João Pedro da [email protected]
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte
Desafios para Alunos e Professores de uma
Abordagem Exploratória da Matemática
CIBEM VICongreso Iberoamericano de Educación Matemática
Puerto Montt, Chile – 04 a 09 de Enero del 2009
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Sumário
1. Mudança curricular em Matemática
2. Novo programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal (1.º ao 9.º ano)
3. O papel do professor
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Mudança curricular em Matemática Ensino directo
Tarefas- Tarefa padrão: Exercício / Situações: artificiais,
- Para cada problema, uma e uma só estratégia e resposta certa.
Papéis- Os alunos recebem “explicações”,- O professor mostra “exemplos” para os alunos aprenderem “como se faz”,
- O professor e o manual são as autoridades na aula.
Comunicação- O professor põe questões e dá feedback (I-R-F),
- Os alunos respondem e põem “dúvidas”.
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Mudança curricular em Matemática Aprendizagem exploratória
Tarefas- Variedade: Explorações, Investigações, Problemas, Projectos, Exercícios…
- As situações são realísticas,- Existem várias estratégias para lidar com um problema.
Papéis- Os alunos trabalham em tarefas e têm de descobrir estratégias,
- ... Explicam e justificam o seu o raciocínio,- … Sendo também uma autoridade.
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Mudança curricular em Matemática Aprendizagem exploratória
Comunicação- Os alunos discutem com os colegas (grupos ou pares),
- No fim de um trabalho, há uma discussão com toda a turma,
- Os significados são negociados na sala de aula.
Os alunos aprendem a partir da
sua experiência matemática e da
sua reflexão sobre essa
experiência
A aula de exploração
Introdução da tarefa
Desenvolvimento do trabalho
Discussão final/Reflexão
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Às voltas com os números (Irene Segurado– 5.º ano)
Escreve em coluna os 20 primeiros múltiplos de 5.
1.Repara nos algarismos das unidades e das dezenas. Encontras algumas regularidades?
2.Investiga agora o que acontece com os múltiplos de 4 e 6.
3. Investiga para outros múltiplos.
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Às voltas com os números
A Tatiana levantando o braço respondeu prontamente: o algarismo das unidades é sempre 0 ou 5, o que foi aceite pelos colegas, ecoando pela sala: é sempre 0; 5, 0; 5...
Professora: Mais? Octávio com um ar feliz: O algarismo das dezenas
repete-se: 0-0, 1-1, 2-2, 3-3...Carlos, com uma certa agitação, descobri mais uma
coisa... posso ir ao quadro explicar? (...)Já no quadro, explicou: O 0 com o 5 dá 5, o 0 com o
0 dá 0, o 1 com o 5 dá 6, o 1 com o 0 dá 1, o 2 com o 5 dá 7, o 2 com o 0 dá 2, o 3 com o 5 dá 8, estão a perceber? Há uma sequência. Dá 5, salta um, dá 6, salta um, dá 7... ou dá 0, salta um, dá 1, salta um, dá 2...
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Às voltas com os números
É importante o modo como o professor
responde às dúvidas dos alunos, dando-lhes atenção e encorajamento sem lhes dar directamente a resposta,
formula as questões, envolvendo toda a turma e levando os alunos a argumentar uns com os outros.
Em tópicos curriculares, onde aparentemente só se podem realizar
exercícios repetitivos, é possível fazer muito trabalho exploratório e
investigativo.
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Como é o aluno típico da turma?(Olívia Sousa – 6º ano)
Supõe que queres comunicar, a um aluno de um país distante, ou mesmo, quem sabe, a um extraterrestre, como são os alunos da tua turma...
Etapas
(i) Preparação das questões de investigação;
(ii) Recolha de dados;
(iii) Tratamento dos dados; e
(iv) Elaboração de relatórios sobre os resultados.
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Como é o aluno típico da turma?
Aprendizagens: Medidas (comprimentos, pesos…) Números decimais (que ganharam significado pelas
medidas), cálculo numérico, escrito e mental Estatística: Comparação, ordenação, agrupamento,
representações, média, mediana, moda.
Uma investigação formulada a partir da realidade dos alunos pode ser o ponto de partida tanto para
o desenvolvimento de competências de investigação como para a aprendizagem de novos
conceitos matemáticos.
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Identificação de relações
directamente proporcionais
Guilherme observa a tabela e questiona a
Investigadora sobre a necessidade de usar o Excel,
uma vez que já sabe que existe proporcionalidade.
Professora: (…) Como sabes que existe proporcionalidade nesta situação?
Guilherme: (Não usa qualquer material) Então, primeiro vi a [linha] A e a [linha] B (aponta para as linhas correspondentes às variáveis A e B). Vi o último par de números.
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Professora: Quais?
Guilherme: (Aponta para a última coluna da tabela) Ao multiplicar 5 por 3 dá 15… Tenho quase a certeza que sim [que existe proporcionalidade]. Com esta conta acreditei que o mesmo se passa com os outros [pares] números e dá, em 7,5 há 3 vezes 2,5. Aqui é igual, basta saber a tabuada para isso, 3 [parte decimal de 4,3] vezes 3 dá 9 [parte decimal de 12,9] e 3 vezes 4 é 12. “Tá” certo.
Professora: Consegues identificar a
constante de proporcionalidade?
Guilherme: É 3, se dividir 15 por 5 dá 3.
Também acontece com os outros [pares de] números.
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AmpliaçõesA situação
Experiência realizada com alunos do 8.ª série pelo professor João Almiro (2005).
A tarefa… A professora de Educação Visual quer ampliar a área da figura 400 vezes. A que distância é que deve colocar o retroprojector da parede? Elabora um relatório que inclua a descrição dastuas pesquisas, os cálculos que efectuaste,as tuas conjecturas e possíveis soluçõespara entregarmos à professora.
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AmpliaçõesReacções dos grupos
Alguns ficaram perdidos, outros agarraram na tarefa e começaram a tentar encontrar caminhos.
Todos perceberam que o rectângulo projectado teria que ter largura e comprimento 20 vezes maiores que o inicial.
A grande dificuldade era saber a que distância colocar o retroprojector da parede para que o comprimento dos segmentos da figura aumentasse 20 vezes.
Quase todos os grupos projectavam, mediam e viam quantas vezes comprimento e largura aumentavam.
Aperceberam que não tinham espaço na sala, pelo que tiveram que fazer cálculos para saber a que distância deviam colocar o retroprojector da parede.
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AmpliaçõesMais reacções
O professor considerou espectacular o trabalho de um grupo Percebeu que havia proporcionalidade
directa entre a distância do retroprojector à parede e o número de vezes que as dimensões eram ampliadas e resolveu o problema.
Quatro grupos, entreajudando-se, foram medindo e discutindo e quando um chegava a uma conclusão trocava com os outros.
Três grupos não conseguiram avançar sozinhos. Brincaram muito e produziram pouco.
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Ampliações
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AmpliaçõesBalanço
Alguns dos alunos (cerca de 1/5) não gostaram destas aulas.
A maioria referiu ter gostado destas aulas e reconheceu ter feito aprendizagens importantes:
Os problemas são um bocadinho mais complicados… Tínhamos que pensar um bocado, desenvolver, tínhamos que pensar métodos diferentes, para
conseguir o método ideal para ter o resultado certo… Nos manuais, as perguntas são directas, dizem logo o
que temos que fazer.
Eu não gostei destas aulas, prefiro aulas normais a fazer exercícios, acho
que aprendo muito mais nas aulas a fazer exercícios e a tirar dúvidas.
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Complexidade reduzida
Exercício Exploração
Fechado Aberto
Problema Investigação
Complexidade elevada
Complexidade reduzida
Fechado Aberto
Complexidade elevada
Complexidade reduzida
Complexidade elevada
Diversos tipos de tarefa
Projecto
Jogos
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Diferentes tipos de tarefas
Na aprendizagem da escrita
Cópia – Ditado – Redacção
Texto orientado – Texto livre
Na Matemática
Exercícios – Problemas
Exploração – Investigação
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As duas faces da Matemática…
A Matemática tem duas faces; é a ciência rigorosa de Euclides, mas é também algo mais... A Matemática em construção aparece como uma ciência experimental, indutiva.
George Pólya, 1957
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A influência do
professor…
Desde que pela primeira vez encontrei o Último Teorema de Fermat, em criança, ele tem sido a minha
maior paixão... Tive um professor que realizara investigações em Matemática e que me emprestou um livro sobre Teoria dos Números, que me deu algumas pistas sobre como começar a atacá-lo. Para começar,
parti da hipótese de que Fermat não conhecia muito mais Matemática do que a que eu aprendera…
Andrew Wiles, 1998
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O aluno e do matemático…
Entre o trabalho do aluno que tenta resolver um problema de geometria
ou de álgebra e o trabalho de criação, pode dizer-se que existe
apenas uma diferença de grau, uma diferença de nível, tendo
ambos os trabalhos uma natureza
semelhante.
Jacques Hadamard, 1944
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2. Novo programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal
1.º ao 9.º ano de escolaridade
-Alunos de 6 a 14 anos
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Números e operações Geometria e Medida Álgebra Organização e tratamento
de dados
Temas matemáticos e Capacidades transversais
Resolução de problemas Raciocínio matemático Comunicação matemática
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Comunicação
1.º ciclo (6-9 anos)
2.º ciclo (10-11 anos)
3.º ciclo (12-14 anos)
… Os alunos progridem na fluência e no rigor com que se exprimem, oralmente e por escrito, tanto na linguagem natural como na linguagem matemática, usando a notação e a simbologia específica dos diversos tópicos matemáticos e desenvolvem a sua capacidade de interagir num grupo e na turma.
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Resolução de problemas
Como ponto de partida para o desenvolvimen
to de novos conceitos e processos
Mobilizando conhecimentos e representações já
conhecidas, tirando partido da tecnologia
Compreender o
problema e formular
um plano
Realizar o plano
Reflectir e analisar o
trabalho feito
Em contextos não matemáticos (sobretudo
do quotidiano) e em contextos matemáticos
Levando os alunos a formular problemas e
a realizar investigações…
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Raciocínio
Na resolução de problemas/exercícios(i) formulação de uma estratégia geral de resolução de um
problema,(ii) realização de uma transformação ou cálculo e sua
justificação.
Em explorações/investigações
(i) formulação de uma conjectura apoiada numa
razão,(ii) definição de uma
estratégia de teste de uma conjectura.
Na demonstração(i) formulação de uma
estratégia de demonstração,
(ii) construção de uma cadeia argumentativa.
(iii) estabelecimento de relações entre objectos matemáticos ou não matemáticos.
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3. O papel do professor
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Competência para a realização da prática lectiva
Planeamento Objectivos curriculares Estrutura das aulas (introdução de conceitos
– exploração – discussão) Tarefas Materiais Organização do trabalho Gestão do tempo
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Competência para a realização da prática lectiva
Realização Introdução e negociação do trabalho
(contrato) Comunicação na sala de aula
Negociação de significados matemáticos Ambiente
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Competência para a realização da prática lectiva
Reflexão Os objectivos curriculares foram atingidos?
Os alunos aprenderam o que se pretendia? As tarefas e os materiais foram adequados?
A estrutura da aula e organização do trabalho funcionou?
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Estudos Recenteshttp://ia.fc.ul.pt
Ana Isabel Silvestre – Proporcionalidade directa, incluindo razões e escalas (6. ano)
Neusa Branco – Equações 1º grau – Padrões, Expressões, Equações, Resolução de problemas (7. ano)
Ana Matos – Álgebra - Sequências, Funções e Equações (literais) do 1.º grau (8. ano)
Idália Pesquita – Álgebra - Ainda os Números e Equações (literais) do 1.º grau (8. ano)
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Estudos Recenteshttp://ia.fc.ul.pt
Nuno Candeias – Geometria - Do Espaço ao Plano” (7. ano), Decomposição de figuras, Teorema de Pitágoras, Lugares geométricos, Translações, Semelhança de triângulos (8. ano)
Ana Henriques – Análise Numérica - Aritmética intervalar, Equações não lineares, Ajustamento de funções, cálculo integral (2º ano licenciatura Escola Naval)
Carmen Salvado – A comunicação na sala de aula no 3.º ciclo
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Estudos em Curso
Neusa Branco – Pensamento algébrico e perspectivas sobre o ensino da Álgebra na formação inicial de professores
Cláudia Nunes – A gestão curricular dos professores do 3.º ciclo e secundário, num contexto colaborativo de escola.
António Guerreiro – A comunicação na sala de aula no 1.º ciclo (estudo colaborativo)
Kátia Medeiros – A aprendizagem da regulação da comunicação na formação inicial de professores
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Estudar
Construir tarefas Procurar tarefas… … Modificá-las, adaptando-as aos alunos, Construir tarefas a partir de situações do dia-a-dia. Perceber como usar as ferramentas das TIC para
resolver tarefas conhecidas e tarefas novas Aprofundar o conhecimento Estudar novos assuntos de Matemática … Conhecer novas aplicações na Saúde, na
Economia… Perceber como é usada noutras disciplinas
escolares.
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Ouvir o aluno
Para apoiar a aprendizagem o professor tem Saber o que aluno está a pensar, … Como ele pensa, … O que compreende e onde tem dificuldade.
Para isso é necessário Dar ao aluno oportunidade de falar, Levá-lo a explicar as suas ideias em pormenor, Habituá-lo a ouvir com atenção os seus colegas, Ajudá-lo a construir argumentos, … E a discutir os argumentos dos outros alunos.
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Colaborar
A colaboração, conjugando os esforços de diversas pessoas, constitui uma estratégia chave para enfrentar os problemas da prática profissional.
Várias pessoas a trabalhar em conjunto: têm mais ideias, mais energia e mais
força para derrubar obstáculos.
capitalizam nas competências individuais.
... mas têm que se adaptar uns aos outros, trabalhando em conjunto de modo eficiente.
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Imagens e pressões
institucionais
sociais sobre a
profissão
Prática lectiva
Professor-Alunos
Formação
inicial
Desenvolver a sua identidade profissional
Prática profissional na escola (com colegas, com alunos,
com pais, com a comunidade)Participação
noutros espaços
profissionais
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Oficinas de FormaçãoObjectivo Sensibilização para as ideias-chave do novo
programa de um tema, num dado ciclo.
Formato 25 horas, em 6 sessões (Sábados), que decorrem em
3/4 meses Trabalho dos professores em grupo Exploração de aspectos do novo programa através
de tarefas e exemplos Concepção e realização de uma tarefa em classe Apresentação e discussão ao grupo.
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Oficinas de Formação
Pressupostos Formação baseada na prática, mas
informada pela teoria educacional Formação que incentiva a troca de
experiências (mais conseguidas e menos conseguidas) e a reflexão como base da cultura profissional.
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Formação na Escola/Agrupamento
Objectivo Desenvolvimento da capacidade de gestão
curricular associada ao novo programa num ciclo (e promovendo a articulação entre ciclos).
Formato Trabalho ao longo do ano, dos professores em
grupo na Escola ou Agrupamento, coordenado por uma equipa e apoiado exteriormente,
Identificação de aspectos críticos na aprendizagem dos alunos,
Concepção e realização de intervenções, sua avaliação e redefinição.
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Formação na Escola/Agrupamento
Pressupostos Formação baseada na prática Formação baseada na
identificação de necessidades e realização de projectos pelo grupo profissional.
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Pesquisar
Pesquisar
Procurar respostas através de recolha e análise sistemática de informação.
Quem pesquisa?
Ao lado dos universitários, cada vez há mais profissionais que pesquisam problemas da sua própria prática
Com que resultados?
Com contributos “locais” importantíssimos para a compreensão e resolução dos problemas
Com uma compreensão acrescida da pesquisa académica
Pesquisa a vários níveis
Aluno pesquisando Matemática
Professor pesquisando como o aluno
aprende Matemática
Educador matemático
pesquisando como alunos e
professores aprendem
Matemática
Matemático pesquisando Matemática
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Pesquisar na prática profissional do professor
Olívia Fui surpreendida por uma ideia... A forte analogia entre o modo como os alunos tinham desenvolvido a sua investigação e o modo como eu estava a desenvolver a minha… Tal como os alunos, também eu senti imensa dificuldade em formular as minhas questões de investigação... Outro aspecto onde senti o paralelismo, foi na dificuldade de comunicar por escrito as minhas ideias e conclusões. Também os alunos sentiram dificuldade na escrita das suas questões de investigação…
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Pesquisar na prática profissional do professor
... Para além dos processos, esta analogia estende-se também aos resultados. Penso que
posso inferir que, tal como eu, também os alunos sofreram um processo evolutivo enquanto
investigaram. Não pretendo dizer que se tornaram investigadores, tal como eu não me
tornei, mas penso que este tipo de experiências pode contribuir para que os alunos se tornem
mais reflexivos e mais competentes na procura de soluções para os seus problemas, quer enquanto
estudantes quer, mais tarde, como cidadãos.
Olívia
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Conhecimento Práticaacadémico académica
Conhecimento PráticaPrático profissional
Conhecimento profissional
informado pela investigação
Conhecimento académico e prática profissional / Teoria e prática
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O grande desafio que se coloca é pôr em diálogo teoria/prática académica e teoria/prática profissional, fazendo com que uma aprenda e se fortaleça com a outra. Para isso é fundamental a colaboração estreita, no campo nacional e internacional. Faço votos para que este encontro possa dar um forte contributo no sentido da emergência de um conhecimento profissional informado pela pesquisa de matemáticos, alunos, professores e investigadores.
Teoria e prática