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La livellazione trigonometrica
Università degli studi di BresciaFacoltà di Ingegneria
Corso di Topografia A – Nuovo Ordinamento
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Dislivello tra i punti A e B:•Differenza delle quote corrispondenti (quota del punto avanti meno quota del punto indietro)
•Il dislivello è un segmento orientato
Livellazione:•Operazione di misura del dislivello (la misura diretta delle quote non èpraticata di norma in topografia)
Metodi di misura del dislivello:•Livellazioni che non richiedono la conoscenza della distanza tra i punti
•Livellazioni che richiedono la conoscenza della distanza tra punti
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Livellazione “dipendente” dalla distanza tra A e B
•Necessaria (speditiva) per quotare i punti trigonometrici e più in generali punti di reti d’appoggio, quindi per operare su distanze chilometriche
•La distanza viene misurata in genere sulla cartografia o con GPS, la misura con distanziometri risulta poco precisa o impossibile su distanze elevate.
Livellazione con teodolite:•Si effettua misurando gli angoli nel piano verticali, detti “distanze zenitali”
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Ipotesi:•Operazioni e calcoli sulla sfera locale (il campo topografico “altimetrico” ètroppo limitato per gli scopi della livellazione trigonometrica)
•La traiettoria luminosa sui punti si mantiene rettilinea
•E’ nota la distanza topografica ridotta alla superficie di riferimento (SFERA LOCALE)
•E’ nota la distanza topografica ridotta alla superficie di riferimento (SFERA LOCALE)
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Ipotesi:•Il raggio della sfera locale adottato nei calcoli è ottenuto dai valori medi della grannormale e del raggio della sezione meridiana:
NR ⋅= ρ•Si misurino le due distanze zenitali reciproche ZA e ZB
ZA
ZB
•E’ possibile esprimere una relazione tra QA e QB applicando il teorema di Nepero al triangolo AOB
2)(400
)2
(
)()()()(
BAg
AB
AB
AB
ZZtg
ZZtg
RQRQRQRQ
+−
−
=++++−+
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Teorema di Nepero•La somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti sta alla tangente della loro semidifferenza
βα
βα sensen
ba
senb
sena
====>=
Dimostrazione:•Dal teorema dei seni
βαβα
sensensensen
baba
−+
=−+
•Componendo e somponendo si ottiene la forma
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Teorema di Nepero•Applicando le formule di prostaferesi
...
2cos
22
2cos
22
=+−
⋅
−+⋅
=−+
βαβα
βαβα
sen
sen
baba
2
222
... βα
βαβαβα
−
+
=−+
=tg
tgctgtg
2
2βα
βα
−
+
=−+
tg
tg
baba
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
ZA
ZBNel caso in esame, fatte le posizioni
a=QB+R; b=QA+R;
;200 ;200 gg
BA ZZ −=−= βα
;2
)(4002
BAg ZZ +−
=+ βα
;22
AB ZZ −=
− βα
E tenendo conto che ;πδβα =++
e quindi
BAg ZZ +=+ δ200
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
ZA
ZB
...
2100
2)2(
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=++
−δg
AB
BA
AB
tg
ZZtg
RQQQQ
Si può scrivere:
Considerando che
Rd
=δ
si accetta l’approssimazione
22δδ
=tg
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=22
... δtgZZtg AB
è in genere molto piccolo
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
ZA
ZB
2BA
MQQQ +
=
Inoltre, data la quota media dei due punti:
si giunge alla:
22)(2δ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+⋅
− AB
M
AB ZZtgRQ
e ancora (ricorda: δ=d/R):
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
−21
AB
M
AB ZZtgRd
RQR
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
ZA
ZBe in fine alla:
)(211 AB
MAB ZZtg
RQdQQ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=−
Osservazioni:•Le distanze zenitali devono essere “reciproche”, cioè misurate da due soli punti, che fungono da punto di stazione e punto di collimazione allo stesso tempo
•Il metodo è oneroso dal punto di vista logistico: due strumenti, due operatori esperti per l’esecuzione contemporanea di 2 misure
•Il caso più frequente vede l’esecuzione di una sola misura angolare (ZA e ZB sono evidentemente correlate tra loro)
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Lettura dall’estremo A•Poiché ora ZB si esprime come:
la formula per il calcolo del dislivello assume la forma
e con qualche semplice trasformazione…
ZA
AAB ZRdZZ −+=−+=
gg
200200 δ
)2200(211 A
gMAB Z
Rdtg
RQdQQ ⋅−+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=−
)2
(1RdZctg
RQdQQ A
MAB +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=−
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Lettura dall’estremo A•Si noti che il valore QM/R è molto piccolo e può in genere essere trascurato
ZA
Osservazione•In realtà l’ipotesi iniziale circa la rettilineitàdel raggio ottico congiungente i due punti non è verificata a causa del fenomeno della
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
La rifrazione atmosferica•La densità dell’aria diminuisce con la quota e con la densitàdiminuisce il coefficiente di rifrazione (K)
•Il raggio ottico si propaga in un mezzo con indice di rifrazione variabile e subisce continue rifrazioni, tanto che la sua traiettoria diviene una linea curva
•L’angolo zenitale misurato, o angolo apparente, non corrisponde a quello reale
RdKK
Z
AAA
AAA
22⋅=⋅=
+=δε
εϕ
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
La rifrazione atmosferica•L’espressione generale diventa
espressione valida per d > 2 km
)2
1(1 dRKctg
RQdQQ A
MAB ⋅
−+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=− ϕ
In alternativa, ricorrendo agli sviluppi in serie di Taylor per la cotangente e considerando che la distanza zenitale è sempre prossima 100g si giunge alla forma:
2
211 d
RKctg
RQdQQ A
MAB ⋅
−+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=− ϕ
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
La rifrazione atmosferica
espressione valida per d < 2 km
L’ultimo termine della formula ètrascurabile fino a 0,5 km: e vale 17mm a 500m
2
211 d
RKctg
RQdQQ A
MAB ⋅
−+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=− ϕ
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Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Osservazioni conclusive•Le relazioni ricavate forniscono il dislivello tra il centro del teodolite e il segnale colimato
•Per riportarsi ai punti a terra basta aggiungere il termine(hstr-hpr)
•L’errore di misura dei dislivelli trigonometrici cresce proporzionalmente alla distanza d per distanze modeste.
•L’errore di misura dei dislivelli trigonometrici cresce proporzionalmente al quadrato della distanza d per i percorsi più lunghi
•Possibili fonti di errore: K, f, d, anche se oggi non esiste praticamente più l’errore di misura della distanza…
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Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
Livellazione “dipendente” dalla distanza tra A e B
•Impiegata nella misura di dislivelli per scopo cartografico:
– Rilievi di dettaglio– Vertici di poligonali topografiche
Livellazione con “tacheometro”:•Il tacheometro non è altro che un teodolite di scarsa precisione (1C)
•Distanze massime di qualche centinaio di metri
•Distanze massime di qualche centinaio di metri
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Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
Livellazione “dipendente” dalla distanza tra A e B•Impiegata nella misura di dislivelli per scopo cartografico:
– Rilievi di dettaglio– Vertici di poligonali topografiche
Livellazione con “tacheometro”:•Il tacheometro non è altro che un teodolite di scarsa precisione (1C)
•Distanze massime di qualche centinaio di metri
•Distanze massime di qualche centinaio di metri
IN DISUSO, METODO STORICO DA CELERIMENSURA
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Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
Livellazione “dipendente” dalla distanza tra A e B•Stadia verticale in B•Si eseguono 3 letture sulla stadia (in corrispondenza ai tratti del reticolo distanziometrico) L,L1 e L2
•Si misura la distanza zenitale f sul cerchio verticale•Si rileva l’altezza strumentale h
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Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
Con semplici considerazioni geometriche, dalla figura:
0000 lctgdhlqLBBBQQ OABAB −⋅+=−+==−=Δ ϕδ
Come si calcola la distanza d?
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Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
La distanza è calcolata con distanziometri EODM disponendo di prisma riflettente posto ad altezza da terraIn realtà viene misurata la distanza inclinata d’ e da questa si risale alla distanza ridotta all’orizzontale
ϕsendd ⋅= '
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Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
La forma finale è la seguente:
0cos' ldhQQ ABAB −⋅+=−=Δ ϕSi ottengono SQM di qualche cm su distanze di 100 metri.L’errore è minimo con visuale orizzontale e supera il decimetro con visuali inclinate.
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Precisione della livellazione trigonometrica
Grandezze in gioco:
ϕσσσ , , Kd Errori (scarti) quadratici medi sulla misura della distanza d, sulla stima del coefficiente di rifrazione K e sulla misura dell’angolo zenitale f
Δσ
NOTE:
INCOGINTA:
Errore (scarto) quadratico medio sul calcolo del dislivello DAB
Si ottiene partendo dall’espressione semplificata (valida per distanze inferiori a 2 km)
2
211 d
RKctg
RQdQQ A
MAB ⋅
−+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=− ϕ
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Precisione della livellazione trigonometrica
2
211 d
RKctg
RQdQQ A
MABAB ⋅
−+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=−=Δ ϕ
Operando le derivate rispetto alle quantità che rappresentano i fattori di incertezza:
22
2
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
−+≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂Δ∂ d
RKctg
d AAB ϕ
222
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂Δ∂
Rd
KAB
22
2
21 d
sen AA
AB ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Δ∂
ϕϕ
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Precisione della livellazione trigonometrica
Considerando che
02
1 2
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
− dRK
E che le visuali sono prossime a 100g (quindi senf 1),si ottiene
...2
22222
222 =⋅+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=Δ ϕσσσϕσ d
Rdctg kdA
.4
... 222
2
2
222
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅+⋅⋅= ϕσσσϕ k
dA R
dd
ctgd
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La livellazione trigonometrica: il problema dei fari
Si consideri la situazione seguente
•Quanto vale l’angolo zenitale in A e quanto la distanza massima AB=d perché sia possibile la collimazione di B da A?
•Stazione sul colle Maddalena a Brescia
•Quota del punto di stazione 700 metri sulla pianura padana (supposta a quota nulla per semplicità)
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La livellazione trigonometrica: il problema dei fari
Il problema presenta due incognite, servono pertanto due equazioni
•Dati:R=6378 Km K=0,15
QA= 700 m QB= 0 m
A B
2
211 d
RKctg
RQdQQ A
MABAB ⋅
−+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=−=Δ ϕ
B A
2
211 d
RKctg
RQdQQ B
MBABA ⋅
−+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=−=Δ ϕ
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La livellazione trigonometrica: il problema dei fari
Si accetta l’approssimazione fB=100g
e mettendo a sistema le due relazioni precedenti si ha
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅⋅
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=−=
⋅⋅
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=−=−
2
2
6378000285.0
63780003501700
6378000285.0
63780003501700
dctgdQQ
dctgdQQ
BBA
AAB
ϕ
ϕ
Dalla seconda
kmd 494.10285.0
637827.0=
⋅⋅=
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La livellazione trigonometrica: il problema dei fari
Dalla seconda equazione del sistema:
210249463780002
85.06378000
3501102494700 ⋅⋅
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=− Actgϕ
e quindi
013658638.0−=Actgϕ
Aggg
arcctgϕ==+−
=−
8695.1002001305.99)013658638.0(
Rifrazione atmosferica
gonrad
RdKK
0767.0001205245.063780002
10249415.022
==
=⋅
⋅=⋅=⋅=δε