Advanced Numerical Methods 103
بررسی همگرائی:ارددوجودهمگراییمعیارتعیینبرايمختلفیهايروش
Advanced Numerical Methods 104
معادالت سهمويParabolic Equations
Advanced Numerical Methods 105
مقدمه
هدایتحرارتانتقالمسالهنوعیکروبروشکل.دهدمینشانرادائمغیر
شرط اولیه
شروط مرزي
xxt TT α=
Advanced Numerical Methods 106
مقدمهمجزاسازيروشبامسالهتحلیلیحل
.آیدمیبه دستمتغیرهاردرادماتوزیعتوانمیآنازاستفادهبا.آوردبه دستلحظههر
Advanced Numerical Methods 107
مقدمه
شکل کلی معادله سهموي
Advanced Numerical Methods 108
مقدمهآن هارایجنوعدو.داردوجودسهمويمعادالتبامهندسیدرزیاديمسائلDiffusion
EquationsوAdvection-Diffusion Equationsهستند.
استاولیهشرطیکبهنیازمسائلایندر.
بهمسائلاینinitial-boundary value problemهستندمعروف.
xxxt
xxtfuff
ffα
α=+
=
Advanced Numerical Methods 109
اصول مقدماتیازهمسالشودمیمشاهدهشکلدرکههمان طورسهمويجزئیمشتقاتدیفرانسیلمعادالتحلدر.ودشمیانجامزمانیجهتدربرداشتنگامبامعادالتحلواقعدر.استباز)زماناینجادر(سمتیکنقطهحلPگامدرn+1گامدراطرافنقاطسایربهوابستهتواندمیn+1یاnاینبر.باشد
:داردوجودرویکرددواساس1-Implicit)ضمنی(2-Explicit)صریح(
Advanced Numerical Methods 110
اصول مقدماتی
Explicit
Implicit
وشرازسریع ترکلیبه طورصریحروشاهدستگحلبهنیاززیرا.استضمنی
مشکلهاروشایناما.نداردمعادالت.دارنددنبالبهراعدديخطايانتشار
Advanced Numerical Methods 111
روش اختالف محدود
به صورترازیرموارد.دهدمینشانسهمويمسالهیکبرايرامحاسباتیناحیهزیرشکل:کنیدفرضقراردادي
Advanced Numerical Methods 112
روش اختالف محدود
ی شودماستفادهجلوبهروزمانیاولمرتبهتقریباززمانیمشتقگسسته سازيبراي:
.زدتقریبزیربه صورتراiنقطهدرمکانیدوممرتبهمشتقمحدود،اختالفتقریبباتوانمی.شودمحاسبهnزمانیگامازتقریب هاکهاستاینبرفرض
:کنیممیجایگزیناصلیمعادلهدرراآمدهبه دستتقریبمقادیر
tfff
ni
nin
it ∆−
=+1
211 2
xffff
ni
ni
nin
ixx∆
+−= −+
Advanced Numerical Methods 113
روش اختالف محدود
Diffusion(نفوذعدد Number(
.شودمیشناختهزیرعنوانباتقریباینForward Time Central Space (FTCS)
دهد؟بندي را نشان میاین رابطه چه نوع فرمول
Explicit
211
1 2x
ffft
ff ni
ni
ni
ni
ni
∆
+−=
∆− −+
+α
( )ni
ni
ni
ni
ni fffdff 11
1 2 −++ +−+=
2xtd ∆∆= α
Advanced Numerical Methods 114
روش اختالف محدودفرضبارامسالهاین.بگیریدنظردرراقبلمسالهdکنیممیحل)مختلفزمانیگام(متفاوت..آیدمیبه دستزیرجواب هايحالت،دوایندر
:پایداريشرط
Advanced Numerical Methods 115
روش اختالف محدودNumerical(عددياطالعاتتوزیع Information Propagation(روشدرFTCSزیربه صورت:است
.استنفوذعددبهوابستهعدديروشاطالعاتتوزیعکهدهدمینشانفوقرابطه
.استO(Δx2)وO(Δt)ازروشایندرخطامقدارConditionally(استپایدارشرایطیتحتروشاین Stable(.
کند؟ر میبا کوچک شدن اندازه شبکه براي برقراري شرط پایداري، گام زمانی چگونه تغییاین روش پایدار است؟d ≤0.5با توجه به فرموالسیون روش، به نظر شما چرا براي
( ) ( ) ni
ni
ni
ni fdffdf 2111
1 −++= −++ :پایداريشرط
Advanced Numerical Methods 116
)Implicit(روش ضمنی
ی شودماستفادهعقببهروزمانیاولمرتبهتقریباززمانیمشتقگسسته سازيبراي:
.زدتقریبزیربه صورتراiنقطهدرمکانیدوممرتبهمشتقمحدود،اختالفتقریبباتوانمی.شودمحاسبهn+1زمانیگامازتقریب هاکهاستاینبرفرض
:کنیممیجایگزیناصلیمعادلهدرراآمدهبه دستتقریبمقادیر
tfff
ni
nin
it ∆−
=+
+1
1
2
11
1111 2
xffff
ni
ni
nin
ixx∆
+−=
+−
++++
Advanced Numerical Methods 117
روش اختالف محدود
.ودشحلدستگاهبایدزمانیگامهربرايروشایندر-هدستگابراي)بودنقطريمسلط(اسکاربروشرط-
.استصادقاستپایدارشرط،وقیدبدونروشاین-
)Unconditionally Stable(.
Implicit
2
11
111
1 2x
ffft
ff ni
ni
ni
ni
ni
∆
+−=
∆− +
−++
++
α
( ) ni
ni
ni
ni fdffddf =−++− +
+++
−1
111
1 212xtd ∆∆= α
Advanced Numerical Methods 118
Crank-Nicolsonروش در این روش، ابتدا با تقریب مرتبه دوم مرکزي براي ترم زمان در نقطهn+1/2 مقدار مشتق زمانی
.زنیمرا تقریب می
نقطهدرمکانیدوممرتبهمشتقمحدود،اختالفتقریبباتوانمیiزدتقریبزیربه صورترا..شودمحاسبهn+1/2زمانیگامازتقریب هاکهاستاینبرفرض
:کنیممیجایگزیناصلیمعادلهدرراآمدهبه دستتقریبمقادیر
( )22
121
tfff
ni
nin
it ∆−
=+
+
( )nixx
nixx
nixx fff += ++ 121
21
.باشدمی2مرتبهازدوهرمکانیوزمانیجمله هايدقتروشایندر-
Advanced Numerical Methods 119
Crank-Nicolsonروش
.استO(Δx2)وO(Δt2)ازروشایندرخطامقدار-.استصادقمعادالتدستگاهبراي)بودنقطريمسلط(اسکاربروشرط-.باشدd ≤1بایدفیزیکیجوابیبهدست یابیبراياما.استپایدارشرط،وقیدبدونروشاین-
( ) ( ) ni
ni
ni
ni
ni
ni dffddfdffddf 11
11
111 2222 +−
++
++− +−+=−++−
Advanced Numerical Methods 120
:5تمرین سري
هاي مشخص شده از کتاب فوقتمرین
Numerical Method for Engineers and ScientistsJ.D HoffmanISBN: 0824704436Publisher: Marcel Dekker, Inc.Pub. Date: 2001
شماره تمرین شماره صفحه4 5826 58214 58321 5834 646
28 647
Advanced Numerical Methods 121
با مشتقات جزئیحل معادله دیفرانسیل : 4پروژه معادله. هدف از این مساله، محاسبه توزیع دما در حالت دائم در صفحه مستطیلی است
:حاکم بر این مساله، معادله الپالس است
ر سمت چپ صفحه در معرض دماي صف. استعایق مورد نظر محدوده باال و پایین صفحه f(y)=yدماي درجه سلسیوس و سمت راست آن در °Cاست.
2 2
2 2 0T Tx y
∂ ∂+ =
∂ ∂
21
odd
1( , ) 4 sinh( )cos( )4 (n ) sinh(2 )n
n
xT x y n x n yn
π ππ π
∞
=
= − ∑:حل تحلیلی
Advanced Numerical Methods 122
مشتقات جزئیبا حل معادله دیفرانسیل : 4پروژه مسئلهخواسته هاي:بنویسید2مرتبهدقتبامحدوداختالفروشبهرامعادلهمجزاسازيکاملبه طور.حليبرا.کندحلشدهمجزامعادالتبرايعدديروشبهرامسئلهکهبنویسیدايبرنامه
.کنیداستفادهSORوسایدل-گوسژاکوبی،هايروشازمعادالتدستگاهجهاتدرنقاطتعدادویکنواختراشبکهنوعxوyترتیببهراNxوNyکنیدفرض.
).شودمینیزمرزروينقاطشاملتعداداین(بارامسئلهابتدادرNx=11وNy=11تکرارها،شروعبراي.کنیدحلژاکوبیحلگربا
اییهمگر.بگیریدنظردرصفر،)راستسمتمرزهايازغیر(نقاطهمهبرايرااولیهحدسوطخطرويتحلیلیحلبارانتایجاختالفنقطه،تعداداینبا.کنیدبررسیراروش
؟استدرصدچندخطابیشینه.کنیدمقایسه)افقیوعمودي(مرکزيازاستقالل.دآیبه دستمحاسباتیشبکهازمستقلنتایجتاکنیدکمآن قدرراشبکهتعداد
.کنیدمقایسهتحلیلیحلباراآمدهبه دستنتایج.دهیدنشانراشبکهوسایدل-گوسحلگرهايبرايرافوقبندSORکدامدرهمگراییسرعت.کنیدتکرار
؟چرااست؟بیشترحلگر