Faculdade de Engenharia
FRVV – diferenciabilidade 22, xyyxz
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FRVV – Diferenciabilidade e derivada total
a matriz jacobiana tem os mesmos elementos que o gradiente
nx
xX
1
nxxXfXXDf ,,100
ou, se f diferenciável:
matriz jacobiana de f em X0
DERIVADA TOTAL de f em X0
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Diferenciabilidade e existência de derivadas parciais
IMPORTANTE:
f diferenciável em 0X fexistem derivadas parciais de em 0X
f não é diferenciável em 0Xfnão existem derivadas parciais de em 0X
f diferenciável em 0Xfexistem derivadas parciais de em 0X
f não é diferenciável em 0X fnão existem derivadas parciais de em 0X
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Diferenciabilidade e existência de derivadas parciais
Exemplo
Seja
00 se ,000 se ,2
,yxyx
yxf
a) Calcule as derivadas parciais em (0,0)
b) Mostre que esta função não é diferenciável em (0,0)
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Diferenciabilidade e existência de derivadas parciais contínuas
IMPORTANTE:
fderivadas parciais de em 0X f não é diferenciável em 0Xexistem mas não são contínuas
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Diferenciabilidade e existência de derivadas parciais contínuas
Exemplo
Seja
0 se ,
0 se ,1sin,2
xy
xyx
xyxf
a) esta função é diferenciável em R2
b) a derivada parcial em ordem a x não é contínua nos pontos (0,y)
Mostre que
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Diferenciabilidade e continuidade
IMPORTANTE:
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Diferenciabilidade e continuidade
Exemplo
Mostre que a função
0,0, se ,0
0,0, se ,, 22
yx
yxyx
xyyxf
não diferenciável em (0,0). E em ? 0,0, yx
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Diferenciabilidade, continuidade e derivadas parciais
IMPORTANTE:
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Diferenciabilidade e derivadas direcionais
O conceito de diferenciabilidade está associado com a possibilidade de definir um plano tangente ao gráfico de uma função num dado ponto.
NOTA FINAL:
É um conceito “mais forte” do que o de derivada direcional:
É possível existirem todas as derivadas direcionais de uma função num dado ponto, e essa função não ser diferenciável ou contínua nesse ponto.
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Diferenciabilidade e derivadas direcionais
Exemplo
Considere a função
0,0, se ,0
0,0, se ,, 24
2
yx
yxyxyx
yxf
Mostre que
b) esta função não é contínua (logo não é diferenciável) em (0,0).
a) existem todas as derivadas direcionais em (0,0);
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Diferenciabilidade
7 – b)8 – a)