INTEGRALI di una funzione di variabile reale
Prima Parte Anno Accademico 2003/2004
R. Argiolas
( ) ( ) ( )aGbGdxxfb
a
−=∫
2
Questa dispensa (prima parte) si propone come guida per la risoluzione di integrali indefiniti e definiti. Ci si è limitati alla risoluzione di integrali che richiedono l’utilizzo delle più comuni tecniche di integrazione ( integrazione per sostituzione, integrazione per scomposizione, integrazione per parti), dove spesso per diversi esercizi viene presentato più di un metodo di risoluzione, e dove soprattutto nell’integrazione per parti viene data una classificazione circa la scelta del fattore finito (o del fattore differenziale). Per un maggiore approfondimento il lettore può consultare un qualsiasi testo di analisi matematica. Volutamente in questa “prima parte” si è tralasciata la discussione dell’integrazione secondo Riemann e in senso generalizzato, che verrà invece affrontata nella “seconda parte”. Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno segnalarmi eventuali errori e consigli per rendere migliore il lavoro.
R.A.
3
INTEGRALI INDEFINITI Integrali immediati ∫ += cxdx
11
1 1 −≠++
=∫ + ncxn
dxx nn
∫ += cxdxx
log1
∫ += cedxe xx ∫ += ceadxa a
xx log ∫ +−= cxxdx cossin ∫ += cxxdx sincos
∫ += cxdxx
tancos
12
∫ +−= canxdxx
cotsin
12
cxcxdxx
+−=+=−
∫ arccosarcsin1
12
cgxarccxdx
x+−=+=
+∫ cotarctan1
12
4
Integrali di funzioni irrazionali Per il calcolo di integrali di funzioni irrazionali si utilizzano degli artifici che riconducono l’integrale assegnato ad un integrale immediato (come quelli descritti precedentemente). Di solito si opera una sostituzione che trasforma la funzione irrazionale in una funzione razionale o trascendente facilmente calcolabile. Descriviamo i tipi di sostituzione più frequentemente utilizzati.
1. Integrali di funzioni irrazionali della forma: ( )∫ + dxbaxxf mn ,
Si opera la seguente sostituzione: tbaxn m =+ da cui segue che:
dttandx
abtx n
n1 , −=
−=
Esempi
• Calcolare dxx
x∫ +
+−1
13
Svolgimento Operiamo la sostituzione tx =+1 da cui segue che:
tdtdxtx 2 ,12 =−= , si ottiene:
( ) cxxcttdttdttt
tdxx
x+−−+=+−=−=⋅
−=
++−
∫∫∫ 116632231
13 2 ,
5
oppure, posto tx =+1 si ha: dtxdx
=+12
,
quindi:
( ) cxxcttdttdxx
x+−−+=+−=−=
++−
∫∫ 1166321
13 2 .
• Calcolare dxx
x∫
−3 2
3 221
Svolgimento
Operiamo la sostituzione tx =3 2 da cui segue che: dttdxtx 21
23
23 , == ,
si ottiene:
( ) cxxcttdtttdttt
tdxx
x+−=+−=
−=⋅
−=
−∫∫∫
−3 232
321
21
21
21
3 2
3 2
2323223
232121
Si osservi che l'integrale poteva essere calcolato separando la funzione integranda:
( ) cxxcxxdxx
dxx
x+−=+−=
−=
−∫∫ 3 233
3 23 2
3 2
23232121
• Calcolare dxxx
x∫ +
+12
2
6
Svolgimento Operiamo la sostituzione tx =+12 da cui segue che:
tdtdxtx =−= ),1(21 2 , si ottiene:
( )
cxxx
ctdtt
dtttttdx
xxx
+++
+++=
=++
+=
−+=
−+
=+
+∫∫∫
1121-12 log212
1t1-t log2
141
13
124
22
2
• Calcolare dxx
xx∫ +
+++3
4
222
Svolgimento Attenzione ! Benchè i radicandi siano tutti uguali, gli indici sono differenti, quindi non si può utilizzare la sostituzione sopra illustrata, si opera una sostituzione simile alla precedente quindi del tipo
tbaxn m =+ dove però n è il m.c.m degli indici (minimo comune indice) dei radicali. Operiamo la sostituzione tx =+12 2 , dove ( )4,3,2...12 mcm= . Segue che: dttdxtx 1112 12 ,2 =−= , si ottiene:
( )
( ) ( ) cxxctt
dtttdttt
ttdxx
xx
+
+++=+
+
=+=⋅+
=+
+++∫∫∫
6 712 111411
103114
63
3
4
21412
11112
141
11112
112122
22
7
• Calcolare dxx
x∫ −
−+3 3
32
Svolgimento Operiamo la sostituzione tx =−6 3 , dove ( )3,2...6 mcm= . Segue che: dttdxtx 56 6 ,3 =+= , si ottiene:
( )
( ) ( ) cxxctt
dtttdttt
tdxx
x
+
−+−=+
+
=+=⋅+
=−−+
∫∫∫
6 73 274
3352
3
3
3713
216
71
216
26623
32
Esercizi Calcolare i seguenti integrali
1. dxx
x∫ +
+12
12sin3
porre tx =+1
2. dxxx
∫ ++
12
porre tx =
3. dx
xx∫ + 523
8
porre tx =+ 5
4. dxxx
x∫ +−+
++33
35
porre tx =+ 3
5.
( )∫ −− xxdx
2123
porre tx =− 21
2. Integrazione di funzioni della forma: ( )22, xaxf −
E` conveniente la sostituzione: asentx = quindi tdtadx cos= Esempio
• Calcolare ∫ − dxx 24
Svolgimento
Posto: sentx 2= si ottiene:
==
2cos2 xarcsenttdtdx
da cui segue che:
9
( )
( )
+−+
±=
+−+
±=++±=
=+±=+
±=±=⋅−=− ∫ ∫∫ ∫∫
cxxxarcsencxxxarcsenctsent
tdttdtttdttdttsendxx
22
222
422
24
12
22
222
2cos22
2cos14cos4cos2444
Esercizi Calcolare i seguenti integrali
1. dxx∫ − 29 porre tx sin3=
2. dxx∫ − 2916
porre tx sin
34
=
3. dxx
x∫
− 2
5
4
porre tx sin2=
4. dxxx
∫−
−265
23
porre tx sin65
=
10
Attenzione! La particolare sostituzione che ora descriveremo richiede la conoscenza delle funzioni iperboliche e delle loro funzioni inverse. Se lo studente, nel corso di analisi matematica 1, non avesse ancora incontrato queste funzioni può passare direttamente al paragrafo 4.
3. Integrazione di funzioni della forma:
( ) ( )2222 ,,, axxfxaxf −+
E` conveniente operare la sostituzione:
===
axsettsenhttadxasenhtx ,cosh,
Esempio
• Calcolare ∫+
dxx
x24
Svolgimento
Operando la sostituzione:
===
2,cosh2,2 xsettsenhttdxsenhtx
si ha:
cxcxsettsenhct
csenhtdttdttsenh
senhtdxx
x
++=+
=+
=+==⋅+
=+
∫∫∫
2
22
42
cosh2cosh2
2cosh244
24
11
Si osservi anche che l’integrale poteva essere facilmente ricondotto ad un integrale immediato. Esempio
• Calcolare ∫− 924 xx
dx
Svolgimento
Operando la sostituzione:
===
3cosh,3,cosh3 xsetttsenhtdtdxtx
si ha:
( ) ( )
( )c
xx
xxcttghtght
tghtdttghtghtddtt
tsenht
dtttt
senhtdtxxdx
+−
−−
=+−=
=⋅−==−
=
==−
=−
∫ ∫∫
∫∫∫
3
3223
24
22
42424
124311
811
2431
811
811
811
coshcosh
811
cosh1
811
9cosh9cosh813
9
Esercizi Calcolare i seguenti integrali, operando la sostituzione che si ritiene più opprtuna.
12
1. dxx
x∫
+ 2
2
4
2. dx
xx
∫−
+
165
2
3. ( )
dxx
x∫
+32
3
21
2
4. dx
xx∫ + 24 914
5. ( )
dxx
x∫
−32
2
1
7
6. dx
xx∫ −1163
25
4. Integrazione di funzioni della forma:
++
ndcxbaxxf ,
E` conveniente operare la sostituzione: ndcxbaxt
++
=
Esempio
• Calcolare ( )∫ −
+−
dxxx
x3
2 11
14
Svolgimento Operando la sostituzione:
13
311
−+
=xxt
si ottiene:
( )23
2
3
3
16,
11
−
−=
−+
=t
dttdxttx .
Da cui segue che:
( ) ( )
cxx
xx
ctdttt
dttt
tt
dxxx
x
+−+
−+
−=
=+−=−=−
−⋅⋅
−
−+
=−+
− ∫∫∫
3
4323
2
2
3
33
2
11
11
23
236
16
111
411
14
Esercizi Calcolare i seguenti integrali
1. ( )
dxxx
x∫
−+ 42 112
2. dxxx
xx
∫ +−
+ 22
23
3. dxxx
∫ −+
53232
4. dxxxx∫ +−
1313
14
5. Integrazione di funzioni della forma: ( )cbxaxxf ++2, Supponiamo che 042 ≠− acb Distinguiamo i casi in cui 0,0 <> aa . Nel primo caso la cbxax ++2 e` definita in tutto il campo reale se
042 <− acb , mentre esiste per valori esterni alle radici se 042 >− acb . Nel secondo caso, la cbxax ++2 esiste solo se 042 >− acb ed ha come dominio l`intervallo chiuso [ ]21 , xx avente come estremi le radici dell`equazione 02 =++ cbxax . 1. Caso 0>a . E` conveniente la sostituzione: ( )txacbxax +=++2 Esempio
• Calcolare ( )∫
+−− 652 2 xxxdx
Svolgimento Operando la sostituzione: ( )txxx +=+− 652 da cui segue che:
( )( )
dtt
ttdxt
tx 2
22
52652,
526
+++−
=+−
=
si ha
15
( )( )( )
( )( )( )
( )c
xxxc
ttdt
dtt
tttt
tt
t
dtt
tt
tt
tt
txxxdx
++−−−
=++
−=+
=+
++−⋅
+++
⋅++
−
=+
++−⋅
+
+−
⋅
−
+−
=+−−
∫
∫
∫∫
6522
22
22
52652
6552
252
52652
526
1
252
61
652
22
2
2
22
2
2
222
Esercizi Calcolare i seguenti integrali
1. ∫++ 12 2 xxx
dx
2. ∫+− 13
22
2
xxdxx
3. dxxxx∫ ++ 222
2. Caso 0<a .
E` conveniente la sostituzione: ( )1
21
2
xxxxxxacbxax
−−
−−=++
Esempio
• Calcolare ∫−
dxxx 22
1
16
Svolgimento Risulta per . In tale intervallo si ha:
( )∫∫ −−=
−dx
xxdx
xx 121
21
2
Ponendo ( )x
xtx
xxxx −=
−=−−
2,212
Si trova:
( )
( ) cx
xctdtt
dtt
t
tt
dx
xxx
dxxx
+−
−=+−=+
−=
=+
−
⋅+
=−
=−
∫
∫∫∫
2arctan2arctan21
2
14
121
21
21
2
22
2
2
Presentiamo ora uno dei più importanti metodi di integrazione, che permette di calcolare l’integrale del prodotto tra due funzioni.
Integrazione per parti
Integrazione di dxex xn∫ con n intero positivo. E` conveniente scegliere come fattore differenziale dxe x .
17
Esempio
• Calcolare dxex x∫ 5
Scelto come fattore differenziale dxe x e applicando piu` volte la formula di integrazione per parti si ottiene:
( )( )
( )
( )ceexexexexex
dxeexexexexex
ppidxexexexexex
ppidxexexexexex
ppidxexexexex
dxexexexexppidxexexex
dxexexexppidxexexppidxex
xxxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxxxxx
xxxxxx
+−+−+−
=−+−+−
==+−+−
==−−+−
==−+−
=−+−==+−
=−−==−==
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
12012060205
12060205
...12060205
...260205
...60205
3205...205
45..5...
2345
2345
2345
2345
2345
2345345
345455
Esercizi Calcolare i seguenti integrali
1. dxex x∫ 234 2. dxex x∫ +1372
3. dxex x∫ 72
Integrazione di dxxxn∫ sin ( o dxxxn∫ cos ) con n intero positivo. E` conveniente scegliere come fattore differenziale :
( )xdxxdx cos osin .
18
Esempio
• Calcolare dxxx∫ 2cos3 Svolgimento Si ottiene:
cxxxxxxx
dxxxxxxxx
dxxxxxxxdxxxxxdxxx
+−−+
=
−−+
=
+−−=−=
∫
∫∫∫
2cos832sin
432cos
432sin
21
2sin212sin
21
232cos
432sin
21
2cos2cos21
232sin
212sin
232sin
212cos
23
23
23233
Esercizi Calcolare i seguenti integrali
1. dxxx∫ 3sin2 2. dxxx∫ 4cos4
3. ( ) ( )dxxx∫ ++ 1sin1 2
Integrazione di 1log −≠∫ ndxxxn . E` conveniente scegliere come fattore differenziale dxxn .
19
Esempio
• Calcolare dxxx∫ log4 Svolgimento Si ottiene:
cxxxdxx
dxxx +−=⋅= ∫∫ 55554
251log
511x
51-logx x
51log
Esercizi Calcolare i seguenti integrali
1. dxxx∫ 3log2
2. dxxx∫ 2log6 3. ( ) ( )dxxx∫ ++ 12log12 2
Esempio
• Calcolare dxxx∫ arctan3
Svolgimento Si ottiene:
20
cxxx
dxx
xx
dxx
dxx
+−+=
=
++−−
=+
⋅=
∫
∫∫
arctan41
412x-arctanx
41
111
41arctanx
41
11x
41-arctanx x
41xarctan
34
224
2443
Esempio
• Calcolare dxxx∫ 3arcsin
Svolgimento Si ottiene:
dxx
xxxdxxx ∫∫−
−=2
22
91233arcsin
213arcsin
per calcolare l`ultimo integrale conviene porre xt 3sin = da cui segue che:
( ) ( ) cxxxcttttdtdxx
x+−−=+−==
−∫∫ 22
2
2
913arcsin541cossin
541sin
271
91
in conclusione si ha:
( ) cxxxxx
dxx
xxxdxxx
+−−−=
=−
−= ∫∫
22
2
22
913arcsin3613arcsin
21
91233arcsin
213arcsin
21
• Calcolare dxxe x∫ 2cos3 Svolgimento Si ottiene:
cxsenxedxxe
cxsenexedxxe
dxxexsenexe
dxxexsenexe
dxxsenexedxxe
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
+
+=
⇒++=
−+
=
−+
=+=
∫
∫
∫
∫
∫∫
2322cos
1332cos
2922cos
312cos
913
:che segue
;2cos942
922cos
31
2cos322
31
322cos
31
2322cos
312cos
33
333
333
333
333
Esempio
• Calcolare dxx
xxarcsen∫
− 2412
Svolgimento
22
cxxarcsenx
dxx
xxarcsenx
xdxarcsendxx
xxarcsen
++−−=
=−
⋅−+−
−
=
−−⋅=
−
∫
∫∫
2241
41
41241
412
441
4412
412
2
2
22
2
2
Lo stesso esercizio poteva essere svolto operando la sostituzione:
txarcsen =2 . Esercizi Calcolare i seguenti integrali
1. ∫ xdx3arcsin 2. ( )∫ + dxx 35log
3. ∫ xdxe x 4sin5
4. ∫ dx
xx2log
5. ∫
+dx
xxx
142arctan
2
6. ( )∫ + dxx 3tan 2 7. ( )∫ + dxx 34log 2
23
Integrazione di funzioni razionali della forma ( )
( )xQxP
Esempio
• Calcolare dxx
xx∫ −
+−4
132
24
Svolgimento Poiche` il numeratore ha un grado maggiore del denominatore e` lecita la divisione polinomiale, si ha:
dxx
xxdxx
xdxx
xx∫∫∫ −
++=
−++=
−+−
415
31
451
413
23
22
2
24
calcoliamo separatamente ∫ − 42x
dx
si ottiene:
( )( )∫∫ +−=
− 2242 xxdx
xdx
vogliamo decomporre la frazione in somma di frazioni, per far questo e` necessario determinare due costanti A e B tali che sia verifica la seguente identita`:
( )( ) ( )
−=
=⇒
=−=+
⇒
⇒−++=⇒+
+−
=+−
41
41
1220
2212222
1
B
A
BABA
BAxBAx
Bx
Axx
24
da cui segue che:
( )( )
cxxxx
xdx
xdx
xxdx
xdx
++−
=+−−=
=+
−−
=+−
=− ∫∫∫∫
22log
412log
412log
41
241
241
2242
si ha, in definitiva:
cxxxxdx
xxx
++−
++=−
+−∫ 2
2log45
31
413 3
2
24
Esempio
• Calcolare dxxxx∫ −−+ 652
123
Svolgimento Scomponendo in fattori si ottiene:
( )( )( )∫∫ +−+=
−−+dx
xxxdx
xxx 3211
652123
vogliamo determinare delle costanti A, B, C tali che:
25
( )( )( )
=
=
−=
⇒
=−+−=−+=++
⇒
⇒+
+−
++
=+−+
101
151
61
123604
0
3213211
C
B
A
CBACBA
CBA
xC
xB
xA
xxx
da cui segue che:
( )( )( )
cxxx
xdx
xdx
xdx
dxxxx
dxxxx
+++−++−=
=+
+−
++
−=
=+−+
=−−+
∫∫∫
∫∫
3log1012log
1511log
61
3101
2151
161
3211
652123
Esempio
• Calcolare ( )
dxx
x∫
−
+22 9
12
Svolgimento
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫−
+−
=
−+
−=
−
+ dxx
dxx
xdxxx
xdxx
x2222222222 9
19
29
19
2912
26
risolviamo separatamente i due integrali. Il primo e` immediato infatti:
( )( ) c
xdxxxdx
xx
+−
−=−=−
−
∫∫ 9192
92
2
2222
per calcolare il secondo integrale dobbiamo determinare quattro costanti A, B, C, D, tali che:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
=
==
−=
⇒
=+++−=+−+
=++−=+
⇒
⇒=−+−+++++−
⇒+
++
+−
+−
=−
1081
361
1081
192792702233
0330
1333333
333391
2222
2222
C
DB
A
DCBADBCA
DBCACA
xDxxCxBxxA
xD
xC
xB
xA
x
si ha:
27
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) cx
xxx
cx
xx
x
xdx
xdx
xdx
xdxdx
x
+−
−−+
=
=++
−++−
−−−=
=+
++
+−
+−
−=−
∫∫∫∫∫
91833log
1081
33613log
1081
33613log
1081
3361
31081
3361
31081
91
2
2222
in conclusione si ha:
( )dx
xx
∫−
+22 9
12 = ( ) cx
xxx
+−
+−
−+
91818
33log
1081
2
Esempio
• Calcolare ( )dxxx
x∫ +
+2
123
4
Svolgimento Conviene separare l`integrale come segue:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxx
dxx
xdxxx
dxxxxdx
xxx
∫∫∫∫∫ ++
+=
++
+=
++
21
221
221
2322323
4
23
4
calcoliamo separatamente i due integrali. Il primo e` immediato:
28
( ) ( ) ( ) cxdxx
xdxx
x++=
+=
+ ∫∫ 2log21
22
21
22
22
Calcoliamo il secondo integrale. Dobbiamo determinare delle cstanti A,B,C,D,E tali che:
( )
( ) ( ) ( )
=
=
==
−=
⇒
==
=+=+=+
⇒
⇒=+++++++
⇒++
+++=+
4121
041
1202
0200
1222
221
342222
23223
D
C
EB
A
CB
CAEBDA
ExDxxCxBxxAx
xEDx
xC
xB
xA
xx
da cui segue che:
( )
cxx
x
dxx
xxdx
xdxdx
xx
+++−−
=+
++−=+ ∫∫∫∫
2log81
41log
41
241
21
41
21
22
2323
in conclusione si ha:
29
( )
cxx
x
cxx
xxdxxx
x
+++−−
=+++−−+=++
∫
2log85
41log
41
2log81
41log
412log
21
21
22
22
223
4
Esercizi Calcolare i seguenti integrali
1. ∫ +++ dx
xxx
31
2
2
2. ∫ ++ dx
xx
15
2
2
3. ∫ +++ dx
xxx2
132
4. ∫ −
+ dxx
x414
2
5.
( )∫−
dxx
x22 9
3
6. ∫ +−
+ dxxx
x209
122
7. ( )∫ +−
dxxxx 127
12
8. ∫ ++
dxxx 132
12
30
9. ( )∫ +−−+ dx
xxxxx
12712
2
2
INTEGRALI DEFINITI Il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che:
( ) ( ) ( )aFbFdxxfb
a
−=∫
dove ( )xF e` una primitiva di ( )xf , con ( )xf continua in un intervallo [ ]ba, . Calcolare un integrale definito non e` difficile. Infatti il calcolo di questo tipo di integrali e` ricondotto al calcolo dell`integrale indefinito e il risultato ottenuto viene valutato negli estremi di integrazione. Vediamo alcuni esempi che permettono di comprendere meglio questo concetto. Esempio Calcolare dxex x∫
2ln
0
5
Osservazione Abbiamo gia` calcolato questo integrale come integrale indefinito, vediamo come gli estremi non influenzino in alcun modo il calcolo dell`integrale se non nella parte conclusiva, dove stavolta troveremo come risultato un numero! Infatti ricordiamo che mentre l’integrale indefinito è l’insieme di tutte le primitive della funzione integranda,
31
l’integrale definito è un numero. Nel caso particolare in cui la funzione integranda è non negativa, l’integrale definito, geometricamente rappresenta l’area della regione di piano delimitata dal grafico della curva (la funzione ( )xfy = ) e dall’asse delle ascisse. Si ha:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
1202ln2402ln1202ln402ln102ln2
12012060205
12060205
...12060205
...260205
60205
3205...205
45..5...
2345
2345
2345
2ln
0
2345
2ln
0
2345
2ln
0
2345
2ln
0
23452ln
0
345
2ln
0
3452ln
0
452ln
0
5
2ln
0
2ln
0
2ln
0
2ln
0
2ln
0
2ln
0
2ln
0
2ln
0
2ln
0
2ln
0
2ln
0
2ln
0
2ln
0
++−+−=
=−+−+−=
=
−+−+−=
==+−+−=
==
−−+−=
=−+−=
=
−+−==+−=
=
−−==−==
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫∫
xxxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxxxxx
xxxxxx
eexexexexex
dxexeexexexex
ppidxexexexexex
ppidxexexexexex
dxexexexex
dxexexexexppidxexexex
dxexexexppidxexexppidxex
32
Attenzione! Se si calcola un integrale definito utilizzando una sostituzione e` necessario modificare anche gli estremi di integrazione. Esempio
• Calcolare ∫+2
13
31 dxx
x
Svolgimento Operando la sostituzione tx =3 si trova dttdxtx 23 3, == inoltre bisogna modificare gli estremi come segue:
1122 3
=⇒==⇒=
txtx
infine si ottiene:
( ) ( )14321
2313311 3
23
22
1
2
1
22
13
33
1
33
−=
+=+⋅=⋅
+=
+∫∫∫ ttdtttdtt
ttdx
xx
Esempio
• Calcolare ∫ +2
4
2cos1π
π
dxx
Svolgimento Operando la sostituzione tx =2cos si trova
dtt
dxtx212
1,arccos21
−−==
33
inoltre bisogna modificare gli estremi come segue:
14
02
−=⇒=
=⇒=
tx
tx
π
π
infine si ottiene:
2112
1
12112cos1
0
1
2
0
1
2
4
+−=−
=−
−⋅+−=+
∫
∫∫
−
−
tdt
dtt
tdxxπ
π
Esercizi
Calcolare ∫ +3
0
2641 dxx
svolgimento
34
( )
( )[ ]103log103161
161
81641
:ha si 81
81 posto
3
0
3
0
23
0
2
++
=+==+=
==
∫∫SettSh
ShtChtttdtChdxx
ChtdtdxShtx
SettSh
Calcolare: ∫−
+4
2
2361 dxx
svolgimento
( )
+−+
++=
=+==+
==
−−−∫∫
52174log52174
121
121
61361
:ha si 61
61 posto
4
)2(
4
)2(
24
2
2 SettSh
SettSh
SettSh
SettSh
ShtChtttdtChdxx
ChtdtdxShtx
Calcolare: ∫− −
2
229
3x
dx
35
svolgimento
−−
==
−
==
∫∫
−− 3
23233
9
3
cos33 posto
32
32
2
22
arcsenarcsendtx
dx
tdtdxsentx
arcsen
arcsen
Calcolare: ∫ −+2
1
02
2
22 dx
xx
svolgimento
[ ] 3log22
12log2log22
1
22
22
21
241
22
21
0
21
0
21
0
21
02
21
02
2
+−=++−−+−
=+
+−
+−=
−+−=
−+
∫∫∫∫
xx
xdx
xdxdx
xdx
xx
Calcolare: ∫ +π3
0
23 12 dxx
svolgimento
36
( )
( )[ ]223
)3(
0
323
3
0
23
913log91322
22212
Chzdzd Shz posto
3(
0
ππππ
πππ
++++=
=+==+
==
∫∫SettSh
ShzChzzzdzChdxx
xx
SettSh
Calcolare: senxdxx⋅
−∫
2
0 22cos1
π
svolgimento
( ) 61 coscos
32
21-1 cos
21 1
2cos21 1
22cos1
2
0
32
0
22
2
0
2
0
=
−−=−−
=−=⋅
−
∫
∫∫
ππ
ππ
xxsenxdxxsenx
senxdxxsenxdxx
Calcolare: senxdxxsenx ⋅
−∫
2
0 22
π
svolgimento
37
32
31cos
2 21
22
2
0
3
2
0
2
0
2
0
=
−+−
=−=⋅
− ∫∫∫
π
πππ
xsensenxxx
senxdxxsensenxdxxsenxdxxsenx
Calcolare: ∫2
0
32
2337
π
xdxsenex
svolgimento
( )
1e20373 2cos32
20372
337 2
2
0
322
0
32
+=
−=∫
πππ
xx
exxsenxdxsene
Calcolare: ∫2
0
32
2cos337
π
xdxex
svolgimento
( ) 1e2037 2cos23
20372cos
337 3
2
0
322
0
32
+−=
+=∫
πππ
xx
exxsenxdxe
38
Calcolare: dx 2sen1cos2x 24/
0
x+∫π
svolgimento
( )( )21log2811
41
dx 2sen1cos2x21dx 2sen1cos2x
1
0
2
22/
0
24/
0
++=+
=+=+
∫
∫∫
dzz
xxππ
Calcolare: dxx
x 41 3
6
2
2
∫+
π
π
svolgimento
( )
+−++
++−
++
=+==+
∫∫
9213
941
23
921
3log
941
32log2
coth2coth2 41
22
3
6
23
6
2
23
6
ππ
ππ
ππππ
π
π
π
π
π
π
SettSh
SettShzzzdzdx
xx
SettSh
SettSh
39
Calcolare: 41 3
6
2 dxx∫ +
π
π
svolgimento
( )
+−
++−++
++
=+==+ ∫∫
361
6361
6log
91
391
3log
21
21 41
2222
3SettSh3
SettSh
6SettSh
23
6
2
6SettSh
ππππππππ
ππ
π
π
ππ
ShzChzzzdzChdxx
Calcolare: ( ) 913log 2 dxxx∫ ++
svolgimento E’ conveniente integrare per parti, si ha:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) cxxxxdxx
xxxx
dxx
xxxxdxx
xxxx
dxx
xxxxxxxdxxx
++−++=
+−++
=
+−++=
+−++
=
++++−++=++
∫
∫∫
∫∫−
22
2
2
2
2
2
2
2
1222
9131913log
9118
61913log
9118
61913log
913913log
91
93913913log 913log
40
Calcolare: ( )( )
1
2log 2 dxx
x∫ +
+
svolgimento
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
cxxxdx
xxxdx
xx
BAx
Bx
Axx
dxxx
xdxx
x
+++
+++
−=
+−
+++
+−=
++
−==⇒+
++
=++
++++
+−=
++
∫∫
∫∫
21log2log
1x1
21
11 2log
1x1
12log
:quindi
1 1 21
21
1 :posto
211 2log
1x1
12log
2
2
Calcolare: ( ) 12log7log 2∫ ++ xxx
dx
svolgimento
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
cxxc
tt
dttttt
dttt
dtxxx
dx
tx
+++
=+++
=
=
+
−+
=++
=++
=++
=
∫∫∫∫
4log3loglog
43log
41
31
43127
12log7log
:ha si log posto
22
41
Calcolare: ( ) dx sin
sinlogcos 2∫ xxx
svolgimento
( )
cxx
xctt
t
ttt
tt
xxx
tx
+−−=+−−=
=+−==
=
∫∫∫
sin1
sinsinlog1log
dt 1logdt logdx sin
sinlogcos
:ha si sin posto
222
Calcolare dx3 42
1
xex
xsen∫
porre tx = e poi integrare per parti.
Calcolare ( ) dx1xlog1x 1
0
3++∫
porre tx =+1 e poi integrare per parti.