×n, ϕ(X) = X + C, ahol C 6= 0 adott matrix.
ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).
NEM linearis transzformacio.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 9 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesre
2v = ϕ(v)
2v = 2ϕ(v)
ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)
NEM linearis transzformacio.
ϕ : Rm×n → Rm×n, ϕ(X) = X + C, ahol C 6= 0 adott matrix.
ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).
NEM linearis transzformacio.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 9 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesre
2v = ϕ(v)
2v = 2ϕ(v)
ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)
NEM linearis transzformacio.
ϕ : Rm×n → Rm×n, ϕ(X) = X + C, ahol C 6= 0 adott matrix.
ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).
NEM linearis transzformacio.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 9 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesre
2v = ϕ(v)
2v = 2ϕ(v)
ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)
NEM linearis transzformacio.
ϕ : Rm×n → Rm×n, ϕ(X) = X + C, ahol C 6= 0 adott matrix.
ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).
NEM linearis transzformacio.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 9 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesre
2v = ϕ(v)
2v = 2ϕ(v)
ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)
NEM linearis transzformacio.
ϕ : Rm×n → Rm×n, ϕ(X) = X + C, ahol C 6= 0 adott matrix.
ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);
ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).
NEM linearis transzformacio.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 9 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesre
2v = ϕ(v)
2v = 2ϕ(v)
ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)
NEM linearis transzformacio.
ϕ : Rm×n → Rm×n, ϕ(X) = X + C, ahol C 6= 0 adott matrix.
ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).
NEM linearis transzformacio.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 9 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak (folyt.)
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesre
2v = ϕ(v)
2v = 2ϕ(v)
ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)
NEM linearis transzformacio.
ϕ : Rm×n → Rm×n, ϕ(X) = X + C, ahol C 6= 0 adott matrix.
ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).
NEM linearis transzformacio.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 9 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearitas szukseges feltetele
Ha ϕ linearis transzformacio, akkor ϕ(0) = 0.
ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)
0 = ϕ(0)
Megjegyzes: Ha ϕ : V1 → V2 linearis lekepezes, akkor ϕ(0V1 ) = 0V2 .
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesreϕ([
00
])= [ 0
4 ] 6=[
00
]⇒ NEM linearis transzformacio.
Eltolasok, azaz a ϕ(x) = x + c, (c 6= 0) tıpusu fuggvenyek NEM linearistranszformaciok; (mint ahogy a matrixos peldaban lattuk).
A feltetel csak szukseges, de nem elegseges. A ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2
transzformacio eseten ϕ(0) = 02 = 0, de lattuk, hogy nem linearis.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 10 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearitas szukseges feltetele
Ha ϕ linearis transzformacio, akkor ϕ(0) = 0.
ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)
0 = ϕ(0)
Megjegyzes: Ha ϕ : V1 → V2 linearis lekepezes, akkor ϕ(0V1 ) = 0V2 .
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesreϕ([
00
])= [ 0
4 ] 6=[
00
]⇒ NEM linearis transzformacio.
Eltolasok, azaz a ϕ(x) = x + c, (c 6= 0) tıpusu fuggvenyek NEM linearistranszformaciok; (mint ahogy a matrixos peldaban lattuk).
A feltetel csak szukseges, de nem elegseges. A ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2
transzformacio eseten ϕ(0) = 02 = 0, de lattuk, hogy nem linearis.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 10 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearitas szukseges feltetele
Ha ϕ linearis transzformacio, akkor ϕ(0) = 0.
ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)
0 = ϕ(0)
Megjegyzes: Ha ϕ : V1 → V2 linearis lekepezes, akkor ϕ(0V1 ) = 0V2 .
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesreϕ([
00
])= [ 0
4 ] 6=[
00
]⇒ NEM linearis transzformacio.
Eltolasok, azaz a ϕ(x) = x + c, (c 6= 0) tıpusu fuggvenyek NEM linearistranszformaciok; (mint ahogy a matrixos peldaban lattuk).
A feltetel csak szukseges, de nem elegseges. A ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2
transzformacio eseten ϕ(0) = 02 = 0, de lattuk, hogy nem linearis.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 10 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearitas szukseges feltetele
Ha ϕ linearis transzformacio, akkor ϕ(0) = 0.
ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)
0 = ϕ(0)
Megjegyzes: Ha ϕ : V1 → V2 linearis lekepezes, akkor ϕ(0V1 ) = 0V2 .
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesreϕ([
00
])= [ 0
4 ] 6=[
00
]⇒ NEM linearis transzformacio.
Eltolasok, azaz a ϕ(x) = x + c, (c 6= 0) tıpusu fuggvenyek NEM linearistranszformaciok; (mint ahogy a matrixos peldaban lattuk).
A feltetel csak szukseges, de nem elegseges. A ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2
transzformacio eseten ϕ(0) = 02 = 0, de lattuk, hogy nem linearis.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 10 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Linearitas szukseges feltetele
Ha ϕ linearis transzformacio, akkor ϕ(0) = 0.
ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)
0 = ϕ(0)
Megjegyzes: Ha ϕ : V1 → V2 linearis lekepezes, akkor ϕ(0V1 ) = 0V2 .
Peldak
ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesreϕ([
00
])= [ 0
4 ] 6=[
00
]⇒ NEM linearis transzformacio.
Eltolasok, azaz a ϕ(x) = x + c, (c 6= 0) tıpusu fuggvenyek NEM linearistranszformaciok; (mint ahogy a matrixos peldaban lattuk).
A feltetel csak szukseges, de nem elegseges. A ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2
transzformacio eseten ϕ(0) = 02 = 0, de lattuk, hogy nem linearis.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 10 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Transzformacio matrixa
Miert jo a linearitas?
V bazisa: B(b1, . . . ,bn). Ekkor v = λ1b1 + . . .+ λnbn =
[ λ1...λn
].
Ha ϕ : V → V linearis transzformacio,
ϕ(v) = ϕ(λ1b1 + . . .+ λnbn) = ϕ(λ1b1) + . . .+ ϕ(λnbn) =
= λ1ϕ(b1) + . . .+ λnϕ(bn) ,
azaz barmely v vektor kepe a bazisvektorok kepeinek v (eredeti) koordinataival vettlinearis kombinacioja.
Matrixalakban:
ϕ(v) =
ϕ(b1) . . . ϕ(bn)
︸ ︷︷ ︸
A
·
λ1...λn
︸ ︷︷ ︸
v
= Av.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 11 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Transzformacio matrixa
Miert jo a linearitas?
V bazisa: B(b1, . . . ,bn). Ekkor v = λ1b1 + . . .+ λnbn =
[ λ1...λn
].
Ha ϕ : V → V linearis transzformacio,
ϕ(v) = ϕ(λ1b1 + . . .+ λnbn) = ϕ(λ1b1) + . . .+ ϕ(λnbn) =
= λ1ϕ(b1) + . . .+ λnϕ(bn) ,
azaz barmely v vektor kepe a bazisvektorok kepeinek v (eredeti) koordinataival vettlinearis kombinacioja.Matrixalakban:
ϕ(v) =
ϕ(b1) . . . ϕ(bn)
︸ ︷︷ ︸
A
·
λ1...λn
︸ ︷︷ ︸
v
= Av.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 11 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Megjegyzesek
A linearis transzformaciot egyertelmuen meghatarozza, hogy abazisvektoroknak mi a kepe.
A fenti levezetes konstruktıv: megadja hogyan kell a transzformacio matrixateloallıtani (es hogyan kell ”hasznalni”).
A matrix tıpusa: n × n, ha dim V = n.
A transzformacio matrixa erosen fugg attol, hogy melyik bazisban ırjuk fel.
A kepvektorok kiszamıtasa egy matrixszorzast jelent (amely csak szamokszorzasabol es osszeadasabol all), ezert a szamıtogepi vegrehajtasa igen gyors.
(A modszer teljesen analog linearis lekepezesek eseten. Ekkor a matrix abazis-parra jellemzo, tıpusa n ×m, ha dim V1 = m es dim V2 = n.)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 12 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Megjegyzesek
A linearis transzformaciot egyertelmuen meghatarozza, hogy abazisvektoroknak mi a kepe.
A fenti levezetes konstruktıv: megadja hogyan kell a transzformacio matrixateloallıtani (es hogyan kell ”hasznalni”).
A matrix tıpusa: n × n, ha dim V = n.
A transzformacio matrixa erosen fugg attol, hogy melyik bazisban ırjuk fel.
A kepvektorok kiszamıtasa egy matrixszorzast jelent (amely csak szamokszorzasabol es osszeadasabol all), ezert a szamıtogepi vegrehajtasa igen gyors.
(A modszer teljesen analog linearis lekepezesek eseten. Ekkor a matrix abazis-parra jellemzo, tıpusa n ×m, ha dim V1 = m es dim V2 = n.)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 12 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Megjegyzesek
A linearis transzformaciot egyertelmuen meghatarozza, hogy abazisvektoroknak mi a kepe.
A fenti levezetes konstruktıv: megadja hogyan kell a transzformacio matrixateloallıtani (es hogyan kell ”hasznalni”).
A matrix tıpusa: n × n, ha dim V = n.
A transzformacio matrixa erosen fugg attol, hogy melyik bazisban ırjuk fel.
A kepvektorok kiszamıtasa egy matrixszorzast jelent (amely csak szamokszorzasabol es osszeadasabol all), ezert a szamıtogepi vegrehajtasa igen gyors.
(A modszer teljesen analog linearis lekepezesek eseten. Ekkor a matrix abazis-parra jellemzo, tıpusa n ×m, ha dim V1 = m es dim V2 = n.)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 12 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Megjegyzesek
A linearis transzformaciot egyertelmuen meghatarozza, hogy abazisvektoroknak mi a kepe.
A fenti levezetes konstruktıv: megadja hogyan kell a transzformacio matrixateloallıtani (es hogyan kell ”hasznalni”).
A matrix tıpusa: n × n, ha dim V = n.
A transzformacio matrixa erosen fugg attol, hogy melyik bazisban ırjuk fel.
A kepvektorok kiszamıtasa egy matrixszorzast jelent (amely csak szamokszorzasabol es osszeadasabol all), ezert a szamıtogepi vegrehajtasa igen gyors.
(A modszer teljesen analog linearis lekepezesek eseten. Ekkor a matrix abazis-parra jellemzo, tıpusa n ×m, ha dim V1 = m es dim V2 = n.)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 12 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Megjegyzesek
A linearis transzformaciot egyertelmuen meghatarozza, hogy abazisvektoroknak mi a kepe.
A fenti levezetes konstruktıv: megadja hogyan kell a transzformacio matrixateloallıtani (es hogyan kell ”hasznalni”).
A matrix tıpusa: n × n, ha dim V = n.
A transzformacio matrixa erosen fugg attol, hogy melyik bazisban ırjuk fel.
A kepvektorok kiszamıtasa egy matrixszorzast jelent (amely csak szamokszorzasabol es osszeadasabol all), ezert a szamıtogepi vegrehajtasa igen gyors.
(A modszer teljesen analog linearis lekepezesek eseten. Ekkor a matrix abazis-parra jellemzo, tıpusa n ×m, ha dim V1 = m es dim V2 = n.)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 12 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Megjegyzesek
A linearis transzformaciot egyertelmuen meghatarozza, hogy abazisvektoroknak mi a kepe.
A fenti levezetes konstruktıv: megadja hogyan kell a transzformacio matrixateloallıtani (es hogyan kell ”hasznalni”).
A matrix tıpusa: n × n, ha dim V = n.
A transzformacio matrixa erosen fugg attol, hogy melyik bazisban ırjuk fel.
A kepvektorok kiszamıtasa egy matrixszorzast jelent (amely csak szamokszorzasabol es osszeadasabol all), ezert a szamıtogepi vegrehajtasa igen gyors.
(A modszer teljesen analog linearis lekepezesek eseten. Ekkor a matrix abazis-parra jellemzo, tıpusa n ×m, ha dim V1 = m es dim V2 = n.)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 12 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
Origo koruli, α szogu forgatas (sıkban). B(i, j)
i
j
ϕ(i)
αϕ(j) α
v
ϕ(v)
+60◦
ϕ(i) =
[cosαsinα
]ϕ(j) =
[− sinα
cosα
]
Fα =
[cosα − sinαsinα cosα
].
Forgassuk el a v =[
1−2
]vektort origo korul 60◦-kal:
ϕ(v) =F60◦v =
[cos 60◦ − sin 60◦
sin 60◦ cos 60◦
] [1−2
]=
=
12 −
√3
2√
32
12
[ 1−2
]=
[ 12 +√
3√
32 − 1
]≈[
2,232−0,134
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 13 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
Origo koruli, α szogu forgatas (sıkban). B(i, j)
i
j ϕ(i)
α
ϕ(j) α
v
ϕ(v)
+60◦
ϕ(i) =
[cosαsinα
]
ϕ(j) =
[− sinα
cosα
]
Fα =
[cosα − sinαsinα cosα
].
Forgassuk el a v =[
1−2
]vektort origo korul 60◦-kal:
ϕ(v) =F60◦v =
[cos 60◦ − sin 60◦
sin 60◦ cos 60◦
] [1−2
]=
=
12 −
√3
2√
32
12
[ 1−2
]=
[ 12 +√
3√
32 − 1
]≈[
2,232−0,134
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 13 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
Origo koruli, α szogu forgatas (sıkban). B(i, j)
i
j ϕ(i)
αϕ(j) α
v
ϕ(v)
+60◦
ϕ(i) =
[cosαsinα
]ϕ(j) =
[− sinα
cosα
]
Fα =
[cosα − sinαsinα cosα
].
Forgassuk el a v =[
1−2
]vektort origo korul 60◦-kal:
ϕ(v) =F60◦v =
[cos 60◦ − sin 60◦
sin 60◦ cos 60◦
] [1−2
]=
=
12 −
√3
2√
32
12
[ 1−2
]=
[ 12 +√
3√
32 − 1
]≈[
2,232−0,134
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 13 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
Origo koruli, α szogu forgatas (sıkban). B(i, j)
i
j ϕ(i)
αϕ(j) α
v
ϕ(v)
+60◦
ϕ(i) =
[cosαsinα
]ϕ(j) =
[− sinα
cosα
]
Fα =
[cosα − sinαsinα cosα
].
Forgassuk el a v =[
1−2
]vektort origo korul 60◦-kal:
ϕ(v) =F60◦v =
[cos 60◦ − sin 60◦
sin 60◦ cos 60◦
] [1−2
]=
=
12 −
√3
2√
32
12
[ 1−2
]=
[ 12 +√
3√
32 − 1
]≈[
2,232−0,134
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 13 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
Origo koruli, α szogu forgatas (sıkban). B(i, j)
i
j ϕ(i)
αϕ(j) α
v
ϕ(v)
+60◦
ϕ(i) =
[cosαsinα
]ϕ(j) =
[− sinα
cosα
]
Fα =
[cosα − sinαsinα cosα
].
Forgassuk el a v =[
1−2
]vektort origo korul 60◦-kal:
ϕ(v) =F60◦v =
[cos 60◦ − sin 60◦
sin 60◦ cos 60◦
] [1−2
]=
=
12 −
√3
2√
32
12
[ 1−2
]=
[ 12 +√
3√
32 − 1
]≈[
2,232−0,134
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 13 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
Origo koruli, α szogu forgatas (sıkban). B(i, j)
i
j ϕ(i)
αϕ(j) α
v
ϕ(v)
+60◦
ϕ(i) =
[cosαsinα
]ϕ(j) =
[− sinα
cosα
]
Fα =
[cosα − sinαsinα cosα
].
Forgassuk el a v =[
1−2
]vektort origo korul 60◦-kal:
ϕ(v) =F60◦v =
[cos 60◦ − sin 60◦
sin 60◦ cos 60◦
] [1−2
]=
=
12 −
√3
2√
32
12
[ 1−2
]=
[ 12 +√
3√
32 − 1
]≈[
2,232−0,134
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 13 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
Origo koruli, α szogu forgatas (sıkban). B(i, j)
i
j ϕ(i)
αϕ(j) α
v
ϕ(v)
+60◦
ϕ(i) =
[cosαsinα
]ϕ(j) =
[− sinα
cosα
]
Fα =
[cosα − sinαsinα cosα
].
Forgassuk el a v =[
1−2
]vektort origo korul 60◦-kal:
ϕ(v) =F60◦v =
[cos 60◦ − sin 60◦
sin 60◦ cos 60◦
] [1−2
]=
=
12 −
√3
2√
32
12
[ 1−2
]=
[ 12 +√
3√
32 − 1
]≈[
2,232−0,134
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 13 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =
[ cosαsinα
0
]
ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]
ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]
ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.
ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 =
1 =
[10
]
ϕ(j) = j =
− j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j =
− j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)
ij
k
ϕ(i)α
ϕ(j)
α
ϕ(k)
α
ϕ(i) =[ cosα
sinα0
]ϕ(j) =
[− sinαcosα
0
]ϕ(k) =
[001
]
Fα =
cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) = 1 = 1 =
[10
]ϕ(j) = j = − j =
[0−1
]
A =
[1 00 −1
].
ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =
[1 00 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 14 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =
[21
]
A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) = 1 =
[1000
] ϕ(
x2)
= 2x =
[0200
]ϕ(
x3)
= 3x2 =
[0030
]
D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j)
ϕ(1) =
(1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]
ϕ(j) =
(1− 2j) j = 2 + j =
[21
]
A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) = 1 =
[1000
] ϕ(
x2)
= 2x =
[0200
]ϕ(
x3)
= 3x2 =
[0030
]
D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) =
(1− 2j) j = 2 + j =
[21
]
A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) = 1 =
[1000
] ϕ(
x2)
= 2x =
[0200
]ϕ(
x3)
= 3x2 =
[0030
]
D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =
[21
]A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) = 1 =
[1000
] ϕ(
x2)
= 2x =
[0200
]ϕ(
x3)
= 3x2 =
[0030
]
D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =
[21
]A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) = 1 =
[1000
] ϕ(
x2)
= 2x =
[0200
]ϕ(
x3)
= 3x2 =
[0030
]
D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =
[21
]A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) = 1 =
[1000
] ϕ(
x2)
= 2x =
[0200
]ϕ(
x3)
= 3x2 =
[0030
]
D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =
[21
]A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) =
0 =
[0000
]
ϕ(x) =
1 =
[1000
]
ϕ(
x2)
=
2x =
[0200
]
ϕ(
x3)
=
3x2 =
[0030
]
D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =
[21
]A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) =
1 =
[1000
]
ϕ(
x2)
=
2x =
[0200
]
ϕ(
x3)
=
3x2 =
[0030
]
D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =
[21
]A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) = 1 =
[1000
] ϕ(
x2)
=
2x =
[0200
]
ϕ(
x3)
=
3x2 =
[0030
]
D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =
[21
]A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) = 1 =
[1000
] ϕ(
x2)
= 2x =
[0200
]ϕ(
x3)
=
3x2 =
[0030
]
D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =
[21
]A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) = 1 =
[1000
] ϕ(
x2)
= 2x =
[0200
]ϕ(
x3)
= 3x2 =
[0030
] D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)
1
j
ϕ(1)
ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =
[1−2
]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =
[21
]A =
[1 2−2 1
].
ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)
ϕ(1) = 0 =
[0000
]ϕ(x) = 1 =
[1000
] ϕ(
x2)
= 2x =
[0200
]ϕ(
x3)
= 3x2 =
[0030
] D =
0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 15 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j) ϕ(i) =
[10
]ϕ(j) =
[λ1
]
Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =[
100
]ϕ(j) =
[010
]ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j)
ϕ(i) =
[10
]
ϕ(j) =
[λ1
]
Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =[
100
]ϕ(j) =
[010
]ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j) ϕ(i) =
[10
]ϕ(j) =
[λ1
]
Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =[
100
]ϕ(j) =
[010
]ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j) ϕ(i) =
[10
]ϕ(j) =
[λ1
]Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =[
100
]ϕ(j) =
[010
]ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j) ϕ(i) =
[10
]ϕ(j) =
[λ1
]Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =[
100
]ϕ(j) =
[010
]ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j) ϕ(i) =
[10
]ϕ(j) =
[λ1
]Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =[
100
]ϕ(j) =
[010
]ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j) ϕ(i) =
[10
]ϕ(j) =
[λ1
]Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =
[100
]
ϕ(j) =
[010
]
ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j) ϕ(i) =
[10
]ϕ(j) =
[λ1
]Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =[
100
]ϕ(j) =
[010
]ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j) ϕ(i) =
[10
]ϕ(j) =
[λ1
]Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =[
100
]ϕ(j) =
[010
]ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j) ϕ(i) =
[10
]ϕ(j) =
[λ1
]Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =[
100
]ϕ(j) =
[010
]ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.
Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
λ ϕ(j) ϕ(i) =
[10
]ϕ(j) =
[λ1
]Nx,λ =
[1 λ0 1
].
ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)
ϕ(k)
v
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =[
100
]ϕ(j) =
[010
]ϕ(k) =
[ vxvy1
]
Nxy,v =
1 0 vx
0 1 vy
0 0 1
.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 16 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(k)ϕ(i) =
[λx00
]ϕ(j) =
[ 0λy0
]ϕ(k) =
[ 00λz
]
Sλ =
λx 0 00 λy 00 0 λz
.Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)
i
j
ϕ(i)ϕ(j)
ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =
[00
]
Px =
[1 00 0
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 17 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(k)ϕ(i) =
[λx00
]
ϕ(j) =
[ 0λy0
]
ϕ(k) =
[ 00λz
]
Sλ =
λx 0 00 λy 00 0 λz
.Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)
i
j
ϕ(i)ϕ(j)
ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =
[00
]
Px =
[1 00 0
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 17 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(k)ϕ(i) =
[λx00
]ϕ(j) =
[ 0λy0
]ϕ(k) =
[ 00λz
]
Sλ =
λx 0 00 λy 00 0 λz
.
Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)
i
j
ϕ(i)ϕ(j)
ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =
[00
]
Px =
[1 00 0
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 17 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(k)ϕ(i) =
[λx00
]ϕ(j) =
[ 0λy0
]ϕ(k) =
[ 00λz
]
Sλ =
λx 0 00 λy 00 0 λz
.Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)
i
j
ϕ(i)ϕ(j)
ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =
[00
]
Px =
[1 00 0
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 17 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(k)ϕ(i) =
[λx00
]ϕ(j) =
[ 0λy0
]ϕ(k) =
[ 00λz
]
Sλ =
λx 0 00 λy 00 0 λz
.Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)
i
j
ϕ(i)ϕ(j)
ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =
[00
]
Px =
[1 00 0
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 17 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(k)ϕ(i) =
[λx00
]ϕ(j) =
[ 0λy0
]ϕ(k) =
[ 00λz
]
Sλ =
λx 0 00 λy 00 0 λz
.Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)
i
j
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(i) =
[ 10 ]
ϕ(j) =
[00
]
Px =
[1 00 0
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 17 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(k)ϕ(i) =
[λx00
]ϕ(j) =
[ 0λy0
]ϕ(k) =
[ 00λz
]
Sλ =
λx 0 00 λy 00 0 λz
.Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)
i
j
ϕ(i)ϕ(j)
ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =
[00
]
Px =
[1 00 0
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 17 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(k)ϕ(i) =
[λx00
]ϕ(j) =
[ 0λy0
]ϕ(k) =
[ 00λz
]
Sλ =
λx 0 00 λy 00 0 λz
.Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)
i
j
ϕ(i)ϕ(j)
ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =
[00
]Px =
[1 00 0
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 17 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(k)ϕ(i) =
[λx00
]ϕ(j) =
[ 0λy0
]ϕ(k) =
[ 00λz
]
Sλ =
λx 0 00 λy 00 0 λz
.Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)
i
j
ϕ(i)ϕ(j)
ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =
[00
]Px =
[1 00 0
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 17 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)
i j
k
ϕ(i)
ϕ(j)
ϕ(k)ϕ(i) =
[λx00
]ϕ(j) =
[ 0λy0
]ϕ(k) =
[ 00λz
]
Sλ =
λx 0 00 λy 00 0 λz
.Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)
i
j
ϕ(i)ϕ(j)
ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =
[00
]Px =
[1 00 0
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 17 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Osszetett transzformaciok
Osszetett transzformaciok
Adottak ϕ1, ϕ2 : V → V linearis transzformaciok az (ugyanabban a bazisban felırt) A1,A2 matrixokkal. V vektorain vegezzuk el elobb a ϕ1, majd a ϕ2 transzformaciot, azazalkalmazzuk a ϕ2 ◦ ϕ1 kompozıciojukat.
(ϕ2 ◦ ϕ1) (v) = ϕ2 (ϕ1 (v)) =
ϕ2 (A1v) = A2 (A1v) = (A2A1) v.
Tehat ϕ2 ◦ ϕ1 matrixa A2A1.
Figyelem!
Nagyon ugyeljunk a sorrendre; a matrixok szorzasa nem kommutatıv. Az elobbalkalmazando transzformacio matrixa all hatrebb a szorzatban, annak megfeleloen,hogy szorzaskor az ”hat” elobb a vektorra (ugyanugy, ahogy azt afuggvenykompozıcional megszoktuk).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 18 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Osszetett transzformaciok
Osszetett transzformaciok
Adottak ϕ1, ϕ2 : V → V linearis transzformaciok az (ugyanabban a bazisban felırt) A1,A2 matrixokkal. V vektorain vegezzuk el elobb a ϕ1, majd a ϕ2 transzformaciot, azazalkalmazzuk a ϕ2 ◦ ϕ1 kompozıciojukat.
(ϕ2 ◦ ϕ1) (v) = ϕ2 (ϕ1 (v)) = ϕ2 (A1v) =
A2 (A1v) = (A2A1) v.
Tehat ϕ2 ◦ ϕ1 matrixa A2A1.
Figyelem!
Nagyon ugyeljunk a sorrendre; a matrixok szorzasa nem kommutatıv. Az elobbalkalmazando transzformacio matrixa all hatrebb a szorzatban, annak megfeleloen,hogy szorzaskor az ”hat” elobb a vektorra (ugyanugy, ahogy azt afuggvenykompozıcional megszoktuk).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 18 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Osszetett transzformaciok
Osszetett transzformaciok
Adottak ϕ1, ϕ2 : V → V linearis transzformaciok az (ugyanabban a bazisban felırt) A1,A2 matrixokkal. V vektorain vegezzuk el elobb a ϕ1, majd a ϕ2 transzformaciot, azazalkalmazzuk a ϕ2 ◦ ϕ1 kompozıciojukat.
(ϕ2 ◦ ϕ1) (v) = ϕ2 (ϕ1 (v)) = ϕ2 (A1v) = A2 (A1v) =
(A2A1) v.
Tehat ϕ2 ◦ ϕ1 matrixa A2A1.
Figyelem!
Nagyon ugyeljunk a sorrendre; a matrixok szorzasa nem kommutatıv. Az elobbalkalmazando transzformacio matrixa all hatrebb a szorzatban, annak megfeleloen,hogy szorzaskor az ”hat” elobb a vektorra (ugyanugy, ahogy azt afuggvenykompozıcional megszoktuk).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 18 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Osszetett transzformaciok
Osszetett transzformaciok
Adottak ϕ1, ϕ2 : V → V linearis transzformaciok az (ugyanabban a bazisban felırt) A1,A2 matrixokkal. V vektorain vegezzuk el elobb a ϕ1, majd a ϕ2 transzformaciot, azazalkalmazzuk a ϕ2 ◦ ϕ1 kompozıciojukat.
(ϕ2 ◦ ϕ1) (v) = ϕ2 (ϕ1 (v)) = ϕ2 (A1v) = A2 (A1v) = (A2A1) v.
Tehat ϕ2 ◦ ϕ1 matrixa A2A1.
Figyelem!
Nagyon ugyeljunk a sorrendre; a matrixok szorzasa nem kommutatıv. Az elobbalkalmazando transzformacio matrixa all hatrebb a szorzatban, annak megfeleloen,hogy szorzaskor az ”hat” elobb a vektorra (ugyanugy, ahogy azt afuggvenykompozıcional megszoktuk).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 18 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Osszetett transzformaciok
Osszetett transzformaciok
Adottak ϕ1, ϕ2 : V → V linearis transzformaciok az (ugyanabban a bazisban felırt) A1,A2 matrixokkal. V vektorain vegezzuk el elobb a ϕ1, majd a ϕ2 transzformaciot, azazalkalmazzuk a ϕ2 ◦ ϕ1 kompozıciojukat.
(ϕ2 ◦ ϕ1) (v) = ϕ2 (ϕ1 (v)) = ϕ2 (A1v) = A2 (A1v) = (A2A1) v.
Tehat ϕ2 ◦ ϕ1 matrixa A2A1.
Figyelem!
Nagyon ugyeljunk a sorrendre; a matrixok szorzasa nem kommutatıv. Az elobbalkalmazando transzformacio matrixa all hatrebb a szorzatban, annak megfeleloen,hogy szorzaskor az ”hat” elobb a vektorra (ugyanugy, ahogy azt afuggvenykompozıcional megszoktuk).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 18 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, minden komplex szamot megszoroz (1− 2j)-vel, majd konjugalja.
ϕ1 : C→ C, ϕ1(z) = (1− 2j) z, A1 =
[1 2−2 1
];
ϕ2 : C→ C, ϕ2(z) = z, A2 =
[1 00 −1
].
Mivel ϕ = ϕ2 ◦ ϕ1, ezert ϕ matrixa:
A = A2A1 =
[1 00 −1
] [1 2−2 1
]=
[1 22 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 19 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : C→ C, minden komplex szamot megszoroz (1− 2j)-vel, majd konjugalja.
ϕ1 : C→ C, ϕ1(z) = (1− 2j) z, A1 =
[1 2−2 1
];
ϕ2 : C→ C, ϕ2(z) = z, A2 =
[1 00 −1
].
Mivel ϕ = ϕ2 ◦ ϕ1, ezert ϕ matrixa:
A = A2A1 =
[1 00 −1
] [1 2−2 1
]=
[1 22 −1
].
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 19 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes α szogu egyenesre.
α
1
−α
2 3
+α
1 Forgassuk el a teret −α szoggel.2 Vetıtsunk az x tengelyre.3 Forgassuk vissza a teret α szoggel.
Pα =
FαPx F−α =
[cosα − sinαsinα cosα
] [1 00 0
] [cosα sinα− sinα cosα
]=
=
[cos2 α cosα sinα
cosα sinα sin2 α
]. Pl.: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 20 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes α szogu egyenesre.
α
1
−α
2 3
+α
1 Forgassuk el a teret −α szoggel.
2 Vetıtsunk az x tengelyre.3 Forgassuk vissza a teret α szoggel.
Pα =
FαPx
F−α =
[cosα − sinαsinα cosα
] [1 00 0
]
[cosα sinα− sinα cosα
]=
=
[cos2 α cosα sinα
cosα sinα sin2 α
]. Pl.: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 20 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes α szogu egyenesre.
α
1
−α
2
3
+α
1 Forgassuk el a teret −α szoggel.2 Vetıtsunk az x tengelyre.
3 Forgassuk vissza a teret α szoggel.
Pα =
Fα
Px F−α =
[cosα − sinαsinα cosα
]
[1 00 0
] [cosα sinα− sinα cosα
]=
=
[cos2 α cosα sinα
cosα sinα sin2 α
]. Pl.: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 20 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes α szogu egyenesre.
α
1
−α
2 3
+α
1 Forgassuk el a teret −α szoggel.2 Vetıtsunk az x tengelyre.3 Forgassuk vissza a teret α szoggel.
Pα = FαPx F−α =
[cosα − sinαsinα cosα
] [1 00 0
] [cosα sinα− sinα cosα
]=
=
[cos2 α cosα sinα
cosα sinα sin2 α
]. Pl.: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 20 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes α szogu egyenesre.
α
1
−α
2 3
+α
1 Forgassuk el a teret −α szoggel.2 Vetıtsunk az x tengelyre.3 Forgassuk vissza a teret α szoggel.
Pα = FαPx F−α =
[cosα − sinαsinα cosα
] [1 00 0
] [cosα sinα− sinα cosα
]=
=
[cos2 α cosα sinα
cosα sinα sin2 α
].
Pl.: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 20 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes α szogu egyenesre.
α
1
−α
2 3
+α
1 Forgassuk el a teret −α szoggel.2 Vetıtsunk az x tengelyre.3 Forgassuk vissza a teret α szoggel.
Pα = FαPx F−α =
[cosα − sinαsinα cosα
] [1 00 0
] [cosα sinα− sinα cosα
]=
=
[cos2 α cosα sinα
cosα sinα sin2 α
]. Pl.: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 20 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok
Peldak
ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes α szogu egyenesre.
α
1
−α
2 3
+α
1 Forgassuk el a teret −α szoggel.2 Vetıtsunk az x tengelyre.3 Forgassuk vissza a teret α szoggel.
Pα = FαPx F−α =
[cosα − sinαsinα cosα
] [1 00 0
] [cosα sinα− sinα cosα
]=
=
[cos2 α cosα sinα
cosα sinα sin2 α
]. Pl.: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
].
Tovabbi peldak eloadason.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 20 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Tartalom
1 Linearis lekepezesek, transzformaciokLinearis lekepezesekLinearis transzformaciokKepter, magterSajatertek, sajatvektor
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 21 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Kepter
A transzformacio es matrixanak rangja kozotti kapcsolat
ϕ : V → V linearis transzformacio; ϕ(V ): ϕ ertekkeszlete.
ϕ(V ) = {ϕ(v) | v ∈ V} ={
Av | v ∈ T n} = 〈a1, . . . , an〉 .
Tehat:
ϕ ertekkeszlete alter V -ben (V2-ben), ezert neve kepter, jele: Im(ϕ).
%(A) = dim Im(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Fα =[
cosα − sinαsinα cosα
]⇒ %(Fα) =
2
;
Im(ϕ) =
R2
⇒ dim Im(ϕ) =
2
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 22 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Kepter
A transzformacio es matrixanak rangja kozotti kapcsolat
ϕ : V → V linearis transzformacio; ϕ(V ): ϕ ertekkeszlete.
ϕ(V ) = {ϕ(v) | v ∈ V} ={
Av | v ∈ T n} = 〈a1, . . . , an〉 .
Tehat:
ϕ ertekkeszlete alter V -ben (V2-ben), ezert neve kepter, jele: Im(ϕ).
%(A) = dim Im(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Fα =[
cosα − sinαsinα cosα
]⇒ %(Fα) =
2
;
Im(ϕ) =
R2
⇒ dim Im(ϕ) =
2
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 22 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Kepter
A transzformacio es matrixanak rangja kozotti kapcsolat
ϕ : V → V linearis transzformacio; ϕ(V ): ϕ ertekkeszlete.
ϕ(V ) = {ϕ(v) | v ∈ V} ={
Av | v ∈ T n} = 〈a1, . . . , an〉 .
Tehat:
ϕ ertekkeszlete alter V -ben (V2-ben), ezert neve kepter, jele: Im(ϕ).
%(A) = dim Im(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Fα =[
cosα − sinαsinα cosα
]⇒ %(Fα) =
2
;
Im(ϕ) =
R2
⇒ dim Im(ϕ) =
2
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 22 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Kepter
A transzformacio es matrixanak rangja kozotti kapcsolat
ϕ : V → V linearis transzformacio; ϕ(V ): ϕ ertekkeszlete.
ϕ(V ) = {ϕ(v) | v ∈ V} ={
Av | v ∈ T n} = 〈a1, . . . , an〉 .
Tehat:
ϕ ertekkeszlete alter V -ben (V2-ben), ezert neve kepter, jele: Im(ϕ).
%(A) = dim Im(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Fα =[
cosα − sinαsinα cosα
]⇒ %(Fα) =
2
;
Im(ϕ) =
R2
⇒ dim Im(ϕ) =
2
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 22 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Kepter
A transzformacio es matrixanak rangja kozotti kapcsolat
ϕ : V → V linearis transzformacio; ϕ(V ): ϕ ertekkeszlete.
ϕ(V ) = {ϕ(v) | v ∈ V} ={
Av | v ∈ T n} = 〈a1, . . . , an〉 .
Tehat:
ϕ ertekkeszlete alter V -ben (V2-ben), ezert neve kepter, jele: Im(ϕ).
%(A) = dim Im(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Fα =[
cosα − sinαsinα cosα
]⇒ %(Fα) = 2;
Im(ϕ) = R2 ⇒ dim Im(ϕ) = 2.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 22 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Peldak (folyt.)
30◦-os egyenesre vetıtes: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
]⇒ %(P30◦) =
1
;
Im(ϕ) =
{[√3
1
]t | t ∈ R
}
⇒ dim Im(ϕ) =
1
.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)
D =
[0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
]⇒ %(D) =
3
;
Im(ϕ) =
R2[x ]
⇒ dim Im(ϕ) =
3
.
Eszrevetel
Vilagos, hogy dim Im(ϕ) = %(A) 6 n = dim V .Mi ”tortenik” a tobbi dimenzioval, hova ”tunnek”, amikor dim Im(ϕ) < n?
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 23 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Peldak (folyt.)
30◦-os egyenesre vetıtes: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
]⇒ %(P30◦) = 1;
Im(ϕ) ={[√
31
]t | t ∈ R
}⇒ dim Im(ϕ) = 1.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)
D =
[0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
]⇒ %(D) =
3
;
Im(ϕ) =
R2[x ]
⇒ dim Im(ϕ) =
3
.
Eszrevetel
Vilagos, hogy dim Im(ϕ) = %(A) 6 n = dim V .Mi ”tortenik” a tobbi dimenzioval, hova ”tunnek”, amikor dim Im(ϕ) < n?
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 23 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Peldak (folyt.)
30◦-os egyenesre vetıtes: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
]⇒ %(P30◦) = 1;
Im(ϕ) ={[√
31
]t | t ∈ R
}⇒ dim Im(ϕ) = 1.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)
D =
[0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
]⇒ %(D) =
3
;
Im(ϕ) =
R2[x ]
⇒ dim Im(ϕ) =
3
.
Eszrevetel
Vilagos, hogy dim Im(ϕ) = %(A) 6 n = dim V .Mi ”tortenik” a tobbi dimenzioval, hova ”tunnek”, amikor dim Im(ϕ) < n?
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 23 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Peldak (folyt.)
30◦-os egyenesre vetıtes: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
]⇒ %(P30◦) = 1;
Im(ϕ) ={[√
31
]t | t ∈ R
}⇒ dim Im(ϕ) = 1.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)
D =
[0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
]⇒ %(D) = 3;
Im(ϕ) = R2[x ] ⇒ dim Im(ϕ) = 3.
Eszrevetel
Vilagos, hogy dim Im(ϕ) = %(A) 6 n = dim V .Mi ”tortenik” a tobbi dimenzioval, hova ”tunnek”, amikor dim Im(ϕ) < n?
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 23 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Peldak (folyt.)
30◦-os egyenesre vetıtes: P30◦ =
[34
√3
4√3
414
]⇒ %(P30◦) = 1;
Im(ϕ) ={[√
31
]t | t ∈ R
}⇒ dim Im(ϕ) = 1.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)
D =
[0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0
]⇒ %(D) = 3;
Im(ϕ) = R2[x ] ⇒ dim Im(ϕ) = 3.
Eszrevetel
Vilagos, hogy dim Im(ϕ) = %(A) 6 n = dim V .Mi ”tortenik” a tobbi dimenzioval, hova ”tunnek”, amikor dim Im(ϕ) < n?
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 23 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Magter
Magter
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} halmaz alter V -ben (V1-ben), hiszen
ϕ(v1 + v2) = ϕ(v1) + ϕ(v2) = 0 + 0 = 0 es ϕ(λv) = λϕ(v) = λ · 0 = 0.
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} alter neve magter, jele Ker(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Ker(ϕ) =
{0}
⇒ dim Ker(ϕ) =
0
.
30◦-os egyenesre vetıtes: Ker(ϕ) =
{[−1√
3
]t | t ∈ R
}
⇒ dim Ker(ϕ) =
1
.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)Ker(ϕ) =
{a0 | a0 ∈ R}
⇒ dim Ker(ϕ) =
1
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 24 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Magter
Magter
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} halmaz alter V -ben (V1-ben), hiszen
ϕ(v1 + v2) = ϕ(v1) + ϕ(v2) = 0 + 0 = 0 es ϕ(λv) = λϕ(v) = λ · 0 = 0.
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} alter neve magter, jele Ker(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Ker(ϕ) =
{0}
⇒ dim Ker(ϕ) =
0
.
30◦-os egyenesre vetıtes: Ker(ϕ) =
{[−1√
3
]t | t ∈ R
}
⇒ dim Ker(ϕ) =
1
.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)Ker(ϕ) =
{a0 | a0 ∈ R}
⇒ dim Ker(ϕ) =
1
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 24 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Magter
Magter
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} halmaz alter V -ben (V1-ben), hiszen
ϕ(v1 + v2) = ϕ(v1) + ϕ(v2) = 0 + 0 = 0 es ϕ(λv) = λϕ(v) = λ · 0 = 0.
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} alter neve magter, jele Ker(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Ker(ϕ) = {0} ⇒ dim Ker(ϕ) = 0.
30◦-os egyenesre vetıtes: Ker(ϕ) =
{[−1√
3
]t | t ∈ R
}
⇒ dim Ker(ϕ) =
1
.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)Ker(ϕ) =
{a0 | a0 ∈ R}
⇒ dim Ker(ϕ) =
1
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 24 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Magter
Magter
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} halmaz alter V -ben (V1-ben), hiszen
ϕ(v1 + v2) = ϕ(v1) + ϕ(v2) = 0 + 0 = 0 es ϕ(λv) = λϕ(v) = λ · 0 = 0.
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} alter neve magter, jele Ker(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Ker(ϕ) = {0} ⇒ dim Ker(ϕ) = 0.
30◦-os egyenesre vetıtes: Ker(ϕ) =
{[−1√
3
]t | t ∈ R
}
⇒ dim Ker(ϕ) =
1
.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)Ker(ϕ) =
{a0 | a0 ∈ R}
⇒ dim Ker(ϕ) =
1
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 24 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Magter
Magter
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} halmaz alter V -ben (V1-ben), hiszen
ϕ(v1 + v2) = ϕ(v1) + ϕ(v2) = 0 + 0 = 0 es ϕ(λv) = λϕ(v) = λ · 0 = 0.
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} alter neve magter, jele Ker(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Ker(ϕ) = {0} ⇒ dim Ker(ϕ) = 0.
30◦-os egyenesre vetıtes: Ker(ϕ) ={[−1√
3
]t | t ∈ R
}⇒ dim Ker(ϕ) = 1.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)Ker(ϕ) =
{a0 | a0 ∈ R}
⇒ dim Ker(ϕ) =
1
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 24 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Magter
Magter
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} halmaz alter V -ben (V1-ben), hiszen
ϕ(v1 + v2) = ϕ(v1) + ϕ(v2) = 0 + 0 = 0 es ϕ(λv) = λϕ(v) = λ · 0 = 0.
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} alter neve magter, jele Ker(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Ker(ϕ) = {0} ⇒ dim Ker(ϕ) = 0.
30◦-os egyenesre vetıtes: Ker(ϕ) ={[−1√
3
]t | t ∈ R
}⇒ dim Ker(ϕ) = 1.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)Ker(ϕ) =
{a0 | a0 ∈ R}
⇒ dim Ker(ϕ) =
1
.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 24 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Magter
Magter
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} halmaz alter V -ben (V1-ben), hiszen
ϕ(v1 + v2) = ϕ(v1) + ϕ(v2) = 0 + 0 = 0 es ϕ(λv) = λϕ(v) = λ · 0 = 0.
A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} alter neve magter, jele Ker(ϕ).
Peldak
sıkbeli forgatas: Ker(ϕ) = {0} ⇒ dim Ker(ϕ) = 0.
30◦-os egyenesre vetıtes: Ker(ϕ) ={[−1√
3
]t | t ∈ R
}⇒ dim Ker(ϕ) = 1.
ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)Ker(ϕ) = {a0 | a0 ∈ R} ⇒ dim Ker(ϕ) = 1.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 24 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Dimenzio-tetel
Dimenzio-tetel
Ha ϕ : V(1) → V(2) linearis transzformacio (lekepezes), akkor
dim Im(ϕ) + dim Ker(ϕ) = dim V(1).
V(1) V(2)ϕ
Im(ϕ)0
Ker(ϕ)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 25 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Dimenzio-tetel
Dimenzio-tetel
Ha ϕ : V(1) → V(2) linearis transzformacio (lekepezes), akkor
dim Im(ϕ) + dim Ker(ϕ) = dim V(1).
V(1) V(2)
ϕ
Im(ϕ)0
Ker(ϕ)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 25 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Dimenzio-tetel
Dimenzio-tetel
Ha ϕ : V(1) → V(2) linearis transzformacio (lekepezes), akkor
dim Im(ϕ) + dim Ker(ϕ) = dim V(1).
V(1) V(2)ϕ
Im(ϕ)
0Ker(ϕ)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 25 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter
Dimenzio-tetel
Dimenzio-tetel
Ha ϕ : V(1) → V(2) linearis transzformacio (lekepezes), akkor
dim Im(ϕ) + dim Ker(ϕ) = dim V(1).
V(1) V(2)ϕ
Im(ϕ)0
Ker(ϕ)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 25 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Tartalom
1 Linearis lekepezesek, transzformaciokLinearis lekepezesekLinearis transzformaciokKepter, magterSajatertek, sajatvektor
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 26 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
A ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora az s ∈ V \ {0} vektor a λ ∈ Tsajatertekkel, ha
ϕ(s) = λs.
Megjegyzes: minden ϕ lin. transzf. eseten ϕ(0) = 0 = λ · 0.
Pelda
ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i
ϕ(ci) = ci
j
ϕ(j) = −j
cj
ϕ(cj) = −cj
v
ϕ(v) 6= λv
Sıkban: x tengelyre tukrozes.
i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(i) = i.
2i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(2i) = 2i.
ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.
j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.
cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.
semmi mas vektor nem sajatvektor.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 27 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
A ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora az s ∈ V \ {0} vektor a λ ∈ Tsajatertekkel, ha
ϕ(s) = λs.
Megjegyzes: minden ϕ lin. transzf. eseten ϕ(0) = 0 = λ · 0.
Pelda
ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i
ϕ(ci) = ci
j
ϕ(j) = −j
cj
ϕ(cj) = −cj
v
ϕ(v) 6= λv
Sıkban: x tengelyre tukrozes.
i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(i) = i.
2i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(2i) = 2i.
ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.
j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.
cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.
semmi mas vektor nem sajatvektor.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 27 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
A ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora az s ∈ V \ {0} vektor a λ ∈ Tsajatertekkel, ha
ϕ(s) = λs.
Megjegyzes: minden ϕ lin. transzf. eseten ϕ(0) = 0 = λ · 0.
Pelda
ϕ(i) = i
ϕ(2i) = 2i
ϕ(ci) = ci
j
ϕ(j) = −j
cj
ϕ(cj) = −cj
v
ϕ(v) 6= λv
Sıkban: x tengelyre tukrozes.
i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(i) = i.
2i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(2i) = 2i.
ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.
j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.
cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.
semmi mas vektor nem sajatvektor.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 27 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
A ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora az s ∈ V \ {0} vektor a λ ∈ Tsajatertekkel, ha
ϕ(s) = λs.
Megjegyzes: minden ϕ lin. transzf. eseten ϕ(0) = 0 = λ · 0.
Pelda
ϕ(i) = i
ϕ(2i) = 2i
ϕ(ci) = ci
j
ϕ(j) = −j
cj
ϕ(cj) = −cj
v
ϕ(v) 6= λv
Sıkban: x tengelyre tukrozes.
i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(i) = i.
2i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(2i) = 2i.
ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.
j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.
cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.
semmi mas vektor nem sajatvektor.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 27 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
A ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora az s ∈ V \ {0} vektor a λ ∈ Tsajatertekkel, ha
ϕ(s) = λs.
Megjegyzes: minden ϕ lin. transzf. eseten ϕ(0) = 0 = λ · 0.
Pelda
ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i
ϕ(ci) = ci
j
ϕ(j) = −j
cj
ϕ(cj) = −cj
v
ϕ(v) 6= λv
Sıkban: x tengelyre tukrozes.
i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(i) = i.
2i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(2i) = 2i.
ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.
j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.
cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.
semmi mas vektor nem sajatvektor.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 27 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
A ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora az s ∈ V \ {0} vektor a λ ∈ Tsajatertekkel, ha
ϕ(s) = λs.
Megjegyzes: minden ϕ lin. transzf. eseten ϕ(0) = 0 = λ · 0.
Pelda
ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i
ϕ(ci) = ci
j
ϕ(j) = −j
cj
ϕ(cj) = −cj
v
ϕ(v) 6= λv
Sıkban: x tengelyre tukrozes.
i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(i) = i.
2i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(2i) = 2i.
ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.
j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.
cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.
semmi mas vektor nem sajatvektor.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 27 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
A ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora az s ∈ V \ {0} vektor a λ ∈ Tsajatertekkel, ha
ϕ(s) = λs.
Megjegyzes: minden ϕ lin. transzf. eseten ϕ(0) = 0 = λ · 0.
Pelda
ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i
ϕ(ci) = ci
j
ϕ(j) = −j
cj
ϕ(cj) = −cj
v
ϕ(v) 6= λv
Sıkban: x tengelyre tukrozes.
i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(i) = i.
2i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(2i) = 2i.
ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.
j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.
cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.
semmi mas vektor nem sajatvektor.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 27 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
Sajatertek, sajatvektor
A ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora az s ∈ V \ {0} vektor a λ ∈ Tsajatertekkel, ha
ϕ(s) = λs.
Megjegyzes: minden ϕ lin. transzf. eseten ϕ(0) = 0 = λ · 0.
Pelda
ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i
ϕ(ci) = ci
j
ϕ(j) = −j
cj
ϕ(cj) = −cj
v
ϕ(v) 6= λv
Sıkban: x tengelyre tukrozes.
i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(i) = i.
2i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(2i) = 2i.
ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.
j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.
cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.
semmi mas vektor nem sajatvektor.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 27 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajat-alter
Sajat-alter
Azonos λ ∈ T sajatertekhez tartozo s ∈ V sajatvektorok es a 0 ∈ V alteret alkotnak:
ϕ(s1 + s2) = ϕ(s1) + ϕ(s2) = λs1 + λs2 = λ (s1 + s2) ;
ϕ(µs) = µϕ(s) = µ (λs) = λ (µs).
Megjegyzes: a tobbszoros sajatertekekhez tartozo sajat-alterek nem egyertelmuenviselkednek. Erre vonatkozoan lasd a fejezet vegen levo megjegyzest.
Pelda
A sıkbeli, x tengelyre tukrozes
λ1 = 1 sajatertekhez tartozo sajat-altere: 〈i〉 (x tengely);
λ1 = −1 sajatertekhez tartozo sajat-altere: 〈j〉 (y tengely).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 28 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajat-alter
Sajat-alter
Azonos λ ∈ T sajatertekhez tartozo s ∈ V sajatvektorok es a 0 ∈ V alteret alkotnak:
ϕ(s1 + s2) = ϕ(s1) + ϕ(s2) = λs1 + λs2 = λ (s1 + s2) ;
ϕ(µs) = µϕ(s) = µ (λs) = λ (µs).
Megjegyzes: a tobbszoros sajatertekekhez tartozo sajat-alterek nem egyertelmuenviselkednek. Erre vonatkozoan lasd a fejezet vegen levo megjegyzest.
Pelda
A sıkbeli, x tengelyre tukrozes
λ1 = 1 sajatertekhez tartozo sajat-altere: 〈i〉 (x tengely);
λ1 = −1 sajatertekhez tartozo sajat-altere: 〈j〉 (y tengely).
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 28 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertekek kiszamıtasa
Sajatertekek kiszamıtasa
Legyen s ∈ V a ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora λ ∈ T sajatertekkel;A ∈ T n×n a ϕ matrixa egy rogzıtett bazisban, s ∈ T n pedig s koordinatai ugyanabbana bazisban.
ϕ(s) = λs
As = λsAs− λs = 0
(A− λE) s = 0
Homogen linearis egyenletrendszert kaptunk, amelynek s = 0 mindig megoldasa.Nem-trivialis megoldast ugy kaphatunk, ha a linearis egyenletrendszernek nemegyertelmu a megoldasa. Ennek letezeset (pl. Cramer-szabaly alapjan) ugybiztosıthatjuk, ha
det (A− λE) = 0.
Ez a transzformacio sajatertek-egyenlete, vagy a sajatertekek karakterisztikusegyenlete.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 29 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertekek kiszamıtasa
Sajatertekek kiszamıtasa
Legyen s ∈ V a ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora λ ∈ T sajatertekkel;A ∈ T n×n a ϕ matrixa egy rogzıtett bazisban, s ∈ T n pedig s koordinatai ugyanabbana bazisban.
ϕ(s) = λs
As = λsAs− λs = 0
(A− λE) s = 0
Homogen linearis egyenletrendszert kaptunk, amelynek s = 0 mindig megoldasa.Nem-trivialis megoldast ugy kaphatunk, ha a linearis egyenletrendszernek nemegyertelmu a megoldasa. Ennek letezeset (pl. Cramer-szabaly alapjan) ugybiztosıthatjuk, ha
det (A− λE) = 0.
Ez a transzformacio sajatertek-egyenlete, vagy a sajatertekek karakterisztikusegyenlete.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 29 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertekek kiszamıtasa
Sajatertekek kiszamıtasa
Legyen s ∈ V a ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora λ ∈ T sajatertekkel;A ∈ T n×n a ϕ matrixa egy rogzıtett bazisban, s ∈ T n pedig s koordinatai ugyanabbana bazisban.
ϕ(s) = λs
As = λs
As− λs = 0(A− λE) s = 0
Homogen linearis egyenletrendszert kaptunk, amelynek s = 0 mindig megoldasa.Nem-trivialis megoldast ugy kaphatunk, ha a linearis egyenletrendszernek nemegyertelmu a megoldasa. Ennek letezeset (pl. Cramer-szabaly alapjan) ugybiztosıthatjuk, ha
det (A− λE) = 0.
Ez a transzformacio sajatertek-egyenlete, vagy a sajatertekek karakterisztikusegyenlete.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 29 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertekek kiszamıtasa
Sajatertekek kiszamıtasa
Legyen s ∈ V a ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora λ ∈ T sajatertekkel;A ∈ T n×n a ϕ matrixa egy rogzıtett bazisban, s ∈ T n pedig s koordinatai ugyanabbana bazisban.
ϕ(s) = λs
As = λsAs− λs = 0
(A− λE) s = 0
Homogen linearis egyenletrendszert kaptunk, amelynek s = 0 mindig megoldasa.Nem-trivialis megoldast ugy kaphatunk, ha a linearis egyenletrendszernek nemegyertelmu a megoldasa. Ennek letezeset (pl. Cramer-szabaly alapjan) ugybiztosıthatjuk, ha
det (A− λE) = 0.
Ez a transzformacio sajatertek-egyenlete, vagy a sajatertekek karakterisztikusegyenlete.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 29 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertekek kiszamıtasa
Sajatertekek kiszamıtasa
Legyen s ∈ V a ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora λ ∈ T sajatertekkel;A ∈ T n×n a ϕ matrixa egy rogzıtett bazisban, s ∈ T n pedig s koordinatai ugyanabbana bazisban.
ϕ(s) = λs
As = λsAs− λs = 0
(A− λE) s = 0
Homogen linearis egyenletrendszert kaptunk, amelynek s = 0 mindig megoldasa.Nem-trivialis megoldast ugy kaphatunk, ha a linearis egyenletrendszernek nemegyertelmu a megoldasa. Ennek letezeset (pl. Cramer-szabaly alapjan) ugybiztosıthatjuk, ha
det (A− λE) = 0.
Ez a transzformacio sajatertek-egyenlete, vagy a sajatertekek karakterisztikusegyenlete.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 29 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertekek kiszamıtasa
Sajatertekek kiszamıtasa
Legyen s ∈ V a ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora λ ∈ T sajatertekkel;A ∈ T n×n a ϕ matrixa egy rogzıtett bazisban, s ∈ T n pedig s koordinatai ugyanabbana bazisban.
ϕ(s) = λs
As = λsAs− λs = 0
(A− λE) s = 0
Homogen linearis egyenletrendszert kaptunk, amelynek s = 0 mindig megoldasa.Nem-trivialis megoldast ugy kaphatunk, ha a linearis egyenletrendszernek nemegyertelmu a megoldasa. Ennek letezeset (pl. Cramer-szabaly alapjan) ugybiztosıthatjuk, ha
det (A− λE) = 0.
Ez a transzformacio sajatertek-egyenlete, vagy a sajatertekek karakterisztikusegyenlete.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 29 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Sajatertekek kiszamıtasa
Sajatertekek kiszamıtasa
Legyen s ∈ V a ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora λ ∈ T sajatertekkel;A ∈ T n×n a ϕ matrixa egy rogzıtett bazisban, s ∈ T n pedig s koordinatai ugyanabbana bazisban.
ϕ(s) = λs
As = λsAs− λs = 0
(A− λE) s = 0
Homogen linearis egyenletrendszert kaptunk, amelynek s = 0 mindig megoldasa.Nem-trivialis megoldast ugy kaphatunk, ha a linearis egyenletrendszernek nemegyertelmu a megoldasa. Ennek letezeset (pl. Cramer-szabaly alapjan) ugybiztosıthatjuk, ha
det (A− λE) = 0.
Ez a transzformacio sajatertek-egyenlete, vagy a sajatertekek karakterisztikusegyenlete.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 29 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Pelda
Szamıtsuk ki annak a transzformacionak a sajatertekeit es sajatvektorait, amelynekmatrixa A =
[1 22 −2
].
det (A− λE) = det([
1 22 −2
]−[λ 00 λ
])∣∣∣∣ 1− λ 2
2 −2− λ
∣∣∣∣ = (1− λ) (−2− λ)− 4
λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3
λ1 = 2
[1 22 −2
] [ xy]
= 2[ x
y]⇒
x + 2y = 2x
2x − 2y = 2y
}⇒
−x + 2y = 0
2x − 4y = 0
}
x = 2y ⇒ s1 =
[2tt
]=
[21
]t (t 6= 0)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 30 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Pelda
Szamıtsuk ki annak a transzformacionak a sajatertekeit es sajatvektorait, amelynekmatrixa A =
[1 22 −2
].
det (A− λE) = det([
1 22 −2
]−[λ 00 λ
])
∣∣∣∣ 1− λ 22 −2− λ
∣∣∣∣ = (1− λ) (−2− λ)− 4
λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3
λ1 = 2
[1 22 −2
] [ xy]
= 2[ x
y]⇒
x + 2y = 2x
2x − 2y = 2y
}⇒
−x + 2y = 0
2x − 4y = 0
}
x = 2y ⇒ s1 =
[2tt
]=
[21
]t (t 6= 0)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 30 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Pelda
Szamıtsuk ki annak a transzformacionak a sajatertekeit es sajatvektorait, amelynekmatrixa A =
[1 22 −2
].
det (A− λE) = det([
1 22 −2
]−[λ 00 λ
])∣∣∣∣ 1− λ 2
2 −2− λ
∣∣∣∣ = (1− λ) (−2− λ)− 4
λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3
λ1 = 2
[1 22 −2
] [ xy]
= 2[ x
y]⇒
x + 2y = 2x
2x − 2y = 2y
}⇒
−x + 2y = 0
2x − 4y = 0
}
x = 2y ⇒ s1 =
[2tt
]=
[21
]t (t 6= 0)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 30 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Pelda
Szamıtsuk ki annak a transzformacionak a sajatertekeit es sajatvektorait, amelynekmatrixa A =
[1 22 −2
].
det (A− λE) = det([
1 22 −2
]−[λ 00 λ
])∣∣∣∣ 1− λ 2
2 −2− λ
∣∣∣∣ = (1− λ) (−2− λ)− 4
λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3
λ1 = 2
[1 22 −2
] [ xy]
= 2[ x
y]⇒
x + 2y = 2x
2x − 2y = 2y
}⇒
−x + 2y = 0
2x − 4y = 0
}
x = 2y ⇒ s1 =
[2tt
]=
[21
]t (t 6= 0)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 30 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Pelda
Szamıtsuk ki annak a transzformacionak a sajatertekeit es sajatvektorait, amelynekmatrixa A =
[1 22 −2
].
det (A− λE) = det([
1 22 −2
]−[λ 00 λ
])∣∣∣∣ 1− λ 2
2 −2− λ
∣∣∣∣ = (1− λ) (−2− λ)− 4
λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3
λ1 = 2
[1 22 −2
] [ xy]
= 2[ x
y]⇒
x + 2y = 2x
2x − 2y = 2y
}⇒
−x + 2y = 0
2x − 4y = 0
}
x = 2y ⇒ s1 =
[2tt
]=
[21
]t (t 6= 0)
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 30 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Pelda (folyt.)
λ2 = −3 ([1 22 −2
]−[−3 0
0 −3
]) [ xy]
=[
00
]⇒
4x + 2y = 0
2x + y = 0
}
y = −2x ⇒ s2 =
[t−2t
]=
[1−2
]t (t 6= 0)
Megjegyzesek
A sajatertekek es sajatvektorok fuggetlenek attol, hogy milyen bazisban felırtmatrixbol szamıtjuk ki oket (invariansak; a definıciobol nyilvanvalo).
Az n × n-es valos szimmetrikus matrixoknak mindig van n db valos sajatertekuk.
A szimmetrikus matrixok kulonbozo sajatertekeihez tartozo barmelysajatvektorai merolegesek egymasra (vagyis a hozzajuk tartozo sajat-alterek ismerolegesek).Az elozo peldaban: s1 · s2 = [ 2
1 ] ·[
1−2
]= 0.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 31 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Pelda (folyt.)
λ2 = −3 ([1 22 −2
]−[−3 0
0 −3
]) [ xy]
=[
00
]⇒
4x + 2y = 0
2x + y = 0
}
y = −2x ⇒ s2 =
[t−2t
]=
[1−2
]t (t 6= 0)
Megjegyzesek
A sajatertekek es sajatvektorok fuggetlenek attol, hogy milyen bazisban felırtmatrixbol szamıtjuk ki oket (invariansak; a definıciobol nyilvanvalo).
Az n × n-es valos szimmetrikus matrixoknak mindig van n db valos sajatertekuk.
A szimmetrikus matrixok kulonbozo sajatertekeihez tartozo barmelysajatvektorai merolegesek egymasra (vagyis a hozzajuk tartozo sajat-alterek ismerolegesek).Az elozo peldaban: s1 · s2 = [ 2
1 ] ·[
1−2
]= 0.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 31 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Pelda (folyt.)
λ2 = −3 ([1 22 −2
]−[−3 0
0 −3
]) [ xy]
=[
00
]⇒
4x + 2y = 0
2x + y = 0
}
y = −2x ⇒ s2 =
[t−2t
]=
[1−2
]t (t 6= 0)
Megjegyzesek
A sajatertekek es sajatvektorok fuggetlenek attol, hogy milyen bazisban felırtmatrixbol szamıtjuk ki oket (invariansak; a definıciobol nyilvanvalo).
Az n × n-es valos szimmetrikus matrixoknak mindig van n db valos sajatertekuk.
A szimmetrikus matrixok kulonbozo sajatertekeihez tartozo barmelysajatvektorai merolegesek egymasra (vagyis a hozzajuk tartozo sajat-alterek ismerolegesek).Az elozo peldaban: s1 · s2 = [ 2
1 ] ·[
1−2
]= 0.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 31 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Pelda (folyt.)
λ2 = −3 ([1 22 −2
]−[−3 0
0 −3
]) [ xy]
=[
00
]⇒
4x + 2y = 0
2x + y = 0
}
y = −2x ⇒ s2 =
[t−2t
]=
[1−2
]t (t 6= 0)
Megjegyzesek
A sajatertekek es sajatvektorok fuggetlenek attol, hogy milyen bazisban felırtmatrixbol szamıtjuk ki oket (invariansak; a definıciobol nyilvanvalo).
Az n × n-es valos szimmetrikus matrixoknak mindig van n db valos sajatertekuk.
A szimmetrikus matrixok kulonbozo sajatertekeihez tartozo barmelysajatvektorai merolegesek egymasra (vagyis a hozzajuk tartozo sajat-alterek ismerolegesek).Az elozo peldaban: s1 · s2 = [ 2
1 ] ·[
1−2
]= 0.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 31 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Megjegyzesek (folyt.)
A sajatertek-egyenlet k -szoros gyokekent adodo sajatertekhez tartozosajat-alter dimenzioja 1-tol k -ig barmi lehet. Ellenorizzuk:
A1 =[
2 0 00 2 00 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;
A2 =[
2 0 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;
A3 =[
2 1 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.
Ha a transzformacionak van n db kulonbozo sajaterteke, akkor van sajatbazisa(minden bazisvektor sajatvektor); ebben a bazisban felırt matrixa diagonalis:
λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...
......
. . ....
0 0 0 ... λn
.(Ha vannak egybeeso sajatertekek, akkor nem biztos; elozo pontban A1-nekvan, A2-nek es A3-nak nincs.)
A szimmetrikus matrixoknak mindig van ortonormalt sajatbazisuk.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 32 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Megjegyzesek (folyt.)
A sajatertek-egyenlet k -szoros gyokekent adodo sajatertekhez tartozosajat-alter dimenzioja 1-tol k -ig barmi lehet. Ellenorizzuk:
A1 =[
2 0 00 2 00 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;
A2 =[
2 0 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;
A3 =[
2 1 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.
Ha a transzformacionak van n db kulonbozo sajaterteke, akkor van sajatbazisa(minden bazisvektor sajatvektor); ebben a bazisban felırt matrixa diagonalis:
λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...
......
. . ....
0 0 0 ... λn
.(Ha vannak egybeeso sajatertekek, akkor nem biztos; elozo pontban A1-nekvan, A2-nek es A3-nak nincs.)
A szimmetrikus matrixoknak mindig van ortonormalt sajatbazisuk.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 32 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Megjegyzesek (folyt.)
A sajatertek-egyenlet k -szoros gyokekent adodo sajatertekhez tartozosajat-alter dimenzioja 1-tol k -ig barmi lehet. Ellenorizzuk:
A1 =[
2 0 00 2 00 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;
A2 =[
2 0 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;
A3 =[
2 1 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.
Ha a transzformacionak van n db kulonbozo sajaterteke, akkor van sajatbazisa(minden bazisvektor sajatvektor); ebben a bazisban felırt matrixa diagonalis:
λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...
......
. . ....
0 0 0 ... λn
.(Ha vannak egybeeso sajatertekek, akkor nem biztos; elozo pontban A1-nekvan, A2-nek es A3-nak nincs.)
A szimmetrikus matrixoknak mindig van ortonormalt sajatbazisuk.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 32 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Megjegyzesek (folyt.)
A sajatertek-egyenlet k -szoros gyokekent adodo sajatertekhez tartozosajat-alter dimenzioja 1-tol k -ig barmi lehet. Ellenorizzuk:
A1 =[
2 0 00 2 00 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;
A2 =[
2 0 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;
A3 =[
2 1 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.
Ha a transzformacionak van n db kulonbozo sajaterteke, akkor van sajatbazisa(minden bazisvektor sajatvektor); ebben a bazisban felırt matrixa diagonalis:
λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...
......
. . ....
0 0 0 ... λn
.(Ha vannak egybeeso sajatertekek, akkor nem biztos; elozo pontban A1-nekvan, A2-nek es A3-nak nincs.)
A szimmetrikus matrixoknak mindig van ortonormalt sajatbazisuk.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 32 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Megjegyzesek (folyt.)
A sajatertek-egyenlet k -szoros gyokekent adodo sajatertekhez tartozosajat-alter dimenzioja 1-tol k -ig barmi lehet. Ellenorizzuk:
A1 =[
2 0 00 2 00 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;
A2 =[
2 0 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;
A3 =[
2 1 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.
Ha a transzformacionak van n db kulonbozo sajaterteke, akkor van sajatbazisa(minden bazisvektor sajatvektor); ebben a bazisban felırt matrixa diagonalis:
λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...
......
. . ....
0 0 0 ... λn
.(Ha vannak egybeeso sajatertekek, akkor nem biztos; elozo pontban A1-nekvan, A2-nek es A3-nak nincs.)
A szimmetrikus matrixoknak mindig van ortonormalt sajatbazisuk.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 32 / 32
Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor
Megjegyzesek (folyt.)
A sajatertek-egyenlet k -szoros gyokekent adodo sajatertekhez tartozosajat-alter dimenzioja 1-tol k -ig barmi lehet. Ellenorizzuk:
A1 =[
2 0 00 2 00 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;
A2 =[
2 0 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;
A3 =[
2 1 00 2 10 0 2
]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.
Ha a transzformacionak van n db kulonbozo sajaterteke, akkor van sajatbazisa(minden bazisvektor sajatvektor); ebben a bazisban felırt matrixa diagonalis:
λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...
......
. . ....
0 0 0 ... λn
.(Ha vannak egybeeso sajatertekek, akkor nem biztos; elozo pontban A1-nekvan, A2-nek es A3-nak nincs.)
A szimmetrikus matrixoknak mindig van ortonormalt sajatbazisuk.
Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 32 / 32