Ismael Sánchez Ismael Sánchez -- Departamento de Estadística Departamento de Estadística -- Universidad Carlos III de MadridUniversidad Carlos III de Madrid
Tema 11: Experimentos factoriales a dos nivelesTema 11: Experimentos factoriales a dos niveles
1- Introducción 2 El diseño 2² 3 El diseño 2k
4 Fracciones de diseños factoriales
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 3
1. Introducción
Si tenemos 5 factores con 5 niveles cada uno, y hacemos todas las combinaciones posibles...
3125 experimentos elementales!!
Temas 2 y 3 Análisis de un conjunto de factores cada uno con distintos niveles
Normalmente, sólo pocos factores serán relevantes
Experimento inicial: probar muchos factores con sólo 2 niveles
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 4
1. Introducción
Diseños 22KK K factores
cada uno a dos niveles
Requieren 2K experimentos elementales
Factores:
• Tipo de motor: con/sin catalizador
• Temperatura: alta/baja
• Reactivo químico: en cantidad Q1 ó Q2
• Circuitos: con componentes tipo I o tipo II
• Voltaje: V1 ó V2
• Potencia: P1 ó P2
Tema 11: Experimentos factoriales a dos nivelesTema 11: Experimentos factoriales a dos niveles
1- Introducción 2 El diseño 2² 3 El diseño 2k
4 Fracciones de diseños factoriales
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 6
2. El diseño 2²
Ejemplo 1: Una empresa de componentes electrónicos desea saber qué factores afectan a la variabilidad de sus resistencias eléctricas. Dicha variabilidad se mide con la diferencia entre el valor real y el diferencia entre el valor real y el nominalnominal (en Ohmios). Se realiza un primer experimento con 4 resistencias de valor nominal 100 Ω. Los factores que se controlan son:
· Factor A: Temperatura: (-) 15ºC (+) 60ºC
· Factor B: Vida del componente: (-) sin usar (+) 1000 horas de uso
se nombran con el alfabeto
1=-;2=+
en minúscula, el factor con signo +
ningún factor con signo +
a este orden se le llama Tabla estándar
100 Ω
con 4 factores... (16 experimentos elementales)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 8
2. El diseño 2²
El modelo es el de 2 factores:
se puede simplificar la notación
( ) ; , 1, 2ij i j ij ijY u i jμ α β αβ= + + + + =
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 9
Factor A
Factor B
Factor A
2. El diseño 2²
efecto del nivel + respecto a la media
el signo coincide con el producto de los factores
efecto del nivel + respecto a la media
Factor B
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 10
Ecuación o modelo de regresión:
2 2 22( )ij A B A B ijY D D D D uμ α β αβ= + + + × +
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 11
2. El diseño 2²
Estimación de los parámetros:
... igual que en temas anteriores, sólo hemos cambiado algo la notación
μ media general
2 2
1 1ˆ4
iji j
yμ = ==
∑∑
2α
Contribución marginal del factor A por estar a nivel +
Diferencia entre el valor medio en ese nivel y la media general
21 222 ˆˆ
2y yα μ+= −
2β12 22ˆ ˆ
2y yβ μ+= −
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 12
2. El diseño 2²
Estimación de los parámetros:
... igual que en temas anteriores, sólo hemos cambiado algo la notación
μ2 2
1 1ˆ4
iji j
yμ = ==
∑∑
2α21 22
2 ˆˆ2
y yα μ+= −
2β 12 22ˆ ˆ2
y yβ μ+= −
22( )αβDiferencia entre el valor medio de la celda y el efecto sin interacción
( )22 2 2ˆˆ ˆy μ α β− + +
(no tenemos replicación: no podemos estimar los residuos. Sólo interés teórico)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 13
Temperatura
Edad de la resistencia eléctrica
2. El diseño 2²
Valor real-nominal
... y la ecuación de regresión es:
No hay residuo. El modelo no es interesante
ijY
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 14
2. El diseño 2²
Se define efectoefecto (de un factor o interacción) a la variación en la variable respuesta al pasar de (-) a (+)
efectoefecto= 2 veces el parámetro
• Media global=18
• Efecto Factor A: Temperatura=13
• Efecto Factor B: Edad componente=18
• Efecto Interacción=1
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 15
Con la estimación de la interacción, no tenemos grados de libertad para hacer contrastes. Necesitamos replicar el experimento
2ˆ 0.75Rs =
ijkY
Media:13.25
Factor A: 13.5
Factor B:19
Interacción AB=1
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 16
Para poder hacer contrastes, necesitamos replicar el experimento
Media:13.25
Factor A: 13.5
Factor B:19
Interacción AB=1
ijkYno es significativo
18.25 6,75 9.5ijk A B ijkY D D u= + + +
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 17
Estimación del Estimación del efectoefecto= 2 veces la estimación del parámetro
Estimación del Estimación del parámetroparámetro= a través de las diferencias de medias
muestrales
Otra forma equivalente de estimar los efectos... Criterio de los signos
Efecto del factor A: diferencia de estar a nivel (+) respecto al nivel (-)
21 22 11 122 1
21 22 11 12
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2
2 2
y y y y
y y y y
α α α μ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎟ ⎟⎜ ⎜= − = − − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ += −
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 18
Estimación del Estimación del efectoefecto= 2 veces la estimación del parámetro
Estimación del Estimación del parámetroparámetro= a través de las diferencias de medias
muestrales
Otra forma equivalente de estimar los efectos... Criterio de los signos
Efecto del factor A: diferencia de estar a nivel (+) respecto al nivel (-)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 19
Factor A=(1/2)(-3+15-20+34) =13
Factor B=(1/2)(-3-15+20+34)=18
¿y la media general?
Media global=(1/4)(3+15+20+34)=18
Equivale a una columna con todos los signos (+)
+
+
+
+
Media
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 20
¿y la interacción?
Se puede comprobar que es equivalente a aplicar una columna que sea el
producto de los factores implicados
Interacción=(1/2)(+3-15-20+34)=1
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 21
Con la estimación de la interacción, no tenemos grados de libertad para hacer contrastes. Necesitamos replicar el experimento
Media:(1/8)(+3+15+20+34+2+15+21+36)=18.25
Factor A: (1/4)(-3+15-20+34-2+15-21+36)=13.5
Factor B:(1/4)(-3-15+20+34-2-15+21+36)=19
Interacción AB=(1/4)(+3-15-20+34+2-15-21+36)=1
ijkY
2ˆ 0.75Rs =
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 22
Para poder hacer contrastes, necesitamos replicar el experimento
Media:(1/8)(+3+15+20+34+2+15+21+36)=18.25
Factor A: (1/4)(-3+15-20+34-2+15-21+36)=13.5
Factor B:(1/4)(-3-15+20+34-2-15+21+36)=19
Interacción AB=(1/4)(+3-15-20+34+2-15-21+36)=1
ijkYno es significativo
18.25 6,75 9.5ijk A B ijkY D D u= + + +
Tema 11: Experimentos factoriales a dos nivelesTema 11: Experimentos factoriales a dos niveles
1- Introducción 2 El diseño 2² 3 El diseño 2k
4 Fracciones de diseños factoriales
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 24
3. El diseño 2k
Diseños 22KK K factores
cada uno a dos niveles
Requieren 2K experimentos elementales
Tabla estándar:
• Factor A: -+-+-+-+...
• Factor B: --++--++...
• Factor C: ----++++....
• ...
Tabla 2Tabla 233
Efectos principales
Efectos de segundo orden
Efectos de tercer orden
(el orden de los datos se aleatoriza!!)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 25
Ejemplo: proceso de soldadura por ola
3. El diseño 2k
http://www.ixxi.com/prod03_cmd_prowave_s.htm
http://www.propelec.com/productos/soldaduraOla.htm
Precalentadores
ola de soldadura
placas de circuitos impresos
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 26
3. El diseño 2k
La soldadura por ola consiste en una cinta transportadora que desplaza las PCBs sobre una cubeta rectangular que contiene estaño líquido.
Las inspecciones efectuadas en condiciones normales de funcionamiento señalan que el número de soldaduras defectuosas es del 0.035 % (350 ppm, donde ppm son 'partes o defectos por millón').
Ejemplo: proceso de soldadura por ola
Variable respuesta:
Se desea realizar un experimento para determinar si existen posibilidades de mejorar su funcionamiento. Para ello se decide controlar los siguientes factores:
· Factor A: Velocidad de la cinta: 1.6/1.8 (m/min)
· Factor B: Temperatura de la placa: 30/50ºC
· Factor C: Temperatura del estaño líquido: 210/260ºC
· Factor D: Densidad del estaño: 0.83/0.86 (gr/cm³)
Para cada combinación de factores se utilizan 30 PCBs iguales, con 998 uniones cada una. Después de la soldadura se inspecciona cada placa y se contabiliza el número de defectos de soldadura en las 30 placas.
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 27
Estimaciones usando el criterio
de los signos
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 28
Estimaciones usando el criterio
de los signos16 datos 16 parámetros
No hay información para estimar los residuos.
No se pueden hacer contrastes
Se hace una primera selección con el diagrama de Pareto
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 29
Regla empírica 1
Regla de Pareto: la mayoría de la
variabilidad es debida a muy pocas causas
Regla empírica 2
Los efectos de las interacciones suelen
ser menores que el de las variables
principales implicadas
tal vez sean los únicos significativos
Regla empírica 3
Si un factor no es relevante, no lo suele
ser tampoco su interacción
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 30
Otra opción: representar los efectos en un gráfico probabilístico normal
0
Si un efecto es nulo, su estimación es una v.a. normal de media cero
En un gráfico probabilísticonormal aparecerán alineados cerca del cero
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 31
Sugiere que A,B,C,D,BC serán significativos
Para hacer un análisis estadístico, iremos poco a poco. Comenzamos eliminando las interacciones de orden 3 y 4, que parece que no serán significativas.
Con esos grados de libertad estimamos la VNE
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 32
3. El diseño 2k
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 33
3. El diseño 2k
Ecuación de regresión:
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 34
3. El diseño 2k
Ecuación de regresión:
+ - - -
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 35
3. El diseño 2k
Antes del experimento: 350 ppm
Introduciendo las mejoras del experimento: 271 ppm
Mejora:22,6%
1. Se hace un análisis previo de los datos utilizando técnicas descriptivas
2. Se estiman los efectos de los factores e interacciones
3. Se representan dichas estimaciones en un diagrama de Pareto o gráfico probabilísticonormal
4. A la vista de estas representaciones gráficas se hace una preselección de los efectos que no son significativos
5. Se construye la tabla ANOVA con los efectos restantes y se contrasta su significatividad
6. Se eliminan los efectos que, tras los contrastes anteriores, no resulten significativos y se reconstruye la tabla ANOVA hasta que todos los efectos incluidos sean significativos
7. Se hace diagnosis de los residuos para comprobar que el modelo es adecuado
8. Se construye la recta de regresión y se obtiene con ella las condiciones de los factores que proporcionan mejores valores de la variable respuesta
Procedimiento general:Procedimiento general:
Tema 11: Experimentos factoriales a dos nivelesTema 11: Experimentos factoriales a dos niveles
1- Introducción 2 El diseño 2² 3 El diseño 2k
4 Fracciones de diseños factoriales
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 37
4. Fracciones de diseños factoriales
La motivación de los diseños 2k es analizar muchos factores con pocos experimentos elementales
Objetivo de las fracciones: conseguir analizar k factores con menos de 2k experimentos elementales
Fracción de un diseño factorial:
Es un diseño factorial en el que no se realizan todos los experimentos factoriales
Si se elige la fracción adecuadamente se podrán estimar los factores de forma independiente (aunque con menos precisión)
Nos centraremos en fracciones que sean
(1/2p) x número de datos del diseño completo
(p=1:la mitad, p=2:la cuarta parte, p=3:la octava parte...)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 38
4. Fracciones de diseños factoriales
Ejemplo: fracciones de un 23
si hacemos sólo 4 experimentos...
por ejemplo, cuando ABC=+ por ejemplo, cuando AB=-
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 39
4. Fracciones de diseños factoriales
Notación:
Sea un diseño 2k del que queremos tomar sólo (1/2p) x número de datos del diseño completo
= (1/2p) 2k =2k-p experimentos elementales
22KK--pp
K factores
cada uno a dos niveles
sólo hacemos 2k-p
experimentos elementales
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 40
4. Fracciones de diseños factoriales
por ejemplo, cuando ABC=+
diseños 23-1 o medias fracciones
Si hay el mismo número de + que de – la estimación del efecto por el criterio de los signos es insesgada
Al hacerse con menos datos, es menos precisa
Si el producto de los signos de dos columnas es 0, sus estimaciones son independientes (COLUMNAS ORTOGONALES)
Si dos efectos tienen la misma columna de signos, su efecto no se puede estimar por separado. La columna de signos estima LA
SUMA de ambos efectos
El efecto principal A y la interacción BC están
confundidasconfundidas
En este diseño estimamos A+BC
También se dice que en este diseño
la confusión es A=BC
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 41
por ejemplo, cuando ABC=+
4. Fracciones de diseños factoriales
A+BC
Regla empírica 2
Los efectos de las interacciones suelen ser menores que el de las variables principales
implicadas
Tiene sentido aceptar un diseño con confusiones si suponemos que uno de los efectos confundidos no es significativo: la estimación es sólo del otro efecto
estimamos... la confusión es...
A=BCB+AC B=ACC+AB C=AB
confusión con la media muestral=I
ABC+I ABC=I
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 42
por ejemplo, cuando ABC=+
estimamos... la confusión es...
4. Fracciones de diseños factoriales
A+BC A=BCB+AC B=ACC+AB C=ABABC+I ABC=I
por ejemplo, cuando AB=-
A-B
estimamos... la confusión es...
A=-BC-ABC C=-ABCAB-I AB=-IAC-BC AC=-BC
¿Qué fracción será mejor?¿Qué fracción será mejor?
La que tenga una confusión de los efectos principales con La que tenga una confusión de los efectos principales con las interacciones de orden más alto posiblelas interacciones de orden más alto posible
¿Cómo encontrarla?¿Cómo encontrarla? Ecuación generatrizEcuación generatriz
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 43
4. Fracciones de diseños factoriales
La ecuación generatriz de una fracción es el conjunto de columnas de la tabla de la fracción que son iguales a I.
En los ejemplos anteriores: ABC=I; -AB=I
Ecuación generatrizEcuación generatriz
Operaciones:
• Multiplicar por I no cambia una columna de signos
AI=A; ABI=AB; -CI=-C
• Multiplicar una columna por si misma da I
AA=I; (ABC)(ABC)=I
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 44
4. Fracciones de diseños factoriales
Estructura de confusión, o estructura de aliasalias
Son las confusiones que se producen en una fracción
Ejemplo: en 23-1
Con la fracción ABC=I
Con la fracción -AB=I
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 45
Resolución: orden de interacción más baja confundida con algún efecto principal+1
4. Fracciones de diseños factoriales
Con la fracción ABC=I
diseño Resolución III
Con la fracción -AB=I
diseño Resolución II (sin utilidad)
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 46
Procedimiento para conseguir un diseño 22kk--pp de máxima resolución
Ejemplo: Se desea realizar un diseño para determinar la significatividad de 6 factores (A,B,C,D,E,F) sobre una variable respuesta. Debido al coste de la recogida de datos, se desea hacer un primer análisis con sólo 8 experimentos elementales. ¿Cómo ha de ser el diseño?
Primer paso:Primer paso: escribir el diseño completo para k-p variables. TODAS LAS COLUMNAS SON ORTOGONALES (darán estimaciones independientes)
en el ejemplo: 8= 23
luego escribimos un 23
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 47
Primer paso:Primer paso: escribir el diseño completo para k-p variables
Segundo paso:Segundo paso: asignamos los p factores restantes en las interacciones de mayor orden. Suele haber varias opciones, no todas de igual resolución.
Si sospechásemos que AB puede ser significativa...
D E F ecuación generatriz
D=AC I=ACDE=BC I=BCEF=ABC I=ABCF
Resolución: III
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 48
Primer paso:Primer paso: escribir el diseño completo para k-p variables
Segundo paso:Segundo paso: asignamos los p factores restantes en las interacciones de mayor orden. Suele haber varias opciones, no todas de igual resolución.
D E F
Si asignamos los factores restantes a las interacciones mayores, pero de igual orden, se consigue siempre resolución máxima
ecuación generatriz
D=AB I=ABDE=AC I=ACEF=BC I=BCF
También resolución: III
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 49
hacemos el experimento...
Los factores C,E y F no parecen significativos.
Los eliminamos y usamos sus grados de libertad para estimar mejor la varianza residual
Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 50
Esta solución sugiere varias opciones:
• Son significativos A,B,D y ninguna de sus interacciones.
• Son significativos A,B y su interacción AB, pero D no.
• Son significativos B,D y su interacción, pero A no.
• Son significativos A,D y su interacción, pero B no.
...seguiríamos experimentando sólo con estos factores