KonsepDasarMetodeElemenHingga(Finite Element Method(FEM))(FiniteElementMethod(FEM))
Apaitumetodeelemenhingga?Sebuahtekniknumerikuntukmenyelesaikanmasalahmasalahteknikdanmatematikafisika
FEMsangatpentinguntukmenyelesaikanmasalahmasalahteknikdengangeometri,pembebanandamsifatmaterialyangk l k tid k d t di l ikkomplek,yangtidakdapatdiselesaikandenganmetodeanalitis.
Contoh geometri komplekContohgeometrikomplek
Modul truss denganModul truss dengan koneksi antar truss
TujuanFEM Penyelesaiananalitis
Analisateganganuntuktruss,batang,danstruktursederhanalainyangdilakukan dengan penyelesaian analitis secara umum berdasarkandilakukandenganpenyelesaiananalitissecaraumumberdasarkanpenyederhanaandanidealisasi.Desainberdasarkanhasilkalkulasidaristrukturyangdiidealisasimemerlukanfaktor keselamatan besar (1 53) dan sebagian besar berdasarkanfaktorkeselamatanbesar(1,53)dansebagianbesarberdasarkanpengalaman.
FEM FEMDesainuntukstrukturkomplekdandengankeakurasianyangtinggimemerlukan:
f ( pengetahuanperilakufisikobjekkomplek(kekuatan,mampualirpanas,aliranfluidadll)
untukmemperkirakanperformansidanperilakudesain;menghitungmargink k l h k k dangkakeselamatan,mengetahuikekurangandesain.
mengidentifikasiperfomansidesainsecarayakin.
Prinsip FEMPrinsipFEM PrinsipFEMadalahdiskretisasi(dibuatkecilkecil) Geometriyangsimpledapatselesaikandengananalisasederhana(penyelesaiananalitis)ataupunFEMFEM
Geometrikomplek:Ketidakkontinuan dan geometri sembarangKetidakkontinuandangeometrisembarangmemerlukanFEM
AlurFEM(1)Dunianyata (2)Penyederhanaan (3)Persamaanmatematis (4)Diskretisasi(mesh)
DiskretisasiDiskretisasi Membagi modelmenjadi elemenelemen kecil (elemenelemen
hi ) li t h b d titik titik ( d ) d t ihingga)yangsaling terhubung pada titiktitik (node)danatau garisbatas.
Jenisjenis elemen
Elemensatudimensi(1D)
Elemenduadimensi(2D)
Trus,batang,pegas,pipa
Plat, shell, membranPlat,shell,membran
Suhu displacement stressElementigadimensi(3D)
Suhu,displacement,stress,kecepatanaliran
Objek Elemenelemen Nodenode
displacement
Stress/tegangan
Strain/reganganKuantitas nodalKuantitasnodalprimer Kuantitasnodalsekunder
Sebuahkasus
Luasan batang tirus dapat dihitung denganLuasan batang tirus dapat dihitung denganpendekatan, dengan menggunakan elemenpersegi panjang; dapat terdiri dari satuelemen, dua elemen, empat elemen dst.pSemakin banyak elemen yang digunakan,luasan hitung batang tirus semakinmendekati riil atau erornya semakin kecil(lihat Gb(b)(d)
Dalam FEM, dengan semakin banyak elemen yang dipakai displacement terhitung semakin mendekati
l i liti ti t lih t d Gb ( ) (b)penyelesaian analitis, seperti terlihat pada Gb. (a)-(b)
Demikianjugateganganyangterhitung,semakinbanyakelemenyangdipakai,teganganterhitungsemakinmendekatipenyelesaiananalitis.p , g g g p y
Bagaimana cara kerja FEM?BagaimanacarakerjaFEM?
Bodi dibagi menjadi elemenelemen kecil.g jPersamaan sebuah elemen dihitung dankemudian digabung untuk membuat persamaansistemsistem
Formula umum untuk persamaan yangmerupakan gabungan dari beberapa elemenadalah
[k]{U}={F}di [k] d l h ik k k k {U} d l hdimana [k] adalah matrik kekakuan, {U} adalahvektor dari displacement atau suhu nodal, dan {F}adalah vektor gaya nodal.g y
Contoh: 1. Bar (batang) satu dimensiContoh:1.Bar(batang)satudimensi
FFi j
Lx
Batangdiasumsikanterdiridarisatuelemendenganduanodeidanjsepanjangsumbu x dan hanya mengalami displacement aksial Displacement u bervariasisumbuxdanhanyamengalamidisplacementaksial.DisplacementubervariasiterhadapxsepanjangL,sehingga
u=a+bx, (1)denganadanbadalahkonstanta.ik d d l h di l b l dik h i di i d kJikaui danujadalahdisplacementyangbelumdiketahuidisetiapnode,maka
ui=a+bxi (2)uj=a+bxj (3)
Koordinatxi danxj diketahuisehinggaadanbyangtidakdiketahuidapatdihitungi j gg y g p ga=(uixjujxi)/L (4)b=(ujui)/L, (5)
Substitusiadanbkepers(1)diperoleh
(6)jiij u
Lxxu
Lxx
u
AtauN N (7)u=Niui + Njuj (7)
dengan Ni=(xj-x)/L dan Nj=(x-xi)/LNi dan Nj adalah fungsi bentuk elemen atau fungsi interpolasi. Fungsi inimengh b ngkan displacement pada nodal i dan nodal jmenghubungkan displacement pada nodal i dan nodal j.Jika i=1 dan j=2, maka
u=N1u1 + N2u2 (8)
Setelah mengetahui hubungan displacement antar nodal, berikutnya adalah hubunganantara displacement dengan gaya yang diberikan. Untuk batang yang dikenai gaya P maka terjadi displacement sebesarUntuk batang yang dikenai gaya P maka terjadi displacement sebesar
=PL/EA, (9)dengan E modulus elastis, A luas penampangSeperti pada persamaan pegas P=k pers (9) diubah menjadiSeperti pada persamaan pegas P=k, pers. (9) diubah menjadi
P=(EA/L), (10)dengan k=EA/L
Untuk batang ditarik dengan gaya F, regangan yang muncul d l hadalah
Setelah diintegralkan menghasilkan Setelah diintegralkan menghasilkan Sesuai dengan hukum Hook
Jika dihubungkan dengan gaya aksial P
Gaya setiap nodal adalah f1 dan f2
Secara matrik hubungan gaya nodaldandisplacementnodal
Matrikkekakuan
Contoh 1Sebuah batang tirus elastic dikenai beban P diujungnya danSebuah batang tirus elasticdikenai beban Pdiujungnya dan
ujung yanglaindiclam.Luas penampang batang bervariasimulai Ao di ujung tetap danAo/2diujung bebas.
Hitung displacementdi ujung bebas dengan (a)satu elemen,(b)dua elemen danHitung dengan metode analitis.
(a) Untuk penyelesaian dengan satu elemen, batang tirus diwakili oleh persegi panjang ( ) p y g , g p g p j gdengan A=3/4Ao), lihat gambar b. Sehingga k menjadi
Hubungan displacement dengan gaya menjadi, dengan F1 adalah gaya reaksi akibat gaya aksi P
U1=0 karena pada tempat tersebut dijepit, sehingga U2 adalah
(b)Untukduaelemen,batangtirusdibagimenjadiduaelemenpersgipanjangdenganpanjangsama,tetapiluasnyaberbedadenganA1=7/8AodanA2=5/8Ao(terimasajadululuasaninitanpamengetahuicaramenghitungnya).Sehingga
Karenapadaduaelemenadatiganodal,makaadadisplacementU1,U2danU3
U1 U2 U3
Matrikkekakuanmenjadi[ke]=danhubungandisplacement
k1 k2
dengangayaadalah
F1adalahgayareaksi,F2=0danF3=P.g y ,
KarenaU1=0danF2=0maka
Denganmenyelesaikanpersamaanmatriktersebut,U2danU3dapatdiperoleh
(c)Untukmendapatkanpenyelesaiananalitis,diagramkesetimbangangayapadabatangadalah
LuasanbatangtirusadalahA=(1x/2L)denganx=jaraksetiaptitiksembarangsepanjangL
Tegangansetiaptitikxdihitungsebagai
Danregangansetiaptitikxadalah
Displacementsetiaptitikxdapatdihitung,denganx=0(titikjepit),danx=Lpada ujung dimana gaya bekerjapadaujungdimanagayabekerja
Bagimana cara untuk mendapatkan hubungan matrikk k k ik di l d ikkekakuan,matrik displacementdan matrik gaya
1. Energiregangan;TeoremapertamaCastigliano2. Energipotensialminimum
1. Energiregangan;TeoremapertamaCastiglianoCastiglianoPadabendayangdikenaikerjamekanikluar,bilasistemdalamkesetimbangan,kerjayangdiberikan akan disimpan sebagai energidiberikanakandisimpansebagaienergiregangan.Definisikerjaluar
Untukbatang,energireganganadalah
()/2 adalah energi regangan per satuan volume atau disebut densitas()/2adalahenergireganganpersatuanvolumeataudisebutdensitasenergiregangan,Vadalahvolume.
T t C ti liTeoremapertamaCastiglianoUntuksistemelastisdalamkesetimbangan,turunanparsialenergiregangantotalterhadapdefleksidisebuahtitikadalahsamadengangayaterpakaid l h d fl k idalamarahdefleksi.
Untuk elemen batang
Secara matrik hubungan tersebut adalah
Hasil dengan metode ini sama dengan hasil yangdiperoleh dari metodesebelumnyasebelumnya.
Contoh pegasContohpegas(a) GunakanteoremapertamaCastiglianountukmenyelesaikansistem4
elemenpegas(sepertigambar)untukmendapatkanmatrikkekakuan.Anggapbatangvertikalpadanode2dan3rigid.
(b) Caridispalcementsetiapnodejika,k1=4kN/m,k2=6kN/m,k3=3kN/m.F2=30NdanF4=50N.
(a) Energiregangantotaluntuk4pegasadalah
TeoremaCastgliano
Biladisusundalambentukmatrik
(b)Denganmemasukkankonstantayangdiketahui,U1=0,F3=0,F1=gayareaksi
Untukmenyelesaikanpersamaanmatriktersebutadadualangkah:Langkah1:Hilangkanbarisdankolomtidakaktif
Langkah2:Kalikanbarispertamadengan12danbariskeduadengan16,tambahkankeduanyadantulishasilnyadibariskedua
Langkah3:Kalikanbarisketigadengan32tambahkankebariskeduadantulishasilnyapadabarisketiga
Langkah 4:Selesaikan persamaan (baris)dari palingbawahDi l h U4 U3 d U2Diperoleh U4,U3dan U2
DanF1dihitung dengan menyelesaikan persamaan baris pertama