INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
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INTEGRAL INDEFINIDA
Función primitiva: Una función F(x) se dice que es primitiva de otra función f(x) cuando F'(x) = f(x), (si la derivada de F es ƒ). Por ejemplo F(x) = x2 es primitiva de f(x) = 2x Otra primitiva de f(x) = 2x podría ser F(x) = x2 + 5, o en general, F(x) = x2 + K, donde K es una constante. Por lo tanto una función f(x) tiene infinitas primitivas. Al conjunto de todas las funciones
primitivas se le llama integral indefinida y se representa por f x dx( )∫
Demostración:
[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) 0 ( )d d dF x K F x K f x f xdx dx dx
+ = + = + =
El símbolo ∫ se llama signo de integral, y se lee, “la integral indefinida de ƒ (x) es igual a F (x) más K”. El adjetivo “indefinida” se usa porque el segundo miembro de la ecuación no es una función definida, sino más bien todo un conjunto de funciones posibles; la constante K se denomina constante de integración. Es razonable preguntarse si no hay otras antiderivadas de ƒ que no puedan obtenerse sumando una constante a F. Siempre que sólo se consideren valores de x en un intervalo I, la respuesta es no. Para ver por qué, sea G(x) cualquier otra antiderivada de ƒ(x); entonces
[ ] [ ]ddx
F xddx
G x f x( ) ( ) ( )= = de modo que F y G sólo difieren por una constante, K, en I,
es decir, G (x) = F(x) + K, para x en I. En el siguiente teorema se resumen estas observaciones. Teorema Si F (x) es cualquier antiderivada de ƒ(x), entonces para cualquier valor de K, F(x) + K también es una antiderivada de ƒ(x); además, en cualquier intervalo todas las antiderivadas de f (x) pueden expresarse en la forma F (x) más constante.
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x K F x f x′= + ⇔ =∫
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Propiedades básicas de las antiderivadas
a) Un factor constante puede sacarse del signo de integral; c f x dx c f x dx( ) ( )∫ ∫=
b) La antiderivada de una suma o resta es la suma o restas de las antiderivadas;
[ ]f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )± = ±∫ ∫ ∫
Integrales inmediatas:
Se llaman integrales inmediatas las que se deducen directamente de las fórmulas de
derivación. (Se utilizan las tablas directamente, para la solución de las mismas)
Tabla de integrales inmediatas.
1
2 2
1) 2) ( 1)1
3) 4)
5) sec tan 6) csc cot
7) sec tan sec 8) csc cot csc
1 '( )9) 10) ( ) ( )
+
= + = + ≠−+
= + = − +
= + =− +
= + = − +
= + = +
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
nn xdx x K x dx K n
n
Cosxdx Senx K Senx dx Cosx K
x dx x K x dx g x K
x x dx x K x x dx x K
f xdx Lnx K dx Lnf x Kx f x
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
1
11) 12) '( )
13) 14) '( )
( )15) ( ) '( )1
+
= + = +
= + = +
=+
∫ ∫∫ ∫
x x f x f x
x x f x f x
nn
e dx e K e f x dx e K
a Lnadx a K a f x Lnadx a K
f xf x f x dxn
2 2
2 2
2
'( )16) log log ( )( )
1 '( )17) arcsen 18) arcsen ( )1 1 ( )
1 '( )19) arccos 20) arccos ( )1 1 ( )121) arctg
1
+ = +
= + = +− −
− −= + = +
− −
= ++
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
a af xK e dx f x Kf x
f xdx x K dx f x Kx f x
f xdx x K dx f x Kx f x
dx x Kx 2
2 2
2 2
'( ) 22) arctg ( )1 ( )
1 '( )23) sec 24) sec ( )1 ( ) ( ) 1
1 '( )25) arccs 26) arccs ( )1 ( ) ( ) 1
= ++
= + = +− −
− −= + = +
− −
∫
∫ ∫
∫ ∫
f x dx f x Kf x
f xarc x K arc f x Kx x f x f x
f xcx K cf x Kx x f x f x
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Nota: Están algunas de ellas, puede visitar enlaces importantes de mi página para verificar otras integrales inmediatas Ejemplos:
( )12 31
2 2
2
2
2
3
1 3
2 2 22
32 2
1 3 312
1 csc cot csc
cos 5 4 5co
1)
2)
3)
4) (cos 5 4)
5) (1 )
s 4
( )
+
= +
= = + = + ⇒ = ++
= = = − +
=− +
+
− + ⇒ + + +
= +
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫∫
∫∫
x K
xx dx K x K x dx x K
Cosx dx x x dx x KSenx Senx
xdx senx dx senx
x dx
x dx
Cosx dxSen x
x senx x K
ctg x ctg
dx
ctg x tg x dx x tg x
2 2
2 2
1 1 1cos cos cos
cos cos 1cos c
2
oscos
( 1) csc
cos coscos
1 sec seccos co
sec6)
7)cos s
+
⇒ + ⇒ =− +
= ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =− ++
= ⇒ = +
+
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
∫ x x xsenx x sen x x
x senx xsenxxsenx
x dxtgx ctgxsenx dx
dx ctg x dx xdx ctgx k
senx xdx dx dx dx senxdx x kx
senx dx tgx xdx xx xx
2
2
2
3 5
2
22
2 2 2
5 72
1 22 2 2 5
23 2 3 ( )
8) ( )2
2 19) (3 )
( 2 1) 2 110)
11) (
1
1
( ) 2 2
) 2 27 3
−
−
= + ⇒ + = + +
= + + = − + +
= + + = + + = + − +
=
+
+ +
+ +
− − = −
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
x xx
x
k
e edx x xdx e dx x dx x k
dyx dy y dy y x Ln y ky y
x x dxdx dx
e x x dx
x dyy y
x x dxx
t t dt
x dx x Lnx kx x x x x
t dt tdt t
12
3
3
2 4 3 5 2 4 6
2
2 2
( 1)12)
13
2 1 22 2
) (2 )
23
1(4 4 ) 4 4 26
−
+
− += = − + = − +
−+
= + + = + + = + + ++
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
x dxx
x x d
t k
x x dx xdx dx x dx x x x kx
x x x dx xdx x dx x dx x x xx k
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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, (a esto se le
denomina cambio de variable), por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se
debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para
que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la
variable original.
Este método puede usarse para transformar complicados problemas de integración en
otros más sencillos.
En la práctica este proceso de sustitución se lleva a cabo de la siguiente manera: sea la
integral
a) Elegir una u, dígase .
b) Calcular ´
c) Realizar los cambios respectivos de u y du (toda la integral en función de la nueva variable)
d) Evaluar la integral resultante, aplicando algunos artificios matemáticos y las tablas de integrales inmediatas.
e) Reemplazar u por , devolviendo el cambio de variable, para que la respuesta final esté en función de x.
Resolver las siguientes integrales utilizando el Método de Sustitución Simple.
121 1
2 212
2
1
12
2
2
2
1 2 22
1 1 1 1.2
var
2 2 2 12
11
:1) . . : 1
−− +
= + ⇒ = ⇒ = ⇒ =
⎛ ⎞= = = ⇒ = + ⇒ = +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
⇒+
= + ++
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
Cambi du duu x x du x dxo d xdxdx
du du du usust u du I K I
xdxx
e ib
u Ku u u
xdx x
l
x
e c v
k
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( ) ( )
( ) ( )
32 2 2
2 2 3 4 3
5 44 3
33 2 1 : 1 22
1 1: 1 . 12 2
1 1
. .
2 2 5
1
4
2) + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
⇒ = − ⇒ − ⇒ −
⎡ ⎤⎡ ⎤− ⇒ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ ⇒ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
dux x xdx u x du xdx xdx
Despejamos x x u sust u u du u u du
u uu du
x
u d
x x
I
d
u
c v
k
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
5 42 233
4
3
2
45
27
54
2
3 2
2
33)
4) (5 3 )
1 1112 5 4
1: 3 22
32 2. 2 35 5
5: 5 3 6 ;6 3
(5 3
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥+ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦
= + ⇒ = ⇒ = ⇒
+= + ⇒ = + +
−= − ⇒ =− ⇒− = =
=
+⇒
− ⇒
−
∫
∫
∫
∫ ∫
x xx x dx k
dx duCambio de Variable x u dxdu u u
uxsust x dx k du u ku
du uCambio de Variable u x du xdx x
udu
u
x x d xx dx
I x x ( )
( ) ( )
( )
8 97 7 7
8 92 2
23
2
3
23
5 1 1 5) 53 6 18 18 8 9
5 5 3 5 3144 162
1 : 1 252
2 1. 2 2
2
)1
−− −
⇒+
⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤=− =− − =− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
− − −= + +
= + ⇒ = ⇒ =
/⇒ ⇒ = + ⇒ =− + ⇒ =− + ⇒/−
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
u du u uxdx u u u du k
x xI k
du dxCambio de Variable u x dudx x x
du u dxSust
dx
x x
u du I k I u k I ku u x ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
3 2
2 2
2 23
1
31
2
22
3 2 23
3 1
1
1 1
1 1 1 : 1
1 1.2 2 2 2 1
: 1 33
6) 1
7) 1
1.
− −−
−= +
+ +
− ⎛ ⎞= + ⇒ = ⇒− = ⎜ ⎟⎝ ⎠
−− ⇒− ⇒ =
⇒+
−
+ ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +− +
= − = =⇒ ⇒ ⇒
∫
∫ ∫
∫
∫
u
u
u
kx x
dzCambio de Variable Z dz duu du u u
dx z zSust z dz I k I k I k I kzz
du duCambio de Va
d
riable u t t t dtdt
S
u
dt
ust
t t12 31
2 2
12 3
12
1 1 2 2 ( 1)3 3 3 1 9 9
+
⇒ ⇒ + ⇒ = + ⇒ = − ++∫ ∫
uu du u du k I u k I t k
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( )( )
( )
( )
2 3 2
32 4
3
4
2
3
2
2
3
48 :) 4 3
4 3 2 6( )
6 1 1( ) . ( )6 6 6 3
118 (4 3 2 )
: 1 1 1
.
)
1
2
9 1
−−
= − − ⇒ = − +
−= + ⇒ ⇒ =− ⇒ =−
+
+ ⇒− −
= +− −
= − ⇒ = + ⇒ = ⇒
⇒−
− ⇒ =
+
−∫
∫
∫ ∫
Cambio de Variable u x x du x x dx
du du ux x dx Sust I u du I ku
I kx x
duCambio de Variable u t t
x xdx
x x
u du dtdt
S
t
ust
d
u
t t
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
1 4 1 4 13 3 3 3 3
7 74 43 3 3 3 7 73 3
7 43 3
12 2
23 132 1
21
2
2
5 3
3 3 3 31 17 4 7 4
1 1
10) : 1
1 1.
)
13
11
3
⇒ + ⇒ +
= + + ⇒ = + + ⇒ = − + − +
−= + ⇒ = ⇒− =
+⎡ ⎤− ⇒ = − + ⇒ ⇒ = − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
+⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
xx
xx
u du u u du u du u du
u u u uI k I k I t t k
du dxCambio de Variable u dudx x x
usust u du I k
dxx
d I k
x
x
x
x
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
3 3 3/2 2
3 3 2 2 2
3/2 5/2 3/2 5/2 3/2
37/2 5/2 7/2 5/2
7 52
3
2
( 1)
: 1 1 3 3 3
1 1 1. 13 3 3
2 11 1 2 2 13 3 7 5 3
1 −
= − ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =
⎡ ⎤+ ⇒ = + ⇒ +⎣ ⎦
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + ⇒ = + + ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
− ⇒∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
x x x dx
du duCambio de Variable u x x u x du x dx x dxdx
sust u u du I u u du u du u du
xu u u uI k I k I
dx
( )7/2 5/232 17 5
:12) 1
13)
1
. 1
. 1
. 1
1
1
⎡ ⎤+⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
= + ⇒ =
= + ⇒ = + +
= + ⇒ = ⇒ =
= + ⇒ = + ++
⇒+
⇒+
∫
∫ ∫
∫
∫ x x xx
x
x
xx
xk
Cambio de Variable u x du dx
dusust Ln u k I Ln x ku
duCambio de Variable u e e du e dxdx
du
dxx
e dxe
e dxsust Ln u k Ln e ku e
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( ) ( )
( ) ( )
3 12 21 1
1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 23 12 2
5/ 2 3/ 2
: 1 1;
. 11 1
2 21 1 15 3
(1 )
14) 1
15)1 (1 )
:
+ +
−
− −
= − ⇒ = + =
+ = + ⇒ + ⇒ = + ++ +
− = + + −
− ⇒
⇒++
+
⇒+
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
x
x xx x
Cambio de Variable z x x z dz dx
x zSust z z dx z z dz z dz z dz I k
x x dx x x k
dx e dxe e e
Camb
x x
io de Varia
dx
de
ble
x
2 2
2 2
1 . 1
: 22
1 1 1.2 2 2
: 22
s
16)
17
ust. 2 2
)
− − −= + ⇒ =− ⇒ = + ⇒ = + +
= ⇒ = ⇒ =
= + ⇒ = +
= ⇒ = = ⇒ =
=
⇒
⇒
∫
∫
∫
∫
∫
∫
x
x
x x x
u u x x
u u
duu e du e dx sust Ln u k I Ln e ku
duCambio de Variable u x du xdx xdx
sust e du
xe dx
e dxx
e k xe dx e k
du dx dxCambio de Variable u x du dudx x x
e du e
( )
( )
22
18)
19)
2
1 :
.2 2
:
.
−
−− − −
−
−
+ ⇒ = +
= ⇒ = ⇒ =
= + ⇒ = +
= + ⇒ = − ⇒ = −
−= + ⇒ =
+
⇒
−⇒
+
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
x x
x x
xx
x x x x x x
x x
x x
ek dx e kx
du dxCambio de Variable u Lnx dudx x x
Ln xu Ln xsust udu k dx kx
duCambio de Variable u e e e e du e
Ln x dxx
e e dxdx
du e eSus
e
t Ln u k
dxe
dxu e e
e
L
2
22 22
2 2 2
2
11
: 1 22
1 1 1. 12 2 2
20)1
−
−
−−
− − −
−
+ +
⇒−⎡ ⎤−⎣ ⎦
= − ⇒ = ⇒ =
= + ⇒ = −
⇒−
+
∫
∫ ∫∫
∫
x
x x
x
xx x
x x x
x
n e e k
dx e dxee e
duCambio de Variable u e du e dx e dx
dusust Ln u k I Ln eu
dxe
k
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( )2 1
22 2
1/21/2
1/2
2
12
21) 1
122)1
: 1
1 1. ( ) 2 1 ( 1) 1
: 1 .
)
2 1
23
x x x
x
x
x
x
x
duCambio de Variable u e e du e dxdx
du u esust u du k I k dx ku u e e
duCambiodeVariable u x du dx
e dx
sust duuu
uI k I
e
xx
x k
d
− +−
−
= + ⇒ = ⇒ =
− −⇒ = + = + ⇒ = +
− + + +
= + ⇒ = ⇒ =
= + ⇒
⇒+
+
⇒
= +
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫∫
( )
( ) ( )
2
3 2
2
3 2 3
3 2 2
2 3 2
332
2 33 9 1
( )24)
25)
: 3 9 1 3 6 9
1 12 3 . 3 9 13 3 3
( ):3
(1 )
.3
CambiodeVariable u x x x du x x dx
du dux x dx sust I Ln x x x ku
dx LnxuCambiodeVariable u Lnx d
x x dxx x x
Lnx dxx
dx
u sus
x x
t I du C kux
C
= + + + ⇒ = + +
= + + ⇒ = = + + + +
= ⇒ = ⇒ = = +
+ +⇒
+ + +
= +⇒
⇒+
∫
∫
∫
∫∫
( )
3 2/33 2
3
2
2
3
2
3
126)
27)1
1: 1 33
3. 3 3 1
2: ( )2
1 1. ( )2 2
: 11
dxambiodeVariable u x du dx duxx
du dusust I Ln x ku u
dx du dxCambio de Variable u Ln x dux x
dusust I I Ln Ln x k
dxxLn x
x d
u
x dx Cambio de Variabxx
e x dx
l ux
−= + ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = + +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = +
= − ⇒−
⇒
⇒−
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
3
32
2 2. 13 31
xu dx
x dusust dx I I Ln x x kux
−=
⇒ =− ⇒ =− − +−
∫ ∫
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( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
2 2 2
3 3
2
3
22
: 1 1;
1 1. 2 2 2 2 2 ( ) 21
22 11
: 1
228)1
22 1;
1 2 12.
9)1
1
= − ⇒ = + =
+ −⎡ ⎤⇒ ⇒ = + ⇒ = + +⎢ ⎥⎣ ⎦−
= − − +−
= − ⇒ =
⇒−
−⇒
−+ =
+ − +−=
−
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
Cambio de Variable u x x u du dx
u dux du dusust dx I I Ln u ku uu ux
I Ln x kx
Cambio de Variable u x x u du dx
u uxxsust d
x dxx
x xdx
x
xx
( )3
2
3
2 2
3 3
23
3 2 22
2
2 1 2 2 1
211
: 33
1 1.3 3 3
: 22
1.
30)
3
2
1)
+ + − − −= =
− ⇒ = − + +−
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = +
=
⇒
⇒ ⇒ = ⇒ =
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫u
u
u
u uu udu du d
x dxx e
axx d
uu u u
du du I Ln x Cu u x
duCambio de Variable u du dx dxx x x
due xsust du I ke e
duCambio de Variable u a du axdx xdxx a
sust
x
a
e
e
( ) ( ) ( )
2
3/2 2
2 2 2 0 2
3/
2
2 2 2
2
1 12 2
3 3 1 1: .3 3 3
2 2
2 :
32)
33
:
) − − −
−
= + ⇒ = +
−= ⇒ = ⇒− = ⇒ − ⇒ =− +
− + = − +
− + ⇒ ⇒ =
⇒
− ⇒
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
−
u
u x
x x x x x x
x
x
x
x x
x
axdu k I ka a
dx du dxCambio de Variable u du sust du I ke ex x x
dx dxe e e e e e e
dx dx dx para dx Cambio de Var
ex
d
iable ue e e
xe e
e e
2 21
2 2 23 1 2 3
2 22
1. ; : : 2 22 2
1 1 1. 22 2 2
−
− −
⇒ = ⇒ =
−= + ⇒ =− ⇒ =− ⇒ =
=− + ⇒ = + + ⇒ = − − +
∫x x
x x x
dxx du dx du
dxsust I k para dx Cambio de Variable u x du dx due e
sust I k I I I I I x ke e e
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
363 [email protected], [email protected], [email protected]
( )31/2 3/2
: 1
2 2. 13 3
1 1 1 111 1 1
1:
34) 1
2
: 1
51
1
)
( )
3
= − ⇒ = ⇒− =−
− ⇒ =− + =− − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⇒ + ⇒ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ = + ⇒ =
− ⇒
+
⇒ =+
⇒+
∫
∫ ∫
∫
∫
∫∫ ∫
∫
x xx xx
x
dxe e
x d
Cambio de Variable u du dx du dxe e e
sust du I k ku u e
x dx dx dx dxx x x
duPara dx Cambio de Variable u x du dxu
x
Ln
x
ux
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
23
2 2
3
2
2
2
1
: 1 1;1 1
2 11. 2 2 ( )
2(
36)
1 ) 2(1 ) (1 )2
37) :1
/
+
= + + +
⇒ ⇒ = + ⇒ = − =+ +/
− +−⇒ ⇒
⇒+
− + ⇒ = − + +
+= − + + + +
⇒− −
⇒
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
k
I x Ln x C
x dxx dx Cambio de Variable u x x u du dxx x x
u duu du u du usust udu du I u Ln u ku u u
xI x Ln x k
dx Cambio de Variable ux x
x dxx x
dxx x
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2
238
112
1 1. 12 2
: 1 1;2
2 2 1
4 31 2 2 1 3 2 1. 2
3 ( 1)2 ( 4 ) 2( 4 3 ( )) 2( 4(
)
2
1
2
= − ⇒ =
⇒ = − +
= − ⇒ = + =
⇒ = → + =
+⇒
+ ++ + +⎡ ⎤ + +⎣ ⎦ ⇒ ⇒
−+ + ⇒ = + + + ⇒ =
−
+ −
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
x du dxx
dusust I Ln x ku
dxCambio de Variable u x x u dux
x du dx u du dx
u u duu u du u u dusust
u u uu xu du I u Ln u k I
x dxx
xu
( )
1) 3 ( 1)
: ;
1. 1
39)
+ − +
= − ⇒ = − =−
⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠
= + + ⇒ = − + − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
Ln x k
Cambio de Variable u a x x a u du dx
x a u asust dx du du a du dua x u u u
I aLn u u k I aLn a x
dxx
a
a
x
x
k
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( )
2 1 2 212 1 2 1
2 1 2: 2 1 2 . 1 12 2
1 1 1 12 2 2 1 2 2 12 2 2
12
2 340)2 1
x dx dxx x
duCambio deVariable u x du dx sust I duu u
I du du u Ln u C I x Ln x ku
I x
x
L
dx
n
x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ += +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = ⇒ + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= + = ⎡ + + ⎤ ⇒ = ⎡ + + + ⎤+ ⇒⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦
= + +
⎛ ⎞+⇒⎜ ⎟+⎝ ⎠∫∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
32
3 3 92 2
2 1
: 3 2 ; 2
1 3( ) 1 ( ) 1 3 11.2 2 2 2
1 3 1
1 341)3 2
1 1 3 11 3 112 2 2 2 2 2 4 4
u
u u
x k
Cambio deVariable u x x du dx
du du usust I I I duu u u
duI du I u Ln u k I u Ln u ku
x dxx
−
− −
+ +
= + ⇒ = =
− − − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + ⇒ = − + + ⇒ =− + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
⎛ ⎞−⇒⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
2
2
1 2
2
2 1
3 113 2 3 24 4
1 1 1 11 1 1 1
1; : 12 1
2 21 2
42)1
I x Ln x k
x x x xx I x dx I xdx dxx x x x
x xI k I dx Cambiode Variable u x du dxx
u xI dx du u Ln u k Iu
x dx
u
x
=− + + + + =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + += + ⇒ = + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞+= + = ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟−⎝ ⎠
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞=
⎛ ⎞+⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠
= + = + + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
( )( )2
2
2
2
1
5 743)3
1 2 12
3 2 1 1 12 23 3 3
12 : 32 3
1. 2 32
x Ln x k
x xdx x dx xdx dx dx
x x x
xI x k dx Cambiode Variable u x du dxx
xsust I dx Ln u k I x Ln x k
x x dxx
u
+ − + − +
+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞= + + + ⇒ = + ⇒ =⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞= = + ⇒
⎛ ⎞+ +⎜
= + + + +⎜ ⎟⎝
+⎝ ⎠
⎠
⎟ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
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( )( )
( )
3 23 2
4 33 2 2
22 2
2
4 2
2
2 2 1 3 32 21 1
12 2
144)1
45
3 2 3 11 4 3
2) 2
x x x xdx x x x dx
x x
x xI x dx x dx xdx dx dx I x x Ln x kx
ab b dxa dx a dx abx a
x x dxx
ba dxx x aa
⎛ ⎞+ + + − + ⎛ ⎞⎜ ⎟ = + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞= + + + + ⇒ = + + + + − +⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟
⎜ ⎟−
⎛ ⎞+ +⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞+ ⇒⎜ ⎟+⎝ ⎝⎠ − ⎠
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ( )
( )
( )
( )
22
2 22
1 2
2 222 2 21 12
4
1
12
1 :
1.
6
= 2
)
b dxx a x a
I a x abLn x a b dxx a
I dx Cambio de Variable u x a du dxx a
b bsust I b du I b u du
x Ln xdx
x
k I a x abLn x a ku x a x a
xx
−
⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= + − + ⇒⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞
= ⇒ = − ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⇒ = = − + ⇒ = + − − +⎜
⎛ ⎞+⇒⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ − −⎝ ⎠
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1/2
1/2
3
2
2
1
2
3 2
2 2 224
2
: ( ) .
2
7
2
2
)
Ln x Ln xdx x dx
x x
Ln x Ln xI x dx dx I x dx
x x
Ln x dx uI dx Cambio deVariable u Ln x du sust u du kx x
Ln xI x k
x a xdx xx
dxx a x
xa
−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞
= ⇒ = ⇒ = = +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + +
⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ( )2
2 2 2
22 2 2
2 2
2 2 2 2 22 2 2
: 22 2
1I=2 2 2 2 2 2
a xdx x dx dxa x a
x x duI a dx CambiodeVariable u x a du xdx xdxx a
x du x a x aa I Ln u k I Ln x a ku
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= − − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞− − ⇒ = − − + ⇒ = − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫
∫
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( )
( ) ( )
2
2 2
48) 4
4
: 4 44
1 1 1. ( ) ( ) 4 44 4 4
: 55
1 1. ( ) ( ) (
9) (5
) 5 ) (5 5
)
(
Cos x dx
S
duCambio de Variable u x du dx dx
Sust I Cos u du I Sen u k Cos x dx Sen x k
duCambio de Variable u x dx
sust Sec u du tg u k ver Tabla Se
ec x dx
c x dx tg
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = + ⇒ = +
= ⇒ =
= +
⇒
⇒ =
⇒
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
3 23 22 3
3
5 )
: 3 3
1 1 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3
50) ( ) ( )
51) ( :6 ) ( 66
1. ( )6
6 )
x k
duCambio de Variable u x du x dx x dx
sust I ctg u Csc u du Csc u k ver tabla I Csc x k
d
x ctg x Csc x dx
ctg x Sen x dx uCambio de Variable u x dx
sust I ctg u S
⇒
⇒
+
= ⇒ = ⇒ =
= = − + ⇒ = − +
= ⇒ =
=
∫
∫
∫
2
2
1 1( ) ( ) ( )6 ( ) 6
1 1 (6 )6 6
: 22
1 1 ( ) 1 ( ). ( ) (
52) (2 ) (
) ( )2 2 ( ) 2 ( )
1 1 (2
2 )
Cos uen u du Sen u du Cos u duSen u
I Sen u k I sen x k
duCambio de Variable u x dx
Sen u Sen usust I Sen u tg u du Sen u du duCos u Cos u
Cos uI
Sen x tg x dx
⇒ ⇒
= + ⇒ = +
= ⇒ =
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
−=
⇒
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫2
1 2
) 1 1 1 ( ) ( )2 2
( ) ( ) ; ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) (2 ) (2 ) (2
53)
)2 2
Cos x
Cos udu I du I Sec u du Cos u duCos u Cos u Cosu
I Sec u du Ln Sec u tg u k I Cos u du Sen u k
I Ln Sec u tg u Sen u k I Ln Sec x tg
e
x Sen x k
Ic x
edxCs
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = − ⇒ = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
= = + + = = +
= ⎡ + − ⎤ + ⇒ = ⎡ + − ⎤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇒ =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
: ( ) ( )
.
Cos x
u u Cos x
Sen x dx Cambio de Variable u Cos x du Sen x dx
sust I e du e k I e k
⇒ = ⇒ − =
= − = + ⇒ = − +
∫
∫
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12
2 2
2
2
2
54)
55)
: ( )
1.1
1:
Cambio de Variable u Cos x du Sen xdx
du u Sen xsust I u du I k I k dx Sec x ku u Cos x
Sen x dx Senx dx SenxOtra forma dx tgxSec x dx Secx kCos x CosxCosx Cos
Sen xCos x
tg x Sec x
x Co
dx
sx
−−
= ⇒ − =
−= − = − ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +
⇒
−
= = ⇒ = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ 2
3/ 21/ 2 2 3
32
( )56)
: ( )
2. ( )3
1 :
( ). (
1
)
57) 3
tg Lnx
Cambio de Variable u tg x du Sec x dx
usust u du u du I k tg x Sec x dx tg k
Cambio de Variable u Ln x du dxx
tg Ln xsust I tg udu Ln Sec u k dx
dxx
Secxtgx dx
Ln Sec Ln
S
x kx
= ⇒ =
= ⇒ = + ⇒ = +
= ⇒ =
= = + ⇒ = +
⇒
⇒
+
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( ) ( ) ( )
2
: 1 3 33
1 1 1. 1 33 3 1 3sec 3
:
.
5 )
2
8
duCambio de Variable u Secx du Secx tgxdx Secx tgx dx
du Secx tg x dxsust I Ln u k Ln Secx ku x
Sen xCambio de Variable u Ln Cosx du dx du tg x dx
Cosusust I udu
ecx
Ln Cos x t
k
gx dx
= + ⇒ = ⇒ =
= = + ⇒ = + ++
−= ⇒ = ⇒ − =
= − = − + ⇒
⇒
⇒
∫
∫
∫ ∫
2
2
2
22
2
2
59)
60)
( )2
:
.
:1
.
1
1
ctg
ctg
xu u ctgx
x
Ln CosxI k
dxCambio de Variable u ctg x du Csc x dx duSen x
eSust I e du e k dx e kSen x
dCambio de Variab
eSen
le u ArcSen du
du ds
x
dArcs
ust I Ln u ku
enθ
θθθθ
θθ
−= +
= ⇒ =− ⇒ − =
= − = − + ⇒ =− +
=
⇒
⇒ ⇒ =−
= = + ⇒−
−
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
2Ln Arc Sen k
Arc Senθ
θ θ= +∫
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( )
2
2
2
1
2
22
2
1 22
1
1 1
61)1
:1
.2 1 2
62) ( ) ( :
. ( )
) −
= ⇒ =+
= = + ⇒ = ++
= ⇒ = − ⇒− =
= − = − + ⇒ =−
⇒+
⇒
∫
∫
∫
∫
∫
∫
x
x
x
x
dxCambio de Variable u Arctgx dux
Arc tgxu Arctgx dxsust I udu k kx
dxCambio de Variables u x du x dx dux
sust I Cosudu Senu k
Arctgx dxx
Cos d
Co dx
x
s sen 1
2 2 2 2
21 2
21 1 2
2 2
2
( )
(2 )(2( )1 4 1 4 1 4 1 4
:
2 )63)
(1 4
1 41 4 8
1 1 1. 1 48 8 1 4 8
(2 )1 4
)
+
⎡ ⎤− ⇒ −⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦
= ⇒ = + ⇒ =+
= = + ⇒ =
−⇒
+
= + ++
=+
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫
x k
Arctg xx Arctg x x dxdx dxx x x x
x dx duI Cambiode Variable u x xdxx
du xdxsust I Ln u k I Ln x ku x
Arctg x
x A
I
rctg x dx
x
x
dx 2
3/23
2 2 232
2 32
: (2 )2 1 4
(2 )1 1 1. (2 )2 2 1 4 3
(2 ) 1 11 4 (2 )1 4 8 3
111
41
6 )1
⇒ = ⇒ =+
⎡ ⎤= = + ⇒ = = +⎢ ⎥/ +⎣ ⎦
−= + − +
+
−⎡ ⎤−=⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
⇒+
∫
∫
∫∫
∫
∫
du dxCambiode Variable u Arctg xx
Arctg xusust I u du k I dx Arctg x kx
x Arctg x dx
dxSen
Ln x Arctg x kx
Sendx Sen xSenx Sen xx
( )( )
( )
( ) ( )( )
22
2 2
21 2
2 2
65) c
11
1
1
1
: ( ) coos
−⇒
−
= −
= = = +
= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + +
⇒ =⇒ =
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫sen x
x Senxdx dx
Cos xSen x
SenxI dxCos x Cos
I dx Sec x dx tgx kCos xSenx Senxdx SenxI dx dx tgxSecxdx Sec x k I tgx Sec x k
Cos x CosxCos x Cosx Cosx
cambiode Variable u sen x da ux dx
( ) ( )( )
( )
s( )
. 0 0= = + > ⇒ = + >∫sen xu
u
x dx
a aSust I a du k con a I C con aLn a Ln a
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1(2 ) (2 ) 1 (2 )(2 ) (2 ) 1 (2 )
(2 ) (2 )
: 22
1 1.2 1 1 1
(2 )66) (2 ) (2 )
= =− −−
= ⇒ =
⎡ ⎤ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎢ ⎥− − +⎝ ⎠ ⎝
−
⎠⎣
⇒
⎠⎝⎦
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Sec x dxCos xdx dxSen xSec x Tag x Sen xCos x Cos x
duCambio de Variable u x dx
du du
Sec x dxSec x ta
Senusust ISenu Senu Senu
g x
( )
( )
2
2 2 2
21 2
2 2
1
2 22
1 12 1
1 1 1 2 2
2
:
. 1
−
+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎟ −⎣ ⎦
⎡ + ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
= = = + = +
= ⇒ = ⇒− =
= − = = −−
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
Sen udu
Sen u
Sen u du Sen uI du duCos u Cos u Cos u
duI Sec udu tgu k tg x kCos uSen uI du Cambio de Variable w Cosu dw SenuduCos u
dw wsust I Iw
( )
[ ]
2 2 2
2
67)
68)
1 2
1 (2 ) (2 )2
: s .
1 2
ec
⇒
⇒
+ ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +
= + +
=
= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +
+
∫ ∫∫
∫
∫
T
SecxSecx
u u Sec
Sec x
x
k I k I Secu k I Sec x kCosu
I tg x Sec x k
Senx e dx tan xSecx e dxCosx Cosx
Cambio de Variable u x du Secx tan xdx s
Senx e dxCos
ust e du e k Ix
dxCos x
e k
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
4 42 4 2 2 4
; : 1 ; 2
1 1 1 2 2 2 22
9
6 )
+ = = −+ + −
= = = = ⇒ = + +
⇒+
= +
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫∫
dx Donde Sen x Cos x Cos x Cos x Sen xSen x Cos x Cos x Sen x
dx dx dxI Secx dx I Ln Secx Tgx kCosxCosxCos x
Sen x Cos x dx Sen x dx Cos x dxSen x Co
dxSen x Cos s x Sen x Cos x Senx 2
1 22 2 2 2
1 4 2 2 2 2 2 2
(I ) (I )
+= = = =
∫
∫ ∫ ∫
x Cos x
Sen x dx dx Sen x Cos x Sen x dxI dxSen x Cos x Sen x Cos x Sen x Cos x Sen x Cos
2
2 2 2
3 4
22
3 2 2 2
(I ) (I )
+
= = = =
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Cos x dxx Sen x Cos x
Sen x dx dxI Sec x dxSen xCos x Cos x
( )
22
4 2 2 2
24 2 2 2 2
2 4 2 4
1
+
= = = = − +
= = = = = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
tan x k
Cos x dx dxI Csc x dx Ctgx kSen xCos x Sen x
Cos xdx dxI Csc x dx Csc xCsc x dx Ctg x Csc x dxSen xCos x Sen x
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
370 [email protected], [email protected], [email protected]
2 2 22
5 6
2 2 25
3 32
5 5
26
4 2
( ) ( )
:
.3 3
=
I Ctg x Csc x dx Csc x dx
I I
I Ctg x Csc x dx Cambio de Variable u ctgx du Csc xdx
u Ctg xsust I u du k I k
I Csc x dx Ctgx k
dxSen x Cos x
= +
= ⇒ = ⇒ − =
= = − + ⇒ = − +
= = − +
∫ ∫
∫
∫∫
∫
( )
3
2 2 2 2
2 4 2 4 2 4
1
2 4
23
( )
70)
Ctg xTgx Ctgx k
Sen x Cos x dx Sen x Cos xdx dxSen xCos x Sen xCos x Sen xCos x
I
dxSen xCos x
− − +
+⇒ = +∫ ∫ ∫∫
( )2
24 2 2 2 2
1 2 4 4
2 2 21
3 4
23
2 24
( )
1
( ) ( )
( )
( ) :
I
Sen x dxI dx Sec x dx Sec xSec x dx Sec x tan x dxSen xCos x Cos x
I Sec x dx Sec x Tan x dx
I I
I Sec x dx tanx k
I Sec xtan xdx Cambio deVariable
= ⇒ = = = +
= +
= = +
= ⇒
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫
∫
( )
2
3 32
4 4
2 22 2 2
2 2 4 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2
. ( ) ( )3 3
( )
( )
u tanx du Sec x dx
u tan xSust I u du k I k
Sen x Cos xCos x Sen x dx Cos x dxI dx dxSen xCos x Sen x Cos x Sen x Cos x Sen x Cos x
dx dxI Sec x dx Csc x dx tanx Ctgx kCos x Sen x
I
= ⇒ =
= = + ⇒ = +
+= = = +
= + = + = − +
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
3 3
2 2
2
2 22
2 2
2
2 2
2
7
23 3
1 1
2 112 1 1: 1
1 1
. 2 2 1
1)1
1
1
Ttan x tan xtanx tanx Ctgx k tanx Ctgx k
dx
x Ln x x
x x xdxx xCambio de Variable u Ln x x du du dx
x x x xdx dudu sust I u k
dx
x Ln x
I Ln x x kux
x
= + + − + = + − +
+ + +
⎡ ⎤ + ++⎢ ⎥+ +⎣ ⎦= + + ⇒ = ⇒ =
+ + + +
= ⇒ =
⇒
= + ⇒ = + ++
+
+
+ +
∫
∫ ∫
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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 tan 2 tan .cot cot tan 2 c72 ot
tan 1 1 cot tan 1 1 cot
sec csc tan c
) tan cot
( )73
ot
1:2
. 2
)
2 cos
+ + = + +
= + + + = + + +
= + = − +
= ⇒ =
= = − ⇒
⇒
⇒
+
+ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
∫
∫
∫
x x x x dx x x dx
I x x dx x dx x dx
I x dx x dx x x k
Cambio de Variable t x dt dxx
sust I s
x x dx
sen
en t dt
dx
t
x
k
x
2 2
1 2
21
2 2 2 2
2
2 cos
( ) ( )
( )
( )
174
)
+
= − +
+
= = − +
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = =
⇒ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
I x k
dx tgx dxtgx dxS Sen x Sen x
I I
I Csc x dx Ctgx k
Senx dxtgx dx Senx dx dxCosxISen x Sen x S
en x
en x Cosx Senx C
( ) ( )
2 2
2 2
2
75
( )
)2 2
: ( 2)
+⇒
+ = + = +
= + + ⇒ = − + + +
= − ⇒ =⇒− −
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
Sen x Cos x dxosx Senx Cosx
Sen x dx Cos x dx Senx dx Cosx dx Tgx dx Ctgx dxSenx Cosx Senx Cosx Cosx Senx
I Ln Secx Ln Senx k I Ctgx Ln Secx Ln Senx kdxCambio de Variable u Ln x d
Ln xudx
x
2 2
33 12
2 2 21 12 2
22 2
2
2
. (
176)
2)
1 1
1 1 ( )−−
−
= + ⇒ = − +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡
⎡ ⎤−⇒⎢ ⎥
⎣
⎤= − ⇒ = − ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
⎦
⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
x x
xx
x x
x x x
x xxx x
xdusust Ln u k I Ln Ln x ku
a aI dx dx I dx dxa aa a
I a dx dx I a dx dx I a
a d
dx a d
x
xa
a
a
I( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
32
2 2
3 12
2
2
32
3 12 2
2
2 2ln ln 3 lnln( )ln( ) ln
: 2
7. 72 2
77
7
) 7
− −
−− + ⇒ = − + ⇒= + +−
= ⇒ =
= ⇒ = +
⇒
∫
∫
xx x
xx x
x
u
x
u
a a a a a ak I k ka a aaa a a
Cambio de Variable u x du xdx
du
x dx
sust I I kLn
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( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
2 2
1
22
1
cos 2 cos
1 2 cos 2 cos
2 cos : cos
22
78) cos
791 cos 2
2)
= + +
= + = +
= ⇒ = ⇒ =
= = + ⇒ = + +
−⎛ ⎞=
+
⎟⎠
⇒ ⎜⎝
⇒ ∫∫ ∫
∫
∫∫
∫
∫
∫
ax sen ax ax sen ax dx
I ax sen ax dx dx ax sen ax dx
I ax sen ax dx Cambio deVar
ax sen ax dx I
sen x dx
iable u sen ax du a ax dx
sen axuI u du k I x ka a
xI dx ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
22
2
14
80)
1
21 1 cos 22 2 2 4
cos 1 1
81)3cos 5
1
1
= − ⇒ = − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝
⇒
⎛ ⎞⇒⎜ ⎟⎜
⎠⎛ ⎞
= − =
⎟−⎝
− ⇒ = − − +⎜ ⎟⎟⎝ ⎠
⎠
⎜
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
sen xxdx x dx I k
ax sen axI dx dx dx
sen ax sen axsen ax
Ctg axI dx dx Csc ax dx dx I x k
se
ctg ax dx
d
n ax a
Cxx
ambio d
( )( ) ( )
14
1 1 115 15 15
1 1 115 4 4
2
21 1 12 2 2
2 2
2
: 5 55
1. ( ) ln ( ) ( )cos
5 5
:82)cos (
2
. ( )cos ( )
)
= − ⇒ = ⇒ =
⎛ ⎞= ⇒ = = + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠= − + − +
= ⇒ =
= =
⇒
⇒ =
∫ ∫
∫ ∫
∫
dueVariable u x du dx dx
sust I du I Sec u du Sec u tg u ku
I Ln Sec x tg x k
Cambio deVariable u x du xdx
dusust I Sec u du I
x dxx
tu
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2
22 2
83) ( )
84)
: ( ) ( )
. ( )
: 2 2
1 1 1. ( ) ((
(
)2
2 )
2 2
−
−
−
+
= ⇒ = ⇒ − =−
= − = − + ⇒ = − +
= ⇒ =
= = + ⇒ =
⇒
⇒
∫
∫
∫
∫ xa b
x
x
u
b
a b
a
x
g x k
dxCambio deVariable u du a b du dxa b
sust I a b ctg u du a b Ln sen u k I a b Ln sen k
Ca
ctg dx
dxsen
mbio de Variable u x du dx
dusust I Ln tg k I Ln t
x
gsen u
) + k
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INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
a) Para integrales del tipo: ( ) ; cos ( )n nsen x dx x dx∫ ∫
Si n es un número entero positivo impar, se comienza escribiendo: 1 1( ) ( ) ( ) ; cos ( ) cos ( )cos( )n n n nsen x dx sen x sen x dx x dx x x dx− −= =∫ ∫ ∫ ∫ , Como el entero n ‐ 1 es
par, se puede aplicar la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen x x+ = para obtener una integral más fácil.
b) Para integrales del tipo: ( )cos ( )m nsen x x dx∫
B1) Si m y n son enteros pares, reducir los exponentes de sen2 x y cos2 x usando las fórmulas para la mitad de un ángulo. B2) Si n es impar, escribir la integral como
1( ) cos ( ) ( ) cos ( ) cosm n m nsen x x dx sen x x xdx−=∫ ∫ , y expresar1cos ( )n x− en términos
de ( )sen x aprovechando la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen x x+ = . Usar la sustitución
( )u sen x= para evaluar la integral resultante.
B3) Si m es un entero impar, escribir la integral como
1( ) cos ( ) ( ) cos ( ) ( )m n m nsen x x dx sen x x sen x dx−=∫ ∫ , y expresar 1( )msen x− en
términos de cos( )x aprovechando la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen x x+ = . Aplicar la
sustitución cos( )u x= para evaluar la integral resultante.
c) Para integrales del tipo: ( )sec ( )m ntag x x dx∫
C1 Si n es un número par, escribir la integral como
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )m n m ntg x Sec x dx tg x Sec x Sec x dx−=∫ ∫ , y expresar 2( )nSec x− en
términos de ( )tg x tan x aprovechando la identidad trigonométrica 2 2 1Sec x tg x− = . Usar
la sustitución ( )u tg x= para evaluar la integral resultante.
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C2) Si m es un entero impar, escribir la integral como 1 1( ) ( ) ( ) ( )( )( )m n m ntg x Sec x dx tg x Sec x Secx tgx dx− −=∫ ∫ Como m‐1 es par,
1( )mtg x−
puede expresarse en términos de ( )Sec x aprovechando la identidad trigonométrica 2 2 1Sec x tg x− = Usar la sustitución ( )u Sec x= para evaluar la integral resultante.
C3) Si m es par y n es impar, emplear otro método como, por ejemplo, integración por partes.
33
2 2 2
1
22
(cos )22 3
3
2
3
( ) (1 cos ) cos ( )
cos
cos ( ) : cos
. cos
1 1 cos (
85) ( )
86) cos 2
⇒ − = −
= = − +
= ⇒ = ⇒ = −
= − = − + ⇒ = − − +
=
⇒
⇒ +
∫ ∫ ∫ ∫∫∫
∫
∫
∫
xu
sen x senx dx x senxdx senxdx x senx dx
I senxdx x k
I x senx dx Cambio deVariable u x du senxdx
sust I u du k I x k
I
sen x dx
x dx ( )
( )
( ) ( )
3 4
2 4
2 4 2 4
5 5 72 4 4 6 71 11 15 57 7
87) cos
88) sec
1 1 (2 )2 ) cos (2 )2 2 2 4
cos 1 coscos: cos
. 1
= + ⇒ = + +
= = −
= ⇒ =
= − = − = − + ⇒ = − +
⇒
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
x sen xx dx dx x dx I k
I x x x dx x x x dxsen sen senCambiode Variable u sen x du x dx
u sensust I u du du k I x x kse
x x dxsen
tg
n
x
u u u u
xd
( )
5 3
2 2 22 2 2
2
32 2 4 2 51 15 3 5 3
2 23 2 2 2
( )sec ( )sec ( ) ( )( ( ) 1)sec
: tan sec
. ( 1) ( )
89) cos cos 1 cos cos
= = +
= ⇒ =
= + = + ⇒ = + + ⇒ = + +
= =
⇒
⇒ −
∫∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
tg x tg x
I x x x dx x x xdxtg tg tg
Cambio de Variable u x du xdx
sust I du du I u k
x
sen
I ku u u u u
I sen x x sx x dx en x dx x x sen x
( )
( )
2 4
3 5 3 52 4
cos cos : cos
cos cos.3 5 3 5
− ⇒ = ⇒ − =
−= − − =− + ⇒ = + +
∫
∫
dx
x x sen x dx Cambio de Variable u x du sen x dx
t t x xsust I t t dt I k
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( ) ( )
( )( ) ( ) ( )3 1
2 2
3/ 2 3/233
3
2
3/22
2
(2 ) cos(2 ) (2 ) cos2 (2 )
1 cos (2 ) cos(2 ) (2 ) ( cos2 cos2 ) (2
(2 )89)(c
)
: cos(2 ) 2 (2 )
os(2 )
(
.
)
2 )
−
− −
−
−
⇒ = =
= − = −
= ⇒ = − ⇒ =
∫ ∫
∫ ∫
∫
du
I sen x x dx sen x x sen x dx
I x x sen x dx x x sen x dx
Cambio de Variable u x du se
sen x
n x dx sen x dx
s
xx
ust
d
312 23
1122
31 1
2 2
(cos(2 ))2 1( ) ( )2 3 3cos(2 )
−−
− −= − = − − + ⇒ = + +∫xu uI u u du k I k
x
( ) ( )
( )
( )
2224 21 cos(2 ) 1 1 2cos(2 ) cos (2 )
2 41 1 cos4 11 2cos2 2 4cos(2 ) 1 cos(4 )4 2 81 1 4 2 4 3 2 43 4cos(2 ) cos(4 ) 38 8 2 4 8 4 3
0)
2
9 xI sen x dx dx x x dx
xI x dx x x dx
sen x sen x x sen x sen xI x
sen x
x x x
d
d k
x
k
−⎛ ⎞= = = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
+⎛ ⎞= − + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= − + = − + + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
DÁMASO ROJAS MARZO 2008