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Ecuaciones
• ¿Sabías qué …?
• Esquema del Tema
• Introducción, objetivos,
conceptos previos
• Contenidos Teóricos
• Mapa Conceptual
• Trabajo Práctico
• Apéndice
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¿Sabías que …
DIOFANTO ALEJANDRIA, nació alrededor del año 200
y murió alrededor del año 284.
Muy poco se sabe de la vida de Diofanto. La obra más
conocida de Diofanto es Aritmética, una colección de 130
problemas, distribuidos en 13 libros, de los que sólo se
conservan 6. La mayoría de los problemas son de
ecuaciones lineales y cuadráticas, pero siempre con
solución positiva y racional, pues en aquella época no
tenían sentido los números negativos y mucho menos los irracionales.
Diofanto consideró tres tipos de ecuaciones de segundo grado:
ax2 + bx = c , ax2 = bx + c , ax2 + c = bx
El motivo de no considerar estas ecuaciones como una sola es que en aquella época no
existía el cero ni los números negativos.
Aritmética también trata sobre teoría de números. Diofanto introdujo símbolos para
representar las cantidades desconocidas y una abreviatura para la palabra igual. Esto
fue un paso muy importante hacia el álgebra simbólica actual.
Se puede considerar a Diofanto como
el fundador del Álgebra.
Escribió su propio epitafio que fue
conservado en la antología griega:
"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él
quien con esta sorprendente distribución te dice el
número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta
parte de su vida; después, durante la doceava parte su
mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una
séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco
años después, tuvo un precioso niño que, una vez
alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de
una muerte desgraciada. Su padre tuvo que
sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo
esto se deduce su edad."
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Cuando hablamos de Ecuaciones hablamos de igualdades en las que aparecen
operaciones entre números y letras, consideradas incógnitas. Resolver una ecuación es
encontrar el o los valores de la/s incógnita/s para los cuales se satisface la igualdad.
Sólo podemos decir que manejamos el tema Ecuaciones si somos capaces de manejar
eficientemente los siguientes aspectos:
- Clasificar a las ecuaciones según su naturaleza, para así poder afirmar
con certeza que tipo de soluciones tiene y cuantas esperamos
encontrar
- Resolver las ecuaciones mediante procedimientos analíticos o
numéricos e investigar si los valores encontrados son o no soluciones
válidas de la ecuación de partida
- Modelar situaciones problemáticas mediante ecuaciones y contrastar
las soluciones encontradas
ESQUEMA DEL TEMAESQUEMA DEL TEMAESQUEMA DEL TEMAESQUEMA DEL TEMA
Si X – 2 = 0 , entonces X – 2 = 0
X - 2
Por lo tanto X = 2 es
solución de la ecuación.
…….será así ..?????
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En casi todas las ramas de la Matemática las ecuaciones aparecen como protagonistas
centrales pues ellas permiten describir en forma exacta y sencilla la situación
problemática o el fenómeno del que se esté hablando.
En esta Unidad nos limitaremos a rever todos los tipos de ecuaciones y los métodos de
resolución vistos en la escuela secundaria, preparándolos para poder enfrentar los
temas de mayor complejidad en los que aparecerán otros tipos de ecuaciones definidos
en nuevos conjuntos. Un ejemplo de ello son las ecuaciones matriciales, las que no se
podrían resolver sino se manejan las ecuaciones sencillas y los métodos más simple de
cálculo.
OBJETIVOS
� Identificar la naturaleza de las ecuaciones y sus correspondientes soluciones
� Resolver de manera eficiente y eficaz una ecuación que corresponda a las incluidas
en este texto
� Adquirir habilidad para plantear ecuaciones que permitan resolver un problema
� Determinar si los valores encontrados son soluciones válidas para el problema
� Interpretar correctamente las soluciones encontradas.
CONCEPTOS PREVIOS
� Conjuntos Numéricos, operaciones y propiedades
� Expresiones algebraicas: Operaciones y Factoreo
� Elementos de Geometría y Trigonometría
INTRODUCCION INTRODUCCION INTRODUCCION INTRODUCCION
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IGUALDADES ALGEBRAICAS
Si dos expresiones están relacionados mediante un signo “ = “ se dice que forman, o constituyen, una IGUALDAD.
Así nos encontramos con:
- igualdades numéricas (3+2=5)
- igualdades algebraicas o literales ó
A continuación vemos un cuadro de clasificación de las Igualdades Algebraicas:
CONTENIDOS TEORICOSCONTENIDOS TEORICOSCONTENIDOS TEORICOSCONTENIDOS TEORICOS
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ECUACIONES ALGEBRAICAS
Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que intervienen
una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica para
determinados valores.
Las incógnitas se representan por letras del alfabeto, generalmente: x , y , z.
Ejemplo: 83y6-5y +=
MIEMBROS Y TÉRMINOS DE UNA ECUACIÓN ó IDENTIDAD
Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados del signo igual.
Así, se llama primer miembro el de la izquierda, y segundo miembro el de la derecha.
Ejemplo: 83y 6-5y +=
Primer Miembro Segundo Miembro
No deben confundirse los miembros de una ecuación con
los términos de la misma.
83y 6-5y +=
RAÍCES O SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN
Se denomina solución de una ecuación a los valores de la variable para los cuales se verifica la
igualdad.
Esto quiere decir que si se sustituyen las raíces en lugar de las incógnitas, convierten a la
ecuación en identidad.
2º término del 1º miembro
2º término del 2º miembro
1º término del 2º miembro
1º término del 1º miembro
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Ejemplos:
1) La raíz de 95x32x −=+ es x = 4 pues 111195.(4)32.(4) =−=+ ,
2) x2 – 4 = 0 tiene dos raíces x = - 2 y x = 2 pues ambas verifican a la ecuación. Esto es
(-2)2 – 4 = 4 – 4 = 0 y 22 – 4 = 4 – 4 = 0
3) x2 + 1 = 0 tiene como raíces a la unidad imaginaria y a su conjugada x = j y x = - j
pues ambas verifican a la ecuación. Esto es j2 +1 = -1 +1 = 0 y (-j)2 +1 = -1 +1 = 0
RESOLUCION DE UNA ECUACIÓN
Se llama así al proceso de hallar la/las solución/es de una ecuación.
Para resolverla se transforma la ecuación dada, aplicando propiedades, en una
ecuación equivalente de la forma x = K, cuya solución es inmediata.
La ecuación equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuación original.
Las propiedades a aplicar son las siguientes:
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
1) Si a = b entonces b = a (Propiedad simétrica)
Se aplica esta propiedad para que la incógnita aparezca en el 1º miembro de la
ecuación.
Ejemplo: 4 = 2 x – 8 entonces 2 x – 8 = 4
2) Propiedad Cancelativa
Se aplica cuando:
- Dos Términos iguales están en distintos miembros de una ecuación:
Ejemplo:
43x3x
4a23xa2-3x
42a3x2a3x
+−=→+//−−=//+−−=−
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- Dos Términos opuestos están en un mismo miembro de una ecuación
Ejemplo:
b63x
3b3a23xa2
3b32a3x2a
+−=→−+−=//−+//−+−=−+
3) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o
negativa, se mantiene la igualdad.(Propiedad uniforme para la suma)
Se aplica cuando se quiera eliminar un término de un miembro de la ecuación
4) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva
o negativa, se mantiene la igualdad. (Propiedad uniforme para el producto)
Se aplica cuando se quiera eliminar un factor de un miembro de la ecuación
Ejemplo:
64x2 = ⇒ 4644x2 +=+
10x2 = ⇒ 10.21
x2.21
=
Entonces 5x =
5) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se les extrae
una misma raíz, la igualdad subsiste.
Ejemplo: 2x3 = es equivalente a ( ) 333 2x = . Por lo tanto 8x =
En la escuela seguramente aplicabas un método abreviado
para resolver ecuaciones. En esa oportunidad decías "pasar al otro
miembro". En realidad ese es un modo simplificado de aplicar las
propiedades antes enunciadas.
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Ejemplo:
Resolver la ecuación por los dos métodos y comparar
Método Abreviado Aplicando Propiedades
Si se quiere eliminar el número 3
Se pasa el número 3 al 2º miembro:
ERROR
Se multiplican ambos miembros por 3.
Para despejar la incógnita
Pasando “5” al 2º miembro:
RESULTADO INCORRECTO
Restando “15” en ambos miembros:
Cancelando:
RESULTADO CORRECTO
TIPOS DE ECUACIONES
El siguiente cuadro representa la clasificación de las ecuaciones, correspondiéndose
exactamente con la clasificación de las expresiones.
A su vez se dan ejemplos de las que se verá en este curso.
Nuestra experiencia nos permite asegurar que si se resuelven
ecuaciones aplicando propiedades, se cometen menos errores
que con ese "mecanismo" de "pasar de un miembro a otro".
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ECUACIONES
ENTERA (POLINOMICA)
0622 =++ xx
FRACCIONARIA
xx
x=++
3
22
TRASCENDENTES
Exponencial:
82 1X =+
Logarítmica:
5)1x(Log 2 =+
Trigonométricas
1xcossenx =+
IRRACIONAL
xx += 52
RACIONAL
ALGEBRAICAS
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ECUACIÓN POLINOMICA DE PRIMER GRADO
(ECUACIÓN LINEAL)
Una ecuación lineal de una variable es una ecuación equivalente a una de la forma:
a.x + b = 0
donde a y b son números reales y x es la variable
Ejemplo: 3 x + 2 = 0 ; - 2 x + 4 = 10 , etc
RAÍCES
Toda ecuación de 1º grado tiene exactamente una raíz.
ECUACIONES LINEALES EN UNA Y DOS INCÓGINATAS
A una ecuación lineal en una variable 0bax =+ le podemos asociar una
ecuación lineal en dos variables baxy += . Dicha ecuación representa
geométricamente a una recta en el plano.
Si hacemos 0y = en esa ecuación se obtiene la ecuación en 1º grado en una variable
0bax =+ . Enrtonces las raíces de esta ecuación viene a representar geométricamente a las
abscisas de los puntos donde la recta interfecta al eje X
Ejemplo:
La ecuación 012x3 = tiene por raíz 4x =
La función: 12x3y = interfecta el eje X en ( 4 , 0 )
4
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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Ó DE PRIMER GRADO
EJEMPLOS
Ejemplo 1
3x)8(6)(5x4)5x(6)x(30x +−++−=+−++−−
1) Se separan los términos, en ambos miembros, y se efectúan las operaciones indicadas,
productos ó potencias.
3x86-5x45x6-x30x +−−=+−+
2) Si corresponde, aplicamos la propiedad cancelativa
3x-84x30x
3x86-x54x56-x30x+=++
→+−///−=+//−/+
3)
Aplicando propiedades, se agrupan en un miembro todos los términos que contengan
la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas
4--83x-x30x =+
4) En cada miembro, se agrupan los términos semejantes 12 -28x =
5) Si la incógnita está afectada por un coeficiente se aplica la propiedad,multiplicar o
dividir ambos miembros por el coeficiente de x, y se despeja la incógnita.
77773333xxxx
2 82 82 82 81 21 21 21 2xxxx
2 82 82 82 81 21 21 21 2
2 82 82 82 82 8 x2 8 x2 8 x2 8 x
−=→
−=→
−=
Ejemplo 2 5
4-x
4
3-x-
3
2-x=
7
53 x537x :incógnita ladespejar
4855x12x :semejantes términosreducir
55x4812x :términosagrupar
4812x55x :srespectivo productos losrealizar
4)12.(x1)5.(x :esproporcion las de propiedadaplicar
54x
12
1x semejantes términosreducir y soperacione lasrealizar
54x
12
3)-3.(x -2)-4(x :rdenominado comúnsacar
=→=
+=−
+=−
−=+
−=+
−=+
−=
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO*
“Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de las fórmulas matemáticas. Las
dificultades que podamos tener al plantear ecuaciones son dificultades de traducción ... En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condición. En segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las
formas de expresión matemática.”
George Polya
¿Cómo expresar matemáticamente (Lenguaje Matemático), consignas
dadas en forma de frases (Lenguaje Coloquial) ?
LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE ALGEBRAICO
Un número x
Dos números x , y
Números consecutivos x ; x+1 ; x+2 ……………………
El duplo (doble) de un número 2.x
El triplo de un número 3.x
La mitad de un número
2
x
La cuarta parte de un número
4
x
Un número par 2x
Pares consecutivos 2x ; 2x+2 ; 2x+4 ……………….……….
Un número impar 2x+1
Impares consecutivos 2x+1 ; 2x+3 ; 2x+5 ……………………..
El opuesto de un número x - x
El inverso de un número
x
1
Un número de dos cifras xy x y = 10 x + y
decenas unidades
Un número de tres cifras xyz x y z = 100 x +10 y + z
centenas decenas unidades
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EJEMPLO
Si x es la edad en años de María hoy,
entonces:
“la edad de María hace 2 años”
se expresa: x - 2
“la edad de María dentro de 5 años”
se expresa: x + 5
“el doble de la edad de María hoy”
se expresa: 2x
“el triple de la edad que María tendrá dentro de 4 años”
se expresa 3 (x + 4)
“la mitad de la edad que tenía María hace 6
años” se expresa:
Una vez traducidas en lenguaje matemático las consignas dadas en el problema, se
resuelve la ecuación correspondiente.
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EJEMPLOS
1) Trabajando con edades
La suma de las edades de Tomás y Andrés es 40 años. Si Andrés tiene 4 años más
que Tomás. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?
DESARROLLO
años 22 tiene s y Andréaños 18 tiene Tomás
18x2 : 36 x
362x4 - 40 2x
40 4 x x :es ecuación la
4 x: Andrésde edad ; x : Tomásde edad
=→=
=→=
=++
+
2) Trabajando con números
La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.
DESARROLLO
De acuerdo a las pautas dadas en el cuadro, tres números consecutivos se expresan:
x x+1 x+2
la consigna del problema establece que la suma entre ellos es 156, por lo tanto la
ecuación correspondiente es:
156 2)(x 1)(x x =++++
Resolviendo:
51
3
153x3-156 3x15633x
1562x1xx156 2)(x 1)(x x
==→=→=+
=++++→=++++
Los números son: 53,52,51
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SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
DEFINICIÓN
Se denomina así a la consideración simultánea de dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas.
=++=++
02cy2bx2a
01cy1bx1a donde a, b y c son constantes reales
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de Ecuaciones Lineales puede tener:
- Solución única : el sistema de llama Compatible Determinado
- Infinitas soluciones : el sistema se llama Compatible Indeterminado
- Carecer de solución : el sistema se llama Incompatible
INTERPRETACION GEOMÉTRICA
Dijimos que una ecuación lineal en dos variables representaba geométricamente a una
recta. Entonces tener dos ecuaciones lineales significa tener dos rectas de las cuales
solo nos interesa el o los puntos en común que ellas tengan.
Por ello es que cada sistema tiene una interpretación geométrica
Compatible
Determinado
Las rectas se intersectan en un punto
Compatible
Indeterminado
Las rectas son coincidentes y tienen infinitos
puntos en común
Incompatible Las rectas son paralelas. No tienen puntos
comunes
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Ejemplos
Sistema Compatible Determinado.
Posee solución única
Sistema Compatible
indeterminado
Posee infinitas
soluciones
Sistema Incompatible
No posee solución
-2 2 4 6 8x
-15
-10
-5
5
10
y
-2 2 4 6 8x
5
10
15
y
-2 2 4 6 8x
-15
-10
-5
5
y
+=
=
32
123
xy
xy
=
+=
0242
12
xy
xy
+=
+=
32
12
xy
xy
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MÉTODOS ANALÍTICOS DE RESOLUCIÓN:
Existen los siguientes métodos para resolver, analíticamente, sistemas de ecuaciones:
- método de sustitución - método de igualación
- método de reducción - método de determinantes
Método de Sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en
la otra, la cual se transformará en una ecuación con una sola incógnita y que ya se puede
resolver. Una vez determinado el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de
la otra al reemplazarlo en la expresión donde se encuentra ella despejada.
EJEMPLO
Dado el siguiente sistema
=+=+−
(2) 86y4x
124y10x (1)
• Despejar una incógnita en una de las ecuaciones (cualquiera)
=+
+=⇒+=⇒=+−
86y4x 4
1210x y 10x12 4y 124y10x (3)
• reemplazar en (2) 84
1210x6.4x =
++
• aplicar propiedades y resolver las operaciones indicadas:
84
=++
=+
+7260x16x
; 84
7260x4x
• aplicando propiedad de las proporciones y reduciendo términos semejantes:
32 72 76x ; 4 8. 7260x16x =+=++
• agrupando los términos con x en el primer miembro y resolviendo:
40 - x 76 72-32 76x =⇒=
• despejando la incógnita x: 76
40- x ⇒=
19
10- x =
• reemplazando en (3):
⇒⇒76
128 y
4
1219
100-
4
1219
10-10.
y 4
1210xy =⇒
+=
+
=+
=19
32y =
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Método de Igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar
sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene
fácilmente el valor de la otra incógnita.
EJEMPLO
Dado el siguiente sistema
=+=−
(2) 10y4x
(1) 165y2x
Despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones
=⇒=+
=⇒=⇒=⇒=−
(4) 4x -10 y 10y4x
(3) 5
16-2xy 16-2x5y 2x-16 5y- 165y2x
como los primeros miembros de (3) y (4) igualamos sus segundos miembros:
4x-105
16-2x=
aplicando propiedad de las proporciones y resolviendo las operaciones indicadas:
20x - 50 16-2x 4x).5-(1016-2x =⇒=
agrupando los términos con x en el primer miembro y resolviendo:
66 22x 165020x2x =⇒+=+
despejando la incógnita x: 3 x 22
66 x =⇒=
reemplazando en (3) ó (4): 2- y; 21210 y 4.(3)10y =−=−=⇒−=
El conjunto solución es ( ){ }2- ;Csol 3=
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Método de Reducción
Consiste en lograr que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones
para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una
ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se
sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra
incógnita.
EJEMPLO
Dado el siguiente sistema
=−=+
(2) 193y-8x
(1) 245y2x
Se deben observar a ambas ecuaciones y decidir de que manera, multiplicando cualquiera o
ambas ecuaciones por constantes en ambos miembros logramos que alguna de las ecuaciones
tenga el mismo coeficiente u opuesto. Luego sumando o restando miembro a miembro
obtenemos una ecuación equivalente en una variable, lista para resolver.
En este caso, observe que multiplicando la primera ecuación por 4 logramos el objetivo
=
=
=+
115y23
(2) 193y-8x
(1)x4 9620y8x
entonces 523
115y ==
Reemplazado en cualquiera de las ecuaciones, despejamos x
( ) 1953x8 = 8
1519x =⇒ ⇒
21
x =
Entonces la solución es 5y,21
x ==
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Método de Determinantes
El sistema debe estar expresado de la forma:
=+=+
2cy2bx2a1c y1bx1a
se trabaja solamente con los coeficientes de las incógnitas y se forman los siguientes
determinantes:
- determinante del sistema 2b2a1b1a∆ =
-determinante de x : 2b2c1b1c
x∆ =
-determinante de y : 2c2a1c1a
y∆ =
PARA DETERMINAR LOS VALORES DE x e y:
∆x∆
2b2a1b1a
2b1b
x == 2c1c
; ∆
∆==
y
2b2a1b1a
2a1a
y 2c1c
ANÁLISIS DEL DETERMINANTE DEL SISTEMA Si el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO - SOLUCIÓN ÚNICA
• RESOLUCIÓN DEL DETERMINANTE Para resolver los determinantes se aplica la Regla de Sarrus:
1.b2a2.b1a
secundaria diagonalprincipal diagonal2b2a1b1a
−=
−=
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EJEMPLO
Dado el siguiente sistema
=++−=+−
(2) 47 -5y7)(3y-4x
(1) 9y)(2x5yy)(9x3x
- Realizar las operaciones indicadas y expresar el sistema de la forma
=+=+
2cy2bx2a1c y1bx1a
+=−⇒=−=++−⇒−=−
7 -475y3y-4x 47 -5y73y-4x
09y2x5y-y-9x3x 9y-2x5yy-9x3x
20∆12323.48)4).((8-4
34-∆ =⇒−=−−−==
120x∆120040)3.(8)( 0.8-40-
30x∆ =⇒+=−−−==
160y∆01604 0.40-4
04-y∆ =⇒−=−−−== )40).(4(
- determinar x e y:
6 x ; 20
120x
∆x∆
2b2a1b1a2b2c1b1c
x ==⇒== ;
8 y; 20
160y
∆
y∆
2b2a1b1a2c2a1c1a
y ==⇒==
==+
40- 8y- 4x
03y4x-
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EJEMPLO
En una juguetería hay 30 unidades en exposición, entre autitos y bicicletas Se cuentan
104 ruedas. ¿Cuántos vehículos de cada clase hay?
Respueta
Designamos con “x” a la cantidad de bicicletas y con “y” a la cantidad de autitos.
La primera ecuación que surge es:
cantidad de bicicletas + cantidad de autitos = 30
matemáticamente: x + y = 30 (1)
Otro dato que tenemos es la cantidad de ruedas, por ello la ecuación que las considera es:
cantidad total de ruedas de bicicletas.+ cantidad total de ruedas de autitos= total de
ruedas
2 . x + 4 . y = 104 (2)
formamos el sistema y resolvemos, por ejemplo, por sustitución:
=+−=⇒=+
1044y2x
x30y30yx
reemplazando en la 2º ecuación:
autitos 22 y 8 - 30 y :doreemplazan
sbiclicleta 8x162x entonces , -16-2x120 - 104 2x-
1044x-1202x104x)4.(302x
=⇒=
=⇒==⇒=
=+⇒=−+
La respuesta es
nº de ruedas 1 bicicleta . cantidad de bicic. + nº de ruedas de 1 autito . cantidad autitos = total ruedas
autitos22y
bicicletas8x
=
=
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Trabajando con geometría
Calcule la base y la altura de un rectángulo si se sabe que la primera supera a la segunda en 2
m, y que si a la primera se le aumentan 3m y se mantiene constante la altura, la superficie
aumenta 15m2.
DESARROLLO
A1= x.y A2= (x+3).y , entonces
2 y x
15x.y3).y(x 151A2
+=
+=+⇒+=A
reemplazando la 2º ecuación en la 1º:
[ ]
153y 152y5y
152y2y5y2y
152).y(y.y32)(y
⇒⇒ ==
++=+
++=++
7 x ; 5 y ==
y y
x x + 3
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ECUACIÓN POLINOMICA DE SEGUNDO GRADO
(ECUACIÓN CUADRÁTICA)
Las ecuaciones cuadráticas o polinomicas de 2º grado presentan la forma:
0cbx2ax =++ donde a,b y c son números reales y a ≠ 0
Ejemplo: 102x-23x =
RAÍCES
Toda ecuación de 2º grado tiene exactamente dos raíces, designadas con: x1 y x2
ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA Y DOS VARIABLES
A toda ecuación de 2º grado en una variable a x2 + bx + c = 0
le podemos asociar una ecuación de 2º grado en dos variables
y = a x2 + bx + c dicha ecuación representa una parábola en el plano.
Las raíces de la ecuación a x2 + bx + c = 0 representan los valores de x para los cuales
y = 0. Esto es, las raíces son las abscisas de los puntos donde la parábola intersecta al
eje x
Ejemplo:
La ecuación 04x2 = tiene por raíces a
2x1 = y 2x2 = . Entonces
la parábola 4xy 2= intersecta al eje x en
los puntos )0,2( y )0,2(
Término Término constante
Cuadrático
Término Lineal
2x 1x
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MÉTODOS PARA DETERMINAR LAS RAÍCES
Caso 1: Ecuaciones incompletas
Llamamos ecuación incompleta de 2º grado a aquella donde b = 0 o c = 0
Ejemplos: En los casos donde b = 0 se llega al valor de x con solo despejar
a) 012x3 2 = b) 06x2 2 =+
Respuestas:
a) 012x3 2 = ⇒ 12x3 2 = ⇒ 4x2 = ⇒ 2xo2x 21 ==
b) 06x2 2 =+ ⇒ 6x2 2 = ⇒ 3x2 = ⇒ 3x ±= ⇒ j3xoj3x 21 ==
Ejemplos: en los casos donde c = 0 se llega al valor de x factoreando
a) 0x5x2 2 =+ b) 0x8x4 2 =
Respuestas
a) 0x5x2 2 =+ ⇒ 0)5x2(x = ⇒ 05x2o0x == ⇒ 25
xo0x 21 ==
b) 0x8x4 2 = ⇒ 0)8x4(x = ⇒ 08x4o0x == ⇒
22
48
xo0x 21 ===
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Caso 2: Ecuaciones completas
Para resolver la ecuación de 2º grado de la forma: 0cbx2ax =++ pueden usarse cualquiera
de los siguientes métodos:
- completar cuadrados,
- por fórmula general.
- por propiedades de las raíces,
COMPLETAR CUADRADOS
Para poder aplicar este método la ecuación de 2º grado debe tener la forma 0cbx2x =++
Lo explicamos con un ejemplo:
Sea la ecuación 0304x22x =−−
Expresar la ecuación dada en la forma 0cbx2x =++ , para ello dividir ambos miembros por el
coeficiente del término cuadrático, en este caso 2
0152x2x 02
30
2
4x
2
22x =−−⇒=−−
En el primer miembro sumar y restar un nuevo término →
015112x2x 0152
2
22
2
22x2x =−−+−⇒=−−+−
Queda así formado un trinomio cuadrado perfecto y reordenando se tendrá:
( ) 01621-x =−
A esta ecuación la podemos resolver de dos formas distintas:
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( ) 01621-x =−
( ) [ ][ ]
0 3)(x . 5)-(x
041)(x.4-1)-(x 0162
1-x
=+⇒
=+−⇒=−
)(
º1
cuadradosdediferecia
miembroeloFactoreand
las opciones son:
05)(x ⇒= 5 1x =
⇒ 03)(x =+ 3- 2x =
( )
⇒
⇒ ⇒
⇒
142x y1 4 1x
41x16 1)-(x
1621)-(x 0162
1-x
+=+=
±=±=
==
xDespejando
3== 2xy51x
POR FÓRMULA de BHASKARA
Usando el método de completar cuadrados en la ecuación 0cbx2ax =++ , se llega a la
fórmula de Bhaskara:
2a
4ac2bb1,2x
−±−=
que se emplea para determinar las raíces de la ecuación de la siguiente forma:
NATURALEZA DE LAS RAÍCES:
En la ecuación cuadrática: 0cbx2ax =++ , la cantidad: 4.a.c2b − simbolizada con
∆ se llama discriminante de la ecuación. El signo ∆ determina la característica o
naturaleza de las raíces.
Si 04.a.c2b >− , las raíces son reales y diferentes.
Si 04.a.c2b =− , las raíces son reales e iguales.
Si 04.a.c2b <− , las raíces son complejas conjugadas.
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Pagina 158
Interpretación geométrica
030x4x2 2 = está asociada a la ecuación
30x4x2y 2= que representa a la
parábola que figura en la gráfica a la
derecha
La parábola corta al eje x en x = -3 y x = 5
Las raíces son reales y distintas, el
discriminante es 0∆ >
06x2 2 =+ está asociada a la parábola
6x2y 2 += quien no interfecta al eje
x. Las raíces son complejas conjugadas
En este caso 0∆ <
La ecuación 01x2x2 =+ está asociada a
la parábola 1x2xy 2 += quien interfecta
al eje x en un único punto. Las raíces son
reales e iguales, en este caso 0∆ =
-10 -5 5 10x
-30
-20
-10
y
-4 -2 2 4x
-10
-5
5
10
15
20
25
30
y
-2 -1 1 2 3 4x
-2
-1
1
2
3
4
5
y
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Ejemplos
1) Determinar el carácter de las raíces de :
096x23x b) , 0414x26x a) =+−=+−
Respuestas:
distintas yreales raíces son 2x y1x
01004.6.4-2(-14)∆ 4 c ; 14- b ; 6 a 0414x26x a)
⇒
>==⇒====+−
conjugadas complejas raíces son 2x y1x
0-784.3.9-2(-6)∆ 9 c ; 6- b ; 3 a 06x23x b)
⇒
<==⇒====+− 9
2) Resolver empleando la fórmula general las siguientes ecuaciones:
a) 0304x22x =−− b) 01xx 2 =++
Respuestas:
a) En este caso: a = 2 , b = -4 , c = -30
sustituyendo los valores en la ecuación general y operando:
4
164
4
25641,2
x4
240164
2.2
4.2.(-30)2(-4)4)(1,2x
±=
±=⇒
+±=
−±−−=
las raíces son:
32
x 34
1642
x
51
x 54
1641
x
−=⇒−=−
=
=⇒=+
=
b) En este caso: a = 1 , b = 1 , c = 1
j2
3
2
1j111
±=
±
=
±
=
±
=2.
3
2.
3
2.
4.121
1,2x
las raíces son: j2
3
2
1+=
1x
y j
2
3
2
1=
2x
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PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
1 ) Sea la ecuación 0cbxax 2 =++
y sean sus raíces x1 y x2. Entonces se cumple que
=++ cbxax 2 ( )( )21 xxxxa
Esto nos permite factorear todos los trinomios, los que sean cuadrados perfectos y los
que no
Ejemplo:
Factorear 30x4x2 2 +
Respuesta: Se deben encontrar las raíces. Ellas son:
( )2.2
302.4164x 2,1
±=
4
164
4
2564 ±=
±= ⇒ 3x1 = y 5x2 =
Por lo tanto ( )( )5x3x230x4x2 2 +=+
2 ) Si a = 1 , se tiene que =++ cbxx 2 ( )( )21 xxxx
De aquí se deduce que
bxx 21 =+
cx.x 21 =
Esta propiedad se aplica para la resolución de las ecuaciones de manera mental,
buscando dos números que sumen –b y que multiplicados arrojen el resultado c
Ejemplo:
Resolver las siguientes ecuaciones, usando las propiedades de las raíces
a) 06xx 2 =+ b) 04x5x 2 =++
Respuesta:
a) Para 06xx 2 =+ , se deben buscar dos números que sumen -1 y que multiplicados
den -6
bxx 21 =+ ⇒ 1xx 21 =+
cx.x 21 = ⇒ 6x.x 21 = ⇒ Ellos son 2x1 = y 3x2 =
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Pagina 161
b) Se deben buscar dos números que sumen -5 y que multiplicados den 4
5xx 21 =+
4x.x 21 = ⇒ Ellos son 4x1 = y 1x2 =
No siempre todas las soluciones de la ecuación, son
soluciones del problema planteado. Esto quiere decir que hay que
verificar si las soluciones pertenecen al dominio de la ecuación
correspondiente o si la solución corresponde a una solución real
planteada.
EJEMPLO
Se proyecta la construcción del salón de cómputos de la facultad.
De acuerdo a las necesidades, el mismo debe ser de forma
cuadrada y tener una superficie de 169 m2. Determine sus
dimensiones.
DESARROLLO
Matemáticamente ambos resultados son correctos, pero si tenemos en cuenta que la
medida de una dimensión no puede ser negativa, adoptamos que las medidas del salón
son:
13 m de largo y 13m de ancho.
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Pagina 162
ECUACIONES BICUADRADAS
Se llaman así a las ecuaciones polinómicas de 4º que presentan la siguiente
forma:
0cbxax 24 =++
Este tipo de ecuaciones, como cualquier ecuación polinómica de 4º grado, tiene
exactamente cuatro raíces, que pueden ser todas reales, dos reales y dos
complejas, o todas complejas
Ejemplos:
Las siguientes ecuaciones son bicuadradas. Resolverlas
a) 012xx 24 = b) 04x6x2 24 =++
En las ecuaciones de este tipo es conveniente hacer el siguiente cambio de
variable: 2xz = , de ese modo la ecuación se convierte en cuadrática y se la
puede resolver por cualquiera de los métodos antes mencionados
a)En 012xx 24 = , al hacer el cambio 2xz = logramos : 012zz2 = .
Sus soluciones son: 2
712
12.411z 2,1
±=
+±=
=
=⇒
3z
4z
2
1
Si reemplazamos en 2xz = , se tendrá que zx ±= , por lo tanto
4x 2,1 ±= ⇒ 2x1 = y 2x2 =
3x 4,3 ±= ⇒ j3x3 = y j3x4 =
b) 04x6x2 24 =++
Siguiendo el mismo procedimiento se tendrá:
04z6z2 2 =++ ⇒ 4
26
2.2
4.2.4366z 2,1
±=
±=
=
=
1z
2z
2
1⇒
Entonces 2x 2,1 ±= ⇒ j2x1 = y j2x2 =
1x 4,3 ±= ⇒ jx3 = y jx4 =
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Pagina 163
ECUACIÓN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIONARIA
Llamamos ecuación racional o fraccionaria a toda ecuación de la forma:
0Q(x)
P(x)= donde P y Q son polinomios en la variable x.
Ejemplos:
a) 012x
3x=
+ es una ecuación racional fraccionaria donde x puede tomar
cualquier valor excepto x = 21
Para resolverla hay que considerar que una fracción es cero si y solo si su
numerador es cero. Por lo tanto
012x
3x=
+ ⇒ 0x3 = ⇒ 0x = .
b) 01x
x2
1x
12
= es una ecuación racional fraccionaria donde x 1±
Para resolverla se la lleva a la forma 0Q(x)
P(x)= . Entonces
01x
x2
1x
12
= ⇒ 01x
x21x2
=+
⇒ 01x
x12
= ⇒ 0x1 = ⇒ 1x =
Pero es aceptada como solución? La respuesta es NO, ya que si reemplazamos x
por 1 se anula el denominador y por lo tanto para ese valor no está definida la
expresión.
Entonces en este caso el conjunto solución es el conjunto vacío: { }=sC
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Pagina 164
c) x-5
2
2x
1
44x2x
x-6 =
+−
++
x-5
2
2x
1
44x2x
x-6=
+++
Para llevarla a la forma )x(S)x(R
)x(Q)x(P
= se debe
sacar común denominador en el 1º miembro
x-5
2
22)(x
2)(x -x-6=
+
+ ⇒
x-5
2
22)(x
2x-4=
+
22)2.(x x)-(5 2x).-(4 += ⇒
4)4x22.(x22x14x-20 ++=+ ⇒ 88x22x2014x22x ++=+
22
12 x 12 22x ⇒⇒ ==
11
6 x =
En estas ecuaciones, con valores de x prohibidos, siempre hay que
verificar que los valores de x verifiquen la ecuación original.
Entonces se puede concluir el conjunto solución
Sugerencia
)x(S)x(R
)x(Q)x(P
= es equivalente a
)x(Q).x(R)x(S).x(P =
Cálculo auxiliar
4x4x2 ++ ( )22x += ⇒
Atención
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Pagina 165
ECUACIONES IRRACIONALES
Son todas las ecuaciones donde la incógnita aparecen al menos una vez bajo el
signo de radicación.
La resolución se basa en la aplicación de las propiedades de la radicación y/o
potenciación.
Ejemplos:
Resolver
a) 53x2 = b) 02x213x4 =
Respuesta:
a) 53x2 = ⇒
elevando al cuadrado miembro a miembro 253x2 = ⇒
despejando x 14x =
Verificación: 5314.2 =
Entonces 14x = es la solución
b) 02x213x4 = ⇒
Dejando una raíz en cada miembro 2x213x4 =
Debido a que no siempre
están definidas las raíces en
los reales se deben verificar
los valores obtenidos para
concluir la solución correcta
Atención
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Pagina 166
Elevando al cuadrado miembro a miembro = 22 )2x2()13x4(
Desarrollando los cuadrados 2x213x4.23x4 =+
Dejando la raíz sola en un miembro ⇒ =++ 3x4212x23x4
Simplificando ⇒ 3x42x2 = ⇒
Elevando al cuadrado ( )3x44x4 2 =
Simplificando 012x16x4 2 =+
Resolviendo al ecuación cuadrática ⇒ 03x4x2 =+
=±
=±
=2
242
3.4164x 2,1 1x
3x
2
1
=
=
Verificando:
041923.2133.4 ==
=21.2131.4
0011 = .
Entonces 1x
3x
2
1
=
= son las soluciones
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Pagina 167
ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones exponenciales más sencillas son de la forma
bxa = con a > 0
Para resolver ecuaciones exponenciales, en algunas oportunidades se
puede aplicar propiedades de la potenciación, pero en todos los casos se puede
aplicar las propiedades de los logaritmos. Ambas se detallan a continuación
yxaa yx ==
ylogxlogyx aa ==
Ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones
a) 112
=
23x3 b) 32)
21
(14x2
=
c) 531x
= d) 2e2xx =+
Respuesta:
En los apartados a) y b) se pueden aplicar cualquiera de las dos propiedades,
pero los apartados c) y d) solo se pueden resolver aplicando logaritmos ya que no
es posible convertir las bases para llegar a una base común.
a) 112
=
23x3 ⇒ 03
12=
23x3 ⇒ 012x3 2 = ⇒ 12x3 2 = ⇒
4x2 =
⇒ 2xo2x ==
FRT – UTN MATEMATICA - Ecuaciones
Pagina 168
b) 32)21
(14x2
= ⇒ 514x22
2
=+
⇒ 514x2 =+ ⇒ 9x2 = ⇒
⇒ 3xo3x ==
c) 531x
= ⇒ 5log3log1x
= ⇒ ( ) 5log3log1x = ⇒
3log5log
1x = ⇒ 3log5log
1x += ⇒ 46,2x
d) 2e2xx =+ ⇒ 2lneln
2xx =+ ⇒ 02lnxx2 =+ ⇒ 2lnxx 2 =+ ⇒
2
2ln411x
+±=
2
94,11 ±= ⇒ 47,1xo47,0x 21 ==
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Las ecuaciones logarítmicas más sencillas presentan la forma:
bxalog = con a > 0 y a ≠1
Atención Para resolverlas recordar:
ba axbxlog ==
yxylogxlog aa ==
( ) ylogxlogy.xlog aaa +=
ylogxlogyx
log aaa =
xlognxlog an
a =
Debido a que no siempre están
definidos los logaritmos hay
que verificar los valores
encontrados en la ecuación
original para luego concluir
cuales son las soluciones
válidas
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Pagina 169
Ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones
a) 04-2x 3log = b) ( ) 1xlog1xlog 33 =++ c) 211)-(22x 2)(xlog =+
Respuestas:
a) 04-2x 3log =
Para encontrar la solución, aplicamos la definición
04-2x 3log = ⇒ 42x 3log = ⇒ 43x2 = ⇒ 5.40281
x ==
Verificación 0=== 4-44-81 3log4-2
812. 3log
b) ( ) 1xlog1xlog 33 =++
Para resolverla aplicamos propiedades
⇒ ( )[ ] 1x1xlog3 =+ ⇒ ( ) 3x1x =+ ⇒
03xx2 =+
30,2x
30,1x
2
131
2
3.411x
2
1
=
=⇒
±=
+±=
Como para 30,2x2 = no está definido el segundo logaritmo, entonces la única
solución es 30,1x1 =
c) 211)-(22x 2)(xlog =+
Aplicando la definición tenemos: ( )22x11x22 +=
4x4x11x22 2 ++= ⇒ 015x18x2 =+ ⇒
06.1x
94,16x
225218
2
18.432418x
2
1
=
=±=
±= ⇒ Para ambos está definido el
logaritmo por lo tanto ambas son soluciones 06.1x
94,16x
2
1
=
=
Recuerde:
Para que el logaritmo
esté definido el
número logaritmado
debe ser positivo y la
base positiva y
distinta de 1
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Pagina 170
SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Un sistema de ecuaciones exponenciales (o logarítmicas) es un conjunto de
ecuaciones exponenciales (o logarítmicas) cuyas soluciones comunes se pretende
hallar.
También pueden presentarse sistemas de ecuaciones mixtos, o sea sistemas
integrados por ecuaciones exponenciales, logarítmicas y/o algebraicas.
Ejemplos
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
=
=+
=−=++
=−=+
2
1logy-logx
2
3logylogx
c) ; 1x3y2
38y32x3 2. b) ; 1y2x4
322yx2 a)
Respuestas:
=−=+
1y2x
4
322yx
2 a) aplicando propiedades se tiene que
==+
02
52
44
22yx
yx
Por lo tanto el sistema se transforma en
==+
02
52
yx
yx
=−
=⇒=+
0y2x2
x-5 y52yx Sustituyendo se tiene 0
2
x
2
5-2x ; 0
2
x52x =+=
−−
y operando ⇒⇒5
2.
2
5 x ;
2
5x
2
5
2
5
2
x2x ===+ 1x =
Atención Para resolverlas se transforma el
sistema dado en un sistema de
ecuaciones algebraicas, y luego se
aplican los métodos estudiados
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Pagina 171
reemplazando para obtener el valor de y: 2
15
y ⇒= 2y =
1x3y2
38y32x3 2. b)
=−=++
Para resolverlo debemos previamente aplicar propiedades de potencia:
y8.2y.232 y32 ==+ y el sistema queda expresado: 1x3y2
38y8.2x3 2.
=−=+
haciendo cambio de variables: 3x = a y 2y = b el sistema será:
1ab
38b 8.a 2.
=−=+
el cuál se puede resolver con los métodos estudiados:
3 a 3010a 88a2a-38 ; 1a8
2a-38
1 a b 1ab
8
2a-38b 38b 8.a 2.
=⇒=⇒+=+=⇒
+=⇒=−
=⇒=+
reemplazando en la segunda ecuación: b = 4
como a = 3x y a = 3 entonces 3x = 3 ; 3x = 31 como las bases son iguales 1x =
como b = 2y y b = 4 entonces 2y = 22 ; como las bases son iguales 2y =
=
=+
2
1logy-logx
2
3logylogx
c) El dominio de estas ecuaciones es ( 0 , ∞ )
=⇒=⇒==
=⇒==⇒==+
10
xy
y
x2
1
10 2
1y
x log ;
2
1logy-logx
x
1010. y
x
2 310 y; x.y2
3
10 2
3 (x.y) log ; 2
3logylogx
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Pagina 172
igualando ambos miembros:
10y1010.
1010. y:andoracionaliz
10
10. y
10x toma se existencia de condición por
10x1002x ; x.x10.1010. 10
x
x
1010.
=⇒==⇒
=
±=⇒==⇒=
Entonces 10y;10x ==
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Llamamos ecuaciones trigonométricas a aquellas ecuaciones en las que las variables
están afectadas por razones trigonométricas.
Ejemplo: 0cosx-senx =
Resolución de ecuaciones trigonométricas: Para resolver estas ecuaciones debemos
recordar conceptos como:
- Relaciones trigonométricas
- Valores de funciones trigonométricas para ángulos notables
- Signos de funciones trigonométricas en [0, 2π]
RELACIONES TRIGONOMETRICAS
x2sen-1 x cos x 2sen1x2cos
x2cos-1 x sen x 2cos1x2sen
x2cotg 1 x 2cosec
x2 tg 1x2sec
1x2cos x 2sen
±==
±==
+=
+=
=+
xcos1
xsec
xsen1
xcosec
xtg1
xsen xcos
xcotg
xcotg1
cosxsenx
xtg
=
=
==
==
x2sen -x 2cos (2x) cos
xcos x.sen 2. (2x) sen
=
=
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Pagina 173
RESOLUCION DE UNA ECUACION TRIGONOMETRICA
Resolver una ecuación trigonométrica es determinar para qué valor del ángulo (x) una
función dada tiene un determinado valor
Ejemplo:
Dada la ecuación 1x cos = el objetivo es determinar los valores de x para los que el
coseno vale 1
¿Qué nuevo concepto importante surge en éste planteo?
En la determinación del ángulo x surge el concepto de seno inverso, coseno inverso,
tangente inversa, etc. En la calculadora, se debe marcar la techa Shift antes de la
correspondiente trigonométrica
Ejemplos
a) Determine el valor del ángulo para el cuál se verifica: 1x cos =
x = arcos 1
x = 0º
b) Determinar el ángulo que verifica que sen x = 0.8
Entonces x = arcsen 0.8 = 53,13º
(Observación: Se debe estar atento al modo con el que se trabaja con ángulos en la
calculadora)
x es (=) el ángulo (arco) cuyo coseno vale 1
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Pagina 174
EJEMPLOS
1) Resolver la siguiente ecuación trigonométrica en [0, 2π] :
3.tgx2cosx =
Respuesta:
( )
(1/2) arcsen x 1/2 x sen
:solución segunda la con trabajamos entonces
, 1 son seno del extremos valoreslos quepor posible es no encontradoor primer val el
1/2 2
x)(sen ; 2 1
x)(sen
4-53
4-4.(-2).2-93
1,2senx :grado 2º de ecuación la oresolviend
023.senx-x22sen03senxx2sen 2-2 :indicadas soperacione oresolviend
03.senxx)2sen-2.(1 :ricastrigonomét iasequivalencpor
03.senxx22.cos 0cosx
3.senxx22.cos :indicadas soperacione las oresolviend
0cosxsenx
3.-2.cosx cosxsenx
3.2.cosx :ricastrigonomét iasequivalencpor
=⇒=
±
=−=
⇒±=
±=
=+−⇒=−
⇒=−
=−⇒=−
=⇒=
Las soluciones son rad65 150º x y rad
630º x
ππ ====
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Pagina 175
2) Encontrar el valor de las restantes razones trigonométricas del ángulo α
sabiendo que pertenece al 2º cuadrante y que 2αsec = . ¿Cuál es el valor de α?
Respuesta:
21
αsec1
αcos ==
( )2212 1αcos1αsen == =
23
43
= y por lo tanto 3
2α cosec =
33
3
1
23
21
α tg === y por lo tanto 33
α cotg =
Observe que en el cálculo del α sen se optó por el signo + ya que α pertenece al
2º cuadrante.
Para encontrar el valor de α, observe que en el primer cuadrante el ángulo de
3πrad posee coseno
21.
Construyendo un triángulo equivalente en el 2º cuadrante se tiene que el ángulo
buscado es rad3π2
3π
πα ==
3π3
π2
21
21
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Pagina 176
RESOLVIENDO ECUACIONES
1) En cada una de las fórmulas siguientes despeje la letra indicada
entre paréntesis:
a) T = t + 273 ( t ) b) p . V = R . T (T)
c) E= I (R + Ro) (Ro) d) V = (4/3). π. r3 ( r )
e)SV
VFp
−=
. (S) f) 2
o t.a).2/1(t.ve += (a)
2) Clasifique las siguientes ecuaciones:
1(x))) (log (log log l) ; 72x2x4 k) ; 8x24x124x j); 31x
2 i)
x421
2)-(x h) ; 52)4).(x-(x g) ; 1sen(2x) f) ; x23x e)
cb3ax d) ; 612x23x c) ; 41)(3x2log b) ; 54
2x-3 a)
==++=+=+
+==+==−+
=+=−−=−=
3) Cómo clasifica a las siguientes ecuaciones? ¿Cuántas soluciones espera
encontrar?. Resuélvalas
ab
2b2a
a
bx
b
a-x j) 8b4x 3a-2x i)
53
4-3x h)
4
316x4x
6
110x-4 g)
x3
1 5
6
x f) 5)-4).(2x-(6x 3)-4).(4x-(3x e)
3x86x1)-14x-5.(7 d) 3)4.(2x-61)-3.(xx c)
25
2-3x b) 164-2x a)
+=
-+=
=+
=+
=+=
++=++=+
==
-
-
TRABAJO PRÁCTICOTRABAJO PRÁCTICOTRABAJO PRÁCTICOTRABAJO PRÁCTICO
A trabajar…..!A trabajar…..!A trabajar…..!A trabajar…..!
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Pagina 177
4) Plantee las siguientes situaciones problemáticas y encuentre, si existe, la
solución.
a) Determine dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194
b) La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y
al menor en 65. Halle los números.
c) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20
años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar
las edades respectivas.
d)
e) Repartir el número 400 en dos partes tales que al dividir la primera
parte por 10 y la segunda por 20, la diferencia de los cocientes sea 10.
f) Ramiro dice: si al doble de mi edad le quito 15 años, tendría la edad que
me hace falta para tener 18 años. ¿Qué edad tiene Ramiro?
g) El maratonista tucumano Juan Pablo Juárez, caminó cierta distancia,
trotó 5/2 veces la distancia que caminó y corrió 7/3
veces la distancia que trotó. Si en total recorrió 2352
metros. ¿Cuánto caminó?
Susanita y yo nacimos en el mismo año. Felipe nació dos años después. Entre los tres sumamos dos tercios de la edad de mi padre que hoy cumple 42 años.¿Cuántos años tiene Felipe?
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Pagina 178
h) El siguiente patio triangular tiene un perímetro de 27m. Determine las
dimensiones de cada uno de sus lados.
I) El triángulo ABC tiene una superficie de 31,5 cm2.
¿cuánto mide su base?
k) Un estudiante de álgebra obtiene las siguientes notas 7.5 ; 8.2; 7.1 y
8.4. ¿qué calificación debe obtener en la siguiente prueba para que su
promedio sea 8?
m) Un trabajador recibe $2392 de sueldo neto después de restar
deducciones, las cuales corresponden al 20% del sueldo bruto. ¿cuál es su
sueldo bruto?
n) Hace diez años, al edad de Mauricio era 3/5 de la edad que tendrá
dentro de 20 años. ¿cuál es la edad actual?
5) Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales se pide: a) clasifíquelos ,
justificando su respuesta ; b) resuélvalos analíticamente por alguno de los
métodos estudiados.
a) 37y5x
13y2x
=+=+
b)
=+=
24y2x-
12y-x
3z 1z +
5z2
A
1x2
C
B
cm7
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Pagina 179
c)
=+=
12yx
3y-2x d)
19y-3x
56y-2x
==
e)
=++=+084yx
010-12y3x- f)
−=+=+
104y-6x
5-3y-2xyx
g) ( )
==
y42y-3x4-
-52y-3x h)
=+
=+
xyx
2
1
2
4
3y-x2y)2(-x
6) Determinar si el siguiente sistema es reducible a un sistema lineal y en caso
afirmativo, resolverlo:
a)
−−=
−
−+
−−=
−
−−
3
3y7330
x18
3yy
2
2x5920
x23
x2yx
b)
=+
+
=+
++
14
7x
3
5y-2x
27
6y
5
2x3y
7) Haciendo un cambio de variables apropiado, exprese los siguientes sistemas
como sistemas de ecuaciones lineales y resuélvalos.
−=+
=−
9
7
y
5
x
3y
1
x
2
a)
=−
=+
2
11
y
6
x
7
2y
9
x
10
b)
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Pagina 180
c)
+=+
+=+
xxyy
xyx5241
2412
d)
=+
=
24
x
2-
1y
2-
x
1
y
8) Plantear los siguientes problemas y encontrar, si existe, la solución
a) Hallar dos números cuya suma es cuatro y que verifican que el
primero es al segundo como 5 es a 11.
b) En la veterinaria del barrio se alimentan
por día con 224 galletas a 20 animales entre
gatos y perros.
Cada perro recibe 12 galletas y cada gato 10.
¿Cuántos perros y gatos hay?
c) En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de niño
cuestan $132.- y 8 entradas de adulto y el doble de entradas de niño
cuestan $176.- ¿Cuánto cuestan las entradas de niño?
d) Los valores de dos resistencias están en la relación 2:5 y, además,
se sabe que su suma es igual a 140 ohm. ¿Cuál es el valor de cada una de
las resistencias?
e) Un terreno rectangular tiene tres metros menos de ancho que de
largo y su perímetro es 102 metros. Determine sus dimensiones.
f) En un corral hay gallinas y cerdos. Si se cuentan 59
cabezas y 150 patas. ¿Cuántos animales de cada clase hay?
g) Encuentra el número de dos cifras tal que la suma de sus
cifras sea 8 y si se cambia el orden de sus cifras se obtiene otro número
que vale 17 unidades menos que el doble del número de partida.
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Pagina 181
h) si a un triángulo equilatero le sumo 2 cm a su base se obtiene un
triángulo isósceles de 33,5 cm de perímetro. ¿Cuánto mide el lado del
triángulo equilátero de partida?
9) Clasificar a las siguientes ecuaciones y, sin resolver, determinar la naturaleza
de las raíces
-3810)-2).(x(x c)
03x32.2x b)
125x22x a)
=+
=+−
+=
10) Encontrar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
2
1-x
2
2
1x f) ; -1,5x3)-1).(x(x e) ; 1)-2.(8x2-2)8x.(x d)
24x2x23x c) ; 024x23x b) ; 608213x a)
=+=+=+
−==−=+
11) Completando cuadrados resolver las siguientes ecuaciones:
16
3x
2
12x d) ; 52x2x c)
0128x24x b) ; 023x2x a)
=−−=+
=−−=++
12) Factorear los siguientes trinomios:
7
34x-27x c) ;
2
1
2
x2x b) ; 3212x2x a) +−++−
d) 01x =+6x2 ; e) 02x22 =+x2 ; ( ) 02x21x2 =+
13) Resolver los siguientes sistemas:
43x2xy
53x22xy c) ;
-3xy
6x2x7-y b) ; x142y
2-xy a)
−+=
+−=
=++=
−=
=
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Pagina 182
14) Plantear los siguientes problemas y determinar, si existen, soluciones reales:
a) Halle dos números naturales impares consecutivos tales que su producto
sea 255
b) El cuadrado de la edad que tiene Tommy es igual a 5 veces la edad que
tendrá dentro de 10 años. ¿Que edad tiene Tommy?
c) Determine la longitud de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que
el valor de los mismos son tres números naturales consecutivos.
d) Para embaldosar una habitación se necesitan 225 mosaicos cuadrados. Si
cada lado del mosaico tuviera 5 cm más solo se necesitarían 144. Calcular
el lado de cada mosaico.
e) Determinar el perímetro y la superficie del triángulo rectángulo cuyas
medidas de lados se indican en el dibujo.
f) Los alumnos de arquitectura compran una hoja de cartón de forma
rectangular de 72cm de largo y 48 cm de ancho, para hacer una maqueta.
Como en realidad necesitan una lámina cuya superficie sea 5/8 de la
superficie de la hoja que compraron, deciden cortar un margen, de ancho
constante, alrededor de la misma. ¿Qué ancho debe tener el margen?.
x+2 4x+1
4x
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Pagina 183
g) Se quiere construir una piscina
rectangular de 1,5 m de
profundidad de tal modo que su
capacidad sea de 39840 litros y tal
que su largo sea 2m más que su
ancho.
¿Cuáles son las dimensiones de la piscina?
15) Clasificar a las siguientes ecuaciones y encontrar, si existe, el conjunto
solución:
22x
x
2x
25x
4-2x
1-6x d) ;
2x
4x5
x
1
2x
x-2 c)
134x
143x
24x
7-3x b) ;
12x
3
1x
2
1-x
7 a)
−+
−−
=−+
=−
−
−=
+−=
++
41
e) 4t
20
2t
3t
2t
3t2
=+
+ ; f) ( )1xx
1x2xx1
1x
12
2
2 +
++=+
+
g) 2x
23
102x
x4=
+ ; h)
( )2
2
x49
3x2
x231
x23
x35
x23x2
=+
++
16) Plantear las siguientes situaciones problemáticas y encontrar, si existe, la
solución
a) Una de las piletas del club se llena por una bomba A
en 4 horas y por otra B en 5hs. ¿En cuánto tiempo
se llenará la misma pileta si trabajan juntas las
dos bombas?
Cuales serán las medidas?
A B
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Pagina 184
b) Una pileta puede llenarse por un grifo A en 2 horas y
por otro B en 1h 20’. Estando llena puede
desagotarse por un orificio de desagüe en 72
minutos. Si se mantienen abiertos los grifos y el
orificio de salida, ¿en cuánto tiempo se llenará la
pileta?
c) La suma de los recíprocos de dos números enteros pares consecutivos es
9/49. ¿Cuáles son esos enteros?
17) Clasificar a las siguientes ecuaciones y resolverlas.
a) 4x6x2 = b) 21x223x =+
c) 21xx =+ d) 2x1x1x2 +++=
18) Clasificar a las siguientes ecuaciones y resolver
3x 1x32-x 3-x3 i) ; 108x91x3 h) ; 3x332x3 g)
32x4 f) ; 1x25x5 e) ; 3x2
4x4 d)
3x
27
13x-9 c) ; 123x2x5 b) ; 91-x3 a)
+ +==++−=−
=+=−
=
+==++=
j) 0162.174 xx =+ ; k) 06255525 1xx3x =+ ++
l) ( ) x33x2255 =
+ ; m) 23222 x3x1x =++
; n) 108
1.2
3x
x =
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Pagina 185
19) Clasificar a las siguientes ecuaciones y resolver
log21/2
1-x
6xlog h) ; 0logx)logx).(2-(3 g)
13)(x8log1)(x8log f) ; 11)(5x5log10)21x2(x5log e)
log3x log3)(x log d) ; log43).log(2x2
1-6)(x log c)
315x)2(x log b) ; 21-2x
1 log a)
=+
=+
=+++=−−−+
+=+=−+
=−−=
i) log3(2x+7) – log3 (x2 +4x+4) = 0 ; j) log(x-2)+log(x-3)= log x
20) Resolver las siguientes situaciones problemáticas
a) Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la ecuación:
Q = Qo . 10 -0.024 t
donde: Qo es la masa inicial de la sustancia y Q es la masa final
Determine el tiempo t (en h) necesario para reducir una masa de 200g a 50g.
b) Un cierto cultivo de bacterias crece a razón de 48
t
.10oNN = donde:
No = cantidad inicial de bacterias
N= número de bacterias después de transcurrido un cierto
tiempo t (en horas)
¿Cuánto tiempo habrá transcurrido para que el número de
bacterias crezca de 2000 a 2250?
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Pagina 186
c) La Escala Ritcher es utilizada para medir
la intensidad de los terremotos, la escala de
Ritcher es una escala logarítmica de base
10. La magnitud de un terremoto en esa
escala está dada por la fórmula:
M = log p
donde M es el grado en la escala de Ritcher y p es la potencia, que indica cuántas
veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto en comparación
con una onda de referencia correspondiente a la situación normal.
Si un terremoto fue de magnitud 2 en la escala Ritcher
significa que la amplitud de la onda sísmica fue 100
veces mayor que la amplitud de la onda en
situaciones normales
Completa la siguiente tabla de valores
21 ) Usando relaciones trigonométricas demostrar las siguientes identidades
a) αsen11αcos2αsenαcos 2222 ==
b) αcosαsen.αsecαsec 2 =
c) αsec.αsenαctgαsen 2=
d) αsen.αcos
1αctgαtg =+
e) αααα 2222 cos.seccossec ecec =+
M P
2
4.5
12500
6.2
130000
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Pagina 187
22) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas
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Pagina 188
SISTEMA DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD – FRT – UTN - 2007
MATEMATICA 1 – 2 – 3 – Editorial Santillana Secundaria
MATEMATICA 7 – 8 – 9 – Editorial Santillana
MATEMÁTICAS EN CONTEXTO - Grupo Editorial Iberoamérica
MATEMÁTICA – BACHILLERATO 2 – Miguel de Guzmán
MATEMÁTICA 7 – 8 – 9 EGB (3º ciclo) Editorial A – Z
EL LIBRO DE LA MATEMÁTICA 7 – EGB – Editorial Estrada
ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA . Earl Swokowsky
TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA CON APLICACIONES- Barnett- Raymond
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – Baldor
MATEMÁTICA APLICADA PARA ESTUDIANTES DE ARQUITECTURA E INGENIERÍA-
González- Juárez.
HISTORIA Y DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA- Lic. Luis Flores Gil- Sevilla
MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA- Stewart
www.virtual.unal.edu.co - Trigonometría – J.M. Fernández, Barragán, Molina.
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA