Le Variabili CasualiLe Variabili Casuali
Corso di Teoria dell’Inferenza Statistica 1
a.a. 2003/2004 Terzo Periodo
Prof. Filippo DOMMA
Corso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - UniCal
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 2
:X
)(eXe
]1,0[:. rP
)(xpx
Def.8. Variabile Casuale
Una variabile casuale X è una funzione che associa ad ogni evento dello spazio campionario uno ed un solo numero reale secondo una funzione di probabilità.
Def.8. Variabile Casuale
Una variabile casuale X è una funzione che associa ad ogni evento dello spazio campionario uno ed un solo numero reale secondo una funzione di probabilità.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 3
Dunque, una v.c. è una regola (una funzione) che permette di assegnare un valore numerico ad ogni risultato dell’esperimento.
Dalla definizione è evidente che dato uno spazio campionario è possibile costruire infinite v.c. (si osserva che tale funzione non deve essere necessariamente biunivoca).
Dunque, una v.c. è una regola (una funzione) che permette di assegnare un valore numerico ad ogni risultato dell’esperimento.
Dalla definizione è evidente che dato uno spazio campionario è possibile costruire infinite v.c. (si osserva che tale funzione non deve essere necessariamente biunivoca).
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 4
Esercizio 17.
Costruire la v.c. X così definita:
“numero di teste nel lancio simultaneo di tre monete” .
Esercizio 18.
Costruire la v.c. Y così definita:
“numero di coppie consecutive di teste, nel lancio simultaneo
di tre monete” .
Esercizio 19.
Nel lancio simultaneo di tre monete, supponiamo di associare 2 ad ogni testa e -1 ad ogni croce.
Costruire la v.c. W definita come “guadagno netto”.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 5
N.B.: le funzioni di probabilità Pr[X(e)] e Pr(e) sono funzioni diverse ma si può passare dall’una all’altra mediante trasformazione biunivoca.
N.B.: le funzioni di probabilità Pr[X(e)] e Pr(e) sono funzioni diverse ma si può passare dall’una all’altra mediante trasformazione biunivoca.
Costruiamo una v.c. e le corrispondenti probabilità in due fasi:Costruiamo una v.c. e le corrispondenti probabilità in due fasi:
1. Ad ogni evento di si associa uno ed un solo numero reale X(e). Questa operazione definisce una v.c. X.
1. Ad ogni evento di si associa uno ed un solo numero reale X(e). Questa operazione definisce una v.c. X.
2. Ad ogni possibile valore di X(.) si associa una probabilità Pr[X]. Questa operazione definisce la distribuzione di probabilità della v.c. X.
2. Ad ogni possibile valore di X(.) si associa una probabilità Pr[X]. Questa operazione definisce la distribuzione di probabilità della v.c. X.
Si osserva che mentre la regola da adottare è arbitraria in quanto dipende da ciò che vogliamo che la v.c. interpreti, lo stesso non è vero per la determinazione della distribuzione di probabilità Pr[X] in quanto quest’ultima è legata alle probabilità degli eventi elementari Pr[e].
Si osserva che mentre la regola da adottare è arbitraria in quanto dipende da ciò che vogliamo che la v.c. interpreti, lo stesso non è vero per la determinazione della distribuzione di probabilità Pr[X] in quanto quest’ultima è legata alle probabilità degli eventi elementari Pr[e].
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 6
0)( ixf
1)(1
n
iixf
Anziché specificare le singole P[X] si cercherà, ove possibile, di determinare la relazione funzionale che lega queste probabilità, sintetizzata in una funzione f(x). Ciò sarà necessario quando la v.c. X è di tipo continuo o discreto con un numero molto elevato di valori.
Anziché specificare le singole P[X] si cercherà, ove possibile, di determinare la relazione funzionale che lega queste probabilità, sintetizzata in una funzione f(x). Ciò sarà necessario quando la v.c. X è di tipo continuo o discreto con un numero molto elevato di valori.
Posto che nel caso discreto P[X=x]=f(x), diamo la seguentePosto che nel caso discreto P[X=x]=f(x), diamo la seguente
Def. 9.. V.C. discrete.
La v.c. X è una v.c. discreta se assume un numero finito o un’infinità
numerabile di valori x1,x2,…,xn,…. con probabilità rispettivamente f(x1), f(x2),…,f(xn),…. Dove f(x) è detta funzione di probabilità (fp) e soddisfa le seguenti proprietà:
Def. 9.. V.C. discrete.
La v.c. X è una v.c. discreta se assume un numero finito o un’infinità
numerabile di valori x1,x2,…,xn,…. con probabilità rispettivamente f(x1), f(x2),…,f(xn),…. Dove f(x) è detta funzione di probabilità (fp) e soddisfa le seguenti proprietà:
1.1.
2.2.
i=1,2,…,n,...i=1,2,…,n,...
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 7
)( kkr xFxXP
ki xx
ikk xfxfxfxfxF )()(...)()()( 21
In alcuni casi, sarà necessario calcolare la probabilità che X assuma un valore minore o uguale a xk, cioè
In alcuni casi, sarà necessario calcolare la probabilità che X assuma un valore minore o uguale a xk, cioè
Questa funzione è detta funzione di ripartizione (f.r.) ed è uguale a:Questa funzione è detta funzione di ripartizione (f.r.) ed è uguale a:
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 8
0)( F
1)()( FxF n
)()()( 1 iii xfxFxF
)()(lim0
xFxF nn
Proprietà della f.r. F(.):Proprietà della f.r. F(.):
1.1.
2.2.
3.3.
4.4. F(x) è per convenzione continua da destra
F(x) è per convenzione continua da destra
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 9
x 1)(0 xF
La f.r. F(x) è una funzione reale non-decrescente tale cheLa f.r. F(x) è una funzione reale non-decrescente tale che
La rappresentazione di F(x) è una “funzione a gradini”.La rappresentazione di F(x) è una “funzione a gradini”.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 10
dxxfdxxXxPr )( 000
Una v.c. è continua se i valori che essa assume sono contenuti in un intervallo reale. In tale contesto, non è possibile elencare i valori che la v.c. X assume con le rispettive probabilità come nel caso discreto.
Il problema viene superato associando a ciascun punto dell’intervallo in cui è definita X una funzione matematica, f(x), che non è la probabilità, ma è proporzionale (a meno di un infinitesimo) alla probabilità di un intervallo <<sufficientemente piccolo>>, detta funzione di densità.
Una v.c. è continua se i valori che essa assume sono contenuti in un intervallo reale. In tale contesto, non è possibile elencare i valori che la v.c. X assume con le rispettive probabilità come nel caso discreto.
Il problema viene superato associando a ciascun punto dell’intervallo in cui è definita X una funzione matematica, f(x), che non è la probabilità, ma è proporzionale (a meno di un infinitesimo) alla probabilità di un intervallo <<sufficientemente piccolo>>, detta funzione di densità.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 11
x 0)( xf
1)(
dxxf
x )()(
x
dxxfxF
f(x) soddisfa le seguenti proprietàf(x) soddisfa le seguenti proprietà
1.1.
2.2.
Def. 10. Una v.c. viene detta continua se esiste una funzione f(.) t.c. Def. 10. Una v.c. viene detta continua se esiste una funzione f(.) t.c.
dove F(.) e f(.) sono, rispettivamente, la f.r. e la f.d. della v.c. X.
dove F(.) e f(.) sono, rispettivamente, la f.r. e la f.d. della v.c. X.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 12
dx
xdFxf
)()(
Si osservi che data una funzione di ripartizione F(x), la funzione di densità è uguale a
Si osservi che data una funzione di ripartizione F(x), la funzione di densità è uguale a
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 13
dxxfxXE rr )(
j
jrj
r xfxXE )(
Def. 11. Momenti semplici di ordine r.
Se X è una v.c. il momento di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente:
Def. 11. Momenti semplici di ordine r.
Se X è una v.c. il momento di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente:
Nel caso continuo.Nel caso continuo.
Nel caso discretoNel caso discreto
Si osserva che per r=1 si ottiene il valore atteso (aspettativa) di X.Si osserva che per r=1 si ottiene il valore atteso (aspettativa) di X.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 14
dxxfXExXEXE rr )()()(
j
jr
jr xfXExXEXE )()()(
Def. 12. Momenti centrali di ordine r.
Se X è una v.c. il momento centrale di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente:
Def. 12. Momenti centrali di ordine r.
Se X è una v.c. il momento centrale di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente:
Nel caso continuoNel caso continuo
Nel caso discretoNel caso discreto
Si osserva che per r=2 si ottiene la varianza di X.Si osserva che per r=2 si ottiene la varianza di X.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 15
tXe
0h h),(-h, t tXeE
Def. 13. Funzione generatrice dei momenti.Def. 13. Funzione generatrice dei momenti.
Sia X una v.c. con fd (o fp) f(x), l’aspettativa della funzione Sia X una v.c. con fd (o fp) f(x), l’aspettativa della funzione
È detta f.g.m. se esiste il valore atteso È detta f.g.m. se esiste il valore atteso
Verrà indicata con mX(t).Verrà indicata con mX(t).
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 16
dxxfeeEtm txtXX )()(
x
txtXX xfeeEtm )()(
Se X è continua Se X è continua
Se X è discretaSe X è discreta
L’importanza della f.g.m. risiede nel fatto che se esiste allora è possibile determinare tutti i momenti di una distribuzione.
L’importanza della f.g.m. risiede nel fatto che se esiste allora è possibile determinare tutti i momenti di una distribuzione.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 17
dxxfexdxxfedt
d
dt
tmd txrtxr
r
rX
r
)()()(
rrtx
t
rrX
r
tXEdxxfxdxexfx
dt
tmd
)(lim)()(
lim00
Se esiste la f.g.m. è differenziabile con continuità in qualche intorno dell’origine.
Se differenziamo r- volte mX(t) rispetto a t, abbiamo:
Se esiste la f.g.m. è differenziabile con continuità in qualche intorno dell’origine.
Se differenziamo r- volte mX(t) rispetto a t, abbiamo:
Passando al limite, si ha:Passando al limite, si ha:
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 18
Esercizio 20Esercizio 20
Data la v.c. X con fd
xe);x(f con x>0 e >0
Determinare il momento primo e la varianza utilizzando la fgm.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 19
dxxxfXE )(
dxxfxgXgE )()()(
Operatori E(.) e V(.)Operatori E(.) e V(.)
Data una v.c. X l’operatore E(.) non è altro che l’aspettativa di X.Data una v.c. X l’operatore E(.) non è altro che l’aspettativa di X.
Se g(.) è una funzione di X alloraSe g(.) è una funzione di X allora
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 20
costante C ][ CCE
costanti C,C )(][ 212121 XECCXCCE
)]([)]([)]()([ 22112211 XgECXgECXgCXgCE
costanti ,C 21 C
X di funzioni (.)(.),g 21 g
ProprietàProprietà
1.1.
2.2.
3.3.
Esercizio. Dimostrare le proprietà 1,2, e 3.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 21
2 2 )()()()( XEXEdxxfXExXV
2 2 )()( XEXEXV
0)( CV
)(][ 2221 XVCXCCV
L’operatore V(.) definisce la varianza della v.c. X
L’operatore V(.) definisce la varianza della v.c. X
E’ il momento centrale di ordine 2. Si può scrivere come differenza tra il momento secondo e il momento primo al quadrato, cioè
E’ il momento centrale di ordine 2. Si può scrivere come differenza tra il momento secondo e il momento primo al quadrato, cioè
1.1.
2.2.
Se C è costanteSe C è costante
Se C1 e C2 sono costantiSe C1 e C2 sono costanti
Esercizio. Dimostrare le proprietà 1 e 2.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 22
]X[EXY
0]X[E]X[E]X[EXE]Y[E
]X[V]X[EXV]Y[V
Variabile casuale ScartoVariabile casuale Scarto
Data una v.c. X con momento primo E[X] e V(X) entrambe finite, la seguente trasformazione
Data una v.c. X con momento primo E[X] e V(X) entrambe finite, la seguente trasformazione
Definisce la v.c. scarto. E’ immediato verificare che:Definisce la v.c. scarto. E’ immediato verificare che:
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 23
Esercizio 21Sia X una variabile con funzione data da:
a) determinare il valore di k affinché f(x) sia una funzione di densità;
b) calcolare i momenti semplici e centrali di ordine r=2.
3x0 kxxf 2
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 24
)X(V
]X[EXZ
0][)(
1
)(
][][
XEXEXVXV
XEXEZE
1][)(
1
)(
][][
XEXVXVXV
XEXVZV
Variabile casuale StandardizzataVariabile casuale Standardizzata
Data una v.c. X con momento primo E[X] e V(X) entrambe finite, la seguente trasformazione
Data una v.c. X con momento primo E[X] e V(X) entrambe finite, la seguente trasformazione
Definisce la v.c. standardizzata. E’ immediato verificare che:Definisce la v.c. standardizzata. E’ immediato verificare che:
Alcune tra le più note funzioni Alcune tra le più note funzioni di probabilità e di densità.di probabilità e di densità.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 26
x1x )1();x(f
Def. 14. Funzione di probabilità di Bernoulli.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione di Bernoulli se la f.p.di X è data da:
Def. 14. Funzione di probabilità di Bernoulli.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione di Bernoulli se la f.p.di X è data da:
per x=0 oppure x=1, con per x=0 oppure x=1, con
Esercizio 22. Dimostrare che Esercizio 22. Dimostrare che
]1,0[
]X[E )1(]X[V t
X e)1()t(m
Verrà indicata con B(1,)Verrà indicata con B(1,)
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 27
xnx )1(x
n),n;x(f
Def. 15. Funzione di probabilità Binomiale.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Binomiale se la f.p.di X è data da:
Def. 15. Funzione di probabilità Binomiale.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Binomiale se la f.p.di X è data da:
per x=0,1,2,..,n, conper x=0,1,2,..,n, con
Esercizio 23. Dimostrare cheEsercizio 23. Dimostrare che
]1,0[
n]X[E )1(n]X[V
ntX e)1()t(m
ee
)!xn(!x
!n
x
n
Verrà indicata B(n,)Verrà indicata B(n,)
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 28
!x
e);x(f
x
Def. 16. Funzione di probabilità di Poisson.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Poisson se la f.p.di X è data da:
Def. 16. Funzione di probabilità di Poisson.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Poisson se la f.p.di X è data da:
per x=0,1,2,.., conper x=0,1,2,.., con
Esercizio 24. Dimostrare cheEsercizio 24. Dimostrare che
0
][XE ][XV)1()(
teX etm
Verrà indicata con (). Verrà indicata con ().
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 29
Esercizio 25 E’ noto che il 30% dei pezzi difettosi prodotti in una determinata fase produttiva può essere migliorato.a. Qual è la probabilità che almeno 3 di un gruppo di 6 pezzi difettosi possono essere migliorati?b. Qual è la probabilità che nessuno dei 6 pezzi difettosi può
essere migliorato? c. Qual è la probabilità che tutti possono essere migliorati?
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 30
Esercizio 26Il numero medio di denunce in un’ora inoltrate ad una Compagnia di Assicurazioni per smarrimenti è di 3.1. Qual è la probabilità che in una data ora vengono inoltrate:a. meno di 3 denunce?b. esattamente 3 denunce?c. almeno 3 denunce?
d. più di 3 denunce?
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 31
)ab(
1)b,a;x(f
Def. 17. Funzione di densità Uniforme (o rettangolare).
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Uniforme se la f.d.di X è data da:
Def. 17. Funzione di densità Uniforme (o rettangolare).
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Uniforme se la f.d.di X è data da:
perper
Esercizio 27. Dimostrare cheEsercizio 27. Dimostrare che
ba
2
ba]X[E
12
)ab(]X[V
2
t)ab(
ee)t(m
atbt
X
Verrà indicata con U(a,b). Verrà indicata con U(a,b).
bxa concon
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 32
2x
2
1
e2
1),;x(f
Def. 18. Funzione di densità Normale.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Normale se la f.d.di X è data da:
Def. 18. Funzione di densità Normale.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Normale se la f.d.di X è data da:
perper
Esercizio 28. Dimostrare cheEsercizio 28. Dimostrare che
]X[E 2]X[V 2
tt
X
22
e)t(m
Verrà indicata con N(,). Verrà indicata con N(,).
x concon 0 e
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 33
Esercizio 29. Dimostrare che la fd Normale possiede le seguenti caratteristiche:
Esercizio 29. Dimostrare che la fd Normale possiede le seguenti caratteristiche:
1. E’ simmetrica intorno a .1. E’ simmetrica intorno a .
2. E’ unimodale.2. E’ unimodale.
3. Presenta due flessi.3. Presenta due flessi.
4. Al variare di , sopposto costante, la curva si sposta lungo l’asse delle ascisse. Al variare di , supposto costante, la curva diventa leptocurtica (se diminuisce), platicurtica (se aumenta).
4. Al variare di , sopposto costante, la curva si sposta lungo l’asse delle ascisse. Al variare di , supposto costante, la curva diventa leptocurtica (se diminuisce), platicurtica (se aumenta).
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 34
Esercizio 30 Sia Z la v.c. normale standardizzata, calcolare:a) P[Z<0.42] , b) P[Z<-0.42] , c) P[Z>1.69] , d) P[Z<-1.69] ,e) P[-1.2<Z<2.1] , f) P[0.5<Z<0.8] , g) P[-1.62<Z<-0.51] .
Esercizio 31Sia Z la v.c. normale standardizzata, trovare b tale che:a) P[Z<b]=0.975 , b) P[Z<b]=0.305 , c) P[Z>b]=0.025 , d) P[Z>b]=0.8708
Esercizio 32Sia Z la v.c. normale standardizzata, trovare b tale che:a) P[-b<Z<b]=0.75 , b) P[-b<Z<b]=0.8 , c) P[-b<Z<b]=0.99 , d) P[-b<Z<b]=0.98
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 35
Esercizio 33Sia X una v.c. normale con =100 e =8, calcolare:a) P[X<107] , b) P[X<97] , c) P[X>110] , d) P[X>90],e) P[95<X<106] , f) P[103<X<114] , g) P[88<X<100] , h) P[60<X<108] .
Esercizio 34I voti ottenuti all’esame di matematica seguono una distribuzione normale. Il docente decide di dare il giudizio di “ottimo” a coloro che hanno ottenuto un voto superiore a 1.5 del risultato medio e il giudizio “insufficiente” a coloro che hanno ottenuto un risultatoinferiore a del risultato medio. Quale percentuale di studenti ha ottenuto il risultato “ottimo” e quale ha ottenuto il risultato “insufficiente”?
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 36
Esercizio 35Dopo diversi sondaggi un fabbricante di calze da donna arriva alla conclusione che la lunghezza del piede di una donna adulta segue una legge Normale con parametri =24 cm e =3 cm. Decide di utilizzare tale distribuzione per determinare le taglie e le quantità corrispondenti da mettere in produzione. Si chiede:a) in quale percentuale di casi si osserva una lunghezza di piede:
i) superiore rispettivamente a 25, 30, 36 cm;ii) inferiore rispettivamente a 15, 20, 21 cm;
b) determinare i valori di A e B tali che:i) nel 30% dei casi la lunghezza del piede sia superiore ad A;ii) nel 20% dei casi la lunghezza del piede sia inferiore a B;
c) il fabbricante decide di ripartire la produzione su 5 diverse taglie, le quali vengono determinate nel seguente modo:
si prende l’intervallo simmetrico alla media al quale si associa una probabilità del 90%; tale intervallo viene poi suddiviso in tre piccoli intervalli di uguale lunghezza.Determinare :
i) le lunghezze dei piedi che delimitano i diversi intervalli;ii) le quote percentuali messe in produzione per le diverse taglie.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 37
x1a e)x()a(
),a;x(f
Def. 19. Funzione di densità Gamma.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Gamma se la f.d.di X è data da:
Def. 19. Funzione di densità Gamma.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Gamma se la f.d.di X è data da:
perper
Esercizio 36. Dimostrare che Esercizio 36. Dimostrare che
a]X[E 2
a]X[V
a
X t)t(m
Verrà indicata con G(a,). Verrà indicata con G(a,).
0x concon 0 e 0a
0
w1a dwew)a(dovedoveè la funzione matematica Gammaè la funzione matematica Gamma
>t>t
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 38
xe);x(f
Def. 20. Funzione di densità Esponenziale (negativa).
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Esponenziale se la f.d.di X è data da:
Def. 20. Funzione di densità Esponenziale (negativa).
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Esponenziale se la f.d.di X è data da:
perper
Esercizio 37. Dimostrare cheEsercizio 37. Dimostrare che
1
][ XE 2
1][
XV
ttmX
)(
Verrà indicata con Exp(). Verrà indicata con Exp().
0x concon 0
Osservazione: se nella fd Gamma si pone a=1 si ottiene la fd Esponenziale. Cioè Exp()=G(1,)
Osservazione: se nella fd Gamma si pone a=1 si ottiene la fd Esponenziale. Cioè Exp()=G(1,)
>t>t
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 39
1q1p )x1(x)q,p(B
1)q,p;x(f
Def. 21. Funzione di densità Beta.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Beta se la f.d.di X è data da:
Def. 21. Funzione di densità Beta.
Si dice che la v.c. X ha distribuzione Beta se la f.d.di X è data da:
perper
Esercizio 38. Dimostrare cheEsercizio 38. Dimostrare che
qp
p]X[E
)1qp()qp(
pq]X[V
2
Verrà indicata con B(p,q). Verrà indicata con B(p,q).
]1,0[x concon 0q e 0p
Dove B(p,q) è la funzione matematica Beta così definita:
Dove B(p,q) è la funzione matematica Beta così definita:
)qp(
)q()p(dx)x1(x)q,p(B
1
0
1q1p
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 40
Funzioni di densità (o di probabilità) congiunte.Funzioni di densità (o di probabilità) congiunte.
Nel caso in cui su uno stesso spazio campionario si definiscono più funzioni allora si è in presenza di v.c. multiple.
Nel caso in cui su uno stesso spazio campionario si definiscono più funzioni allora si è in presenza di v.c. multiple.
Dato uno spazio campionario , riferito ad un dato esperimento, supponiamo di costruire:
- una prima regola, X, che associa ad ogni elemento di un numero reale, x;
- una seconda regola, Y, che associa ad ogni evento di un numero reale, y;
successivamente, calcoliamo le probabilità del contemporaneo verificarsi delle coppie (x,y).
Dato uno spazio campionario , riferito ad un dato esperimento, supponiamo di costruire:
- una prima regola, X, che associa ad ogni elemento di un numero reale, x;
- una seconda regola, Y, che associa ad ogni evento di un numero reale, y;
successivamente, calcoliamo le probabilità del contemporaneo verificarsi delle coppie (x,y).
:X :Y)(eXe )(eYe yYxXPr ,
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 41
YX
y1 y2 …. yj ….. yr
x1 p11 p12 …. p1j …. p1r p1
x2 p21 p22 …. p2j …. p2r p2
…. …. …. …. …. …. …. ….xi pi1 pi2 …. pij …. pir pi
…. …. …. …. …. …. …. ….xs ps1 ps2 …. psj …. psr ps
p1 p2 …. pj …. pr 1
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 42
jirij yY;xXPp dovedove
r
jiji pp
1
s
iijj pp
1
Inoltre,Inoltre,
Sono le probabilità marginali, rispettivamente, di X e di Y.Sono le probabilità marginali, rispettivamente, di X e di Y.
È la probabilità del contemporaneo verificarsi della coppia di modalità (xi,yj).
È la probabilità del contemporaneo verificarsi della coppia di modalità (xi,yj).
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 43
Def. 22. Si chiama funzione di probabilità congiunta delle v.c. discrete X ed Y la funzione
Def. 22. Si chiama funzione di probabilità congiunta delle v.c. discrete X ed Y la funzione
yYxXPyxf r ,),(
Che soddisfa le seguenti proprietà Che soddisfa le seguenti proprietà
y)(x, 0y)f(x, )1
1y)f(x, )2x y
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 44
Da f(x,y) è possibile determinare le f. di p. marginali di X e di Y, cioè Da f(x,y) è possibile determinare le f. di p. marginali di X e di Y, cioè
y
yxfxf ),()( x
yxfyf ),()(
E quelle condizionateE quelle condizionate
)(
),()/(
yf
yxfyxf
)(
),()/(
xf
yxfxyf
0)( yf
0)( xf
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 45
Def. 23. Si chiama funzione di densità congiunta delle v.c. continue X ed Y la funzione
Def. 23. Si chiama funzione di densità congiunta delle v.c. continue X ed Y la funzione
),( yxf
avente le seguenti proprietà avente le seguenti proprietà
y)(x, 0y)f(x, )1
1dxdyy)f(x, )2x y
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 46
Condizione di indipendenzaCondizione di indipendenza
Def. 24. Due v.c. X ed Y sono indipendenti se e solo se una delle seguenti condizioni è soddisfatta
Def. 24. Due v.c. X ed Y sono indipendenti se e solo se una delle seguenti condizioni è soddisfatta
y)(x, )()(),( )1 yfxfyxf
y)(x, )()/( )2 xfyxf
y)(x, )()/( )3 yfxyf
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 47
Momenti misti di ordine k+mMomenti misti di ordine k+m
Def. 25. Siano X ed Y due v.c. con fd ( o fp) congiunta f(x,y), è chiamato momento misto di ordine k+m la quantità:
Def. 25. Siano X ed Y due v.c. con fd ( o fp) congiunta f(x,y), è chiamato momento misto di ordine k+m la quantità:
dxdyyxfyxYXE mkmkmk ),(,
x y
mkmkmk yxfyxYXE ),(,
nel caso continuo.nel caso continuo.
nel caso discreto.nel caso discreto.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 48
Analogamente, i momenti misti della v.c. scarto sonoAnalogamente, i momenti misti della v.c. scarto sono
mkmk YEYXEXE )()(,
dxdyyxfyx mk ),()()( 0110
nel caso continuo. nel caso continuo.
mkmk YEYXEXE )()(,
x y
mk yxfyx ),()()( 0110
nel caso discreto.nel caso discreto.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 49
Si osservi cheSi osservi che 10,0 kk XE 0, mm YE ,0
XV 0,2 YV 2,0
Se X ed Y sono indipendenti alloraSe X ed Y sono indipendenti allora mkmk ,00,,
dxdyyxfyxYXE mkmkmk ),(,
dxdyyfxfyx mk )()( mkmk dyyfydxxfx 00,)()(
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 50
Def. 26. Valore Atteso Condizionato.
Sia (X,Y) una v.c. bidimensionale con fd congiunta f(x,y) e sia g(.,.) una funzione di due variabili. Il valore atteso condizionato di g(X,Y) dato che X=x è definito dalla seguente
Def. 26. Valore Atteso Condizionato.
Sia (X,Y) una v.c. bidimensionale con fd congiunta f(x,y) e sia g(.,.) una funzione di due variabili. Il valore atteso condizionato di g(X,Y) dato che X=x è definito dalla seguente
dyxyfyxgxXYXgE )/(),(/),(
N.B. Dato che effettuiamo l’integrale definito rispetto a y tale quantità è funzione di x.
N.B. Dato che effettuiamo l’integrale definito rispetto a y tale quantità è funzione di x.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 51
Def. 27. Varianza Condizionata.
La varianza di Y dato X=x è definita da:
Def. 27. Varianza Condizionata.
La varianza di Y dato X=x è definita da:
22 /// xXYExXYExXYV
Dove si è posto nella definizione precedente g(X,Y)=Y2 e g(X,Y)=Y per definire, rispettivamente, il momento secondo ed il momento primo di Y dato che X=x.
Dove si è posto nella definizione precedente g(X,Y)=Y2 e g(X,Y)=Y per definire, rispettivamente, il momento secondo ed il momento primo di Y dato che X=x.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 52
Teo. 10. Sia (X,Y) una v.c. bidimensionale con fd congiunta f(x,y) alloraTeo. 10. Sia (X,Y) una v.c. bidimensionale con fd congiunta f(x,y) allora
xXYgEEYgE X /)()(
in particolare in particolare
xXYEEYE X /
Dimostrazione.Dimostrazione.
dxxfxXYgExXYgEEX )(]/)([/)(
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 53
dxxfdyxyfyg )()/()(
dxdyxfxyfyg )()/()(
dxdyxyfyg ),()(
dydxxyfyg ),()(
)()()( YgEdyyfyg
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 54
Teo. 11.Teo. 11. X/YEVX/YVE)Y(V X
Dimostrazione.Dimostrazione.
22XX X/YEX/YEEX/YVE
2X
2X X/YEEX/YEE
2X
2 X/YEEYE
22X
22 YEX/YEEYEYE
2X2
X X/YEEX/YEEYV
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 55
PostoPosto X/YEh
2X
2XX )h(EhE)Y(VX/YVE
2X
2X )h(EhE)Y(V
X/YEV)Y(VhV)Y(V
)/()(/ XYEVYVXYVEX
X/YEVX/YVE)Y(V X Da cuiDa cui
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 56
CovarianzaCovarianza
La covarianza è una misura della strettezza del legame lineare tra due v.c. X ed Y. Supposto che esistano sia i momenti primi di X e di Y che il momento primo misto, la covarianza è definita da
La covarianza è una misura della strettezza del legame lineare tra due v.c. X ed Y. Supposto che esistano sia i momenti primi di X e di Y che il momento primo misto, la covarianza è definita da
dxdy)y,x(f)y)(x()Y,X(Cov 1,00,1
x y
1,00,1 )y,x(f)y)(x()Y,X(Cov
Nel caso continuoNel caso continuo
Nel caso discretoNel caso discreto
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 57
Teo. 12. La covarianza si può scrivere come differenza tra il momento primo misto e il prodotto dei momenti primi.
Teo. 12. La covarianza si può scrivere come differenza tra il momento primo misto e il prodotto dei momenti primi.
)Y)(X(E)Y,X(Cov 1,00,1
)Y(E)X(E)XY(E
1,11,00,11,1
Dimostrazione. EsercizioDimostrazione. Esercizio
Osservazione: Osservazione: 0Y)Cov(X, YX se
Y X 0Y)Cov(X, se generale,In
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 58
Esercizio 31. Dimostrare che se W=a+bX e se Z=c+dY allora Esercizio 31. Dimostrare che se W=a+bX e se Z=c+dY allora
)Y,X(bdCov)Z,W(Cov
Teo. 13. Disuguaglianza di Cauchy-Swartz.
Siano X ed Y due v.c. con momenti secondi finiti, allora
Teo. 13. Disuguaglianza di Cauchy-Swartz.
Siano X ed Y due v.c. con momenti secondi finiti, allora
)Y(V)X(V)Y,X(Cov 2
Dimostrazione. Esercizio. Dimostrazione. Esercizio.
Inoltre,Inoltre, )Y(V)X(V)Y,X(Cov 2
Se e solo se tra X ed Y vi è una perfetta relazione lineare.
Se e solo se tra X ed Y vi è una perfetta relazione lineare.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 59
)Y(V)X(V)Y,X(Cov)Y(V)X(V
Dalla dis. Di C-S si costruisce l’indice di correlazioneDalla dis. Di C-S si costruisce l’indice di correlazione
1)Y(V)X(V
)Y,X(Cov1 1)Y,X(1
Esercizio 32. Dimostrare che se W=a+bX e se Z=c+dY alloraEsercizio 32. Dimostrare che se W=a+bX e se Z=c+dY allora
)Y,X()Z,W(
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 60
Esercizio 39 La v.c. doppia (X,Y) segue una distribuzione di probabilità discreta rappresentata dalla tavola seguente:
X Y
1 2 3
2 1/12 1/6 1/12 1/3 3 1/6 0 1/6 1/3 4 0 1/3 0 1/3 1/4 1/2 1/4 1
Calcolare :f(x); f(y); f(x/y=2); f(x/y=3); f(x/y=4); f(y/x=1); f(y/x=2); f(y/x=3);E(X); E(Y); E(X/Y=2); E(X/Y=3); E(X/Y=4); E(Y/X=1); E(Y/X=2); E(Y/X=3); V(X); V(Y); V(X/Y=2); V(X/Y=3); V(X/Y=4); V(Y/X=1); V(Y/X=2); V(Y/X=3); Cov(X,Y); (X,Y).Verificare se X ed Y sono indipendenti.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 61
Esercizio 40La v.c. doppia (X,Y) ha fd data da:
altrove 0
0<y e 0< xke)y,x(f
)yx(
a) determinare il valore della costante k;b) Calcolare le fd marginali e condizionali;c) Verificare se le v.c. X ed Y sono tra loro indipendenti.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 62
Esercizio 41La v.c. doppia (X,Y) ha come fd congiunta:
altrove 0
1<y<0 1,<x<0 xy4y,xf
a) calcolare E(X), E(Y), V(X), V(Y), V(X/Y), V(Y/X);b) calcolare la Cov(X,Y) e (X,Y).c) dire se X e Y sono indipendenti.
Esercizio 42Se X=Z+W e Y=T+W, essendo le v.c. Z,T,W tra loro incorrelate e con varianza costante, si dimostri che (X,Y)=1/2.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 63
Normale Bi-dimensionale.Normale Bi-dimensionale.
Def. 28. Si dice che la v.c. (X,Y) ha distribuzione Normale Bidimensionale se presenta la seguente fd congiunta
Def. 28. Si dice che la v.c. (X,Y) ha distribuzione Normale Bidimensionale se presenta la seguente fd congiunta
2yx
yxyx12
1),,,,;y,x(f
2
y
y
y
y
x
x
2
x
x2
yyx2
x
)1(2
1exp
concon[-1,1] e 0 ,0 , , yxyx
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 64
Caratteristica importante di tale distribuzione è la seguente: Caratteristica importante di tale distribuzione è la seguente:
YX 0)Y,X( se
Dimostrazione. Se r=0 la fd congiunta si riduce a Dimostrazione. Se r=0 la fd congiunta si riduce a
yxyxyxyxf
2
1),,,;,(
22
2
1exp
y
y
x
xyx
Quest’ultima coincide con la fattorizzazione delle fd marginali di X e di YQuest’ultima coincide con la fattorizzazione delle fd marginali di X e di Y
),;(),,( yyxx yfxf
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 65
Si dimostra che data una v.c. normale bivariata (X,Y), le fd marginali sono ancora normali, cioè:
Si dimostra che data una v.c. normale bivariata (X,Y), le fd marginali sono ancora normali, cioè:
),;(),,,,;,( xxyxyx xfdyyxf
),;(),,,,;,( yyyxyx yfdxyxf
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 66
Nello stesso contesto, anche le distribuzioni condizionate di X dato che Y=y e di Y dato che X=x sono normali con parametri, rispettivamente, dati da
Nello stesso contesto, anche le distribuzioni condizionate di X dato che Y=y e di Y dato che X=x sono normali con parametri, rispettivamente, dati da
)(/ yy
xx yyYXE
)1(/ 22 xyYXV
)(/ xx
yy xxXYE
)1(/ 22 yxXYV
ee
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 67
In altri termini, abbiamoIn altri termini, abbiamo
)(
),()/(
yf
yxfyxf
)1( ),(~/ 22xy
y
xx yNyYX
)(
),()/(
xf
yxfxyf
)1( ),(~/ 22yx
x
yy xNxXY
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 68
Teo. 14. Siano X ed Y due v.c. con fd (o fp), rispettivamente pari a f(x) e f(y), dotate di fgm mx(t) e mY(t). Se mx(t)=mY(t) allora le v.c. X ed Y hanno fd (o fp) uguali.
Teo. 14. Siano X ed Y due v.c. con fd (o fp), rispettivamente pari a f(x) e f(y), dotate di fgm mx(t) e mY(t). Se mx(t)=mY(t) allora le v.c. X ed Y hanno fd (o fp) uguali.
Esempio.Esempio.
),1(~ BWi i=1,…,n, i.i.d. con i=1,…,n, i.i.d. con tW etmi
)1()(
Determinare la distribuzione diDeterminare la distribuzione di
n
iiWY
1
n
i
tWWt
tYY
i
n
ii
eEeEeEtm1
1)(
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 69
ntn
i
tn
i
tW eeeE i
)1()1(11
Quest’ultima coincide con la fgm della Binomiale quindi, sulla base del teorema precedente, concludiamo che
Quest’ultima coincide con la fgm della Binomiale quindi, sulla base del teorema precedente, concludiamo che
),(~ nBY
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 70
Esempio.Esempio.)(~ ExpiX
I=1,…,n, i.i.d. conI=1,…,n, i.i.d. con
t
tmiX )( >t>t
n
iiXY
1
Vogliamo determinare la distribuzione diVogliamo determinare la distribuzione di
nn
i
n
i
tXtYY tt
eEeEtm i
11
)(
n),G( ~ 1
n
iiXY
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 71
Def. 29. Valore atteso.
Sia (X1,…,Xk) una v.c. k-dimensionale con densità f(x1,…,xk). Il valore atteso di una funzione g(.,…,.) della v.c. (X1,…,Xk) è definito da:
Def. 29. Valore atteso.
Sia (X1,…,Xk) una v.c. k-dimensionale con densità f(x1,…,xk). Il valore atteso di una funzione g(.,…,.) della v.c. (X1,…,Xk) è definito da:
kkkk dxdxxxfxxgXXgE ...),...,(),...,(....),...,( 1111
Teo. 15. Siano X1,…,Xn n v.c. e siano gj(X1,…,Xn), j=1,…,m, m funzioni delle n v.c., allora
Teo. 15. Siano X1,…,Xn n v.c. e siano gj(X1,…,Xn), j=1,…,m, m funzioni delle n v.c., allora
m
jkjj
m
jkjj XXgEcXXgcE
11
11 ),...,(),...,(
dove c1,…,cm sono costanti reali.dove c1,…,cm sono costanti reali.
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 72
Corollario. Corollario.
m
jjj
m
jjj XEcXcE
11
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 73
Teo. 16. Siano X1,…,Xn n v.c., alloraTeo. 16. Siano X1,…,Xn n v.c., allora
n
1
n
1j1
2
1
),(jii
jiji
n
iii
n
iii XXCovccXVcXcV
Corollario. Se le Xi, i=1,…,n sono indipendenti alloraCorollario. Se le Xi, i=1,…,n sono indipendenti allora
n
iii
n
iii XVcXcV
1
2
1
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 74
Proprietà Riproduttiva.Proprietà Riproduttiva.
Siano X1,…,Xn n v.c. indipendenti (ma non identicamente distribuite) con fd f(x;1),…,f(x;n) e supponiamo che le fgm esistano finite m(t;1),…,m(t;n).
Siano X1,…,Xn n v.c. indipendenti (ma non identicamente distribuite) con fd f(x;1),…,f(x;n) e supponiamo che le fgm esistano finite m(t;1),…,m(t;n).
n
iiXX
1
Si dice che la v.c.Si dice che la v.c.
È riproduttiva rispetto al parametroÈ riproduttiva rispetto al parametro
n
ii
1
Se la corrispondente fgm è del tipoSe la corrispondente fgm è del tipo
);(...);();();( 21 ntmtmtmtm
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 75
Teorema Limite CentraleTeorema Limite Centrale
Siano X1, X2,…,Xn,… una successione di v.c. iid con valore atteso e varianza finite, la v.c.
Siano X1, X2,…,Xn,… una successione di v.c. iid con valore atteso e varianza finite, la v.c.
n
ii
n
nnn X
nSV
SESZ
1
)(1
dovedove
n
iin XS
1
al divergere di n, converge in distribuzione alla v.c. N(0,1), cioè
al divergere di n, converge in distribuzione alla v.c. N(0,1), cioè
02
200
2
1)(lim
z u
nrn
duezzZP
F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 76
Riferimenti Bibliografici.
- G. Cicchitelli (1984), “Probabilità e Statistica”. Maggioli Editore. Rimini. [C].
- A.M.Mood, F. Graybill e D.C. Boes (1988), “Introduzione alla Statistica”, McGraw-Hill, Milano. [MGB].
- D. Piccolo e C. Vitale (1984), “Metodi Statistici per l’analisi economica”. Il Mulino, Bologna. [PV].
- R. Orsi (1985), “Probabilità ed Inferenza Statistica”, Il Mulino, Bologna. [O].
- D. Piccolo (2000), “Statistica”, il Mulino, Bologna. [P].