TECHNISCHE MECHANIK augennem
Manuskripteingang 22. 07.1987
Berechnung von Kastenträgersystemen unter Verwendung
von Spline-Superelementen
Ignatjev, V. A.
l. Einleitung
Bedingt durch die Entwicklung der EDVA findet die Fi-
nite-Elemente-Methode (FEM) auch in der Berechnung
von Kastenträgersystemen immer breitere Anwendung
[1] bis
Von der rechnerischen Position her ist die Superelement-
methode effektiver. Diese Methode gestattet eine ab-
schnittsweise Betrachtung der Konstruktion mit nachfol-
gender Vereinigung dieser Abschnitte, wodurch eine ent-
scheidende Herabsetzung der Ordnung des zu lösenden
Gesamtgleichungssystems erreicht wird [4].
Außerdem wird die Aufstellung der: Gesamtsteifigkeits-
matrix wesentlich vereinfacht, insbesondere, wenn die
Konstruktion eine regelmäßige Struktur besitzt [5], [6].
Gewöhnlich erfolgt die Berechnung mit der Superele-
mentrnethode in mehreren Niveaustufen, die Belastung
ist oft sogar bei regelmäßigen und symmetrischen Kon-
struktionen nichtsymmetrisch. Nach der Lösung des Ge-
samtsystems ist es erforderlich, auf entgegengesetztem
Wege der Superelementenprozedur jedes Superelement
des vorangehenden Niveaus einzeln zu berechnen. Dazu
müssen die Steifigkeitsmatrizen der Verbindungssuper-
elemente aller Niveaustufen im Rechner gespeichert
werden. Das setzt jedoch die Effektivität einer Berech-
nung mit der Superelementmethode herab.
In der vorliegenden Arbeit wird eine Berechnungsmetho-
dik für Kastenträgerkonstruktionen unter Verwendung
von Spline-Interpolationen für die Verschiebungen ent-
wickelt, die den Rechenzeitaufwand erheblich herabsetzt
und für den entgegengesetzten Weg der Superelementen-
prozedur keine Speicherung der Steifigkeitsmatrizen der
Verbindungssuperelemente erfordert.
2. Berechnungsmethodik
2.1. Entwicklung der Cesamtsteifigkeitsmatrix
Jede Ebene, aus der die Kastenträgerkonstruktion be-
steht, wird in finite Elemente zerlegt, und anschließend
werden aus der Gesamtzahl der Knotenpunkte die Be-
rechnungspunkte so ausgewählt, daß sie auf den Ebenen
ein verdünntes Netz bilden [7]. Die Feinheit des verdünn-
ten Netzes wird durch folgende Faktoren bestimmt:
l. Durch den Gradienten der wirkenden äußeren Bela-
stung.
2. Durch das Vorhandensein von Ausschnitten und von
Sprüngen der Steifigkeitsparameter. Entlang der Aus-
schnittsgrenzen und der Grenzen der Steifigkeitspara-
meter werden Berechnungspunkte angeordnet. Die
kleinste Seite einer Ausschnittsgrenze soll dabei nicht
weniger als 3 Berechnungspunkte aufweisen.
3. Durch den Gesamtumfang des zu lösenden Glei-
chungssysteme, der durch die Speichergröße und die
Schnelligkeit der EDVA begrenzt ist.
Ein Superelement, das aus einer oder mehreren Platten
besteht und einen Teil einer Kastenträgerkonstruktion
darstellt, wird Spline-Super—Element (SSE) genannt, was
dadurch begründet ist, daß die Errechnurg der Verschie-
bungen der inneren Knoten mit Hilfe der Splineinterpo-
lation erfolgt. Zur Anwendung gelangt eine zweidimen-
sionale Interpolation mit stückweise bikubischen Spline-
funktionen.
Unter den Berechnungspunkten gibt es Grenzpunkte, die
sich auf der Kontaktfläche des SSE mit dem Nachbar-
SSE befinden. Die übrigen Knoten der finiten Elemente
sind innere Punkte des SSE. Die Aufstellung der Steifig-
keitsmatrizen der Berechnungspunkte mit anschließen-
der Zusammensetzung des Superelementes ist in [5], für
in einer Richtung regelmäßige Konstruktionen in [6] ge-
zeigt. Hier wird der allgemeinere Fall betrachtet, bei dem
die Zusammensetzung der Superelemente in beliebiger
Richtung erfolgt. Da Kastenträgersysteme gewöhnlich
orthogonal angeordnete Ebenen besitzen, bezeichnet
man im SSE 6 Ebenen, an die andere SSE angeschlossen
werden können:
—- Die obere Ebene, deren Grenzpunkte den Index b
tragen und entsprechend
- die untere Ebene mit dem lndex h
— die linke Ebene mit dem Index l
— die rechte Ebene mit dem Index n
— die vordere Ebene mit dem Index a
— die hintere Ebene mit dem Index 2
Die Berechnungspunkte des SSE liegen sowohl im Inne-
ren als auch auf den Grenzebenen. Die letzteren werden
durch den Index p und die inneren durch m gekennä
zeichnet.
Die Steifigkeitsmatrix des SSE kann dann in der Form
Rbb Rbn Rba Rbp Rbm sz Rb] RbÜ
Rnn Rna R‘np an an R'nl Rnh
R R R R R Rahaa ap am az al
R = Rpp Rpm sz Rpl Rph
Rmm Rmz le Rmh
symmetrisch Rzz Rzl th
R11 th
th
(1)
geschrieben werden, worin Ra die Untermatrizen der
Steifigkeitsmatrix des SSE sind, die den Einfluß der
Punkte der t-Gruppe auf die der Ä-Gruppe ausdrücken.
Die Elimination der inneren Punkte des SSE und die
Überführung der Belastung der inneren Punkte auf die
Grenz- und Berechnungspunkte erfolgt mit den Bezie-
hungen
_ —l
Km - Ra - Rtm'Rmm Rmx
-— RM R_1 Pmm"n
_ (2)
PA = PÄ
Lt =b,n,a,p,z‚l,h
mit KIA als den Untermatrizen der überfiihrten Steifig-
keitsmatrix des SSE und P)“ Pm als Belastungsvektoren
der entsprechenden Punkte. Im Anschluß daran erfolgt
die Formierung des Gesamtsystems durch reihenfolgege-
rechte Vereinigung der SSE. Es sei die Aufstellung der
Blöcke der Systemsteifigkeitsmatrix betrachtet, wenn an
ein SSE des s. Niveaus von oben ein SSE des ‘y. Niveaus
angeschlossen wird und für die oberen SSE bereits die
Untermatrizen der überführten Steifigkeitsmatrix nach
(2) vorliegen. Die Grenzpunkte der betrachteten SSE,
die auf ihrer Berührungsfläche liegen und zu eliminieren
sind, werden in dieser Etappe als innere Punkte bezeich-
net (Index m). Die Steifigkeitsuntennatrix der zu elimi-
nierenden Punkte ist
Rmm = K51, + Kth (3)
wobei K s , K 7 die entsprechenden Untermatrizen der
überführten Steifigkeitsmatrizen des s. und 7. Niveaus
sind. Beim Aufstellen der Steifigkeitsuntennatrizen sich
berührender SSE Rpp und m ist zu beachten, dal3 ein
Teil der Berechnungspunkte auf der Kontaktfläche die—
ser SSE liegt und das folgende Schema Anwendung fin-
det,
K 7
ppR :
pp S ’
pp
7Kph
Rpm =
K31,
vorgenommen. Man erhält als Ergebnis der Elimination
die Steifigkeitsmsh-ix der Berechnungspunkte der Kon-
struktion
u = u_ u u _1 nK” R” Rpm(Rmm) Rmp (11)
und die auf die Berechnungspunkte übertragene Belastung
_ I1 ll —1 _I‘P‘; — - Rpm (RM) Pm (12)
Anschließend erfolgt die Berechnung der Verformungen
der Berechnungspunkte f des belasteten Kastenträgersy-
stems aus der Gleichung
Kp’; r, = P: (13)
2.2. Interpolation der Verschiebungen der inneren
Punkte
Mit den aus (13) erhaltenen Verformungen der Berech-
nungspunkte werden die Verschiebungen aller inneren
Punkte ermittelt. Für die Platte vi” des Kastenträger-
systems wird dazu der Teilvektor fl des Gesamtverschie-
bungsvektors des verdünnten Netzes f herangezogen. Es
ist zu bemerken, daß damit der Übergang auf das aller-
erste Niveau, die einzelnen Platten, erfolgt und alle Zwi-
schenniveaus, die zur Aufstellung der Steifigkeitsmatrix
der Berechnungspunkte erforderlich waren, übergangen
werden. Die Platte „i” soll in der Ebene xoy liegen. Zu-
erst werden die Verschiebungen in z-Richtung (l zur
Plattenebene) interpoliert, anschließend die in x- und y-
Richtung. Wir nehmen an, daß das Netz der Platte „i” in
x-Richtung (m+ l) und in y-Richtung (n+1) Linien auf-
weist.
Der Verformungsvektor jedes Berechnungspunktes, der
im Schnittpunkt der Netzlinien „k” und „j” der Platte
„i” liegt, hat das folgende Aussehen
(51)jk = I‚.k (Wg),k (wg)jk (x9jk (12;)jk 1T
j=0,...,m; k=0‚...,n
. . . i i i . . .
Hlenn smd (Up)jk‚ (Vp).ik und (WP)jk die Projektionen
der Verschiebungen des Berechnungspunktes in x-, y-
. i i i .
bzw. z-Richtung und (cpp)jk, (xp)jk und (np)jk die Dreh-
winkel um die x-, y- bzw. z-Achse. Zunächst erfolgt die
kubische Splineinterpolation auf den Netzlinien y = yj
(j = 0, . . . , m), indem fiir jede Linie ein Spline nach den
Beziehungen
s;(xk,y‚-) = (W9).k (k: 1,...
für x e (xk_1, xk)
,n;j=0,...,m)
‚ (xk—sz (x—xk—l)4 2
hk—l
s; (x. yj) =(x;)k_1,,-
. _ 2 __(kaJ (x xix—320% X)
k—l
_ (xk -x)2 [20‘ ‘xk—l) + hk—I]
h 3
k—l
i
+ (Wp)k_1J
‚ (x - x|:_1)2’{2(xk -x) + hk—l]
h 3k-
+ 01,1)kJ
1 (14)
s’ (:0 y,-) = (win, ; bk = 1r- 4-1y I) J,
aufgebaut wird, der die Verschiebungen undd ihre ersten
Ableitungen enthält [8].
Mit diesem Spline werden die Verschiebungen in z-Rich-
tung aller inneren Knoten bestinimt. Die Drehwinkel die-
ser inneren‘ Knoten um die y-Achse erhält man aus der
ersten Ableitung des Splines:
z ‚ _ i _ xk—x
(8,) mp - (x,).,_1J h—z—(xk—svzxknwk—l
i ‚ x - xk—lup)“ 'kaI— (3x- ‘k—l — Zxk) +
.4.
+ 2(w‘) 5'130; —3x+2x +h )+
k—l
+ 2(Wi) m0: —3x+2xk+hk )p kJ hk3l k—l —l
xE(xk__1',xk);k=l,...,n;j=0,...,m
(15)
Auf jeder Linie y = yj (j = 0, . . . , m) mögen (l + 1)Kno-
ten liegen: (n+1) von ihnen sind Berechnungspunkte
und (l—n) innere Punkte. Es erfolgt nun die Interpola-
tion entlang der y-Achse auf den Netzlinien x =1:-
(j = 0, . . . , l), indem für jede Linie ein Spline nach den
Beziehungen -
8:(x«,yk)=(W;)j,k (k=l,...,m;j=0,...,l)
fiir YE(Yk—1,Yk)
(Yk -y)3 (y-yk_1)3z _S, (Xpy) - Ck—IÖ—hk‘ + CkT
i Ck—l hi] Yk - Y
+ [(wp)j.k—1 ’ 6 hk
2
' Ck h Y * y+ 1 _ _ k k—l[(Wp)j,k —6l ————hk (16) l
mit den Randbedingungen
2C0+C1 =Bo ;Cm-1 +2Cm=Bm
_ 6 1 i i iBo - E- ((wp)j’1 _ (wp)j,o) - ($191301
6 i 1 i iBm = I'm—l l‘Pj’m “m ((wp)j9m — (wp)jvm‘l)]
bk = Yk - Yk—l (17)
Der Spline (16) ist auf den Verschiebungen und ihren
zweiten Ableitungen aufgebaut
Die Koeffizienten Ck des Splines werden aus dem Glei-
chungssystem
2T0 Co PO
d1 2Tl 01 p1
dm—l 2Tm 1 Cm—l = Pm—l
de Cm Pm
(13)
bestimmt,indem
To = l ;dm=l ;P0=Bo ;Pm=Bm
Tk = hk/(hk+hk__1);dk=l-—Tk;(k=l,...,m—l)
= 6 Wähle: ‘(Wihl’hkfl“[(W;)j‚k‘(wi)j‚k—1th
bk + bk 1
* (19>
zu setzen ist.
Mit dem Spline (16) werden die z-Verschiebungen der
verbleibenden inneren Punkte auf den Linien x = xi
(i = O, . . . , l) und die Drehwinkel um die x-Achse mit
z ‚ _ (“-302 (Y—Yk_1)2(5x) (X'J) ‘ -Ck_1 ' ’27":— + CkT +
i i
+ (wp)l‚k _ (Wp)j,k——l __ Q:'—q{—l h
hk 6 k
;k=l,...,m ;j=0,...,l
(20)
ermittelt.
Die Verschiebungen in x-Richtung werden in der fo‘l-
genden Weise bestimmt:
Zunächst wird eine Splineinterpolation entlang der y-
flchse auf den Netzlinien x =x. = 0, . . . , n) durchge-
fiihrt. Hierzu wird für jede Linie ein Spline entsprechend
Formel aufgebaut, nur, daß anstelle der Verschie-
bungen (Wipj‘k jetzt die (Upj,k zu verwenden sind und
die Indizes in den Intervallen k=1‚ . . . , m;j=0‚ . . . ‚ n
laufen. Die Drehwinkel werden aus der ersten Ableitung
dieses Splines in einer der Gleichung (20) entsprechenden
Form erhalten. Weiterhin wird die Splineinterpolation
entlang der x-Achse auf den Netzlinien y=yk (k=0,
. . . , l), wobei l die Zahl der auf jeder Linie x = x,- = 0,
.. . , n)'liegenden Knoten ist, deren x-Verschiebung in
dervorangegangenen Splineinterpolation bereits ermit-
telt sind, durchgeführt, indem ein linearer Spline 3; (x,y)
entsprechend
s; (xk, yj) = (k = l, . . .
für x E (xk_1, xk)
‚n;j=0,...,l)
x _ i xk — x i x "‘ xk—l
5, (1, Vi) ‘ (Up)k-—1.j T + (Up)k,jT
(21)
angesetzt wird.
Die Ermittlung der Verschiebungen in y-Richtung an der
Platte „i” erfolgen in ganz entsprechender Weise.
Im Ergebnis der Durchfiihrung des beschriebenen Vorge-
hens für alle Platten des Kastenträgersystems ist das voll-
ständige Verschiebungsfeld aus den Verschiebungen der
Berechnungspunkte bestimmt. Es ist damit der Übergang
von den Berechnungspunkten auf alle inneren Punkte di-
rekt und unter Umgehung der rückläufigen Superele-
mentprozedur erfolgt.
Allen Berechnungen liegt ein Algorithmus zu Grunde, so
daß die beschriebene Vorgehensweise leicht program-
mierbar ist. Mit den bekannten Verschiebungen können
dann die inneren Kräfte und Spannungen an erforderli-
chen Stellen mit Hilfe gewöhnlicher FEM-Prozeduren be-
rechnet werden.
2.3. Anwendungsbeispiel
Als Anwendungsbeispiel der Spline-Superelemente wird
das Kastenträgersystem nach Bild 1 betrachtet. Jede
Ebene des Kastenuägersystems wurde dabei als einzelnes
SSE angesehen. Auf der zugewandten Fläche des Sy-
Bid l
Berechnungsschema eines Kastentrigersystems
Bild 2
Verformungen der Quenchnittskomur
49
stems in Bild 1 ist die Zerlegung in einzelne finite Ele-
mente gezeigt. Auch sind in dieser Fläche die Knoten des
verdünnten Netzes hervorgehoben.
Als Parameter wurden gewählt:
a=a/5 =80;B=62E/P=5,25; v=0,3
Die Verschiebungen in den Schnitten I, II, III in der
Ebene yoz sind in Bild 2 dargestellt. Wie die Ergebnisse
zeigen, rufen, unsymmetrisch angeordnete Belastungen
Verformungen der Querschnittskontur hervor, die in den
gleichen Größenordnungen liegen wie die des starren
Körpers. Die von verschiedenen Autoren vertretene An-
nahme einer nicht verformbaren Querschnittskontur der-
artiger, nicht durch hinreichend viele Schotte ausgesteif—
ter, Kastenträgersysteme bei unsymmetrischen Belastun-
gen erweist sich als unzulässig.
2.4. Anwendung der Berechnungsmethodik auf Syste-
me mit Steifigkeitssprüngen
Die Berechnungsmethodik nach den Beziehungen (l4) —
(21) ist nur für Kastenträgersysteme anwendbar, in de-
nen für jede Platte des Systems alle Steifigkeitsparameter
unveränderlich sind. Für Kastenträgersysteme mit Plat-
ten veränderlicher Steifigkeit erhalten die Gleichungen
der Splineinterpolation ein leicht verändertes Aussehen.
Es wird wieder die Platte „i” betrachtet, die in der Ebe-
ne xoy liegt und über ihre Länge bzw. Breite stufenweise
veränderliche Steifigkeit besitzt. An den Stellen der Stei-
figkeitssprünge müssen unbedingt Berechnungspunkte
angeordnet sein. Wie auch vorher wird angenommen, daß
das Netz der Berechnungspunkte (m + l) Linien in x-
Richtung und (n + l) Linien in y-Richtung hat.
Zur Durchführung einer kubischen Splineinterpolation
auf den Netzlinien y = yj =. 0, . . . , m) wird für jede Li-. . v Z
me em Splme Sy (x, y) nach
s;(xk‚Y‚-)=(w;)u k=
1p „In—0’‚m
für x€(xk_l’xk):
S: (X,Yj) = Ck_1 +
CkW
+ “Wk—1,; ‘ Ck
: hi]. “1;"
+ Wg)“ _ Ck—ahi'l' Erik—i (22
)
in Ansatz gebracht mit den Randbedingungen
2Co +C1 ' A1/Ao = Bo;
Cn—l + 2CnAn/An—l = Bn
i i
6 [(Wp)1,j — (Wp)o,j
Bo = E; ho - (Xpodl
_ 6 i _ (wg)... —..-1‚jBu ' " “kn—ll
"k = 1k -Xk—1
50
Pk
Die Splinekoeffizienten Ck erhält man aus einem Glei-
chungssystem, dessen Aufbau der Beziehung (l8) ent-
spricht und in dem
Tk = hk Ak+1/[Ak(hk + hk—l Ak/Ak—l)]
dk = hk—l/(hk + hk—l Ak/Ak—l)
z 6 Ik+u —
grenzt werden. Dieses Verfahren kann auch zur Abschät-
zung der Größe des ersten Lastschritta Anwendung fin-
den. Wie bekannt, ist es wünschenswert, den ersten Last-
schritt so zu wählen, da5 nichtelastisches Materialver—
halten nur in einigen kleinen—Teilgebieten hervorgerufen
wird. Folgendes Vorgehen wird empfohlen:
Auf dem groben FE-Netz werden die Verformungen des
näherungsweise festgelegten erstenflastschrittes ermit-
telt. Anschließend werden die Verschiebungen des dich-
ten Netzes mit Hilfe der Splineinterpolation berechnet
und damit die Spannungen. Wenn alle Spannungen im
elastischen Bereich liegen, wird der Maximalwert bis zur
Elastizitätsgrenze vergrößert und im gleichen Verhältnis
die Belastung des ersten Schrittes fiir eine genauere Bes
rechnung. Wenn aber die Spannungen in den nichtelasti-
sehen Bereich hineinragen, grenzt man die nichtelasti-
sehen Gebiete ab und der erste Lastschritt wird entweder
erniedrigt, wenn diese Gebiete groß sind, oder beibehal-
ten und für eine genauere Berechnung verwendet.
3. Zusammenfassung
Es wird im vorliegenden Beitrag eine effektive Methodik
zur Aufstellung der Steifigkeit'smatrizcn eines Systems
aus Spline—Superelementen sowie eine Methodik zur Er-
mittlung der Verschiebungen der inneren Knoten aus
denen der Berechnungspunkte unter Verwendung der
Splineinterpolation dargelegt. Die Anwendung dieser
Methodik auf die Berechnung von Kastenträgersystemen
wird gezeigt. Die Methodik wird verallgemeinert zur An-
wendung auf Kastenträgersysteme mit veränderlichen
Steifigkeitsparametem sowie auf physikalisch nichtlinea-
re Systeme. Eine Verallgemeinerung auf thermoelasti-
sehe Aufgaben und Stabilitätsprobleme von Kastenträ-
gersystemen ist möglich.
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