Leccion: Ortogonalidad y Series de Fourier
Dr. Miguel Angel Uh Zapata,Centro de Investigacion en Matematicas, Unidad Merida
Facultad de Matematicas, UADY
Octubre 2015
Miguel Uh — Leccion: Ortogonalidad y Series de Fourier 1/24
Contenido
En esta leccion el alumno conocera las series y los coeficientes deFourier y los usara en la resolucion de ecuaciones diferenciales.
Al final debemos de conocer:
Teoremas de convergencia.
Serie en senos, cosenos y completa.
Diferenciacion e integracion termino a termino.
Aproximacion de una funcion por medio de sus serie deFourier usando Maple.
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Series de Fourier y condiciones iniciales
Durante la solucion de la ecuacion de calor y la ecuacion de onda condiversas condiciones de frontera nos hemos topado que las condicionesiniciales deben de satisfacer series infinitas de la forma
f(x) =a02
+
∞∑k=1
(ak cos(kπx) + bk sen(kπx)) .
donde
ak =
∫ 1
−1f(x) cos(kπx)dx, k = 0, 1, 2, . . .
bk =
∫ 1
−1f(x) sen(kπx)dx, k = 1, 2, 3, . . .
A estas series las llamamos Series de Fourier.
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Definicion: Funciones continuas a trozos
Una funcion f es llamada continua a trozos en el intervalo [a, b] si esta escontinua en todo el intervalo excepto en un numero finito de puntos {xj}donde lımx→x+
jf(x) y lımx→x−
jf(x) existen.
Si asumimos que f una funcion continua a trozos definida en el intervalo[−1, 1], entonces los coeficientes ak y bk de la serie de Fourier estan biendefinidos.
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Suma infinita
Sin embargo en este punto debemos de tener cuidado con la igualdad dela serie infinita
f(x) =a02
+
∞∑k=1
(ak cos(kπx) + bk sen(kπx)) .
Esta significa que la sucesion de sumas parciales
SN (f)(x) =a02
+
N∑k=1
(ak cos(kπx) + bk sen(kπx))
converge a f(x) cuando N →∞.
Como tenemos conocimiento de nuestros cursos de calculo estas series nosiempre convergen. De manera que debemos de estudiar que condicionesse necesitan para obtener esta convergencia y esta igualdad.
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Definicion: La serie de Fourier completa
Definicion
Sea f una funcion continua a trozos definida en el intervalo [−1, 1]. Laserie infinita
f(x) ∼ a02
+
∞∑k=1
(ak cos(kπx) + bk sen(kπx))
se refiere como la serie de Fourier completa de f , donde loscoeficientes ak y bk estan dados por
ak =
∫ 1
−1f(x) cos(kπx)dx, k = 0, 1, 2, . . .
bk =
∫ 1
−1f(x) sen(kπx)dx, k = 1, 2, 3, . . .
El sımbolo ∼ debe ser leido como tiene la serie de Fourier.
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Extensiones a RPeriodicidad
Si g es una funcion p-periodica con perıodo p entonces
g(x+ p) = g(x)
Por otro lado, si g es una funcion definida sobre un intervalo delongitud p entonces este puede ser extendida de manera unica a unafuncion p−periodica definida sobre todo R imponiendo la condiciong(x+ p) = g(x)
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Extensiones a R
OBSERVACIONES:
Las funciones trigonometricas seno y coseno estan definidas sobretodo R, entonces la suma parcial SN (f) tambien puede considerarsecomo una funcion definida sobre todo R.
Desde que las funciones trigonometricas on 2π-periodicas, entonceslas sumas parciales SN (f) son 2-periodicas.
Por lo tanto, si SN (f) converge a f(x) sobre [−1, 1], este convergera a laextension periodica de f sobre todo R.
Entonces las series completas de Fourier pueden ser consideradas ya seacomo una expansion de una funcion definida en [−1, 1] o como unaexpansion de una funcion 2−periodica definida sobre todo R.
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Funciones impares
f(−x) = −f(x)
Ejemplos: x, sen(x)Propiedades: ∫ 1
−1f(x)dx = 0
Extension:Si f es una funcion definida en [0, 1], entonces f puede ser extendida auna funcion impar imponiendo la condicion f(−x) = −f(x)
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Funciones pares
f(−x) = f(x)
Ejemplos: x2, cos(x) Propiedades:∫ 1
−1f(x)dx = 2
∫ 1
−1f(x)dx
Extension:Si f es una funcion definida en [0, 1], entonces f puede ser extendida auna funcion impar imponiendo la condicion f(−x) = f(x)
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Series de funciones impares y pares
Lema
Si f es una funcion impar definida en [−1, 1], entonces
f(x) ∼∞∑k=1
bk sen(kπx) donde bk = 2
∫ 1
0
f(x) sen(kπx)dx, k ≥ 1
Lema
Si f es una funcion par definida en [−1, 1], entonces
f(x) ∼ a02
+
∞∑k=1
ak cos(kπx) donde ak = 2
∫ 1
0
f(x) cos(kπx)dx, k ≥ 0
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La forma complejaLa funcion exponecial compleja
Las series de Fourier pueden ser escritas de forma mas elegante ycompacta introduciendo la funcion exponencial compleja. Entonces siy ∈ R entonces
eiy = cos(y) + i sen(y)
donde i =√−1. Ademas es facil ver que
e−iy = cos(y)− i sen(y)
De manera que obtenemos
cos(y) =1
2
(eiy + e−iy
), sen(y) =
1
2i
(eiy − e−iy
)
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La forma complejaLa serie de Fourier completa
Usando la representacion compleja tenemos
f(x) ∼ a02
+
∞∑k=1
ak1
2
(eikπx + e−ikπx
)+ bk
1
2i
(eikπx − e−ikπx
)y por lo tanto
f(x) ∼∞∑
k=−∞
ckeikπx
donde
ck =1
2(ak − ibk), c0 =
a02, c−k =
1
2(ak + ibk), k > 0
y
ck =1
2
∫ 1
−1f(x)e−ikπxdx
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Cambiando la escalaf definida en [−L,L]
Otra pregunta muy obvia serıa como definir nuestras series de Fourierpara funciones definidas en intervalos diferentes a [−1, 1].
Por ejemplo supongamos que f esta definida en [−L,L] para L > 0.Simplemente re-escalamos el eje x. Definimos una nueva funcion f sobre[−1, 1] por
f(y) = f(yL)
y usando la definicion para f obtenemos
f(y) ∼ a02
+
∞∑k=1
(ak cos(kπy) + bk sen(kπy))
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Cambiando la escalaf definida en [−L,L]
Entonces introduciendo x por y = x/L y f(x) = f(x/L) obtenemos
Sea f una funcion continua a trozos definida en el intervalo [−L,L]. Laserie infinita
f(x) ∼ a02
+
∞∑k=1
(ak cos
(kπx
L
)+ bk sen
(kπx
L
))se refiere como la serie de Fourier completa de f , donde loscoeficientes ak y bk estan dados por
ak =1
L
∫ L
−Lf(x) cos
(kπx
L
)dx, k = 0, 1, 2, . . .
bk =1
L
∫ L
−Lf(x) sen
(kπx
L
)dx, k = 1, 2, 3, . . .
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Ejemplos de desarrollo de series de Fourier
Ejemplo 1
Consideremos f(x) = x para toda x ∈ [−1, 1]
Como es una funcion impar basta con calcular los coeficientes bk:
bk =
∫ 1
−1f(x) sen(kπx)dx, k ≥ 1
= − 1
kπ[x cos(kπx)]1−1 +
1
kπ
∫ 1
−1f(x) cos(kπx)dx
=2
kπ(−1)k+1
Por lo tanto tenemos que
x ∼∞∑k=1
2
kπ(−1)k+1 sen(kπx)
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Ejemplo 1f(x) = x
Si la serie de Fourier converge a x en el intervalo [−1, 1], este converge ala extension sobre todo R.
x ∼∞∑k=1
2
kπ(−1)k+1 sen(kπx)
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Ejemplo 2La funcion signo (salto)
sign(x) =
−1 x < 0,0 x = 0,1 x > 0.
sign(x) ∼ π
4
∞∑k=1
1
2k − 1sen((2k−1)πx)
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Ejemplo 3El valor absoluto
Considerar la siguiente funcion
f(x) = |x|
|x| ∼ 1
2− 4
π2
∞∑k=1
(1
2k − 1
)2
cos((2k−1)πx)
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Diferenciacion de las series de FourierTermino a termino
Una de las aplicaciones importantes de las series de Fourier es resolverecuaciones diferenciales. En esas aplicaciones tıpicamente expresamos loscoeficientes de las series de Fourier de f ′(x) por los terminos de loscoeficientes de f(x).
Asumamos que f ′(x) es una funcion continua a trozos tal que
f ′(x) ∼ α0
2+
∞∑k=1
(αk cos(kπx) + βk sen(kπx))
y similarmente
f(x) ∼ a02
+
∞∑k=1
(ak cos(kπx) + bk sen(kπx))
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Diferenciacion de las series de Fourier
Si pudieramos derivar termino a termino tendrıamos que
αk = kπbk, y βk = −kπak
Sin embargo en general estas identidades no siempre son ciertas. Porejemplo consideremos f(x) = x.
x ∼∞∑k=1
2
kπ(−1)k+1 sen(kπx)
1 ∼ 2
∞∑k=1
2
kπ(−1)k+1 cos(kπx)
Pero la serie de Fourier de una constante es la misma, es decir
1 ∼ 1
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Diferenciacion de las series de Fourier
El siguiente teorema proporciona un criterio para cuando los coeficientesde Fourier de f ′ pueden ser determinados diferenciando termino atermino los coeficientes de la serie de Fourier de f .
Teorema
Asumamos que f es una funcion continua sobre [-1,1], f ′ es una funcioncontinua a trozos y
f(−1) = f(1).
Si las series de Fourier estan dadas por las expresiones anteriores,entonces α0 = 0 y
αk = kπbk, y βk = −kπak
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ConvergenciaDiferentes nociones de convergencia
Existen diferentes nociones de convergencia de secuencias de funciones.Entre estas podemos mencionar:
Definicion: convergencia uniforme
La secuencia {fN} converge uniformemente a f en [a, b] si
lımN→∞
||fN − f ||∞ = 0
donde||g||∞ = sup
x∈[a,b]|g(x)|
Definicion: convergencia puntual
La secuencia {fN} converge puntualmente a f en [a, b] si
lımN→∞
fN (x) = f(x)
para todo x ∈ [a, b].
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Convergencia
Teorema
Sea f una funcion definida sobre [−1, 1] tal que su extension 2-periodicaes continua y diferenciable para todo x ∈ R. Entonces {SN (f)} convergepuntualmente a f en [−1, 1] y por lo tanto la extension periodica de fsobre R.
lımN→∞
fN (x) = f(x)
para todo x ∈ [a, b].
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