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Capítulo 1: Geometría Analítica
1.- Distancia entre dos puntos:
Sean ),,,(),,,(/, nnn bbbByaaaABA �� ������ entonces:
� � � � � �2 2 2, 1 1 2 2A B n nd a b a b a b � � � ����� �
2.- Punto medio: Sean ),,,(),,,(/, 2121 nnn bbbByaaaABA ���� entonces:
ABmp el punto medio del segmento AB = ¸¹·
¨©§ ���
2,,
2,
22211 nn bababa�
3.- Sistema coordenado tridimensional: Es el sistema donde representamos los
puntos en el espacio, está conformado por el origen y tres rectas dirigidas a
través del origen que sean perpendiculares entre sí, a los cuales se les denomina
ejes coordenados, y que se les nombra como eje x, eje y, eje z.
� �^ `3 , , / , ,x y z x y z� �u�u� ��
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4.- Tres puntos 3, ,A B C�� son colineales (que están en la misma línea) ver figura
si AB BC ACd d d�
x x x
A B C
Ejercicios Resueltos:
1.- Dibuje en el sistema coordenado tridimensional los siguientes puntos:
a.- ),,( ����A b.- ),,( ����B c.- ),,( ������C
Solución:
2.- Verifique gráfica y analíticamente que los puntos A, B y C son o no colineales:
a.- ),,( ����A b.- ),,( ����B c.- ),,( ���C
Solución:
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Analíticamente: Debemos ver que AB BC ACd d d�
� � � �� � � �22 21 1 4 2 3 3ABd � � � � � � = 4 2
� � � � � �2 2 21 1 2 2 3 3BCd � � � � � � = 16 4
� � � � � �2 2 21 1 4 2 3 3ACd � � � � � � = 36 6
Nótese Que 2 4 , ,AB BC ACd d d A B C� � � son colineales
3.- Pruebe por dos formas que los siguientes puntos no son colineales:
),,(),,(),,( ���������� CyBA
Solución:
FORMA 1: Analíticamente � � � � � �2 2 21 0 2 3 3 7ABd � � � � � = 18
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� � � � � �2 2 20 3 3 5 7 1BCd � � � � � = 29
� � � � � �2 2 21 3 2 5 3 11ACd � � � � � = 79
18 29 79AB BC ACd d d� � z � A, B y C no son colineales
FORMA 2: Graficamente
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Ejercicios propuestos:
1.- Dibuje en el sistema coordenado tridimensional los siguientes puntos:
a.- ),,( ����A b.- ),,( ���B c.- ),,( ������C
d.- ),,( ����D e.- ),,( ����E f.- ),,( ����F
g.- ),,( ���G h.- ),,( �����H i.- ),,( �����I
2.- Verifique analíticamente si los siguientes puntos son colineales:
a.- ),,( ����A ),,( ���B ),,( ���C
b.- ),,( ���A ),,( ���B ),,( ����C
c.- ),,( ���A ),,( ����B ),,( ����C
d.- ),,( ����A ),,( ����B ),,( ���C
3.- Demuestre la fórmula de punto medio de un segmento.
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Capítulo 2: Vectores en el Espacio
1.- Un vector de n-componentes (o n-dimensional) es un conjunto ordenado de “n”
elementos escrito de la forma:
),,,( 21 nxxxx �
2.- Decimos que nx �� es un vector de n-componentes, donde cada componente es
real. Esto se escribe así: /nx �� ),,,( nxxxx ��� donde cada nixi �� ��� ,
En particular estudiaremos los vectores bidimensionales y tridimensionales:
Un vector bidimensional en �� es un conjunto de la forma ),( �� xxx donde
���� xx , .
Un vector tridimensional en �� es un conjunto de la forma ),,( ��� xxxx donde
����� xxx ,, .
3.- Un vector dado dos puntos:
(En �� ) Sean PyQ dos puntos en �� / ),( �� ppP y ),( �� qqQ entonces el vector
),( ���� �� pqpqPQ .
(En �� ) Sean PyQ dos puntos en �� / ),,( ��� pppP y ),,( ��� qqqQ entonces
el vector ),,( ������ ��� pqpqpqPQ .
4.- Norma de un vector. Es el tamaño o longitud de un vector y se calcula:
En :�� ��
�� � xxx
En �� ��
��
�� �� xxxx
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5.- Vector Nulo. En �� es un vector de la forma ),( �� � y en �� es ),,( ��� � .
6.- Propiedades de la norma: Sean nyx ��, donde �� ón y “α ” un
escalar real entonces se cumple:
a.- xαxα ..
b.- �z��! xx
c.- 00 � xx
d.- yxyx �d� (desigualdad triangular)
7.- Vector unitario. Decimos que el vector x es unitario si su norma es “1”. En
caso de que el vector x no sea unitario pero lo queramos hacer unitario quedaría:
x
xxu
OBS: A partir de aquí a veces aplicaremos las definiciones solo a �� , se deja al
estudiante aplicarlas en �� que es igual solo que con una coordenada menos.
8.- Operaciones con Vectores: Sean los vectores
),,();,,(/, ������� �� yyyyxxxxyx y “α ” un escalar real.
a.- Suma entre Vectores:
),,( ������ ��� � yxyxyxyx
b.- Multiplicación de un escalar por un vector:
),,( ��� xαxαxαxα
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c.- Producto Escalar (o punto) entre vectores:
������ ����� � yxyxyxyx
9.- Propiedades de la suma y el producto escalar de un escalar por un vector:
Sean los vectores nyx ��, ; donde �� ón y βα, escalares reales.
Entonces se cumple:
a.- xyyx � � (propiedad conmutativa)
b.- xxx �� �� (el vector nulo es el elemento neutro de la suma)
c.- yxyx DDD � � )( (primera ley distributiva)
d.- xxx EDED � � )( (segunda ley distributiva)
e.- � �� x
f.- )()( xx EDDE
g.- xx �. (el escalar “1” es el neutro multiplicativo)
10.- Propiedades del producto escalar entre vectores: Sean los vectores nyx ��, ;
donde �� ón . Entonces se cumple:
a.- 2
xxx �
b.- xyyx � � Propiedad conmutativa
c.- zxyxzyx ��� �� )( Ley distributiva
d.- � �� x
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11.- Teorema: Sean los vectores nyx ��, ; donde �� ón , T es el ángulo
formado por los dos vectores no nulos yx, , entonces: Tcos.yxyx � .
OBSERVACIÓN: Este teorema 11 nos sirve para encontrar el ángulo entre
dos vectores. ¿Cómo? Despejando cos T de la fórmula nos queda
yxyx �
Tcos ¸¸¸
¹
·
¨¨¨
©
§�
�yxyxarccosT .
12.- Corolario 1 (desigualdad Cauchy-Schawrz): Sean nyx ��, , todo producto
escalar satisface la desigualdad yxyx d� .
OBSERVACIÓN: Denotaremos la Desigualdad de Cauchy-Schwarz con el
acróstico C-Sh.
13.- Corolario 2 (Perpendicularidad de Vectores): x es perpendicular a
� �� yxy .
14.- Base Canónica: En 2� la base canónica es el conjunto formado por los
vectores ^ `ˆ ˆ,i j donde i = (1,0); j = (0,1). Ambos son unitarios y perpendiculares
entre si. Además cualquier vector en 2� puede escribirse como una
combinación lineal de los vectores i , j , es decir
jxixxxxx ˆˆ),(: ����� � ��� .
En 3� la base canónica es el conjunto formado por los vectores ^ `ˆˆ ˆ, ,i j k donde
i = (1,0,0); j (0,1,0) y ),,(ˆ ��� k . Estos tres vectores son unitarios y
perpendiculares entre si. Además cualquier vector en 3� puede escribirse como
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una combinación lineal de los vectores ˆˆ ˆ, ,i j k , es decir
kxjxixxxxxx ˆˆˆ),,(: ������� �� ��� .
15.- Vectores Paralelos. x es paralelo a y yαxα ���� / .
16.- Igualdad de Vectores. niyxyyxyx iin �� � ��� ,
17.- Combinación Lineal. Decimos que el vector x n�� es combinación lineal de
los vectores 1 2, ,..., my y yo o o
si existen escalares 1 2, ,..., /mD D D
mm yαyαyαx .������ ���� .
18.- Producto Cruz: Sean /, ���yx ),,( ��� xxxx ; ),,( ��� yyyy , entonces el
producto cruz de yx, es el vector:
)..,..,..(___________________________________
.ˆ.ˆ.ˆ.
ˆ.ˆ.ˆ.ˆˆˆ
������������
������
������
���
���
���
�����
u
yxyxyxyxxyyx
kyxjyxixykyxjyxiyx
yyyxxxkji
yx
19.- Teorema: El vector yxu es perpendicular tanto x como y .
20.- Teorema: Si es θ el ángulo entre yx, donde > @ST ,0� entonces
Tsenyxyx . u
Corolario: � u� yxyx //
21.- La ley asociativa para la multiplicación no siempre se cumple; es decir, en
general: )()( zyxzyx uuzuu
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22.- Teorema: Si zyx ,, son vectores en �� y α es un escalar, entonces algunas
propiedades del producto cruz son:
a) xyyx u� u
b) )()()( yxyxyx DDD u u u
c) zxyxzyx u�u �u )(
d) zyzxzyx u�u �u )(
e) > @zyxzyxzyx ,,)()( �u u� (Triple producto escalar o Producto mixto)
f) zyxyzxzyx )()()( ��� uu (Triple producto vectorial)
g) � u xx
23.- Otra Notación Del Producto Mixto y cómo calcularlo de manera rápida:
> @���
���
���
u� zzzyyyxxx
zyxzyx )(,,
Aplicaciones del Producto Cruz…
24.- “El área de un paralelogramo cuyos lados adyacentes son x e y es yxu ”.
25.- “El área de un triángulo cuyos lados adyacentes son x e y es yxu21
”.
26.- “El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores zyx ,, es la
magnitud de su triple producto escalar, V = )( zyx u� ”.
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27.- Tres vectores son coplanares si están en el mismo plano. En otras palabras su
producto mixto es � u� )( zyx . (Su volumen es cero).
Proyecciones…
28.- La proyección vectorial del vector x sobre y es: yy
yx
¸¸¸
¹
·
¨¨¨
©
§��
.
29.- La proyección escalar del x sobre y es: y
yx �.
Ejercicios Resueltos
1.- Sean ),,(ˆˆˆ),(),,( ��� ����� ��������� yjikxQP hallar:
a) ��PQ
b) PQyx ����
c) Hallar el unitario del vector QP .
Solución:
a) Por la Def. 3 tenemos que
PQ = � �2 ( 1),3 2, 4 3� � � � � � = � �1,1, 7� �
Por la Def. 4, PQ 2 2( 1) (1) ( 7)� � � � = 51
�����|���� ��� ,PQ
b) El vector ����� ����� ),,(ˆˆˆ jikx Aplicando la operación 8b
tenemos que: ),,()).(,.,.(),,.( ���� ������� ����� �x .
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Luego ),,(),,( ����� ���� �y
PQyx ���� = (9,6-3) + (0,24,28) – (-1,1,-7)
= ))(,),(( ��������������������
),,( ������
c) El vector PQQP � además se puede probar que �� PQQP
entonces ),,( ��������
QPQPQPu
.
2.- Encuentre el valor de “D ” para que el vector ¸¹
ᬩ
§ ���
,,αA sea unitario.
Solución:
Si A es unitario entonces � A � ��¸¹
ᬩ
§��
� � ��
�αA
�� ��
�� �α elevo al cuadrado a ambos lados �
��
r ���
���
�� �� ��
�� ��� αααα
3.- Pruebe que �
��� �
��yxyx
yx
Solución:
Desarrollemos el lado derecho:
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(*)
������� ������� ��� �
� �
� ���
yyxxyyxyyxxx
vadistributiopiedad
yxyxyx
abba
aaaaPr
)()(
Aplicando la misma idea hacemos:
������� ������� ��� � yyxxyyxyyxxxyxyxyx )()(
�
¸¹·
¨©§ ���������
�
��������� yyxxyyxxyxyx
yxyxyyxxyyxx�
���
�
���������
����
4.- Demuestre la desigualdad triangular:
Solución:
Dado los vectores nyx ��, queremos probar que: yxyx �d�
Para ello desarrollemos �
� yx (ya se hizo en el ejercicio anterior, ver (*))
���
���� � yyxxyx
2 22x x y y� � � 2 2 2 22 2x x y y x x y yd � � � d � � � = � �2x y�
Propiedades Usadas
aa d
Desigualdad Cauchy-Schwarz
Al final producto notable
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Por transitividad hemos llegado a que 2x y� d � �2x y� , sacando la raíz
cuadrada nos queda:
2x y� d � �2x y�
x y� d � �x y�
(como las normas son positivas, podemos quitar las barras de valor absoluto)
x y� d � �x y� L.q.q.d
OBSERVACIÓN: L.q.q.d quiere decir “lo que queríamos demostrar”.
5.- Encuentre el ángulo entre los vectores a = (2,2,-1) y b (5,-3,2).
Solución:
Recordemos que por el teorema 11 en la observación llegamos a baba �
Tcos
Calculemos: ��������� � ),,(),,(ba 2.5+2.(-3)+(-1).(2) = 10-6-2 = 2
a = 2 2 22 2 ( 1)� � � = 9 = 3
b = 2 2 25 ( 3) (2)� � � = 38
q|¸¹
ᬩ
§ � � 79,83
3832arccos
3832cos TT
6.- Sabiendo que x = 3 ; y = 4 y yx � = 3 encuentre yx � .
Solución:
Podemos encontrar �
� yx y luego sacar la raíz cuadrada de este número para
así hallar yx �
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Por el ejercicio 3 vimos que ���
���� � yyxxyx (*)
Nos falta saber cuanto vale “2 yx � ” para ello utilicemos la hipótesis de que
3 � yx . Sabemos que ���
���� � yyxxyx
Luego de aquí podemos despejar “2 yx � ” y nos queda:
��� ����� ������
yxyxyxyx
Luego sustituyendo en (*) nos queda que:
������� � yyxxyx = �� ���� �������
��� yx)(
� �� � yx 7.- En cada caso diga si el vector dado es o no combinación lineal (C.L.) del
conjunto presentado.
a.- )1,3,5( A ^ `(1,0,3);(0, 2,4);(0,0,9)�
b.- )5,3,1( � A ^ `),,();,,( ����������
Solución:
a.- Aplicando la definición 17 tenemos que si A es C.L. de los vectores
^ `(1,0,3);(0, 2,4);(0,0,9)� quiere decir que existen escalares /,, γβα
),,(),,(),,( ������������ γβαA
),,(),,(),,(),,( ������������ ���� γβα
),,(),,(),,(),,( γαββαα ����������� ���� �
),,(),,( γβαβα ������� ���� Por igualdad de Vectores se tiene:
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°¯
°®
� ������ ��
�
γβαiiiβii
αi
)()(
)(��
�� � βiilade )( sustituimos
�� )(235 iiino
usadalaen
y ED
��
� �� ��¸¹·
¨©§���
���� γγ..
Como el sistema tiene solución � el vector A es C.L. de
^ `(1,0,3);(0, 2,4);(0,0,9)� .
b.- Nuevamente aplicando la definición 17 tenemos que si A es C.L. de los
vectores ^ `),,();,,( ���������� quiere decir que existen escalares
),,(),,(/, ����������� βαAβα .
),,(),,(),,( ����������� ����� βα
),,(),,( βαβαβα ���������� �����
Por igualdad de Vectores se tiene:
°¯
°®
� ������ ���
� ���
βαiiiβαiiβαi
)()(
)( Este es un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas,
para resolverlo, tomaremos dos ecuaciones cualesquiera y hallaremos βα,
Tomemos la (i) y (ii) ¯®
�� ���� ���
βαiiβαi
)()(
multiplicamos la (ii) por “-1” y la
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sumamos a la segunda: � �
¯®
� ����� ����
β
βαiiβαi
__________________)(
)(
��
� β sustituimos en (i) y
nos queda: ����
�� ¸¹·
¨©§��
��� αα . Cuidado todavía NO podemos afirmar
que el sistema tiene solución y que por lo tanto son C.L. Pues primero debemos
verificar que los resultados dados satisfagan la ecuación “no usada”. Para ellos
sustituimos ��
����
βyα en la ecuación (iii).
5?
5412
1021.6 ¸
¹·
¨©§�¸
¹·
¨©§
��z� ¸¹·
¨©§��
���¸¹·
¨©§����
�. no se satisface la (iii) ecuación por lo tanto el Sistema
NO tiene solución lo que quiere decir que A NO es C.L. de.
^ `),,();,,( ���������� .
OBSERVACIÓN: Si cuando se sustituye los valores de βα, en la ecuación no
usada se satisface, la conclusión sería que el sistema SI tiene solución (es decir
es compatible) y por lo tanto SI sería el vector combinación lineal del
conjunto dado.
8.- Pruebe la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
Solución:
Por el teorema 11 tenemos: Tcos.yxyx �
Aplicamos valor absoluto a ambos miembros
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θyxyx cos.� � propiedaddelvalorabsoluto
= θyx cos.� d cos 1TT
d�
yx .
Por transitividad
yxyxyx � �d� L.q.q.d.
9.- Sea ijkv 376 �� . Encuentre el valor de w tal que sea paralelo a v y de
longitud “2”.
Solución:
Como vαwαvw ���� /// (definición 15)
),,( αααw ��� �
Como la longitud es “2”
� ������� ����� � ��� )()()(),,( ααααααw
Elevando al cuadrado ambos lados nos queda � ������ ��� ααα
��
r ����
�� ��� �� ααα
� existen dos vectores ¸¹
ᬩ
§
��
��
��
� ,,w y ¸¹
ᬩ
§
��
���
���
� � ,,w .
10.- Hallar la proyección vectorial y escalar del vector ),,( ��� x sobre ),,( ���� y .
Solución:
Sea el vector u la proyección vectorial de x sobre y / yy
yxu¸¸¸
¹
·
¨¨¨
©
§�
�
� ������ �������� � ),,(),,(yx
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�� ��� ������ �
��� yy )(
La proyección vectorial será ¸¹·
¨©§
���
���
���
�������
,,),(u
Y la proyección escalar es: ���
�
y
yxu
OBSERVACIÓN: Nótese que para la proyección escalar si tenemos el vector
proyección basta con calcular su módulo pero quisimos usar la fórmula para
practicar su uso.
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Ejercicios Propuestos:
1.- Sean los puntos ),,(;),,( ������� QP y los vectores
.ˆˆ;ˆˆ;ˆˆˆ;),,(;),,( ikEikDikjCBA ��� �� ���� ����� ���� Calcular:
a) ���BPQ b) El ángulo entre AQP,
c) PQBA ��� d) > @CED ,,
e) El área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son C y E .
f) El unitario de los vectores A y D .
g) El valor de “D ” para que el vector ( 2,3, )D D� sea perpendicular a E
h) )( EDC �
2.- Encuentre el valor de “ E ” tal que los vectores (8,6)x y (3, )z E sean
ortogonales:
3.- Se sabe que � �� yx ; y � � yx encuentre yx � .
4.- Se sabe que � � yx ; y ;cos��
θ donde θ es el ángulo entre los
vectores yx, .
Calcular: a) yx � b) yx �
5.- Sean los vectores )4,1,0()1,4,2();2,3,1( � zyyx . Hallar un
vector zzyxw � ����/ .
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6.- Determine si el vector A es o no combinación lineal de los vectores dados en
cada caso:
a) ),( ��� A ^ `(3,1);(4,5)
b) ),,( ��� A ^ `(1,0,3);(0, 2,4);(0,0,9)�
c) ),( �� A ^ `(2,4);(1,2)
d) ),( ��� A ^ `(3,2);(5,6);( 3,1)�
e) kjA ˆˆ �� ^ `ˆ(1,0,1);k
7.- Sean ,x y vectores ortogonales en � � �� yyx/ . Hallar
.yxyyx ��
8.- Los vectores ���yx, forman un ángulo de 3S . Suponiendo que la
� � yx ; .
Calcular: a) yx � b) .yx � c) �� .yx
9.- Sean ���yx, perpendiculares cuyas magnitudes respectivas son “4” y “2”.
Hallar la magnitud del vector )3()2( yxyx �u� .
10.- Sean ),,( ���� x ; ),,( ���� y Hallar:
a) yx � b) � � yyx ��� c) )2()2( yxyx �u�
11.- Si ���yx, � � yyx/ ; encuentre “D ” para que los vectores
� � � �yαxyyαx �� sean ortogonales.
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12.- Sean ���vu, vu A/ pruebe que ���
� � vuvu .
13.- Si yx // entonces � u yx .
14.- Sean vuvu �� � /, . Pruebe que � � � �vuvu �A�
15.- Sean ���vu, vectores no nulos / vuvu � . Demuestre que el ángulo
entre u y v es 3S . ¿Cuál es el ángulo entre u ; ?u v� .
16.- Sean ���vu, vectores no nulos. Hallar dos vectores ByA en función de
vyu / vByvABAu A� //; .
17.- Sea � vw� �
2
.
u
vuu �. Demuestre que uw A .
18.- Si � � � �vuyvu �� son colineales entonces u y v son colineales.
19.- Sean ���vu, / el ángulo entre ellos es 4S . Pruebe que vuvu u � .
20.- Demuestre las siguientes propiedades:
a.- 2222
22 bababa � ���
b.- ).(2)()( bababa u �u�
c.- )()( bababa �A��
d.- � � ���� �� bababxa .
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21.- Dado los vectores )3,2,1( � a y )2,1,3( b encontrar un tercer vector c que
sea combinación lineal de ellos, de magnitud 4 y además perpendicular al vector
b .
22.- Sea el vector BBAC �u )( ; el vector B es unitario y 3 u BA . Hallar el
ángulo entre el vector B y C .
23.- Hallar un vector v de módulo 10 paralelo al vector BA 43 � sabiendo que
ikA ˆ22ˆ32
�� ; ¸¹·
¨©§ � 0,
21,2B .
24.- Dados los vectores )1,1,3(� x y )0,4,1( b . Hallar los vectores c y 3��d
/ dcb � ; c es paralelo a x y d es perpendicular al vector x .
25.- Sean los vectores A&
y B&
ortogonales en 3� ; 23;3 BA , calcular:
a.- )()( BABA*&&
��u��
b.- � � � �BABA&&&&
42 ���
c.- El ángulo entre los vectores � �BAA&&*
�; .
26.- Si ByA son vectores unitarios y perpendiculares pruebe que:
a.- 2 � BA .
b.- BAu es unitario.
27.- Se sabe que .119
u yx Hallar )43()2( yxyx �u� .
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28.- El ángulo entre los vectores ";" yx es: 3S . Se sabe que
43 yyx . Hallar:
a.- )3()2( yxyx �u� b.- 6
yx � .
29.- Sean 3, ��vu . Suponga que u es ortogonal a v ; 5 � vu ; 4 u . Hallar:
a.- 5
vu �
b.- El ángulo entre los vectores � �vu � y � �vu � .
30.- Determinar la primera componente del vector ),,( ��� xa sabiendo que forma
un ángulo de 4S con el vector ),,( ��� b .
31.- Encuentre en cada caso las proyecciones escalar y vectorial de b sobre a :
a.- ),(;),( �� ��� ba .
b.- ),,(;),,( ���� ����� ba
c.- kjibkjia ˆˆˆ;ˆˆˆ �� ��
32.- Hallar el vector proyección de a sobre b donde ),,( ��� b , sabiendo que el
vector a es perpendicular a )( ab �� y � a .
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Capítulo 3: Rectas , Planos y Esferas…
1.- Ecuaciones de la Recta: Sea ),,( ���� zyxP un punto por donde pasa la recta L
de la y ),,( cbaVD un vector paralelo a L llamado “vector director” entonces
tenemos:
a.- ),,(),,(),,( cbatzyxzyx � ��� Esta es la “Ecuación Vectorial de la
Recta” lo abreviaremos como E. V. R.
Aplicando las operaciones de vectores en la parte (a) nos queda:
),,(),,( ctzbtyatxzyx ��� ���
b.- Por igualdad de vectores °¯
°®
� � �
�
�
�
ctzzbtyyatxx
Esta ecuación es la:
“Ecuación Paramétrica de la Recta”. La abreviaremos E.P.R.
c.- Despejemos “t” de cada ecuación en (b) nos queda:
°°°
¯
°°°
®
�
�
�
�
�
�
tc
zz
tb
yy
ta
xx
Igualando nos queda: 0 0 0x x y y z za b c� � �
. Esta ecuación es la:
“Ecuación Simétrica de la Recta”. Que denotaremos con el acróstico
E.S.R.
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Conclusión.
Para hallar la ecuación de una recta en 3� , necesito un punto por donde pase la
recta y un vector paralelo a la misma.
2.- Posición relativa de las rectas: Sean 1 2,L L dos rectas en 3� cuyos vectores
directores respectivamente son 21 DD VyV . Las rectas pueden ser:
PARALELAS o NO PARALELAS.
a.- Rectas Paralelas: � u�� ������ DDDD VVVVLL ////
b.- No Paralelas °¯
°®
OblicuasssoncruzansecorseNoó
puntounencorSe
,tan
tan
OBS1: Dentro de las NO paralelas pueden estar las perpendiculares,
0212121 ��A�A DDDD VVVVLL .
OBS2: Para probar que dos rectas son “oblicuas” debemos ver que no son
paralelas y que no se cortan.
3.- Ecuación de un Plano: Sea ),,( ���� zyxP un punto dado del plano S y
),,( zyxP un punto arbitrario, además sea ),,( cban un vector perpendicular al
plano S llamado “Vector Normal” del plano. Puede observarse en la figura que
se cumple que:
nPP A�
),,( ���� ��� zzyyxxPP
� �����A ���� ),,(),,( cbazzyyxxnPP (a)
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Esta última ecuación es la “Ecuación Vectorial del Plano” (E. V. P.)
Si efectuamos el producto escalar en (a) nos queda:
(b) � ����� ��� )()()( zzcyybxxa
nos queda La Ecuación Escalar del Plano (E.E.P.)
Si aplicamos distributiva y simplificamos en (b):
0 0 0 0ax ax by by cz cz� � � � �
0 0 0ax by cz ax by cz� � � �
Llamemos 000 czbyaxd ��
(c) ax by cz� � d “Ecuación Lineal del Plano” (E.L.P)
Conclusión:
Para hallar la ecuación de un plano se necesita un punto por donde pase el plano
y un vector perpendicular al mismo.
4.- Recta Intersección: La intersección de dos planos da una RECTA. ¿Cómo se
halla dicha RECTA?
La recta intersección está en ambos planos 1S y 2S , quiere decir que está recta
es perpendicular al mismo tiempo a los vectores normales de dichos planos
significa RIDV vector director de la recta intersección = �� unn donde
�� nyn son los vectores normales respectivos de los planos 1 2yS S . Luego se
halla un punto común de los dos planos y se construye la recta deseada.
5.- Dos planos son paralelos, si los vectores normales son paralelos.
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6.- El ángulo entre dos planos no paralelos, es el ángulo agudo entre sus vectores
normales, es decir, si �n es el vector normal del plano �π , �n es el vector normal
del plano �π y θ es el ángulo comprendido entre los vectores �� nyn entonces
¸¸¸
¹
·
¨¨¨
©
§ �
21
21arccos
nn
nnT .
7.- El ángulo entre dos rectas 1 2L yL es el ángulo entre sus vectores directores. Es
decir si �DV es el vector director de la recta �L , �DV es el vector director de la
recta �L y θ es el ángulo comprendido entre los vectores �� DD VyV entonces
¸¸¸
¹
·
¨¨¨
©
§�
21
21arccosDD
DD
VV
VVT .
8.- La distancia del punto ),,( ���� zyxP al plano dczbyaxπ ��� es:
0,
0 0 0
2 2 2p
ax by cz dd
a b cS
� � �
� �
9.- La distancia entre dos planos paralelos: �� �� dczbyaxπ � y
�� �� dczbyaxπ � es:
222
21, 21 cba
ddd
��
� SS
10.- Distancia de un punto P a una recta L es:
D
D
LPV
QPVd
u ,
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OBS: DV vector director de la recta L y Q es un punto cualquiera de la recta
L.
11.- La distancia de dos rectas oblicuas 21 yLL es: “si pensamos que las rectas están
en planos paralelos 21 SS y es la distancia entre dichos planos paralelos”.
12.- Familia de Planos: an los planos 1S y 2S / 11111 dzcybxa ���S y
22222 dzcybxa ���S . Si aplicamos haz de planos 1S + 2 0DS nos
queda:
� ������� �������� )( dzcybxaαdycybxa
Haciendo distributiva nos queda:
� ������� �������� dαzcαybαxaαdycybxa
Asociando los términos comunes:
�������� �� ����� dαdycαcybαbxaαa )()()( Nos queda la
familia de planos que pasan por la intersección de los planos 1S y 2S .
Además, su recta común, se llama EJE o ARISTA DEL HAZ.
13.- Esfera: La ecuación cartesiana de una esfera es
� ������ ��� EDzCyBxAzAyAx . Al completar cuadrados en esta
última ecuación, nos queda la ecuación canónica de la esfera, la cual es
� � � � � �2 2 2 20 0 0x x y y z z R� � � � � donde “R” es el radio y � �0 0 0, ,x y z es el
centro de dicha esfera.
14.- El volumen de una esfera de radio “R” es: �
�� Rπ .
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51 43 2
x ty tz t
�° �®° �¯
Ejercicios Resueltos:
1.- Encuentre La ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por el punto ),,( ���A y es paralela al vector jikM ˆˆˆ ����� y luego halle otros dos puntos de dicha recta.
Solución:
DVtzyxzyx � ��� ),,(),,(
),,(),,(),,( �������� tzyx
� � � �, , 5 ,1 4 ,3 2x y z t t t � � � E. V. R.
E. P. R.
Por igualdad
de vectores
en E.V.R.
Despejando “t” de cada ecuación nos queda
5x t� 14
y t� 3
2z t�
�
Igualando: 1 354 2
y zx � ��
� E S. R.
Para hallar puntos de la recta, lo ideal es escoger la “Ecuación Paramétrica” de la
misma dándole cualquier valor a “t”. Por ejemplo si hacemos:
0t �513
xyz
este es el punto A, no nos sirve.
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1t �5 11 43 2
xyz
� � �
)1,5,6(B�
2t �5 21 4.23 2.2
xyz
� � �
),,( �����C
2.- Conteste las siguientes preguntas:
a.- Encuentre la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos
),,( ����A y ),,( ����B .
b.- ¿En qué puntos esta recta intersecta al plano xy?
Solución:
a.- Podemos dibujar la situación, para hallar la recta necesitamos un
vector paralelo a la misma para ello podemos construir el vector AB o BA .
Usaremos ),,())(,,( ���� ����������� DVAB
Tomemos cualquiera de los puntos, en nuestro caso tomaremos “A”
°¯
°®
���� ���
��
tzty
tx E.P.R.
b.- Para intersectar superficies con rectas lo ideal es tener la recta en forma
paramétrica.
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24 53 4
x tL y t
z t
�° �®° � �¯
Plano xy (z = 0)
Donde aparece “z” coloco “0”
0 = - 3 + 4t despejo t / 34
t
Sustituyo en la Recta L, para hallar el punto de intersección
04343
41
4354
411
432
���
��
�
z
y
x
� ¸¹·
¨©§ �
��
��� ,,IP
Esto último no hacía falta, es una comprobación
3.- Verifique la posición relativa de las rectas 1L y 2L , donde:
°¯
°®
��� ��� ��
�
tztytx
L � ����
����zyxL �
Solución:
Veamos si son paralelas
1
3 52 1.2 1.
x tL y t
z t
� �° �®° � �¯
Nótese que!LDV son los números que acompañan a la “t” con sus respectivos
signos.
)1,1,5(!
� LDV
�
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2LDV
La Recta 2L está casi simétrica, hay que arreglarla para que sea de la forma
Debemos convertirlos en un “1” invisible
525 222 3
zx y
§ ·�¨ ¸§ · © ¹� � ¨ ¸© ¹
5 52 2
1 32 2
x zy
§ ·� �¨ ¸© ¹ �
OBS: no confundir creyendo que es “0” la “y” está dividida entre un “1”
invisible.
A nosotros nos interesa la dirección de 2LDV , y no el tamaño, así que
multipliquemos por “2”: 2LDV = (-1, 2, 3) . Para ver si 1 2//L L basta ver que
1 2//
L LD DV V , es decir, probar que 1 2
0L LD DV Vu
0 0 0x x y y z za b c� � �
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)0,0,0()9,16,5(___________ˆˆ15ˆ2
ˆ10ˆˆ3
321115
ˆˆˆ
21
z��
������
�
� u kjikjikji
VVLL DD � 1L no es paralela a 2L
Veamos si son perpendiculares: 1 21 2 0
L LD DL L V VA � �
(5, -1, 1) (-1, 2, 3) = -5 – 2 + 3 = - 4 0 1L� A 2L
Falta ver si se cortan o son oblicuas. Para ello interceptamos 1L y 2L , para
intersectar rectas lo ideal es pasarlas a paramétricas
°¯
°®
��� ��
����
�
tzty
txL � ya está en forma paramétrica
Pasemos 2L a E.P.R.:
52
12
xs
§ ·�¨ ¸© ¹ �
y s
52
32
zs
�
No lo llamamos “t” porque 1 2L Lz
°°
¯
°°
®
��
����
�
���
�
sz
sy
sx
L �
Igualamos 1L con 2L :
53 52 2
25 32
2 2
st
t s
t s
� � �°°
� ®° �°� � �¯
6 10 52
4 2 5 3
t st s
t s
� � �° � ®°� � � �¯
)))
abc
10 112
2 3 1
t st s
t s
� ° � ®° � �¯
Para resolver un sistema como éste elijo dos de las tres ecuaciones:
� z
Sistema de 3 ecuaciones con 2
incógnitas
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( 2)�
55____________
132422
1322
)))2(
� �
�� ��
�¯®
� ��
s
stst
stst
ba
1s
de la (b) t = 2 – s = 2 – 1 = t
Sustituyo s = 1 y t = 1 en la que no utilicé (a) 10 + s = 1
10.1+1 = 11
? 11 = 11
Como satisface la ecuación no usada entonces el Sistema tiene una única
solución, es decir, las rectas se cortan. Si la última ecuación no se hubiese
satisfecho con los valores de “s” y “t” hallados con las dos ecuaciones
utilizadas, entonces el Sistema sería incongruente, es decir no tendría solución
por ende no habría punto de corte y entonces las rectas serían oblicuas.
Conclusión: 1L y 2L son no paralelas que se cortan. Como información extra
buscaremos el punto de corte entre 1L y 2L . Para ello sustituimos s = 1 en 2L o
t = 1 en 1L . ),,( ����CP
4.- Pruebe que 1L y 2L son OBLICUAS donde:
°¯
°®
�� ����
��
�
tzty
txL �
���
�� ��
zyxL �
Solución:
Para probar que dos Rectas son oblicuas, basta ver que no sean paralelas y
no se corten.
),,(),,( ��� ���� �� DD VyV
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)0,0,0()5,6,13(ˆ6ˆ4ˆˆˆ2ˆ12412131
ˆˆˆ
21 z�� ����� � u kjikjikji
VV DD
�� L no es paralela a �L
Ahora falta ver que no se cortan, para ello interceptamos las rectas y
comprobamos que el sistema no tiene solución.
Pasemos �L a forma paramétrica:
°¯
°®
���� ��
�
�
szsy
sxL � �
°¯
°®
�� ����
��
�
tzty
txL �
tsctsb
tsa
�� �������� ��
�� �
)()()(
� ���� ��� ��
�tsc
tsbtsa
)()()(
Sumemos (a) y (c)
86
7412
�������
� �
s
tsts
��
��
� s sustituyendo en (a)
hallamos “t” ��
� ����
�� ���
�� �¸¹·
¨©§��
��� ��� ttttts . .
Ahora sustituimos ��
��
syt en la ecuación no usada �� �� tsb)(
��
¸¹·
¨©§��
����
�?
.
��z���
� ����
¸¹·
¨©§��
����
� .
Esto quiere decir que 1L y 2L no se cortan.
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Entonces como 1 //L 2L y no se cortan, hemos probado que 1L y 2L son
oblicuas.
5.- Hallar la intersección de las Rectas dadas con las superficies respectivas:
a.- 2z x y �
b.- °¯
°®
� � ��
tzty
tx 1x y z� �
Solución:
a.- Para intersectar Rectas en �� con superficies es necesario pasar la recta a
su forma paramétrica.
�1 3
1
x ty tz t
�° ®° �¯
Ahora podemos intersectar:
1 3
1
x ty tz t
�° ®° �¯
� 2z x y � (Igualamos “z”)
21 1 3t t t� � � � 2 2 0t t� � � �2 0t t � �
0t o 2t �
Como hay dos valores para “t”, hay dos puntos de intersección
Para � t , sustituyo en la recta en forma paramétrica y tenemos ),,( ����
Para 2� t , nos queda el punto ),,( ������
b.- 1 �� zyx � 1
23
x ty tz t
�° ®° ¯
�sustituimos los valores de
tztytx � � �� en el plano y nos queda:
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� �� ��� ������ ttttt para hallar el punto de intersección,
sustituyo � t en la recta y nos queda ),,( ��� .
6.- Hallar los puntos de cruce de las rectas :
°¯
°®
��� � �
�
tztytx
L � y °¯
°®
��� ��� ���
�
kzkykx
L �
Solución:
Los puntos de cruce son los puntos de corte de la recta perpendicular común
�� LyL con las rectas �� LyL . (Ver figura a continuación).
Busquemos el vector director de la recta perpendicular común el cual
llamaremos A . Donde kjikji
VVA DDˆ12ˆ24ˆ18
1142122
ˆˆˆ
21 ��� ��
u . (Este
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vector lo podemos simplificar porque necesitamos solo la dirección y no su
tamaño). ),,(),,( ����� ����������
A .
La recta perpendicular común pasa por el punto de cruce 1 el cual llamaremos:
).,,( ���� zyxPC Por lo tanto la ecuación paramétrica de la recta perpendicular
común es:
(*)°¯
°®
�� �� ��
�
�
�
szzsyysxx
CPR �...
Ahora nótese en la gráfica que la recta �L pasa por dicho punto ).,,( ���� zyxPC
Quiere decir, que éste punto satisface la ecuación de la recta �L .
°¯
°®
��� � �
�
�
�
tztytx
� sustituimos en la Ecuación paramétrica de la R.P.C. (*) y nos
queda:
°¯
°®
����� ��� ���
stzstystx
CPR �... e intersectamos con la recta °¯
°®
��� ��� ���
�
kzkykx
L � para hallar los
puntos de cruce. Igualamos y nos queda:
°¯
°®
��� ������ ������ �����
�°¯
°®
����� ������ ������ ���
kstiiikstii
ksti
stkstk
stk
)()(
)(
°¯
°®
��� ������ ����� �����
�kstiii
kstiiksti
)()(
)(
Para resolver este sistema apliquemos Kramer:
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8711212221231
871121221232
��
�� '
�
�� ' tS
871221121132
� ��
� 'k ��
�����
� ����
�Skky
Stt
ΔΔ
ΔΔ
Para saber cuáles son los puntos de cruce, basta con sustituir:
�� �� � LenkyLent y nos queda:
),,( ������ �� CPLent y ),,( �������� �� CPLenk
7.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos
),,(),,(;),,( ���������� RyQP .
Solución:
Para hallar la ecuación de un plano necesitamos dos datos, un vector
perpendicular al plano y un punto por donde pase el mismo. Para hallar el vector
perpendicular, basta con crear dos vectores con los puntos dados por ejemplo
QRyPQ y hacer su producto cruz.
),,(),,( ���� ���������� PQ
),,()),(,( ���� ���������� QR
),,(
ˆˆˆ
������ �������� u kji
QRPQn puesto que sólo necesitamos sólo la
posición y no el tamaño tomaremos como vector normal a
)7,10,6()14,20,12(21
n .
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Ahora elegimos cualquiera de los tres puntos dados, en particular tomemos
),,( ���P y nos queda:
La ecuación vectorial del planos es: � ����������� ),,(),,( zyx , si hacemos
distributiva nos queda la ecuación escalar del plano:
� ������������ )()()( zyx , y si ahora desarrollamos y simplificamos nos
queda la ecuación lineal del plano:
�� �������� �������������� zyxzyx .
8.- Determine la ecuación simétrica de la recta intersección de los planos
¯®
� ������ ��
�
�
zyxπzyxπ
�
� y luego calcule el ángulo entre los planos:
Solución:
Si revisamos el punto (6) de la teoría, veremos que el vector director de la recta
intersección es el producto cruz de los vectores normales de los planos dados
es decir ),,(
ˆˆˆ
����� �������� u ��
kjinnVD . Ahora debemos buscar un punto
de la recta intersección, para ello resolveremos el sistema:
¯®
� ������ ��zyx
zyx(*) .
Este sistema es de 2 ecuaciones por 3 incógnitas, para resolverlo, fijamos una de
las tres variables con un valor cualquiera y luego resolvemos el sistema que nos
quede.
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Por ejemplo fijamos ¯®
� ���� �
�� yxii
yxiz
)()(
multiplicando la primera por
“-3” nos queda: 007
___________________643)(
633)(
� �
¯®
�� ��
yy
yxiiyxi
Sustituimos 2202)(0 � �� � xxyxieny
Esto quiere decir, que un punto de la recta intersección es ),,( ���RIP .
OBS: Nótese que si los planos se intersectan, quiere decir que el sistema (*) tiene
infinitas soluciones porque en una recta hay infinitos puntos, por ello no se extrañe
que a sus compañeros les den resultados distintos.
También tome en cuenta que si asigna un valor cualquiera a una variable puede
pasar que el sistema resultante NO tenga solución, esto no significa que los planos
no se intersectan sino que la recta intersección NO pasa por ningún punto donde la
variable que usted eligió de ese número, por lo tanto cambie de valor hasta que el
sistema de 2x2 resultante, sea compatible.
Falta hallar el ángulo entre los dos planos, para ello busquemos el ángulo agudo
entre sus vectores normales, es decir sea θ el ángulo comprendido entre los
vectores �� nyn entonces ¸¸¸
¹
·
¨¨¨
©
§ �
21
21arccos
nn
nnT
�� ����� ��������� � �� ),,(),,(nn
� ������ ���� )(n
�� �� ������ ���� )(n
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� � q|¸¹
ᬩ
§ ¸
¸¹
·¨¨©
§ � � 6661,60
56arccos
2536arccosT
9.- Hallar la distancia del punto )1,8,3( �P a la recta °¯
°®
���� ��� ���
tztytx
.
Solución:
Por la fórmula (10) de la parte teórica tenemos D
D
LPV
QPVd
u , . Sea Q un
punto cualquiera de la recta L, para ello démosle el valor de � t a la
ecuación paramétrica de L y tenemos que ),,( ����� Q . Luego
),,())(),(,( ���� ������������ PQ
),,( ���� DLV
),,(
ˆˆ
����� �������� ukji
QPVDL
�� ������ ��� )(DLV
94)3()9(2 222 ���� uQPVDL
�����|����
u
,,
D
D
LPV
QPVd
10.- Hallar la ecuación del plano paralelo a � ���� zyx tal que el punto
),,( �����P equidiste de ambos.
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Solución:
Sea el plano buscado (*) αzyxπ ����� � entonces debe ocurrir que
�� πdPπdP ,, . Hallemos ambas distancias:
� ���
������
�����������
����)(
)(..,πdP
�
���
������
����������
����
ααπdP
)(
)(.., igualando ambas distancias nos
queda
�� � �°¯
°®
��� ���
�� ������ �����
�
���αoα
αo
αα
α
� α ya lo tenemos, lo que indica que �� α si sustituimos en (*) nos queda
que el plano buscado, es �� ����� zyxπ � .
11.- Hallar la distancia entre las rectas oblicuas �� LyL donde:
°¯
°®
�� ����
��
�
tzty
txL � y
���
�� ��
zyxL �
Solución: Según la parte (11) de nuestra teoría, dice que la distancia
de dos rectas oblicuas 21 yLL es: “si pensamos que las rectas están en planos
paralelos 21 SS y es la distancia entre dichos planos paralelos”.
Construyamos dichos planos:
El vector normal n , común para ambos planos debe ser perpendicular a los
vectores directores de la recta es decir: �� u DD VVn .
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),,(
ˆˆ
������ ������� u ��
kjiVVn DD .
Para construir el plano �π que contiene a la recta �L , necesito un punto de dicha,
recta por ejemplo ),,(... ������ PRPElaent .
� ������������� ),,(),,( zyx � La ecuación lineal del plano �π es:
556131 �� zyx�S .
Para construir el plano �π que contiene a la recta �L , necesito un punto de
dicha recta, por ejemplo ),,( ����Q .
� ������������� ),,(),,( zyx � La ecuación lineal del plano �π es:
356132 � �� zyx�S .
����
��������
����
��
� �
������
���� �� )()(
)(,
cba
dddLDL ππ
12.- Encuentre la ecuación de la esfera con centro C y radio R en cada caso:
a.- 4)1,1,2( � RC b.- 32)2,1,6( � RC
Solución:
a.- � � � � � �2 2 2 22 1 1 4x y z� � � � � �� ��������� ��� )()()( zyx
b.- � � � � � � � �22 2 26 1 2 2 3x y z� � � � � � � ª º ª º¬ ¼ ¬ ¼
� � � � � � � �� �������� ��� .zyx � � � � � � �� ��������� ��� zyx
13.- Encuentre el centro, radio y volumen en la esfera
2 2 2 4 6 2 6 0x y z x y z� � � � � �
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Solución:
2 2 2 4 6 2 6 0x y z x y z� � � � � �
( 2 4x x� ) + ( 2 6y y� � ) + ( 2 2z z� ) = -6
Completamos cuadrado
2( 4x x� ) + 2( 6y y� ) + 2( 2z z� + ) = 6� + + +
Lo dividimos entre 2
Factorizamos
(x + 2) 2 + ( y - 3) 2 + ( z + 1 ) 2 = 8 . Ecuación canónica de la esfera
� �2,3 1C � �
R = 8 2 2
� � 32
333 2348
34
34
¸¹·¨
©§ SSSRVE
9 8 424 4 4.2 2 2 .2 2
3 3 3S S S
����
�πVE
14.- Encuentre la ecuación cartesiana de la esfera si se sabe que su diámetro es el
segmento AB donde ),,(),,( ������� BA .
Solución:
El centro de la esfera = P medio � �2 4 1 3 4 10, , 3,2,72 2 2AB
� � �§ · ¨ ¸© ¹
Radio = � � � � � �2 2 2, 3 2 2 1 7 4C Ad � � � � � = 11
� . . :E C E � � � � � �2 2 23 2 7 11x y z� � � � � (canónica)
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� �� ���������������� ��� yzyyxx
� � ������������ ��� zyxzyx (cartesiana)
15.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos
¯®
� ��������� �����
�
�
zyxπzyxπ
�
� y pasa por el punto ),,( ����P .
Solución:
El plano buscado (aplicando Haz de Planos) es: � � �� αππ . Pero para aplicar
dicho concepto ambos planos deben estar igualados a “0”. Para ello arreglemos el
plano � �������� zyxπ � .
Ahora si
� ������������������ � �� )( zyxαzyxαππ
� ����������������� αzαyαxαzyx )()()( (*)
Asociando las variables comunes tenemos:
DDDD 111)65()72()23( � ������ zyx esta es la familia de planos
que pasan por la intersección de los planos 21 SS y . Pero no los queremos
todos, en particular deseamos aquel que pasa por el punto ),,( ����P lo que
hacemos es sustituir � �� � zyx en (*) y nos queda:
DDDD 1115)65()3)(72(2)23( � �������
103636 � � DD sustituimos en (*) y el plano buscado es:
��� ���� zyx
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Ejercicios Propuestos:
1.- Hallar la posición relativa de las siguientes rectas en cada caso:
a.- ����
���
��
zyxL � y 4
332
32
� �
� zyxL �
b.- 22
421 � �
� zyxL � y 1;12
52
�
� zyxL �
c.- 1;12
51
�
� zyxL � y °¯
°®
� �
�
tzty
txL
102
0
2 �
d.- Pruebe que las siguientes rectas son oblicuas:
°¯
°®
�� ����
��
�
tzty
txL � y
433
22�
� zyxL �
Sug: Vea que no son paralelas y no se intersectan.
2.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos
)3,1,1()1,2,0();1,0,2( �� CyBA .
3.- Hallar la distancia del punto ),,( ���� a la recta � �� ���
� zyxL ;� .
4.- Hallar la ecuación del plano en cada caso:
a.- Que pase por los puntos ),,(),,();,,( ���������� CyBA .
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b.- Que pase por el punto ),,( ����A y es paralelo a la recta
�����
������
��zyxL � .
c.- Que pase por el punto ),,( ���C y es paralelo al plano de ecuación
93 �� zyx .
d.- Pasa por el punto ),,( �����A y es perpendicular al plano
8853 �� zyx .
e.- Pasa por el punto de intersección de las rectas L1 y L2.
����
���
��
zyxL � y 4
332
32
� �
� zyxL �
Además dicho plano es perpendicular al vector ji ˆ��
.
5.- Encuentre dos puntos de los siguientes planos. (Aquí se procede asignando a
dos variables el valor que se quiera y se despeja la tercera variable).
a.- � ����� zyx b.- � ����� zyx
c.- � ���� zyx d.- � �� zx
6.- Encuentre el (o los) punto(s) en que las rectas dadas intersecan a las superficies
dadas:
a.- °¯
°®
� ������ ���� ���
�
tzty
txL � y el plano 12873 �� zyx
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b.- �� ����
� zyxL � y la superficie 2yxz � .
c.- 4
131zyxL � �� y la esfera 72)2()2()10( 222 ����� zyx
7.- Determine la recta intersección de cada uno los siguientes pares de planos:
a.- � �� �� zxzyx
b.- � ��� ��� zyzyx
c.- � ����� �� zyxzx
8.- Calcule el ángulo en cada uno de los pares de planos del ejercicio 7.
9.- Calcule la distancia entre los siguientes pares de planos paralelos:
a.- 3x –6y + 7z = 2 6x – 12y + 14z = 3
b.- 3x – 4y + 5z = 9 3x – 4y + 5z = 4
10.- Hallar el volumen de las siguientes esferas:
a.- �� ������ ��� )()( zyx
b.- � ���������������� ��� zyxzyx
c.- � ��������� ��� zyxzyx
Problemas de desarrollo:
11.- Hallar la ecuación del plano paralelo a � ����� zyxπ � tal que el
punto )10,5,2( �P equidiste de ambos.
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12.- Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular al plano 23 �� zyx ,
además dicha recta pasa por el centro de la esfera
62204222 ����� zyxzyx .
13.- Sean las rectas ¯®
� ���
� zxyx
L � y 4;52
32 �
� yzxL � .
13.1.- Pruebe que las rectas 21 yLL son oblicuas y halle la distancia entre
ellas.
13.2.- Pruebe que la recta 1L es una recta tangente a la esfera
01614222 ���� zzyx . Sugerencia: “demuestre que la distancia del
centro de la esfera a la recta que decimos que es tangente es igual al radio”.
14.- Hallar la ecuación de la esfera cuyo centro está en la recta
�
����
����
�zyxL � . Dicha esfera pasa por la intersección de la recta
°¯
°®
�� � �
�
kzyx
L � con la superficie
051446222 ������ zyxzyx . Además se sabe que el
volumen de la esfera buscada es “ S36 ”.
15.- Hallar el ángulo entre las rectas L y M. Donde L es la intersección de los
planos ¯®
�� ��
6420
zyxzyx
y �� ��
��� zyxM � .
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16.- Hallar la ecuación del plano que contiene al punto )1,3,2( � y a la recta
���
���
��� zyxL� .
17.- Hallar la ecuación del plano que contiene la recta ¯®
� ���� ���
� zyyx
L � y
además dicho plano pasa por el punto ),,( ���A .
18.- El vértice de un triángulo equilátero está en ),( �����P . Su lado opuesto está
sobre la recta intersección de los planos ¯®
�� ��63
10117zyx
zyx . Hallar los
vértices y el área del triángulo.
19.- Hallar vectorialmente el volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes
son los vectores vu, y w , sabiendo que ABu ; ACv y
ADw . Donde CBA ,, y D satisfacen las siguientes condiciones:
19.1) A es el origen de coordenadas.
19.2) B es el punto de intersección entre las rectas
�� �� ��� zyxL � y la recta ¯®
�� ��04
0222 yz
yxL .
19.3.- C y D están en la recta ;�� ���
� zxL � 4 y ; y equidistan del
punto )4,4,5( � Q una distancia de 5 unidades.
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20.- Hallar el área del rectángulo, cuya diagonal es el segmento formado por los
puntos de cruces de las rectas 2
23
22
2:1�
�
� zyxL y
52
3:2 � � zxL ; 4 y . Sabiendo que uno de sus lados mide 5 unidades.
21.- Hallar la ecuación del plano que dista 5 unidades del punto A =(4,4,3) y además
que contenga la recta ¯®
� � 3
3:
yxz
L .
22.- Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto de intersección de la recta
°¯
°®
�� � �
kzyx
L� con la superficie 051446222 ������ zyxzyx .
Además se sabe que la recta buscada es paralela a la recta intersección de los
planos:¯®
�� ��
6420
2
1
zyxzyx
�
�
SS
23.- Sean los planos 021 �� zyx�S y � ���� bzyaxπ � .
23.1.- Para 2;2 � ba obtenga las ecuación simétrica de la recta
intersección de 21 SS y .
23.2.- Obtenga los valores de a y b para que los planos 21 SS y sean
paralelos.
23.3.- Obtenga los valores de a y b para que 2S contenga el punto
)2,1,1(Q y sea perpendicular al plano 1S .
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24.- Sean las rectas ��� �
�� zyxL : ;
���
����
���
�zyxL : ;
¯®
� �� �
� yzyx
L � y el plano yxzπ � � . Responda las siguientes preguntas:
a.- Dibuje el triángulo cuyo primer vértice es el punto de corte de la recta
�L con el planoπ . Y los otros dos vértices son los puntos de cruce de las rectas
��yLL .
b.- Hallar el área de dicho triángulo vectorialmente.
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Capítulo 4: Superficies Cuádricas
1.- Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres
variables zyx ,, . La forma general es
� ��������� ��� JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx .
2.- A fin de dibujar una “superficie cuádrica” resulta útil determinar las curvas de
intersección de la superficie con los planos paralelos a los planos coordenados.
Esas curvas se llaman trazas (o secciones transversales) de la superficie.
Tipos de Cuádricas…
3.- ELIPSOIDE: Supongamos que el centro es ),,( ���C entonces la ecuación
canónica del “elipsoide” será: � �� �
�
�
�
�
�
cz
by
ax
, veamos los cortes con los
planos:
Plano � ��� �
�
�
�
by
axzxy )(
Plano � ��� �
�
�
�
cz
byxyz )(
Plano � ��� �
�
�
�
cz
axyxz )(
Se llama Elipsoide porque todas sus trazas
son “elipses”.
Su gráfica será:
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-Si el centro es ),,( ��� zyxC entonces la ecuación canónica del “elipsoide” será:
� �
��
��
�
��
�
��
�
��
czz
byy
axx )()()(
4.- HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA: Supongamos que el centro es ),,( ���C y
el eje de rotación es el eje z entonces la ecuación canónica del “hiperboloide de
una hoja” será: � �� �
�
�
�
�
�
cz
by
ax
, veamos los cortes con los planos:
Plano � ��� �
�
�
�
by
axzxy )( es una elipse (donde se encuentra la sección
central)
Plano � ��� �
�
�
�
cz
byxyz )( es una hipérbola con eje real en el eje y y
eje imaginario el eje z .
Plano 1)0( 2
2
2
2
�� cz
axyxz es una hipérbola con eje real en el eje x y eje
imaginario el eje z .
Su gráfica será:
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-Si el centro es ),,( ���C y el eje de rotación es el eje y entonces la ecuación
canónica del “hiperboloide de una hoja” será: � �� �
�
�
�
�
�
cz
by
ax
.
-Si el centro es ),,( ���C y el eje de rotación es el eje x entonces la ecuación
canónica del “hiperboloide de una hoja” será: � ��� �
�
�
�
�
�
cz
by
ax
.
-Si el centro es ),,( ��� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje z entonces la
ecuación canónica del “hiperboloide de una hoja” será:
� �
��
��
�
��
�
��
�
��
czz
byy
axx )()()(
.
-Si el centro es ),,( ��� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje y entonces la
ecuación canónica del “hiperboloide de una hoja” será:
� �
��
��
�
��
�
��
�
��
czz
byy
axx )()()(
.
-Si el centro es ),,( ��� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje x entonces la
ecuación canónica del “hiperboloide de una hoja” será:
� �
��
��
� �
��
�
��
�
��
czz
byy
axx )()()(
.
OBSERVACIÓN: Nótese que la variable del eje de rotación es negativa y las
otras son positivas.
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5.- HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS: Supongamos que el centro es ),,( ���C y
el eje de rotación es el eje z entonces la ecuación canónica del “hiperboloide de
dos hojas” será: � ��� �
�
�
�
�
�
cz
by
ax
, veamos los cortes con los planos:
Plano � ���� �
�
�
�
by
axzxy )( esto es una contradicción quiere decir
que en el plano xy no hay gráfica.
Plano � ���� �
�
�
�
cz
byxyz )( es una hipérbola con eje imaginario en el
eje y y eje real el eje z .
Plano � ���� �
�
�
�
cz
bxyxz )( es una hipérbola con eje imaginario en el
eje x y eje real el eje z .
Su gráfica será:
-Si el centro es ),,( ���C y el eje de rotación es el eje y entonces la ecuación
canónica del “hiperboloide de dos hojas” será: � ��� �
�
�
�
�
�
cz
by
ax
.
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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-Si el centro es ),,( ���C y el eje de rotación es el eje x entonces la ecuación
canónica del “hiperboloide de dos hojas” será: � �� �
�
�
�
�
�
cz
by
ax
.
-Si el centro es ),,( ��� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje z entonces la
ecuación canónica del “hiperboloide de una hoja” será:
� �
��
��
� �
��
�
��
�
��
czz
byy
axx )()()(
.
-Si el centro es ),,( ��� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje y entonces la
ecuación canónica del “hiperboloide de dos hojas” será:
� �
��
��
� �
��
�
��
�
��
czz
byy
axx )()()(
.
-Si el centro es ),,( ��� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje x entonces la
ecuación canónica del “hiperboloide de dos hojas” será:
� �
��
��
�
��
�
��
�
��
czz
byy
axx )()()(
.
OBSERVACIÓN: Nótese que la variable del eje de rotación es positiva y las
otras son negativas.
6.- CONO: Supongamos que el vértice es ),,( ���V y el eje de rotación es el eje z
entonces la ecuación canónica del “cono” será: �
�
�
�
�
�
� by
ax
cz
, veamos los
cortes con los planos:
Plano ),(),()( �� �� ��� �
�
�
�
yxby
axzxy esto quiere decir que en
el plano xy solo encontraremos el vértice del cono ),,( ���V .
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Plano ybcz
by
czxyz r � �� �
�
�
�
)( es una par de rectas.
Plano xacz
ax
czyxz r � �� �
�
�
�
)( es una par de rectas.
Su gráfica será:
-Si el centro es ),,( ���C y el eje de rotación es el eje y entonces la ecuación
canónica del “cono” será: �
�
�
�
�
�
� cz
ax
by
.
-Si el centro es ),,( ���C y el eje de rotación es el eje x entonces la ecuación
canónica del “cono” será: �
�
�
�
�
�
� cz
by
ax
.
-Si el centro es ),,( ��� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje z entonces la
ecuación canónica del “cono” será: �
��
�
��
�
�� �
��
�
byy
axx
czz )()()(
.
-Si el centro es ),,( ��� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje y entonces la
ecuación canónica del “cono” será: �
��
�
��
�
�� �
��
�
czz
axx
byy )()()(
.
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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-Si el centro es ),,( ��� zyxC y el eje de rotación es paraleo al eje x entonces la
ecuación canónica del “cono” será: �
��
�
��
�
�� �
��
�
czz
ayy
axx )()()(
.
7.- PARABOLOIDE: Supongamos que el vértice es y el eje de rotación es el eje
z entonces la ecuación canónica del “paraboloide” será: 2
2
2
2
by
ax
cz
� , veamos
los cortes con los planos:
OBS: Si 0!c entonces el paraboloide será cóncavo hacia arriba. Pero si 0�c
entonces el paraboloide será cóncavo hacia abajo.
Plano ),(),()( �� �� ��� �
�
�
�
yxby
axzxy esto quiere decir que en
el plano xy solo encontraremos el vértice del paraboloide ),,( ���V .
Plano 222
2
)0( ybcz
by
czxyz � � es una parábola.
Plano 222
2
)0( xacz
ax
czyxz � � es una parábola.
Su gráfica será:
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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-Si el vértice es )0,0,0(V y el eje de rotación es el eje y entonces la ecuación
canónica del “paraboloide” será: 2
2
2
2
cz
ax
by
� .
Si 0!b entonces el paraboloide abrirá hacia la derecha. Pero si 0�b entonces
el paraboloide abrirá hacia la izquierda.
-Si el centro es )0,0,0(V y el eje de rotación es el eje x entonces la ecuación
canónica del “paraboloide” será: 2
2
2
2
cz
by
ax
� .
Si 0!a entonces el paraboloide abrirá hacia el eje +x. Pero si 0�a entonces el
paraboloide abrirá hacia el eje –x.
-Si el vértice es ),,( 000 zyxV y el eje de rotación es paralelo al eje z entonces la
ecuación canónica de la “parábola” será: 2
20
2
200 )()()(
byy
axx
czz �
��
�
.
Si 0!c entonces el paraboloide será cóncavo hacia arriba. Pero si 0�c
entonces el paraboloide será cóncavo hacia abajo.
-Si el centro es ),,( 000 zyxV y el eje de rotación es paraelo al eje y entonces la
ecuación canónica del “paraboloide” será: 2
20
2
200 )()()(
czz
axx
byy �
��
�
.
Si 0!b entonces el paraboloide abrirá hacia la derecha. Pero si 0�b entonces
el paraboloide abrirá hacia la izquierda.
-Si el centro es ),,( 000 zyxV y el eje de rotación es paralelo al eje x entonces la
ecuación canónica del “paraboloide” será: 2
20
2
200 )()()(
czz
ayy
axx �
��
�
.
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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Si 0!a entonces el paraboloide abrirá hacia el eje +x. Pero si 0�a entonces el
paraboloide abrirá hacia el eje –x.
8.- PARABOLOIDE HIPÉRBOLICO (o La Silla de Montar): Su ecuación será
2
2
2
2
by
ax
cz
�
9.- CILINDROS CUADRÁTICOS: Cuando “x, y ó z” faltan en la ecuación de la
superficie entonces es un cilindro. Por ejemplo “un cilindro elíptico”
12
2
2
2
�by
ax
. Su gráfica será:
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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10.- CILINDROS EN GENERAL: Es una curva que está contenida en el plano
horizontal y se llama directriz.
Los datos para hallar la ecuación cartesiana de un cilindro son: “un vector
paralelo a las generatrices y la ecuación de la directriz”.
Su pongamos que la directriz es 0),( yxF .
Sea )0,,( oo yxP un punto de la directriz y ),,( cbaA un vector paralelo a las
generatrices.
Entonces el vector director de la recta generatriz será ),,( cbaAVRGD , la
generatriz pasará por el punto )0,,( oo yxP entonces la ecuación simétrica de la
recta generatriz será: )(icz
byy
axx oo
�
� .
El punto )0,,( oo yxP satisface la ecuación de la directriz es decir
)(0),( iiyxF oo .
La intersección de (i) y (ii) nos dará la ecuación cartesiana del cilindro.
°
°®
�
�
0),()(
)(
oo
oo
yxFiicz
byy
axxi
¿Cómo debemos intersectar? De (i)
hacemos una doble igualdad tal que:
� �
�
cz
byyy
cz
axx oo despejamos oo yyx y nos queda:
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cbzcyyiv
cazcxxiii
o
o
�
�
)(
)( sustituimos (iii) y (iv) en (ii) y nos da la ecuación cartesiana
del cilindro.
OBS: Dejamos la búsqueda del cilindro cuando la directriz es 0),( zxF y
0),( zyF para el estudiante.
Ejercicios Resueltos:
1.- Clasifique y dibuje la superficie cuádrica 01062 22 ���� yxzx :
Solución:
Completaremos cuadrado.
102)6( 22 � �� yzxx
2222 3102)36( �� ��� yzxx
12)3( 22 � �� yzx
12
1)3(
22 � �� yzx Es un paraboloide con vértice )0,1,3(V que gira en un eje
paralelo al eje y.
12
12111 22 � � byccaa
como �! 01b abre hacia la
derecha. A continuación su gráfica:
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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2.- Para la siguiente figura:
a.- Defina las ecuaciones de las superficies
cuádricas, eligiendo de manera adecuada los
ejes coordenados e indicando sus dominios
respectivo.
b.- Calcular el área de las figuras definidas
por las trazas de cada una de las superficies
dadas con el plano xy.
Solución:
a.- Primero montaremos
la gráfica en los ejes
coordenados y nos queda:
Es importante notar que
desde el origen de
coordenadas hasta la traza
deben haber “12” unidades.
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Comenzamos con el “cono”, si el vértice es ),,( 000 zyxV y el eje de rotación es
el eje z entonces la ecuación canónica del “cono” será:
�
��
�
��
�
�� �
��
�
byy
axx
czz )()()(
.
El vértice es )14,0,0( �V , 6 alturac , ba radio de la tapa. Debemos buscarlo
por semejanza de triángulos:
182
3626
6 � � aaa
La ecuación del cono será:
2
2
2
2
2
2
18186)14( yxz
� �
¸¹
ᬩ
§ � �� 2
2222
186)14( yxz
Finalmente la ecuación del cono es: > @8,149
)14(22
2 ����
� zyxz
Paraboloide: Si el vértice es ),,( 000 zyxV y el eje de rotación es el eje z
entonces la ecuación canónica de la “parábola” será:
2
20
2
200 )()()(
byy
axx
czz �
��
�
.
Su vértice será )20,0,0(V , 8 alturac , 18ba radio de la tapa. Como es
cóncavo hacia abajo la ecuación del paraboloide será:
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���
���
�� )(
18820
188)20( 22
22
22
yxzyxz
> @20,12)(81
220 22 ���
� zyxz
Hiperbolide de una hoja: Si el centro es ),,( ��� zyxC y el eje de rotación es el
eje z entonces la ecuación canónica del “hiperboloide de una hoja” será:
� �
��
��
�
��
�
��
�
��
czz
byy
axx )()()(
.
El centro es )2,0,0(C . Como es de revolución 6 ba = el radio de la sección
central.
Pero cuidado zc altura del hiperbolide de una hoja. ""c debemos buscarlo por
la traza.
La ecuación canónica hasta el momento será: (*)1)2(6 2
2
2
22
�
��
czyx
Para 222 1812 �� yxz sustituimos en (*) y nos queda:
225
8100100811091)212(
618 2
22
2
2
2
2
2
� � �� �
� cccc
Finalmente sustituimos este último valor en (*)
> @12,812
25)2(
36
222
�� �
�� zzyx
b.- La única superficie con traza 0 z es el hiperboloide, es decir
sustituimos 0 z en su ecuación canónica y nos queda:
¸¹·
¨©§ � �� �
��
��
�2581.361
258
361
225
)20(36
2222222
yxyxyx
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� �25
118822 yx el área es SS25
1188. 2 r
3.- Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio cuya
distancia el punto )1,2,1( � es el doble de su distancia al plano 4 x . Identifique
la superficie y todos sus datos.
Solución:
Sean ),,( zyx los puntos del espacio:
222)1,2,1(),,( )1()2()1()( ����� � zyxdi azyx
4001
400)(
2224),,( � ��
��� x
zyxdii xplanozyx
Se debe cumplir que (i) =2(ii), entonces:
�� ����� 42)1()2()1( 222 xzyx � � 22222 44)1()2()1( � ����� xzyx
2222 )4(4)1()2()1( � ����� xzyx
Desarrollemos solo las “x”
)168(4)1()2(12 2222 �� ������ xxzyxx
64324)1()2(12 2222 �� ������ xxzyxx
0)1()2(6432412 2222 ��������� zyxxxx
� ������� 0)1()2(63303 222 zyxx 63)1()2()10(3 222 ������ zyxx
25363)1()2()2510(3 222 �� ������� zyxx
12)1()2()5(3 222 � ������ zyx ahora dividimos entre “-12”
� ��
���
���� 1
12)1(
12)2()5(
123 22
2 zyx 112
)1(12
)2(4
)5( 222
�
��
�� zyx
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Es un hiperboloide de dos hojas, con centro en )1,2,5( ��C ; 322 cba
es de revolución.
3.- Calcular el cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector )1,4,2( � V y su
directriz es yx 42 .
Solución:
Sea el punto �)0,,( oo yxP directriz � )(42 iyx oo
Por otro lado la ecuación simétrica de la recta generatriz será:
)(142
iizyyxx oo
�
�
�
La intersección de (i) y (ii) nos dará la ecuación cartesiana del cilindro.
°
°®
�
�
�
oo
oo
yxi
zyyxxii
4)(142
)(
2
De (ii) hacemos una doble igualdad tal que:
��
�
�
�1412
zyyyzxx oo despejamos oo yyx y nos queda:
xzxiiizxx oo � � �� 2)(2
yzyivzyy oo � � �� 4)(4
Sustituyendo (iii) y (iv) en (i) nos queda:
yzxzxzyzxz 41644)4(4)2( 222 � ���� �
Finalmente la ecuación cartesiana del cilindro será:
041644 22 ���� yzzxxz
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Ejercicios Propuestos:
1.- Para la figura al lado presentada,
hallar las ecuaciones de las superficies
cuádricas de revolución y su respectivo
dominio. Donde “C” es el cono, “P” el
paraboloide y el “V” señalado es el
centro de la esfera y a su vez vértice del
parabolice “P”.
2.- Para la figura mostrada determine las
ecuación de cada superficie cuádrica
indicando su respectivo dominio. Donde
“H2” es un hiperboloide de dos hojas,
“H1” es un hiperboloide de una hoja.
3.- Para la figura a continuación, se sabe que
T es la traza en y=2 de la superficie cónica
de revolución C y del parabolice P. Se pide:
a) Hallar las ecuaciones y los dominios de C
y P.
b) ¿Qué otra traza común T’ tienen P y C?
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4.- Dada las siguientes ecuaciones cartesianas de cuádricas. Para cada caso
Identifíquela y esboce su gráfica:
a) 0424 222 ��� zyx
b) 01062 22 ���� yxzx
c) 01002544 222 ��� zyx
d) 0211210235 22 ����� zyxzy
e) 03649 22 �� yzx
f) 018161044 222 ������ zyxzyx
g) 01377218499 22 ����� zxyzx
h) 024884 222 ����� zxzyx
5.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia
al punto fijo )3,1,2( � es el doble de su distancia al eje x .
6.- Encuentre la ecuación de la cuádrica que consiste en todos los puntos que
equidistan del punto � �0,0,1� y del plano 1 x . Identifíquela y esboce su
gráfica.
7.- Hallar la ecuación cartesiana del cilindro cuyas generatrices son paralelas al
vector )14,2( � V&
y su directriz es: xz 42 .
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8.- Sean los vectores jiCkBkjiA ˆˆ;ˆ;ˆˆ ��� � �� . Hallar la ecuación del
cilindro cuyas generatrices son paralelas al vector � �CBA uu y su directriz está
dada por la intersección °
°®
�
� ���
���
���
x
xyz.
9.- Sean los planos ¯®
��� �
12681
2
1
zyxzx
�
�
SS
. Hallar la ecuación cartesiana del
cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta intersección de los planos 1S
y 2S . Donde su directriz es 22zy .
10.- Hallar la ecuación del cilindro oblicuo cuya directriz está dada por la
intersección de °
°®
���
0
11625
)1( 222
z
zyx y se sabe que el punto
)3,3,1(�P está sobre el eje del cilindro.
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Capítulo 5: Sistemas de Coordenadas Polares…
1.- Un sistema de coordenadas polares viene definido por un punto fijo O, llamado
POLO y una semirrecta con el origen en O, que se llama SEMIEJE POLAR, y
que, habitualmente coincide con la parte positiva del ejex.
2.- Cada punto del plano se representa por un par ),( TRP .
Donde T es el ángulo orientado. Si es positivo es medido en contra de las agujas
y si es negativo a favor.
R es un número tal que R es la distancia del punto P al polo O. Si es positivo,
se toma P sobre la semirrecta Q y si es negativo sobre la opuesta.
El punto ),( TR� se obtiene mediante la
simetría del origen con respecto al punto
),( TR .
El punto ),( T�R se obtiene mediante la simetría
del ejex con el punto ),( TR .
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3.- Representaciones principales de un punto: Por ejemplo los puntos ),( TR y
),( ST ��R son el mismo punto.
En general: Todo punto distinto del polo tiene dos representaciones
principales, a saber:
(i) ),( TR > @ST 2,00 �zR
(ii) ),( ST ��R SST 20 d�d .
4.- Relación entre las coordenadas polares y cartesianas:
a) Cambio de Polares a Cartesianas: TT coscos RyRx .
b) Cambio de Cartesianas a Polares: 22 yxR � y
xyarctg T donde para hallar T seguimos las siguientes fórmulas:
(i) Si TTT �� IC
(ii) Si TSTT � �� IIC
(iii) Si TSTT � �� IIIC
(iv) Si TSTT � �� 2IVC
5.- Curvas polares más importantes:
CARDIOIDES:
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CARACOLES
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APLICACIONES…
6.- Area limitada por curvas polares:
TEOREMA: Sea la curva )(TfR , f contínua, 0)( tTf con > @EDT ,� . El área
de la región )(Tf con las semirrectas DT y ET es:
7.- Pendiente de la curva: )(TfR es:
TTTTTTTT
T senfffsenf
dxdy
R )(cos)(cos)()(
),( �c�c
8.- Longitud de una curva polar:
TT
E
D
dddRRL ³ ¸
¹·
¨©§�
22
³ E
D
TT dfA )(21 2
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Ejercicios Resueltos:
1.- De la otra representación principal de los siguientes puntos:
a.- ¸¹·
¨©§
4,3 S
b.- ¸¹·
¨©§
45,5 S
Solución:
a.- Supongamos que ¸¹·
¨©§
4,3 S
es la principal entonces 3 R y 4ST por la
parte 3 de la teoría (ii) tenemos que � � ¸¹·
¨©§� ¸
¹·
¨©§ �� ��
45,3
4,3, SSSSTR nótese
que > @SS 2,02254
5�q .
b.- Si suponemos que ¸¹·
¨©§
45,5 S
es la principal donde 5 R y 4
5ST
entonces la otra representación sería � � ¸¹·
¨©§� ¸
¹·
¨©§ �� ��
49,5
45,5, SSSSTR pero
nótese que > @SS 2,04
9� , esto quiere decir que el punto ¸
¹·
¨©§
45,5 S
nos es la
representación (i) sino la (ii).
Quiere decir que 5 �R y 4
5SST � 5� � R y 44
5 SSST � entonces la
otra representación será ¸¹·
¨©§�
4,5 S
.
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2.- Encuentre las coordenadas cartesianas en cada caso:
a.- ¸¹·
¨©§
6,4 S
b.- ¸¹·
¨©§�
45,3 S
Solución:
a.- Sea 4 R y 6ST , por la parte teórica 3 tenemos que TcosRx y
TRseny entonces:
32234
6cos4 ¸
¹·
¨©§ Sx
2214
64 ¸
¹·
¨©§ Sseny
� )2,32(6
,4 ¸¹·
¨©§ S
.
b.- Sea 3� R y 4
5ST
2
234
cos34
5cos3 ¸¹·
¨©§�� ¸
¹·
¨©§�
SSx
2
234
34
53 ¸¹·
¨©§�� ¸
¹·
¨©§�
SS senseny
� ¸¹
ᬩ
§ ¸
¹·
¨©§�
223,
223
45,3 S
.
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3.- Halle la representación principal en polares de los siguientes puntos en
cartesianas:
a.- )3,3(�
b.- ¸¹
ᬩ
§�
25,
235
Solución:
a.- 33 � yyx)(4 b
� 3212)3()3( 22 �� R
63
3 ST ¸¹
ᬩ
§
��
arctg como la “y” es positiva que corresponde al seno y la “x”
es negativa que corresponde al coseno quiere decir que: �T IIC)(4 iib
�
6
56
SSSTST � � el punto buscado en polares es ¸¹·
¨©§
65,32 S .
b.- 25
235 �
yyx)(4 b
� 525
235 22
¸¹·
¨©§ ��¸
¹
ᬩ
§ R
631
235
25
ST
�
¸¸¸¸
¹
·
¨¨¨¨
©
§ �
arctgarctg como la “y” es negativa que corresponde al
seno y la “x” es positiva que corresponde al coseno quiere decir que:
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�T IVC)(4 ivb
�6
116
22 SSSTST � � . El punto buscado en polares es
¸¹·
¨©§
611,5 S .
4.- Graficar las siguientes curvas polares:
a.- R=6 b.- 06
t RST
c.- �� R6ST
Solución:
a. R=6 es el conjunto de los puntos
),6( T esto representa una
circunferencia de radio 6 centrada en
el origen. Podemos comprobarlo
pasando a cartesianas, recordemos
que 62222 ��� yxyxR
.3622 �� yx
b.- 06
t RST es la semirrecta
cerrada con origen en el polo y
ángulo con el semieje polar de
6ST .
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c.- �� R6ST
es la recta cuyo
ángulo con el
semieje polar es
de 6ST .
5.- Identifique las siguientes curvas pasando a cartesianas:
a.- Tcos3 R
b.- 4cos TR
c.- TT cos2
6�
sen
R
d.- TT cosbasenR �
Solución:
a.- Multipliquemos la ecuación Tcos3 R por “R” Tcos32 RR �
xyx 322 �� ahora completamos cuadrado
49
23 2
2
�¸¹·
¨©§ �� yx circunferencia centrada en ¸
¹·
¨©§ 0,
23 y radio
23 .
b.- 44cos � xR T recta vertical.
c.- 6cos26)cos2(cos2
6 �� ��
� TTTT
TTRRsensenR
senR
32
62 ��
� ��xyxy una recta cuya pendiente es
21� .
d.- TT cosbasenR �
Rpormosmultiplica
� TT cos2 bRaRsenR �
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byaxyx � �� 22
Completando cuadrados nos queda:
422
2222 abaybx � ¸
¹·
¨©§ ��¸
¹·
¨©§ � circunferencia centrada en ¸
¹·
¨©§
2,
2ab y de
radio 2
22 ba � .
6.- Hallar el área de la mitad superior ( ST dd0 ) de la cardioide Tcos1� R .
Solución:
Area
STTTT04
22
221
»¼º
«¬ª ����
sensen =
430
42
22
21
0
SSSSSS
»¼º
«¬ª �����
sensen
7.- Encontrar los puntos de intersección y el área de la región que se encuentra
dentro del círculo 1 R y fuera de la cardioide Tcos1� R .
Solución:
Dibujemos la región para determinar sus fronteras y encontrar los límites de
integración (Ver figura en la siguiente página).
³ ³ ³ �� � E
D
S S
TTTTTTT0 0
222 )coscos21(21)cos1(
21)(
21 dddfA
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Busquemos los límites de integración.
Para ellos igualemos las curvas:
22
0coscos11STST
TT
� �
��
o
Los puntos de intersección serán:
¸¹·
¨©§ �¸
¹·
¨©§
2,1
2,1 SS y .
El área será:
42)2(
41
22)coscos2(
2
0
2
0
2 STTTTTT
SS
� »¼º
«¬ª �� � ³ sensend .
8.- Hallar la pendiente de la cardioide Tcos1�� R en 2ST � .
Solución:
TTTT senff � c��� )(cos1)(
TTTTTTTT
TTTTTTTT
TT sensen
sensensenff
fsenfdxdym
R )1(coscoscos)1(cos
)(cos)(cos)()()(
),( ������
�c�c
TTTTT
TTTTTTTTTTT
sensensensen
sensensensen
������
������
coscos
coscos)1(coscoscos)1(cos 22
> @³ ³ ³�
��� �� E
D
S
S
S
TTTTTTT2
2
2
0
2222 )coscos211(212)cos1(1
21)(
21 d
simetríapor
ddfA
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TTTT
Tsensen
m���
�)2(
cos)2cos()(
1
222
2cos
22cos
2
¸¹·
¨©§��¸
¹·
¨©§��
¸¹·
¨©§��¸
¹·
¨©§�
¸¹·
¨©§��
SS
SSS
sensenm
9.- Encontrar la longitud de la cardioide Tcos1� R .
Solución:
TT
T senddRR �� cos1
¸¹·
¨©§ �
22cos1 2 TT sen
TTTTS S
dsendsenLo
³ ³ ¸¹·
¨©§ ¸
¹
ᬩ
§¸¹·
¨©§
2
0
22
22
222
Como > @STT 2,002
�t¸¹·
¨©§sen
82
cos222
22
0
2
0
»¼
º«¬
ª¸¹·
¨©§� ¸
¹·
¨©§ ³
SS TTT dsenL
TTTTT
SE
D
dsendddRRL ³³ �� ¸
¹·
¨©§� �
2
0
222
2 )cos1(
TTTTTTSS
ddsen ³³ � ����2
0
2
0
22 cos22coscos21
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Ejercicios Propuestos:
1.- Dibuje los puntos:
a) � �6,3 S b) � �6,3 S��
c) � �32,4 S� d) � �S,0
e) � �S,1� f) � �S2,9 �
2.- Dé la otra representación de los puntos:
a) � �4,3 S� b) � �45,5 S�
c) � �32,6 S d) � �S,1�
3.- Encuentre las coordenadas cartesianas:
a) � �6,3 S� b) � �4,3 S
c) � �65,2 S d) � �32,5 S��
4.- Encuentre las coordenadas polares:
a) � �2,2� b) � �2,32
c) ¸¹·
¨©§ ��
223,2
23 d) � �3,3�
e) ¸¹·
¨©§�
23,2
33
5.- Graficar las siguientes curvas polares:
a) 9 R
b) 2ST ; R <0
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c) 3ST ; ��R
d) 1� TRsen
e) Tcsc2 R
f) TT sen
R�
�
cos24
6.- Hallar el área de una rosa de 4 pétalos )2cos( T R .
7.- Dadas las curvas )1(21 TsenR � y 22 R . Hallar:
a) Las gráficas de las curvas.
b) Determinar los puntos de intersección de las curvas.
c) El área de la región dentro de 2R y fuera de 1R .
8.- Hallar la pendiente de )2cos( T R para cualquierT .
9.- Hallar la longitud de la espiral 2
TeR > @ST ,0� .
10.- Hallar la pendiente de la curva Tcos1� R en 2ST y luego calcule la
longitud de arco con > @ST 2,0� .
11.- Sea R la región limitada por la proyección en el plano 0 x , de la intersección
de las superficies:
°°®
d��
t��
3216
222
222
zyxzyx
Determine el área de la región R utilizando coordenadas polares.
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12.- Calcular el área mediante polares de la región del plano determinada por:
¯®
td�
1422
xyx
13.- Sea la expresión > @³�
��2
2
2)cos1(121
S
S
TT d .
a) ¿Qué representa dicha integral?
b) Representar gráficamente dicha expresión y encuentre los puntos de
intersección.
14.- Sean las curvas 49
23 2
2
�¸¹·
¨©§ � yx y Tcos1� R .
a) Graficar ambas curvas.
b) Encuentre los puntos de intersección de las curvas en coordenadas
polares.
c) Dibuje el área de la región dentro de 49
23 2
2
�¸¹·
¨©§ � yx y fuera de
Tcos1� R . Luego calcule dicha área usando polares.
15.- Encuentre la ecuación cartesiana de las gráficas en cada caso y dibuje las
mismas:
a.- 09)(cos62 ��� TT senRR
b.- 9)2cos(2 TR
16.- Determinar el área de la región que yace dentro del círculo TsenR 3 y fuera
de la cardioide TsenR � 1 .
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17.- Sean las curvas 1)1( 22 �� yx y 1 R .
a.- Dibuje la región dentro de la primera curva y fuera de la segunda.
b.- Halle los puntos de intersección en polares.
c.- Halle el área de la región dibujada en la parte (a) en polares.
18.- Sean la región ¯®
t
d
2
1xy
yR .
a.- Dibuje la región R
b.- Halle los puntos de intersección en polares.
c.- Halle el área de la región R dibujada en la parte (a) en polares.
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Capítulo 6: Funciones Vectoriales…
1.- Una función vectorial es una función de la forma nR �o�: /
> @)(,),(),()( 21 tRtRtRtR n� . Nosotros estudiaremos en 2� y
principalmente en 3� .
2.- Si > @)(),(),()( 321 tRtRtRtR entonces el Límite de una función vectorial es:
> @)(),(),()( 321tRlímtRlímtRlímtRlím atatatat oooo
3.- La función )(tR es contínua en at sí y sólo si )()( aRtRlím at o .
4.- Definimos una curva en el espacio como una función de la forma:
Itthztgytfx
C �°¯
°®
)()()(
� .
5.- La Derivada de una función vectorial es: »¼º
«¬ª ccc c )(),(),()( 321 tRtRtRtR
6.- El vector tangente unitario se define como “un vector paralelo a )(tRc
unitario”, esto es: )(
)()(tR
tRtTc
c
7.- La recta tangente: La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva
)(tRC { en el punto ),,()( 0000 zyxtR es: )(.)(),,( 00 tRttRzyx c� .
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8.- Teorema: Sean )(tR y )(tS funciones vectoriales derivables, ��D y )(tf
una función real / ).(: tfyf �o�
(i) > @ )()()()( tStRtStRDt c�c �
(ii) > @ )()( tRtRDt c DD
(iii) > @ )()()()()()( tRtftRtftRtfDt c�c esto devuelve una función vectorial
(iv) > @ )()()()()()( tStRtStRtStRDt c���c � esto devuelve una función escalar
(v) > @ )()()()()()( tStRtStRtStRDt cu�uc u esto devuelve una función vectorial.
(vi) > @ )())(())(( tftfRtfRDt cc
9.- La integral definida de una función vectorial es:
»¼
º«¬
ª ³ ³³³
b
a
b
a
b
a
b
a
dttRdttRdttRdttR )(,)(,)()( 321
Teorema fundamental para funciones vectoriales:
@ )()()()( aSbStSdttRb
a
b
a
� ³ donde ³ � KtSdttR )()(
10.- Longitud de arco: dttRLb
a³ c )(
11.- Diferencial de longitud de arco: )(tRdtdS c este concepto será útil
en las demostraciones posteriores.
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12.- La curvatura dela curva )(tRC { en un punto dado es una medida de que tan
rápido cambia la curva de dirección en ese punto. Específicamente, se define
como la magnitud de la tasa de cambio del vector unitario tangente con respecto
a la longitud de arco.
13.- Definición de curvatura: En 32 �� o : )(
)()(
tR
tTtK
c
c
Teorema: La curvatura de la curva dada por la función vectorial en 3� es:
3
)(
)()()(
tR
tRtRtK
c
ccuc
14.- En el caso especial de una curva plana cuya ecuación es )(xfy la curvatura
será:
� �> @ 232)(1
)()(
xf
xfx
c�
cc N .
15.- Vectores Normal y Binormal unitarios: El vector )()( tTtT Ac entonces
definimos el vector normal unitario como: )(
)()(tT
tTtNc
c . Luego el vector
Binormal unitario será: )()()( tNtTtB u
OBS: Los vectores tangente, normal y binormal unitarios son tres vectores
ortogonales entre sí con norma “1” en un punto dado de la curva. Ellos forman
el “triedo de frenet”. (Ver figura anexa).
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Además podemos agregar que )(tN = )()( tTtB u .
16.- El plano determinado por los vectores )(tN y )(tB en el punto P sobre la curva
C se llama plano normal de la curva C en el punto P. (Consiste en todas las
rectas que son ortogonales al vector tangente unitario).
El plano normal es aquel que tiene como vector normal el tangente unitario o
)(tRc .
OBS: )(//)( tRtT c .
La ecuación del plano normal a la curva C en el punto ),,( 000 zyxP es
0)(),,( 0000 c���� tRzzyyxx donde ),,()( 0000 zyxtR .
17.- El plano determinado por )(tT y )(tN se llama plano osculante de C en el
punto P.
Osculum es una palabra latina que quiere decir “beso”.
Este plano es el plano que está tan cerca que contiene la parte de la curva que
está cerca de P. (Para una curva plana, el plano osculante es simplemente el
plano que contiene la curva).
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El plano osculante es aquel que tiene como vector normal el binormal unitario o
)()( tRtR ccuc .
OBS: )(tB // )()( tRtR ccuc
La ecuación del plano osculante a la curva C en el punto ),,( 000 zyxP es
0)()(),,( 00000 ccuc���� tRtRzzyyxx . Donde ),,()( 0000 zyxtR .
18.- El plano rectificante es aquel que tiene como vector normal el normal
unitario o )())()(( tRtRtR cuccuc .
OBS: )(tN // )())()(( tRtRtR cuccuc
La ecuación del plano rectificante a la curva C en el punto ),,( 000 zyxP es
���� ),,( 000 zzyyxx )())()(( 000 tRtRtR cuccuc =0.
Donde ),,()( 0000 zyxtR .
19.- El círculo que está en el plano osculante de la curva C en el punto P (que tiene la
misma tangente que la curva C en el punto P) está en el lado cóncavo de C
(hacia donde apunta )(tN ), y tiene como radio N
U 1 se llama CIRCULO
OSCULADOR o CÍRCULO DE LA CURVATURA de C en P. Este es el
círculo que mejor describe la forma en que C se comporta cerca de P, comparte
la misma tangente, normal y curvatura de P.
El círculo osculante de una curva )(tR en el punto P es:
°¯
°®
�
Penosculadoraesfera
Penosculanteplano
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El radio de la esfera osculadora )(
1)(tK
t U y el centro es:
)().()( tNttR U� .
20.- Movimiento en el Espacio: Si )(tR representa el vector posición entonces
ocurre:
)(')( tRtV (velocidad) y la rapidez = )(tRc
)('')(')( tRtVta (aceleración)
Ahora si tenemos la aceleración entonces ocurre: ³� t
t
duuatVtV0
)()()( 0
³� t
t
duuVtRtR0
)()()( 0 .
21.- Componente tangencial de la aceleración: )(
)()()(tR
tRtRtaTc
cc�c
Componente normal de la aceleración: )(
)()()(
tR
tRtRtaN
c
ccuc
El vector aceleración puede escribirse en función de las componentes anteriores
de la siguiente forma:
NaTata NT ..)( �
22.- Sea C la curva suave. La torsión de C mide el “grado de torcedura” de la curva,
mide el desvío de la curva respecto al plano osculante. Su fórmula será:
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� �� �2
)('')(
)(''')('')(')(tRtR
tRtRtRtuc
u� W
23.- Se denomina curva plana al recorrido de una función vectorial tal que todos sus
puntos se encuentra en un mismo plano.
OSB: Para probar que una partícula se mueve en un plano basta ver que su
torsión sea “0”.
24.- Fórmulas de Frenet: NkdsdT .
BTkdsdN .. W��
NdsdB .W�
Ejercicios Resueltos:
1.- Sean la funciones vectoriales: ¸¹
ᬩ
§�
�� t
ttt
tttR 9,2,cos1)(
2
2 ;
¸¹·
¨©§ �
��
ttt
tttS 9,ln,
2591)( 2 . Hallar:
a.- )(0 tRlím to .
b.-- Dominio de )(tS .
Solución:
a.- ¸¹
ᬩ
§�
�� oooo tlím
tttlím
ttlímtRlím tttt 9,2,cos1)( 0
2
0200
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21
2cos
'00
2
'00cos1
0
0
20
�
o
o
o
tlím
HopitalLt
sentlím
HopitalLt
tlím
t
t
t
2
122
'002
0
2
0
�
�
o
o
tlím
hopitalLt
ttlím
t
t
30990 � �o tlímt
¸¹·
¨©§ � o 3,2,
21)(0 tRlímt
b.- tdomttdom
ttdomtSDom ��¸
¹·
¨©§�¸
¹·
¨©§
��
9ln2591)(
2
^ ` � � � @ � @ ^59,09,,05,5)( � f��f���� tSDom
2.- Sea la función vectorial � �422 ,,43)( tsenttetttR t �� hallar el tangente
unitario en .0 t
Solución:
)0(
)0()0(R
RTc
c
� �32 4cos,2,46)( tttetettR tt ��� c
� � � �1,0,40.40cos,0.20,40.6)0( 3020 ��� c eeR
17104)( 222 �� tR
� �1,0,4171)0( T
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3.- Muestre que si D )(tR entonces )()( tRtR Ac .
Solución:
Como D )(tR elevemos al cuadrado ambos lados y nos queda que
222
)()()( DD �� tRtRtR derivando a ambos lados nos queda que:
> @ 0)()()()()(8
)()()( 2 c���c� � tRtRtRtRiv
dtdtRtR
dtd D
)()(0)()(0)()(2 tRtRtRtRtRtR Ac� �c� �c
4.- Sea )2,,cos2()( tsentttR calcular dttR )(2
0³S
.
Solución:
),,(),cos,2()2,,cos2()( 3212 kkkttsentdttsenttdttR �� ³³
@ )0,0cos,02(2
,2
cos,2
2),cos,2()( 22
20
22
0
��¸¸¹
·¨¨©
§¸¹·
¨©§� � ³ sensenttsentdttR SSSS
S
¸¹
ᬩ
§ ��¸
¹
ᬩ
§
4,1,2)0,1,0(
4,0,2
22 SS
5.- Sea la curva °°®
2
2
xzzy
C � Hallar:
a.- El punto de la curva C donde el plano osculante es paralelo a la recta
22;4 � yzx .
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b.- El binormal unitario en el punto ¸¹·
¨©§�
41,
161,
21
.
c.- El normal unitario en el punto )1,1,1( .
Solución:
a.- Primero debemos buscar la función vectorial que representa la curva C:
� � 4222 ttytztx la función vectorial será ),,()( 24 ttttR
En la figura podemos ver que el vector normal del plano osculante es
perpendicular al vector director de la recta.
)(.. tBn OP // )()( tRtR ccuc
)2,12,0()()2,4,1()( 23 ttRytttR cc c
)12,2,16(
2120241
ˆˆˆ
)()( 23
2
3 ttt
ttkji
tRtR �� ccuc
012160)1,0,1()12,2,16()1,0,1( 2323.. ��� ����A ttttn OP
4300)1216(2 � ��� tottt
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Los puntos serán: para )0,0,0()0(0 � Rt
¸¹·
¨©§ ¸
¹·
¨©§�
169,
25681,
43
43
43 Rty
b.- Queremos saber de que “t” viene el punto ¸¹·
¨©§�
41,
161,
21
21
4116121
2
4 � �
°°°
¯
°°°
®
�
t
t
t
t
¸¹·
¨©§�
21B // � �3,2,2
21
21
� ¸¹·
¨©§�ccu¸
¹·
¨©§�c RR
Como el Binormal debe ser un vector unitario dividimos entre su norma.
)3,2,2(171
)3,2,2()3,2,2(
21
� ��
¸¹·
¨©§�B
c.- Queremos saber de que “t” viene el punto )1,1,1(
1
11
1
2
4 �°¯
°®
tttt
)1(N // > @ )1()1()1( RRR cuccuc
)12,2,16()1()1( �� ccuc RR // )6,1,8( ��
)31,22,26(241618
ˆˆˆ
)1()6,1,8( �� �� cu��kji
R
)31,22,26(21211
)31,22,26()31,22,26()1( ��
���
N
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6.- Sea la curva )2,,cos()( SSS ���� tsentttR hallar la ecuación del círculo
osculador en el punto de intersección de la curva )(tR con el plano S� z .
Solución: Primero hallaremos el punto de intersección.
SS
SS
� �°¯
°®
� � ��
ztz
sentytx
2
cos
SSSSS � �� �� 22 tt
El punto de intersección será sustituir S t en la curva )(tR así tendremos:
),,1()2,,cos()( SSSSSSSSSS ��� ���� senR
El círculo osculante de una curva )(tR en el punto ),,1( SSS ���P es:
°¯
°®
�
Penosculadoraesfera
Penosculanteplano
)(
)()(
S
SSN
R
T
c
c
)1,cos,()( tsenttR � c
)1,1,0()1,cos,()( � SSS senR
21)(cos)()( 222 ��� tsenttR
2)( SR
� �0,,cos2
1)()1,cos,(2
1
)(
)()( sentttTtsenttR
tRtT �� c�� c
c
2
10012
1)()0,0,1(2
1)( 222 �� c� c SS TT
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21
22
1
)(
)()(
c
c
S
SSN
R
T
El radio de la esfera osculadora 2)(
1)( SN
SU y el centro es:
)().()( SSUS NR � .
)0,0,1()0,0,1(2
1.
211
)(
)()(
c
c
S
SS
T
TN
El centro será ),,1()0,0,1(2),,1()()()()( SSSSSSSSUSS ��� ���� � NRC
La esfera osculadora es: 4)()()1( 222 ������ SSS zyx
Hallemos el vector binormal unitario en S t :
)1,1,0(2
1
0012
12
10
ˆˆ
)()()( � u kji
NTB SSS
El plano osculante en S t será:
00)(2
1)(2
10)1,1,0(2
1),,1( �� ���� ����� zyzyzyx SSSSS
¯®
� ������
01)()()1( 222
zyzyx
OsculadorCírculoSSS
.
7.- Pruebe usando las fórmulas de Frenet que > @ )()()()()()( 2 tNtSttTtStR c�cc cc N .
Solución:
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En la parte 11 de la teoría vimos que el Diferencial de longitud de arco es:
)(tRdtdS c
sustituyendo en
)(
)()(tR
tRtTc
c nos queda que
dtdS
tRtT )()(c
dtdStTtR )()( c ahora podemos derivar para hallar la segunda derivada:
2
2
)()()(dt
SdtTdtdStTtR �c cc
como
dtdTtT c )( , sustituimos en la anterior y nos queda:
2
2
)()(dt
SdtTdtdS
dtdTtR � cc (*)
Por regla de la cadena tenemos que
dtdS
dSdT
dtdT
, sustituimos en (*)
Tdt
SddtdSN
NdSdTFrenetdt
SdtTdtdS
dtdS
dSdTtR 2
22
2
2
)()( �¸¹·
¨©§
� cc N
N
> @ )()()()()()( 2 tNtSttTtStR c�cc cc� N (esto es lo que queríamos probar).
8.- Determine el círculo osculante de 2xy en )0,0( .
Solución:
Como es una curva plana utilizaremos la fórmula � �> @ 2
32)(1
)()(
xf
xfx
c�
cc N
� �> @ 232)0(1
)0()0(
f
f
c�
cc N
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2)0(2)(0)0(2)(
cc� cc c� c
fxffxxf
> @2
01
2)0(
232
�
�N
El centro del círculo osculador es ¸¹·
¨©§
21,0
y el radio es 211
N
U por lo tanto
el círculo osculador será: 41
21 2
2 ¸¹·
¨©§ �� yx .
9.- Hallar la velocidad y posición en un tiempo t. Si se sabe que una partícula tiene
posición inicial )0,0,1()0( R con una velocidad inicial )1,1,1()0( � V donde
la aceleración viene dada )1,6,4()( ttta .
Solución:
> @ttt
uuuduuuduuaVtV00
22
0
),3,2()1,1,1()1,6,4()1,1,1()()0()( ³³ �� �� �
)0,0,0(),3,2()1,1,1()( 22 ��� ttttV
)1,13,12()( 22 ��� ttttV
³³ ���� � tt
duuuuduuVRtR0
22
0
)1,13,12()0,0,1()()0()(
t
uuuuuutR0
23
3
2,,
32)0,0,1()( »
¼
º«¬
ª¸¹
ᬩ
§����
¸¹
ᬩ
§���� �¸
¹
ᬩ
§���� tttttttttttttR
2,,1
32)0,0,0(
2,,
32)0,0,1()(
23
323
3
10.- Dada la función vectorial ),,(cos)( tsentttR con > @S2,0�t determinar la
recta tangente en 2
3S t .
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Solución:
Hallemos el punto en 2
3S t ¸
¹
ᬩ
§¸¹·
¨©§
¸¹·
¨©§ ¸
¹·
¨©§�
23,
23,
23cos
23 SSSS senR
¸¹·
¨©§ � ¸
¹·
¨©§
23,1,0
23 SSR
La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva )(tRC { en el punto
¸¹·
¨©§ � ¸
¹·
¨©§
23,1,0
23 SSR es: ¸
¹·
¨©§c�¸
¹·
¨©§
23.
23),,( SS RtRzyx .
� �1,0,12
3)1,cos,()( ¸¹·
¨©§c�� c SRtsenttR
La ecuación vectorial de la recta tangente será:
� �1,0,12
31,0),,( tzyx �¸¹·
¨©§ �
S
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Ejercicios Propuestos:
1.- Hallar el dominio para cada función vectorial:
a.- jtit
tR ˆ4ˆ2
1)( ���
b.- ¸¹·
¨©§
��
59,1,1)( 2
tt
ttR
c.- »¼
º«¬
ª��
¸¹·
¨©§
ttttR 2,
61,
21ln)( d.- � �82 ),1ln(,)( ttarctgttR �
2.- Hallar los siguientes límites:
a.- )(2 tRlímto donde ¸¹
ᬩ
§�
���
��
2,2
6,42)(
2
2 tt
tttttR
b.- )(0 tRlímto donde ¸¹
ᬩ
§ ��
ttt
tt
ttsentR 9,1cos,)4()(
2
2
3.- Dada la curva kttjtitttR ˆ)3(ˆ3ˆ)3()( 323 ���� :
a.- Hallar la velocidad, rapidez y aceleración en 1 t .
b.- El plano normal a la curva en 1 t .
4.- Una partícula se mueve sobre la curva
kttjttitttR ˆ)38(ˆ)4(ˆ)4()( 3223 ����� . Hallar las componentes
tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2.
5.- Hallar las ecuaciones del plano oscilador, y de los vectores normal y
binormal a la curva °°®
zxxy
2
2
en el punto (1,1,1).
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6.- Dada la curva ktjtittR ˆ2
ˆ3
ˆ4
)(234
�� encuentre los puntos de la curva
donde la tangente es paralela al plano 1023 �� zyx .
7.- Sea ktjsentittR ˆˆ)(ˆ)(cos)( �� donde > @S2,0�t determine:
a.- Los puntos de )(tR en los cuales el plano oscilador es
perpendicular al plano 5 � zx .
b.- Una función vectorial que represente a la recta tangente a )(tR en
los puntos hallados en la parte (a).
c.- La curvatura para cualquier “t”.
8.- Dada la curva � � � �ktjsentittR ˆ2ˆ)(ˆcos)( SSS ������ hallar el
vector aceleración en términos de los vectores tangente unitario y normal
unitario en el punto de intersección de la curva )(tR con el plano S� z
9.- Demuestre usando las fórmulas de Frenet:
a.- b.- > @ BtsktRtR .)(.)()( 3c ccuc
c.- > @ > @ BskNsksskTskstR .)(..).(..3.).()( 3232 c�cc�ccc�c�ccc ccc W
10.- Hallar la curvatura de > @tsenttR 33 8,cos8)( en 12S
t .
11.- Demuestre la fórmula de la curvatura 3)(R
RRtk
c
ccuc
> @ NtskTtstR .)(.).()( 2c�cc cc
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12.- ¿En qué punto de la curva ),3,()( 43 ttttR el plano normal es
paralelo al plano 6x+6y-8z=1?
13.- Sea el vector posición )2.2,ln,()( ttttR para > @2,1�t . Encontrar:
a) La longitud de arco.
b) ¿En qué punto(s) de la curva )(tR el plano normal es paralelo al plano
9.2 �� zyx ? c) La recta tangente en el punto(s) encontrado en la parte (b).
14.- Dada la curva ktjtittR ˆ32ˆˆ)( 32 ¸
¹·
¨©§�� hallar la relación entre la curvatura
y la torsión.
15.- Sea la curva °°®
�
�
yzyxz
1
22
. Determinar la recta tangente en el punto
(1,0,1).
16.- Dada la curva ktgttjtittR ˆ)ln(secˆ)ln(secˆ)( ��� ¿en qué punto la
curvatura es máxima?
17.- Sea la curva ¯®
�� ��04
0222
zxyx
C� .
a) Parametrice C . b) Determine la ecuación paramétrica de la recta tangente a la curva C
en el punto )3,1,1( . c) Halle la curvatura en el punto )3,1,1( .
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18.- Una mosca camina a lo largo de un alambre en forma de hélice de tal manera
que su posición es � � � � 0ˆ2ˆ6ˆcos6)( t�� tparaktjtsenittR SS .
Hallar:
a.- ¿En qué punto chocaría la mosca con la esfera 100222 �� zyx ?
b.- ¿Qué tanto viajó desde el inicio (t=0) hasta que choca con la esfera?
c.- Curvatura en t=2.
19.- Dada la curva ktjtittR ˆ32ˆˆ)( 32 ¸
¹·
¨©§�� hallar:
a.- Suponga que un móvil se desplaza a lo largo de la curva )(tR .
Determine la longitud recorrida por dicho móvil en el intervalo > @2,0
y luego encuentre las coordenadas de los puntos inicial y final del
recorrido.
b.- Torsión en el punto ¸¹·
¨©§ ��
32,1,1
.
20.- Sea ktjtittR ˆ2
ˆ3
ˆ4
)(234
�� . Hallar:
a.- Los puntos de la curva )(tR donde el plano oscilador es paralelo a
la recta 1;32
2 �
� zyx.
b.- El vector binormal unitario en el punto ¸¹·
¨©§ �
21,
31,
41
.
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21.- Sea la curva � �sentetetR tt .,cos.)( »¼º
«¬ª�
2,0 St . Hallar:
a.- Punto inicial y final de la trayectoria.
b.- Longitud de la trayectoria.
c.- Curvatura t� .
22.- ¿En qué puntos de la recta tangente a la curva
),,()( ��� ����� ttttttR es paralela al plano � ���� zyx ?
23.- Sea el arco definido por > @���¸¹·
¨©§
���
����
� �� ,,)( t
tt
ttr , hallar la
longitud de arco.
24.- Dada la curva definida por ),,()( ���� �� ttttttR calcule los puntos
donde la torsión es “0”.
25.- La posición de una partícula es de )cos,cos,()( sentttsenttR ����
pruebe que:
a.- La partícula se mueve en un plano. (Sug: Pruebe que � )(tτ ).
b.- Encuentre la ecuación del plano.
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Capítulo 7: Funciones de Varias Variables.
Dominio, Conjunto de Nivel y Gráficas
1) Sea �o�nf : / ),,,( 21 nxxxfw � esta función es una función de varias
variables la cual tiene una variable dependiente "" w y n-variables independientes
",,," 21 nxxx � en particular estudiaremos el caso de n=2 o 3. Es decir las
funciones �o�2:f / ),( yxfz donde “z” es la variable dependiente y “x,y”
son las variables independientes y �o�3:f / ),,( zyxfw donde “w” es la
variable dependiente y “x,y,z” son las variables independientes.
2) Dominio de funciones de varias variables: Sea �o�2:f / ),( yxfz
decimos que el 2��Domf y se cumplen las siguientes reglas de dominio:
a.- 2),( � yxDomP donde ),( yxP es un polinomio en 2� .
b.- 2)( � KDom donde K es una constante real.
c.- ^ `0),(),(),( 2 �� ¸¹
ᬩ
§yxQ
yxQyxPDom donde ),(),( yxQyyxP son
polinomios en 2� .
d.- � � � �¯®
t
),(
0),(),(
yxfDomDomimparesnsiyxfparesnsi
yxfDom n
e.- � � ),(),(),(),( yxDomgyxDomfyxgyxfDom � r
f.- ),(),(),(),( yxDomgyxDomfyxgyxDomf � �
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g.- ^ `0),(),(),(),(),(
�� ¸¹
ᬩ
§yxgyxDomgyxDomf
yxgyxfDom
3.- Conjunto de Nivel: Si �o�nf : / ),,,( 21 nxxxfw � definimos el conjunto
de nivel como ^ `cxxxfxfN nn
c �� ),,,(/ 21 � .
Para 2� el conjunto de nivel como ^ `cyxfyxfNc �� ),(/),( 2 es llamado
“curvas de nivel”.
Para 3� el conjunto de nivel como ^ `kzyxfzyxfNk �� ),,(/),,( 3 es
llamado “superficies de nivel”.
4.- Grafica de una superficie: El conjunto de todos los puntos )),(,,( yxfyx en el
espacio, para ),( yx en el dominio de f , se llama la gráfica de f . A la gráfica de
f también se le llama superficie ),( yxfz .
OBS: Para graficar una superficie utilizamos las curvas de nivel y las trazas.
Ejercicios Resueltos:
1.- En cada caso escriba el conjunto dominio y la gráfica del mismo.
a.- 101),( 2 �� yxxyyxf
b.- x
xyyx
xyxf�
��
�
293),(
2
c.- yxyxf � ),(
Solución:
a.- ^ ` 222 0/),()101()( ��t� �� yxyxDomyxxyDomDomf
^ `0/),( 2 t� yxyxDomf
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Para dibujar el conjunto primero dibujamos la frontera 22 0 xyyx � � � ,
tomo un punto cualquiera dentro o fuera de la parábola por ejemplo )0,2( que
está fuera, lo meto dentro de la inecuación 02 t� yx y nos queda
040022 t�t� es verdadero por lo tanto son los puntos fuera de la parábola.
(Ver figura)
OBS: Si nos hubiese dado falsa la inecuación entonces el resultado serían los
puntos internos.
b.- ^ ` ^ `02/),(02
93 22
!� ��� ¸¹
ᬩ
§
�
��¸¹
ᬩ
§�
xyxyxx
xyDomyx
xDomDomf �
^ `2/),( ���z xxyyxDomf
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c.- ^ `00/),( t�t yxyxDomf esto corresponde al primer cuadrante
2.- Supongamos que la temperatura T en cualquier punto (x,y) del plano viene dada
por )ln(),( 22 yxyxT � responda:
a.- Identifique para todo “c” posible y luego dibuje solo para
4ln0 cyc las curvas de nivel de la función temperatura.
b.- Hallar el dominio de la función 3
),(22
3 ),(
��
yx
eyxfyxT
.
Solución:
a.- ^ `cyxyxTNc � )ln(/),( 22
1)ln(22
22)ln(22 22
�� �� � � �cc
ccyx
ey
exeyxeecyx esto es una
familia de hipérbolas con centro )0,0( donde ceba donde ��c .
Dibujemos para 144
14ln22
4ln
2
4ln
2
�� �� yx
ey
exc
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Para 110 220
2
0
2
�� �� yxey
exc otra hipérbola donde 1 ba ; a
continuación sus gráficas respectivas:
b.- ¸¸
¹
·
¨¨
©
§
��
� ¸
¸
¹
·
¨¨
©
§
�� ¸
¸
¹
·
¨¨
©
§
��
�
333 22
3 22
22
3 )ln(
22
3 ),( 22
yx
yxDom
yx
eDomyx
eDomDomfyxyxT
^ `03/),( 22 !�� yxyxDomf
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3.- Supongamos que la temperatura T en cualquier punto � �zyx ,, del espacio
viene dada por: 3
60),,( 222 ���
zyxzyxT . Identifique para todo “k”
posible y luego dibuje solo para 20,15,5 k las superficies de nivel de la
función temperatura.
Solución:
3603
60/),,( 222222
��� �¿¾½
¯®
���
zyxk
kzyx
zyxTN k
222360 zyxk
�� � Familia de esferas centradas en el origen con radio 360�
k
donde 03600360t
��t�
kk
k aplicando tabla de signos nos queda que
� @20,0�k .
Para )0,0,0(03206020 222222 � ����� �� zyxzyxk
Para 13156015 222222 ����� �� zyxzyxk una circunferencia centrada
en el origen de radio 1.
Para 935605 222222 ����� �� zyxzyxk una circunferencia centrada
en el origen de radio 3. El dibujo será:
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4.- Dibuje el gráfico de la función 224),( yxyxf � .
Solución:
Para ello haremos dos pasos:
Paso1) Curvas de nivel: ^ ` 14
4/),(22
22 �� � cy
cxcyxyxfN c esta es
una familia de elipses centradas en el origen donde
� �f� ,04
cdondecbyca .
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Paso2) Trazas
Plano xy (z=0) 004 22 � � yxyx en este plano solo vemos el origen de
coordenadas.
Plano yz (x=0)
zy 24 en este plano veremos una parábola centrada en (0,0)
cóncava hacia arriba.
Plano xz (y=0)
2xz en este plano veremos también una parábola centrada en
(0,0) cóncava hacia arriba.
La gráfica será:
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Ejercicios Propuestos:
1.- En cada caso escriba el conjunto dominio y la gráfica del mismo.
a.- )ln(),( 2 xyxyxf �
b.- 1
1),(
���
x
yxyxf
c.- 16
1),(xy
yxf
d.- 22
22 4),(
yxyxyxf�
��
e.- )ln(
14),(
22
22
yxyx
yxxyxf
��
�
��
f.- 42
22
2)4ln(),(
yyxyxg�
��
g..- 12
31 22
24
),(x
yxyxf
���
h. )639ln(),( 22 yxyxf ��
i.- 1
1),(
22
���
x
yxyxf
2.- Identifique las superficies de Nivel para todo “k” y luego dibuje solo para
4,1,1,0 �� k , donde zyxzyxF ���� 22 )1(),,( .
3.- ),( yxV es el voltaje o potencial en un punto ),( yx del plano xy, las curvas de
nivel de V se llaman curvas equipotenciales. A lo largo de una curva tal, el
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voltaje permanece constante. Para un potencial de 22168),(
yxyxV
��.
Identifique las curvas equipotenciales de manera general y luego dibuje solo
para 5
42 yc .
4.- Sea las funciones 8
)2(16
)1(16
)2(),,(222 �
��
��
yzxzyxF ;
4),( � xyxm ; )1.ln(),( � yxyxg .
a.- Identifique para todo “k” y luego dibuje solo para k 1, 41 las
superficies de nivel de la función ),,( zyxF .
b.- Encuentre y dibuje el dominio de ),(),(),(
yxmyxgyxP .
5.- Grafique las siguientes superficies:
a.- 22 )1(),( ��� yxyxF
b.- 422 �� yxz
c.- 222 �� yxz
d.- 22 yxez ��
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Capítulo 8: Funciones de Varias Variables:
Límite, Derivadas Parciales y sus aplicaciones…
1.- Límite de una función de dos variables:
H�� o Lyxflímoo yxyx ),(),(),( > HGG �����!� Lyxfyxyx oo ),(),(),(/0,0 .
2.- Definición: Sea la función ),( yxf una función de dos variables, los siguientes
límites son llamados límites iterados:
� � � �),(,),( yxflímlímyxflímlímoooo xxyyyyxx oooo
3.- Teorema: Si existen � � � �),(),( yxflímlímyyxflímlímoooo xxyyyyxx oooo pero
son diferentes, entonces ),(),(),( yxflímoo yxyx o no existe.
4.- Si una función ),( yxf tiene distintos límites a lo largo de dos trayectorias
distintas cuando ),( yx tiende ),( oo yx , entonces ),(),(),( yxflímoo yxyx o no existe.
5.- En el cálculo de un límite se puede pasar de coordenadas cartesianas a polares,
técnica que a veces tiene éxito.
Teorema: Si )(TM es una función acotada (en alguna bola con centro en el
origen) y )(R\ es una función que tiende a cero cuando R tiende a 0, entonces:
0)()(),( 00 oo RlímRflím RR \TMT .
6.- Continuidad de una función de dos variables: ),( yxf es contínua en ),( oo yx
si:
a.- ),( oo yxf existe
b.- ),(),(),( ooyxyx yxflímooo existe
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c.- ),(),(),(),( ooyxyx yxfyxflímoo
o
OBSERVACIÓN: Si una de las tres condiciones no se cumple decimos que
),( yxf no es contínua en ),( oo yx .
Sea �o�2:f , supongamos que es discontínua en ),( 00 yx , si el
Lyxflím yxyx o ),(),(),( 00 entonces ),( 00 yx es una discontinuidad evitable y
podemos redefinir la función ),( yxf para que sea contínua en ),( 00 yx , ¿cómo
hacemos esto?
¯®
z
),(),(),(),(),(
),(00
00
yxyxLyxyxyxf
yxg
En caso de que ),(),(),( 00yxflím yxyx o no exista decimos que la discontinuidad es
no evitable o esencial y no podemos redefinir la función de forma tal que sea
contínua en dicho punto.
7.- Derivadas Parciales: La derivada parcial de ),( yxf con respecto a “x” es:
h
yxfyhxflímx
yxfh
),(),(),(0
��
ww
o y la derivada parcial de ),( yxf con
respecto a “y” es: h
yxfhyxflímy
yxfh
),(),(),(0
��
ww
o .
¿Cómo calculamos las derivadas parciales?
ww
xf
Derivamos ),( yxf con respecto a “x” pensando “y” constante.
ww
yf
Derivamos ),( yxf con respecto a “y” pensando ”x” constante.
OBSERVACIÓN: Todas las reglas de derivación se cumplen.
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8.- Notación de las derivadas parciales:
xx zfxz
xf
ww
ww
y yy zfyz
yf
ww
ww
9 .- Derivadas de orden superior: Si ),( yxf es una función de dos variables,
entonces sus derivadas parciales yx fyf son también funciones de dos
variables, de modo que pueden volver a derivarse con respecto a “x” o “y”.
Ejemplo: ¸¹·
¨©§ww
ww
ww
xf
xxffxx 2
2
esto es derivar con respecto a “x” la primera
derivada respecto a “x”.
OBS: La notación subíndice se lee de izquierda a derecha y la notación de
parciales se lee de derecha a izquierda.
Así por ejemplo xyxyf que se lee de “izquierda a derecha”, primero derivamos
respecto a “x” luego respecto a “y” luego respecto a “x” y de último respecto a
“y”.
10.- Teorema de Clairaut: Sea �o�� 2: Df donde Dba �),( , si tanto la función
xyf como yxf son contínuas en D entonces ),(),( bafbaf yxxy .
11.- Regla de la Cadena:
CASO 1) Sea ),( yxfz una función de “x,y” diferenciable, donde
)(tgx y )(thy son funciones también diferenciables pero en “t”, entonces
“z” es una función de “t” diferenciable y su árbol será:
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De aquí podemos deducir su derivada respectiva:
dtdy
yf
dtdx
xf
dtdf
ww
�ww
CASO 2) Sea ),( yxfz es una función de “x,y” diferenciable, donde
),( tsgx y ),( tshy son funciones también diferenciables pero en “s,t”,
entonces “z” es una función de “s,t” diferenciable y su árbol será:
De aquí podemos deducir sus derivadas respectivas:
sy
yf
sx
xf
sf
ww
ww
�ww
ww
ww
ty
yf
tx
xf
tf
ww
ww
�ww
ww
ww
12.- Aproximación lineal: En 2� , sea ),( yxfz su aproximación lineal será:
dzbafbaf �| ),(),( ** donde ybayfxba
xfdz '
ww
�'ww
),(),(
aax � ' * bby � ' *
En 3� , sea ),,( zyxfw su aproximación lineal será:
dwcbafcbaf �| ),,(),,( ***
donde zcbazfycba
yfxcba
xfdw '
ww
�'ww
�'ww
),,(),,(),,(
aax � ' * bby � ' * ccz � ' *
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13.- Gradiente de una función: Si ),( yxf es una función de dos variables,
entonces su gradiente es la función vectorial f� definida por:
¸¹
ᬩ
§ww
ww
�yf
xfyxf ,),(
Si ),,( zyxf es una función de tres variables, entonces su gradiente será:
¸¹
ᬩ
§ww
ww
ww
�zf
yf
xfzyxf ,,),,( .
14.- Plano Tangente a una superficie: Sea kzyxf ),,( y ),,( 000 zyx un punto de
tangencia de la misma entonces el ),,( 000 zyxf� es perpendicular al plano
tangente a dicha superficie en dicho punto. Esto nos lleva a ver que el vector
normal del plano tangente a la superficie kzyxf ),,( en el punto ),,( 000 zyx es
),,( 000 zyxfnPT � .
La ecuación vectorial del plano tangente a la superficie kzyxf ),,( en el punto
),,( 000 zyx es:
0),,(),,( 00000 ����� ozzyyxxzyxf
15.- Recta Normal a una superficie: La recta normal a la superficie kzyxf ),,( en
el punto ),,( 000 zyx es la recta que pasa por el punto de tangencia ),,( 000 zyx y es
perpendicular al plano tangente a dicha superficie en dicho punto por ello su
vector director es ),,( 000 zyxfVDT � y por lo tanto su ecuación simétrica será:
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxzf
zz
zyxyf
yy
zyxxf
xx
ww
�
ww
�
ww
�
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16.- Derivación implícita: Supongamos que “z” está dada en forma implícita como
una función ),( yxfz mediante una ecuación de la forma 0),,( zyxF . Esto
quiere decir que 0)),(,,( yxfyxF domfyx �� ),( . Si F y f son diferenciables,
entonces aplica la regla de la cadena para derivar la ecuación 0),,( zyxF y si
0zww
zF
entonces tendremos la siguiente fórmula:
zF
yF
yz
zF
xF
xz
wwww
�
ww
wwww
�
ww
.
17.- Derivada Direccional:
Teorema: Si f es una función diferenciable en 0x , entonces f tiene una
derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario
),,,( 21 nuuuu � y
uxfxfDu
�� )()( 00
Para n=2 será: � �21000000 ,),(),,(),( uuyxyfyx
xfyxfD
u�¸¹
ᬩ
§ww
ww
Para n=3 será:
� �321000000000000 ,,),,(),,,(),,,(),,( uuuzyxzfzyx
yfzyx
xfzyxfD
u�¸¹
ᬩ
§ww
ww
ww
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18.- Teorema: Supongamos que f es una función diferenciable 0x , el valor máximo
de la derivada direccional llamada “tasa máxima de crecimiento o razón de
cambio máxima” es )( 0xf� y su dirección será la dirección del gradiente es
decir )( 0xfu � . El valor mínimo de la derivada direccional llamada “tasa
mínima de crecimiento o razón de cambio mínima” es )( 0xf�� y su
dirección será la dirección del menos gradiente es decir )( 0xfu �� .
Ejercicios Resueltos:
1.- Calcule los siguientes límites:
a.- yxyxlím yx �
�o
22
)0,0(),(
Al evaluar tenemos 0022
)0,0(),( ��
o yxyxlím yx
Veamos si podemos factorizar para eliminar la indeterminación:
000))(()0,0(),()0,0(),(
22
)0,0(),( � � �
��
��
ooo yxlímyx
yxyxlímyxyxlím yxyxyx
b.- 22)0,0(),( yxxylím yx �o
Al evaluar tenemos 00
22)0,0(),( �o yxxylím yx
Busquemos los límites iterados 00202200 ¸¹·
¨©§ ¸
¹
ᬩ
§� ooo x
límyx
xylímlím xyx
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00202200 ¸¹
ᬩ
§ ¸
¹
ᬩ
§
� ooo ylím
yxxylímlím yxy
parece ser que el límite vale “0”. Pero
busquemos una ruta que pase por )0,0( .
f �
� oo 0
2
0220xlím
xxxxlímxy xx
por lo tanto el 22)0,0(),( yx
xylím yx �o no
existe.
c.- 22
22
)0,0(),( yxyxlím yx �
�o
Al evaluar tenemos
00
22
22
)0,0(),( ��
o yxyxlím yx
Busquemos los límites iterados 1
2
2
022
22
00 ¸¹
ᬩ
§ ¸
¹
ᬩ
§
��
ooo xxlím
yxyxlímlím xyx
1
2
2
022
22
00 � ¸¹
ᬩ
§ � ¸
¹
ᬩ
§
��
ooo yylím
yxyxlímlím xxy
como los límites iterados son
diferentes quiere decir que 22
22
)0,0(),( yxyxlím yx �
�o no existe.
d.- 22)0,0(),(
yxxylím yx�
o
Al evaluar tenemos 00
22)0,0(),( �
oyx
xylím yx
Apliquemos polares y tenemos
TT
TT2222022)0,0(),(
cos
cos
senRR
RsenRlímyx
xylím Ryx�
�
�oo
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)(cos
cos2220TT
TTsenR
RsenRlímR�
�o 20
cosR
RsenRlímRTT �
o
0coscos
0
2
0 � �
oo TTTT senRlímR
senRlím RR
2.- Sea 22
23),(
yxyxyxf
�
, vea si la función es contínua en (0,0) en caso de no serlo
¿puede redefinirse la función para que sea contínua en todo 2� ?
Solución:
^ `)0,0()),(( 2 �� yxfCont
003
22
2
)0,0(),( �o yx
yxlím yx
veamos los límites iterados
0032022
2
00 ¸¹·
¨©§ ¸
¹
ᬩ
§� ooo x
límyxyxlímlím xyx
0032022
2
00 ¸¹
ᬩ
§
� ¸
¹
ᬩ
§
� ooo ylím
yxyxlímlím yxy como los límites iterados son iguales
parece ser que el límite vale “0”.
Apliquemos coordenadas polares al límite.
)(cos
cos3cos
cos3222
23
02222
22
)0,0(),( TTTT
TTTT
senRsenRlím
senRRRsenRlím Ryx �
�
��
oo
02cos
cos3 2
0 �
o TTT senRlímR por lo tanto el límite existe y vale “0”.
Esto significa que podemos redefinir la función f(x,y) para que sea contínua en
todo 2� ¿cómo lo hacemos?
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°¯
°®
z
z�
)0,0(),(0
)0,0(),(3),( 22
2
yx
yxyxyx
yxg
3.- Calcule por definición la derivada parcial de yxyxf 23),( .
Solución:
h
yxfyhxflímx
yxfh
),(),(),(0
��
ww
o
22222 363)2(3)(3),( yhxyhyxhxhxyyhxyhxf �� �� � �
hyhxyhlím
hyxyhxyhyxlím
xyxf
hh
2
0
222
0363363),( �
���
w
woo
xyyhxylím
hyhxyhlím hh 636)36(
00 � �
oo
4.- En cada caso hallar y
fyxf
ww
ww
.
a.- )ln(3),( 322 yxxyxf �
b.- )(4),( 32 yxtagyxf x �
c.- )sec(),( 2 yexyxf �
Solución:
a.-
32
232 23)ln(6yx
xxyxxxf
���
ww
32
22
32
22 93
3yx
yxyx
yxyf
�
�
ww
b-
xyxyxtgxf xx 2)(sec4)(4ln4 32232 ���� ww
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2322 3)(sec4 yyxyf x � ww
c- )sec(
)()sec()sec(2
2)()sec(2
22
2
22
y
yy
y
yy
exxextgex
exxextgex
xf
�
��
�
��
ww
)sec(2)()sec(
2
22
y
yyy
exeextagex
yf
�
��
ww
5.- En cada caso hallar xyfy
xf
www
ww 2
2
2
a.- yetgxxxyxf ��� ln3),( 2
b.-
2252),( yxeyxyxf ��
Solución:
a.- xe
xx
xf y 2sec16 �� ww
xtgxxex
xex
xxx
fxx
f yy secsec216sec162
22
2
�� ¸¹·
¨©§ ��
ww
¸¹·
¨©§ww
ww
ww
xtgxexx
f y 222
2
sec216 �� ww
xexex
xyx
fyxy
f yy 222
secsec16 ¸¹·
¨©§ ��
ww
¸¹·
¨©§ww
ww
ww
w
b.- )2(2
225 xexyxf yx �� ww
> @ 2)2)(2(2)2(2222222 55
2
2yxyxyx exxeyxexy
xxf ��� �� �
ww
ww
)24(2 252
222
�� ww � xey
xf yx
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> @ yxexyxexyyxy
f yxyx 2210)2(22222 45
2�� � �
ww
ww
w
22
410 42
yxxyexyxyf �� ww
w
6.- En cada caso aplicar la regla de la cadena para hallar las derivadas indicadas.
a.- ¯®
� � 3
2 13),(
tytx
yxyxf )2(tfy
tf
ww
ww
b.- °¯
°®
�� �uwewvuz
vwvuyvuwvux
zyxyxf),,(),,(),,(
),( 2
2
23
ufww
a.-
23116 txdtdy
yf
dtdx
xf
dtdf
��� ww
�ww
Sustituimos ¯®
� 3
1tytx
en la ecuación anterior:
23)1(6)( tttdtdf
��
30121823)12(6)2( 2 � ���
dtdf
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b.-
El dibujo anterior es el árbol asociado a ),,( zyxf
uz
zf
uy
yf
ux
xf
uf
ww
ww
�ww
ww
�ww
ww
ww
uwweyuvxuf ����� ww 0223 2
uwuw wevuweuvvuuf �� � �� ww 3522 6)(6
7.- Demostrar que la función definida por )ln( 22 yxyz �� satisface la ecuación
0112 �
ww��
ww�
yz
yz
yxz
x. Sugerencia: Tome yvyxu � ;22 y aplique
regla de la cadena.
Solución:
Como yvyxu � ;22 uvz ln� � ; el
árbol asociado a la función es:
22
20)(ln2yx
xyuxuv
xv
vz
xu
uz
xz
� ��
ww
ww
�ww
ww
ww
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)ln(21)(ln)2( 22
22
2
yxyx
yuyuv
yv
vz
yu
uz
yz
���
� ���
ww
ww
�ww
ww
ww
Ahora, 2
2222
2
222)ln(
212111yzyx
yxy
yyxxy
xyz
yz
yxz
x�¸¹
ᬩ
§��
��
��¸¹
ᬩ
§
�� �
ww��
ww�
2
2222
2222
)ln()ln(122y
yxyyxyyx
yyx
y ����
��
�
0)ln()ln(122 2222
2222 �
����
��
y
yxyxyyx
yyx
y
8.- Utilice diferenciales para aproximar 223 )97,3()01,3()98,1( � .
Solución:
Sea 223),,( zyxzyxf � queremos calcular )97,3;01,3;98,1(f
Sabemos por el punto (12) de la teoría que dwcbafcbaf �| ),,(),,( ***
donde 97,301,398,1 *** cba
Donde a,b,c son los enteros más cercanos por la izquierda o derecha según sea el
caso: 432 cba
100202,0298,1* �
� � � ' aax
100
101,0301,3* � � ' bby
100
303,0497,3* � � � � ' ccz
dwff �| )4,3,2()97,3;01,3;98,1(
)4,3,2(f 40432 223 �
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zzfy
yfx
xfdw '
ww
�'ww
�'ww
)4,3,2()4,3,2()4,3,2(
22
3
22
32223
zyzx
zf
zy
yxyfzyx
xf
�
ww
�
ww
� ww
532
2542;
524
2532)4,3,2(;604323)4,3,2(
33222
�
ww
�
ww
�� ww
zf
yf
xf
125168
1003
532
1001
524
100260 �
¸¹·
¨©§ �����¸
¹·
¨©§ �� dw
65,38
1254832
12516840)4,3,2()97,3;01,3;98,1( | � �| dwff
9.- Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide
18222 �� zyx en el punto )45,3( � .
Solución:
Sea )2,2,2(18),,( 222 zyxFzyxzyxF � �����
)8,10,6()4,5,3( �� fnTangentePlanoNormal
PT
La ecuación vectorial del plano será: 0)8,10,6()4,5,3( ���� zyx
Desarrollando tenemos 0)4(8)5(10)3(6 ����� zyx
Haciendo distributiva 36810603285010186 ��� ����� zyxzyx
Simplificando nos queda que la ecuación lineal del plano tangente es:
18453 �� zyx
Ahora )8,10,6()4,5,3( �� fVDnormalrecta
DirectorVector
RN
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La ecuación simétrica de la recta normal será: 8
410
56
3 �
�
� zyx
10.- Hallar la ecuación la recta normal a la superficie 0164 22 �� zyx que es
perpendicular al plano 422 �� zyx .
Solución:
Sea zyxzyxF 164),,( 22 ��
Sea el punto ),,( 00 ozyx el punto de tangencia por donde pasa la recta normal
buscada entonces:
),,( 00 oRN zyxFVDnormalrecta
DirectorVector
�
)16,2,8(),,()16,2,8(),,( 0000 � ��� � yxzyxFyxzyxF o
)2,1,2(422
� ��
nzyxplano
delnormalVector
Una recta es perpendicular a un plano cuando el vector director de la recta es
paralelo al vector normal del plano, es decir )21,2(),,( 00 � � DozyxF
4;28216
228
)21,2()16,2,8( 000
0
00 � �°¯
°®
� �
�� � yxyx
yx DD
DD
D
Nos falta saber el valor de 0z , para ello recordemos que el punto de tangencia
siempre satisface la ecuación de la superficie es decir ocurre que:
201616160164240164 00022
02
02
0 � ��� ���� �� zzzzyx .
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Ya tenemos el punto de tangencia )2,4,2(TP ;como la recta que queremos es
paralela al vector normal del plano quiere decir que podemos usar como vector
director de la recta normal el normal del plano es decir )2,1,2( � RNVD .
La ecuación simétrica de la recta buscada es:
224
22
��
� � zyx
11.- Sea la siguiente ecuación 232 333 ��� xyzzyx que define a “z”
implícitamente hallar las derivadas parciales yzy
xz
ww
ww
.
Solución:
FORMA 1: Según el teorema del punto (16) la ecuación la igualamos a “0”
0232 333 ���� xyzzyx el lado izquierdo lo llamamos “F(x,y,z)”
232),,( 333 ���� xyzzyxzyxF por lo tanto se cumple que
� � � �
� �� �
xyzyzx
xyzyzx
xyzyzx
zFxF
xz
���
���
���
wwww
�
ww
2
2
2
2
2
2 23
233336
FORMA 2: Al igual que en el cálculo de una variable, en funciones de varias
variables se pueden obtener las derivadas de manera implícita cuando se tiene
una ecuación que contiene todas las variables. La técnica es esencialmente la
misma: se derivan los términos en forma sucesiva, aplicando las reglas de
derivación correspondientes.
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Para hallar xzww
se debe mantener “y” como constante y derivar implícitamente
respecto a la variable independiente “x”, tomando en cuenta que “z” es una
función que depende de “x,y”. Entonces, se tiene:
� �xx
xyzzyxww
w
���w )2(32 333
033306 22 ¸
¹·
¨©§
ww
��ww
��xzxyyz
xzzx
De aquí � � � �yzxxyz
xz 3633 22 �� �ww
Luego,
� � � �� �
� �xyz
yzxxyz
yzxxyzyzx
xz
���
���
���
ww
2
2
2
2
2
2 23
233336
Ahora para hallar
yzww
utilicemos la forma 2, se debe mantener “x” como
constante y derivar implícitamente respecto a la variable independiente “y”,
tomando en cuenta que “z” es una función que depende de “x,y”. Entonces, se
tiene:
� �
yyxyzzyx
ww
w
���w )2(32 333
033330 22 ¸
¹
ᬩ
§ww
��ww
��yzxyxz
yzzy
Luego, � � � �xzyxyzyz 3333 22 �� �ww
Por lo tanto,
� � � �xyzxzy
xzzxzy
yz
���
���
ww
2
2
2
2
3333
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12.- Sea la función yxyxf 2cos),( y el punto ¸¹·
¨©§
4,2 SP con el vector )1,5( v
hallar )(PfDv
.
Solución:
Lo que nos piden es la derivada direccional de la función yxyxf 2cos),( en el
punto P y dirección v .
Por el teorema de la parte (17) de la teoría tenemos uxfxfDu
�� )()( 00 es
decir: uvvffD �¸
¹·
¨©§� ¸
¹·
¨©§
4,2
4,2 SS
� �senyyxyyxf ��� � cos2,cos),( 2
¸¹·
¨©§ � ¸
¹
ᬩ
§¸¹·
¨©§
¸¹·
¨©§��¸
¹·
¨©§ ¸
¹·
¨©§� 2,
21
44cos22,
4cos
4,2 2 SSSS senf
2615 22 � v )1,5(261
�v
vvu
)1,5(2,
21
261)1,5(
2612,
21
4,2
4,2 �¸
¹·
¨©§ � �¸
¹·
¨©§ � �¸
¹·
¨©§� ¸
¹·
¨©§
uvvffD SS
2621
21
2612
25
2611)2(5
21
261
4,2 � ¸
¹·
¨©§ � ¸
¹·
¨©§ ���� ¸
¹·
¨©§ SfD
v
13.- Sea xyyxyxf 22 2),( � encuentre en el punto )3,1( :
a.- La dirección de mayor y menor crecimiento.
b.- La Tasa máxima y mínima de crecimiento.
Solución:
a.- La dirección de mayor crecimiento de ),( yxf en el punto )3,1( es:
)3,1(f�
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� �xyxyxyyxf 4,22),( 22 �� �
� � � � � �13,24121,1863141,32312)3,1( 22 �� ������� �f
La dirección de menor crecimiento de ),( yxf en el punto )3,1( es:
)13,24()3,1( �� �� f
b.- La tasa máxima de crecimiento es 7451324)3,1( 22 � �f
La tasa mínima de crecimiento es 7451324)3,1( 22 � �� �� f
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Ejercicios Propuestos:
1.- Hallar los siguientes límites:
a.- 22
32
)0,0(),( yxyxlím yx �o
b.- 22
2
)0,0(),(5
yxyxlím yx�
o
c.- 22
2
)0,0(),(7
yxylím yx �o
d.- yx
yxyxlím yx ���
o
22
)0,0(),(2
e.- 22
22
)0,0(),()(
yxyxsenlím yx �
�o
f.- 22)0,0(),( yxyxlím yx �
�o
g.- 26
3
)0,0(),( yxxylím yx �o
h.- 22
22
)0,0(),( 3312
yxyxlím yx �o
2.- Estudie la continuidad de las siguientes funciones:
a.- °¯
°®
z�
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 42
2
yx
yxyx
yxyxf
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b.- °¯
°®
z�
)0,0(),(0
)0,0(),(3),( 22
2
yx
yxyxyx
yxf
3.- Calcular en cada caso yfy
xf
ww
ww
por definición:
a.- yxyxf 3),(
b.- ysenxyxf 3),(
4.- Calcular usando reglas de derivación en cada caso yfy
xf
ww
ww
:
a.- 243 )ln(),( xyxyxf ��
b.- 22),(yx
xyyxf�
c.- yxxyarctgyxf 74)(),( ��
d.- yxyxf ln2
9),( �
e.- ³ 3
),(y
x
sentdteyxf
5.- Dada ¸¹·
¨©§
xyz ln pruebe que 0
ww
�ww
yzy
xzx .
6.- Dada )ln( 22 yxyxz �� pruebe que 2 ww
�ww
yzy
xzx .
7.- Hallar en cada caso xyfww
w2
:
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Lic. Dayana Elizabeth Villegas Perez Página 145
a.- 22),( yxyxf �
b.- yxyxf ),(
c.- 22
),( yxexyyxf ��
8.- Dada 22ln yxz � pruebe que 02
2
2
2
ww
�ww
yf
xf
.
9.- En cada caso hallar la derivada direccional de la función en el punto y vector
dados:
a.- 22 4),( xyyxyxf � )2,1(P )1,2( � v
b.- )ln(),( yxyxf � )3,1(P )3,4( � v
c.- 222 2),,( zxzyxyxzyxf ���� )1,1,2(P )2,2,1( � v
10.- La temperatura en cualquier punto está dada por xyxyxT �� 22 2),( .
a) ¿Cuál es la razón de cambio máximo en el punto � �2,1� .
b) ¿En qué dirección cambia con menor temperatura en el punto anterior?
11.- Suponga que sobre una cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está
dada por xyzxyxzyxV �� 35),,( 2 . Determinar:
a.- La razón de cambio del potencial eléctrico en el punto � �3,3,3 �P en la
dirección del vector � �1,2,2 w .
b.- ¿En qué dirección cambia con menor velocidad de V en P .
c.- ¿Cuál es la razón máxima de cambio en el punto P ?
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12.- Sea )1.ln(),( � yxyxg . ¿Cuál es la tasa mínima de crecimiento de la
función ),( yxg en el punto ¸¹·
¨©§
41,8 ?
13.- En cada caso utilice diferenciales para aproximar
a.- 81,3)02,1(
b.- 22 )04,4()98,2().04,4).(98,2( �
c.- 1)7,2()09,1().01,3( 22 ��
d.- 22 )97,2()03,2(2 �
14.- La ecuación zzzxy ln. 32 �� define a "" z implícitamente hallar: xzww
y yzww
15.- La siguiente ecuación define a la ""z implícitamente:
0)..(..2 �� zyxsenezy yx . Calcular yzww
.
16.- La siguiente ecuación define a la “z” implícitamente: zxzxy yx ln..2 � .
Calcular yz
xzww
ww ; .
17.- La siguiente ecuación define a la ""z implícitamente:
)(2222 zyxzyx � �� . Calcular yzy
xz
ww
ww
.
18.- Dada la ecuación 0,ln »¼
º«¬
ª¸¹
ᬩ
§xz
yxF ; siendo F una función derivable donde z
es función implícita de yx, . Pruebe que yzy
xzxz
ww
�ww
.
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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19.- Sea �o�2:G diferenciable y �o�2:f / )(.),( 22 yxGyyxf � .
Verificar que se cumple la siguiente igualdad: 2.1.1yf
yf
yxf
x
ww
�ww
(Sug: Llame 22 yxu � ).
20.- Sea la función senyxyxf .cos),( y � �°°®
�
2
2
1ln),(
).cos(),(
stsy
sttsx .Calcular
)0,1(sfww .
21.- Sea ),( yxfu , donde tetsx s cos.),( y sentetsy s .),( .
Muestre que: »»¼
º
««¬
ª¸¹·
¨©§ww
�¸¹·
¨©§ww
¸¹
ᬩ
§ww
�¸¹·
¨©§ww �
222
22
.tu
sue
yu
xu s .
22.- Sea 222),,( zyxzyxw �� pruebe que � �2
.2,r
rrrw
ww T
Donde °¯
°®
rrzrsenryrrx
),(),(
cos),(
TTTTT
23.- Sea f derivable y sea )(ufw donde zyxu 32 �� . Pruebe que se
cumple:uw
zw
yw
xw
ww
ww
�ww
�ww 6
24.- Sea f derivable y sea )(Ufw donde U = 222 zyx �� . Pruebe que se
cumple:
2222
¸¹
ᬩ
§ww
¸¹·
¨©§ww
�¸¹
ᬩ
§ww
�¸¹·
¨©§ww
Uw
zw
yw
xw
25.- Sea ),( yxfz , donde TT cos.),( rrx y TT senrry .),( .
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a.- Calcule rzww y
Twwz
b.- Muestre que: 2
2
222
.1¸¹·
¨©§ww
�¸¹·
¨©§ww
¸¹
ᬩ
§ww
�¸¹·
¨©§ww
Tz
rrz
yz
xz .
26.- Muestre que toda recta normal a la esfera 2222 azyx �� pasa por el centro
de dicha esfera.
27.- Sea la superficie 1. zyx . Hallar la ecuación simétrica de la recta normal a
dicha superficie en el punto ¸¹·
¨©§
21,2,1 .
28.- Sea la superficie 194
22
2
��zyx
. Hallar la ecuación simétrica de la recta
normal a dicha superficie, sabiendo que dicha recta es perpendicular al plano
101 �� zyx .
29.- Hallar el plano tangente a la superficie 22 3 yxyxz �� que sea perpendicular
a la recta zyx � 132 .
30.- Hallar la recta normal al hiperboloide 12 222 �� zyx la cual es paralela a la
recta que une los puntos � �0,1,3 �A y � �6,3,5B .
31.- Muestre que la ecuación del plano tangente al paraboloide elíptico
2
2
2
2
by
ax
cz
� en el punto � �ooo zyx ,, puede escribirse como:
czz
byy
axx ooo �
� 22
.2.2 .
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Lic. Dayana Elizabeth Villegas Perez Página 149
32.- ¿En qué punto de la gráfica del paraboloide 22 zxy � el plano tangente es
perpendicular a la recta zyx
��
��
15
12
?
33.- Hallar los puntos de la superficie 02 ���� zxzxyzxy en los que el
plano tangente es paralelo al plano xy .
34.- Sea la función zyxzyxf 164),,( 22 �� .
a.- Hallar la razón de cambio en el punto � �5,4,3P en la dirección
kjiv ˆˆˆ ��
b.- Hallar la tasa mínima de crecimiento en el punto � �2,0,1P .
c.- Hallar el plano tangente a la superficie 0),,( zyxf que es paralelo al
plano 422 �� zyx .
35.- Sea la función 222 2),,( zyxzyxf �� , encuentre la razón de cambio de
),,( zyxf en el punto )1,0,1( � en la dirección del vector normal del plano
13 �� zyx .
36.- Pruebe en 2� , que ),(),( 0000ˆ yxxfyxfDi ww
),(),( 0000ˆ yxyfyxfD j ww
37.- Pruebe en 3� , que ),,(),,( 000000ˆ zyxxfzyxfDi ww
),,(),,( 000000ˆ zyxyfzyxfDj ww
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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),,(),,( 000000ˆ zyxzfzyxfD
k ww
38.- Si ),( yxfz , donde tsytsx � � pruebe que:
tz
sz
yz
xz
ww�
ww
¸¹
ᬩ
§ww
�¸¹·
¨©§ww
22
39.- Sea ),( atxatxfz �� , pruebe que:
2
2
2
2
xza
tz
ww
ww
Sug: Haga atxvyatxu � �
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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Capítulo 9: Funciones de Varias Variables:
Máximos y Mínimos…
Máximos y Mínimos Relativos…
1.- Sea �o�2:f . Decimos que f alcanza un “mínimo relativo” en el punto
),( oo yx si existe un entorno V de ),(),(:/),( oooo yxfyxfVxyx t�� .
2.- Sea �o�2:f . Decimos que f alcanza un “máximo relativo” en el punto
),( oo yx si existe un entorno V de ),(),(:/),( oooo yxfyxfVxyx d�� .
3.- Llamamos a ),( oo yx punto crítico (candidato a ser máximo, mínimo o punto
silla) de la función f si ocurre que:
°°¯
°°®
ww
ww
� �0),(
0),()0,0(),(
oo
oo
oo
yxyf
yxxf
yxf .
Criterio de la Segunda Derivada…
4.- Sea �o�2:f , ),( oo yx un punto crítico de la función y 2Cf � es decir
las mixtas son iguales. Definamos la matriz Hesiana como:
¸¹
ᬩ
§
yyyx
xyxx
ffff
yxH ),( . Definimos el ),(det),( oooo yxHyx ' .
a.- Si 0),(0),( !!' ooxxoo yxfyyx entonces en ),( oo yx hay un
mínimo relativo.
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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b.- Si 0),(0),( �!' ooxxoo yxfyyx entonces en ),( oo yx hay un
máximo relativo.
c.- Si 0),( �' oo yx entonces en ),( oo yx es un punto silla (punto donde hay
cambio de concavidad).
d.- Si 0),( ' oo yx no hay decisión acerca del punto ),( oo yx , y debemos usar la
definición (ver puntos 1 y 2).
Máximos y Mínimos Absolutos…
5.- Para calcular los valores máximos y mínimos absolutos de una función continua
f sobre un conjunto cerrado y acotado D se realizan los siguientes pasos:
PASO 1: Determinar los puntos críticos de f en el interior de D .
PASO 2: Calcular los extremos de f en la frontera de D .
PASO 3: Elaborar una tabla con los puntos hallados en el paso 1 y 2 con
sus respectivos valores de f en dichos puntos. El valor más grande es el valor
máximo absoluto y el más pequeño será el valor mínimo absoluto.
OBS: Recordemos de Cálculo I,
Sea f una función definida en el intervalo > @ba, los puntos críticos (o
candidatos a ser máximos o mínimos) son:
1.- Puntos fronteras: ax y bx (esto es en el caso de que el
intervalo sea cerrado, si es semiabierto habrá un punto frontera y si el
intervalo es abierto no habrán puntos fronteras).
2.- Puntos estacionarios = > @^ `0)(/, c� cfbac
3.- Puntos singulares = > @^ �c� nodfbad )(/,
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Lagrange… (Método para calcular máximos y mínimos de f sobre fronteras).
6.- CON 1-RESTRICCIÓN:
En 2� . Si queremos calcular valores máximos y mínimos de ),( yxf sujeta a la
restricción cyxg ),( se procede así:
PASO1: Determinar todos los valores de O,, yx tales que:
°°®
� �
cyxggf
),(O
(Donde gf � � O se lee: El gradiente de la función a optimizar es igual a
landa veces el gradiente de la función restricción)
PASO2: Evaluar f en todos los puntos ),( yx que surjan del PASO 1. El más
grande de esos valores es el máximo valor de f y el más pequeño es el mínimo valor
de f .
En 3� . Si queremos calcular valores máximos y mínimos de ),,( zyxf sujeta a la
restricción czyxg ),,( se procede así:
PASO1: Determinar todos los valores de O,,, zyx tales que:
°°®
� �
czyxggf
),,(O
PASO2: Evaluar f en todos los puntos ),,( zyx que surjan del PASO 1. El más
grande de esos valores es el máximo valor de f y el más pequeño es el mínimo valor
de f .
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7.- CON 2-RESTRICCIONES:
En 2� . Si queremos calcular valores máximos y mínimos de ),( yxf sujeta a las
restricciones cyxg ),( y kyxh ),( se procede así:
PASO1: Determinar todos los valores de 21,,, OOyx tales que:
°¯
°®
��� �
kyxhcyxg
hgf
),(),(
21 OO
PASO2: Evaluar f en todos los puntos ),( yx que surjan del PASO 1. El más
grande de esos valores es el máximo valor de f y el más pequeño es el mínimo valor
de f .
En 3� . Si queremos calcular valores máximos y mínimos de ),,( zyxf sujeta a las
restricciones czyxg ),,( y kzyxh ),,( se procede así:
PASO1: Determinar todos los valores de 21,,,, OOzyx tales que:
°¯
°®
��� �
kzyxhczyxg
hgf
),,(),,(
21 OO
PASO2: Evaluar f en todos los puntos ),,( zyx que surjan del PASO 1. El más
grande de esos valores es el máximo valor de f , y el más pequeño es el mínimo
valor de f .
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Ejercicios Resueltos:
1.- Hallar los extremos de la función 3),( 22 �� yxyxf por definición.
Solución: Para resolver este estilo de problemas realizamos dos pasos:
Paso 1) Hallar los puntos críticos ),( yxf . Para ello hacemos el gradiente igual
al vector nulo.
)0,0()2,2(),( � yxyxf
¯®
0202
yx
)0,0(),( � yx
Paso 2) Clasificar los puntos críticos, en el problema nos dice que se haga por
definición.
3300)0,0( 22 �� f
Nótese que la primera parte de la función 022 t� yx (*) ¿Qué le falta a 22 yx �
para que sea igual a 3),( 22 �� yxyxf ? Le falta un “3”. Sumemos 3 a ambos
lados de la desigualdad (*) nos queda:
��t�� 30322 yx 3322 t�� yx )0,0()0,0(),( �t� fyxf es mínimo.
2.- Hallar y clasificar los puntos críticos de la función xyyxyxf �� 22),( .
Solución: Para resolver este estilo de problemas realizamos dos pasos:
Paso1) Hallar los puntos críticos ),( yxf
)0,0()2,2(),( �� � xyyxyxf
¯®
� �
0202
xyyx
)0,0(),( � yx
Paso 2) Clasificar los puntos críticos. Usemos el criterio de la segunda derivada.
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Construyamos las matriz Hesiana. ¸¹
ᬩ
§
yyyx
xyxx
ffff
yxH ),(
yxf x � 2 21 � � xxxy fyf
xyf x � 2 21 � � yyyx fyf ¸¹
ᬩ
§�
� �
2112
),( yxH
3142112
)0,0(det)0,0( � �
� '� H .
Como 02)0,0(03)0,0( ! ! ' xxfy entonces en )0,0( hay un
mínimo.
3.- Hallar los extremos absolutos de:
33 8248),( yxyxyxf �� en °¯
°®
d�tt
2
00
yxyx
D .
Solución: Este ejercicio necesita
tres pasos para su
resolución. Nótese que la región
D es el triángulo dentro de las
fronteras x=0;y=0; y=2-x, (ver
figura).
Paso1) Hallamos los puntos críticos en el interior ¨ del conjunto D.
)0,0()2424,2424(),( 22 �� � xyyxyxf
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°°®
�
�
0242402424
2
2
xyyx
°°®
�
��
0)(0)(
2
2
xyiiyxi
d e s p e j a n d o� de la (i) “y” 2xy �
sustituimos en (ii)
0100)1(00)( 33422 � � �� �� �� xoxxxxxxx
podemos ver por Rufini que 013 �x solo tiene una solución 1 x .
Estudiemos los dos casos:
Caso 1) 0 x sustituimos en (i) y nos queda 02 xy el primer punto es
)0,0( pero este punto no pertenece al interior de D.
Caso 2) 1 x sustituimos en (i) y nos queda 1122 xy el segundo punto
es )1,1( pero este punto tampoco pertenece al interior de D (de hecho se
encuentra en la mitad de la hipotenusa del triángulo D).
Conclusión: No hemos encontrado puntos críticos en el interior del conjunto D
Paso 2) Buscar extremos en la frontera de D.
^ ` ^ ` ^ `xyyxFrontD � � � 200 . Para cada frontera buscamos los
extremos.
0 x está restringida en el intervalo > @2,0�y , sustituimos en la función
original y nos queda )(88.0.240.8),0( 333 yhyyyyf �� . Ahora el
problema se reduce a buscar extremos en la función > @2,08)( 3 � yyyh .
Puntos fronteras 2;0 yy
Puntos estacionarios
= > @^ `0)(/2,0 c� yhy > @2,00024)( 2 � � c yyyh
Puntos singulares no existen porque la primera derivada es un polinomio.
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¯®
� �
� )2,0(2)0,0(0
02
1
PyPy
x
0 y está restringida en el intervalo > @2,0�x , sustituimos en la función
original y nos queda )(80.80..248)0,( 333 xgxxxxf �� . Ahora el
problema se reduce a buscar extremos en la función > @2,08)( 3 � xxxg
Puntos fronteras 2;0 xx
Puntos estacionarios
= > @^ `0)(/2,0 c� xgx > @2,00024)( 2 � � c xxxg
Puntos singulares no existen porque la primera derivada es un polinomio.
¯®
� �
� )0,2(2
)0,0(00
3PxyaPx
y
xy � 2 esta restringida en el intervalo > @2,0�x , sustituimos en la función
original y nos queda
)(6414472)2.(8)2.(.248)2,( 233 xSxxxxxxxxf �� ���� � . Ahora
el problema se reduce a buscar extremos en la función
> @2,06414472)( 2 ��� xxxxS
Puntos fronteras 2;0 xx
Puntos estacionarios
= > @^ `0)(/2,0 c� xSx > @2,010144144)( � � � c xxxS
Puntos singulares no existen porque la primera derivada es un polinomio.
°¯
°®
� � � � � � � � �
�� )1,1(1121)0,2(0222)2,0(2020
2
4PyxyaPyxyaPyx
xy
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Paso 3) Tabla de valores.
P(x,y) 33 8248),( yxyxyxf ��
(0,0) 0
(0,2) 64 Valor máximo absoluto
(2,0) 64 Valor máximo absoluto
(1,1) -8 Valor mínimo absoluto
4.- (Lagrange) Calcular los extremos de la función 22 2),( yxyxf � sobre el
círculo 122 � yx .
Solución: Cuando tengamos que optimizar una función sujeta a UNA
FRONTERA lo ideal es utilizar Lagrange.
¿Qué hacemos? Identificamos la función a optimizar (maximizar o minimizar
según sea el caso) e identificamos la función restricción. En este problema es
sencillo porque nos dicen los extremos de 22 2),( yxyxf �
indicándonos que esta es la función a optimizar y cuando nos dice sobre el
círculo 122 � yx quiere decir que esta es la restricción.
Llamemos el lado izquierdo de 122 � yx como la función ),( yxg es decir,
22),( yxyxg � .
Aplicando Lagrange tenemos: gf � � O )2,2()4,2( yxyx O �¯®
�yyxxOO
2422
a este último sistema le agregamos la restricción y nos queda:
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°¯
°®
�
�
1)(24)(
22)(
22 yxiiiyyii
xxiOO
simplificando las dos primeras ecuaciones nos queda
°¯
°®
�
�
1)(2)(
)(
22 yxiiiyyii
xxiO
O de la (i) obtenemos que 0 � xx O
)1(0100)1( � � �� OOO oxx
Caso 1) )1,0()1,0(11)(0 212 ��r � � PyPyyiiix
Caso 2)
)0,1()0,1(11)(02)(1 432 ��r � � � � PyPxxiiiyyyiiO
Hacemos la tabla con los puntos hallados:
P(x,y) 22 2),( yxyxf �
(0,1) 2Valor máximo absoluto
(0,-1) 2Valor máximo absoluto
(1,0) 1 Valor mínimo absoluto
(-1,0) 1 Valor mínimo absoluto
5.- (Aplicación con Lagrange) Determine los puntos de la esfera
4222 �� zyx que estén más cercano y más alejados del punto )1,1,3( � .
Solución: La función a optimizar es distancia del un punto cualquiera ),,( zyx al
punto )1,1,3( � , esto es:
222 )1()1()3(),,(:. ����� zyxzyxdOF
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Pero trabajar con esta función puede volverse tedioso por las derivadas parciales
que involucran raíces en el denominador. Así que usaremos el truco de utilizar
como función a optimizar:
� � 2222
2222 )1()1()3()1()1()3(),,(:. ����� ����� zyxzyxdzyxFOF y
luego en la tabla cuando busquemos la verdadera distancia sacaremos la raíz
cuadrada.
La restricción es que los puntos deben estar en la esfera 4222 �� zyx por
ello llamemos 222),,( zyxzyxg �� . Entonces aplicando Lagrange
tenemos:
> @°¯
°®
� � �
� ����� �zzyyxx
zyxzyxgFOOO
OO2)1(22)1(22)3(2
)2,2,2()1(2),1(2),3(2 a
este sistema agregamos la restricción y simplificamos las primeras tres
ecuaciones:
O
O
O
OOO
��
�
�
�
°°¯
°°®
��
� � �
11
11
13
4)(1)(1)(
3)(
222 z
y
x
zyxivzziiiyyiixxi
41
11
11
3)(222
¸¹·
¨©§��
�¸¹·
¨©§�
�¸¹·
¨©§�
�OOO
ivenssustituímo
4)1(
1)1(
1)1(
9222
��
��
��
OOO
OOOO
�r ��� � � 2
1112111)1(
4114
)1(11 2
2 #
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112;
112;
116
2111
�
� �� zyxPara O
112;
112;
116
2111 �
�� zyxPara O
P(x,y) 222 )1()1()3(),,( ����� zyxzyxF Fd
Punto más alejado
¸¹
ᬩ
§ ��112,
112,
116
28,26 31,526,28
Punto más cerca
¸¹
ᬩ
§ �112,
112,
116
1,73 31,173,1
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Ejercicios propuestos:
Máximos y Mínimos relativos…
1.- Hallar y clasificar los puntos críticos en:
a.- 22 2),( yxyxyxf ��
b.- xyyxyxf 722),( 22 ��
c.- 222),( xyeyxf ��
d.- 2323 4164),( yyxxxyxf ����
e.- )1ln(),( 22 �� yxyxf
f.- 13),( 2323 ���� xyxyxyxf
g.- 33 8248),( yxyxyxf ��
Valores máximos y mínimos absolutos…
2.- Hallar los extremos absolutos de la función ),( yxf en la región D.
a.- 22 32),( yxyxyxf �� en ^ `20;2/),( dddd� xyxyxD
b.- 22222),( yxyxyxf ���� en °¯
°®
d�tt
9
00
yxyx
D
c.- 23 32),( yxyxyxf �� en ^ 31;42/),( dd�dd� yxyxD
d.- 1442),( 22 ���� yyxxyxf en °¯
°®
tdt
xy
yx
D220
Multiplicadores de Lagrange....
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Con una restricción…
3.- Hallar los extremos de xyyxf ),( sujeto a la restricción
^ 1/),( 22 � yxyxS .
4.- Minimizar 22),( yxyxf sujeta a ^ 1/),( � yxyxS .
5.- Hallar los máximos y mínimos de zyxzyxf 52),,( �� sobre la esfera
.30222 �� zyx
Aplicaciones…
6.- Hallar el punto más cercano al punto )4,1( que está sobre la parábola xy 22 .
7.- Halle dos números no negativos cuya suma sea igual a “1” y que hagan que la
suma de sus cuadrados sea mínima.
8.- Hallar tres números reales cuya suma es “9” y que la suma de sus cuadrados sea
lo más pequeña posible.
9.- Sobre la superficie 196
222
�� zyx determine el punto más cercano y más
alejado al plano 2881243 �� zyx .
10.- Entre todos los triángulos con área dada “A”, hallar aquel que su hipotenusa
tenga el valor mínimo.
11.- En los siguientes ejemplos hallar los valores máximos y mínimos absolutos de
las siguientes funciones sobre los siguientes conjuntos cerrados y acotados.
a.- 22),( yxyxf � en ^ `10)3()3(),( 22 d��� yxyxD .
b.- yyxyxf 23),( 22 �� en ^ 1),( 22 d� yxyxD
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SUG: Halle los puntos críticos en el interior del conjunto D. Luego calcule los extremos a
través de lagrange por último elabore una tabla con todos los valores el más grande será el
máximo absoluto y el más pequeño el mínimo absoluto.
12.- Determine el punto más alejado del plano 02 �� zyx sobre la gráfica
2210 yxz �� .
13.- Una placa circular tiene forma 122 d� yx ; se calienta de modo que la
temperatura en cualquier punto ),( yx es xyxyxT �� 22 2),( . Determine los
puntos más caliente y más frío de la placa. (Siga la sugerencia del ejercicio 11).
14.- ¿Qué puntos de la superficie de ecuación 14 222 �� zyx están más cercanos
al eje z?
15.- Encuentre los puntos sobre el cono 222 yxz � mas cercanos al punto )0,2,4( .
Con dos restricciones…
16.- Hallar los máximos y mínimos absolutos de la función zxzyxf � 2),,( en la
intersección del cilindro dado por 122 � yx con el plano 0 � zx .
17.- Aplicación…
Encontrar usando los Multiplicadores de Lagrange, los puntos sobre la curva
intersección de las superficies ¯®
�� �
1122
zyxyx
que están más cerca y más lejos
del origen de coordenadas.
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Respuestas del Capítulo 1:
2) a.- Si son colineales
b.- No son colineales
c.- Si son colineales
d.- Si son colineales
Respuestas del Capítulo 2:
1.- a) 4
b) 151,26°
c) 65
d) 27
e) 53
f) � � � ��������
������ ,,;,, uu DA
g) 4� D
h) � � ),,(,, ������� ������
2.- 4� E ;
3.- 68
4.- a) ����� � yx b) ����� � yx
5.- ¸¹·
¨©§ �
313,
32,
34
6.- a) SI ES C.L. b) SI ES C.L c) NO ES C.L.
d) SI ES C.L. e) NO ES C.L.
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7.- Ambas son iguales a 58 .
8.- a) 6 b) 37 c) 1313
9.- 56.
10.- a) -5 b) -4 c) 594
11.- 53
r D
15.- El ángulo entre )(; vuu � es 3S .
16.- vv
vuA .2¸¸¸
¹
·
¨¨¨
©
§�
y vv
vuuB .2¸¸¸
¹
·
¨¨¨
©
§�
�
21.- � �4,5,1424
1 � c y � �4,5,1424
2 �� c
22.- 3S
23.- � �1,1,251 � v y � �1,1,252 �� v
24.- ¸¹·
¨©§�
111,
111,
113c y ¸
¹·
¨©§
����
����
����
,,d
25.- a) 281 b) 9 c) 26,56°
27.- 9
28.- a) 342 b) 2.197
29.- a) 3.125 b) 73,79°
30.- ����r��
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31.- a.- 3, ¸¹·
¨©§
���
��� , b.- ¸
¹·
¨©§ �
49222,
49111,
4974;
737
c.- kji ˆ3
1ˆ3
1ˆ3
1,3
1��
32.- )2,4,2(
Respuestas del Capítulo 3
1.- a.- Se cortan en el punto (3,3,-3) y son perpendiculares.
b.- Son perpendiculares. Se cortan en el punto (1,2,1)
c.- Son rectas perpendiculares y oblicuas, es decir, se cruzan.
d.- Sugerencia: Vea que no son paralelas y que no se intersectan.
2.- 423 �� zyx
3.- 5
3
4.- a.- �� �������� zyx b.- Tiene infinitas soluciones
c.- �� ��� zyx d.- Se procede igual al ejercicio (b)
e.- � � yx
6.- a.- ),,( ��������� b.- ),,(),,( ��������� y
c.- ),,(),,( ������� y
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7.- a.- 1;1
.. �
yzxRISE �
b.- 12
825
23
.. �
� zyxRISE �
c.- 4
413
102
.. �
�
zyxRISE �
8.- 6a) º26,35 T ,
6b) º97,61 T
6c) º78,56 T ,
9.- a.- 942
1 b.-
21
10.- a.- S972 b.- 3
32S
c.- 221378 S
Problemas de desarrollo:
11.- �� ����� zyxπ �
12.- 1012
32
1.. �
��
�
zyxLSE �
13.1- 7
14.- 9)2()3()1(.. 2221 ����� zyxECE �
y 932
311
37..
222
1 ¸¹·
¨©§ ��¸
¹·
¨©§ ��¸
¹·
¨©§ � zyxECE �
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15.- ¸¹·
¨©§ �
65arccos
16.- �� ������� zyx
17.- �� ������ zyx
18.- Los otros vértices son ),,(,),,( ������� y el área es 318 .
19.- Volumen 68
20.- 610
21.- 336176 � ��� zyx y 922 ��� zyx
22.- 12
26
11:1 �
�
�
�� zyxL
23.- 23.1) ;2
213
1 zyx
�
�
23.2) � ba
23.3) .5;9 � ba
24.- Los vértices son ),,(),,(),,( ������������ y y el área es ��� .
Respuestas del Capítulo 4
1.- Cono: � � 106)6(4 222 dd�� � zzyx
Paraboloide: � � 1021021 22 dd� �� zzyx
Esfera: 181064)10( 222 dd ��� zzyx
2.- Cono: 62)2(41 222 dd� � xxzy ;
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Hiperboloide de una hoja: 1463
64)6(
4
222
dd�
�� xxzy
;
Hiperboloide de dos hojas:
1412136
)6(144
)(7 222
dd �
��
� xxzy
3.- Cono: � � �dd���� �� ��� yyzx )(
Paraboloide: � � �dd���� ��� �� yyzx
4.- En las siguientes respuestas sólo aparecen las ecuaciones canónicas de las
cuádricas y su identificación, usted debe esbozar la gráfica, hallar los valores de
“a,b,c” el centro, vértices según sea el caso, el eje donde está girando etc. Como
se hizo en clase.
4a) Hiperboloide de dos hojas: 142
222 ���
yzx
(Elíptico)
4b) Paraboloide Elíptico: 2
12
)3( 22 �
�� yzx
4c) Hiperboloide de dos hojas: 142525
222
���zyx
(Circular)
4d) Paraboloide Elíptico: 23
2)2(
52
)1( 22
� �
�� xzy
4e) Paraboloide Elíptico: yzx �
94
22
4f) Hiperboloide de dos hojas circular:
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1)1()2(4
)5( 222
����� zyx
4g) Paraboloide Circular: 49
4)4(
94
)1( 22
� �
��
� yzx
4h) Hiperboloide de dos hojas: 14
)4(4
)1(22
2 �
����zyx
(Elíptico)
5.- Un hiperboloide de una hoja con centro en ¸¹·
¨©§ �1,
31,2 y ecuación canónica:
13
40)2(
940
)31(
940
)1( 222
�
��
�� xyz .
Obs: Recuerde buscar los valores de “a,b,c”, dibujar y colocar los vértices.
6.- Paraboloide circular: 224 zyx � �
7.- 03264816 22 ���� yxyzzy
8.- 0640010040040064256256 2222 ������ xyxyxzxz
9.- 0531266 22 ���� xyzxxz
10.- 3842550253216 222 ���� zzyyxx
Respuestas del Capítulo 5
2.- a.- ¸¹·
¨©§
45,3 S
b.- ¸¹·
¨©§
4,5 S
c.- ¸¹·
¨©§�
35,6 S
d.- � �S2,1
3.- a.- ¸¹
ᬩ
§ ��23,
233
b.- ¸¹
ᬩ
§
223,
223
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c.- � �1,3� d.- ¸¹
ᬩ
§
235,
25
4.- a.- � �)2(,6 arctg�S b.- ¸¹·
¨©§
6,4 S
c.- ¸¹·
¨©§
45,3 S
d.- ¸¹·
¨©§
43,23 S
e.- ¸¹·
¨©§
65,3 S
5.- a.- Circunferencia de radio 9. b.- recta x=o para y<0
c.- la recta xy 3 d.- la recta 1� y
e.- la recta 2 y f.- la recta 42 � � yx
6.- 2S
7.- b.- ),2()0,2( S c.- S�8
9.- 1�Se }
10.- m=1 y L=8.
11.- 3
32)32ln(16 S���
12.- 33
4�
S
13.- a.- El área dentro del círculo R=1 y fuera de la cardioide.
b.- ¸¹·
¨©§ �
¸¹·
¨©§
2,1
2,1 SS
14 . b.- ¸¹·
¨©§
¸¹·
¨©§
35,
23
3,
23 SS
c.- S
UCAB Guía de Cálculo Diferencial de Varias Variables
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15.- a.- 9)3()3( 22 ��� yx
b. 199
22
�yx
16.- S
17.- a.-
b. ¸¹·
¨©§ �
¸¹·
¨©§
¸¹·
¨©§
3,1
35,1
3,1 SSS
c.- 23
3�
S
18.- b.- ¸¹·
¨©§
¸¹·
¨©§
43,2
4,2 SS
c.- 34
Respuestas del Capítulo 6
1.- a.- > � ^ `2,4 �f�
b.- ^ `5,0��
c.- � � ^ `6,0 �f
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d.- �
2.- a.- ¸¹·
¨©§ 2,5,
41
b.- ¸¹·
¨©§ � 9,
21,4
3.- a.- )6,6,6()1(26)6,6,0()1( � aRapidezV
b.- 7 � zy
4.- tang “16” y la normal “ 732 ”.
5.- El plano oscilador es 386 � �� zyx . )22,26,31(21211
� N ;
)1,8,6(1011
� B
6.- ¸¹·
¨©§ �
21,
31,
41)0,0,0( y ¸
¹·
¨©§ � 2,
38,4
7.- a.- ¸¹·
¨©§ �
23,1,0 S
.
b.- ¸¹·
¨©§ �� tttF
23,1,)( S
.
c.- 21
.
8.- Nta )( .
10.- 61 .
12.- )1,3,1()1( �� �R
13.- a.- 2ln1�
b.- � �22,0,1
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c.- 2
221 � �
zyx
14.- 22 )12(2)()(�
t
ttk W .
15.- ),,(),,(),,( ������� kzyx
16.- � �0,0,2)2( SS kkR con k entero.
17.- a.- Una posible parametrización es )4,2,()( 2 ttttR ��r pero la misma
se vuelve tediosa para el cálculo de las derivadas necesarias, por ello recomendamos la
siguiente parametrización:
txzsentytx cos2442cos2 � �
� �tsentttR cos24,2,cos2)( � � esta parametrización resulta mejor
para todas las operaciones requeridas.
b.- Tomo la rama positiva de la parametrización °¯
°®
� � �
tztytx
RPE T
311
.. �
c. - 9
62)1( k .
18.- a.- )8,0,6( b.- 198 2 �S
c.- )19(2
32
2
�SS
19.- a.- ¸¹·
¨©§
316,4,2)0,0,0(
322 PFPI b.-
92
20.- a.- ¸¹·
¨©§
21,
31,
41)0,0,0( y b.- � �1,2,1
61)1( ��� �B .
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21.- a.- ¸¹·¨
©§ 2,0)0,1(
Sey
b.- )1.(2 2 �S
e
c.- tetk �
21)(
22.- �����
�����
�� tyt
23.- �π
24.- No hay valor posible.
25.- b.- � ��� zyx
Respuestas del Capítulo 7
1.- a.- ^ `0/),( 2 !� xyyx
b.- ^ 101/),( z�t�� xyxyx
c.- ^ `0/),( !xyyx
d.- ^ `)0,0(),(04/),( 22 z�t�� yxyxyx
e.- ^ 1004)2/(),( 222222 z��!��!��d�� yxyxyxyxyx
f.- ^ `24/),( 22 ��!� yyxyx
g.- ^ `2/),( �xyx
h.- °¿
°¾½
°
°®
�� 12
33/),(
22 yxyx
i.- ^ 11/),( 22 z�!� xyxyx
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2.- Familia de paraboloides circulares cóncavos hacia arriba con vértice
),1,0( kV
3.- Familia de circunferencias centradas en el origen y radio 16642 �c
donde > @ ^ `02,2 ���c .
4.- a.- Si K>0 es una familia de hiperboloides de una hoja centrados en
)1,2,2(C donde kbkca 224 .
Si K<0 es una familia de hiperboloides de dos hojas centrados en
)1,2,2(C donde kbkca 224
b.- ^ `4;1/),(),( !! xxyyxyxDomP
5.- a.- Paraboloide cóncavo hacia abajo corrido una unida a la derecha del eje y.
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b.- Paraboloide cóncavo hacia arriba centrado en el origen corrido 4 espacios hacia arriba.
c.- Rama positiva de un cono centrado en el origen subido 2 espacios hacia arriba.
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d.-
Respuestas del Capítulo 8
1.- a.- 0
b.- 0
c.- �no
d.- 0
e.- 1
f.- �no
g.- �no
h.- 0
2.- a.- no es contínua en )0,0(
b.- si es contínua en )0,0(
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3.- a.- 323 xyfyx
xf
ww
ww
b.- senx
yfxy
xf 3cos3
ww
ww
4.- a.- 43
3
43
442 4223yx
yyf
yxxyxx
xf
�
ww
���
ww
b.-
� � � �222
22
222
22 )()(yx
xyxyf
yxxyy
xf
�
�
ww
�
�
ww
c.- 7ln7
)(14ln4
)(1 22xx
xyx
yf
xyy
xf
��
ww
��
ww
d.-
yyfx
xf yx
yxln
ln2
2 99ln)2(9ln9�
� �
ww
� ww
e.- 2)( 3
3
yeyfe
xf ysensenx �
ww
� ww
7.- a.- � � 2
322
2
yx
xyxyf
�
�
www
b.- )ln1(12
xyxxyf y � ww
w �
c.-
222
)21)(21( 22 yxeyxxyf ��� ww
w
9.- a.- 5
523
b.-
201
c.-
311
10.- a.- 65 b.- � �8,1�
11.- a.- 17 b.- )9,0,30(�
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c.- 1093
12.- 4415
13.- a.- 08,1 b.- 44,60
c.- 22,8
d.- 13,4
17100317 |�
14.-
zzx
zxyxz
y
y
13
)2(22
3
��
�
ww
�
�
y
zzx
xzxyz
y
y
13
ln22
2
��
�
ww
�
�
15.- )cos(
2)cos(2
2
xyzyxeyezyyzexyzxz
yz
yx
yxyx
���
ww
�
��
16.-
zxx
zyxxzyyxz
y
yx
�
���
ww �
2
1 ln2ln y
zxx
xyzxxxz
y
xy
�
�
ww �
2
1lnln
17.- zx
zyxxz
���
ww y
zxxy
xz
��
ww
20.- 2
)2cos(ln)1cos(
27.-
°°
¯
°°
®
�
2121
z
ytx
28.- 7229
722
722
� � � zyx
29.- 1361218 � �� zyx
30.- 3
3223
2322
32
�
� �
zyx
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32.- ¸¹·
¨©§�
21,
21,
21
33.- ¸¹·
¨©§�
21,
21,
21 )0,1,0(y .
34.- 3
48.�a
58. ��b
c.- 422 �� zyx
35.- 5
8
Respuestas del Capítulo 9
1.- a.- Todos los puntos de la forma ),( aa son mínimo local.
b.- )0,0( punto silla.
c.- )0,0( punto silla.
d.- )0,4( punto silla, ¸¹·
¨©§
38,4 mínimo local. ¸
¹·
¨©§� 0,
34 máximo local y ¸
¹·
¨©§�
38,
34
punto silla.
e.- )0,0( mínimo local.
f.- ¸¹·
¨©§�¸
¹·
¨©§ 0,
32
94,
92)0,0( son puntos sillas.
g.- )0,0( punto silla y )1,1( mínimo.
2.- a.- En )2,2( se alcanza el valor máximo que es 24. Y en )0,0( el mínimo
absoluto que es 0.
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d.- En )0,0( se alcanza el valor máximo absoluto que es 1. Y en )2,1( se
alcanza el valor mínimo absoluto que es 5� .
5.- Máximo valor “30” en el punto )5,21( � y el mínimo valor es “-30” alcanzado
en el punto )5,2,1( �� .
6.- )2,2( . Nótese que en la respuesta solo habrá un punto. ¿Cómo sabrá usted si es
máximo o mínimo? Debe recurrir al criterio de la segunda derivada para
clasificarlo.
7.- 21
yx . Como es el único resultado no olvide comprobar por medio del
criterio de la segunda derivada que es un mínimo.
8.- )3,3,3( .
9.- El más cercano es ¸¹·
¨©§
83,
81,9 y el más alejado es ¸
¹·
¨©§ ���
83,
81,9 .
10.- La hipotenusa tendrá su valor mínimo cuando los catetos sean iguales a A2 .
(Por ende es un triángulo iso-rectángulo).
11.- a.- Alcanza su máximo global en . � �
15355�
yx donde su valor es
“ � �215552
� ” y su mínimo global será en )0,0( tomando el valor de “0”.
b.- En ¸¹·
¨©§ �
31,0 se alcanza el valor mínimo absoluto que es
31
� . En )1,0( se
alcanza el valor máximo absoluto que es 5 .
12.- ¸¹·
¨©§
445,1,
21
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13.- El punto ¸¹·
¨©§� 0,
21 es el más frío y los puntos
¸¹
ᬩ
§
23,
21 y
¸¹
ᬩ
§�
23,
21 son los más
calientes.
14.- Están más cerca del eje z los puntos ¸¹·
¨©§�¸
¹·
¨©§ 0,0,
210,0,
21 y
15.- Los puntos más cercanos son � � � �5,1,25,1,2 �y .
16.- En el punto ),01,1(� se alcanza el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la
función se alcanza en los puntos ¸¹
ᬩ
§��¸
¹
ᬩ
§�
21,
23,
21
21,
23,
21 y .
17.- Lo más cercanos son )0,0,1();0,1,0( y el más lejano es ¸¹
ᬩ
§�
�� 21,2
2,2
2 .
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Lic. Dayana Elizabeth Villegas Perez Página 186
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