GLÁUCIA GLEICE MACIEL SANTOS

“ANÁLISE SISTEMÁTICA DE VIGAS-PAREDE BIAPOIADAS DE CONCRETO ARMADO”

Dissertação apresentada aoDepartamento de EngenhariaCivil da PUC-Rio como partedos requisitos para obtenção

do título de Mestre em Ciênciasde Engenharia Civil - Estruturas

Orientadores:Prof. Khosrow GhavamiProf.a Marta de S. L. Velasco

Departamento de Engenharia Civil

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

Rio de Janeiro, 03 de Março de 1999.

A Deus

Aos meus pais

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Khosrow Ghavami pela orientação e sugestões dadas;

À Profa. Marta Velasco pela orientação, conselhos e apoio dados;

Ao meu amigo e colega de sala Zenon José Gusmán Nunes del Prado pelas longas conversas, a

boa convivência e a ajuda na utilização do Grapher;

À Sylvia, pela convivência nos últimos meses, conselhos e ajuda na utilização do Mathcad;

À Ângela e à Karina, pela amizade consolidada neste último ano;

A todos os amigos e colegas que, de alguma maneira, contribuíram para a realização deste

trabalho.

ABSTRACT

The major codes that contain recommendations and discussions concerning the design

of deep beams, including the ACI Building Code 318-95, the Canadian Code CAN-A23.3-

M84, the CEB-FIP Model Code and the CIRIA Guide 2, present design methods that do not

cover adequately the dimensioning of this type of beams. Nevertheless, some other codes

don’t give any special recommendation. The Brazilian Code (NBR 6118), for instance, just

explains that this type of beams should be calculated as a plate in elastic range. Another

example is the current British Code BS 8110, which explicitly states that “for design of deep

beams, reference should be made to specialist literature”.

Because of reasons as those mentioned above, obtaining a rational method not only

based on a clear mechanism of failure but taking into account the main parameters that have

influence on the ultimate strength of deep beams, has been the purpose of several researchers

in the whole world in the last two decades.

In this work, some methods for the design of simply supported reinforced concrete

deep beams are presented, examined and commented upon. These methods are applied to a

total of 37 beams tested in the Laboratory of Structures and Materials (L.E.M) of PUC-Rio,

since 1979, and to some beams reported in the literature, in order to yield a method which can

predict results of ultimate load closer to those ones obtained experimentally. The future aim is

to achieve recommendations that could be proposed to the Brazilian Code.

The tests of the 37 beams just referred are included in theoretical-experimental

research done by Guimarães (1980), Vasconcelos (1982) and Velasco (1984), which took place

in PUC-Rio, orientated by Professor Khosrow Ghavami. Several concluding remarks were

obtained in each Master Thesis, apart from one another, but there wasn’t any work that

compared these results. The present work is also intended to provide some comparative

information regarding the 37 deep beams mentioned above, with the support given by the

current literature.

RESUMO

As principais recomendações para o dimensionamento de vigas-parede, como o ACI

318-95, o CEB-FIP, a Norma Canadense CAN-A23.3-M84 e o Guia 2 da CIRIA, apresentam

métodos de cálculo que não cobrem satisfatoriamente o projeto de tais vigas. Outras normas,

ainda, não trazem nenhuma indicação especial de dimensionamento. A própria Norma

Brasileira, a NBR 6118, por exemplo, declara apenas que vigas desse tipo devem ser

calculadas como chapas no regime elástico. O Código Britânico corrente BS 8110

explicitamente comenta que “para o projeto de vigas-parede, referência deve ser feita à

literatura especializada”.

Por razões como as citadas acima, a obtenção de um método racional, baseado em um

claro mecanismo de ruptura e que leve em conta os principais parâmetros que influenciam a

resistência última das vigas-parede tem sido o objetivo de vários pesquisadores de todo o

mundo nas duas últimas décadas.

Neste trabalho são apresentados, comentados e analisados vários métodos de

dimensionamento de vigas-parede biapoiadas de concreto armado. Os métodos de cálculo são

aplicados ao total de trinta e sete vigas ensaiadas no Laboratório de Estruturas e Materiais

(L.E.M) da PUC-Rio, desde 1979, e a algumas vigas descritas na literatura, visando a

obtenção de um método que gere resultados de carga última os mais próximos possíveis dos

obtidos experimentalmente, e tendo como objetivo futuro a obtenção de recomendações que

possam ser propostas para a Norma Brasileira.

Os ensaios das trinta e sete vigas, no total, referenciadas acima, fazem parte de

pesquisas teórico-experimentais realizadas na PUC-Rio por Guimarães (1980), Vasconcelos

(1982) e Velasco (1984), sob a orientação do Prof. K. Ghavami. Várias conclusões foram

obtidas em cada uma dessas dissertações de mestrado, separadamente, mas nenhum estudo

havia sido feito no sentido de comparar os resultados encontrados. O presente trabalho

também tem como objetivo obter informações comparativas relacionadas às 37 vigas citadas,

com o respaldo da literatura atualizada.

III

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ..................................................................................................... VIII

LISTA DE TABELAS ...................................................................................................... XII

LISTA DE SÍMBOLOS .................................................................................................. XIV

TABELA DE CONVERSÃO DE UNIDADES ................................................................ XXI

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO ....................................................................................... 01

1.1 - Considerações gerais ....................................................................................... 01

1.2 - Objetivos e relevância da pesquisa ................................................................... 03

CAPÍTULO II - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .............................................................. 05

2.1 - Introdução ....................................................................................................... 05

2.2 - Considerações gerais ....................................................................................... 06

2.3 - Considerações sobre a relação "/h .................................................................... 09

2.4 - Mecanismos de ruptura .................................................................................... 10

2.5 - Resistência à flexão ......................................................................................... 17

2.6 - Resistência ao cisalhamento ............................................................................. 18

IV

2.6.1 - Parâmetros considerados ................................................................... 20

2.6.1.1 - a/h x τ max cf ' ..................................................................... 20

2.6.1.2 - wl x τ max cf ' ...................................................................... 20

2.6.1.3 - wt x τ max cf ' ...................................................................... 21

2.7 - Influência da armadura de alma ........................................................................ 22

2.8 - Influência da espessura de alma ........................................................................ 24

2.9 - Influência da rigidez dos apoios ....................................................................... 28

2.10 - Influência da posição do carregamento ........................................................... 31

2.11 - Influência de abertura na alma ........................................................................ 36

2.12 - Modelos de bielas e tirantes ........................................................................... 39

2.13 - Métodos de dimensionamento de vigas-parede ............................................... 46

2.13.1 - Método apresentado no Boletim no 150 do CEB .............................. 47

2.13.2 - Método da Analogia da Treliça ........................................................ 48

2.13.3 - Fórmula de Kong ............................................................................ 48

2.13.4 - Método apresentado no Guia 2 da CIRIA ........................................ 48

2.13.5 - Recomendações do CEB-FIP (1978) .............................................. 51

2.13.6 - Método apresentado pelo Código Canadense CAN3-A23.3-M84 .... 52

2.13.6.1 - Proposta e idéia ................................................................ 52

2.13.6.2 - Condições apresentadas pelo código ................................ 52

2.13.7 - Recomendações do ACI 318-95 ...................................................... 55

2.13.8 - Método do Caminho da Força Compressiva .................................... 57

2.13.8.1 - Proposta e idéia ................................................................ 57

2.13.8.2 - Modelagem da viga-parede ............................................... 58

V

2.13.8.3 - Método de projeto ............................................................ 59

2.13.9 - Método de Análise para Vigas-parede Biapoiadas segundo Subedi ... 60

2.13.9.1 - Proposta e idéia ............................................................... 60

2.13.9.2 - Descrição .......................................................................... 61

2.13.10 - Método do Modelo de Treliça com Amolecimento ....................... 65

2.13.10.1 - Proposta e idéia .............................................................. 65

2.13.10.2 - Fórmula para cálculo da resistência ao cisalhamento ....... 67

2.13.11 - Método do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado .......................... 68

2.13.11.1 - Proposta e idéia ............................................................... 68

2.13.11.2 - Descrição ........................................................................ 69

CAPÍTULO III - APRESENTAÇÃO DAS 37 VIGAS-PAREDE CONSIDERADAS .... 71

3.1 - Notação das vigas ............................................................................................ 72

3.2 - Propriedades dos materiais, geometria e armadura ........................................... 75

3.2.1 - Vigas ensaiadas por Guimarães, G. B. (1980) .................................... 75

3.2.2 - Vigas ensaiadas por Vasconcelos, J. R. G. (1982) .............................. 75

3.2.3 - Vigas ensaiadas por Velasco, M. S. L. (1984) .................................... 76

3.3 - Informações comparativas .............................................................................. 80

CAPÍTULO IV - RESULTADOS ..................................................................................... 85

VI

4.1 - Guia 2 da CIRIA ............................................................................................. 85

4.2 - CEB-FIP (1978) .............................................................................................. 85

4.3 - CAN3-A23.3-M84 .......................................................................................... 86

4.4 - ACI 318-95 ..................................................................................................... 87

4.5 - Método do Caminho da Força Compressiva ..................................................... 88

4.6 - Método de Análise para Vigas-parede Biapoiadas segundo Subedi .................. 89

4.7 - Método do Modelo de Treliça com Amolecimento ........................................... 90

4.8 - Método do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado .......................................... 93

CAPÍTULO V - COMENTÁRIOS E ANÁLISE DOS RESULTADOS .......................... 96

5.1 - Guia 2 da CIRIA ............................................................................................. 96

5.2 - CEB-FIP (1978) .............................................................................................. 99

5.3 - CAN3-A23.3-M84 ........................................................................................ 102

5.4 - ACI 318-95 ................................................................................................... 104

5.5 - Método do Caminho da Força Compressiva ................................................... 106

5.6 - Método de Análise para Vigas-parede Biapoiadas segundo Subedi ................. 109

5.7 - Método do Modelo de Treliça com Amolecimento ......................................... 111

5.8 - Método do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado .......................................... 115

CAPÍTULO VI - ANÁLISE DE VIGAS APRESENTADAS NA LITERATURA ........ 120

6.1 - Propriedades dos materiais, geometria e armadura das vigas .......................... 121

VII

6.1.1 - Vigas ensaiadas por Kong et al. ....................................................... 121

6.1.2 - Vigas ensaiadas por Smith e Vantsiotis ............................................. 122

6.1.3 - Vigas testadas por de Paiva e Siess .................................................. 122

6.2 - Resultados de carga última, comparação e comentários .................................. 126

6.2.1 - Código Canadense CAN3-A23.3-M84 ............................................ 126

6.2.2 - Método de Análise para Vigas-parede Biapoiadas segundo Subedi ... 130

6.2.3 - Método do Modelo de Treliça com Amolecimento .......................... 133

6.2.4 - Método do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado ............................ 135

CAPÍTULO VII - CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES ................................ 139

7.1 - Conclusões .................................................................................................... 139

7.2 - Sugestões ...................................................................................................... 141

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 143

VIII

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Distribuição de tensão em vigas de tramo único ............................................ 08

Figura 2.2 Ilustração da ruptura por flexão .................................................................... 12

Figura 2.3 Mecanismo de ruptura e deformação aproximada de uma viga-parede

biengastada rompendo por cisalhamento ...................................................... 13

Figura 2.4 Ilustração da ruptura por fendilhamento ou tração diagonal para uma viga-

parede biapoiada ........................................................................................... 14

Figura 2.5 Ilustração da ruptura por compressão diagonal para uma viga-parede biapoiada

..................................................................................................................... 14

Figura 2.6 Mecanismo de ruptura de flexão-cisalhamento para uma viga-parede biapoiada

..................................................................................................................... 15

Figura 2.7 Mecanismo de ruptura e deformação aproximada de uma viga-parede

biengastada rompendo por flexão-cisalhamento ........................................... 16

Figura 2.8 Viga-parede biapoiada sob mecanismo de ruptura local ................................. 17

Figura 2.9 Modo de ruptura local para uma viga-parede biengastada ............................. 17

Figura 2.10 Efeito da relação a/h na resistência ao cisalhamento ...................................... 20

Figura 2.11 Efeito da taxa mecânica de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento

..................................................................................................................... 21

Figura 2.12 Efeito da taxa mecânica de armadura transversal na resistência ao cisalhamento

..................................................................................................................... 22

Figura 2.13 Seqüência típica na qual as fissuras aparecem em vigas-parede esbeltas

IX

carregadas no bordo superior ....................................................................... 26

Figura 2.14 Representação da fissura diagonal crítica: linha pontilhada para vigas-parede

espessas; linhas cheia e tracejada de corte para vigas-parede esbeltas ............ 27

Figura 2.15 Seção transversal da viga, com a definição das excentricidades e1 e e2 ........ 27

Figura 2.16 Viga-parede rompendo por flambagem (viga C-29-0.1; Kong et al.,1986) ..... 27

Figura 2.17 Exemplos de vigas-parede com extremidades engastadas (Subedi, 1994) ...... 29

Figura 2.18 Detalhes das vigas testadas por Schütt (Cusens, 1990) .................................. 29

Figura 2.19 Isostáticas e distribuição das tensões σ y , σ x e τ xy em vigas-parede com

" /h = 1.0, com e sem enrijecimento dos apoios (Leonhardt e Mönning, 1979)

..................................................................................................................... 30

Figura 2.20 Dimensões e detalhes de armadura das vigas-parede de pequena espessura

testadas por Besser (1983) e Cusens e Besser (1985) ................................... 32

Figura 2.21 Efeito da armadura vertical sobre o espaçamento médio das fissuras sob

carregamento na base (L2 ) ........................................................................... 33

Figura 2.22 Desenvolvimento da abertura de fissura para vigas carregadas no topo (L1) ..34

Figura 2.23 Desenvolvimento da abertura de fissura para vigas carregadas na base (L2 ).. 35

Figura 2.24 Desenvolvimento de abertura de fissura para vigas carregadas igualmente no

topo e na base (L3 ) ...................................................................................... 35

Figura 2.25 Trajetória de tensões para uma viga-parede com abertura de alma

(modeloM 4 (Haque et al., 1986)) ................................................................. 37

Figura 2.26 Modelos de fissuração na ruptura ................................................................. 38

X

Figura 2.27 Exemplo de aplicação do processo do caminho de carga em uma viga-parede ...

......................................................................................................................42

Figura 2.28 Viga-parede sob carregamento uniformemente distribuído no bordo superior .

..................................................................................................................... 43

Figura 2.29 Modelos para vigas-parede sob ação de carregamento uniformemente

distribuído no bordo superior ....................................................................... 44

Figura 2.30 Viga-parede submetida à ação de uma força concentrada .............................. 44

Figura 2.31 Distribuição de tensões horizontais no meio do vão, para força concentrada . 45

Figura 2.32 Modelos para vigas-parede com " /h ≥ 1.0 .................................................... 45

Figura 2.33 Modelos para vigas-parede com " /h < 1.0 ................................................... 46

Figura 2.34 Definição dos parâmetros da Equação (2.4) .................................................. 50

Figura 2.35 Modelo de bielas e tirantes para uma viga-parede ......................................... 54

Figura 2.36 Modelo para uma viga-parede sob a ação de uma carga concentrada e duas

cargas concentradas e/ou carregamento uniforme ......................................... 58

Figura 2.37 Procedimento para dimensionamento de uma viga-parede ............................ 60

Figura 2.38 Análise de uma viga-parede: equilíbrio de forças ........................................... 63

Figura 2.39 Definição de símbolos e do elemento de cisalhamento ................................... 66

Figura 2.40 Condições de tensões no elemento de cisalhamento ...................................... 66

Figura 2.41 Modelo convencional de bielas e tirantes para uma viga-parede sob a atuação

de carregamento concentrado no bordo superior .......................................... 70

Figura 2.42 Modelo de bielas e tirantes refinado para uma viga-parede sob a atuação de

duas cargas concentradas no bordo superior ....................................... 70

Figura 3.1 Dimensões das vigas testadas notações .................................................. 73

Figura 3.2 Tipos comuns de fissura ............................................................................... 84

XI

Figura 4.1 Gráfico P

PU CEB

U TESTE

( )

( )

78 x PU TESTE( ) ........................................................ 86

Figura 4.2 Gráfico P

PU CAN

U TESTE

( )

( )

84 x PU TESTE( ) ........................................................ 87

Figura 4.3 Gráfico P

PU ACI

U TESTE

( )

( )

95 x PU TESTE( ) ........................................................ 88

Figura 4.4 Gráfico P

PU CFC

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) .......................................................... 89

Figura 4.5 Gráfico P

PU AVPB

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) ......................................................... 90

Figura 4.6 Gráfico P

PU MTA

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) .......................................................... 92

Figura 4.7 Gráfico P

PU MBTR

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) ........................................................ 93

Figura 6.1 Gráfico P

PU CAN

U TESTE

( )

( )

84 x PU TESTE( ) ...................................................... 127

Figura 6.2 Gráfico P

PU AVPB

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) ....................................................... 131

Figura 6.3 Gráfico P

PU MTA

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) ........................................................ 134

Figura 6.4 Gráfico P

PU MBTR

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) ...................................................... 136

Figura 6.5 Gráfico da razão PU(TESTE)/PU(MBTR) x a/h ................................................... 138

XII

LISTA DE TABELAS

Tabela 1.1 Limites superiores da relação "/h, " 0 /h ou " 0 /d para as vigas-parede segundo

diversas normas ..................................................................................... ...... 02

Tabela 2.1 Efeito da armadura transversal para pequenas razões de a/h .......................... 23

Tabela 2.2 Notação, espaçamento e taxa da armadura vertical das vigas ensaiadas ......... 31

Tabela 2.3 Cinco combinações de carregamento utilizadas ............................................. 31

Tabela 2.4 Critério para teste de controle da resistência de alma .................................... 63

Tabela 2.5 Critério para teste do modo de ruptura: flexão-cisalhamento ou fendilhamento

diagonal (cisalhamento) ................................................................................ 63

Tabela 2.6 Apresentação das quatro situações possíveis de contribuição dos diversos

parâmetros na carga última ........................................................................... 64

Tabela 3.1 Séries de vigas-parede de concreto armado, biapoiadas, sujeitas a carregamento

no bordo superior, analisadas na PUC-Rio .................................................... 72

Tabela 3.2 Dimensões das vigas de teste ....................................................................... 77

Tabela 3.3 Características geométricas das armaduras principal e de alma ...................... 78

Tabela 3.4 Carga última obtida experimentalmente (PU(TESTE)), comparação das cargas de

fissuração e da carga de escoamento com a carga última, modo de ruptura para

cada viga e características do concreto utilizado ........................................... 79

Tabela 3.5 Características do aço ................................................................................... 80

Tabela 4.1 Carga última determinada experimentalmente (PU(TESTE)) para cada viga e a sua

comparação com a carga última obtida por vários métodos ........................... 94

XIII

Tabela 4.2 Valores de c'CAN84, c

'CFC e c" CFC e a comparação entre eles, modo de ruptura

previsto pelo método de Análise para Vigas-parede Biapoiadas (segundo

Subedi), para cada uma das 37 vigas consideradas ........................................ 95

Tabela 6.1 Propriedades das 35 vigas ensaiadas por Kong et al. (1970) ....................... 123

Tabela 6.2 Propriedades das 52 vigas ensaiadas por Smith e Vantsiotis (1982) ...... 124/125

Tabela 6.3 Propriedades das barras da armadura .......................................................... 125

Tabela 6.4 Propriedades das 19 vigas ensaiadas por de Paiva e Siess (1965) ................ 126

Tabela 6.5 Comparação entre os resultados de carga última obtidos pelos diversos

métodos e os obtidos experimentalmente para as vigas ensaiadas por

Kong et al. (1970), Smith e Vantsiotis (1982) e de Paiva e Siess (1965) ..........

...................................................................................................... 128/129/130

Tabela 6.6 Média e desvio padrão de RAVPB obtidos para as 87 vigas apresentadas na

Tabela 6.5 que possuem valores para o mesmo........................................... 131

Tabela 6.7 Média e desvio padrão de RMTA obtidos para as 63 vigas presentes na Tabela 6.5

que possuem valores para o mesmo ............................................................ 134

Tabela 6.8 Média e desvio padrão de RMBTR obtidos para as vigas apresentadas na

Tabela 6.5 que possuem valores para o mesmo ........................................... 135

XIV

LISTA DE SÍMBOLOS

Capítulo I

" vão teórico da viga (centro a centro dos apoios)

" 0 vão livre da viga (face interna a face interna dos apoios)

h altura total da viga

d altura útil da viga

Capítulo II

σx tensão normal horizontal

σy tensão normal vertical

τxy tensão de cisalhamento

σ1 tensão principal de tração

σ2 tensão principal de compressão

Rst força resultante das tensões de tração (Fig. 2.1)

Rcc força resultante das tensões de compressão (Fig. 2.1)

Rst1 força de tração no modelo de bielas e tirantes (Fig. 2.27)

Rcc3 força de compressão no modelo de bielas e tirantes (Fig. 2.27)

Rc1 força na biela horizontal no modelo de bielas e tirantes (Fig. 2.29)

Rc2 força na biela inclinada no modelo de bielas e tirantes (Fig. 2.29)

XV

Rst força no tirante no modelo de bielas e tirantes (Fig. 2.29)

LN linha neutra

z braço de alavanca interno da viga (distância entre as forças resultantes

das tensões de tração e de compressão)

z2 braço de alavanca (Fig. 2.33)

z1 braço de alavanca (Fig. 2.33)

he altura efetiva da viga

b espessura da viga

a vão de cisalhamento (distância de centro a centro da placa de aplicação

da carga ao apoio mais próximo)

a ' vão de cisalhamento medido do centro da placa de carregamento ao bordo do

apoio mais próximo

e excentricidade efetiva da carga aplicada

e1 excentricidade da reação de apoio (Fig. 2.15)

e2 excentricidade da carga aplicada no bordo superior (Fig. 2.15)

q carga acidental uniformemente distribuída

g carga permanente uniformemente distribuída

f c' resistência cilíndrica à compressão do concreto

f sy tensão de escoamento da armadura principal de tração

fly tensão de escoamento do aço longitudinal

fty tensão de escoamento do aço transversal

τ máx tensão de cisalhamento máxima (resistência ao cisalhamento) da viga

τ max cf ' tensão de cisalhamento normalizada

XVI

wl taxa mecânica de armadura longitudinal

wt taxa mecânica de armadura transversal

ρ l taxa geométrica de armadura longitudinal total

ρ t taxa geométrica de armadura transversal

ρs taxa geométrica da armadura principal de tração

ρ w"taxa geométrica de armadura de alma longitudinal (horizontal)

P carga aplicada

VU(TESTE) força de cisalhamento última obtida experimentalmente

PU carga última total

Vc resistência nominal ao cisalhamento fornecida pelo concreto

Vs resistência nominal ao cisalhamento fornecida pela armadura de cisalhamento

As área da armadura principal de tração

Es módulo de elasticidade do aço

Ec módulo de elasticidade do concreto

" , h, d possuem a mesma definição apresentada no Capítulo I desta Lista de Símbolos.

Os símbolos presentes no item 2.13 estão definidos no próprio texto, pois para cada

método de dimensionamento de vigas-parede há uma definição específica de símbolos.

Capítulo III

XVII

a vão de cisalhamento (distância de centro a centro da placa de aplicação

da carga ao apoio mais próximo)

x vão livre de cisalhamento

"t vão total da viga

"0 vão livre da viga (face interna a face interna dos apoios)

" vão teórico da viga (centro a centro dos apoios)

c dimensão do apoio na direção longitudinal da viga

ba dimensão do apoio na direção transversal à viga

b espessura da viga

d altura útil da viga

h altura total da viga

φ diâmetro das barras

As área da armadura principal de tração

Awh área da armadura de alma horizontal

Awv área da armadura de alma vertical

ρsA

bds , taxa geométrica da armadura principal de tração

ρ hA

bdwh

ρvA

bwv

"0

f y tensão de escoamento do aço

f su limite de resistência do aço

f c' resistência cilíndrica à compressão do concreto

XVIII

f t resistência cilíndrica à tração por fendilhamento do concreto

ε y deformação correspondente ao limite de escoamento do aço

Es módulo de elasticidade do aço

PU carga última total

P carga total aplicada

PU(TESTE) carga última experimental total

Pf 1 carga correspondente ao aparecimento da primeira fissura de flexão

(tipo ① - Fig. 3.2)

Pf 2 carga correspondente ao aparecimento das primeiras fissuras de cisalhamento

(tipo ② - Fig. 3.2)

Pf 3 carga correspondente ao aparecimento das segundas fissuras de cisalhamento

(tipo ③ - Fig. 3.2)

Py carga de escoamento do aço

2 C.C. duas cargas concentradas

C.U.D. carregamento uniformemente distribuído

F flexão

C cisalhamento

FC flexão-cisalhamento

L (A) ruptura local no apoio

L (C) ruptura local sob os pontos de aplicação de carga

Capítulo IV

XIX

VU força de cisalhamento última (PU/2)

c’CFC largura da biela inclinada determinada pelo Método do Caminho da Força

Compressiva

c” CFC largura da biela inclinada que satisfaz o equilíbrio citado no item c da Fig. 2.37

c’CAN84 largura média da biela inclinada determinada pela CAN-A23.3-M84

Ast área da armadura longitudinal total

Os parâmetros h, b, x, f c' e f t , além de F, C, PU , PU(TESTE) encontram-se definidos

no Capítulo III desta Lista de Símbolos.

Capítulo V

PU(TESTE) carga última experimental total

PU(PREVISTA) carga última prevista, similar à Pp

R PU(PREVISTA) / PU(TESTE) ou Pp/ PU

µ média aritmética

σ desvio padrão

Os demais símbolos estão definidos, para cada método considerado, no item 2.13.

Capítulo VI

As’ área da armadura principal de compressão

XX

ρs’ A

bds'

, taxa geométrica da armadura principal de compressão

ρw taxa geométrica da armadura de alma (horizontal ou vertical)

f sy tensão de escoamento da armadura principal de tração

f sy' tensão de escoamento da armadura principal de compressão

f wy tensão de escoamento da armadura de alma

Os parâmetros ", "0, "t, h, b, d, a, x, As, ρs, ρh, ρv, f y , f c' , f t , além de PU(TESTE)

encontram-se definidos no Capítulo III desta Lista de Símbolos.

XXI

TABELA DE CONVERSÃO DE UNIDADES

in mm in2 cm2 lb N lb/in2 N/mm2

1 polegada

1 milímetro

1 polegada quadrada

1 centímetro quadrado

1 libra

1 NEWTON

1 libra por pol2

1 NEWTON por mm2

1

3.937 x 10-2

-

-

-

-

-

-

25.4

1

-

-

-

-

-

-

-

-

1

0.155

-

-

-

-

-

-

6.452

1

-

-

-

-

-

-

-

-

1

0.2248

-

-

-

-

-

-

4.448

1

-

-

-

-

-

-

-

-

1

1.450 x 102

-

-

-

-

-

-

6.895 x 10-3

1

CAPÍTULO I

1. INTRODUÇÃO

1.1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS

Vigas-parede são estruturas laminares planas verticais apoiadas de modo descontínuo,

solicitadas por carregamento atuante em seu próprio plano, para as quais não é válida a

hipótese fundamental da teoria de flexão de Navier-Bernouilli, em virtude de apresentarem

relações geométricas inferiores a certos limites máximos estabelecidos para "/h (vão

teórico/altura total da viga), " 0 /h (vão livre/altura total da viga) ou, ainda, para " 0 /d (vão

livre/altura útil da viga).

As vigas-parede de concreto armado constituem-se num assunto de considerável

interesse na prática da engenharia estrutural, podendo ser citadas as suas aplicações em

fachadas de edifícios, em estruturas offshore, em reservatórios como caixas d’água e silos, e

suas utilizações como blocos de coroamento de estacas, em tetos de transição (suportando

carga de pilares), como elementos de contenção em subsolos e, ainda, em estruturas de

centrais nucleares. Dadas as suas funções, a demanda por um critério de dimensionamento

dessas vigas tem sido gerada, tendo em vista que um real entendimento do seu

comportamento é um pré-requisito essencial para a otimização de projeto.

A classificação de uma viga como uma viga-parede varia de acordo com a norma

estrutural utilizada. Na Tabela 1.1 a seguir são apresentados alguns limites.

2

NORMAS Simplesmente Apoiada ContínuaACI 318-95 (1995)

FLEXÃO

CISALHAMENTO" 0 /h ≤ 1.25

" 0 /d ≤ 5.0

" 0 /h ≤ 2.5

" 0 /d ≤ 5.0

CEB-FIP (1978) "/h ≤ 2.0 "/h ≤ 2.5GUIA N° 2 DA CIRIA (1977)

(reimpresso em 1984)"/h < 2.0 "/h < 2.5

NBR 6118 (1978) "/h ≤ 2.0 "/h ≤ 2.5

Tabela 1.1 - Limites superiores da relação "/h, " 0 /h ou " 0 /d para as

vigas-parede segundo diversas normas.

As principais recomendações de projeto de vigas-parede resumem-se ao Guia 2 da

CIRIA de 1977, ao Código do CEB-FIP de 1978 e de 1990, ao Código do ACI 318-95 de

1995 e ao Código Canadense CAN-A23.3-M84 de 1984. Contudo, nenhuma delas cobre

satisfatoriamente o projeto de tais vigas. Os métodos apresentados possuem enfoques

diferentes que serão abordados e analisados no decorrer deste estudo. Pode-se comentar, por

exemplo, que o CEB-FIP (1978) considera mais detalhadamente a resistência à flexão,

enquanto o ACI 318-95 (1995) apresenta de forma mais detalhada o cálculo da resistência ao

cisalhamento das vigas. Ambos não pretendem avaliar a resistência última das vigas-parede,

e, sim, fazem recomendações que, se observadas, permitem o dimensionamento de tais vigas,

geralmente, com boa margem de segurança quanto à sua resistência última e,

simultaneamente, obedecendo a certos critérios relativos aos estados de utilização,

principalmente ao estado de fissuração.

O critério de projeto do ACI 318-95 (1995) para resistência ao cisalhamento de vigas-

parede consiste de um conjunto de regras empíricas baseadas numa grande quantidade de

dados provenientes de testes. A contribuição dos vários fatores que influenciam esta

resistência não é explicitamente desenvolvida a partir de um claro mecanismo de ruptura.

O Código Canadense CAN3-A23.3-M84 (1984), assim como o Código Modelo

CEB-FIP (1990), recomenda a utilização do modelo de bielas e tirantes para descrever o

mecanismo de ruptura de uma viga-parede. Ambos sugerem valores para os parâmetros de

resistência das bielas e regiões nodais.

3

O Código Britânico corrente BS 8110 (1985) explicitamente declara que “para o

projeto de vigas-parede, referência deve ser feita à literatura especializada”.

O Guia 2 da CIRIA (1977) é o único que dá recomendações para resistência à

flambagem de vigas-parede esbeltas, podendo ser considerado o mais completo dentre os

métodos citados (Tan et al., 1997; Subedi et al., 1986).

A própria Norma Brasileira, a NBR 6118 (1978), não traz nenhuma indicação especial

sobre o dimensionamento de tais vigas, permitindo apenas que elas sejam calculadas como

chapas no regime elástico.

Como já pôde ser percebido, as principais recomendações de projeto de vigas-parede

deixam a desejar em vários aspectos.

1.2 - OBJETIVOS E RELEVÂNCIA DA PESQUISA

A obtenção de um método racional, baseado em um claro mecanismo de ruptura e que

leve em conta os principais parâmetros que influenciam a resistência última de vigas-parede

tem sido o objetivo de vários pesquisadores nas últimas duas décadas.

A partir de 1979 iniciaram-se, no Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, sob

a orientação do Prof. Khosrow Ghavami, várias pesquisas teórico-experimentais sobre o

estudo de vigas-parede de concreto armado, resultando nas dissertações de mestrado de

Guimarães, G. B. (1980), Vasconcelos, J. R. G. (1982), Velasco, M. S. L. (1984) e

servindo de base para o estudo paramétrico de Melo, G. S. S. A. (1984).

Várias conclusões foram obtidas em cada dissertação, separadamente, mas nenhum

estudo havia sido feito no sentido de comparar os resultados encontrados, visando a obtenção

de informações comparativas relacionadas às 37 vigas-parede ensaiadas.

4

O presente trabalho possui dois objetivos principais:

a. Obter informações comparativas, a partir dos resultados obtidos nos ensaios das

vigas-parede biapoiadas de concreto armado descritos nas dissertações de mestrado

elaboradas por Guimarães, Vasconcelos e Velasco, referenciadas acima, com o respaldo da

literatura atualizada;

b. Pesquisar métodos mais recentes de cálculo da resistência de vigas-parede, para

confrontar os resultados assim encontrados com aqueles obtidos experimentalmente para as

vigas ensaiadas no Laboratório de Estruturas e Materiais (L.E.M.) da PUC-Rio e para

algumas vigas apresentadas na literatura, visando encontrar um método que gere resultados os

mais próximos possíveis dos experimentais.

CAPÍTULO II

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 - INTRODUÇÃO

As primeiras revisões da literatura sobre o comportamento de vigas-parede foram

compiladas por Albritton, em 1965, pela Associação de Concreto e Cimento, em 1969, e pela

Pesquisa da Indústria da Construção e Associação de Informação (CIRIA — Construction

Industry Research and Information Association), em 1977, e complementadas por Tang, em

1987, por Wong, em 1987, e por Chemrouk, em 1988 (Kong, F. K. e Chemrouk, M., 1990).

As pesquisas iniciais foram, na sua maioria, baseadas no comportamento elástico das vigas-

parede. Contudo, uma séria desvantagem dos estudos elásticos consiste na usual suposição da

utilização de materiais isotrópicos obedecendo a Lei de Hooke e, portanto, estas investigações

não chegaram à orientação suficiente para projetos práticos.

Nos anos 60, os testes sistemáticos de carga última foram utilizados por de Paiva e

Siess (1965) e Leonhardt e Walther (1966). Esses testes constituem-se no principal passo de

pesquisas de tais vigas. A seguir são citados vários trabalhos desenvolvidos na década de 70 e

na de 80.

A solução de um problema típico de vigas-parede usando os conceitos de plasticidade

foi relatada por Nielsen (1971) e Braestrup e Nielsen (1983). Kong e Robins (1971)

mencionaram que a armadura de alma inclinada era altamente efetiva para tais vigas, o que foi

confirmado por Kong e Singh (1972) e Kong et al. (1972). Foi proposto um método para

comparar quantitativamente os efeitos dos diferentes tipos de armadura de alma (Kong et al.,

1972). Kong e Sharp (1973) pesquisaram a resistência e modos de ruptura de vigas-parede

com abertura na alma; a fórmula proposta para prever a carga última foi subseqüentemente

6

refinada (Kong e Sharp, 1977; Kong et al., 1978) e adotada pelo Livro dos Projetistas de

Concreto Armado (Reynolds e Steedman, 1981 e 1988) (Kong, F. K. e Chemrouk, M.,

1990).

Robins e Kong (1973) utilizaram o Método dos Elementos Finitos para prever a carga

última e os modelos de fissuração de tais vigas. Taner et al. (1977) relataram que este método

gerava bons resultados quando aplicado às vigas-parede com flange.

Trabalhabilidade e ruptura sob cargas repetidas foram estudadas por Kong e Singh

(1974). Garcia (1982) está entre os primeiros a concluir testes de flambagem numa série de

vigas-parede esbeltas de concreto (Kong, F. K. e Chemrouk, M., 1990).

Os efeitos de carregamento no topo e/ou na base de vigas-parede foram estudados por

Cusens e Besser (1985) e, anteriormente, por alguns outros pesquisadores (CIRIA, 1977).

Rogowsky et al. (1986) realizaram extensivos testes em vigas-parede contínuas. Mau

e Hsu (1987) aplicaram a “teoria do modelo de treliça com amolecimento” nas vigas

biapoiadas. Kotsovos (1988) realizou estudos visando o esclarecimento das causas

fundamentais da ruptura por cisalhamento desse tipo de vigas.

Ainda podem ser citados os trabalhos de Barry e Ainso (1983), Kubik (1980), Mansur

e Alwis (1984), Regan e Hamadi (1981), Rasheeduzzafar e Al-Tayyib (1986), Roberts e Ho

(1982), Shanmugan (1988), Singh et al. (1980), Smith e Vantsiotis (1982), Subedi (1988) e

Swaddiwwdhipong (1985) (Kong, F. K. e Chemrouk, M., 1990).

2.2 - CONSIDERAÇÕES GERAIS

Na prática corrente de projeto, a análise para estruturas de concreto armado em flexão

é geralmente baseada na suposição de que as seções planas permanecem planas após a ação

do carregamento e na de que o material é elástico e homogêneo. Contudo, a teoria elementar

de flexão para vigas esbeltas, da Resistência dos Materiais, não mais se aplica no caso de

vigas-parede pois, sob a atuação de carregamento, as seções não permanecem planas após a

deformação. Mesmo considerando um material homogêneo e perfeitamente elástico, a

distribuição de tensões normais não é linear e a das cisalhantes não é parabólica. Na

7

determinação dos esforços internos, devem ser levadas em conta condições de equilíbrio,

contorno, compatibilidade e relações constitutivas mais complexas.

A transição do comportamento de vigas comuns para o de vigas-parede é gradual,

começando a ser notada a partir de "/h = 2. Quanto menor é a relação "/h, mais as tensões se

afastam da distribuição prevista pela análise de vigas esbeltas e mais a linha neutra se dirige

para baixo. Na Figura 2.1 encontra-se um exemplo da variação da distribuição de tensões σ x

(normais à seção transversal), na seção do meio do vão, em vigas-parede simplesmente

apoiadas submetidas a ações uniformemente distribuídas para várias relações "h . As

resultantes das tensões de tração (Rst ) e de compressão (Rcc) são caracterizadas por sua

posição ao longo da altura da viga, sendo z a distância entre elas. Na viga com altura h = "/4

(Fig. 2.1.a) a distribuição de tensões é linear e as seções permanecem planas após a

deformação. Para a viga com altura h = "/2 (Fig. 2.1.b) as seções já não permanecem planas

após as deformações e a linha neutra passa a 0.4h medida a partir da borda inferior. Na viga

com h = " (Fig. 2.1.c), a linha neutra passa a 0.28h. Para vigas-parede com h ≥ " (Fig. 2.1.d), o

valor da resultante de tração (Rst ) varia pouco, indicando que somente a parte inferior com

altura he ≅ " colabora na resistência, sendo h e a altura efetiva da viga. A parte superior (zona

morta) atua apenas como ação uniformemente distribuída, e pode ser dimensionada como um

pilar-parede.

O grande número de variáveis que têm influência no comportamento das vigas-parede é

responsável em grande parte pelas dificuldades de dimensionamento. Entre essas variáveis,

podem ser citadas:

a. Própria geometria da viga

• espessura;

• relação"/h;

• enrijecimento dos apoios.

b. Tipo de apoio

c. Resistência do concreto

8

d. Armadura

• taxa e distribuição;

• ancoragem das barras.

e. Tipo de carregamento atuante e seu ponto de aplicação

Figura 2.1 - Distribuição de tensão em vigas de tramo único.

9

Embora a relação vão/altura ("/h) seja o parâmetro mais freqüentemente referenciado

como o determinante no comportamento de vigas-parede, a importância da relação vão de

cisalhamento/altura, sendo o vão de cisalhamento a distância de centro a centro da carga

aplicada ao apoio mais próximo, foi enfatizada há muitos anos atrás (Kong e Singh, 1972);

para flambagem e instabilidade, a relação altura/espessura da viga (h/b) e a relação

excentricidade da carga/espessura (e/b) são ambas relevantes (Garcia, 1982; Kong et al., 1986)

(Kong, F. K. e Chemrouk, M., 1990).

Para uma viga-parede, a carga última é determinada pela transferência de forças entre a

carga aplicada e o apoio. Conseqüentemente, a capacidade que pode ser denominada de

flexão ou de cisalhamento depende do detalhamento do carregamento e do apoio.

Conforme será comentado no decorrer da presente pesquisa, três processos são

correntemente usados para o projeto de membros de transferência de cargas como as vigas-

parede:

• Métodos de projeto empíricos ou semi-empíricos;

• Análise bi ou tridimensional, tanto linear quanto não linear;

• Utilização de treliças compostas de bielas de concreto e tirantes de aço.

Vários pesquisadores (Siao, 1993 e 1994; Collins e Mitchell, 1986; Teng et al.,

1996; Adebar e Zhou, 1996; Tan et al., 1997) concordam que, nos últimos anos, a teoria do

modelo de bielas e tirantes tem proporcionado um caminho mais promissor no cálculo da

resistência de tais vigas.

No presente trabalho, atenção especial será dada aos métodos que têm por base esse

modelo, como o proposto pela norma canadense CAN3-A23.3-M84 (1984).

2.3 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A RELAÇÃO ""/h

Não há uma relação de "/h mínima adotada mundialmente para que uma viga possa ser

considerada uma viga-parede. As fórmulas em códigos de projeto adotadas por diversos países

10

e institutos acadêmicos são desenvolvidas a partir de limites dessa relação, conforme já visto

na Tabela 1.1.

A transição do comportamento de uma viga comum para o de uma vigas-parede é

gradual, começando a ser notada a partir de "/h = 2. Segundo Kong (1986), para propósitos

de projeto, esta transição é geralmente considerada ocorrer a uma relação vão/altura em torno

de 2.5. De Paiva e Siess (1965), ao considerar resultados de testes em dezenove vigas-parede

simplesmente apoiadas e, partindo do princípio de que deve haver uma gradual transição do

comportamento de uma viga esbelta para o de uma viga-parede onde os conceitos da primeira

ainda podem ser utilizados, estabelecem esse intervalo de transição como sendo entre 2 e 6, ou

seja, 2 ≤ "/h ≤ 6, e definem essas vigas como vigas-parede moderadas, ou, ainda, como vigas

moderadamente altas.

Pesquisadores (Kong et al., 1970; Smith e Vantsiotis, 1982; Lin e Raoof, 1995;

Subedi, 1988) do comportamento de vigas-parede geralmente incluem como tais as vigas com

valores de "/d (vão teórico / distância do centróide da armadura de tração à fibra comprimida

extrema) em torno de 3.

É importante reconhecer as diferentes definições quando da utilização das

recomendações de projeto.

2.4 - MECANISMOS DE RUPTURA

O conhecimento e o entendimento dos mecanismos de ruptura das vigas-parede é de

importância fundamental para o desenvolvimento de uma formulação mais apropriada para o

dimensionamento de tais vigas.

A grande maioria das vigas biapoiadas ensaiadas por Guimarães (1980), Vasconcelos

(1982) e Velasco (1984) possuía um enrijecimento nos apoios, representando a existência de

pilares laterais ou de vigas-parede transversais. Desse modo, as cargas suportadas pelas vigas

eram transmitidas aos apoios de uma maneira indireta, ao longo de toda a altura da viga-

parede.

11

Para que se tenha um melhor entendimento dos modos de ruptura dessas vigas, serão

descritos abaixo e ilustrados tanto os apresentados por vigas biapoiadas quanto os de vigas

biengastadas.

De maneira geral, pode-se ter:

a. Ruptura por Flexão;

b. Ruptura por Cisalhamento;

c. Ruptura por Flexão-Cisalhamento;

d. Ruptura por Esmagamento do Concreto sobre o Apoio ou sob Cargas Concentradas

(Ruptura Local).

Melo, na revisão bibliográfica de sua dissertação (Melo, 1984), salienta uma subdivisão

no modo de ruptura por cisalhamento: a Ruptura por Compressão Diagonal e a Ruptura por

Fendilhamento ou Tração Diagonal. Subedi (1988), na consideração dos mecanismos de

ruptura básicos, não faz nenhuma divisão, relatando como modo de ruptura por cisalhamento

apenas o por Tração Diagonal ou Fendilhamento.

Guimarães (1980), Velasco (1984) e Subedi (1988) consideram, ainda, um outro

modo de ruptura para vigas-parede biapoiadas: o de Flexão-Cisalhamento.

Fafitis e Won (1994) comentam que, dos quatro mecanismos descritos por Subedi

(1988) Flexão, Flexão-Cisalhamento, Cisalhamento (Fendilhamento ou Tração Diagonal) e

Ruptura Local os dois mais importantes modos de ruptura são Flexão-Cisalhamento e

Fendilhamento Diagonal, embora a Ruptura Local citada acima não seja rara.

Subedi (1994) foi a única referência encontrada que descrevia em detalhes os modos

de ruptura de vigas-parede biengastadas.

a. Flexão

É caracterizada principalmente pelo escoamento da armadura de flexão (no meio do

vão). Há o surgimento de fissuras verticais, na base da viga, que se prolongam até quase toda a

altura desta. A ruptura ocorre geralmente com o escoamento da armadura e, só em casos

raros, com o esmagamento do concreto. Na Figura 2.2 encontra-se a ilustração de duas vigas

rompendo por flexão, uma sob a ação de um carregamento uniformemente distribuído (Fig.

12

2.2.a) e a outra sob a ação de duas cargas concentradas (Fig. 2.2.b). Para vigas-parede

biengastadas, este modo de ruptura não é, praticamente, considerado. Geralmente, é assumido

que estas vigas têm resistência adequada contra a flexão pura.

(a) (b)

Os números em (b) indicam a ordem dos eventos. Os eventos 1 e 2 correspondem aoaparecimento de fissuras e o evento 3 corresponde ao esmagamento do concreto.

Figura 2.2 - Ilustração da ruptura por flexão.

b. Cisalhamento

O cisalhamento depende fundamentalmente da localização e distribuição das cargas

aplicadas. Para as vigas-parede biapoiadas submetidas a um carregamento aplicado no bordo

superior, a ruptura tem início com a formação súbita de uma fissura diagonal principal em

ambos os painéis de cisalhamento, próxima aos apoios, que se propaga em direção ao ponto

de aplicação da carga mais próxima (caso de cargas concentradas) ou em direção ao ponto

localizado a 1/3 do vão a partir do apoio (caso de cargas distribuídas). O aparecimento das

fissuras diagonais principais citado acima também é uma das principais características

apresentadas pelas vigas-parede biengastadas. Nestas, existe o esmagamento do concreto nas

extremidades das fissuras diagonais (“rótula nocional”), completando um mecanismo, e há a

13

ausência das fissuras de flexão nos apoios extremos engastados. O mecanismo e a deformação

aproximada encontram-se na Figura 2.3.

Para as vigas biapoiadas, dependendo, entre outros fatores, da existência e da eficácia

da armadura de alma, pode-se ter:

• Ruptura por fendilhamento ou tração diagonal;

• Ruptura por compressão diagonal.

Fendilhamento ou Tração Diagonal

Geralmente, ocorre simultaneamente à formação da fissura diagonal. À medida que a

carga é aplicada, crescem os valores das forças de compressão ao longo da biela inclinada e,

conseqüentemente, da tração indireta transversal à mesma. Este tipo de ruptura está ilustrado

na Figura 2.4.

Compressão Diagonal

Após o desenvolvimento da primeira fissura de cisalhamento entre o apoio e o ponto de

aplicação da carga, surgem novas fissuras, paralelas à primeira, formando uma biela

comprimida. A ruptura ocorre com o esmagamento do concreto desta biela, conforme

ilustrado na Figura 2.5 (Guimarães, 1980).

(a) (b)

Os números em (a) indicam a ordem os eventos.

Figura 2.3 - Mecanismo de ruptura (a) e deformação aproximada (b)de uma viga-parede biengastada rompendo por cisalhamento.

14

Figura 2.4 - Ilustração da ruptura por fendilhamento outração diagonal para uma viga-parede biapoiada.

Figura 2.5 - Ilustração da ruptura por compressão diagonal para uma viga-parede biapoiada.

c. Flexão - Cisalhamento

O processo de ruptura é iniciado pelo escoamento da armadura seguido pelo

esmagamento do concreto na zona de compressão; porém, a resistência última ao cisalhamento

é atingida antes do esmagamento total do concreto na zona de compressão. Por esta razão,

15

este mecanismo de ruptura é denominado de “flexão - cisalhamento” (Guimarães, 1980). Ele

encontra-se ilustrado na Figura 2.6 para uma viga-parede biapoiada.

Os números indicam a ordem dos eventos.

Figura 2.6 - Mecanismo de ruptura de flexão – cisalhamento para uma viga-parede biapoiada.

No caso de vigas-parede biengastadas (Figura 2.7), as principais características deste

modo de ruptura são:

• A formação de uma fissura de flexão principal ao longo de um dos apoios engastados

extremos;

• A formação de uma fissura diagonal principal no painel de cisalhamento aposto ao da

fissura de flexão citada;

• O esmagamento do concreto nas duas extremidades da fissura diagonal (no bordo da carga

e no canto inferior da viga; estas posições estão assinaladas como “rótula nocional”, na

Figura 2.7, nas quais grande deformação rotacional ocorre no colapso);

• Uma grande rotação na extremidade inferior da fissura de flexão, mas não necessariamente

esmagando o concreto na região.

O mecanismo na ruptura e a deformação aproximada da viga perto do instante de

colapso estão mostrados na Figura 2.7.

16

(a) (b)

Os números mostrados em (a) indicam a ordem dos eventos.

Figura 2.7 - Mecanismo de ruptura e deformação aproximadade uma viga-parede biengastada rompendo por flexão - cisalhamento.

d. Local

O estado de tensões sobre o apoio ou sob cargas concentradas é tal que pode ocorrer

esmagamento do concreto nestas regiões, devido às elevadas tensões de compressão, antes que

a capacidade resistente da viga tenha sido esgotada. Assim, deve ser dada especial atenção ao

dimensionamento e detalhamento dos apoios e às regiões sob os pontos de aplicação de carga

concentrada. Velasco (1984), para o ensaio de vigas-parede esbeltas, projetou um reforço de

apoio para as vigas que não possuíam enrijecimento lateral, e, nas vigas altas (relação

"/h = 1.0), acrescentou uma armadura de fretagem na região de aplicação das cargas

concentradas para evitar o esmagamento local.

Vigas-parede de concreto armado com apoios extremos biengastados são

particularmente vulneráveis a uma ruptura local sob a zona de aplicação da carga concentrada.

Com uma geometria de apoios engastados, as vigas usualmente possuem uma grande

resistência global, o que concede a ela própria a possibilidade de ruptura local (Subedi, 1994).

Nas Figuras 2.8 e 2.9 encontra-se a ilustração de uma viga-parede biapoiada e de uma

viga-parede biengastada, respectivamente, rompendo localmente. Os números indicam a ordem

17

dos eventos. Na Figura 2.8 os eventos 1 e 2 correspondem ao aparecimento de fissuras e o

evento 3 corresponde ao esmagamento do concreto.

Os números indicam a ordem dos eventos.

Figura 2.8 - Viga-parede biapoiada sob mecanismo de ruptura local.

Os números indicam a ordem dos eventos.

Figura 2.9 - Modo de ruptura local para uma viga-parede biengastada.

2.5 - RESISTÊNCIA À FLEXÃO

Na literatura, geralmente, em relação às vigas-parede, é dada maior atenção à

resistência ao cisalhamento do que à resistência à flexão, porque é considerado que para uma

taxa geométrica de armadura principal de tração bem distribuída e ancorada, a resistência à

18

flexão é sempre superior à de cisalhamento. O CEB-FIP (1978), entretanto, considera mais

detalhadamente a resistência à flexão. O dimensionamento, neste caso, resume-se na

determinação da armadura, observando- se o limite de escoamento, não havendo a necessidade

de se verificar as tensões de compressão do concreto.

O procedimento de se adotar um braço de alavanca (z) obtido com base numa análise

elástica-linear, para avaliar a resistência última à flexão de vigas-parede resulta num esforço de

tração calculado na armadura principal maior do que o real. Conseqüentemente, a armadura

está trabalhando com certa margem de segurança, conforme já comprovado por trabalhos

experimentais (Guimarães, 1980; Kong et al., 1970; Kong et al., 1972; Vasconcelos, 1982 e

Velasco, 1984).

Guimarães (1980), iniciou um estudo para a determinação do braço de alavanca em

vigas- parede no estado fissurado, e concluiu que z depende, dentre outros parâmetros, da taxa

geométrica da armadura.

O estudo paramétrico realizado por Melo (1984) determina a influência de parâmetros

como a relação "/h, a taxa geométrica de armadura principal (ρs), a espessura da viga (b), a

resistência à compressão do concreto (fc' ) e a tensão de escoamento do aço (f sy ) na

resistência à flexão das vigas. No seu trabalho, Melo (1984) observa que, considerando como

estado limite último aquele correspondente ao escoamento da armadura, a resistência última à

flexão pode ser estimada conhecendo-se apenas o braço interno de alavanca e as características

da armadura. Melo (1984) ainda propõe uma fórmula para a determinação do braço de

alavanca.

2.6 - RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO

A resistência ao cisalhamento de vigas-parede é significativamente maior do que aquela

prevista pelo uso de expressões desenvolvidas para vigas esbeltas, por causa de sua particular

capacidade de redistribuir forças internas antes da ruptura e de desenvolver mecanismos de

19

transferência de forças bem diferentes dos de vigas de proporções normais (Smith e

Vantsiotis, 1982).

A resistência ao cisalhamento é usualmente o problema dominante na prática de projeto

das vigas desse tipo, e tem sido estudada por vários pesquisadores, tanto experimentalmente

quanto teoricamente. Podem ser citados os trabalhos de Klingroth (1942), de Paiva e Siess

(1965), Zsutty (1971), Smith e Fereig (1974), Nielsen (1984), Mau e Hsu (1989) (Wang et al.,

1993).

Smith e Vantsiotis (1982) ensaiaram 52 vigas-parede de concreto armado, biapoiadas

e sujeitas a duas cargas concentradas no bordo superior, aplicadas a 1/3 e a 2/3 do vão. O

objetivo era o de estudar os efeitos de alguns parâmetros na formação da fissura inclinada de

cisalhamento, na resistência última ao cisalhamento, na deflexão no meio do vão, na

deformação da armadura de tração e na abertura das fissuras das vigas analisadas. A taxa de

armadura de alma vertical variava entre 0.18 e 1.25 %, e, a horizontal, de 0.23 a 0.91 %; as

vigas possuíam relação a/d entre 1.00 e 2.08 e relação " /d entre 2.67 e 4.83. Foi observado

que há um decréscimo na carga que leva à fissura inclinada e na carga última, com o

crescimento da razão a/d. Também foi observado que um aumento na resistência do concreto

implica num aumento na capacidade de carga última da viga. Este crescimento é mais

pronunciado em vigas com baixa razão a/d e parece diminuir com o aumento de a/d.

Resultados de testes relatados na literatura (Smith e Vantsiotis, 1982; de Paiva e

Siess, 1965) mostram um grande crescimento na capacidade de cisalhamento além da carga

que leva à fissura inclinada para a/d ≤ 2.5. Este aumento na resistência última de cisalhamento

observado para a/d ≤ 2.5 é principalmente atribuído à ação de arco, que parece decrescer com

o aumento da razão a/d.

De acordo com Mau e Hsu (1987; 1989), três fatores podem ser considerados os mais

importantes no cálculo da resistência ao cisalhamento normalizada (τ max cf ' ) de vigas-parede.

São eles a relação vão de cisalhamento/altura (a/h), a taxa mecânica de armadura longitudinal

( )wl e a taxa mecânica de armadura transversal ( )wt , onde wl = ρ l ly cf f⋅ ' e wt = ρ t ty cf f⋅ ' ,

sendo ρ l e ρ t , a taxa geométrica de armadura longitudinal e transversal, respectivamente; fly

e fty , a tensão de escoamento do aço longitudinal e transversal, respectivamente.

20

A seguir encontra-se descrito o estudo paramétrico realizado por Mau e Hsu (1987).

Este estudo foi feito a partir de equações desenvolvidas levando-se em conta condições de

equilíbrio, compatibilidade e relação tensão-deformação.

2.6.1 - Parâmetros Considerados

2.6.1.1 - a/h x τ max cf '

A razão τ max cf ' geralmente decresce com o aumento da relação a/h. A taxa de

decréscimo é maior para os casos com menor taxa geométrica de armadura transversal,

conforme mostra a Figura 2.10.

a/h

Figura 2.10 - Efeito da relação a/h na resistência ao cisalhamento.

2.6.1.2 - wl x τ max cf '

Como pode ser constatado pela Figura 2.11, a razão τ max cf ' cresce com o aumento de

wl . Isto significa que o aço longitudinal é efetivo para relações de a/h de 0.5 a 2.0 e com wt

21

variando de 0.05 a 0.55. A efetividade é relativamente maior quando wl varia de 0.1 a 0.3,

mas se torna gradualmente menor à medida que wl aumenta.

ρ l ly cf f⋅ '

Figura 2.11 - Efeito da taxa mecânica de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento.

2.6.1.3 - wt x τ max cf '

A variação de τ max cf ' com wt é mostrada na Figura 2.12 para seis combinações de

a/h e wl . Para razões de a/h = 1.0 e 2.0, τ max cf ' cresce com o aumento de wt , especialmente

para pequenos valores de wt . Para a pequena relação de a/h de 0.5, contudo, τ max cf ' decresce

levemente com o aumento de wt . Isto ocorre porque sob grande compressão transversal

efetiva (pequena razão a/h), maior taxa de armadura transversal leva a uma deformação de

compressão relativamente menor, que, por sua vez, leva a um maior “amolecimento”

(softening) do concreto. É razoável estabelecer que a efetividade da armadura transversal

decresce quando a/h decresce de 2.0 para 0.5.

22

ρ t ty cf f⋅ '

Figura 2.12 - Efeito da taxa mecânica de armadura transversal na resistência ao cisalhamento.

2.7 - INFLUÊNCIA DA ARMADURA DE ALMA

O uso de armadura de alma em forma de malha ortogonal é considerado essencial não

só para o controle de abertura de fissuras, mas também porque reduz a probabilidade de

ruptura por instabilidade (Kotsovos, 1988).

A armadura de alma é mais eficiente quando colocada perpendicularmente à direção

das fissuras. Ela pode ser formada por estribos horizontais somente, por estribos verticais

somente, por uma malha ortogonal, ou, ainda, ser inclinada. A armadura do tipo malha

ortogonal é a mais utilizada, e é recomendada pelas normais estruturais.

De Paiva e Siess (1965) ensaiaram 19 vigas-parede biapoiadas, algumas sem armadura

de alma e outras com armadura de alma consistindo de estribos verticais ou inclinados, sujeitas

à aplicação de duas cargas concentradas a 1/3 e a 2/3 do vão. As vigas possuíam

2.0 ≤ "/d ≤ 4.0, com " constante igual a 600 mm e a = 200 mm. Foi observado que a adição de

até 1.42% de armadura de alma (taxa de armadura total) não provocava efeito no

desenvolvimento de fissuras inclinadas e parecia ter pouco efeito sobre a resistência última das

vigas, sem levar em conta o modo de ruptura. Todas as vigas com armadura de alma

apresentaram menor dano na ruptura quando comparadas com as sem este tipo de armadura.

Na pesquisa realizada por Smith e Vantsiotis (1982) foi observado que a armadura

23

de alma é efetiva na redução da abertura das fissuras para todos os níveis de carga e,

particularmente, em vigas com a/d > 1.0. Além disso, verificou-se que, em geral, a armadura

de alma aumenta a resistência última ao cisalhamento, o que pode ser constatado pelo estudo

paramétrico feito por Mau e Hsu (1987; 1989) e representado pelas Figuras 2.11 e 2.12.

Somente para pequenas razões de a/h há um ligeiro decréscimo nessa resistência, quando do

aumento da taxa de armadura transversal.

A ineficiência da armadura transversal para baixas razões de a/h pode também ser

observada nos testes feitos por Kong et al.(1970). Três pares de vigas testadas com a/h ≤ 0.5

estão listados na Tabela 2.1 (Mau e Hsu, 1990) . Em cada par de vigas, a relação a/h e a

porcentagem de armadura longitudinal (ρ l ) são idênticas, mas a porcentagem de armadura

transversal (ρ t ) é muito diferente. Pode ser percebido que as três vigas com menor taxa de

armadura transversal (ρ t = 0.86%) apresentaram forças de cisalhamento máximas

experimentais iguais ou até superior àquelas apresentadas por vigas com maior taxa de

armadura transversal (ρ t = 2.45%). Quando a/h ≤ 0.5 uma taxa geométrica de armadura

transversal superior a 0.25% não é efetiva no crescimento da resistência ao cisalhamento de

vigas-parede. Na notação apresentada, 1 ou 2 é a série considerada, de acordo com a

quantidade e tipo de armadura de alma; 30, 25 ou 20 é a altura da viga, dada em in (polegada).

Os valores de fc' e de VU TESTE( ) , originalmente em psi e lb, respectivamente, foram convertidos

em unidades do SI utilizando-se a Tabela de Conversão de Unidades presente no início deste

trabalho.

VIGAS

(Notação)a/h

ρ l

(%)

ρ t

(%)fc

'

( N mm2 )

VU TESTE( )

(kN)

1 - 302 - 30

0.330.33

0.520.52

2.450.86

21.7919.45

238.86249.09

1 - 252 - 25

0.400.40

0.630.63

2.450.86

24.8718.86

224.18224.18

1 - 202 - 20

0.500.50

0.800.80

2.450.86

21.5120.12

189.48215.28

Tabela 2.1 - Efeito da armadura transversal para pequenas razões de a/h.

24

Rogowsky, MacGregor e Ong (1986) ensaiaram 7 vigas-parede biapoiadas e 17

contínuas de dois vãos com diferentes relações a/d, com ρ t variando de 0.15 % a 0.6 % e ρ w"

(taxa de armadura de alma longitudinal) variando de 0.25 % a 0.39 %. Para as vigas

biapoiadas, a/d era 1.0, 1.5 ou 2.0. As vigas com menor taxa de estribos aproximaram-se do

modelo resistente de arco-atirantado na ruptura. Isto aconteceu independentemente da

quantidade de armadura de alma horizontal presente nas vigas. As rupturas foram repentinas,

com pouca deformação plástica. Por outro lado, as vigas com grande quantidade de estribos

romperam de uma maneira dúctil. Foi observado que a presença de armadura de alma

horizontal influenciou muito pouco a resistência das vigas analisadas, o que não está de acordo

com o ACI 318-95. O Código ACI 318-95 (1995) considera que a armadura de alma

horizontal é sempre mais efetiva do que a vertical.

2.8 - INFLUÊNCIA DA ESPESSURA DE ALMA

Nas últimas três décadas, a maior parte da pesquisa sobre o comportamento de vigas-

parede de concreto armado sob carga última foi concentrada na sua resistência à flexão, ao

cisalhamento e na resistência do apoio. Atualmente, se tornou claro que a flambagem de tais

vigas é um critério de ruptura que precisa ser considerado em projeto (Kong e Wong, 1990).

Estritamente falando, o termo “flambagem” se refere a um processo no qual uma estrutura se

move de um estado de equilíbrio neutro ou indiferente para um estado de equilíbrio instável.

“Ruptura por flambagem” é usada mais livremente para se referir a um estado de ruptura com

pronunciados deslocamentos fora do plano.

Realmente, com os avanços esperados na tecnologia dos materiais, será possível a

utilização de vigas-parede cada vez mais esbeltas, ou seja, com seções transversais cada vez

mais estreitas, e, assim, a flambagem provavelmente ditará o projeto dessas vigas.

Dos quatro principais documentos de projeto de vigas-parede, que são o Código

Canadense (CAN3-A23.3-M84), o Código Americano (ACI 318-95), o Código Modelo CEB-

FIP e o Guia 2 da CIRIA, somente este último apresenta recomendações diretas para o cálculo

25

da resistência à flambagem. Contudo, por causa da falta de dados experimentais, as

recomendações de flambagem da CIRIA tiveram de ser baseadas em estudos teóricos,

utilizando-se o bom senso de engenharia; no final do Apêndice C (Resistência à flambagem de

vigas-parede) deste guia, é assinalado que “não há evidência experimental para comprovar

estes procedimentos”.

O Guia da CIRIA (1977) recomenda três métodos para a previsão da resistência à

flambagem de vigas-parede esbeltas: as Regras Suplementares, o Método do Painel Único e o

Método do Painel Duplo. É aconselhado por pesquisadores (Kong et al., 1986) que as Regras

Suplementares sejam usadas sempre que forem aplicáveis. Quando não forem, deve-se evitar o

Método do Painel Único e aplicar preferencialmente o do Painel Duplo. Os resultados obtidos

segundo as recomendações da CIRIA são conservativos (Kong et al., 1986). Contudo,

levando-se em conta que as rupturas por flambagem são catastróficas e difíceis de serem

previstas, um razoável fator de segurança ainda se faz necessário.

Velasco (1984), na PUC-Rio, estudou experimentalmente a influência da espessura da

alma no comportamento de vigas-parede. Segundo Leonhardt e Mönning (1979), para

impedir a flambagem lateral é necessário que a viga tenha b ≥ " /20. Contudo, não ocorreu

instabilidade por flambagem para nenhuma das vigas ensaiadas por Velasco, mesmo para as

que possuíam b = " /24.

Os primeiros resultados publicados sobre o comportamento último de vigas-parede

com altas razões altura/espessura (h/b) são provavelmente das quatro vigas testadas por Besser

e Cusens (1984) e das 38 vigas ensaiadas por Kong et al. (1986) (Kong e Wong, 1990).

Desses resultados relatados, uma das vigas testadas por Besser e Cusens e 30 das vigas

testadas por Kong romperam por flambagem.

O comportamento geral de vigas-parede esbeltas carregadas no topo pode ser resumido

brevemente como abaixo, de acordo com Kong et al. (1986):

a. Sob carregamento, as primeiras fissuras a se formar são as de flexão, na região do meio do

vão (Figura 2.13, fissuras ①). A carga que provoca tais fissuras encontra-se, geralmente,

entre 20 e 40 % da carga última e é menor do que aquela para uma viga-parede espessa de

comparável razão "/h;

b. Sob carga adicional, longas fissuras diagonais (Figura 2.13, fissuras ②) são formadas,

26

usualmente com grande ruído. Tipicamente, essas fissuras diagonais iniciam-se não na base,

mas na extensão da altura da viga. Comparando com as vigas-parede espessas, as primeiras

fissuras diagonais principais das vigas esbeltas tendem a se formar a cargas menores e a ser

mais inclinadas sobre a horizontal. A sua direção encontra-se usualmente entre aquela da

linha sólida e aquela da linha tracejada de corte da Figura 2.14;

c. Quando a carga é incrementada, o modo de ruptura depende fortemente da relação h/b e

da relação excentricidade da carga/espessura (e/b). De uma maneira geral, quanto maiores

essas razões, maiores são as probabilidades de que a ruptura por flambagem ocorra. Nos

testes feitos por Kong (Kong et al., 1986), foi percebido que quando a razão efetiva de

e/b, definida como 0.4 e b1 + 0.6 e b2 (com e1 e e2 definidos na Figura 2.15), não excedia

0.03, nenhuma das 38 vigas testadas rompiam por flambagem mesmo quando a razão h/b

era maior do que 50. Contudo, quando a razão efetiva e/b era de 0.1 ou mais, mesmo as

vigas testadas de razão h/b abaixo de 25 rompiam por flambagem. O modo de flambagem é

caracterizado por uma fissuração horizontal proeminente, usualmente sobre o comprimento

da viga (Figura 2.13, fissuras ③), que é acompanhada por uma significante redução na

carga de ruptura.

Na Figura 2.16 encontra-se a ilustração de uma viga-parede rompendo por flambagem.

Figura 2.13 - Seqüência típica na qual as fissuras aparecem emvigas-parede esbeltas carregadas no bordo superior.

27

Figura 2.14 - Representação da fissura diagonal crítica:linha pontilhada para vigas-parede espessas;

linhas cheia e tracejada de corte para vigas-parede esbeltas.

Figura 2.15 - Seção transversal da viga, com a definição das excentricidades e1 e e2 .

Figura 2.16 - Viga-parede rompendo por flambagem (viga C-29-0.1; Kong et al., 1986).

28

2.9 - INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DOS APOIOS

Subedi, N. K. (1994) salienta que as vigas-parede de concreto armado com as

condições de apoio engastadas são mais prováveis de ocorrer em estruturas na prática do que

as biapoiadas. Por exemplo, em edifícios, as vigas-parede apoiadas em vigas transversais são

efetivamente ou parcialmente engastadas, as restrições sendo fornecidas pelas vigas

transversais (Figura 2.17.a). Outros exemplos que podem ser citados são as vigas-parede

apoiadas em grossos pilares (Figura 2.17.b) e as conectadas em estruturas de

contraventamento (shear wall structures) (Figura 2.17.c).

Quando uma viga-parede é apoiada em pilares laterais, os esforços são transmitidos aos

apoios ao longo da interseção viga - pilar, alterando a distribuição das tensões normais e

cisalhantes da viga. A análise elástica mostra que a linha neutra sofre uma elevação e as

resultantes de tração e compressão são menores, pois o braço de alavanca z aumenta.

Entre as pesquisas realizadas visando quantificar a influência do enrijecimento dos

apoios no comportamento de vigas-parede, pode-se citar os ensaios feitos por Schütt em 1956

(Cusens, A. R., 1990), cujos detalhes das vigas testadas encontram-se na Figura 2.18, e os

trabalhos realizados, na PUC-Rio, por Guimarães (1980) e Vasconcelos (1982).

Guimarães analisou nove vigas-parede de concreto armado, simplesmente apoiadas,

sujeitas a duas cargas concentradas aplicadas no bordo superior. Das nove vigas ensaiadas, seis

apresentavam rigidez lateral. Foi observado que o enrijecimento dos apoios não chegava a

causar nenhum efeito na resistência última à flexão e provocava somente uma ligeira elevação

na resistência última ao cisalhamento das vigas analisadas. Vasconcelos continuou na mesma

linha de pesquisa, ensaiando 16 vigas-parede biapoiadas, oito submetidas a carregamento

concentrado (duas cargas pontuais) e oito submetidas a carregamento uniformemente

distribuído. Das dezesseis vigas analisadas, 14 possuíam rigidez lateral.

Na Figura 2.19 encontram-se as isostáticas e a distribuição das tensões σ σy x, e τ xy em

vigas-parede com "/h = 1.0, com e sem enrijecimento dos apoios, e submetidas a um

carregamento uniformemente distribuído. T e C representam, respectivamente, as forças

resultantes das tensões de tração e de compressão (Leonhardt e Mönning, 1979).

29

Viga apoiada emvigas transversais

Viga apoiada emgrossas colunas

Vigas decontraventamento

(a) (b) (c)

Figura 2.17 - Exemplos de vigas-parede com extremidades engastadas (Subedi, 1994).

(Unidade: mm)

Figura 2.18 - Detalhes das vigas testadas por Schütt (Cusens, 1990).

30

Figura 2.19 - Isostáticas e distribuição das tensões yσ , xσ e xyτ em vigas-parede

com "/h = 1.0, com e sem enrijecimento dos apoios (Leonhardt e Mönning, 1979).

31

31

2.10 - INFLUÊNCIA DA POSIÇÃO DO CARREGAMENTO

Uma série de testes realizados por Besser (1983) e Cusens e Besser (1985) foi utilizada

para a avaliação dos efeitos, na resistência última de vigas-parede de pequena espessura, de

diferentes combinações de cargas agindo no topo e na base de tais vigas. Este trabalho

constitui-se na pesquisa mais abrangente relatada sobre o tema (Cusens, A. R., 1990).

Detalhes da armadura e as dimensões das dezessete vigas testadas encontram-se na Figura

2.20. Todas possuíam igual geometria e armadura principal, porém, diferentes taxas de

armadura transversal, com diferentes espaçamentos. Na Tabela 2.2 abaixo encontram-se o

espaçamento dos estribos verticais, a taxa de armadura vertical e a notação da viga; na Tabela

2.3 encontram-se listadas as cinco combinações de carregamento.

NOTAÇÃODA VIGA

ESPAÇAMENTO DAARMADURA VERTICAL (mm)

TAXA DE ARMADURA VERTICALρ t (%)

W1 74 1.06

W 2 98 0.80

W 3 56 1.40

W 4 - 0.0

W 5 39 2.0

Tabela 2.2 - Notação, espaçamento e taxa da armadura vertical das vigas ensaiadas.

NOTAÇÃO DOCARREGAMENTO

COMBINAÇÃO DE CARGA

L 1 carga uniformemente distribuída no topo da viga

L 2 carga uniformemente distribuída aplicada na base

L 3 combinação de cargas no topo e na base na razão 1:1

L 4 combinação de cargas no topo e na base na razão 2:1

L 5 combinação de cargas no topo e na base na razão 1:2

Tabela 2.3 - Cinco combinações de carregamento utilizadas.

32

Dimensões em mm

Figura 2.20 - Dimensões e detalhes de armadura das vigas-parede de pequena espessura testadas por Besser (1983) e Cusens e Besser (1985).

Apesar das diferenças na armadura vertical, os modelos de fissuração são similares para

as vigas W1, W2 e W3 sob carregamento L1. Sob carregamento L2 , o desenvolvimento de

fissuras em todas as vigas (W1 a W5 ) é largamente influenciado pela quantidade dessa

armadura. O espaçamento médio entre fissuras na seção vertical central das vigas varia com o

espaçamento da armadura vertical. A Figura 2.21 mostra que para grandes taxas dessa

armadura, o espaçamento médio entre fissuras horizontais é reduzido.

Sob cargas no topo e na base combinadas, o modelo de fissuração é influenciado tanto

pela razão entre os carregamentos do topo e da base quanto pela taxa de armadura vertical.

33

A maior abertura de fissura, para as amostras carregadas no topo (L1), foi gerada por

uma fissura diagonal, e, para as carregadas na base, por uma fissura horizontal. A Figura 2.22

apresenta as máximas aberturas de fissura para o carregamento L1. Para as três vigas testadas,

esta medida foi feita a uma altura de 250 mm da base. Examinando-se a Figura 2.22, a abertura

máxima de fissura parece ter se desenvolvido muito similarmente nas vigas W1e W2 .

Espaçamento da armadura vertical (mm)

Porcentagem de armadura vertical

Figura 2.21 - Efeito da armadura vertical sobre o espaçamentomédio das fissuras sob carregamento na base (L2 ).

34

Abertura de fissura (mm)

Figura 2.22 - Desenvolvimento da abertura de fissura para vigas carregadas no topo (L1).

Os valores de abertura máxima de fissura para as vigas sob carregamento L2 estão

resumidos na Figura 2.23, e, para carregamento L3 , na Figura 2.24. Pelas duas figuras,

percebe-se que quando a carga é aplicada na base, a abertura de fissura é diretamente

dependente da quantidade de armadura vertical.

O Guia da CIRIA (1977) apresenta recomendações de projeto para vigas-parede

carregadas no topo e na base simultaneamente. Além disso, recomenda arranjos particulares

de armadura de cisalhamento para casos de cargas aplicadas na base.

O ACI 318-95 não tem nenhuma disposição especial para carregamento aplicado na

base e, geralmente, é muito conservativo para as vigas carregadas no topo (Cusens, A. R.,

1990).

35

Abertura de fissura (mm)

Figura 2.23 - Desenvolvimento da abertura de fissura para vigas carregadas na base (L2 ).

Abertura de fissura (mm)

Figura 2.24 - Desenvolvimento de abertura de fissura paravigas carregadas igualmente no topo e na base (L3 ).

36

2.11 - INFLUÊNCIA DE ABERTURA NA ALMA

Em várias formas de construção, aberturas na região da alma de vigas-parede são

algumas vezes preparadas para serviços essenciais e acessibilidade.

Embora testes em vigas de concreto forneçam recomendações utilizáveis na resistência

de vigas-parede com furos, os dados assim desenvolvidos não fornecem informações

compreensivas de distribuição de tensões em regiões críticas.

O guia de projeto de vigas-parede da CIRIA, tratando do projeto e detalhamento de

aberturas de alma, foi principalmente baseado em dados da literatura publicada, percepção

intuitiva para a distribuição das tensões e experiências de construção. Essas aproximações

tendem a ser cautelosas na falta de dados adequados de testes (Ray, S. P., 1990).

M. Haque, Rasheeduzzafar e A. H. J. Al-Tayyib (1986) realizaram um programa de

testes, utilizando técnicas fotoelásticas, envolvendo 13 vigas-parede, para estabelecer os

efeitos da relação "/h, da presença das aberturas (furos) e da posição das mesmas na

distribuição de tensões. O vão das vigas, a posição das cargas aplicadas e o tamanho e a forma

das aberturas foram mantidas invariantes para o programa. Desta pesquisa concluiu-se que o

modelo do fluxo de tensões para as vigas com furos é diferente do de vigas de alma sólida

somente na região em torno da abertura. O efeito da abertura de alma em termos do

crescimento das tensões de flexão críticas foi significante somente nas vigas mais baixas

("/h = 2.0) das séries de teste, tornando-se desprezível nas vigas mais altas ("/h = 1.46 e 1.0).

A localização da abertura de alma é o principal fator que influencia os níveis de tensão e a

resistência da viga.

A título de ilustração, pode ser visto na Figura 2.25 a trajetória de tensões para o

modelo testado M4 (Haque et al., 1986).

37

Figura 2.25 - Trajetória de tensões para uma viga-paredecom abertura de alma (modelo M4 (Haque et al., 1986)).

Na Figura 2.26 encontram-se modelos de fissuração na ruptura de típicas vigas-parede

com aberturas de alma sob a ação de dois pontos de carga, um a 1/3 e outro a 2/3 do vão. Na

Figura 2.26.a as aberturas são retangulares e, na Figura 2.26.b, circulares. Nos dois casos, as

primeiras fissuras inclinadas visíveis geralmente aparecem na região dos apoios e a partir das

bordas das aberturas a cargas que variam entre 36 e 55% da carga última. As fissuras de

flexão aparecem em pouca quantidade e geralmente ocorrem entre 60 e 95% da carga última.

A ruptura ocorre a partir da fissura diagonal, por cisalhamento. Dos dois tipos de abertura

considerados, o circular é mais efetivo na transmissão da carga e apresenta fissuração

diagonal bem definida. Este tipo, portanto, pode ser recomendado em projeto.

38

(a)Viga-parede com aberturas

retangulares na alma.

(b)Viga-parede com aberturas

circulares na alma.

Figura 2.26 - Modelos de fissuração na ruptura.

Ray, S. P. (1990) salienta que os fatores que afetam o comportamento e o

desempenho de vigas-parede com aberturas de alma são:

i. Relação "/h da viga;

ii. Propriedades da seção transversal (retangular, T, etc);

iii. Quantidade e localização da armadura longitudinal principal;

iv. Quantidade, tipo e posição da armadura de alma;

v. Propriedades do concreto e das armaduras;

vi. Relação a/h da viga;

vii. Tipo e posição do carregamento;

viii. Tamanho, forma e localização da abertura de alma.

Pode-se perceber que os fatores acima listados são os mesmos que influenciam o

comportamento de uma viga-parede sem furos, sendo acrescentados, somente, os parâmetros

relacionados à própria abertura de alma.

39

2.12 - MODELOS DE BIELAS E TIRANTES

Alguns métodos de dimensionamento de vigas-parede, como a Norma Canadense

CAN3-A23.3-M84 (1984), o Método do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado (Siao, 1993) e

o Código Modelo CEB-FIP (1990) baseiam-se no modelo de bielas e tirantes. Os dois

primeiros métodos serão descritos mais adiante; contudo, para que eles sejam melhor

compreendidos, o conceito de modelos de bielas e tirantes já será aqui descrito.

a. Definição - Os modelos de bielas e tirantes são representações dos campos de tensão

discretizados nos elementos estruturais de concreto armado. As bielas são idealizações dos

campos de tensão de compressão no concreto, e os tirantes, dos campos de tensão de tração

que são usualmente absorvidos pelas barras da armadura. O modelo idealizado, que é uma

estrutura de barras de treliça, concentra todas as tensões em barras comprimidas e tracionadas

ligando-as através de nós. Um nó pode ser definido como um volume de concreto que envolve

as interseções das bielas comprimidas, em combinação com forças de ancoragem e/ou forças

de compressão externas (ações concentradas ou reações de apoio).

b. Considerações Gerais - As vigas-parede são classificadas como regiões de perturbação

(regiões descontínuas) (Schlaich et al., 1987), as quais são caracterizadas por uma

distribuição não linear de deformação. Soluções elásticas de vigas-parede fornecem uma boa

descrição de seu comportamento antes da fissuração (Leonhardt e Walther, 1966), mas,

depois da fissuração, uma importante redistribuição de tensões ocorre e a capacidade da viga

deve ser prevista pela análise inelástica, como o modelo de bielas e tirantes, recentemente

aperfeiçoado (Marti, 1985; Rogowsky e MacGregor, 1988; Siao, 1993) (Ashour e Morley,

1996).

A utilização de modelos de treliça no dimensionamento de estruturas de concreto

armado foi inicialmente proposta por Ritter (1899) e Mörsch (1909), na virada para o século

XX. Após décadas de estudos, vários pesquisadores sugeriram modificações no modelo

original, visando implementá-lo e adequá-lo aos resultados experimentais. O primeiro

desenvolvimento importante foi a generalização do ângulo de inclinação das bielas de concreto

(inicialmente considerado de 45°), por Lampert e Thurlimann (1968). Esta teoria ficou

40

conhecida como o “modelo de treliça de ângulo variável”. O segundo desenvolvimento foi a

dedução da equação de compatibilidade por Collins (1973) para determinar o ângulo de

inclinação das bielas de concreto. Como este ângulo é suposto coincidir com o ângulo de

inclinação da tensão e da deformação principal de compressão, esta teoria é também conhecida

como a “teoria do campo de compressão”. Nesta, a condição de deformação média deveria

satisfazer o círculo de deformações de Mohr e a tensão nas bielas de concreto deveria

satisfazer o círculo de tensões de Mohr. O terceiro desenvolvimento foi a percepção do

“amolecimento” das bielas de concreto por Robinson e Demorieux (1968) e a quantificação

desse fenômeno por Vecchio e Collins (1981). Vecchio e Collins propuseram uma curva

tensão-deformação com amolecimento, na qual o efeito do amolecimento depende da razão

das duas deformações principais (Mau e Hsu, 1990).

Conhecendo-se um modelo adequado para uma determinada região de uma estrutura,

as forças nas bielas e nos tirantes serão automaticamente calculadas através do equilíbrio entre

forças externas e internas. O dimensionamento dos tirantes e a verificação do concreto das

bielas e nós são feitos de modo que eles suportem estas forças atuantes. É importante assinalar

que a resistência do concreto nos campos de compressão depende, substancialmente, do seu

estado multiaxial de tensões e das perturbações causadas pelas fissuras e armaduras.

O comportamento e funcionamento estrutural das vigas-parede são fortemente

influenciados pelo tipo e ponto de aplicação das ações e pelas condições de vinculação. A

modelagem deve ser feita, então, em função desses parâmetros.

A geometria do modelo pode ser obtida analisando-se:

• os tipos de ações atuantes;

• os ângulos entre as bielas e os tirantes;

• a área de aplicação das ações e das reações;

• o número de camadas da armadura;

• o cobrimento da armadura.

A abordagem convencional para o cálculo da resistência ao cisalhamento de vigas-parede conta com algumas equações empíricas em códigos de projeto como o ACI 318-95 e o

41

Guia da CIRIA. Em ambos os códigos, a resistência última ao cisalhamento compreende duas

partes a contribuição do concreto, Vc , e a contribuição da armadura de alma, Vs . Para a

avaliação das duas contribuições, os códigos apresentam equações separadas. O cálculo da

resistência ao cisalhamento torna-se, portanto, a soma das parcelas representantes dessas

contribuições (Vc + Vs ) multiplicada por um fator de segurança considerado adequado. Desta

maneira, os referentes códigos assumem que ambas as contribuições são de natureza distinta e

não interferem e nem interagem uma com a outra. Esta aproximação direta é largamente aceita,

pois gera uma avaliação rápida da resistência ao cisalhamento da viga-parede e, também,

convenientemente, libera o engenheiro estrutural de fazer qualquer suposição sobre o critério

de ruptura do concreto (Tan et al., 1997).

Embora essa aproximação convencional seja de fácil aplicação, ela não gera uma

interpretação física da complexa relação entre Vc e Vs . Para o projeto em estruturas de

concreto, o método de bielas e tirantes é considerado uma aproximação mais racional,

aplicável a qualquer forma estrutural, o que dá ao engenheiro uma visão do fluxo das forças

internas nos membros estruturais.

c. Processo do Caminho de Carga - Modelos de bielas e tirantes podem ser sistematicamente

desenvolvidos através do fluxo de cargas dentro da estrutura pelo processo do caminho de

carga. Na Figura 2.27 encontra-se um exemplo de aplicação do processo do caminho de carga

em uma viga-parede. O equilíbrio externo da estrutura deve ser sempre satisfeito, assim como

o interno (equilíbrio dos nós). A ação de carregamento distribuído deve ser substituída por

forças concentradas equivalentes. Duas cargas opostas devem ser interligadas por caminhos

de carga os mais curtos possíveis; as curvaturas existentes nesses caminhos representam

concentrações de tensões. Após desenhar todos os caminhos de carga entre as cargas

externas, deve-se substituí-los por linhas de um polígono e equilibrar os nós, formando o

modelo.

d. Dimensionamento das bielas, dos tirantes e dos nós - O dimensionamento das bielas e

dos tirantes não consiste somente na definição da seção necessária para absorver as forças

atuantes. Deve-se também assegurar a transferência das forças entre eles através da verificação

das regiões do nó. A resistência das bielas que chegam aos nós e dos tirantes neles ancorados

42

depende do detalhamento escolhido para o nó. Isto ocorre porque o detalhe do nó definido

pelo projetista afeta o fluxo de forças. Caso o seu detalhamento seja modificado, por questões

construtivas, o seu dimensionamento também deverá ser revisto. A título de ilustração serão

mostrados abaixo alguns modelos de bielas e tirantes para vigas-parede simplesmente apoiadas,

submetidas a ações no bordo superior.

Figura 2.27 - Exemplo de aplicação do processo do caminho de carga em uma viga-parede:(a) A estrutura e suas ações no contorno;(b) O caminhamento das ações externas;(c) As linhas do polígono;(d) O modelo;(e) O equilíbrio dos nós.

e. Modelos para vigas-parede simplesmente apoiadas

Nas figuras mostradas a seguir, para os modelos apresentados, as linhas pontilhadas

43

representam as bielas e as cheias, os tirantes. Para as trajetórias de tensões elásticas, as tensões

de compressão são ilustradas pelas linhas pontilhadas e as de tração, pelas linhas cheias.

Ação Uniformemente Distribuída no Bordo Superior - As trajetórias de tensões elásticas

devidas a este tipo de ação são mostradas na Figura 2.28.a. A Figura 2.28.b apresenta a

distribuição de tensões horizontais nas seções verticais no meio do vão, e, a Figura 2.28.c, a

configuração fissurada obtida em ensaios.

(a) (b) (c)

Figura 2.28 - Viga-parede sob carregamento uniformemente distribuído no bordo superior.

O modelo utilizado neste caso pode ser o da Figura 2.29.a, em que a ação

uniformemente distribuída é dividida em duas partes e substituída por forças concentradas

equivalentes. No modelo refinado da Figura 2.29.b, a ação é dividida em quatro partes. Para se

obter as forças nas bielas e nos tirantes torna-se necessário definir geometricamente o modelo,

através do ângulo θ ou do braço de alavanca z. Na Figura, Rc1 e Rc2 são a força na biela

horizontal e na biela inclinada, respectivamente; Rst é a força no tirante e (g + q), a soma da

carga permanente com a carga acidental atuante. Schlaich e Schaefer (1989) mostram que o

braço de alavanca z varia linearmente de 0.6" para "h ≤ 1 até 0.34" para "h = 2. Assim, o

ângulo θ varia de 68° para "h ≤ 1 até 55° para "h = 2.

44

Força Concentrada Aplicada no Bordo Superior - As trajetórias de tensões elásticas

devidas à força concentrada são apresentadas na Figura 2.30.a. A Figura 2.30.b apresenta a

configuração fissurada obtida em ensaios, segundo MacGregor (1988).

Figura 2.29 - Modelos para vigas-parede sob ação de carregamentouniformemente distribuído no bordo superior:

(a) Modelo simplificado;(b) Modelo refinado.

Figura 2.30 - Viga-parede submetida à ação de uma força concentrada:(a) Trajetórias de tensões elásticas;(b) Configuração fissurada.

Na Figura 2.31.a encontra-se a distribuição de tensões horizontais no meio do vão

para vigas-parede com relação "h > 1 e, na Figura 2.31.b, para "

h < 1. No segundo caso,

45

surgem tensões de tração significativas próximas à extremidade superior da viga por causa da

introdução da carga. Schlaich e Schaefer (1989) sugerem a utilização de modelos diferentes

dependendo da relação "h . A Figura 2.32.a apresenta um modelo simplificado para "

h ≥ 1 e

a Figura 2.32.b apresenta um modelo refinado.

Figura 2.31 - Distribuição de tensões horizontais no meio do vão,

para força concentrada: (a) "h > 1 e (b) "h < 1.

Figura 2.32 - Modelos para vigas parede com "h ≥ 1:

(a) Modelo simplificado;(b) Modelo refinado.

46

A Figura 2.33 mostra modelos para 0.5 < "h < 1 (a) e "h ≤ 0.5 (b). No modelo

ilustrado na Figura 2.33.a, o braço de alavanca z2 varia linearmente de 0.23" para "h = 1 até

0.44" para "h = 0.5. Para o modelo da Figura 2.33.b pode-se adotar z2 = 0.48" . Para todos

os quatro modelos apresentados o ângulo θ varia linearmente de 68° para "h ≤ 0.8 até 41°

para "h = 2.

Figura 2.33 - Modelos para vigas parede com "h < 1:

(a) 0.5 < "h < 1 ;

(b) "h ≤ 0.5.

2.13 - MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO DE VIGAS-PAREDE

Neste item serão descritos vários métodos de dimensionamento de vigas-parede

disponíveis na literatura. Alguns deles (Método do Boletim 150 do CEB, a Analogia da Treliça

e o Método de Kong) serão brevemente resumidos, pois já foram descritos e utilizados para

comparação de resultados em trabalhos anteriores (Guimarães, 1980; Vasconcelos, 1982;

47

Velasco, 1984). Os métodos do CEB-FIP (1978), do Guia 2 da CIRIA e do ACI, apesar de

também já terem sido descritos e utilizados para comparação de carga última, serão resumidos

mais detalhadamente, pois serão alvo de comentários no Capítulo V, por serem códigos de

projeto reconhecidos mundialmente.

O Código Canadense CAN3-A23.3-M84 (1984), o Método do Modelo de Treliça com

Amolecimento para previsão da resistência ao cisalhamento (Mau e Hsu, 1989), o Método de

projeto baseado no conceito do Caminho da Força Compressiva (Kotsovos, 1988), o Método

de Análise para Vigas-parede Biapoiadas (Subedi, 1988) e o Método do Modelo de Bielas e

Tirantes Refinado (Siao, 1993) serão explicados mais detalhadamente e, no Capítulo IV, serão

apresentados os valores de carga última obtidos por esses métodos e os obtidos

experimentalmente, para as vigas ensaiadas por Velasco (1984), Vasconcelos (1982) e

Guimarães (1980). Os resultados serão analisados no Capítulo V. Os valores de carga última

considerados são sempre os nominais, não havendo, portanto, a incorporação, nos cálculos, de

nenhum coeficiente de segurança.

2.13.1 - Método apresentado no Boletim nº 150 do CEB

No boletim n° 150 do CEB é apresentado por Schlaich e Weischede um método que

permite calcular qualquer tipo de estrutura de concreto armado. A idéia constitui-se em dividir

a estrutura em elementos que são dimensionados separadamente e depois unidos. Os autores

elaboraram um catálogo onde são encontrados diversos tipos de elementos apresentando

condições de contorno diferenciadas e submetidos às mais variadas solicitações. Com o auxílio

desse catálogo pode-se determinar a melhor maneira de proceder à divisão e escolha dos

elementos mais apropriados para cada situação. A partir das trajetórias das tensões principais,

determinadas pela Teoria da Elasticidade, uma treliça isostática básica, a qual pode ser

refinada, se necessário, é associada a cada elemento. A treliça em questão permite o

dimensionamento à ruptura (Schlaich e Weischede, 1982).

48

2.13.2 - Método da Analogia da Treliça

As fórmulas desenvolvidas com base na analogia da treliça avaliam a resistência última

das vigas-parede submetidas a cargas concentradas ou distribuídas aplicadas no bordo

superior, considerando vários mecanismos de ruptura. Na dedução das equações, várias

hipóteses são admitidas. A carga correspondente à ruína da viga é determinada a partir da

análise da ruptura de cada um dos elementos da treliça. Pode ocorrer ruptura do banzo

tracionado ou ruptura das diagonais comprimidas (Kumar, 1976).

2.13.3 - Fórmula de Kong

F. K. Kong, P. J. Robins, A. Singh e G. R. Sharp (1972) propuseram uma fórmula

baseada nos resultados experimentais de 135 vigas-parede simplesmente apoiadas, incluindo

vigas de concreto leve, submetidas a cargas aplicadas no bordo superior, para determinação do

esforço cortante último em tais vigas. A fórmula relaciona as principais variáveis que

influenciam na resistência ao cisalhamento e estabelece que tal resistência é obtida superpondo-

se as resistências oferecidas pelo concreto e pela armadura.

2.13.4 - Método apresentado no Guia 2 da CIRIA

O Guia 2 da CIRIA apresenta as “Regras Simples” para vigas-parede submetidas a

carga uniformemente distribuída e as “Regras Suplementares” para as submetidas a cargas

concentradas, carregamento indireto e apoios indiretos. Contudo, serão consideradas aqui

somente as regras utilizadas para as vigas submetidas a cargas concentradas no bordo superior.

Para vigas-parede com " ha ≤ 1.5, onde ha é o menor valor entre h e " , de acordo

com as recomendações da CIRIA, não se torna necessária a verificação da resistência do

concreto na região comprimida devido à flexão. A capacidade resistente da viga pode ser

limitada pelas tensões admissíveis no apoio. Se " ha ≥ 1.5, o momento aplicado deve satisfazer

49

a equação abaixo, na qual M é o momento aplicado e f c' é a resistência cilíndrica à

compressão do concreto.

M < 0.12 f c' b ha

2 (2.1)

A armadura principal de tração é calculada pela expressão As = Mf zsy

, onde f sy é a

tensão de escoamento do aço utilizado. Para vigas-parede biapoiadas, o braço de alavanca z

entre as resultantes de tração e de compressão é obtido de forma aproximada no regime

elástico, através da expressão (2.2) abaixo:

z = 0.2" + 0.4ha para " / h < 2.0 (2.2)

O esforço de tração T a ser resistido pela armadura principal é obtido, então, pela

expressão

T = M

z (2.3)

A resistência última ao cisalhamento não é a mesma se a carga estiver aplicada no

bordo superior, no bordo inferior, ou de maneira indireta. Deve-se verificar a interação dos

carregamentos combinados.

A carga última para vigas-parede com cargas concentradas aplicadas no bordo superior

é obtida por meio da fórmula (2.4), similar à Fórmula de Kong. Os valores dados aos

coeficientes C1 e C2 abaixo são nominais, não havendo a incorporação de nenhum coeficiente

de segurança, pois a procura está sendo pelo esforço último nominal.

Vu = C1 1 0 35−

. 'x

hf bh

ac a

+ C2 Ay

h

n

a1

2∑ sen α (2.4)

50

na qual Vu = esforço cortante último em N;

C1 = coeficiente empírico igual a 1.4 para concreto normal e 1.0 para concreto leve;

C2 = coeficiente empírico igual a 130 N/mm2 para barras lisas e 300 N/mm2 para

barras nervuradas;

A = área, em cm2 , da barra que intercepta a linha que liga a face interna do apoio à

face externa da placa de aplicação de carga, denominada diagonal crítica;

n = número total de barras que interceptam a linha definida acima, incluindo as

barras da armadura principal;

α = ângulo formado entre a barra e a diagonal crítica (α ≤ π/2);

y = distância do ponto de interseção de cada barra da armadura com a diagonal

crítica ao bordo superior, mostrada na Fig. 2.34.

A carga última total (PU) é dada por 2Vu.

x

BARRA DAARMADURA

αh

y

Figura 2.34 - Definição dos parâmetros da Equação (2.4).

A fórmula representada pela Eq. 2.4 relaciona as principais variáveis que influenciam

na resistência ao cisalhamento e estabelece que a resistência ao cisalhamento da viga é obtida

superpondo-se as resistências oferecidas pelo concreto e pela armadura. A contribuição do

concreto está representada pelo primeiro termo da equação. A quantidade C 1 f c' bha é uma

medida da capacidade da biela comprimida entre o apoio e o ponto de aplicação de carga. O

51

termo 1 0 35−

.

x

ha

representa a influência da relação x

ha

. A contribuição da armadura está

representada pelo segundo termo da equação. Quando o vão de cisalhamento é muito pequeno

é provável que as tensões admissíveis no apoio limitem a resistência última ao cisalhamento.

2.13.5 - Recomendações do CEB-FIP (1978)

É recomendado pelo CEB-FIP, para o dimensionamento de vigas-parede simplesmente

apoiadas submetidas a qualquer tipo de carregamento, um método de cálculo no qual a

resistência à flexão é tratada mais detalhadamente do que a de cisalhamento.

O cálculo da armadura principal de tração é feito a partir da determinação do braço de

alavanca z entre as forças resultantes de tração e de compressão, de forma aproximada no

regime elástico, através das expressões

z = 0.2 (" + 2h) para 1 ≤ " / h < 2

(2.5)

z = 0.6 " para " / h < 1

O esforço de tração T a ser resistido pela armadura é obtido, então, pela expressão

T = M

z (2.6)

onde M é o momento fletor máximo.

A resistência última ao cisalhamento deve ser limitada ao menor dos valores obtidos

pelas duas expressões a seguir:

V u cbhf= 0 10. '

(2.7)

V u cblf= 0 10. '

52

O método visa a segurança das vigas-parede com respeito ao estado limite último e aos

estados limites de utilização (principalmente o estado de fissuração).

2.13.6 - Método apresentado pelo Código Canadense CAN3-A23.3-M84

2.13.6.1 - Proposta e idéia

O Código Canadense de Concreto permite, para cisalhamento, o uso de dois métodos

de projeto alternativos: o método simplificado e o método geral. Para membros estruturais

como as vigas-parede, contudo, só é permitido o uso do método geral, o qual é baseado na

teoria do campo de compressão, nos conceitos de plasticidade e nos modelos de treliça.

A resistência de membros em cisalhamento ou em cisalhamento combinado com torção

pode ser determinada satisfazendo-se as condições aplicáveis de equilíbrio e de compatibilidade

de deformações, e pelo uso apropriado das relações de tensão-deformação para a armadura e

para o concreto fissurado diagonalmente. As dimensões da seção transversal devem ser

escolhidas de modo a garantir que o concreto fissurado diagonalmente seja capaz de resistir às

tensões compressivas inclinadas. Armaduras longitudinal e transversal capazes de equilibrar

este campo de compressão diagonal devem ser providenciadas (Collins e Mitchell, 1986).

2.13.6.2 - Condições apresentadas pelo código

a. Resistência à flexão - Para projeto de flexão, a viga-parede é definida como uma viga na

qual a relação "0 /h é menor do que 1.25, no caso de vigas simplesmente apoiadas, e, menor

do que 2.5, para vigas contínuas.

b. Armadura mínima de tração - A taxa de aço da armadura principal (ρs) não deve ser

menor do que ρ min da Eq. 2.8 abaixo:

ρ min = 1.4 /f sy (2.8)

53

onde

ρ min = A bds , As é a área da armadura principal de tração, b é a espessura da viga, d

é a altura útil e f sy é a resistência do aço, dada em N/mm2.

c. Armadura de alma - Um sistema de armadura de alma ortogonal é requerido, com barras

em cada face. A área mínima de armadura horizontal e vertical deve satisfazer a Eq. 2.9:

A bsv v ≥ 0.2% (2.9.a)

A bsh h ≥ 0.2% (2.9.b)

onde

Av é a área total da armadura de alma vertical dentro do espaçamento sv , o qual não

deve exceder d/5 e nem 300 mm, e Ah é a área total da armadura de alma horizontal dentro

do espaçamento sh , o qual não deve exceder d/3 e nem 300 mm.

d. Resistência ao cisalhamento - O Código Canadense usa o conceito de relação vão de

cisalhamento/altura da viga e não o de relação vão/altura. As provisões para cisalhamento se

aplicam àquelas partes do membro estrutural, nas quais:

i. A distância do ponto de cisalhamento zero até a face do apoio é menor do que 2d; ou

ii. A carga que causa mais do que 50 % do cisalhamento num apoio é localizada a menos de

2d da face do apoio.

Os cálculos são baseados no modelo de treliça consistindo de bielas e tirantes,

conforme mostrado na Figura 2.35. Os parâmetros presentes nesta Figura serão definidos a

seguir.

A menos que uma armadura especial de confinamento seja providenciada, as tensões

compressivas do concreto nas zonas nodais, definidas como as regiões nas quais há o encontro

de bielas e tirantes (Figura 2.35), não devem exceder, em projeto: 0.85φ c cf ' em zonas nodais

contornadas somenter por bielas de compressão; 0.75φ c cf ' em zonas nodais ancorando um

tirante, ou 0.60φ c cf ' em zonas nodais ancorando tirantes em mais de uma direção, onde φ c é

54

um fator de resistência do material, igual a 0.6 para concreto, e fc' é a resistência à compressão

cilíndrica do concreto.

Fluxo de forças Vista da extremidade Modelo de treliça (a) (b) (c)

Figura 2.35 - Modelo de bielas e tirantes para uma viga-parede.

As condições limites de tensão das zonas nodais, juntamente com as condições de

equilíbrio, determinam a geometria da treliça, tal como a altura das zonas nodais e as forças

agindo nas bielas e tirantes. A principal armadura de tração é determinada a partir da força do

tirante. Essas barras da armadura devem ser efetivamente ancoradas para transferir a tração

requerida para as zonas nodais inferiores da treliça, para garantir o equilíbrio. O código, então,

requer a checagem das bielas contra um possível esmagamento do concreto, conforme abaixo:

f f max2 2< (2.10)

onde

f2 é a tensão máxima na biela de concreto, e f max2 é a resistência ao esmagamento

diagonal do concreto, dada por:

f max2 = λ φ c cf ' / (0.8 + 170 ε 1) (2.11)

55

onde λ é um fator de modificação para levar em conta o tipo de concreto, (λ = 1.0 para

concreto normal) e ε 1é a deformação principal de tração, cruzando a biela. A Eq. 2.11

considera o fato de que a existência de uma grande deformação principal de tração reduz

consideravelmente a habilidade do concreto de resistir às tensões de compressão.

Para propósitos de projeto, ε 1 pode ser computada como:

ε ε ε θ120 002= + +x x tg( . ) (2.12)

onde

ε x é a deformação longitudinal do aço e θ é o ângulo de inclinação das tensões

diagonais de compressão com o eixo longitudinal do membro (Figura 2.35).

2.13.7 - Recomendações do ACI 318-95

Ao contrário do método proposto pelo CEB-FIP (1978), o ACI considera mais

detalhadamente a resistência ao cisalhamento. As fórmulas propostas, para o dimensionamento

ao cortante apenas, aplicam-se às vigas-parede simplesmente apoiadas sujeitas a cargas

aplicadas no bordo superior e consideram os principais fatores que influenciam essa resistência.

A resistência total é dada a partir da superposição das resistências oferecidas pelo concreto e

pela armadura de alma.

A tensão de cisalhamento resistida pelo concreto (vc) é determinada a partir da equação

abaixo:

v c = 3 5 2 5. .−

M

V du

u

0158 2500. 'fV d

Mc s

u

u

+

ρ ≤ 0.5 fc

' (2.13)

na qual deve-se ter

3 5 2 5. .−

M

V du

u

≤ 2.5 (2.14)

56

e M u e V u (momento fletor último e esforço cortante último, respectivamente) calculados na

seção crítica situada, para cargas concentradas, no centro da distância horizontal entre o ponto

de aplicação da carga e a face interna do apoio, e, para cargas distribuídas, a 0.15" 0 a partir

da face interna do apoio.

Na Eq. (2.13) deve-se utilizar f c' em N/mm2, obtendo-se vc também em N/mm2.

O segundo termo entre colchetes da Eq. (2.13) representa o esforço cortante

correspondente à formação da primeira fissura inclinada e o primeiro termo representa a

capacidade resistente da viga acima do esforço cortante responsável pela formação da fissura

referida anteriormente.

A tensão total de cisalhamento (vu) é dada por

v u = V

bdu (2.15)

Deve-se ter

v u ≤ 0.67 fc' para

l

d0 < 2

(2.16)

v u ≤ 1

18 (10 +

l

d0 ) fc

' para 2 ≤ l

d0 ≤ 5

Nas Eqs. (2.16), f c' deve ser dado em N/mm2, obtendo-se vu também em N/mm2.

Quando a tensão v c é menor do que a tensão v u , a armadura de alma deve ser tal que

a equação abaixo seja satisfeita:

( )A

s

l d A

s

l d v v b

fv

v

h

h

u c

y

1

12

11

120 0+

+−

=−/ /

(2.17)

57

onde

f y = tensão de escoamento da armadura de alma;

sv = espaçamento entre os estribos verticais;

sh = espaçamento entre os estribos horizontais;

Av = área dos estribos verticais no espaçamento sv ;

Ah = área dos estribos horizontais no espaçamento sh .

A contribuição da armadura de alma, avaliada pela Eq. (2.17), é desenvolvida levando-

se em conta o encaixe do agregado ao longo de uma fissura inclinada conhecida e

considerando o coeficiente de atrito igual a 1 (um).

O uso da armadura de alma é obrigatório e ela deve ser disposta de maneira a formar

uma malha ortogonal, observando-se os valores mínimos recomendados.

2.13.8 - Método do Caminho da Força Compressiva

2.13.8.1 - Proposta e idéia

É proposto por Kotsovos (1988) o dimensionamento de uma viga-parede a partir do

conceito do “caminho da força compressiva”, que estabelece que a capacidade de suporte de

carga de uma viga está associada com a resistência do concreto na região do caminho ao longo

do qual a força de compressão é transmitida aos apoios.

No método em questão, é feito um equilíbrio de forças e de momento, a partir de um

modelo de bielas e tirantes.

58

2.13.8.2 - Modelagem da viga-parede

O fluxo de tensões de compressão possui uma parte horizontal e outra inclinada, ou

seja, é bilinear, e é considerado ter uma seção transversal retangular com uma espessura igual à

espessura da viga. A altura da porção horizontal pode ser avaliada de forma tal que a força de

compressão se iguale à força suportada pela armadura de tração.

Uma altura razoável para o fluxo de tensões da parte inclinada é considerada ser a/3,

onde a é o vão de cisalhamento; se a/3 for menor do que a largura efetiva do apoio, deve ser

substituído pela largura do apoio. Na Figura 2.36 encontra-se o modelo proposto para vigas-

parede sob (a) uma carga concentrada e (b) duas cargas concentradas e/ou carregamento

uniforme. Na referida figura, C representa a força de compressão na biela horizontal, T

representa a força de tração na armadura principal e x representa a altura da biela horizontal.

(a) (b)

Figura 2.36 - Modelo para uma viga-parede sob a ação de(a) uma carga concentrada e(b) duas cargas concentradas e/ou carregamento uniforme.

59

2.13.8.3 - Método de projeto

Uma viga-parede irá suportar a ação de uma carga aplicada se as ações internas

resultantes puderem ser seguramente sustentadas pelos membros do modelo proposto. O

objetivo do procedimento de projeto, portanto, deve ser o de obter as dimensões desses

membros.

Para o caso de dois pontos de carga, tem-se o seguinte procedimento:

a. Assumindo que b e d são dados, avalie a altura (x) da porção horizontal do fluxo de tensões

de compressão, satisfazendo a condição de equilíbrio do momento em relação à intersecção

das direções da reação de apoio e da armadura principal de tração. Se a condição citada não

puder ser satisfeita com os valores de b e d fornecidos, os mesmos devem ser ajustados;

b. Considerando que a armadura de tração escoa antes que a capacidade de carga da porção

horizontal do fluxo de tensões é alcançada, avalie a quantidade de armadura de tração

requerida para satisfazer a condição de equilíbrio das ações internas horizontais;

c. Cheque se a componente vertical da força compressiva suportada pela porção inclinada do

fluxo de tensões é maior do que a força externa resistida pelo fluxo no apoio ou igual à mesma.

Se não, ajuste b e repita o processo.

O procedimento descrito acima está ilustrado na Figura 2.37. O mesmo procedimento

pode ser estabelecido para o caso de uma viga-parede biapoiada submetida a um carregamento

uniformemente distribuído, transformando-se esse carregamento em duas cargas concentradas

equivalentes ao mesmo, aplicadas a 1/3 e a 2/3 do vão da viga. Na figura, ϕ é o ângulo que

mede o declive da biela inclinada em relação à horizontal, definido pela geometria (tg ϕ = z/a).

60

a) Equilíbrio de momentos: Cz = Pa gera x;b) Equilíbrio das forças horizontais: T = C gera As ;

c) Checar se a/3 satisfaz o equilíbrio de forças verticais: Cϕ senϕ = PSe não, ajustar b e repetir o processo.

Figura 2.37 - Procedimento para dimensionamento de uma viga-parede.

2.13.9 - Método de Análise para Vigas-parede Biapoiadas Segundo Subedi

2.13.9.1 - Proposta e idéia

É proposto por Subedi (1988) um método geral, baseado no equilíbrio de forças na

ruptura numa seção da viga entre o apoio e o bordo interno da placa sobre a qual a carga está

aplicada, para a análise de vigas-parede de concreto armado, biapoiadas e de seção transversal

retangular. A principal suposição nessa análise é a de que as vigas-parede rompem

predominantemente pelo desenvolvimento de fissuras ao longo de um plano entre a carga e o

apoio. O método prevê o modo de ruptura da viga, considerado ser flexão, flexão-

cisalhamento ou cisalhamento (fendilhamento diagonal), avalia a contribuição da armadura

principal, determina se o controle da resistência da alma é feita pelo concreto ou pelo aço e

sua respectiva contribuição, e obtém a carga última.

61

2.13.9.2 - Descrição

A previsão do modo de ruptura e da carga última é sugerida a partir de três estágios.

Abaixo, segue-se um roteiro para a obtenção dessa previsão. O Estágio II será descrito

posteriormente de forma detalhada e o Estágio III será complementado. A análise do Estágio

I, por ser bem conhecida do projeto de vigas comuns, não será mais discutida.

Estágio I

(i) Assuma o modo de ruptura: flexão;

(ii) Use compatibilidade de deformações;

(iii) Determine a carga última Pu1 .

Estágio II

(i) Assuma o modo de ruptura: flexão-cisalhamento ou fendilhamento diagonal;

(ii) Use o critério mostrado na Tabela 2.4 para determinar se a resistência de alma é

controlada pelo concreto ou pela armadura;

(iii) Determine, a partir do equilíbrio das forças horizontais, a altura da zona de

compressão;

(iv) Use o critério apresentado na Tabela 2.5 para determinar o modo de ruptura:

flexão-cisalhamento ou fendilhamento diagonal (cisalhamento);

(v) Determine a contribuição da armadura principal;

(vi) Determine a carga última Pu2 .

Pu1 e Pu2 devem ser comparados: o menor valor dará a carga última prevista PU e o

correspondente modo de ruptura.

Estágio III

Para a carga última prevista, as tensões na placa sob as cargas aplicadas e as tensões no

apoio devem ser checadas e mantidas dentro de limites aceitáveis.

62

Método proposto para a análise do Estágio II

Na Figura 2.38 é mostrada uma seção de uma viga-parede. A seção transversal consiste

de uma zona de compressão, de altura tc , de uma zona de cisalhamento de altura hw e de uma

zona de tração localizada entre o bordo inferior da viga e o centróide da armadura principal.

As forças que mantém a seção em equilíbrio são:

Ftc - Força de fendilhamento diagonal normal ao plano de ruptura e que depende do limite

de resistência à tração f tc . Sua componente horizontal é igual à f bhtc we a vertical àf bxtc ;

Pc - Força compressiva na região superior da viga;

V - Força de cisalhamento vertical;

Pst - Força trativa horizontal, a qual consiste na contribuição da armadura principal de tração;

Ph e Pv - Forças horizontal e vertical, respectivamente, devidas à armadura de alma;

PU/2 - Reação de apoio.

Por equilíbrio de momentos, a carga última PU pode ser expressa por:

Ph x h t

xbf

h t

xP

h t

xP

x

xPU

w w ctc

w cst

w ch v=

+ ++

++

++

( ) ( ) ( )' ' ' '

2 2 2 (2.18)

A altura tc é calculada através do equilíbrio das forças horizontais, supondo-se um

bloco retangular de tensões de intensidade 0.67f c' ,

onde

f c' - resistência cilíndrica à compressão do concreto;

x’ - distância entre o centro do apoio ao bordo da placa de carregamento;

x - vão livre de cisalhamento.

Como a armadura de alma passa por compatibilidade de deformações, a componente

horizontal total da força de fendilhamento do concreto vale f bh A ftc w h s+ e a vertical vale

f bx A ftc v s+ , onde f sé a razão modular (E Es c ) multiplicada por f tc . Ah e Av são as áreas

das barras horizontais e verticais, respectivamente, que cruzam o plano de ruptura inclinado.

63

Figura 2.38 - Análise de uma viga-parede: equilíbrio de forças.

Teste f bh A ftc w h s+ f bx A ftc v s+ Resistência da alma é controlada

1 < A fh wy < A fv wy pela armadura

2 >ou >A fh wy

ou <

> < A fv wy

>

pelo concreto

Tabela 2.4 - Critério para teste de controle da resistência de alma.

Teste HSP(componente horizontal da força de

fendilhamento de alma)

Modo de rupturaprevisto

Contribuiçãoda armadura

principal

1> A fs sy

(ou seja, a armadura principal escoa)

flexão-cisalhamento

A fs sy

2

< A fs sy

(ou seja, a armadura principal não écompletamente efetiva)

fendilhamentodiagonal

(cisalhamento)HSP

Tabela 2.5 - Critério para teste do modo de ruptura:flexão-cisalhamento ou fendilhamento diagonal (cisalhamento).

64

Os critérios para teste de controle da resistência da alma e para a obtenção do modo de

ruptura estão expostos na Tabela 2.4 e na Tabela 2.5, respectivamente. O critério apresentado

na Tabela 2.4 irá determinar os componentes horizontal e vertical apropriados (HSP e VSP,

respectivamente) da força de fendilhamento de alma e o critério apresentado na Tabela 2.5 irá

determinar a contribuição da armadura principal. Nas referidas tabelas, f wy significa a tensão

de escoamento da armadura de alma, f sy significa a tensão de escoamento da armadura

principal e As representa a área da armadura principal de tração.

Carga última (PU)

A carga última é calculada pela Eq. (2.18). Os vários parâmetros da equação fazem

contribuições apropriadas para um caso específico de uma viga. Há quatro situações possíveis,

as quais são as seguintes:

Modo de ruptura

Controle da resistência de alma

flexão--cisalhamento

fendilhamentodiagonal

(cisalhamento)

pelo concretoP A f

P A f

P A f

st s sy

h h s

v v s

=

==

;

;

.

P f bh A f

P A f

P A f

st tc w h s

h h s

v v s

= +==

;

;

.

pela armadura

P A f

P A f

P A f

st s sy

h h wy

v v wy

=

=

=

;

;

.

λλ

1

2

f tc não contribuirá.

P A f

P A f

P A f

st h wy

h h wy

v v wy

=

=

=

λλλ

1

1

2

;

;

.

f tc não contribuirá.

Tabela 2.6 - Apresentação das quatro situações possíveis de contribuição dos diversos parâmetros na carga última.

Na Tabela 2.6 acima, λ1 e λ 2 são fatores que dependem da razão h xw e da

armaduraAh e Av .

65

Limite de tensões para análise no Estágio III

No caso das áreas de apoio com armadura adicional de confinamento, como, por

exemplo, armadura de fretagem, é considerado que uma tensão limite de 0.85f c' sob a carga

aplicada e de 0.70f c' sobre a área de suporte (apoio) da viga seria apropriada para propósito

de avaliação da carga de ruptura. Subedi (1988), contudo, salienta que esses valores não são

recomendações de projeto.

2.13.10 - Método do Modelo de Treliça com Amolecimento

2.13.10.1 - Proposta e idéia

Mau e Hsu (1987) propõem, inicialmente, para cálculo da carga última de vigas-

parede, um método iterativo numérico baseado nas condições de equilíbrio, de compatibilidade

e na relação tensão-deformação de um elemento de cisalhamento, levando-se em conta o

processo de “amolecimento” (softening) do concreto. Este elemento, que se encontra

apresentado na Figura 2.39, está sujeito às tensões mostradas na Figura 2.40, na qual p é a

tensão de compressão efetiva (efeito da compressão transversal) e v é a tensão de

cisalhamento média. Nota-se que quanto maior a relação a/h, menor é o valor de p, dando a

mesma força cisalhante V. Portanto, p pode ser desenvolvida como uma função de V e a/h.

Ainda na Figura 2.40, α é o ângulo de inclinação da biela em relação ao eixo " , o qual

representa a direção longitudinal (horizontal); f" e f t simbolizam, respectivamente, a tensão

na armadura longitudinal e na armadura transversal; σd e σr representam, respectivamente, a

tensão normal na direção principal d e a tensão normal na direção principal r . σ"c e σtc são a

tensão normal no concreto na direção " e t , respectivamente; τ"tc é a tensão de cisalhamento

no concreto, no sistema de coordenadas " -t; σ"s e σts representam, respectivamente, a tensão

normal total na armadura longitudinal (horizontal) e a tensão normal total na armadura

transversal (vertical). As direções d, r, " e t (transversal) estão mostradas na Figura 2.40. Na

Figura 2.39, a altura efetiva do elemento de cisalhamento dv é tomada como a distância entre

66

o centróide do aço de compressão e o centróide do aço de tração. Quando não existe

armadura de compressão na viga-parede, a altura dv é estimada em 0.9d.

Figura 2.39 - Definição de símbolos e do elemento de cisalhamento.

Figura 2.40 - Condições de tensões no elemento de cisalhamento.

Contudo, pelo fato de a solução iterativa não ser conveniente para projetos práticos, foi

desenvolvida pelos mesmos pesquisadores (Mau e Hsu, 1989) uma fórmula de aplicação

imediata, a partir das três equações de equilíbrio, para cálculo da resistência ao cisalhamento

67

de vigas-parede biapoiadas, submetidas a um carregamento aplicado no bordo superior,

levando em conta os principais fatores de influência na resistência. Os principais fatores

considerados são a/h (vão de cisalhamento/altura total da viga), fc' (resistência do concreto),

resistência do aço, ρ t (taxa geométrica de armadura transversal) e ρ l (taxa geométrica de

armadura longitudinal total). Estes fatores são expressos em termos de quatro variáveis. As

constantes na fórmula são então calibradas usando os dados de testes disponíveis na literatura.

2.13.10.2. - Fórmula para cálculo da resistência ao cisalhamento

Uma fórmula adimensional foi obtida através do uso das equações de equilíbrio

somente e manipulação de parâmetros. A fórmula inclui quatro constantes que foram

calibradas utilizando-se resultados experimentais, chegando-se à seguinte fórmula explícita:

( ) ( ) ( )( )τ max

cl l l tf

K w K w w w'

. . . . .= + + + + + +

≤1

20 03 0 03 4 0 03 0 03 0 32 2

(2.19)

com as limitações

wl = ρ l ly cf f⋅ ' ≤ 0.26 e wt = ρ t ty cf f⋅ ' ≤ 0.12

e onde

K = 2 dv / h 0 < a/h ≤ 0.5 (2.20)

K = d

h

h

av 4

3

1

2−

0.5 < a/h ≤ 2 (2.21)

K = 0 a/h > 2 (2.22)

Os parâmetros τ max, wl , wt , fly e fty , utilizados acima, encontram-se definidos no

item 2.6.

A fórmula (Eq. 2.19) foi calibrada a partir de dados experimentais disponíveis dentro

dos seguintes intervalos:

68

a. 0.95 ≤ "0

d≤ 3.3;

b. 0 ≤ ( / ) .ρ wl wl hA bs= ≤ 0 0091;

c. 0.0018 ≤ ρ t ≤ 0.0245;

d. 0 ≤ ρ s' ≤ 0.92%;

e. fc' próximo a 21 MPa (3000psi);

onde

ρ wl - taxa geométrica de armadura longitudinal de alma;

Awl - área de armadura longitudinal de alma;

ρ s' - taxa geométrica de armadura de compressão.

As vigas-parede utilizadas na calibração das constantes eram biapoiadas, carregadas no

bordo superior por forças concentradas e romperam por cisalhamento.

A força de cisalhamento última (VU ) pode ser calculada por:

V U =τ max⋅b⋅dv (2.23)

No cálculo da porcentagem de aço longitudinal do elemento de cisalhamento, a

armadura longitudinal principal de tração (inferior) e a de compressão (superior) são também

incluídas.

2.13.11 - Método do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado

2.13.11.1 - Proposta e idéia

É proposta por Siao (1993) uma equação para o cálculo da carga última de

cisalhamento de vigas-parede, a partir de um modelo de bielas e tirantes refinado, através do

equilíbrio das forças apresentadas no modelo.

69

2.13.11.2 - Descrição

Na Figura 2.41 está apresentado o caminho de carga convencional numa viga-parede

submetida à atuação de duas cargas concentradas aplicadas no bordo superior. A reta AB

representa o eixo da biela inclinada, cuja força de compressão é Fc e cujo ângulo formado com

a horizontal é θ. Na Figura 2.42 encontra-se o respectivo sistema de bielas e tirantes refinado.

Desta última figura, tem-se:

FF V

sen

V

sent

c= = ='

2

1

2 2 4θ θ

onde

Ft - força resultante das tensões de tração;

Fc’ - força resultante das tensões de compressão;

V - força de cisalhamento na viga.

Então, supondo-se z = 0.9d, a tensão de tração (f t’) cuja direção forma um ângulo

reto com AB é:

fF

bz

F

bdtt t'

sen

sen

.= =

2 2

0 9θθ

Assim, tem-se:

V f bdU t= 18.

onde

a resistência à tração por fendilhamento do concreto, f t , vale 6 96. 'f c (psi), equivalendo a

0.578 f c' (MPa), de acordo com a Tabela de Conversão de Unidades apresentada no início

do presente trabalho.

Quando a armadura de alma está presente, obtém-se:

V f bd nU c h v= + +105 1 2 2. [ ( sen cos )]' ρ θ ρ θ (Unidades do SI) (2.24)

onde

n - razão modular entre o aço da armadura de alma e o concreto (E Es c );

ρ ρh v, - taxa geométrica de armadura de alma horizontal e vertical, respectivamente.

70

O segundo termo da Eq. (2.24) leva em conta a presença da armadura de alma, a qual é

suposta ter uma deformação similar àquela do concreto antes da fissuração.

Para o cálculo da resistência última à flexão, Siao (1995) sugere que se faça o

equilíbrio de momentos das forças externas e das forças internas, e que z tenha o valor de d.

Figura 2.41 - Modelo convencional de bielas e tirantes para uma viga-paredesob a atuação de carregamento concentrado no bordo superior.

Figura 2.42 - Modelo de bielas e tirantes refinado para uma viga-paredesob a atuação de duas cargas concentradas no bordo superior.

CAPÍTULO III

3. APRESENTAÇÃO DAS 37 VIGAS-PAREDE CONSIDERADAS

Neste capítulo serão apresentadas as características do total de 37 vigas-parede

ensaiadas no Laboratório de Estruturas e Materiais (L.E.M.) da PUC-Rio por Guimarães

(1980), Vasconcelos (1982) e Velasco (1984). O objetivo é a obtenção de informações

comparativas relacionadas às mesmas, com o respaldo da literatura atualizada.

A Tabela 3.1 apresenta título, autor(a) e objetivo dos três trabalhos de base teórico-

experimental referidos acima, além da análise feita e das principais variáveis consideradas nos

mesmos. Todas as vigas ensaiadas foram submetidas à ação de duas cargas concentradas

aplicadas a 1/3 e a 2/3 do vão teórico, com exceção das vigas que apresentavam "/h = 2.0, as

quais foram submetidas a um carregamento uniformemente distribuído.

As nomenclaturas originais das 37 vigas não foram mantidas. Optou-se por uma

notação mais uniformizada, sistemática, apresentada a seguir.

No próximo capítulo, os métodos de cálculo descritos no Capítulo II serão aplicados a

essas vigas, visando a obtenção de um método que gere resultados de carga última os mais

próximos possíveis dos encontrados experimentalmente.

72

TÍTULO DOTRABALHO

E AUTOR(A)

ANÁLISE OBJETIVOPRINCIPAISVARIÁVEIS

“Análise Experimentalde Vigas-Parede deConcreto Armado

Enrijecidas por PilaresLaterais”.

Giuseppe B. Guimarães

São analisadas novevigas-parede sujeitas a

duas cargasconcentradas.

Investigar a influênciado enrijecimento dosapoios proporcionado

por pilares lateraissobre o

comportamento eresistência de tais

vigas.

Dimensões daseção transversal

dos pilares e ataxa geométrica

de armadura.

“Estudo Teórico-Experimental de Vigas-

Parede de ConcretoArmado com

Enrijecimento dosApoios”.

José Roberto G. deVasconcelos

São analisadas dezesseisvigas-parede: as com

"/h = 2.0 foramsubmetidas a um

carregamentouniformemente

distribuído, e as demais,com "/h = 1.5, foram

submetidas a duascargas concentradas.

Investigar o efeito doenrijecimento dosapoios laterais na

resistência última, nasdeformações e na

abertura edesenvolvimento defissuras de vigas-

parede.

Dimensões daseção transversal

dos apoios,armadura de

alma, tipos decarregamento e

relaçãovão/altura da

viga ("/h).

“Influência da Espessurada Alma no

Comportamento deVigas-Parede de

Concreto Armado”.

Marta de S. L. Velasco

Foram ensaiadas até aruptura doze vigas-

parede sujeitas a duascargas concentradas.

Fornecimento dedados sobre ainfluência daespessura no

comportamento devigas-parede.

Taxa geométricada armadura,

enrijecimento dosapoios, relação

vão/altura eespessura da

viga.

Tabela 3.1 - Séries de vigas-parede de concreto armado, biapoiadas,sujeitas a carregamento no bordo superior, analisadas na PUC-Rio.

3.1 - NOTAÇÃO DAS VIGAS

Neste trabalho foi criada, para as 37 vigas, uma notação uniformizada, de modo que

através dela certas características de cada viga, como a geometria, a taxa geométrica de

73

armadura principal e a presença ou não de armadura de alma ficassem explícitas. As vigas

foram divididas em dois grupos: Grupo 1 e Grupo 2. As do Grupo 1 apresentam espessura (b)

constante igual a 100 mm e correspondem às numeradas de 1 a 25 na Tabela 3.2; as do Grupo

2 apresentam espessura de 50 ou 75 mm e correspondem às numeradas de 26 a 37 na mesma

tabela. A notação considerada para as dimensões das vigas encontra-se na Figura 3.1.

P/2 P/2

"

x x

A A

h

c c

bba

CORTE A-A

"o

"t

Figura 3.1 - Dimensões das vigas testadas notações.

Grupo 1

A notação é feita da maneira descrita abaixo, nesta ordem:

1. Todas as vigas sem armadura de alma e com armadura de alma são representadas pela letra

V e W, respectivamente;

2. As vigas altas ("/h = 1.0), médias ("/h = 1.5) e baixas ("/h = 2.0) são representadas pelas

letras A, M e B, respectivamente;

74

3. Os números 1, 2, 3 ou 4 representam os valores de ba: 1 indica ba = 100 mm; 2 indica

ba = 200 mm; 3, ba = 300 mm e 4, ba = 400 mm;

4. O número seguinte, 1, 2 ou 3, representa a taxa geométrica de armadura principal:

1 indica ρs = 0.262%; 2 indica ρs = 0.645% e 3, ρs = 0.889%;

5. Após o traço, encontra-se o número 12, 18 ou 24, representando os valores da variável c

de 120, 180 ou 240 mm, respectivamente.

Para diferenciar a viga de no 5 da de no 19 e a de no 8 da de no 23 (ver numeração na

Tabela 3.2), foi adicionado à notação das mesmas o valor de x: 25 indica x = 250 mm e

26 indica x = 260 mm.

Grupo 2

Os itens 1 e 2 citados para o Grupo 1 também são válidos para o Grupo 2.

3. A letra P significa viga-parede sem enrijecimento nos apoios e a letra E, com

enrijecimento;

4. Os números 5 ou 7 representam a largura da viga: 5 indica b = 50 mm e 7 indica

b = 75 mm;

5. O número seguinte (1, 2 ou 3) indica a taxa geométrica de armadura principal : 1 é

referido à taxa ρs = 0.330%; 2, à ρs = 0.560% e 3, à ρs = 0.690%. As vigas altas, por

apresentarem a mesma taxa de armação (ρs = 0.220%), não recebem nenhum número;

6. Assim como o item 5 do Grupo 1, após o traço encontra-se o número 12 ou 18: 12 indica

c = 120 mm e 18 indica c = 180 mm.

75

3.2 - PROPRIEDADES DOS MATERIAIS, GEOMETRIA E ARMADURA

Todas as 37 vigas descritas a seguir apresentam um vão teórico (") de valor constante e

igual a 1200 mm. A Tabela 3.2 apresenta os valores das dimensões das vigas, cujas notações

encontram-se na Figura 3.1. Pelas Tabelas 3.3 e 3.5 obtêm-se, respectivamente, as

características geométricas das armaduras e as características do aço. Na Tabela 3.4,

encontram-se os valores de carga última obtidos experimentalmente (PU(TESTE)), a comparação

das cargas de fissuração e da carga de escoamento com a carga última, o modo de ruptura

apresentado por cada viga e as características do concreto utilizado na execução das

mesmas. Nesta tabela, F significa Flexão, C significa Cisalhamento e FC, Flexão-

Cisalhamento; a ruptura local no apoio está designada por L(A) e a local sob os pontos de

aplicação de carga, por L(C) .

3.2.1 - Vigas ensaiadas por Guimarães, G. B. (1980)

Correspondem às vigas do Grupo 1 numeradas de 1 a 9 na Tabela 3.2.

A ancoragem da armadura principal é feita com ganchos horizontais. Todas as barras

são de aço CA 50 (nervuradas), com exceção das usadas nos estribos dos pilares (CA 60). Na

Tabela 3.5, o aço utilizado na armação das vigas corresponde aos números 1, 2 e 3, de acordo

com a Tabela 3.3. O desenvolvimento dos ensaios e maiores detalhes sobre a disposição das

armaduras podem ser obtidos diretamente de Guimarães (1980).

3.2.2 - Vigas ensaiadas por Vasconcelos, J. R. G. (1982)

São testadas dezesseis vigas-parede, divididas em duas séries de oito vigas. Cada uma

das séries possui um valor para "/h e, das oito vigas, somente quatro possuem armadura de

alma. A espessura dos pilares de enrijecimento dos apoios é variável. As vigas da Série 1

correspondem às de número 10 a 17 na Tabela 3.2, e as da Série 2 correspondem às de

número 18 a 25.

76

Em todas as vigas com "/h = 1.5 foram aplicadas, no bordo superior, duas cargas

concentradas, ao passo que nas com "/h = 2.0 foi aplicado um carregamento uniformemente

distribuído. A armadura principal é constituída de 6 φ 10.0 mm e ancorada por ganchos

horizontais. A armadura de alma é constituída por uma malha ortogonal, formada por oito

barras horizontais e oito estribos verticais, todas com φ = 6.3 mm. São utilizadas barras

deformadas de aço CA 50B para o diâmetro de 10.0 mm, enquanto que as barras com 6.3 mm

de diâmetro são lisas, de aço CA 60A. Na Tabela 3.5, correspondendo aos números 4 e 5,

encontram-se as características do aço utilizado na execução das vigas, de acordo com o

exposto na Tabela 3.3. Detalhes da aplicação dos carregamentos e da disposição das

armaduras podem ser obtidos diretamente de Vasconcelos (1982).

Na Tabela 3.4, pode ser observado que o autor utiliza a mesma resistência cilíndrica à

compressão e a mesma resistência cilíndrica à tração por fendilhamento para todas as vigas.

3.2.3 - Vigas ensaiadas por Velasco, M. S. L. (1984)

Correspondem às vigas do Grupo 2 (número 26 ao 37), na Tabela 3.2.

A armadura principal das vigas é constituída por ferros retos que se estendem ao longo

de todo o vão. A ancoragem é feita com ganchos horizontais, de acordo com a orientação do

CEB-FIP (1978). Todas as vigas ensaiadas possuem armadura de alma, disposta de modo a

formar uma malha ortogonal, constando de estribos verticais e horizontais, conforme

recomendado pelo CEB-FIP (1978) e pela CIRIA (1977). Para as vigas sem enrijecimento foi

projetado um reforço de apoio, com o objetivo de evitar rupturas localizadas. O reforço

constitui-se de uma placa de aço onde são soldados estribos verticais. A armadura principal das

vigas é constituída por barras de aço CA 50, nervuradas, com diâmetros de 6.3 mm e 8.0 mm.

Para a armadura de alma de todas as vigas foram utilizadas barras de aço CA 60 com diâmetro

de 4.2 mm. Todos os pilares foram armados com barras de aço CA 50, nervuradas, com bitola

de 10.0 mm. Na Tabela 3.5, nos números de 6 a 9, encontram-se as características do aço

utilizado na armação das vigas, de acordo com a Tabela 3.3.

Maiores detalhes da armadura, assim como do ensaio e dos materiais utilizados na

confecção das vigas, encontram-se em Velasco (1984).

77

No VIGAS b(mm)

ba

(mm)c

(mm)x

(mm)"o

(mm)"t

(mm)h

(mm)"/h x/h "/d a/d c/ba

1 VM11-12 100 100 120 280 1080 1440 800 1.5 0.35 1.59 0.53 1.202 VM21-18 100 200 180 250 1020 1380 800 1.5 0.31 1.59 0.53 0.903 VM21-24 100 200 240 220 960 1440 800 1.5 0.27 1.59 0.53 1.204 VM12-12 100 100 120 280 1080 1440 800 1.5 0.35 1.64 0.55 1.205 VM22-18/25 100 200 180 250 1020 1380 800 1.5 0.31 1.64 0.55 0.906 VM22-24 100 200 240 220 960 1440 800 1.5 0.27 1.64 0.55 1.207 WM12-12 100 100 120 280 1080 1440 800 1.5 0.35 1.64 0.55 1.208 WM22-18/25 100 200 180 250 1020 1380 800 1.5 0.31 1.64 0.55 0.909 WM22-24 100 200 240 220 960 1440 800 1.5 0.27 1.64 0.55 1.2010 VB13-18 100 100 180 300* 1020 1380 600 2.0 0.50* 2.26 0.83 1.8011 VB23-18 100 200 180 300* 1020 1380 600 2.0 0.50* 2.26 0.83 0.9012 VB33-18 100 300 180 300* 1020 1380 600 2.0 0.50* 2.26 0.83 0.6013 VB43-18 100 400 180 300* 1020 1380 600 2.0 0.50* 2.26 0.83 0.4514 WB13-18 100 100 180 300* 1020 1380 600 2.0 0.50* 2.26 0.83 1.8015 WB23-18 100 200 180 300* 1020 1380 600 2.0 0.50* 2.26 0.83 0.9016 WB33-18 100 300 180 300* 1020 1380 600 2.0 0.50* 2.26 0.83 0.6017 WB43-18 100 400 180 300* 1020 1380 600 2.0 0.50* 2.26 0.83 0.4518 VM12-18 100 100 180 260 1020 1380 800 1.5 0.33 1.64 0.55 1.8019 VM22-18/26 100 200 180 260 1020 1380 800 1.5 0.33 1.64 0.55 0.9020 VM32-18 100 300 180 260 1020 1380 800 1.5 0.33 1.64 0.55 0.6021 VM42-18 100 400 180 260 1020 1380 800 1.5 0.33 1.64 0.55 0.4522 WM12-18 100 100 180 260 1020 1380 800 1.5 0.33 1.64 0.55 1.8023 WM22-18/26 100 200 180 260 1020 1380 800 1.5 0.33 1.64 0.55 0.9024 WM32-18 100 300 180 260 1020 1380 800 1.5 0.33 1.64 0.55 0.6025 WM42-18 100 400 180 260 1020 1380 800 1.5 0.33 1.64 0.55 0.4526 WMP51-18 50 50 180 210 1020 1380 800 1.5 0.26 1.58 0.53 3.6027 WME51-12 50 200 120 240 1080 1320 800 1.5 0.30 1.58 0.53 0.6028 WMP53-18 50 50 180 210 1020 1380 800 1.5 0.26 1.69 0.56 3.6029 WME53-12 50 200 120 240 1080 1320 800 1.5 0.30 1.69 0.56 0.6030 WMP71-18 75 75 180 210 1020 1380 800 1.5 0.26 1.63 0.54 2.4031 WME71-12 75 200 120 240 1080 1320 800 1.5 0.30 1.63 0.54 0.6032 WMP72-18 75 75 180 210 1020 1380 800 1.5 0.26 1.63 0.54 2.4033 WME72-12 75 200 120 240 1080 1320 800 1.5 0.30 1.63 0.54 0.6034 WAP5-18 50 50 180 190 1020 1380 1200 1.0 0.16 1.03 0.34 3.6035 WAE5-12 50 200 120 220 1080 1320 1200 1.0 0.18 1.03 0.34 0.6036 WAP7-18 75 75 180 190 1020 1380 1200 1.0 0.16 1.06 0.35 2.4037 WAE7-12 75 200 120 220 1080 1320 1200 1.0 0.18 1.06 0.35 0.60

* indica que os valores de x expostos para as vigas submetidas a um C.U.D. foram tomadosiguais a "/4.

Tabela 3.2 - Dimensões das vigas de teste.

78

ARMADURAPRINCIPAL

ARMADURA DE ALMA

VIGA HORIZONTAL VERTICALDiâm.(mm)

As

(cm2)ρs

(%)Diâm.(mm)

Awh

(cm2)ρh

(%)Diâm.(mm)

Awv

(cm2)ρv

v

(%)VM11-12 4 φ 8.0 1.980 0.262 - - - - - -VM21-18 4 φ 8.0 1.980 0.262 - - - - - -VM21-24 4 φ 8.0 1.980 0.262 - - - - - -VM12-12 6 φ 10.0 4.712 0.645 - - - - - -

VM22-18/25 6 φ 10.0 4.712 0.645 - - - - - -VM22-24 6 φ 10.0 4.712 0.645 - - - - - -WM12-12 6 φ 10.0 4.712 0.645 8 φ 6.3 2.534 0.348 8 φ 6.3 2.534 0.235

WM22-18/25 6 φ 10.0 4.712 0.645 8 φ 6.3 2.534 0.348 8 φ 6.3 2.534 0.248WM22-24 6 φ 10.0 4.712 0.645 8 φ 6.3 2.534 0.348 8 φ 6.3 2.534 0.264VB13-18 6 φ 10.0 4.712 0.889 - - - - - -VB23-18 6 φ 10.0 4.712 0.889 - - - - - -VB33-18 6 φ 10.0 4.712 0.889 - - - - - -VB43-18 6 φ 10.0 4.712 0.889 - - - - - -WB13-18 6 φ 10.0 4.712 0.889 8 φ 6.3 2.534 0.478 8 φ 6.3 2.534 0.248WB23-18 6 φ 10.0 4.712 0.889 8 φ 6.3 2.534 0.478 8 φ 6.3 2.534 0.248WB33-18 6 φ 10.0 4.712 0.889 8 φ 6.3 2.534 0.478 8 φ 6.3 2.534 0.248WB43-18 6 φ 10.0 4.712 0.889 8 φ 6.3 2.534 0.478 8 φ 6.3 2.534 0.248VM12-18 6 φ 10.0 4.712 0.645 - - - - - -

VM22-18/26 6 φ 10.0 4.712 0.645 - - - - - -VM32-18 6 φ 10.0 4.712 0.645 - - - - - -VM42-18 6 φ 10.0 4.712 0.645 - - - - - -WM12-18 6 φ 10.0 4.712 0.645 8 φ 6.3 2.534 0.348 8 φ 6.3 2.534 0.248

WM22-18/26 6 φ 10.0 4.712 0.645 8 φ 6.3 2.534 0.348 8 φ 6.3 2.534 0.248WM32-18 6 φ 10.0 4.712 0.645 8 φ 6.3 2.534 0.348 8 φ 6.3 2.534 0.248WM42-18 6 φ 10.0 4.712 0.645 8 φ 6.3 2.534 0.348 8 φ 6.3 2.534 0.248

WMP51-18 4 φ 6.3 1.247 0.330 8 φ 4.2 1.108 0.291 7 φ 4.2 0.970 0.379WME51-12 4 φ 6.3 1.247 0.330 8 φ 4.2 1.108 0.291 5 φ 4.2 0.693 0.256WMP53-18 8 φ 6.3 2.534 0.690 8 φ 4.2 1.108 0.311 7 φ 4.2 0.970 0.379WME53-12 8 φ 6.3 2.534 0.690 8 φ 4.2 1.108 0.311 5 φ 4.2 0.693 0.256WMP71-18 6 φ 6.3 1.870 0.330 8 φ 4.2 1.108 0.200 7 φ 4.2 0.970 0.253WME71-12 6 φ 6.3 1.870 0.330 8 φ 4.2 1.108 0.200 5 φ 4.2 0.693 0.170WMP72-18 6 φ 8.0 3.016 0.560 8 φ 4.2 1.108 0.200 7 φ 4.2 0.970 0.253WME72-12 6 φ 8.0 3.016 0.560 8 φ 4.2 1.108 0.200 5 φ 4.2 0.693 0.170WAP5-18 4 φ 6.3 1.247 0.220 12 φ 4.2 1.662 0.286 7 φ 4.2 0.970 0.379WAE5-12 4 φ 6.3 1.247 0.220 12 φ 4.2 1.662 0.286 5 φ 4.2 0.693 0.256WAP7-18 6 φ 6.3 1.870 0.220 12 φ 4.2 1.662 0.195 7 φ 4.2 0.970 0.253WAE7-12 6 φ 6.3 1.870 0.220 12 φ 4.2 1.662 0.195 5 φ 4.2 0.693 0.170

Tabela 3.3 - Características geométricas das armaduras principal e de alma.

79

VIGAPU(TESTE)

(kN)P Pf U1 P Pf U2 P Pf U3 P Py U fc

'

(N/mm2)

f t

(N/mm2)

MECANISMODE RUPTURA

VM11-12 480.0 0.43 0.67 - 0.81 24.80 2.40 FVM21-18 430.0 0.33 0.47 0.98 0.90 19.20 2.14 FCVM21-24 450.0 0.33 0.47 - 0.87 16.30 1.96 FCVM12-12 546.0 0.31 0.51 1.00 - 22.30 2.23 C

VM22-18/25 596.0 0.29 0.44 0.97 - 21.50 2.28 CVM22-24 460.0 0.30 0.46 0.98 - 13.70 1.45 CWM12-12 652.0 0.26 0.37 0.81 - 21.50 2.28 C

WM22-18/25 750.0 0.23 0.27 - - 22.30 2.23 CWM22-24 670.0 0.27 0.37 0.75 - 19.10 1.98 CVB13-18 570.0 0.22 0.32 0.46 - 19.4 1.80 L (A)VB23-18 840.0 0.11 0.15 0.54 - 19.4 1.80 CVB33-18 766.0 0.10 0.13 0.57 0.85 19.4 1.80 CVB43-18 810.0 0.13 0.31 0.49 0.79 19.4 1.80 CWB13-18 800.0 0.25 0.32 0.52 0.89 19.4 1.80 L (A)WB23-18 883.0 0.17 0.28 - 0.85 19.4 1.80 CWB33-18 718.0 0.21 0.25 0.55 - 19.4 1.80 L (C)WB43-18 960.0 0.07 0.24 0.34 0.88 19.4 1.80 CVM12-18 403.0 0.35 0.69 - - 19.4 1.80 L (A)

VM22-18/26 550.0 0.27 0.56 0.85 - 19.4 1.80 L (C)VM32-18 540.0 0.24 0.63 0.65 - 19.4 1.80 L (C)VM42-18 540.0 0.37 0.59 0.65 - 19.4 1.80 CWM12-18 694.0 0.32 0.42 0.86 - 19.4 1.80 L (C)

WM22-18/26 650.0 0.38 0.55 - - 19.4 1.80 L (C)WM32-18 584.0 0.26 0.44 0.58 - 19.4 1.80 L (C)WM42-18 600.0 0.45 0.47 0.67 - 19.4 1.80 L (C)

WMP51-18 370.0 0.12 0.43 0.70 0.85 20.4 2.20 FCWME51-12 390.0 0.21 0.49 0.77 0.87 20.0 2.40 FCWMP53-18 450.0 0.13 0.38 0.62 - 21.6 2.20 CWME53-12 380.0 0.13 0.37 0.82 - 18.0 1.90 CWMP71-18 520.0 0.14 0.54 0.88 0.85 20.0 2.20 FCWME71-12 520.0 0.21 0.56 0.77 0.96 20.0 1.94 FCWMP72-18 520.0 0.18 0.54 0.94 - 18.0 2.10 CWME72-12 500.0 0.21 0.50 0.74 - 17.4 1.86 CWAP5-18 520.0 0.23 - 0.67 0.98 22.2 2.40 L (A)WAE5-12 510.0 0.33 0.61 0.61 - 22.0 2.15 CWAP7-18 630.0 0.27 0.81 0.81 0.97 17.4 1.86 FCWAE7-12 700.0 0.23 0.67 0.61 0.97 19.0 1.90 FC

1fP , 2fP e 3fP - carga correspondente ao aparecimento da 1º fissura de flexão, da 1º fissura

de cisalhamento e da 2º fissura de cisalhamento, respectivamente; yP - carga de escoamento.

Tabela 3.4 - Carga última obtida experimentalmente (PU(TESTE)), comparaçãodas cargas de fissuração e da carga de escoamento com a carga última,modo de ruptura para cada viga e características do concreto utilizado.

80

NoBitola (φ)

(mm)f y

(N/mm2)

f su

(N/mm2)ε y

(mm/m)

Es

(N/mm2)

1 6.3 597 812 - 2.125⋅105

2 8.0 534 730 3.0 2.125⋅105

3 10.0 582 887 3.1 2.125⋅105

4 6.3 680 820 5.0 2.290⋅105

5 10.0 600 790 4.3 2.500⋅105

6 4.2 628 786 5.1 2.030⋅105

7 6.3 582 774 4.8 2.050⋅105

8 8.0 594 794 4.9 2.082⋅105

9 10.0 512 798 4.5 2.051⋅105

Tabela 3.5 - Características do aço.

3.3 - INFORMAÇÕES COMPARATIVAS

Analisando-se todas as vigas ensaiadas, algumas informações comparativas puderam

ser obtidas, para vigas-parede de concreto armado, biapoiadas, submetidas a duas cargas

aplicadas a 1/3 e a 2/3 do vão, no bordo superior. Pouco foi obtido sobre as vigas sujeitas a um

carregamento uniformemente distribuído, tendo em vista que somente Vasconcelos (1982)

ensaiou vigas submetidas a esse tipo de carregamento e, portanto, as informações podem ser

obtidas diretamente de seu trabalho.

As informações e observações estão listadas abaixo, onde 2 C.C. significa duas cargas

concentradas e C.U.D. significa carregamento uniformemente distribuído.

1. Em todas as vigas, as primeiras fissuras que se formam são as de flexão (tipo ① - Figura

3.2), surgindo no centro do vão (exatamente no meio deste ou um pouco deslocadas) e

quando a carga aplicada atinge cerca de 30% da carga última, no caso de 2 C.C.. Elas se

desenvolvem no sentido vertical, atingindo cerca de 2/3 da altura das vigas.

81

2. As vigas altas (WAP5-18, WAE5-12, WAP7-18 e WAE7-12) ensaiadas por Velasco (1984)

e todas as vigas ensaiadas por Guimarães (1980) apresentam um mesmo intervalo da

razão carga de fissuração/carga última (P Pf U1 ): de 23% a 33%, excetuando-se somente a

viga VM11-12, que apresenta P Pf U1 = 43%. Nas vigas ensaiadas por Vasconcelos

(1982), submetidas a ação de 2 C.C., essa carga de fissuração situa-se entre 24% e 45%

de PU, tendo como valor médio 33%. Nas vigas baixas analisadas por Velasco, as primeiras

fissuras de flexão surgem para uma razão P Pf U1 entre 12% e 21%, sendo que os

maiores valores são apresentados pelas vigas enrijecidas. Para as vigas submetidas a um

C.U.D. ensaiadas por Vasconcelos, esta taxa diminui, ficando em torno de 15% de PU, ou

seja, caindo à metade do valor obtido para o caso da aplicação de 2 C.C..

3. A carga de fissuração correspondente à fissura do tipo ② (primeira fissura de cisalhamento,

Figura 3.2), Pf 2 , situa-se em torno de 50% da carga última, para todas as vigas submetidas

a 2 C.C., possuindo poucos valores discrepantes, o que está de acordo com os resultados

obtidos por Smith e Vantsiotis (1982), que observaram que as cargas que levam ao

aparecimento da fissura inclinada variam entre 40% e 50% das cargas últimas respectivas.

Deve-se atentar para o fato de que essa semelhança de resultados foi obtida apesar das

diferenças (às vezes bastante significativas) das relações "/h, a/d e da taxa geométrica de

armadura entre as vigas ensaiadas por Velasco, Guimarães e Vasconcelos, e as ensaiadas

por Smith e Vantsiotis. Para as vigas analisadas por Vasconcelos, sujeitas a um C.U.D., o

valor de 50% observado para a razão Pf 2 / PU cai para 25%, em média.

Smith e Vantsiotis também observaram que há um decréscimo na carga que leva à

fissura inclinada e na carga última, com o crescimento da razão a/d, para vigas submetidas

a ação de 2 C.C.. Como as vigas ensaiadas por Guimarães e Vasconcelos possuíam

relações a/d muito próximas, isto não pôde ser claramente observado. Contudo, o

decréscimo citado é facilmente percebido quando da comparação entre as vigas médias

(maior a/d) e altas (menor a/d) ensaiadas por Velasco.

82

Observando-se as vigas VM12-12, WM12-12, VM22-18/25, WM22-18/25, VM22-24

e WM22-24, analisadas por Guimarães, e as vigas analisadas por Vasconcelos e sujeitas

a 2 C.C., similares duas a duas, e diferenciando-se somente pela presença ou não de

armadura de alma, pôde-se constatar que as vigas com este tipo de armadura apresentaram

menor razão Pf 2 / PU. Nas vigas ensaiadas por Velasco, observação similar não pôde ser

feita, pois todas as vigas apresentavam armadura de alma.

4. A média das cargas correspondentes à formação da fissura do tipo ③ (segundas fissuras de

cisalhamento, Figura 3.2), situa-se em torno de 90% de PU para as vigas de Guimarães, as

quais apresentam uma relação "/h constante e igual a 1.5. As vigas de Velasco com a

mesma relação "/h (vigas médias) apresentam um valor de Pf 3 médio igual a 80% de PU, e

as vigas altas ("/h = 1.0), em torno de 70% de PU, sendo esta a mesma porcentagem

apresentada pelas vigas ensaiadas por Vasconcelos, com "/h = 1.5. Para as vigas

submetidas a um C.U.D. a razão Pf 3 / PU é de 50%, em média.

5. Quando da comparação da carga última apresentada pelas vigas analisadas, com

proporções e armadura próximas, pode-se concluir que a capacidade de carga das vigas-

parede é menor para as vigas de pequena espessura, que é o caso das vigas ensaiadas por

Velasco, devido a uma menor seção de concreto.

6. Os mecanismos de ruptura predominantes nas vigas ensaiadas pelos pesquisadores

Guimarães (1980) e Velasco (1984) são flexão - cisalhamento e cisalhamento, os quais

são os dois mais importantes modos de ruptura segundo Fafitis e Won (1994).

7. A formação e o desenvolvimento das fissuras de flexão e das primeiras fissuras de

cisalhamento praticamente não sofrem alteração devido à existência dos pilares laterais, no

caso de vigas sujeitas a 2 C.C..

8. Nas vigas com menor taxa de armação, os alongamentos das barras são mais acentuados

do que nas vigas com maior taxa de armação.

83

9. Todas as vigas com maior taxa de armação não apresentam, na curva carga x deformação,

o trecho que representa o comportamento inelástico das vigas.

10. A ancoragem da armadura principal merece atenção especial, pois não é raro que, após o

surgimento das fissuras de cisalhamento, os alongamentos da armadura nos pontos

próximos aos apoios ultrapassem os alongamentos medidos no meio do vão.

11. O enrijecimento dos apoios não parece causar nenhum efeito significativo nos

alongamentos da armadura principal na seção média das vigas.

12. Nas vigas com enrijecimento dos apoios há uma tendência de a ruptura ocorrer segundo

uma fissura crítica na região entre o ponto de aplicação das cargas e os apoios, pela

concentração de tensões nessa região, principalmente nas vigas sem armadura de alma,

para vigas submetidas à ação de 2 C.C..

13. A teoria é comprovada: Para todas as vigas, a distribuição das tensões horizontais de

flexão não é linear, e a linha neutra se localiza mais para baixo quando da comparação com

as vigas comuns. Além disso, também é observado que, após a fissuração, à medida que a

carga é aumentada, a linha neutra se desloca para cima, diminuindo a área comprimida e

aumentando o braço de alavanca. Nas vigas enrijecidas a linha neutra apresenta-se mais alta

do que nas não enrijecidas. À proporção que o número e a abertura das fissuras crescem,

mais o comportamento das vigas se afasta do previsto para a fase elástica.

14. Os pilares laterais, geralmente, não modificam o mecanismo de ruptura das vigas

analisadas, mas provocam uma pequena variação na carga última das vigas.

15. Com a redução da espessura das vigas, há um pequeno aumento no número de fissuras,

não havendo alteração na configuração das mesmas.

84

16. Comprova-se a teoria de que a armadura de alma é necessária para o controle da abertura

de fissuras; as vigas sem armadura de alma exibem espessura de fissuras consideravelmente

maior na ruptura.

17. A presença de armadura de alma gera um aumento na resistência última ao cisalhamento

tanto para 2 C.C. quanto para C.U.D..

18. As deflexões, mesmo sob cargas elevadas e em vigas de pequena espessura, são pequenas,

não chegando a prejudicar a estética e a funcionalidade do membro estrutural.

19. A taxa geométrica de armadura principal praticamente não influencia os deslocamentos e as

deformações da armadura durante o estado não fissurado.

20. A influência da taxa de armadura se manifesta após a fissuração quando as tensões na

região tracionada da viga são absorvidas pela armadura.

21. Após a fissuração, as tensões ao longo da armadura são praticamente constantes.

22. Há um aumento na carga última da viga-parede quando a taxa geométrica de armadura

principal é aumentada. Contudo, este aumento não é muito significativo nas vigas que

rompem por cisalhamento.

4 4

12 2

3 3

Figura 3.2 - Tipos comuns de fissura:

① - Corresponde à primeira fissura de flexão;② - Corresponde à primeira fissura de cisalhamento;③ - Corresponde à segunda fissura de cisalhamento.④ - Fissura vertical na região entre a viga e os apoios enrijecidos.

CAPÍTULO IV

4. RESULTADOS

Neste capítulo serão apresentados os resultados de resistência última obtidos através de

vários métodos de cálculo da resistência de vigas-parede, para confrontar os resultados assim

encontrados com aqueles obtidos nos ensaios realizados no Laboratório de Estruturas e

Materiais (L.E.M.) da PUC-Rio por Guimarães (1980), Vasconcelos (1982) e Velasco

(1984), visando encontrar um método que gere resultados os mais próximos possíveis dos

experimentais.

Nas tabelas a seguir, as vigas assinaladas com o símbolo • apresentaram ruptura local.

4.1 - GUIA 2 DA CIRIA

O Guia 2 da CIRIA é datado de 1977, sendo reimpresso em 1984. Por se tratar de um

método de cálculo antigo, e já ter sido utilizado para comparação de carga última das vigas

ensaiadas por Guimarães (1980), Vasconcelos (1982) e Velasco (1984), nestas próprias

referências, os resultados obtidos não serão aqui listados; porém, serão comentados no

próximo capítulo.

4.2 - CEB-FIP (1978)

Na Tabela 4.1, no final deste capítulo, encontra-se, para cada uma das 37 vigas-parede

consideradas, a carga última experimental (PU(TESTE)) e a comparação desta com a carga última

calculada pelo método do CEB-FIP (1978) (PU(CEB78)), representada pela razão RCEB78, onde

86

( )

( )R

P

PCEB

U CEB

U TESTE78

78= . Os pontos com coordenadas (PU TESTE( ) , RCEB78) para cada uma das vigas

estão apresentados na Figura 4.1 abaixo.

200 .0 0 400 .0 0 600 .0 0 800 .0 0 100 0 .00PU(TESTE) (kN )

0.20

0 .40

0 .60

0 .80

1 .00

PU

(CE

B78

)/P

U(T

ES

TE

)

Figura 4.1 - Gráfico P

PU CEB

U TESTE

( )

( )

78 x PU TESTE( ) .

4.3 - CAN3-A23.3-M84

Na Tabela 4.1 encontra-se a razão RCAN84 , onde( )

( )R

P

PCAN

U CAN

U TESTE84

84= , sendo PU (CAN84) a

carga última calculada pelo código canadense, e na Tabela 4.2 encontra-se o valor de c'CAN84,

sendo c'CAN84 a largura média da biela inclinada, para cada uma das vigas.

87

Os pontos com coordenadas (PU TESTE( ) , RCAN84 ) para cada viga estão mostrados na

Figura 4.2.

200 .0 0 400 .0 0 600 .0 0 800 .0 0 100 0 .00PU(TESTE) (kN )

0.20

0 .40

0 .60

0 .80

1 .00P

U(C

AN

84)/

PU

(TE

ST

E)

Figura 4.2 - GráficoP

PU CAN

U TESTE

( )

( )

84 x PU TESTE( ) .

4.4 - ACI 318-95

A Tabela 4.1 apresenta, para cada uma das vigas, a comparação entre a carga última

calculada pelo método do ACI 318-95 (PU(ACI95)) e a carga última experimental (PU(TESTE))

através da razão RACI95, onde ( )

( )R

P

PACI

U ACI

U TESTE95

95= .

Os pontos com coordenadas (PU TESTE( ) , RACI95) para cada uma das 37 vigas

consideradas encontram-se na Figura 4.3.

88

200 .0 0 400 .0 0 600 .0 0 800 .0 0 100 0 .00PU(TESTE) (kN)

0.20

0 .40

0 .60

0 .80

1 .00

PU

(AC

I95)

/PU

(TE

ST

E)

Figura 4.3 - Gráfico P

PU ACI

U TESTE

( )

( )

95 x PU TESTE( ) .

4.5 - MÉTODO DO CAMINHO DA FORÇA COMPRESSIVA

A Tabela 4.1 apresenta, para cada uma das vigas, a comparação entre a carga última

calculada pelo método do Caminho da Força Compressiva (PU(CFC)) e a carga última

experimental (PU(TESTE)), através da razão RCFC , sendo ( )

( )R

P

PCFC

U CFC

U TESTE

= . Na Tabela 4.2

encontra-se o valor de c'CFC (maior valor entre a/3 e a largura do apoio) e o valor de c''

CFC

para cada viga, sendo c''CFC a largura da biela inclinada que satisfaz o equilíbrio citado no item

c da Fig. 2.37. Na referida tabela, também encontra-se a comparação dos valores de c'CFC e de

c''CFC com os de c'

CAN84 .

89

Os pontos com coordenadas (PU TESTE( ) , RCFC) para cada uma das 37 vigas estão

apresentados na Figura 4.4 a seguir.

200 .0 0 400 .0 0 600 .0 0 800 .0 0 100 0 .00PU(TESTE) (kN )

0.40

0 .80

1 .20

1 .60P

U(C

FC

)/P

U(T

ES

TE

)

Figura 4.4 - Gráfico P

PU CFC

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) .

4.6 - MÉTODO DE ANÁLISE PARA VIGAS-PAREDE BIAPOIADAS SEGUNDO

SUBEDI

A Tabela 4.1 apresenta, para cada uma das vigas, a comparação entre a carga última

calculada pelo método de Análise para Vigas-parede Biapoiadas proposto por Subedi (1988)

(PU(AVPB)) e a carga última experimental (PU(TESTE)), através da razão RAVPB, onde

( )

( )R

P

PAVPB

U AVPB

U TESTE

= . Na Tabela 4.2 encontra-se o modo de ruptura previsto pelo método em

90

questão, para cada viga. Nesta Tabela, F significa Flexão e C, Cisalhamento (fendilhamento

diagonal) .

Os pontos com coordenadas (PU TESTE( ) , RAVPB) estão apresentados na Figura 4.5.

200 .0 0 400 .0 0 600 .0 0 800 .0 0 100 0 .00PU(TESTE) (kN)

0.00

0 .40

0 .80

1 .20

1 .60

PU

(AV

PB

)/P

U(T

ES

TE

)

Figura 4.5 - Gráfico P

PU AVPB

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) .

4.7 - MÉTODO DO MODELO DE TRELIÇA COM AMOLECIMENTO

Na Tabela 4.1 encontram-se as razões (valores de RMTA) entre a carga última obtida

pela fórmula explícita representada pelas Eqs. 2.19 e 2.23 (PU(MTA)) e a obtida

experimentalmente (PU(TESTE)) para todas as vigas ensaiadas por Guimarães (1980),

Vasconcelos (1982) e Velasco (1984). Também para efeito de comparação, encontram-se na

mesma tabela as razões RRA e RPS, obtidas, respectivamente, através da utilização da fórmula de

91

Ramakrishnan e Ananthanarayana (Ramakrishnan e Ananthanarayana, 1968) e da fórmula

de de Paiva e Siess (de Paiva e Siess, 1965), para cálculo da carga última. Ambas as fórmulas

foram utilizadas por Mau e Hsu, autores do método em questão, para comparação de

resultados em Mau e Hsu, 1989 e, desta maneira, torna-se interessante utilizá-las também no

presente trabalho.

A fórmula de Ramakrishnan e Ananthanarayana é representada pela Eq. 4.1 e a de de

Paiva e Siess pela Eq. 4.2. Na primeira, f t é a resistência cilíndrica ao fendilhamento do

concreto e, na segunda, x é o vão de cisalhamento livre e Ast representa a armadura

longitudinal total.

Na Tabela 4.1 há dois valores de RRA, pois dois valores de carga última para a fórmula

de Ramakrishnan e Ananthanarayana são encontrados. Na segunda coluna estão os resultados

obtidos utilizando-se para f t o valor encontrado experimentalmente; na primeira coluna estão

os valores encontrados utilizando-se o valor de f t resultante da fórmula f t = 7.2 fc' (psi),

equivalente à f t = 0.598 fc' (MPa).

V f bhU t= π2

(4.1)

V bhx

hf

A

bhU cst= −

+ +

08 1 0 6 200 0188 21300. . . ' (4.2)

Na Tabela 4.1 tem-se: ( )

( )R

P

PRA

U RA

U TESTE

= , ( )

( )R

P

PPS

U PS

U TESTE

= , ( )

( )R

P

PMTA

U MTA

U TESTE

= , onde

PU(RA), PU(PS) e PU(MTA) significam, respectivamente, a carga última obtida pela fórmula de

92

Ramakrishnan e Ananthanarayana, de Paiva e Siess e pelo método do Modelo de Treliça com

Amolecimento.

O símbolo * , que aparece após alguns valores de RMTA, na Tabela 4.1, encontra-se nas

vigas que rompem por cisalhamento, estão sob a ação de duas cargas concentradas aplicadas

no bordo superior e que obedecem às condições explicitadas de a. até e. no item 2.13.10.2.

Os pontos com coordenadas (PU TESTE( ) , RMTA) para cada uma das 37 vigas analisadas

encontram-se na Figura 4.6.

200 .0 0 400 .0 0 600 .0 0 800 .0 0 100 0 .00PU(TESTE) (kN )

0.40

0 .80

1 .20

1 .60

2 .00

PU

(MT

A)/

PU

(TE

ST

E)

Figura 4.6 - Gráfico P

PU MTA

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) .

93

4.8 - MÉTODO DO M ODELO DE BIELAS E TIRANTES REFINADO

A Tabela 4.1 apresenta, para cada uma das vigas, a comparação entre a carga última

calculada pelo método do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado (PU (MBTR)) e a carga última

experimental (PU (TESTE)), explicitada pela razão RMBTR, sendo( )

( )R

P

PMBTR

U MBTR

U TESTE

= .

Os pontos com coordenadas (PU TESTE( ) , RMBTR) para cada uma das 37 vigas estão

apresentados na Figura 4.7 a seguir.

200 .0 0 400 .0 0 600 .0 0 800 .0 0 100 0 .00PU(TESTE) (kN)

0.40

0 .80

1 .20

1 .60

2 .00

PU

(MB

TR

)/P

U(T

ES

TE

)

Figura 4.7 - Gráfico P

PU MBTR

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) .

94

VIGA PU (TESTE)

(kN)RCEB78 RCAN84 RACI95 RCFC RAVPB RRA RPS RMTA R MBTR

VM11-12 480.0 0.63 0.34 0.74 0.82 0.81 1.56 1.26 1.35 1.15 0.84VM21-18 430.0 0.70 0.43 0.73 0.91 0.89 1.53 1.25 1.30 1.17 0.94VM21-24 450.0 0.58 0.45 0.65 0.86 0.75 1.35 1.09 1.14 1.06 0.90VM12-12 546.0 0.65 0.74 0.64 1.19 0.80 1.30 1.03 1.19 1.61 1.33

VM22-18/25 596.0 0.58 0.74 0.57 1.28 0.71 1.17 0.96 1.10 1.42 1.19VM22-24 460.0 0.48 0.61 0.59 1.35 0.59 1.21 0.79 1.12 1.17 1.23WM12-12 652.0 0.53 0.59 0.70 1.24 0.79 1.07 0.88 1.051.30* 1.11

WM22-18/25 750.0 0.48 0.61 0.62 1.22 0.81 0.95 0.75 0.961.17* 0.99WM22-24 670.0 0.46 0.58 0.64 1.22 0.96 0.98 0.74 1.001.12* 1.02•VB13-18 570.0 0.41 0.58 0.41 0.90 0.33 0.87 0.60 0.73 0.97 0.86VB23-18 840.0 0.28 0.39 0.28 0.62 0.23 0.59 0.40 0.49 0.66 0.58VB33-18 766.0 0.30 0.43 0.30 0.70 0.25 0.65 0.44 0.54 0.72 0.64VB43-18 810.0 0.29 0.41 0.29 0.66 0.23 0.61 0.42 0.51 0.68 0.60

•WB13-18 800.0 0.29 0.35 0.39 0.67 0.36 0.62 0.42 0.80 0.69 0.63WB23-18 883.0 0.26 0.30 0.35 0.61 0.32 0.56 0.38 0.54 0.63 0.57•WB33-18 718.0 0.32 0.46 0.43 0.74 0.40 0.69 0.47 0.60 0.77 0.70WB43-18 960.0 0.24 0.33 0.32 0.56 0.30 0.52 0.35 0.56 0.58 0.52•VM12-18 403.0 0.77 0.82 0.79 1.11 0.92 1.64 1.12 1.51 1.90 1.67

•VM22-18/26 550.0 0.56 0.60 0.58 1.35 0.68 1.20 0.82 1.10 1.39 1.23

•VM32-18 540.0 0.57 0.61 0.59 1.41 0.69 1.23 0.84 1.12 1.42 1.25VM42-18 540.0 0.57 0.61 0.59 1.24 0.69 1.23 0.84 1.12 1.42 1.25

•WM12-18 694.0 0.45 0.47 0.62 1.11 0.89 0.95 0.65 0.94 1.10 0.99

•WM22-18/26 650.0 0.48 0.51 0.66 1.13 0.95 1.02 0.70 1.01 1.18 1.06

•WM32-18 584.0 0.53 0.56 0.73 1.01 1.06 1.13 0.77 1.12 1.31 1.18

•WM42-18 600.0 0.52 0.55 0.71 1.10 1.03 1.10 0.75 1.09 1.27 1.15WMP51-18 370.0 0.44 0.61 0.62 0.67 0.91 0.92 0.75 0.89 1.13 0.74WME51-12 390.0 0.41 0.26 0.58 0.67 0.85 0.86 0.71 0.81 1.05 0.71WMP53-18 450.0 0.38 0.65 0.49 0.90 0.77 0.78 0.67 0.730.92* 0.78WME53-12 380.0 0.38 0.43 0.53 0.99 0.80 0.84 0.63 0.840.91* 0.85WMP71-18 520.0 0.46 0.37 0.63 0.73 0.73 0.97 0.80 0.91 1.14 0.77WME71-12 520.0 0.46 0.52 0.63 0.73 0.68 0.97 0.76 0.89 1.14 0.77WMP72-18 520.0 0.42 0.70 0.60 1.15 0.73 0.58 0.70 0.901.03* 0.96WME72-12 500.0 0.42 0.47 0.61 1.03 0.69 0.94 0.70 0.881.04* 0.98•WAP5-18 520.0 0.50 0.49 0.70 0.76 1.22 1.02 0.87 1.05 1.34 0.81WAE5-12 510.0 0.51 0.39 0.71 0.64 1.23 1.04 0.79 1.04 1.35 0.82WAP7-18 630.0 0.50 0.39 0.75 0.78 1.17 1.12 0.83 1.08 1.27 0.98WAE7-12 700.0 0.49 0.37 0.70 0.85 1.13 1.05 0.77 1.01 1.25 0.88

* indica as vigas que apresentam todas as condições necessárias para a aplicação do métododo Modelo de Treliça com Amolecimento;

• indica ruptura localizada.

Tabela 4.1 - Carga última determinada experimentalmente (PU(TESTE)) para cada vigae a sua comparação com a carga última obtida por vários métodos.

95

VIGAc'

CAN84

(mm)

c'CFC

(mm)

c''CFC

(mm)

cc

CFC

CAN

'

'84

cc

CFC

CAN

''

'84

MODO DERUPTURA PREVISTO

VM11-12 131.7 133.3 90.4 1.012 0.686 FVM21-18 165.8 180.0 115.9 1.086 0.699 F / C *VM21-24 199.2 240.0 135.8 1.205 0.682 C *VM12-12 160.1 133.3 168.1 0.833 1.050 C

VM22-18/25 200.2 180.0 206.9 0.899 1.033 CVM22-24 251.6 240.0 265.8 0.954 1.056 CWM12-12 184.5 133.3 219.0 0.722 1.187 C

WM22-18/25 215.2 180.0 238.7 0.836 1.109 CWM22-24 243.6 240.0 249.1 0.985 1.022 C•VB13-18 210.4 180.0 180.8 0.855 0.859 CVB23-18 212.7 180.0 184.2 0.846 0.866 CVB33-18 217.3 180.0 190.6 0.828 0.877 CVB43-18 217.3 180.0 190.6 0.828 0.877 C

•WB13-18 217.3 180.0 190.6 0.828 0.877 CWB23-18 217.3 180.0 190.6 0.828 0.877 C•WB33-18 214.9 180.0 187.4 0.838 0.872 CVM12-18 217.3 180.0 190.6 0.828 0.877 C•VM12-18 168.1 180.0 136.1 1.071 0.810 C

•VM22-18/26 201.5 180.0 223.4 0.893 1.109 C

•VM32-18 203.7 180.0 227.9 0.884 1.119 CVM42-18 190.8 180.0 201.0 0.943 1.053 C

•WM12-18 204.8 180.0 230.1 0.879 1.123 C

•WM22-18/26 200.4 180.0 221.2 0.898 1.104 C

•WM32-18 179.9 180.0 175.9 1.000 0.978 C

•WM42-18 188.8 180.0 196.4 0.953 1.040 CWMP51-18 208.1 180.0 139.5 0.865 0.670 F *WME51-12 185.8 133.3 150.0 0.717 0.807 F / C *WMP53-18 239.2 180.0 220.8 0.753 0.923 CWME53-12 231.3 133.3 247.1 0.576 1.068 CWMP71-18 210.8 180.0 146.0 0.854 0.693 C *WME71-12 185.7 133.3 146.0 0.718 0.786 C *WMP72-18 252.3 180.0 257.2 0.713 1.019 CWME72-12 219.8 133.3 230.0 0.606 1.046 C•WAP5-18 224.8 180.0 188.2 0.801 0.837 FWAE5-12 193.2 133.3 156.8 0.690 0.811 F *WAP7-18 227.6 180.0 201.5 0.791 0.885 F *WAE7-12 206.8 133.3 222.8 0.644 1.077 F *

* Modo de ruptura previsto pelo método de Análise de Vigas-parede Biapoiadas é diferente doobtido experimentalmente; não foram consideradas as vigas que romperam localmente.

Tabela 4.2 - Valores dec'CAN84, c'

CFC e c''CFC e a comparação entre eles,

modo de ruptura previsto pelo método de Análise para Vigas-paredeBiapoiadas (segundo Subedi), para cada uma das 37 vigas consideradas.

CAPÍTULO V

5. COMENTÁRIOS E ANÁLISE DOS RESULTADOS

Neste capítulo serão apresentados os comentários sobre a grande maioria dos métodos

descritos no item 2.13 do Capítulo II e a análise dos resultados obtidos no Capítulo IV.

No cálculo da média e do desvio padrão da razão R (PU(PREVISTA) /PU(TESTE)) para cada

método não serão considerados os dados provenientes das vigas que romperam localmente, a

menos que seja dito o contrário.

5.1 - GUIA 2 DA CIRIA

a. No cálculo à flexão, o braço de alavanca z é calculado de forma aproximada no regime

elástico, dependendo somente do vão efetivo (" ) e da altura efetiva (ha ). Não é levado em

conta que, com o surgimento das primeiras fissuras de flexão, z aumenta e, ainda, que este

varia com a taxa geométrica de armadura;

b. A Eq. 2.4 é essencialmente a Fórmula de Kong. O Guia, contudo, modifica os valores

numéricos dos coeficientes C1 e C2 para introduzir o fator de segurança necessário para

propósitos de projeto. No item 2.13.4 essa modificação não foi feita, pois foi considerado

um fator de segurança unitário;

c. A Eq. 2.4 se aplica somente ao intervalo de 0.23 a 0.70 para x ha . Contudo, a partir de

alguns resultados de testes realizados posteriormente (Kong et al., 1986), acredita-se que

a equação citada pode ser aplicada ao intervalo de 0 a 0.70 para x ha ;

97

d. No lado direito da Eq. 2.4, a quantidade C1 f bhc a' é uma medida da capacidade de

carga da biela de concreto, ao longo da linha Y-Y apresentada na Figura 2.34. Da figura, é

visto que a capacidade cresce com o ângulo α; na Eq. 2.4, o fator ( )1 0 35− . x ha leva em

conta a observação experimental do modo no qual esta capacidade é reduzida com α (com

um crescimento na razão xha). Quando a carga suportada pela biela de concreto é

superior ao limite de resistência da mesma, uma ruptura por fendilhamento do concreto

ocorre, resultando na formação da fissura diagonal ao longo de Y-Y mostrada na Figura

2.34. Após a formação da fissura diagonal, a biela de concreto se torna, em efeito, duas

bielas carregadas excentricamente. Estas bielas são restringidas contra flexão no plano, pela

armadura de alma;

e. No lado direito da Eq. 2.4, o segundo termo representa a contribuição da armadura à

resistência ao cisalhamento da viga. A armadura permite que a biela de concreto fendilhada

continue a suportar cargas, restringindo a propagação e ampliação da fissura diagonal. A

viga tem uma tendência a romper num mecanismo no qual a sua porção de extremidade se

move para fora, num movimento rotacional em torno do ponto de carga (Kong e Sharp,

1973) (Kong e Chemrouk, 1990). Então, quanto mais para baixo a barra de armadura

intercepta a fissura diagonal, mais efetiva é em restringir esta rotação. Assim, na Eq. 2.4, a

contribuição do aço C2 Ay

ha

n

1

2∑ sen α é proporcional a y. As leis do equilíbrio são

desconhecedoras da discriminação do projetista entre as barras rotuladas como “armadura

de alma” e aquela rotulada como “armadura principal”. A equação citada considera que

qualquer barra de armadura fornecida, efetivamente ajuda a preservar a integridade de alma

do concreto pela restrição da propagação e da ampliação da fissura diagonal. A

contribuição de uma barra individual é julgada por sua área A, a altura y e o ângulo de

interseção α;

f. Quando aplicada a vigas-parede esbeltas, a Eq. 2.4 tende a superestimar a capacidade de

cisalhamento e reduzir o fator de segurança. Contudo, ela ainda é muito conservativa para

98

vigas muito esbeltas (Kong et al., 1986);

g. Embora o conceito de projeto seja diferente no ACI 318-95 (1995) e no Guia 2 da CIRIA

(1977), há algumas similaridades. Por exemplo, ambos assumem que a ruptura de vigas-

parede ocorre a partir de uma fissura diagonal principal que se estende do apoio ao ponto

de aplicação da carga. A capacidade de suporte de carga última é calculada usando regras

empíricas nas quais as contribuições do concreto, da armadura de alma e das barras

principais são incorporadas. O ACI 318-95 impõe um limite máximo de capacidade de

carga baseado na resistência do concreto e o Guia 2 da CIRIA impõe um limite similar

baseado no valor limite da tensão de cisalhamento última permitida numa viga;

h. O Guia 2 da CIRIA assume que a contribuição das barras horizontais, incluindo a armadura

principal, depende somente da posição da barra com respeito ao topo da viga. Em certas

vigas, porém, a contribuição assim determinada não é precisa. Em vigas com grande

quantidade de armadura principal de tração a ruptura ocorre por fendilhamento diagonal, e

o aço principal de tração não é totalmente efetivo;

i. A Eq. 2.4 mantém sua atenção nas características básicas do que é, na realidade, um

complexo mecanismo de transferência de carga. Isto é feito desconsiderando-se

quantidades as quais são menos importantes comparadas com os elementos principais;

j. Os valores de resistência última ao cisalhamento para vigas-parede de pequena espessura

ensaiadas por Cusens e Besser (Cusens, A. R., 1990) mostram que os valores de projeto

de carga última apresentados pela CIRIA estão muito próximos dos valores da carga de

aparecimento da primeira fissura diagonal;

k. Considerando as vigas-parede ensaiadas, obtém-se uma média de 0.86 para a razão RCIRIA

(PU(TESTE)/ PU(CIRIA)) e um desvio padrão de 0.21 para a mesma. Para as vigas submetidas a

um carregamento uniformemente distribuído e que não romperam localmente, RCIRIA

oscilou entre 0.50 e 0.60, valores bem conservativos. Os valores mais discrepantes (mais

afastados da unidade) de RCIRIA foram encontrados para a viga VM12-12 (RCIRIA = 1.19) e

99

para a viga VB23-18 (RCIRIA = 0.50);

l. Comparando-se as vigas VM12-12 com WM12-12, VM22-18/25 com WM22-18/25,

VM22-24 com WM22-24, que, duas a duas, se diferenciam somente pela presença ou não

da armadura de alma, percebe-se que as com este tipo de armadura apresentam resultados

de carga última mais próximos dos reais do que as sem esta armadura. Pode concluir,

então, que a presença de armadura de alma faz-se necessária, tornando os resultados

menos dispersivos.

m. Todas as vigas ensaiadas por Velasco apresentaram valores de RCIRIA conservativos, porém

relativamente próximos da unidade. RCIRIA oscilou entre 0.77 e 0.93, gerando o valor médio

de 0.87 e o desvio padrão de 0.042. Pode-se concluir que a Eq. 2.4 gera melhores

resultados para vigas-parede esbeltas do que para as comuns (“grossas”), pelo menos

quando a relação b/h varia de 10.7 a 24, que é o caso das vigas em questão. Em relação ao

que foi comentado no item anterior, deve-se atentar para o fato de que todas essas vigas

apresentavam armadura de alma.

5.2 - CEB-FIP (1978)

a. As Eqs. (2.7) fornecem valores conservativos (Guimarães, 1980). Embora não

considerem os diversos fatores que influenciam a resistência ao cisalhamento das vigas-

parede (ver item 2.6), os valores fornecidos apresentam pouca dispersão quando existe

armadura de alma;

b. O CEB-FIP de 1978 não apresenta diretrizes específicas de como calcular a armadura de

alma para resistir às forças cortantes;

c. Pode-se notar que o cálculo de resistência à flexão de vigas-parede é feito sem a

consideração da resistência à compressão do concreto e da espessura da viga; contudo,

esses dois parâmetros aparecem na limit ação do cortante;

100

d. As fórmulas para o dimensionamento à flexão foram desenvolvidas com base na

distribuição das tensões no estado não fissurado. O esforço de tração calculado a partir do

braço de alavanca obtido nessas condições (Eqs. 2.5) representa, portanto, o esforço

resultante das tensões de tração no concreto armado. Todavia, com o surgimento das

primeiras fissuras de flexão, o braço interno de alavanca aumenta e, conseqüentemente, o

esforço de tração na armadura principal deve ser menor do que o calculado. Logo, a

armadura obtida estará trabalhando com certa margem de segurança, o que gera resultados

conservativos no cálculo da carga última;

e. Uma comparação entre a carga última de vigas-parede com 1 ≤ "/h ≤ 2 rompendo por

flexão e a carga correspondente ao escoamento da armadura calculada a partir das

expressões (2.5) e (2.6), pode ser encontrada na referência (Guimarães, 1980). Na mesma

referência também se encontra uma comparação entre o esforço cortante último calculado

pelas expressões (2.7) e o esforço real de vigas-parede com 1 ≤ "/h ≤ 2 rompendo por

cisalhamento. Como resultado, percebe-se que o método aqui apresentado fornece valores

conservativos, e, geralmente, bem conservativos tanto em relação à resistência última à

flexão quanto ao esforço cortante último;

f. A carga de escoamento calculada pelo método, baseada numa análise no regime elástico, é

sempre menor do que a real, pois o braço de alavanca adotado é sempre menor do que o

real, o que foi comprovado experimentalmente por Velasco (1984);

g. Como pode ser notado, as expressões (2.7) são dependentes somente da resistência à

compressão do concreto e das dimensões da viga. A relação a/h (no caso de aplicação de

carga concentrada) ou " h (no caso de carga distribuída) não é considerada, assim como

a contribuição da armadura de alma. Contudo, o CEB-FIP recomenda o uso desta última,

observando-se a disposição (estribos horizontais e verticais, formando uma malha

ortogonal) e os valores mínimos estabelecidos para a mesma, com a finalidade de manter

pequena a abertura de fissuras;

101

h. As duas expressões apresentadas para o cálculo do braço de alavanca (Eqs. 2.5) mostram

que este varia a uma pequena razão com a altura h. Quando a altura excede o vão, z se

torna independente da altura da viga;

i. Nas expressões representadas pelas Eqs. (2.5) para cálculo de z não é considerada a

influência da taxa geométrica de armadura;

j. O CEB-FIP de 1978, assim como o ACI 318-95, relaciona a resistência ao cisalhamento

da viga- parede com a resistência do concreto à compressão;

k. Melo (1984) salienta que, de modo geral, para um dado valor de ρs (taxa geométrica de

armadura principal de tração), há um pequeno aumento na relação z/d quando a relação

" h é diminuída. É importante ressaltar que esta tendência vai de encontro às

recomendações do CEB78, que estabelecem que z cresce com " h ;

l. Observando-se os resultados de carga última obtidos e mostrados na Tabela 4.1, pode-se

notar que, para todas as vigas, a carga última prevista pelo CEB-FIP foi inferior à

experimental e, na grande maioria das vezes, bem inferior;

m. Considerando-se todas as vigas, exceto as que romperam localmente, tem-se para a média

de RCEB78 o valor de 0.46 e, para o desvio padrão, o valor de 0.12;

n. Para todas as vigas, com exceção das vigas VM11-12 e VM21-18, WAP5-18 e WAE5-12,

a carga última foi obtida a partir da limitação do cortante. Desta maneira, levando-se em

consideração as observações feitas nos itens a e g acima pode-se concluir que realmente as

Eqs. (2.7) não são adequadas para o cálculo da resistência última de cisalhamento, pois

representam limitações impostas que reduzem demasiadamente essa resistência;

o. Para as vigas submetidas a um carregamento uniformemente distribuído, os menores

valores de RCEB78 foram encontrados, podendo-se concluir que os resultados de carga

última são ainda mais conservativos para esse tipo de carregamento.

102

5.3 - CAN3-A23.3-M84

a. Para as vigas listadas na Tabela 4.1, desconsiderando-se as que romperam localmente,

tem-se para a média de RCAN84 o valor de 0.49 e, para o desvio padrão, o valor de 0.14.

Esse valor de média de RCAN84 é muito baixo, indicando uma carga última média prevista de

metade do valor experimental;

b. Foram encontrados resultados conservativos para a carga última de todas as vigas

analisadas (Tabela 4.1), sem exceções, inclusive para as 11 vigas-parede que romperam

localmente. Para essas últimas, dever-se-ia ter uma carga última prevista superior à obtida

no ensaio, tendo em vista que a ruptura local é prematura, o que indica que as referidas

vigas, se não tivessem rompido localmente, ainda suportariam um aumento de carga.

Contudo, conforme já citado, isso não ocorreu;

c. Pela CAN84, no modelo de bielas e tirantes considerado, devem ser feitas verificações de

tensões na zona nodal superior, na zona nodal inferior, na biela horizontal e na biela

inclinada, esta última tanto no topo quanto na base;

d. A influência da armadura de alma em forma de malha é negligenciada no projeto, na

CAN84, mas é recomendada uma taxa mínima a ser utilizada;

e. Na obtenção da carga última resistida pelas vigas são levados em conta quase todos os

principais parâmetros que influenciam a resistência ao cisalhamento de vigas-parede (ver

item 2.6), ausentando-se somente os parâmetros relacionados à armadura de alma;

f. É necessário garantir, no projeto, que a armadura seja detalhada tal que as forças

requeridas nos tirantes possam ser obtidas;

g. A capacidade última da viga a ser determinada é sensível à maneira da qual as zonas

nodais são detalhadas;

103

h. Em geral, os menores resultados de RCAN84 foram obtidos para as vigas submetidas a um

carregamento uniformemente distribuído e para as vigas submetidas à ação de duas cargas

concentradas que romperam por flexão ou por flexão-cisalhamento, o que leva a concluir

que o método é pouco adequado para esses casos;

i. Em relação ao comentário feito no item anterior, para o caso de vigas que rompem por

flexão ou por flexão-cisalhamento, deve ser acrescentado que a CAN84 não apresenta um

método de cálculo de resistência à flexão e, sim, uma recomendação de taxa geométrica de

armadura principal mínima a ser utilizada;

j. Para todas as 37 vigas-parede, a carga última prevista (PU(CAN84)) apresentada na Tabela 4.1

acabou não sendo determinada por equilíbrio de momentos, e, sim, através das verificações

de tensões feitas na zona nodal superior, na zona nodal inferior, ou, ainda, na base da biela

inclinada. Como todos os resultados encontrados foram conservativos, e, muitas vezes,

bem conservativos, pode ser concluído que essas verificações de tensões nas bielas e nos

nós não são suficientemente adequadas. O CEB-FIP de 1990 considera que a tensão média

em qualquer superfície ou seção de um nó singular não deve exceder, considerando valores

nominais, o valor de 0.85 f c' [1 - f c

' /250] (MPa) para a resistência de nós onde somente

bielas se encontram e o valor de 0.60f c' [1 - f c

' /250] (MPa) para a resistência de nós onde

barras da armadura principal são ancoradas. Os valores obtidos a partir das duas

expressões acima são próximos dos obtidos pela norma canadense, porém, inferiores aos

mesmos. Assim, o CEB-FIP de 1990 apresenta valores de resistência dos nós ainda mais

conservativos do que os obtidos pela norma canadense;

k. Na comparação dos valores da largura da biela inclinada obtidos pelo método do Caminho

da Força Compressiva e pela CAN84 (ver Tabela 4.2) encontra-se para a média da razão

c’CFC/c

’CAN84 o valor de 0.850 e o desvio padrão de 0.132, e para a média da razão

c”CFC/c

’CAN84 o valor de 0.931 e o desvio padrão de 0.147. Nos cálculos, foram

consideradas todas as vigas, inclusive as que romperam localmente. Pode-se perceber que

os valores de largura de biela inclinada determinados a partir do método do Caminho da

Força Compressiva estão próximos dos obtidos através da norma canadense.

104

5.4 - ACI 318-95

a. O ACI 318-95 (1995) apresenta as mesmas fórmulas de dimensionamento utilizadas no

ACI 318-83 (1983) (revisado em 1986). Há modificação, contudo, na taxa de armadura de

flexão mínima requerida (item 10.5 do ACI 318-95). Pelo ACI 318-83 deve-se ter

ρ s yf≥ 200 e pelo ACI 318-95 deve-se ter ρ s c yf f≥ 3 ' e ρ s yf≥ 200 . Nessas

expressões, f y e f c' são dados em lb/in2. Usando a Tabela de Conversão de Unidades

apresentada no início do presente trabalho, as duas expressões tornam-se, respectivamente,

ρ s c yf f≥ 0 249. ' e ρ s yf≥ 1379. , para f y e f c' dados em N/mm2 . Pode ser observado

que, no caso do ACI 318-95, as duas expressões apresentadas resultam no mesmo valor de

ρ s para um f c' de 30.65 N/mm2 (em torno de 4444 psi). Assim, a obtenção da taxa

mínima de armadura de flexão é comandada pela segunda expressão (ρ s yf≥ 200 ) se a

viga-parede a ser dimensionada tiver f c' < 30.65 N/mm2 e, pela primeira (ρ s c yf f≥ 3 ' ),

caso contrário. O ACI 318-95 também apresenta algumas recomendações de ancoragem

de armadura (itens 12.11.4 e 12.12.4 do ACI 318-95), não apresentadas no ACI 318-83;

b. O ACI 318-95 não contém recomendações detalhadas para o projeto de vigas-parede por

flexão, exceto que a não linearidade de distribuição de deformações e a flambagem lateral

devem ser consideradas;

c. O critério de projeto do ACI 318-95 para resistência ao cisalhamento de vigas-parede

consiste de um conjunto de regras empíricas baseadas numa grande quantidade de dados

provenientes de testes. Ela é considerada ser conservativa com uma grande margem de

segurança quando aplicada a casos de vigas simplesmente apoiadas (Mau e Hsu, 1989).

As fórmulas do ACI consideram os principais fatores que influenciam a resistência ao

cisalhamento; contudo, tal conservadorismo é geralmente inevitável quando a contribuição

dos vários fatores à resistência ao cisalhamento não é explicitamente desenvolvida de um

claro mecanismo de ruptura;

105

d. O Código considera que a armadura de alma horizontal é mais efetiva do que a vertical. No

limite "0 5d = , os fatores de peso ( )112

0+ " / d e ( )11

120− " / d

apresentados na Eq.

2.17 são iguais. À medida que "0d decresce, as barras de aço horizontais se tornam

crescentemente mais efetivas quando comparadas com as verticais. Contudo, nos testes

apresentados por Rogowsky, MacGregor e Ong (1986), a presença de armadura de alma

horizontal não provocou nenhum efeito na resistência das vigas. Além disso, os resultados

dos testes mostraram que há pouca concordância entre os valores medidos

experimentalmente para a capacidade cisalhante nominal e aqueles previstos pelo ACI;

e. O ACI considera obrigatório o uso de armadura de alma, especialmente quando a tensão

de cisalhamento a ser resistida pelo concreto for ultrapassada. Smith e Vantsiotis (1982),

numa investigação experimental, concluíram que as expressões utilizadas pelo ACI

subestimam a contribuição do concreto e superestimam a contribuição da armadura de

alma;

f. No caso de vigas sujeitas à ação de duas cargas concentradas, os resultados fornecidos

pelas fórmulas do ACI apresentam pouca dispersão, mas são conservativos, como

comprovam os resultados experimentais expostos na Tabela 4.3. Uma comparação entre

o esforço cortante último calculado por este método e o real, observado

experimentalmente, de vigas-parede com 1 ≤ "/h ≤ 4, rompendo por cisalhamento, pode

ser encontrada na referência (Guimarães, 1980). Os resultados comprovam o

conservadorismo;

g. O método não avalia a resistência última das vigas-parede e, sim, faz recomendações que,

se observadas, permitem o dimensionamento de uma peça com boa margem de segurança

quanto à sua resistência última e, simultaneamente, obedecendo a certos critérios relativos

aos estados de utilização, sobretudo o de fissuração (Guimarães, 1980);

h. Há similaridades entre o ACI 318-95 e o Guia da CIRIA, apesar das diferenças no conceito

de projeto: ambos os métodos assumem que a ruptura de vigas-parede ocorre a partir de

106

uma fissura diagonal principal que se estende do apoio ao ponto de aplicação da carga. A

capacidade de suporte de carga última é obtida através de regras empíricas nas quais as

contribuições do concreto, da armadura de alma e armadura principal são incorporadas;

i. Os valores de resistência última ao cisalhamento para vigas-parede de pequena espessura

ensaiadas por Cusens e Besser (Cusens, A. R., 1990) mostram que os valores de projeto

de carga última apresentados tanto pela CIRIA quanto pelo ACI estão muito próximos

dos valores da carga de aparecimento da primeira fissura diagonal;

j. De um ponto de vista teórico, o método apresentado pelo ACI pode não satisfazer a

condição de compatibilidade, a menos que os materiais (concreto e aço) sejam assumidos

ter plasticidade infinita;

k. Todos os valores obtidos para RACI95 mostrados na Tabela 4.1 foram inferiores à unidade,

inclusive para as vigas que romperam localmente;

l. Considerando-se as vigas que não romperam localmente, tem-se para a média e o desvio

padrão de RACI95 , o valor de 0.57 e de 0.14, respectivamente. O baixo valor encontrado

para a média de RACI95 deve-se, provavelmente, aos vários fatores comentados nos itens

acima;

m. Os piores resultados de RACI95, ou seja, os valores de RACI95 mais afastados da unidade,

foram encontrados para as vigas submetidas a um carregamento uniformemente

distribuído. Para a viga VB23-18 o valor de RACI95 foi de 0.28, ou seja, a carga última

prevista foi praticamente 1/4 do valor da carga última experimental.

5.5 - MÉTODO DO CAMINHO DA FORÇA COMPRESSIVA

a. No cálculo da força que age na biela horizontal e da força que age na biela inclinada, não é

levado em conta que a tensão atuante não é fc' , e, sim, algum valor menor do que fc

' ,

107

dependendo se a região está submetida somente a esforços de compressão ou se há

também esforços de tração. O autor do método não utiliza a redução existente para a

tensão de compressão. Esta redução é requerida em normas de projeto como a CAN3-

A23.3-M84 (1984) e o CEB-FIP (1990), para levar em conta a resistência real da biela, a

qual é inferior à fc' ;

b. Para a biela inclinada é considerada uma largura de a/3 ou a própria largura do apoio, se o

valor desta última for superior ao da primeira. Pelo método, deve-se ajustar a largura da

viga, b, caso a largura a/3 citada acima não satisfaça o equilíbrio de forças. Contudo, como

as vigas utilizadas já estavam com armadura, dimensões e carregamento pré- determinados,

e somente a carga última era procurada, essa checagem de equilíbrio não influenciou o

valor da carga última resultante, pois as dimensões das vigas não poderiam ser mudadas,

independentemente da obtenção ou não do equilíbrio considerado. Como foi obtida a carga

última experimental para todas as vigas, o que significa que os ensaios foram realizados até

que as vigas fossem rompidas, o valor de bc fc' ' senϕ , considerando-se c' igual ao maior

valor entre a/3 e a largura do apoio, deveria ser sempre igual ou inferior à reação de

apoio. Todavia, isto não ocorreu nas vigas VM11-12, VM21-18, VM21-24, WMP51-18,

WME51-12, WMP71-18, VM12-18 e WM32-18, o que significa que, por este método,

estas vigas não deveriam ter rompido com a carga determinada. Isto se deve

particularmente ao fato de não ter sido considerado um fator de redução para a tensão de

compressão nas bielas e de ter-se usado o valor a/3 já comentado para a largura da biela

inclinada, não se determinando realmente esta largura;

c. Pelo método, são utilizadas somente equações de equilíbrio; não são levadas em

consideração equações de compatibilidade e relações de tensão-deformação, conforme as

estabelecidas no método do Modelo de Treliça com Amolecimento;

d. Neste método não é considerada a influência da armadura de alma na resistência da viga;

e. Na Tabela 4.2 encontram-se os valores de c'CFC e de c''

CFC, definidos no item 4.5. Para as

vigas submetidas a carregamento uniformemente distribuído os valores de c'CFC e de c''

CFC

108

obtidos foram muito próximos entre si. Para as demais há valores discrepantes, com

algumas exceções;

f. A média (µ) e o desvio padrão (σ) de RCFC para as 26 vigas-parede que não romperam

localmente foram de 0.91 e de 0.25, respectivamente;

g. As vigas que romperam localmente deveriam apresentar para RCFC um valor superior à

unidade, pois romperam prematuramente e, assim, não alcançaram sua capacidade máxima

de carga. Porém, do mesmo modo como obtido para o método do Modelo de Bielas e

Tirantes Refinado (item 5.8), os valores da razão entre a carga última prevista e a

experimental foram inferiores à unidade para as vigas submetidas a carregamento

uniformemente distribuído com rompimento local. O mesmo aconteceu com a viga

WAP5-18;

h. Todas as vigas submetidas a carregamento uniformemente distribuído apresentaram

resultados conservativos; o pior resultado foi obtido para a viga WB43-18 (RCFC = 0.56);

i. As vigas VM12-12, VM22-18/25, VM22-24 (sem armadura de alma) e as WM12-12,

WM22-18/25, WM22-24 (idênticas às primeiras, diferenciando-se somente pela presença

de armadura de alma) ensaiadas por Guimarães apresentaram resultados não conservativos.

Para a viga VM22-24 foi encontrado o pior resultado (valor de RCFC mais afastado da

unidade): 1.35, indicando uma resistência última calculada 35.0% superior à real;

j. As vigas WM12-12, WM22-18/25, WM22-24, que se diferenciam entre si principalmente

pela presença e dimensões da rigidez de apoio apresentaram resultados de RCFC muito

próximos entre si. O mesmo não aconteceu com as vigas VM12-12, VM22-18/25 e

VM22-24, indicando que na presença de armadura de alma há pouca dispersão de

resultados, apesar das diferenças na rigidez de apoio;

k. Todas as vigas ensaiadas por Velasco (1984), com exceção da viga WMP72-18 e da

WME72-12, apresentaram resultados conservativos. Os melhores resultados foram obtidos

109

para as vigas WMP53-18 (RCFC = 0.90) e WME53-12 (RCFC = 0.99) e o valor de RCFC

mais afastado da unidade foi encontrado para a viga WAE5-12 (RCFC = 0.64). Analisando

as duplas de vigas que se diferenciam fundamentalmente pela presença ou não de rigidez

nos apoios, pode-se concluir que não houve influência dessa rigidez nos resultados de

RCFC para as vigas médias com taxa geométrica de armadura 1.

5.6 - MÉTODO DE ANÁLISE PARA VIGAS-PAREDE BIAPOIADAS SEGUNDO

SUBEDI

a. No caso da resistência à flexão, o autor do presente método (Subedi, 1988) sugere que a

carga última seja obtida a partir de compatibilidade de deformações, da mesma maneira que

nas vigas comuns, ou seja, é sugerida a utilização de um diagrama linear de deformações.

Contudo, é sabido que, numa viga-parede, tanto o diagrama de deformações quanto o de

tensões em qualquer seção da viga exibe um comportamento não linear;

b. Pelo método, é estabelecido que se a viga é superarmada à tração, então, a ruptura é

governada pela resistência da alma em fendilhamento diagonal, e a armadura principal será

somente parcialmente efetiva;

c. O método proposto examina cada viga pela sua capacidade na seção do meio do vão e na

sua alma. A mais fraca das duas regiões irá decidir seu modo de ruptura e a resistência

última;

d. A altura do bloco de compressão para o Estágio II é calculada pela consideração do

equilíbrio das forças horizontais na seção inclinada da viga (Fig. 2.38). O seu valor não

pode ser fixado com base numa simples proporção de altura, e varia de acordo com a

resistência à compressão da viga, com sua armadura principal e de alma, com a resistência

do concreto e com a geometria;

110

e. O método proposto apresenta uma fórmula para uso no Estágio II, a partir do equilíbrio

de forças no plano inclinado considerado. Nessa fórmula estão presentes os principais

parâmetros que influenciam o modo de ruptura da viga e sua resistência última. Esses

parâmetros englobam a resistência dos materiais (f c' , f wy e f sy ), a quantidade de armadura

( As , Ah e Av ), a geometria da viga (" , h, b) e a posição da carga (x, x’);

f. O autor desse método de análise (Subedi, 1988), para validação do método proposto,

utiliza para comparação de carga última e do modo de ruptura os resultados previstos com

os resultados obtidos através do ensaio de 19 vigas-parede realizado por ele próprio

(Subedi, 1986), de 35 vigas-parede ensaiadas por Kong (Kong et al., 1970) e de 52

vigas-parede ensaiadas por Smith e Vantsiotis (1982). Os resultados obtidos foram

razoáveis, em média, mas chegando a apresentar vários valores discrepantes de carga

última, principalmente para as vigas ensaiadas por Kong e Smith e Vantsiotis (ver item

6.2.2);

g. As vigas ensaiadas por Guimarães (1980), Vasconcelos (1982) e Velasco (1984)

possuíam valores de relações de parâmetros como " h , x h , A bds , A b sh h e A bsv v

dentro ou próximo dos limites das 158 vigas-parede analisadas por Subedi (1988) através

do método proposto, havendo uma grande discrepância somente no valor da relação h/b

para as vigas ensaiadas por Velasco. Para essas vigas tem-se a relação h/b de 10.67, 16 ou

24, enquanto que as 158 vigas analisadas por Subedi apresentavam um intervalo de h/b de

3.5 a 10.0;

h. As vigas com " /h = 2.0 apresentaram uma relação RAVPB muito baixa, variando de 0.23 a

0.40. Como essas foram as únicas vigas ensaiadas que apresentavam como carregamento

uma carga uniformemente distribuída no bordo superior e tendo em vista que todas as 158

vigas utilizadas por Subedi para validação do método eram submetidas à ação de duas

cargas concentradas, pode-se concluir que alguma modificação deve ser necessária no

método para torná-lo aplicável a vigas sujeitas a cargas distribuídas;

111

i. Na previsão do modo de ruptura das 37 vigas, não foi encontrado nenhum mecanismo de

ruptura de flexão-cisalhamento, o que seria o caso para as vigas VM21-18, VM21-24,

WMP51-18, WME51-12, WMP71-18, WME71-12, WAP7-18 e WAE7-12; ou seja: o

método não conseguiu prever corretamente o modo de ruptura em se tratando de flexão-

cisalhamento;

j. As vigas altas (WAP5-18, WAE5-12, WAP7-18, WAE7-12) apresentam RAVPB superior a

1.0, variando de 1.13 a 1.23, indicando uma carga última de ruptura prevista superior à

real;

k. A média obtida para RAVPB foi de 0.72 e o desvio padrão de 0.27. Nos cálculos, não

foram considerados os valores relativos às vigas que sofreram ruptura local. Se as vigas

submetidas a um carregamento uniformemente distribuído não forem consideradas, esses

valores mudam para 0.83 e para 0.17, respectivamente;

l. Comparando-se o modo de ruptura previsto para as 26 vigas que não romperam

localmente (Tabela 4.2) com o real (Tabela 3.4) pode ser observado que não há

concordância de mecanismo de ruptura para 9 das 26 vigas apresentadas, o que equivale à

35 % desse total, o que pode ser considerada uma porcentagem bem significativa.

5.7 - MÉTODO DO MODELO DE TRELIÇA COM AMOLECIMENTO

a. A fórmula explícita proposta leva em conta os fatores mais importantes na resistência ao

cisalhamento de vigas-parede: a relação a/h, a resistência do concreto (fc' ) e do aço, a taxa

mecânica de armadura longitudinal (wl ) e a taxa mecânica de armadura transversal (wt )

das vigas;

b. Na fórmula explícita (2.19) está presente o parâmetro w", definido como taxa mecânica de

armadura longitudinal. No cálculo desse parâmetro está presente ρ", que é a taxa

112

geométrica de armadura longitudinal. Dessa maneira, é perceptível que não há distinção

entre a armadura de alma horizontal e a armadura principal (tanto de tração quanto de

compressão). Todas essas armaduras estão incorporadas igualmente em ρ", pelo fato de

estarem presentes no elemento de cisalhamento considerado, contribuindo para a

resistência ao cisalhamento;

c. O método só é aplicável a vigas-parede que rompem por cisalhamento. Contudo, não é

salientado como ter conhecimento a priori (sem a realização de ensaios) do mecanismo de

ruptura desse tipo de vigas, com precisão suficiente, para saber se o método pode ou não

ser aplicado;

d. É assumido o escoamento tanto da armadura horizontal quanto da vertical, o que nem

sempre ocorre em se tratando de cisalhamento como modo de ruptura;

e. São utilizados valores limites para w"e para wt , pois é considerado que a resistência

última ao cisalhamento pode não ser controlada pelo escoamento do aço. Em tais casos, a

Eq. (2.19) é ainda aplicável com os limites superiores de w"e w t , mas os resultados

apresentados podem ser ligeiramente conservativos;

f. Toda a dedução para se chegar à fórmula (2.19) é feita a partir de uma viga-parede

biapoiada submetida à ação de duas cargas concentradas no bordo superior. A validação do

método é realizada com base na comparação dos resultados de carga última de 63 vigas-

parede, 15 das quais ensaiadas por Kong (Kong et al., 1970), 46 ensaiadas por Smith e

Vantsiotis (1982) e 2 por de Paiva e Siess (1965). Todas as vigas acima referidas

romperam por cisalhamento, estavam submetidas a duas cargas concentradas aplicadas no

bordo superior e obedeciam aos limites estipulados de a até e no item 2.13.10.2. Os

resultados obtidos foram bastante razoáveis, obtendo-se para RMTA, sendo RMTA =

PU(MTA)/PU(TESTE), o valor médio de 1.01 e o desvio padrão de 0.08;

g. Considerando-se somente as vigas marcadas com o símbolo * , que são aquelas que

apresentam as condições recomendadas para a aplicação da fórmula explícita representada

113

pela Eq. 2.19, além de romperem por cisalhamento e serem submetidas a forças

concentradas no bordo superior, que são as condições utilizadas no desenvolvimento de

todo o processo do método iterativo numérico que gerou a fórmula simplificada, tem-se

para a média (µ) e o desvio padrão (σ) de RMTA, 1.07 e 0.14, respectivamente. Por estes

valores apresentados, pode-se dizer que a previsão feita para a carga última de

cisalhamento é bem razoável. Contudo, é necessário salientar que somente 7 das 37 vigas-

parede ensaiadas apresentaram essas condições e que, assim, nenhuma conclusão definitiva

pode ser concebida com base nesses resultados;

h. Pelo fato de o interesse principal do presente trabalho ser a obtenção de um método

simples que possa ser aplicado ao maior número possível de vigas-parede, e que apresente

resultados de carga última os mais próximos possíveis dos reais (obtidos

experimentalmente), na Tabela 4.1 encontram-se resultados de carga última gerados pela

fórmula (2.19) para todas as 37 vigas-parede referidas nas dissertações de Guimarães

(1980), Vasconcelos (1982) e Velasco (1984) obedecendo ou não às restrições citadas no

item f. A média obtida para RMTA foi de 1.08 e o desvio padrão foi de 0.26. Nesse cálculo

não foram consideradas as vigas que romperam localmente. O valor médio encontrado foi

bem razoável, apesar de ser contra a segurança; porém, o desvio padrão foi relativamente

alto, donde se conclui que realmente o método não gera bons resultados quando aplicado a

vigas que não estão de acordo com as restrições já citadas;

i. Pode ser notado pela Tabela 4.1 que todas as vigas que foram submetidas a carregamento

uniformemente distribuído, tanto com quanto sem armadura de alma, independentemente

do seu modo de ruptura, apresentaram resultados conservativos;

j. Todas as vigas apresentaram resultados de carga última prevista não conservativos, com

exceção daquelas submetidas a um carregamento uniformemente distribuído e das vigas

WMP53-18 e WME53-12.

Conforme já dito no item 4.7, a fórmula apresentada por Ramakrishnan e

Ananthanarayana (Ramakrishnan e Ananthanarayana, 1968) e a fórmula apresentada por

114

de Paiva e Siess (de Paiva e Siess, 1965), para cálculo da carga última, foram utilizadas por

Mau e Hsu, autores do método em questão, para comparação de resultados em Mau e Hsu

(1989), o que tornou interessante a utilização de ambas também no presente trabalho, para

efeito de comparação de resultados. Os comentários sobre as referidas fórmulas encontram-se

a seguir.

• Fórmula de Ramakrishnan e Ananthanarayana

A fórmula de Ramakrishnan e Ananthanarayana (Eq. 4.1) não é exatamente uma

fórmula empírica. Ela é desenvolvida baseada na suposição de que a resistência ao

cisalhamento de vigas-parede depende somente da resistência à fissuração do concreto. Esta

fórmula só leva em conta a resistência cilíndrica de fendilhamento do concreto e a geometria

da seção transversal da viga, não considerando a contribuição da armadura de alma e nem a

influência da relação a/h.

Para f t foi utilizada a resistência ao fendilhamento obtida experimentalmente para as

vigas, para a obtenção dos resultados da segunda coluna de RRA (Tabela 4.1). Usando os

valores de f t fornecidos por Kong, Robins e Cole (1970), o valor de f t pode ser relacionado

a fc' através da fórmula f t = 7.2 fc

' (com fc' em psi), sem grande erro, equivalente à

f t = 0.598 fc' (MPa). O valor de f t utilizado para a previsão da carga última também foi

obtido desta maneira, e os resultados encontram-se na primeira coluna de RRA.

Guimarães (1980) utiliza, na comparação da resistência última de cisalhamento, a

fórmula V f bhU t= 112. , que é uma variante da fórmula original. Ramakrishnan e

Ananthanarayana verificaram, experimentalmente, que a substituição de π2

por 1.12, na

fórmula, gerava melhores resultados. Contudo, isto não foi verificado para as vigas ensaiadas

pelo próprio Guimarães. Para elas, o fator π2

gerou valores de resistência mais próximos dos

experimentais do que o fator 1.12.

115

A média (µ) e o desvio padrão (σ) de RRA foram de 0.88 e 0.16, respectivamente,

para as vigas assinaladas com * . Para as 26 vigas que não romperam localmente, tem-se 0.97

para a média (µ) dos valores da primeira coluna deRRA e ,para o desvio padrão (σ) respectivo,

0.29. Para os valores da segunda coluna de RRA tem-se, respectivamente, 0.76 e 0.24 para a

média e o desvio padrão. Desse modo, para as 26 vigas consideradas, os dois valores de

desvio padrão encontrados foram relativamente altos, donde se conclui que a fórmula

representada pela Eq. (4.1) não gera resultados adequados para uma grande parte das vigas.

• Fórmula de de Paiva e Siess

A fórmula proposta por de Paiva e Siess (Eq. 4.2) é uma modificação de uma fórmula

mais primitiva, de Laupa, Siess e Newmark (1989). Ela leva em conta a geometria da viga

(incluindo o vão livre de cisalhamento), a resistência à compressão cilíndrica do concreto e a

armadura longitudinal total (armadura principal + armadura horizontal de alma), não

considerando a armadura de alma transversal.

Para as vigas assinaladas com * , a média (µ) e o desvio padrão (σ) de RPS foram de

0.91 e 0.11, respectivamente. Para as 26 vigas que não romperam localmente tem-se 0.92 para

o valor médio de RPS e 0.24 para o desvio padrão respectivo. Assim sendo, a fórmula

proposta por de Paiva e Siess também apresentou um desvio padrão relativamente alto quando

de sua aplicação nas vigas consideradas e, dessa maneira, também não fornece uma boa

aproximação de carga última.

5.8 - MÉTODO DOMODELO DE BIELAS E TIRANTES REFINADO

a. Siao (1995) obtém uma fórmula para o cálculo da resistência última ao cisalhamento de

vigas-parede, a partir do equilíbrio de forças de um modelo refinado de bielas e tirantes. Na

116

fórmula apresentada, todos os principais parâmetros (ver item 2.6) que influenciam a

resistência ao cisalhamento de tais vigas são levados em conta (direta ou indiretamente);

b. Siao (1995) sugere que a resistência à flexão seja calculada através do equilíbrio de

momentos das forças externas (carga aplicada e reação de apoio) e das forças internas

(força de compressão resistente do concreto e força de tração da armadura principal), que

é essencialmente o procedimento de cálculo adotado pelo CEB-FIP de 1978. Há uma

diferença, contudo, no cálculo do braço de alavanca utilizado, em relação ao utilizado por

este último. Siao sugere que z tenha o mesmo valor de d. Assim, o braço de alavanca

estaria relacionado somente com a altura da viga, sendo negligenciada a sua variação com

o comprimento da viga e com a taxa geométrica de armadura principal da mesma;

c. Não é feita nenhuma verificação de tensão nas bielas, nos nós e nas ancoragens;

d. No método apresentado é sugerido que o valor de f t seja obtido através da utilização da

fórmula f ft c= 6 96. ' (psi), equivalente à f ft c= 0578. ' (MPa). O valor assim

encontrado difere um pouco do valor recomendado pelo ACI 318-95 (1995), que é o

obtido através da fórmula f ft c= 6 7. ' (psi), equivalente à f ft c= 0556. ' (MPa);

e. Siao (1995) apresenta uma tabela com as cargas de ruptura previstas pelo método, para

comparação com as cargas de ruptura reais para 35 vigas-parede. Nesta comparação, ele

obtém para P PU p (carga última / carga prevista) um valor médio de 1.01 e um desvio

padrão de 0.12. Todas as cargas últimas previstas que constam na tabela apresentada são

obtidas a partir da fórmula (2.24). Contudo, 10 das vigas analisadas, apesar de terem

rompido por fendilhamento diagonal na prática, apresentaram uma carga calculada de

ruptura por flexão menor do que a de cisalhamento e, assim, a carga última de flexão é que

deveria estar presente na tabela, para essas vigas. Considerando a referida carga para as 10

vigas citadas, o valor médio de P PU p aumentaria, assim como o desvio padrão;

117

f. A taxa geométrica de armadura principal não é considerada no cálculo da resistência ao

cisalhamento, no método do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado, diferentemente do que

ocorre no método do Modelo de Treliça com Amolecimento. Nesse último, conforme já

comentado, a resistência ao cisalhamento é calculada tendo ρ" como um dos parâmetros,

sendo ρ" definido como a taxa geométrica de armadura longitudinal, a qual abrange a

armadura de alma e a armadura principal. No primeiro método, em VU (resistência ao

cisalhamento), o parâmetro ρ h engloba somente a armadura de alma horizontal,

negligenciando a contribuição da armadura principal;

g. Para as vigas-parede ensaiadas, a média (µ) deRMBTR foi de 0.88 e o desvio padrão (σ)

encontrado foi de 0.22. Nesse cálculo não foram consideradas as vigas que romperam

localmente;

h. Considerando-se apenas as vigas submetidas à ação de duas cargas concentradas no bordo

superior e que não romperam localmente, obtém-se 0.95 para a média de RMBTR e 0.18 para

o desvio padrão;

i. Todas as 12 vigas ensaiadas por Velasco, independentemente de serem altas (h = 1200 mm)

ou médias (h = 800 mm) e de possuírem menor ou maior taxa geométrica de armadura

principal e de, ainda, terem espessura de 50.0 ou 75.0 mm, apresentaram resultados de

carga última conservativos, porém próximos dos reais. Para as vigas WMP51-18 e

WME51-12 foram encontrados os piores resultados de RMBTR , ou seja, os mais afastados

da unidade: 0.75 e 0.71, respectivamente. Analisando as duplas de vigas que se diferenciam

basicamente por possuírem ou não rigidez nos apoios, pode-se concluir que a presença

dessa rigidez não influenciou significativamente os resultados de RMBTR obtidos;

j. As vigas médias, ensaiadas por Velasco, com maior taxa geométrica de armadura principal

apresentaram resultados melhores (mais próximos da carga última experimental) do que as

mesmas com menor taxa;

118

k. As vigas altas com espessura de 75.0 mm apresentaram resultados melhores do que as

mesmas com espessura de 50.0 mm. O mesmo aconteceu com as vigas médias, indicando

que o método é menos preciso para vigas de pequena espessura;

l. Para todas as vigas que romperam localmente, dever-se-ia ter um valor de RMBTR superior

à unidade, pois as mesmas não atingiram sua capacidade máxima de carga. Contudo, isso

não se verifica para nenhuma das vigas submetidas a carregamento uniformemente

distribuído e que romperam localmente, e nem para as vigas WAP5-18 e WM12-18. Esta

última, porém, apresentou RMBTR = 0.99, indicando que o rompimento local ocorreu

praticamente simultaneamente à obtenção da resistência última;

m. Todas as vigas submetidas a um carregamento uniformemente distribuído apresentaram

resultados conservativos, independentemente de possuírem ou não armadura de alma e da

espessura de rigidez de apoio. Os valores podem ser obtidos na Tabela 4.1;

n. Todas as vigas ensaiadas por Vasconcelos submetidas à ação de duas cargas concentradas

apresentaram resultados não conservativos, excetuando-se somente a viga WM12-18 já

referida no item l;

o. Para as vigas VM11-12, VM21-18 e VM21-24 os resultados de carga última foram

conservativos, porém próximos dos reais. Essas 3 vigas possuíam uma taxa geométrica de

armadura principal inferior às demais vigas ensaiadas por Guimarães, e não possuíam

armadura de alma. Para as demais vigas referidas os resultados não foram conservativos,

exceção feita à viga WM22-18/25. A maior discrepância foi encontrada para a viga VM12-

12: um valor de RMBTR de 1.33, indicando uma resistência prevista 33.0% superior à real.

Comparando- se as vigas VM12-12 com WM12-12, VM22-18/25 com WM22-18/25 e

VM22-24 com WM22-24 pode-se concluir que a presença da armadura de alma fez com

que as vigas que a possuíam apresentassem resultados de carga última mais próximos dos

reais do que as sem essa armadura;

119

p. É interessante notar que todas as vigas que romperam por flexão ou por flexão-

cisalhamento tiveram sua carga última prevista obtida através da fórmula de flexão, já

comentada no item b, ou seja, o resultado de resistência última obtido por esta fórmula foi

inferior ao obtido pela fórmula de cálculo da resistência de cisalhamento. Já as que

romperam por cisalhamento tiveram sua carga última prevista obtida a partir da fórmula

representada pela Eq. (2.24), indicando que a carga última de cisalhamento assim

encontrada foi inferior à obtida pela fórmula de flexão. Desta maneira, o método, apesar

de não ter a intenção de prever o modo de ruptura das vigas, acaba por fazê-lo com

grande precisão, tendo em vista que não há uma formulação específica de cálculo de carga

última para flexão-cisalhamento.

CAPÍTULO V I

6. ANÁLISE DE VIGAS APRESENTADAS NA L ITERATURA

Vários métodos descritos no Capítulo II (item 2.13) foram validados a partir de

resultados de carga última gerados através de ensaios descritos na literatura. Os resultados

mais utilizados com esta finalidade foram os obtidos por Kong et al. (1970), Smith e

Vantsiotis (1982) e de Paiva e Siess (1965). Todas as vigas ensaiadas eram biapoiadas e

estavam submetidas à ação de duas cargas concentradas no bordo superior, aplicadas a 1/3 e

a 2/3 do vão. A relação "/h para as vigas ensaiadas por Kong (Tabela 6.1) varia de 1.0 a 3.0.

Para as ensaiadas por Smith e Vantsiotis (Tabela 6.2), essa relação varia de 2.29 a 4.14 e para

as ensaiadas por de Paiva e Siess (Tabela 6.4), a variação é de 1.85 a 3.43. Para várias normas

de projeto, como o Guia 2 da CIRIA (1977), o CEB-FIP (1978) e a NBR 6118 (1978), por

exemplo, uma viga biapoiada é considerada uma viga-parede quando apresenta "/h < 2.0.

Assim, para essas normas, uma parte das vigas referidas acima não poderia ser considerada

uma viga-parede (ver item 2.3).

Para efeito de comparação e análise de resultados de uma forma mais global, serão

apresentadas neste capítulo as propriedades das vigas ensaiadas pelos pesquisadores acima

referidos. Visando uma uniformização, todos os valores encontrados nas tabelas relacionadas

acima, originalmente em unidades inglesas, estão apresentados em unidades do Sistema

Internacional. A conversão de unidades foi feita a partir da Tabela de Conversão de Unidades

inserida no início dessa dissertação. A notação original apresentada para as vigas foi mantida.

Maiores detalhes, como o detalhamento, a disposição das armaduras e demais características

relevantes não comentadas no decorrer do presente trabalho, podem ser obtidos diretamente

das referências Kong et al. (1970), Smith e Vantsiotis (1982) e de Paiva e Siess (1965). A

seguir, serão apresentados os resultados de carga última obtidos experimentalmente e os

obtidos através de vários métodos de cálculo para essas vigas. O objetivo é a comparação e

121

uma análise global de resultados obtidos a partir dessas vigas com aqueles encontrados a

partir das 37 vigas-parede ensaiadas por Guimarães (1980), Vasconcelos (1982) e Velasco

(1984), visando obter, dentre os métodos pesquisados, o que melhor se adapte ao

dimensionamento de tais vigas.

Não serão considerados os métodos de dimensionamento mais antigos como o CEB-

FIP de 1978 e o Guia da CIRIA de 1977 por apresentarem um processo de cálculo já bastante

comentado, ao longo dos anos, por vários pesquisadores (Kong et al., 1986; Subedi,

1988;Guimarães, 1980; Vasconcelos, 1982; Velasco, 1984; Tan et al., 1997; Subedi, 1986).

O ACI 318-95 (1995) por possuir a mesma formulação do ACI 318-83 (1983) e já tendo

sido este também muito comentado (Rogowsky e MacGregor, 1986; Rogowsky et al., 1986;

Subedi, 1988; Guimarães, 1980; Vasconcelos, 1982; Velasco, 1984; Tan et al., 1997), da

mesma forma não será considerado.

Dos métodos de cálculo mais recentes, somente o do Caminho da Força Compressiva

não será discutido neste capítulo, por já ter sido mostrado não ser um método razoável (ver o

primeiro comentário do item 5.5).

6.1 - PROPRIEDADES DOS MATERIAIS, GEOMETRIA E ARMADURA

DAS VIGAS

6.1.1. - Vigas ensaiadas por Kong et al.

Na Tabela 6.1 encontram-se as propriedades de 35 vigas estudadas experimentalmente

por Kong et al. (1970). Todas as vigas possuíam " = 762 mm , b = 76 mm, h - d = 38 mm,

As = 1φ19.0 mm = 284mm2 com f sy= 292.0 MPa; ρh para as Séries 6 e 7 foi tomado como

(área total de armadura de alma/seção transversal da viga).

122

6.1.2. - Vigas ensaiadas por Smith e Vantsiotis

Na Tabela 6.2 encontram-se as propriedades das 52 vigas ensaiadas por Smith e

Vantsiotis (1982). Todas as vigas possuíam As = 3 φ 16.0 mm=603 mm2, ρs = A

bds 100 194%= .

e As’ = 1 φ 6.3 mm = 31 mm2, ρs

’ = A

bds'

.100 010%= , sendo As’ e ρs

’ , a área da armadura

principal de compressão e sua taxa geométrica, respectivamente. Todas apresentavam

h = 355.6 mm, d = 304.8 mm e b = 101.6 mm. A armadura de alma foi constituída por barras

de φ = 6.3 mm.

Como o valor de f t não era um dado disponível dos ensaios, o seu cálculo foi feito a

partir da expressão abaixo (Tan et al., 1997):

f t = 0.32 (f c' )2/3 (6.1)

onde a unidade de f t e f c' é MPa.

Na Tabela 6.3 encontram-se as propriedades das barras constituintes das armaduras das

52 vigas.

6.1.3. - Vigas testadas por de Paiva e Siess

Na Tabela 6.4 encontram-se as propriedades das 19 vigas ensaiadas por de Paiva e

Siess (1965). Para todas as vigas tem-se " = 609.6 mm , " t = 711.2 mm e a = 203.2 mm.

A armadura de alma apresentada pelas vigas G33S-12, G33S-32, F3S3, F3S2, F4S22

e F4S1 consiste de estribos verticais e a apresentada pelas vigas F2S2 e F2S1 consiste de

estribos inclinados. Os estribos possuem φ = 4.5 mm e fwy = 220.64 MPa. Os detalhes da

armação podem ser obtidos diretamente de de Paiva e Siess (1965).

123

Como o valor de f t não era um dado disponível dos ensaios, o seu cálculo foi feito a

partir da expressão (6.1).

VIGAS ρs

(%)

ρh

(%)

ρv

(%)

f wy

(MPa)

h

(mm)

a

(mm)

" /h " /d a/d a/h x/h f c'

(MPa)

f t

(MPa)

1-301-251-201-151-10

0.520.630.791.091.73

0.000.000.000.000.00

2.452.452.452.452.45

285.0285.0285.0285.0285.0

762635508381254

254254254254254

1.01.21.52.03.0

1.051.281.622.223.53

0.350.430.540.741.18

0.330.400.500.671.00

0.230.280.350.470.70

21.925.021.721.722.1

2.883.022.842.842.88

2-302-252-202-152-10

0.520.630.791.091.73

0.000.000.000.000.00

0.860.860.860.860.86

309.0309.0309.0309.0309.0

762635508381254

254254254254254

1.01.21.52.03.0

1.051.281.622.223.53

0.350.430.540.741.18

0.330.400.500.671.00

0.230.280.350.470.70

19.619.020.323.220.5

2.672.602.742.952.78

3-303-253-203-153-10

0.520.630.791.091.73

2.452.452.452.452.45

0.000.000.000.000.00

285.0285.0285.0285.0285.0

762635508381254

254254254254254

1.01.21.52.03.0

1.051.281.622.223.53

0.350.430.540.741.18

0.330.400.500.671.00

0.230.280.350.470.70

23.021.419.622.323.1

2.902.812.662.942.75

4-304-254-204-154-10

0.520.630.791.091.73

0.860.860.860.860.86

0.000.000.000.000.00

309.0309.0309.0309.0309.0

762635508381254

254254254254254

1.01.21.52.03.0

1.051.281.622.223.53

0.350.430.540.741.18

0.330.400.500.671.00

0.230.280.350.470.70

22.421.420.522.423.1

2.622.812.932.622.75

5-305-255-205-155-10

0.520.630.791.091.73

0.610.610.610.610.61

0.610.610.610.610.61

285.0285.0285.0285.0285.0

762635508381254

254254254254254

1.01.21.52.03.0

1.051.281.622.223.53

0.350.430.540.741.18

0.330.400.500.671.00

0.230.280.350.470.70

18.919.620.522.323.0

2.552.662.932.942.90

6-306-256-206-156-10

0.520.630.791.091.73

0.510.510.510.510.51

0.000.000.000.000.00

309.0309.0309.0309.0309.0

762635508381254

254254254254254

1.01.21.52.03.0

1.051.281.622.223.53

0.350.430.540.741.18

0.330.400.500.671.00

0.230.280.350.470.70

26.625.626.626.625.6

3.113.043.113.113.04

7-30A7-30B7-30C7-30D7-30E

0.520.520.520.520.52

0.000.170.340.680.85

0.000.000.000.000.00

309.0309.0309.0309.0309.0

762762762762762

254254254254254

1.01.01.01.01.0

1.051.051.051.051.05

0.350.350.350.350.35

0.330.330.330.330.33

0.230.230.230.230.23

25.626.625.621.721.7

3.043.113.042.742.74

Tabela 6.1 - Propriedades das 35 vigas ensaiadas por Kong et al. (1970).

124

VIGAS ρh

(%)ρv

(%)a

(mm)"

(mm)"/h

(mm)

a/d a/h "/d "0/d f c

'

(MPa)

f t

(MPa)0A0-440A0-481A1-101A3-111A4-121A4-511A6-372A1-382A3-392A4-402A6-413A1-423A3-433A4-453A6-46

0.000.000.230.450.680.680.910.230.450.680.910.230.450.680.91

0.000.000.280.280.280.280.280.630.630.630.631.251.251.251.25

304.80304.80304.80304.80304.80304.80304.80304.80304.80304.80304.80304.80304.80304.80304.80

812.80812.80812.80812.80812.80812.80812.80812.80812.80812.80812.80812.80812.80812.80812.80

2.292.292.292.292.292.292.292.292.292.292.292.292.292.292.29

1.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.001.00

0.860.860.860.860.860.860.860.860.860.860.860.860.860.860.86

2.672.672.672.672.672.672.672.672.672.672.672.672.672.672.67

2.332.332.332.332.332.332.332.332.332.332.332.332.332.332.33

20.4820.9318.6818.0316.0620.5521.0621.6819.7520.3419.1318.4119.2420.8219.93

2.402.432.252.202.042.402.442.492.342.382.292.232.302.422.35

0B0-491B1-011B3-291B4-301B6-312B1-052B3-062B4-072B4-522B6-323B1-083B1-363B3-333B4-343B6-354B1-09

0.000.230.450.680.910.230.450.680.680.910.230.230.450.680.910.23

0.000.240.240.240.240.420.420.420.420.420.630.770.770.770.771.25

368.30368.30368.30368.30368.30368.30368.30368.30368.30368.30368.30368.30368.30368.30368.30368.30

939.80939.80939.80939.80939.80939.80939.80939.80939.80939.80939.80939.80939.80939.80939.80939.80

2.642.642.642.642.642.642.642.642.642.642.642.642.642.642.642.64

1.211.211.211.211.211.211.211.211.211.211.211.211.211.211.211.21

1.041.041.041.041.041.041.041.041.041.041.041.041.041.041.041.04

3.083.083.083.083.083.083.083.083.083.083.083.083.083.083.083.08

2.752.752.752.752.752.752.752.752.752.752.752.752.752.752.752.75

21.6822.0620.1020.8219.5119.1719.0017.4821.7919.7516.2420.4119.0019.2420.6517.10

2.492.522.372.422.322.292.282.162.502.342.052.392.282.302.412.12

ContinuaTabela 6.2

125

VIGAS ρh

(%)ρv

(%)a

(mm)"

(mm)"/h

(mm)a/d a/h "/d "0 /d f c

'

(MPa)

f t

(MPa)

0C0-501C1-141C3-021C4-151C6-162C1-172C3-032C3-272C4-182C6-193C1-203C3-213C4-223C6-234C1-244C3-044C3-284C4-254C6-26

0.000.230.450.680.910.230.450.450.680.910.230.450.680.910.230.450.450.680.91

0.000.180.180.180.180.310.310.310.310.310.560.560.560.560.770.630.770.770.77

457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20457.20

1117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.601117.60

3.143.143.143.143.143.143.143.143.143.143.143.143.143.143.143.143.143.143.14

1.501.501.501.501.501.501.501.501.501.501.501.501.501.501.501.501.501.501.50

1.291.291.291.291.291.291.291.291.291.291.291.291.291.291.291.291.291.291.29

3.673.673.673.673.673.673.673.673.673.673.673.673.673.673.673.673.673.673.67

3.333.333.333.333.333.333.333.333.333.333.333.333.333.333.333.333.333.333.33

20.6819.2421.8922.6821.7919.8619.2419.3120.4420.7521.0316.5518.2719.0019.5818.5519.2418.5121.24

2.412.302.502.562.502.352.302.302.392.422.442.082.222.282.332.242.302.242.45

0D0-474D1-13

0.000.23

0.000.42

635.00635.00

1473.201473.20

4.144.14

2.082.08

1.791.79

4.834.83

4.504.50

19.5116.06

2.322.04

Tabela 6.2 - Propriedades das 52 vigas ensaiadas por Smith e Vantsiotis (1982).

DIÂMETRO DA BARRA (mm) 6.3 16.0 16.0*Área da seção transversal (mm2) 32.2 200 200Tensão de escoamento (MPa) 437.4 431.0 421.5

Deformação de escoamento (‰) 2.349 2.140 2.170Módulo de elasticidade (MPa) 1.86207 . 105 2.01402 . 105 1.94240 . 105

* Barras utilizadas somente nas vigas 0A0-48, 0B0-49, 0C0-50 e 0D0-47.

Tabela 6.3 - Propriedades das barras da armadura.

126

VIGAS ρs

(%)ρs

´

(%)ρw

(%)f sy

(MPa)

f sy'

(MPa)

b(mm)

d(mm)

h(mm)

"/h "/d x/h a/h a/d f c'

(MPa)

f t

(MPa)

G23S-11G23S-21G24S-11G24S-21G33S-11G33S-12G33S-21G33S-31G33S-32G34S-11G34S-21G43S-11G44S-11

0.830.460.830.461.671.670.832.582.581.670.831.671.67

0.460.210.460.210.920.920.460.830.830.830.460.920.92

00000

1.0900

1.090000

315.10354.40315.10354.40326.13326.13311.65311.65304.76325.44324.07304.07330.27

337.17304.76337.17304.76355.09355.09348.20346.82346.82353.02340.61350.27331.65

50.850.850.850.876.276.276.276.276.276.276.2101.6101.6

304.8304.8304.8304.8203.2203.2203.2203.2203.2203.2203.2152.4152.4

330.2330.2330.2330.2228.6228.6228.6228.6228.6228.6228.6177.8177.8

1.851.851.851.852.672.672.672.672.672.672.673.433.43

2222333333344

0.310.310.310.310.440.440.440.440.440.440.440.570.57

0.620.620.620.620.890.890.890.890.890.890.891.141.14

0.670.670.670.671.001.001.001.001.001.001.001.331.33

24.5523.5838.6136.1323.3119.9321.0319.9320.0635.1634.2024.2036.96

2.702.633.663.502.612.352.442.352.363.443.372.683.55

F2S1F2S2F3S2F3S3F4S1F4S22

0.831.290.831.670.831.67

0.460.460.460.920.460.92

1.421.420.941.310.700.98

317.17308.90326.82326.82322.00335.10

342.00342.00337.86350.27340.61335.10

50.850.876.276.2101.6101.6

304.8304.8203.2203.2152.4152.4

330.2330.2228.6228.6177.8177.8

1.851.852.672.673.433.43

223344

0.310.310.440.440.570.57

0.620.620.890.891.141.14

0.670.671.001.001.331.33

33.9231.7224.3434.3434.2734.68

3.353.212.693.383.383.40

Tabela 6.4 - Propriedades das 19 vigas ensaiadas por de Paiva e Siess (1965).

6.2. - RESULTADOS DE CARGA ÚLTIMA, COMPARAÇÃO E COMENTÁRIOS

6.2.1. - Código Canadense CAN3-A23.3-M84

Na Tabela 6.5 encontram-se a carga última experimental (PU (TESTE)) e a comparação

desta com a carga última prevista pelo método canadense (PU (CAN84)) através da razão RCAN84

para 49 vigas ensaiadas por Smith e Vantsiotis (1982).

Os pontos com coordenadas (PU TESTE( ) , RCAN84 ) apresentados na Tabela 6.5 para cada

uma das 49 vigas consideradas estão mostrados na Figura 6.1. Para estas vigas, a média de

RCAN84 obtida foi de 0.45 e o desvio padrão, de 0.15. Estes valores estão muito próximos dos

respectivos valores de média e de desvio padrão de RCAN84 obtidos para as vigas-parede que

constam da Tabela 4.1 e que não romperam localmente. Todos os resultados obtidos são

conservativos.

127

A carga última prevista (PU(CAN84)) para todas as vigas apresentadas na Tabela 6.5 não

foi determinada por equilíbrio de momentos, e, sim, através da verificação de tensões feita na

base da biela inclinada. Desta maneira, conforme já comentado no item j de 5.3, os valores de

carga última acabam por ser demasiadamente conservativos, indicando que essa verificação de

tensões restringe esses valores além do que deveria.

1 00.00 2 00 .00 3 00 .00 4 00 .00PU(TEST E) (kN)

0 .00

0 .20

0 .40

0 .60

0 .80

1 .00

PU

(CA

N84

)/P

U(T

ES

TE

)

Figura 6.1 - Gráfico P

PU CAN

U TESTE

( )

( )

84 x PU TESTE( ) .

128

VIGASPU TESTE( )

(kN) RCAN84

MODO DERUPTURAPREVISTO

RAVPB RMTA RMBTR

1-30 477.72 - F 0.94* 1.06 0.981-25 448.36 - F 0.82* 1.09 0.851-20 378.97 - F/C 0.72 1.08 0.801-15 328.26 - C 0.48 0.88 0.671-10 178.81 - C 0.40 1.01 0.782-30 498.18 - F 0.90* 0.97 0.942-25 448.36 - F/C 0.82 0.97 0.852-20 430.57 - C 0.58 0.89 0.702-15 279.33 - C 0.58 1.05 0.792-10 172.58 - C 0.34 0.87 0.803-30 552.44 - C 1.34 - 1.213-25 451.03 - C 1.05 - 1.173-20 415.44 - C 0.68 - 0.953-15 318.48 - C 0.52 - 0.943-10 172.58 - C 0.45 - 1.064-30 483.94 - F/C 1.41 - 1.204-25 402.10 - C 1.07 - 1.164-20 361.18 - C 0.76 - 0.994-15 218.84 - C 0.71 - 0.834-10 191.26 - C 0.39 - 0.895-30 478.60 - F 1.38* 1.15 1.105-25 416.33 - C 1.10 1.13 1.065-20 345.16 - C 0.77 1.13 1.035-15 254.42 - C 0.61 1.22 1.065-10 155.68 - C 0.47 1.17 1.116-30 593.36 - C 1.26 - 1.006-25 531.98 - C 0.97 - 0.936-20 489.28 - C 0.76 - 0.816-15 345.16 - C 0.57 - 0.846-10 196.60 - C 0.45 - 0.90

7-30A 505.29 - F 0.89* - 1.157-30B 599.59 - F 0.99* - 0.987-30C 518.64 - F/C 1.39 - 1.157-30D 527.53 - C 1.22 - 1.077-30E 594.25 - C 1.10 - 0.96

Continua

* Modo de ruptura previsto pelo método de Análise de Vigas-parede Biapoiadas (segundoSubedi) é diferente do observado experimentalmente.

Tabela 6.5

129

VIGASPU TESTE( )

(kN) RCAN84

MODO DERUPTURAPREVISTO

RAVPB RMTA RMBTR

0A0-44 279.07 0.79 C 0.50 - -0A0-48 272.22 0.82 C 0.52 - -1A1-10 322.48 0.54 C 0.40 0.97 0.891A3-11 296.68 0.57 C 0.50 1.03 0.961A4-12 282.45 0.52 C 0.52 0.97 0.971A4-51 341.87 0.59 C 0.44 0.99 0.901A6-37 368.16 0.57 C 0.42 0.94 0.862A1-38 348.99 0.63 C 0.43 1.06 0.892A3-39 341.16 0.55 C 0.50 0.99 0.862A4-40 343.83 0.58 C 0.66 1.01 0.902A6-41 323.81 0.55 C 0.80 1.01 0.943A1-42 322.03 0.51 C 0.40 0.97 0.913A3-43 345.43 0.52 C 0.49 0.95 0.883A4-45 357.08 0.58 C 0.64 0.99 0.903A6-46 336.27 0.58 C 1.00 1.01 0.940B0-49 298.02 0.52 C 0.44 - -1B1-01 294.90 0.54 C 0.45 1.00 1.051B3-29 287.12 0.50 C 0.43 0.96 1.041B4-30 280.67 0.54 C 0.46 1.01 1.091B6-31 306.69 0.44 C 0.40 0.87 0.982B1-05 257.98 0.51 C 0.45 1.16 1.132B3-06 262.43 0.51 C 0.57 1.13 1.122B4-07 252.20 0.45 C 0.77 1.10 1.132B4-52 299.80 0.75 C 0.66 1.10 1.062B6-32 290.45 0.46 C 0.67 1.05 1.053B1-08 261.54 0.30 C 0.38 1.03 1.043B1-36 317.90 0.43 C 0.39 1.06 0.963B3-33 316.70 0.38 C 0.48 0.99 0.943B4-34 310.02 0.40 C 0.63 1.02 0.983B6-35 332.26 0.42 C 0.84 1.05 0.964B1-09 306.91 0.30 C 0.35 0.92 0.93

Continua

Tabela 6.5

130

VIGASPU TESTE( )

(kN) RCAN84

MODO DERUPTURAPREVISTO

RAVPB RMTA RMBTR

0C0-50 231.30 0.40 C 0.42 - -1C1-14 237.97 0.32 C 0.39 0.88 1.211C3-02 246.86 0.40 C 0.43 0.94 1.251C4-15 261.99 0.40 C 0.42 0.91 1.211C6-16 244.64 0.40 C 0.44 0.95 1.292C1-17 248.20 - C 0.37 0.98 1.192C3-03 207.28 0.43 C 0.57 1.15 1.412C3-27 230.63 0.35 C 0.51 1.03 1.272C4-18 249.09 0.35 C 0.62 1.00 1.232C6-19 248.20 - C 0.62 1.01 1.243C1-20 281.56 0.34 C 0.36 1.07 1.103C3-21 249.98 0.20 C 0.47 0.96 1.103C4-22 255.32 0.26 C 0.60 1.04 1.073C6-23 274.44 0.27 C 0.78 1.00 1.094C1-24 293.12 0.27 C 0.33 0.97 1.034C3-04 257.09 0.27 C 0.46 1.04 1.144C3-28 304.69 - C 0.39 0.91 0.994C4-25 305.13 0.22 C 0.50 0.88 0.974C6-26 318.92 0.29 C 0.68 0.96 1.010D0-47 146.78 0.30 C 0.44 - -4D1-13 174.81 0.11 C 0.31 - -

G33S-12 169.02 - - - 0.99 0.89G33S-32 202.83 - - - 0.83 0.74

Tabela 6.5 - Comparação entre os resultados de carga última obtidos pelosdiversos métodos e os obtidos experimentalmente para as vigas ensaiadas

por Kong et al. (1970), Smith e Vantsiotis (1982) e de Paiva e Siess (1965).

6.2.2. - Método de Análise para Vigas-parede Biapoiadas segundo Subedi

Na Tabela 6.5 encontram-se a a carga última experimental (PU (TESTE)), a razão RAVPB

(PU(AVPB)/PU(TESTE)) e o modo de ruptura previsto pela análise para as 35 vigas ensaiadas por

Kong et al. (1970) e para as 52 vigas ensaiadas por Smith e Vantsiotis (1982). Na referida

tabela, F significa Flexão e C significa Cisalhamento. Os pontos com coordenadas

( )(TESTEUP , AVPBR ) encontrados na Tabela 6.5 para cada uma das 87 vigas consideradas são

mostrados na Figura 6.2.

131

1 00.00 2 00 .00 3 00 .00 4 00 .00 5 00 .00 6 00 .00PU(TEST E) (kN)

0 .00

0 .40

0 .80

1 .20

1 .60

PU

(AV

PB

)/P

U(T

ES

TE

)

Figura 6.2 - Gráfico P

PU AVPB

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) .

Na Tabela 6.6 encontram-se a média e o desvio padrão calculados para RAVPB,

considerando as 87 vigas relacionadas na Tabela 6.5 que possuem valores para o mesmo,

considerando, separadamente, somente as 35 vigas ensaiadas por Kong et al. e somente as 52

vigas ensaiadas por Smith e Vantsiotis.

VIGAS MÉDIA DE RAVPB DESVIO PADRÃO DE RAVPB

todas as 87 0.64 0.2735 ensaiadas por Kong et al. 0.82 0.32

52 ensaiadas por Smith e Vantsiotis 0.51 0.14

Tabela 6.6 - Média e desvio padrão de RAVPB obtidos para as 87 vigasapresentadas na Tabela 6.5 que possuem valores para o mesmo.

Vários valores discrepantes de carga última tanto para as vigas ensaiadas por Kong

quanto para as ensaiadas por Smith e Vantsiotis foram obtidos. Para as vigas ensaiadas por

132

Kong, a média de RAVPB (sendo R P PAVPB U AVPB U TESTE= ( ) ( ) ) obtida foi de 0.82 e o desvio

padrão foi de 0.32; RAVPB variou de 0.34 a 1.41. No caso das vigas ensaiadas por Smith e

Vantsiotis, a média de RAVPB foi de 0.51, e, o desvio padrão, de 0.14; RAVPB variou de 0.31 a

1.00. Ou seja: no primeiro caso, a média de RAVPB encontrada é razoável, e, o desvio padrão,

alto; no segundo caso, a situação se inverte: o desvio padrão é razoável, contudo o valor da

média de RAVPB é muito baixo, indicando uma carga última média prevista de praticamente

metade do valor experimental.

Para as vigas ensaiadas por Kong, as discrepâncias de carga última encontradas foram

explicadas por Subedi (1988), autor do método em questão, a partir das condições de suporte

das vigas, que geravam restrições (cuja magnitude dependia de vários fatores), e das altas

tensões encontradas nos apoios e sob os pontos de aplicação de carga. Para as vigas ensaiadas

por Smith e Vantsiotis, os valores conservativos encontrados, segundo Subedi, podem ser

decorrentes de uma possível restrição inadvertidamente introduzida no arranjo de teste,

afetando a livre deformação das vigas e resultando em altos valores de carga última

experimental.

Contudo, as explicações dadas por Subedi para justificar a falta de adequação dos

resultados obtidos para a grande maioria das vigas ensaiadas por Kong e por Smith e Vantsiotis

podem não ter fundamento tendo em vista que os resultados de carga última gerados pelo

Método da Treliça com Amolecimento apresentaram-se muito mais próximos dos reais e

nenhum problema relacionado com os apoios foi salientado. Deve ser comentado, porém, que

o Método da Treliça com Amolecimento só é aplicado a vigas-parede com armadura de alma

horizontal e vertical e, assim, os valores de carga última previstos só foram obtidos para as

vigas com esse tipo de armadura.

Somente 6.9% do total das 87 vigas consideradas para essa análise não apresentaram

concordância do modo de ruptura real com o previsto.

Pela Tabela 6.5 pode ser notado que para as vigas 3-30, 4-30, 5-30, 6-30, 7-30C,

7-30D e 7-30E as cargas de ruptura reais são muito menores do que as cargas de ruptura

previstas respectivas. Para as vigas com h = 508 mm ou h = 635 mm, o modo de ruptura

previsto e a resistência última geralmente concordam razoavelmente bem com os resultados

experimentais. Para as vigas de menor altura (h = 381 mm ou h = 254 mm) a previsão se torna

menos precisa à medida que a altura decresce. É interessante notar que para cada uma das

133

Séries de 1 a 6, os valores de RAVPB decrescem com o decréscimo da altura e com o aumento

da taxa geométrica de armadura principal, sem exceções, sendo bem discrepantes quando

comparados dentro de uma mesma Série de vigas. Assim, percebe-se que o método não

consegue quantificar corretamente a influência da relação " /h e/ou da taxa de armadura no

cálculo da carga última. Como esses dois parâmetros se mantiveram constantes dentro dos

Grupos (A, B, C e D) das vigas apresentadas por Smith e Vantsiotis, nenhum estudo mais

aprofundado pôde ser feito, para se obter uma conclusão definitiva.

Em relação às vigas ensaiadas por Smith e Vantsiotis, nota-se pela Tabela 6.5 que o

modo de ruptura foi corretamente previsto: todas as vigas romperam por cisalhamento

(fendilhamento diagonal). Para todas as 52 vigas os resultados de carga última previstos foram

conservativos e, geralmente, consideravelmente conservativos. Vigas com uma pequena ou

uma grande taxa de armadura de alma em uma direção somente mostraram maior disparidade

de resultados; vigas com uma grande taxa de armadura de alma em ambas as direções

(horizontal e vertical) mostraram melhor concordância de resultados de carga última.

6.2.3 - Método do Modelo de Treliça com Amolecimento

Na Tabela 6.5 encontram-se a carga última experimental (PU TESTE( ) ) e a razão (RMTA )

entre a carga última prevista pelo método do Modelo de Treliça com Amolecimento (PU MTA( ) )

e esta, para as vigas ensaiadas por Kong et al. (1970), Smith e Vantsiotis (1982) e de Paiva e

Siess (1965) que obedecem às restrições de a até e do item 2.13.10.2.

Os pontos com coordenadas (PU(TESTE) , RMTA), que encontram-se na Tabela 6.5, para

cada uma das 63 vigas consideradas, estão mostrados na Figura 6.3. A Tabela 6.7 a seguir

contém a média e o desvio padrão calculados para RMTA , considerando todas as 63 vigas

relacionadas na Tabela 6.5 que possuem valores para o mesmo, considerando, em separado,

somente 15 vigas ensaiadas por Kong e somente 46 vigas ensaiadas por Smith e Vantsiotis.

Não há a necessidade da obtenção desses parâmetros de comparação para as vigas ensaiadas

por de Paiva e Siess, pois somente 2 vigas estudadas experimentalmente por estes

pesquisadores constam da Tabela 6.5.

134

VIGAS MÉDIA DE RMTA DESVIO PADRÃO DE RMTA

todas as 63 1.01 0.0815 ensaiadas por Kong et al. 1.04 0.11

46 ensaiadas por Smith e Vantsiotis 1.00 0.07

Tabela 6.7 - Média e desvio padrão de RMTA obtidos para as 63 vigaspresentes naTabela 6.5 que possuem valores para o mesmo.

1 00.00 2 00 .00 3 00 .00 4 00 .00 5 00 .00PU(TEST E) (kN)

0 .80

0 .90

1 .00

1 .10

1 .20

1 .30

PU

(MT

A)/

PU

(TE

ST

E)

Figura 6.3 - Gráfico P

PU MTA

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) .

A partir das 63 vigas analisadas presentes na Tabela 6.5, obtém-se para a média e o

desvio padrão de RMTA os valores de 1.01 e 0.08, respectivamente, que podem ser

considerados muito bons. Contudo, a fórmula explícita (2.19) obtida a partir do modelo de

treliça com amolecimento só gera bons resultados quando aplicada a vigas cujos parâmetros se

encontram dentro de certos intervalos (ver item 2.13.10.2) e, portanto, apesar de ser uma

fórmula prática, sua utilização é restrita. Por exemplo, do total das 37 vigas-parede cujas

propriedades foram apresentadas no Capítulo III, somente 7 possuíam relações de parâmetros

135

que obedeciam aos limites estipulados. Desse modo, para a estimativa de carga última das

outras vigas torna-se-ia necessário se recorrer a outros métodos de cálculo. Além disso, dentre

as sete vigas citadas, três apresentaram valores de RMTA bem acima da unidade.

Deve ser salientado, ainda, que a grande maioria das 63 vigas analisadas neste item

havia sido utilizada para a calibração da fórmula explícita (Eq. 2.19) e, dessa maneira,

resultados de carga última próximos dos reais já eram esperados.

6.2.4. - Método do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado

Na Tabela 6.5 encontra-se a comparação entre a carga última prevista pelo método do

Modelo de Bielas e Tirantes Refinado (PU MBTR( ) ) e a carga última experimental (PU TESTE( ) ),

através da razão RMBTR, para 35 vigas ensaiadas por Kong et al. (1970), 46 ensaiadas por

Smith e Vantsiotis (1982) e 2 ensaiadas por de Paiva e Siess (1965).

Os pontos com coordenadas (PU TESTE( ) , RMBTR) que constam da Tabela 6.5, para cada

uma das 83 vigas analisadas, estão mostrados na Figura 6.4.

Na Tabela 6.8 são encontrados a média e o desvio padrão calculados paraRMBTR,

considerando todas as 83 vigas relacionadas na Tabela 6.5 que possuem valores para o mesmo,

considerando, separadamente, somente as 35 vigas ensaiadas por Kong e somente 46 vigas

ensaiadas por Smith e Vantsiotis. Não há a necessidade da obtenção desses parâmetros de

comparação para as vigas ensaiadas por de Paiva e Siess, pois somente duas vigas testadas

por estes pesquisadores foram utilizadas.

VIGAS MÉDIA DE RMBTR DESVIO PADRÃO DE RMBTR

todas as 83 1.00 0.1435 ensaiadas por Kong et al. 0.96 0.15

46 ensaiadas por Smith e Vantsiotis 1.04 0.13

Tabela 6.8 - Média e desvio padrão de RMBTR obtidos para as vigasapresentadas na Tabela 6.5 que possuem valores para o mesmo.

136

1 00.00 2 00 .00 3 00 .00 4 00 .00 5 00 .00 6 00 .00PU(TEST E) (kN)

0 .60

0 .80

1 .00

1 .20

1 .40

1 .60

PU

(MB

TR

)/P

U(T

ES

TE

)

Figura 6.4 - Gráfico P

PU MBTR

U TESTE

( )

( ) x PU TESTE( ) .

A média e o desvio padrão de RMBTR para as 83 vigas relacionadas na Tabela 6.5

foram de 1.00 e 0.14, respectivamente. Para as vigas ensaiadas por Guimarães (1980),

Vasconcelos (1982) e Velasco (1984), considerando-se somente as que não romperam

localmente e que foram submetidas à ação de duas cargas concentradas, tem-se 0.96 para a

média de RMBTR e 0.18 para o desvio padrão. Assim, pode ser constatado que os valores de

média e desvio padrão de RMBTR para estas vigas estão próximos dos valores respectivos

apresentados pelas 83 vigas citadas anteriormente. Além disso, os valores de média de RMBTR

estão muito próximos da unidade e os valores de desvio padrão encontrados são razoáveis.

Pode-se concluir que o método do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado, além de ser

um método prático de cálculo, apresenta resultados de carga última condizentes com a carga

de ruptura real, tanto para vigas-parede biapoiadas sem rigidez nos apoios quanto para as com

essa rigidez, para a maioria das vigas consideradas. Contudo, vários valores de RMBTR acima

da unidade foram encontrados (ver Tabela 6.5 e Tabela 4.1), o que significa que a carga

137

última prevista é maior do que a real para essas vigas e que, assim, o método estaria

trabalhando contra a segurança nesses casos.

Pelas Figuras 2.41 e 2.42 é observado que o ângulo θ pode variar de 0 a 90º, medido a

partir da horizontal, sendo, assim, um ângulo do 1º quadrante. Para θ > 45º, tem-se

senθ > cosθ e sen2θ > cos2θ; para θ < 45º, tem-se cosθ > senθ e cos2θ > sen2θ; para θ = 45º,

tem-se senθ = cosθ e sen2θ = cos2θ. Na Eq. (2.24) estão presentes os parâmetros f´c , b, d, a

relação Es/Ec e as parcelas ρh sen2θ e ρv cos2θ, onde θ = arctg z

a = arctg

0 9. d

a. Desse modo,

pela Eq. (2.24) a parcela ρh sen2θ será mais efetiva do que a parcela ρv cos2θ quando θ > 45º

e, menos, quando θ < 45º, ou seja: no primeiro caso o peso da armadura de alma horizontal é

maior do que o da armadura vertical e, no segundo caso, a situação se inverte.

O mecanismo de ruptura real apresentado pelas 83 vigas consideradas foi o de

cisalhamento. Contudo, os valores de carga última mostrados, na mesma tabela, para as vigas

da Série 1 (1-30, 1-25, 1-20, 1-15, 1-10) e da Série 2 (2-30, 2-25, 2-20, 2-15, 2-10) ensaiadas

por Kong foram determinados a partir da equação de flexão (ver item 2.13.11.2) e não a partir

da Eq. (2.24), pois o valor de carga última obtido por esta foi superior ao obtido pela primeira.

Como conseqüência, os resultados de RMBTR obtidos para a maioria das vigas das Séries 1 e 2

foram relativamente baixos. Observando-se todos os valores de RMBTR encontrados na Tabela

6.5, nota-se que dos cinco menores valores, quatro foram obtidos para vigas dessas duas

séries.

A Eq. (2.24) proposta prevê a resistência ao cisalhamento de vigas-parede de forma

bem aproximada quando a/h ≤ 1.04. Pela Figura 6.5 pode ser percebido que para a/h ≥ 1.29 a

validade da Eq. (2.24) declina rapidamente porque o comportamento de viga-parede não mais

se aplica. De acordo com dados obtidos de trabalho experimental de Subedi (Subedi, 1988), é

percebido que quando a/h > 1.04 a suposição de comportamento de viga-parede resulta em

uma superestimação da resistência real ao cisalhamento. Ainda da Figura 6.5, pode-se dizer

que a curva apresentada é formada por três partes: uma reta (k=1), uma zona de transição

(1.1 < a/h < 1.3) e uma curva em declive.

Siao (1993, 1995) sugere que a Eq. (2.24) seja usada com um fator de modificação k,

que representa a razão entre a resistência ao cisalhamento real e a prevista pela própria

138

equação, obtido a partir do gráfico da Figura 6.5, onde k = 1 quando a/h ≤ 1.0 e k < 1 quando

a/h > 1.0. A Eq. (2.24) torna-se, então:

( )[ ]V f kbd nU c h v= + +105 1 2 2. sen cos' ρ θ ρ θ Eq. (6.1a)

Deve-se ter V bdfU y h v≥ +18 2 2. ( sen cos )ρ θ ρ θ Eq. (6.1b)

Os parâmetros presentes em ambas as equações acima já foram definidos no item

2.13.11.2. Para o aço da armadura de alma ser totalmente efetivo ele deve ser completamente

ancorado; de outro modo, a Eq. (6.1b) não é válida. Esta equação é obtida a partir da

expressão V f bdU t= 18. (item 2.13.11.2), considerando que após a fissuração a armadura

resiste a toda a tração induzida (Siao, 1993). Para as 83 vigas consideradas, apresentadas na

Tabela 6.5, a Eq. (6.1b) não foi utilizada, pois não é claro se a armadura de alma foi

completamente ancorada para essas vigas.

Considerando-se, dentre as 83 vigas, somente aquelas que apresentam relação

a/h ≤ 1.04 (65 vigas no total), tem-se para a média e o desvio padrão de RMBTR, os valores de

0.96 e 0.12, respectivamente.

Figura 6.5 - Gráfico da razão PU TESTE( ) / PU MBTR( ) x a/h .

CAPÍTULO VII

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES

7.1 - CONCLUSÕES

a. O CEB-FIP (1978), o ACI 318-95 (1995) e a CAN-A23.3-M84 (1984) apresentam

resultados de carga última em torno de 50% da carga real de ruptura;

b. A Norma Canadense, que apresenta um modelo de bielas e tirantes, limita

exageradamente as tensões nos nós e bielas. Esta restrição é na grande maioria das vezes

responsável pelas discrepâncias encontradas entre valores de carga última experimental e

carga última prevista;

c. Nenhum dos métodos pesquisados conseguiu prever, com boa aproximação, a carga

última para as vigas-parede submetidas à ação de um carregamento uniformemente

distribuído. Todos os resultados encontrados foram conservativos. Dos métodos aplicáveis

a vigas-parede submetidas a esse tipo de carregamento, os resultados de carga última mais

próximos dos reais foram gerados pelo método do Caminho da Força Compressiva.

Contudo, nenhuma das vigas encontradas na literatura e somente 8 das 37 vigas analisadas

foram submetidas a esse carregamento e, portanto, nenhuma análise mais profunda de

resultados pôde ser feita;

d. Os métodos de dimensionamento estudados, em geral, apresentam formulações para

cálculo de resistência última por flexão e/ou cisalhamento. Nenhum método apresenta

uma formulação para flexão-cisalhamento, com exceção do método de Análise para

140

Vigas-parede Biapoiadas segundo Subedi. Este método, porém, não consegue prever

corretamente esse modo de ruptura, não cumprindo, assim, o que se propõe;

e. Todas as vigas ensaiadas por Kong et al. possuem um vão constante igual à 762 mm. Este

comprimento pode ser considerado pequeno quando de sua comparação com o vão de

vigas-parede usualmente utilizadas em projeto e até mesmo com o vão da maioria das

vigas consideradas neste trabalho. Alguns resultados discrepantes de carga última

encontrados podem ter sido gerados devido ao “efeito de escala”;

f. Dentre os métodos de cálculo pesquisados, o do Modelo de Bielas e Tirantes Refinado se

destaca dos demais, por ser um método prático de cálculo de carga última de vigas-parede

biapoiadas, por não apresentar restrições quanto ao seu uso (utilizando-se o fator de

modificação k quando necessário) e por gerar resultados de carga última razoavelmente

próximos dos reais;

g. Comparando-se vigas idênticas, diferenciadas somente pela presença ou não de armadura

de alma, percebe-se que as vigas com esse tipo de armadura apresentam maior resistência

última ao cisalhamento. Desta maneira, a maioria dos métodos que não consideram essa

influência acabam por prever relações PU(PREVISTA)/PU(TESTE) muito baixas para as vigas

que rompem por cisalhamento. A presença de armadura de alma em forma de uma malha

ortogonal também gera resultados de carga última menos dispersivos entre si;

h. Nenhum dos métodos de cálculo pesquisados leva em consideração o enrijecimento dos

apoios. Contudo, conforme já comentado nos trabalhos de Guimarães (1980),

Vasconcelos (1982) e Velasco (1984), essa rigidez não tem influência significativa nos

resultados experimentais de carga última e, assim, também não influencia

significativamente a razão PU (PREVISTA) / PU (TESTE).

141

7.2 - SUGESTÕES

Na pesquisa bibliográfica realizada foram encontradas somente três referências

(Tizatto, 1981; Ray, 1990; Haque et al., 1986) sobre o comportamento de vigas-parede com

abertura de alma: a dissertação de mestrado de Tizatto, obtendo resultados de ensaios de cinco

vigas-parede de concreto leve armado com furos retangulares; a análise dos efeitos (em

natureza e magnitude) de alguns parâmetros na distribuição de tensões em treze vigas-parede,

com abertura na alma, ensaiadas por Haque, Rasheeduzzafar e Al-Tayyib e o estudo feito por

Ray, abrangendo o comportamento de vigas sob dois pontos e quatro pontos de carga, com

abertura de alma retangular e circular. S. P. Ray ainda apresenta equações para cálculo da

resistência última das vigas-parede com abertura na alma e faz recomendações para projeto.

Assim, existe pouco material sobre vigas-parede biapoiadas com abertura de alma, na

literatura publicada. Fica sugerido, então, que sejam realizados mais ensaios em laboratório,

com o objetivo de determinar como os principais parâmetros influenciam o comportamento de

vigas-parede com furos. Pode-se, por exemplo, fixar os subitens i ao vii do item 2.11 e variar

o subitem viii (tamanho, forma e localização da abertura de alma) do mesmo item, utilizando

as dimensões e armaduras iguais às das vigas ensaiadas por Guimarães (1980), Velasco

(1984) e Vasconcelos (1982), assim como o tipo e condições de carregamento, para que o

comportamento de tais vigas possam ser comparados entre si. Os ensaios são importantes para

a obtenção de informações necessárias ao desenvolvimento de um projeto de cálculo

adequado para essas vigas.

Uma outra sugestão está relacionada a um tipo de concreto muito pesquisado e

utilizado ultimamente: o concreto de alta resistência. De toda a bibliografia consultada, foi

encontrada somente uma referência (Fang et al., 1993) sobre vigas-parede feitas com esse

tipo de concreto: um trabalho datado de 1993, tendo como objetivo o estudo do

comportamento de tais vigas sob ações sísmicas. O esforço para aumentar a razão

resistência/peso próprio de estruturas de concreto armado tem, há muito, sido o tópico de

pesquisadores (“State-of-the- art”, 1984; Russell, 1985). O concreto de alta resistência é uma

das alternativas para se obter um uso econômico de estruturas duráveis. Até o momento, este

142

tipo de concreto tem sido utilizado em muitos prédios altos, pontes de grandes vãos e

estruturas offshore (Hester et al., 1990) (Fang et al., 1993). É interessante que seja pesquisado

o comportamento de painéis pré-moldados enrijecidos, feitos de concreto de alta resistência,

inclusive para quantificar melhor a influência do parâmetro fc' no comportamento dessas

peças estruturais.

Também é interessante a realização de ensaios de vigas-parede de concreto reforçado

por fibras, formando um membro estrutural compósito, visando o estudo do comportamento

dessas vigas e, principalmente, a determinação de sua resistência ao cisalhamento. Entende-se

por compósito qualquer material multifásico que exiba uma significante proporção das

propriedades das fases constituintes, tal que uma melhor combinação de propriedades seja

obtida.

Particularmente para continuação do que se propõe o presente trabalho, é sugerido que

os métodos recentes de cálculo de vigas-parede relacionados com elementos finitos (Fafitis e

Won, 1994; Balakrishnan e Murray, 1988; Cook e Mitchell, 1988; Lin e Raoof, 1995)

sejam utilizados e, os resultados assim obtidos, comparados com os experimentais.

Dentre todo o material pesquisado, somente foi encontrado um trabalho (Subedi,

1994) sobre previsão de carga última para vigas-parede biengastadas. O mesmo apresenta

uma formulação para o caso de vigas-parede submetidas à ação de uma carga concentrada no

meio do vão. Como a maioria das vigas apresentadas no Capítulo III possuem um

enrijecimento lateral, seria interessante o desenvolvimento de uma formulação, baseada nesse

estudo, para a ação de duas cargas concentradas, visando a aplicação da mesma às vigas

ensaiadas na PUC-Rio para comparação de resultados.

A partir de um estudo ainda mais aprofundado de métodos de dimensionamento, como

sugerido acima, espera-se obter recomendações para a NBR 6118.

143

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