UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE TLAXCALADepartamento de Ingeniería y Tecnología
Ingeniería en Computación
Gráficas en 2 Dimensiones
DRA. MARVA ANGELICA MORA LUMBRERAS
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Gráficas en 2 Dimensiones
3 OPERACIONES BÁSICAS EN GRAFICACION
Translación EscalamientoRotación
Casita en 2D
X Y0 02 02 21 30 2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Translación
Mover un objeto de posición
X’=X+TXY’=Y+TY
Ejemplo de la casita (trabajar en excel)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
T(TX,TY)=(3,-1)
Translación
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 2 4 6
Escalamiento
Translación
Escalar un objeto
X’=X*SXY’=Y*SY
Escalar la casita
X Y0 02 02 21 30 20 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
T(X*SX,Y*SY)
=(4,4)
Escalamiento
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 5 10 15
REGLAS DE ESCALAMIENTO
Si SX>1 La imagen crece horizontalmente
Si SX=1 La imagen se conservaSi 0<SX<1 La imagen se contraeSi SX=0 La imagen se colapsa en
el eje Y
REGLAS DE ESCALAMIENTO
Si -1<SX<0 La imagen se refleja y se contrae
Si SX=-1 La imagen se refleja horizontalmente
Si SX<-1 La imagen se refleja y crece
SX=SY Escalamiento Uniforme
Escalamiento alrededor de un punto fijo
Escalamiento alrededor de un punto fijo
Llevar el punto fijo al origen
Escalar
Regresar el punto fijo a su posición
Paso 1
X’=X-XFY’=Y-YF
Paso 2
X’’=(X-XF)SXY’’=(Y-YF)SY
Paso 3
X’’’=(X-XF)SX+XFY’’’=(Y-YF)SY+YF
Paso 3
X’’’=XSX-XFSX+XFY’’’=YSY-YFSY+YF
Paso 3
X’’’=XSX+(1-SX)XFY’’’=YSY+(1-SY)YF
Ejemplo
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8
Rotación alrededor del origen
r=
r’=r
O’=O+
Rotación alrededor del origen
P es un punto a rotar alrededor del origen por un ángulo α.
P’ es el punto resultante después de la rotación.
La rotación puede expresarse usando coordenadas polares: P’ = <r, θ+α>.
Rotación alrededor del origen
Es posible convertir el punto P’ = <r, θ+α> a coordenadas rectangulares (x’, y’)
Rotación alrededor del origen
Desarrollando el seno y el coseno de la suma de esos dos ángulos:
Y notando que ◦x = r ⋅ cos(θ ) ◦x = r ⋅ sin(θ ) son las coordenadas rectangulares
del punto original P, obtenemos las ecuaciones finales de la rotación como:
Rotación alrededor del origen
La matriz R(α ) asociada a la rotación por α está dada por
Rotación alrededor del origen
La rotación del punto P alrededor del origen por un ángulo α produciendo un punto P’, se puede expresar en coordenadas homogéneas como el producto matricial
Rotación alrededor del origen
Rotación Inversa
R(α ) representa a la matriz de rotación (la dirección del giro es hacia la izquierda)
Si se cambia el signo en el ángulo de rotación de α a -α, la dirección de giro en R(−α ) será hacia la derecha, entonces la matriz se puede escribir como:
Rotación InversaEntonces, la rotación del punto P
alrededor del origen por un ángulo α
produciendo un punto P’, se puede expresar en coordenadas homogéneas como el
producto matricial P'= P⋅ R(α ) , de la siguiente manera
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ROTACION EN UN PUNTO FIJO-Transladar al origen-Rotar-Regresar a posición inicial
Rotación (punto fijo)
Las rotaciones generales 2D por un ángulo α son alrededor de un punto fijo (pf )
Rotación (punto fijo)Tres etapas:
◦Primero se debe llevar el punto fijo al origen pf T(− pf )
◦Después se realiza la rotación por un ángulo α alrededor del origen R(α )
◦Finalmente se debe regresar el punto fijo del origen a su posición inicial T( pf )
Rotación (punto fijo)Representación Matricial
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-5,-3 5,3
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-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 0 2 4 6 8
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Ingeniería en Computación
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-5 0 5 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-10 -5 0 5 10
90 grados 180 grados
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-4 -2 0 2 4 6 8
270 grados
MacroSub Rotar()
For k = 1 To Range("B21").Value
Calculate NextEnd Sub