ANALISIS REAL IIKelompok 8
ANGGOTA KELOMPOK: Anzi Lina Ukhtin Nisa (135090401111012) Umi Fauziyah (135090401111040) Nafi’atuz Zahro (135090407111014) R. M. Racel Purnomo (135090407111016)
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
BARISAN FUNGSI
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Diberikan barisan dari fungsi-fungsi kontinu pada Jika seragam pada , maka kontinu pada .
Teorema 10.4.1.
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Bukti:
Diberikan sebarang Karena seragam, maka terdapat sedemikian sehingga untuk setiap berlaku ;
(10.19)
untuk setiap
Ambil sebarang karena kontinu pada untuk setiap maka terdapat sedemikian sehingga untuk setiap dengan berlaku ;
(10.20)
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Berdasarkan (10.19) dan (10.20) maka untuk setiap dengan dan setiap berlaku ;
+ += .
Terbukti kontinu di titik . Karena sebarang, maka kontinu pada
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Jika deret fungsi-fungsi kontinu konvergen seragam ke fungsi jumlah pada maka kontinu pada
Teorema 10.4.2.
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Bukti :
Deret dikatakan konvergen seragam ke fungsi jika barisan fungsi konvergen seragam ke
Diketahui deret konvergen untuk setiap berlaku Menurut Teorema Cauchy, barisan konvergen
seragam pada . Terbukti bahwa deret konvergen seragam pada
Diketahui kontinu maka , berlaku
kontinu. Karena kontinu dan
berlaku juga untuk
konvergen seragam ke fungsi , menurut definisi konvergen ke fungsi , untuk setiap berlaku
|– |<
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Akan dibuktikan kontinu pada | |
Terbukti kontinu di titik Karena sebarang, maka kontinu pada .
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Contoh 10.4.3.
Diberikan deret fungsi kontinu pada , dengan
, di mana adalah jarak ke bilangan bulat yang terdekatJika , buktikan kontinu pada .
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Bukti :
Pertama perhatikan terlebih dulu bentuk fungsi pembilang, yaitu bahwa
Jadi
Katakan , sehingga
Karena kontinu pada , maka kontinu pada
Karena dan deret bilangan konvergen,
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
maka menurut Teorema 10.3.2., deret konvergen seragam pada Dengan demikian menurut Teorema 10.4.1. fungsi jumlah kontinu pada .
Dimisalkan seragam pada dan titik limit . Jika untuk setiap (10.21) maka barisan konvergen.dan(10.22) atau dengan kata lain(10. 23).
Teorema 10.4.4.
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Bukti:
Diberikan karena seragam pada , maka terdapat sedemikian sehingga untuk setiap dan berlaku
(10.24) .Dengan , maka menurut (10.21) ketaksamaan (10.24) menjadi
(10.25)
untuk setiap .
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Sehingga barisan merupakan barisan Cauchy di dalam .
Oleh karena itu konvergen kesuatu bilangan .
Kembali ke pernyataan awal bahwa seragam pada , maka terdapat sehingga untuk setiap dan setiap berlaku
(10.26) .
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Karena , maka terdapat sehingga untuk setiap dihasilkan
(10.27) |
Kesamaan (10.21) menggambarkan bahwa, untuk setiap dengan
(10.28) |
untuk setiap
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Pilih
Ketaksamaan (10.26), (10.27), (10.28) menjadi
s|
+ + = .
Untuk setiap dan setiap dengan
.
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Dengan demikian dapat disimpulkan
KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
Diberikan barisan fungsi terintegral Riemann pada . Jika seragam pada , maka terintegral Riemann pada dan
Teorema 10.5.1.
KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
Bukti:
, dimisalkan
Maka dan
Berlaku
Atau
Sehingga untuk integral Riemann atas dan bawah dari f memenuhi
KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
Sehingga
Karena seragam pada , maka sehingga
Maka dikatakan terintegral Riemann
pada dan ditulis
KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
Selanjutnya ketaksamaan (10.30) dapat dinyatakan sebagai
sehingga diperoleh
Artinya ketaksamaan (1) dipenuhi, yaitu
KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN
Jika terintegral Riemann pada dan deret
Konvergen seragam pada , maka
Akibat 10.5.2.
TERIMA KASIH
KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN
Contoh
Diberikan barisan fungsi , Selidiki apakah barisan tersebut konvergen seragam ke limitnya!