Conduction en régime variable
I-Conduction en régime variable : Généralités
En absence de sources internes
D est la Diffusivité
s/K
tT
m/KT 2
D m2s 1
DT T
ttTCqTk
a) Introduction
Conduction en régime variable
b- Cas du mur ( problème à une dimension)
tT
xTD 2
2
• La chaleur se propage le long de l’axe ox•Les isothermes sont des plans perpendiculaires à ox
T1 T2
ox
Conduction en régime variable
Conduction en régime variable
c) Résolution numérique graphique- Méthode de Schmidt
Discrétisation dans l’espace et dans le temps
• discrétisation en x : x
o x
n n+1n-1
x x x x
Conduction en régime variable
Conduction en régime variable• discrétisation en x : x
T
x
Tn1,p Tn,p
x
2T
x2 Tn1,p Tn,p Tn,p Tn 1,p
x 2
2T
x2 Tn1,p Tn 1,p 2Tn,p
x 22T
x2 2MN
x 2
o x
n n+1n-1
x x x x
Tn+1Tn
Tn-1
temps tM
N
Conduction en régime variable
T
t
Tn,p1 Tn,p
t
• discrétisation dans le temps t
x
n n+1n-1
x x x x
Tn,p temps ttemps t+ t
Tn,p+1
Conduction en régime variable
T
t
Tn,p1 Tn,p
t
D2T
x2 D2MN
x 2
Tn,p1 Tn,p
t
• discrétisation dans le temps t
x
n n+1n-1
L’équation de la chaleur s’écrit alorsx x x x
Tn+1,pTn,p
Tn-1,p
temps t
Tn-1,p+1
Tn,p+1
Tn+1,p+1
Conduction en régime variable
T
t
Tn,p1 Tn,p
t
D2T
x2 D2MN
x 2
Tn,p1 Tn,p
t
Si D2t
x 21 Tn,p1 Tn,p MN
• discrétisation dans le temps t
x
n n+1n-1
L’équation de la chaleur s’écrit alors x x x x
Tn+1Tn
Tn-1
temps tM
N
Tn,p+1
Conduction en régime variable
n n+1n-1
x x x x
Tn+1Tn
Tn-1
temps tM
N
Tn,p+1
d’où la construction
Conduction en régime variable
Conduction en régime variabled) Exemple de construction
t=0 Tp=0
1 2 3 40
Conduction en régime variable
Conduction en régime variableExemple de construction
t=0
t=t
1 2 3 40
Conduction en régime variable
Conduction en régime variableExemple de construction
t=0
t= t
1 2 3 40
Conduction en régime variable
Conduction en régime variableExemple de construction
t=0
t= t
t= 2t
1 2 3 40
Conduction en régime variable
Conduction en régime variableExemple de construction
t=0
t= t
t= 2t
1 2 3 40
Conduction en régime variable
Conduction en régime variableExemple de construction
t=0
t= t
t= 2tt= 3t
1 2 3 40
Conduction en régime variable
Conduction en régime variableAutre exemple de construction
t=0
0 1 2 0’1’2’
Conduction en régime variable
Conduction en régime variableExemple de construction
t=0
t= t
0 1 2 0’1’2’
Conduction en régime variable
Conduction en régime variableExemple de construction
t=0
t= tt= 2t
0 1 2 0’1’2’
Conduction en régime variable
Conduction en régime variableExemple de construction
t=0
t= t
t= 2tt= 3t
0 1 2 0’1’2’
Conduction en régime variable
Conduction en régime variableExemple de construction
t=0
t= t
t= 2tt= 3t
0 1 2 0’1’2’
Conduction en régime variable
Conduction en régime variable
II-Problème de Fourier : mur symétrique
en régime transitoire
Conduction en régime variable
Conduction en régime variable
o x
•Temps t=0- tout le mur est isotherme T=T0
•Temps t=0 les parois passent à la température T=0
2a
T0 t=0
Ts=0
a) Hypothèses Conduction en régime variable
Conduction en régime variable
DT T
t
Méthode de séparation des variables T x, t f x g t
Dgfx' ' fg t
'
Conduction en régime variableb) résolution
Conduction en régime variable
Dgfx' ' fg t
'
Dfx
' '
f
g t'
g x ett
Conduction en régime variable
Conduction en régime variable
Dgfx' ' fg t
'
Dfx
' '
f
g t'
gc x ett
g = C1ect 2-=c 0c
g C1e 2 t
Conduction en régime variable
Dfx
' '
f 2
f C2 cosD
x C3 sinD
x
Les conditions aux limites donnent plusieurs valeurs de donc Plusieurs valeurs des C1, C2, C3
C1n, C2n, C3n n
Conduction en régime variable
T(x, t) n
C1ne n
2 t C2n cosn
Dx C3n sin
n
Dx
Mais T(x) =T(-x) C3n=0
T(x, t) n
e n
2 tCn cosn
Dx
Conduction en régime variable
T(x, t) n
e n
2 tCn cosn
Dx
t=0x= ±a
T=0cos
n
Da 0
n 2p 1 D
2a
T(x, t) n
e
2p1 D
2a
2
t
C2p1 cos 2p 1 2a
x
Conduction en régime variable
T(x) n
Cn cos n
2a
xEn t =0 avec n=2p+1
o x2a
T0 t=0T(x) An cos n
2a
xn
An A2p1 4T0
2p 1 1 p
avec n=2p+1
Conduction en régime variable
T(x, t) 4T0
1 p
2p 1p0
e
2p1 2 2
4a2Dt
cos 2p 1 x
2aT(x, t)
4T0
1 p
2p 1p0
e
2p1 2 2
4a2Dt
cos 2p 1 x
2a
Dt
a 2 est sans dimension c’est le nombre de Fourier Fo
F0 Dt
a2
Conduction en régime variable
c) Echange par convection avec le milieu extérieur
Ta
Tpt<0 Ta=Tp=T(x)=To
t=0 Ta=0Tp= T(x=±a) =?
T(x)=?
Mais en surface
T
x
h
kTp
h/k
sur la surface
Tp
q hS(Tp 0) kST
x
Conduction en régime variable
Par analogie avec le problème de Fourier
T(x, t) e n2 tCn cos
n
Dx
n
n D
2a
n’est plus un entier
La condition aux limites sur les parois conduit à écrire à t=0
cot 2
k
h
2a
Conduction en régime variablecotgx
xk/ha
cot
2
k
h
2a
Bi ha
k= nombre de Biot
Conduction en régime variableOn préfere utiliser des abaques donnant la température
en des points particuliers en fonction des nombres de Fourier (Fo) et de Biot Bi)
Tp
Fo
Bi
Bi ha
k
20 aDtF
Conduction en régime variabled) Cas d’un milieu semi infini
D2T
x2 T
t
o x
Conduction en régime variable
D2T
x2 T
tEn posant T=T(v)
Avec v=x(t)
d2T
dv2
vD
dTdv
ddt3 A
Fonction de v Fonction de t
Conduction en régime variable
d2T
dv2
vD
dTdv
ddt3 A
1
2 2At B 1
2A t B'
En posant A=-1/2
1
t B'
Conduction en régime variable
d2T
dv2
vD
dTdv
ddt3 A
LndT
dv
v2
4DConst
A=-1/2
dT
dvCe
v 2
4D
en posant y2 v2
4DT(v) C' C e y2
dyv
2 D
T(x, t) C' C e y2
dyx
2 D tB'
Conduction en régime variable
C. I. t<0 T=T1
t=0 • x=0 , T=T2• x=∞ , T=T1
En posant u x
2 Dt
T(x, t) T1 (T2 T1)Z(u)
Z(u) 2
e y2
dyu
T(x, t) T1 (T2 T1) 1 erf(u)
erf(u) 2
e y2
dy0
u
T(x, t) C' C e y2
dyx
2 D tB'
o
x
T1
T2t=0
Conduction en régime variable
T(x, t) T1 (T2 T1) 1 erf(u)
T(x, t) T2 (T1 T2 )erf(u) u x
2 Dt
Z(u)=1-erf(u) Z(u)=1-erf(u)
Typiquement D=10-6SI
Conduction en régime variablePar unité de surface de paroi
q(0, t) kT
x
Conduction en régime variablePar unité de surface de paroi
q(0, t) kT
x
k
Dt(T2 T1)
Conduction en régime variable
Vérifier que la solution ci contre est en accord avec les conditions aux limites d’un mur symétrique
T T1 T2 T1 1 n
n0
2 erf2n 1 a x
2 Dt erf
2n 1 a x
2 Dt
Mur symétrique
Conduction en régime variable
t=0 Tp=0
1 2 3 40