1
Kartografik Kartografik ProjeksiyonlarProjeksiyonlar
İTÜ İnşaat Fakültesi Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Bölümü
JDF 433JDF 433
DoDoçç.Dr. Cengizhan .Dr. Cengizhan İİpbpbüükerker
3.hafta
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Meridyenlerin izdüşümleri bir noktadan (kutup noktasından) dağılan ışın demetleri, paralellerin izdüşümleri ise bu noktayımerkez alan daireler biçimindedir. Kutup noktasında meridyenler arasında oluşan açılar (α) küre üzerindeki açılarla (λ) aynıdır.
Paralel dairelerin yarıçapları (m) projeksiyonun özelliğine göre δkutup uzaklığının (δ=90-ϕ) fonksiyonu olarak belirlenir.
( )δ= fmTüm azimutal projeksiyonlar birbirlerinden bu yarıçap eşitliğine göre ayrılırlar.
DDüüzlem (Azimutal) zlem (Azimutal) ProjeksiyonlarProjeksiyonlar
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Meridyen yönündeki uzunluk deformasyonu h, projeksiyon düzleminde m yarıçapının dm kadar artışını, δ yay uzunluğunun dδkadar artışına oranlayarak bulunur. Paraleller yönündeki uzunluk deformasyonu k ise herhangi bir paralel dairenin projeksiyondakiçevresini, küredeki çevresine bölerek elde edilir.
δ=
δ=
sin , mk
ddmh
DDüüzlem Projeksiyonlarda zlem Projeksiyonlarda DeformasyonlarDeformasyonlar
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
1
P
Ekvator
Projeksiyon Düzlemi P’K
Mδ
sin δ
m
δ=λ=α)
m ,
δδ
=sin
)
k
h=1
Meridyen uzunluğunun korunması için projeksiyon düzleminde KP’ doğrusu, kürede KP yayına eşit olmalıdır.
Meridyen Boyu Meridyen Boyu KoruyanKoruyanDDüüzlem Projeksiyonzlem Projeksiyon
www.fes.uwaterloo.ca/ crs/geog165/azproj.htm
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Alan koruma şartının sağlanması için paralel dairelerin izdüşümlerinin yarıçapı, bir paralel dairenin kapladığıharita alanı, bu paralel daire tarafından sınırlanan küre kapağının alanına eşit olacak şekilde seçilmelidir.
( )
22
2
2
2
sin4'
'2
sin4cos12
mFF
mF
F
π=δ
π⇒=
π=
δπ=δ−π=
2sin2 δ
=m
222
2
cos1
cossin2sin2
sin
2cos
δδδ
δ
==δ
=
δ=
δ=
mk
ddmh
Alan Koruyan Alan Koruyan DDüüzlem Projeksiyonzlem Projeksiyon
www.fes.uwaterloo.ca/ crs/geog165/azproj.htm
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
δ=
δ⇒=
sinm
ddmkh
Açı koruma şartı
2tan2 δ
=m
sin δP
Ekvator
Projeksiyon Düzlemi P’K
Mδ
m= 2 tan δ/2
δ/2
G
1
L=2 R tan(A/2)
2tanln
2tanlnln
2tanlnln
sin11
21
δ=⇒+
δ=
+δ
=+⇒δδ
= ∫∫
cmcm
ccmddmm
(Stereografik Projeksiyon)(Stereografik Projeksiyon)
AAççıı Koruyan (konform)Koruyan (konform)DDüüzlem Projeksiyonzlem Projeksiyon
www.fes.uwaterloo.ca/ crs/geog165/azproj.htm
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
2
(Merkezi Projeksiyon)(Merkezi Projeksiyon)
Gnomonik ProjeksiyonGnomonik Projeksiyon
Kutuptan uzaklaştıkça hızla büyüyen alan, uzunluk ve doğrultu deformasyonları nedeniyle topografik haritalar için uygun değildir. Ancak hava ve deniz navigasyonunda ortodromların izdüşümlerinin doğru şeklinde olmasından dolayı pratik önemi olan bir projeksiyondur.
m= tan δ
sin δP
Ekvator
Projeksiyon Düzlemi P’K
Mδ
1
www.fes.uwaterloo.ca/ crs/geog165/azproj.htm
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
δ=
δδ
δ=
δ=
cos1
sintan=k ,
cos1
2ddmh
(Paralel Projeksiyon)(Paralel Projeksiyon)
Ortografik ProjeksiyonOrtografik Projeksiyon
Perspektif özelliği taşıyan projeksiyonlar içerisinde projeksiyon merkezinin sonsuzda olmasından dolayı ekstrem durumdur.
1
m= sin δ
sin δ P
Ekvator
Projeksiyon Düzlemi P’K
Mδ
www.fes.uwaterloo.ca/ crs/geog165/azproj.htm
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
1 ,cos =δ= kh
Projeksiyon Türü m a b maxsinω λ∆= sinmY λ∆= cosmX Meridyen boyu koruyan
ρδR
δδ
sin
ˆ 1 δρ+δδρ−δ
sinsin λ∆
ρδsinR λ∆
ρδ cosR
Alan koruyan 2
sin2 δR 2
cos
1δ
2
cosδ
2sin2
2sin
2
2
δ−
δ λ∆δsin2
sin2R λ∆δ cos2
sin2R
Konform 2
tan2 δR
2cos
12 δ
2cos
12 δ
0 λ∆
δsin2
tan2R λ∆δcos2
tan2R
Gnomonik δtanR
δcos1
δ2cos1
1cos1cos
+δ−δ λ∆δsintanR λ∆δcostanR
Ortografik δsinR 1 δcos 2
tan2 δ λ∆δsinsinR λ∆δcossinR
Normal Konumlu Azimutal Normal Konumlu Azimutal Projeksiyonlar iProjeksiyonlar iççin Formin Formüül l ÖÖzetizeti
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Silindirik Silindirik ProjeksiyonlarProjeksiyonlar
İzdüşüm yüzeyinin küreyi saran ya da kesen bir silindir seçilmesi durumunda silindirik projeksiyonlar elde edilir. Silindirik projeksiyonlar genellikle normal konumda ekvator bölgesinde yapılacak küçük ölçekli harita çalışmalarında, denizcilikte, transversal konumda referans yüzeyi elipsoit alınarak büyük ve orta ölçekli topografik harita yapımında ve jeodezik amaçlar için kullanılırlar.
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Silindirik projeksiyonlarda düzlem dik koordinatlar ile coğrafi koordinatlar arasındaki genel ilişki teğet silindir durumunda,
( )ϕ=λ= fxy ,)
( )ϕ=ϕλ= fxy ,cos 0
Projeksiyon EProjeksiyon Eşşitlikleriitlikleri
kesen silindir durumunda ϕ0 boyu korunan paralel dairenin enlemini göstermek üzere,
Tüm silindirik projeksiyonlarda teğet silindir durumunda projeksiyonun deformasyon özelliklerine ek olarak ekvatorun uzunluğu, kesen silindir durumunda ise iki paralel dairenin uzunluğu korunmuş olmaktadır.
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
ϕ=
ϕ=
cos1 , k
ddxh
ϕϕ
=ϕ
=coscos , 0k
ddxh
Silindirik Projeksiyonlarda Silindirik Projeksiyonlarda DeformasyonlarDeformasyonlar
Meridyen yönündeki uzunluk deformasyonu h azimutal projeksiyonlardaki gibi düzlemdeki x yönündeki dx diferansiyel artımının, kürede ϕ yönünde dϕ diferansiyel artımına oranı ile bulunur. Paraleller yönündeki uzunluk deformasyonu k ise, düzlemde ve kürede paralel dairelerin uzunluklarının birbirine oranlanması ile elde edilir.
Kesen silindir durumunda:
3
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Uzunluk Koruyan Silindirik Uzunluk Koruyan Silindirik ProjeksiyonProjeksiyon
cos ϕ
KP P’
Ekvator ϕE
Teğet silindir
λ=ϕ=)) yx ,
Meridyen uzunluğu koruma şartı meridyenlerin kürede ve harita düzleminde uzunluklarının eşit olmasınıgerektirir. Projeksiyonun tipik bir özelliği; ∆x=∆y olduğundan coğrafi ağın izdüşümünün kareler ağıbiçiminde gözükmesidir. Bu özelliğinden dolayı ingilizce kaynaklarda “equirectangular” olarak da isimlendirilmektedir.
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
UzunluUzunluğğu korunan iki paralel daire u korunan iki paralel daire ile projeksiyonile projeksiyon
λϕ=ϕ=))
0cos , yx
ϕϕ
==coscos ,1 0kh
Uzunluğu korunan iki paralel dairenin anlamı, silindir yüzeyinin küreyi +ϕ0, -ϕ0 enlemlerinde kesmesidir. Başka bir ifade ile burada kesen silindirik projeksiyon söz konusudur. İzdüşüm yüzeyi olarak kesen silindir kullanılmasının amacıprojeksiyonda oluşan ve silindirik projeksiyonda kutuplara yaklaştıkça çok hızlı artan deformasyonları azaltmaktır. Burada ϕ0 değeri değişkendir.
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Alan Koruyan Silindirik Alan Koruyan Silindirik ProjeksiyonProjeksiyon
λ=ϕ=⇒π=ϕπ)
yxx ,sin2sin2
Alan koruma özelliği gereği herhangi bir ϕ enlemine kadar küre kuşak alanı projeksiyonda buna karşılık gelen alana eşit olmalıdır:
ϕ=ϕ=
cos1 ,cos kh
ϕ−ϕ
=ω 2
2
sin2sinsin
Deformasyonlar:
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Konform Silindirik ProjeksiyonKonform Silindirik ProjeksiyonBu projeksiyon ilk defa kendini Merkator olarak tanıtan G. Kremer tarafından 1570 yılında bir dünya haritası için kullanılmıştır. Bu nedenle Merkator Projeksiyonu olarak da tanınır. Projeksiyon eşitliklerini elde etmek için konform olma şartı a=b ya da h=k eşitliklerinden yararlanılır.
ϕϕϕ
=⇒ϕϕ
=ϕ
⇒= ddxddxkh
coscos
coscos 00
cxdx +
ϕ
+π
ϕ=⇒ϕϕϕ
= ∫ϕ
24tanlncos
coscos
00
0
Projeksiyonun doğası gereği ϕ=0 için x= olmasıgerektiğinden c=0 olmalıdır.
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Projeksiyon EProjeksiyon Eşşitlikleri ve Deformasyonlaritlikleri ve Deformasyonlar
λϕπ )=
+= yx ,
24tanln
λϕ=
ϕ
+π
ϕ=)
00 cos ,24
tanlncos yx
teğet silindir durumunda:
kesen silindir durumunda;
bakhkh ===⇒ϕϕ
==coscos 0
ϕϕ
=Φ 20
2
coscos
Alan deformasyonu:
Endikatris:
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Merkator Projeksiyonunun en önemli özelliği, Loksodrom eğrilerinin projeksiyondaki izdüşümlerinin doğru biçiminde olmasıdır. Bu nedenle özellikle denizcilikte kullanılır.Teğet silindir durumunda uzunluk deformasyonu kutuplara doğru çok hızlı artar. Örneğin 60º enleminde ölçek ekvatora göre iki kat büyüktür. Bu nedenle coğrafi amaçlı olarak tercih edilmemektedir.
Pratik Pratik DeDeğğerieri
4
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
SoldnerSoldnerProjeksiyonuProjeksiyonu
Soldner projeksiyonu ordinat koruyan (düşey daire boylarıkorunan) transversal silindirik projeksiyondur. İlk defa Fransız bilgin Cassini tarafından 1745 de kullanılmıştır. Bavyeralı (Almanya) bir astronom olan Soldner 1810 da hesaplama formüllerini oluşturduğundan Soldner Projeksiyonu olarak isimlendirilmiştir. Bazı kaynaklarda da geliştiren bilim adamlarına atıf yapılarak Cassini-Soldner Projeksiyonu olarak adlandırılmaktadır.
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Soldner Projeksiyonu ESoldner Projeksiyonu Eşşitlikleriitlikleri
P
α
δX
Y
EkvatorO
K
GTeğet Meridyen
H
P'
x
y
Yp'
xp'
( )
ϕλ∆
=α
λ∆ϕ=δ
tansinarctan
coscosarccosolmak üzere,
δ−π
=
α=
2Ry
Rx
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Soldner Projeksiyonunda Soldner Projeksiyonunda DeformasyonlarDeformasyonlar
2
2
21
RYk +=1=h
Ana yön uzunluk deformasyonları,
Maksimum açı deformasyonu
2
2
max 22
RYw =ω=
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
AAççııklklıık Ak Aççııssıı, Uzunluk ve Alan , Uzunluk ve Alan İİndirgemelerindirgemeleri
P1
O
K
G
HP'1
x
y
T1
T2
P2
P'2t1
t2
( )( ) ( )[ ]222
1212
21221222 cossin26
1 ttYYYYYYXXR
tT ++++−=−
( ) 122
2212
12 cos6
tYYYYRssS ++−=− ( )2
2212
12 YYYYR6ffF ++=−
ipbüker_kartproj03JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar
Projeksiyon Türü
x y h k sin ω φ
Meridyen Uzunluğu Koruyan Teğet
ϕ) λ) 1
ϕcos1
2tan 2 ϕ
ϕcos1
Meridyen Uzunluğu Koruyan Kesen
ϕ) λϕ)
0cos 1 ϕϕ
coscos 0
ϕϕ
coscos 0
Alan Koruyan Teğet
ϕsin λ) ϕcos
ϕcos1
ϕ−ϕ2
2
sin2sin 1
Alan Koruyan Kesen 0cos
sinϕϕ λϕ
)0cos
0coscos
ϕϕ
ϕϕ
coscos 0 1
Konform Teğet
ϕ
+π
24tanln λ
) ϕcos
1 ϕcos
1 0 ϕ2cos
1
Konform Kesen
ϕ
+π
ϕ24
tanlncos 0 λϕ
)0cos
ϕϕ
coscos 0
ϕϕ
coscos 0 0
ϕϕ
20
2
coscos
Normal Konumlu Silindirik Normal Konumlu Silindirik Projeksiyonlar iProjeksiyonlar iççin Formin Formüül l ÖÖzetizeti
Arkaplan
Karen Mulcahy’ninMap Projection Home Pageisimli internet sitesinden alınmıştır.
http://www.geography.hunter.cuny.edu/mp/
JDF 433 Kartografik Projeksiyonlar