Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.1 SoSe14
Frank KameierStrömungstechnik II
3. Vorlesung
Koordinatensysteme / Kreuzprodukt Drehimpulserhaltung
Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung oderEulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.2 SoSe14
Drehrichtung-Richtungu-Richtungazimutale RichtungUmfangsrichtung
CAD denkt in x-,y-,z-Richtungnicht inZylinderkoordinaten r-,- und z-Richtung
Drehrichtung- Koordinatensysteme -
Übung – Geschwindigkeitsdreiecke und Androsseln
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.3 SoSe143
c = u + w
𝑢1
¿𝑢∨¿𝑢=𝑢1=𝑢2=𝜋 ∙𝑛 ∙𝑑
𝛽1
- unendlich dünne Schaufeln- schaufelkongruente Umströmung
𝛽2
1=17°
2=24°
Hauptströmung
Drehrichtung
Übung – Geschwindigkeitsdreiecke und Androsseln
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.4 SoSe14
Die Umfangsgeschwindigkeit nimmt linear mit dem Radius zu:
x1meridional cc~V
rxu
c = u + w
Bild: Carolus, Ventilatoren, 2009 http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzproduktwww.techniklexikon.net/.../rechte-hand-regel.htm
Kreuzprodukt – rechte Hand Regel
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Umfangsgeschwindigkeit aus dem Kreuzprodukt von Winkelgeschwindigkeit und Radius
Koordinatentransformation
Absolut-geschwindigkeit
Relativ-geschwindigkeit
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.5 SoSe14
Exkurs zum Zusammenhang von Drehimpuls, Arbeit und Leistung:
sFW
s r
W F s F r
Eine Kraft, die über einen Weg verrichtet wird, nennt man Arbeit
Der überstrichene Weg bei einer rotatorischen Bewegung ist
mit dem Betrag des Radiusvektors r und dem Winkel , so dass für die Arbeit folgt
M r xF
Der Kraft äquivalent ist das Drehmoment
.
[Nm]=[J]
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.6 SoSe14
W F s M
P Fs
tM
t
vs
t
n2t
für die Arbeit folgt
.Die in der Zeit t geleistete Arbeit führt zu der Leistung
Die zurückgelegte Wegstrecke pro Zeit wird Geschwindigkeit genannt
Der überstrichene Winkel pro Zeit wird Winkelgeschwindigkeit genannt
[ Nm/s ]=[ J/s ]=[ W ]
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.7 SoSe14
2n
P M
M m r c r cu u 2 2 1 1
P m r c r cu u 2 2 1 1
u11u22 cucumP
Auf ganze Umdrehungen 2 bezogen gilt mit der Drehzahl n
Für die Leistung an der Welle einer Strömungsmaschine folgt somit
Mit dem Betrag des Drehimpulses
… Theorie ist notwendig
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.8 SoSe14
d
dtr c dV r f dV r dAx
V
x x ~
Multiplikation (Kreuzprodukt) des Impulssatzes mit r
zeitliche Änderung des
Impulse
Schwerkraft(Erdbeschleunigung)
Druckkraft und
Reibung
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.9 SoSe14
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt
Kreuzprodukt
rechte Hand Regel
ex x ey = ez ey x ex = - ez ez x ex = ey
ez x er = e er x ez = - e
kartesische Koordinaten:
Zylinder-Koordinaten:
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.10 SoSe14
http://de.wikipedia.org/wiki/KreuzproduktKreuzprodukt
cba ikjijk cba 12332 cbaba
23113 cbaba
31221 cbaba
)vordoppeltkommtZiffereine(nationenIndexkombianderenallefür0
132und213nenPermutatiozyklischenseineund321ijkfür1
312und231nenPermutatiozyklischenseineund123ijkfür1
ijk
Schade/Kunz: Strömungslehre
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.11 SoSe14
d
dtr c dV r f dV r dAx
V
x x ~
Multiplikation (Kreuzprodukt) des Impulssatzes mit r
zeitliche Änderung des
Impulse
Schwerkraft(Erdbeschleunigung)
Druckkraft und
Reibung
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.12 SoSe14
d
dtr c Ads
r c A
tds r c A
ds
dtr c A
ds
dtx
V
x
s
s
x x
~
1
2
2 2 2 22
1 1 1 11
M r p A e r p A eE x x 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
mr e
tds m c r e m c r e M M M
x
s
s
x x V M E 1
2
2 2 2 2 1 1 1 1
m c r e m c r e M M Mx x V M E2 2 2 2 1 1 1 1
Für einen Stromfaden folgt nach rein mathematischer Umformung:
mit ds/dt=c der Kontinuitätsgleichung und dem Moment in den Endflächen ME
folgt
und für stationäre Strömungen folgt der Eulersche Momentensatz
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.13 SoSe14
wuc
Die Eulersche Strömungsmaschinengleichung
m c r e m c r e M M Mx x V M E2 2 2 2 1 1 1 1 aus
mit
Momente werden auf die Drehachse bezogen oder verschwinden aufgrund der Orientierung der Normalenvektoren der Endflächen
0 0
m r c r c Mx x M2 2 1 1
Dem Betrage nach folgt
m r c r c Mu u2 2 1 1
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.14 SoSe14
Y P m
Y u c u cu u 1 1 2 2
Y u c u cu u 2 2 1 1
Für Strömungsmaschinen (Turbine oder Pumpe) gilt1 = Laufradeintritt,2= Laufradaustritt.
(stets positiv!)
(Eulersche Strömungsmaschinengleichung)
- kompressible und inkompressible Strömungen- mit und ohne Reibung der Strömung im Schaufelgitter.
Die Eulersche Strömungsmaschinengleichung gilt somit für hydraulische undthermische Strömungsmaschinen.
für Turbinen
für Ventilatoren/Pumpen/Verdichter
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.15 SoSe14
c u w u
u c u c u w uu 2
222
222
wuc2
1uw
uuw2wc
222
2
1
222
2222
wuccu
uwuccu
u
u
Umformung für eine anschauliche Interpretation (Cosinus-Satz)
Quadrieren des Geschwindigkeitsdreiecks ergibt
eingesetzt folgt
(Skalarprodukt alles ┴ wird zu 0!)
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.16 SoSe14
2
ww
2
uu
2
ccY
22
21
22
21
22
21
Yc c u u w w
2
212
22
12
22
12
2 2 2
In die Eulersche Strömungsmaschinengleichung eingesetzt folgt
für Turbinen
für Ventilatoren/Pumpen/Verdichter
Änderung der spezifischen kinetischen Energie im Absolutsystem (z.B. durch Beschleunigung der Strömung bei Pumpen oder durch Verzögerung der Strömung bei Turbinen)
Differenz der spezifischen kinetischen Energie durch Änderung der Fliehkräfte am Ein- und Austritt
Änderung der spezifischen kinetischen Energie im Relativsystem (z.B. die spezifische Verzögerungsarbeit der Strömung bei einer Pumpe und die spezifische Beschleunigungsarbeit der Strömung bei einer Turbine).
… untersc
heidet
Radial- und A
xial-
maschinen!
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung
Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.17 SoSe14
Yc c u u w w
2
212
22
12
22
12
2 2 2
Laufradströmung(Rotor) mit Rohrströmung(1-dimensionale Stromfadentheorie)
Vppzg
cppzg
c 22
221
1
21
22
[ m2/s2 ]
Strömungsmaschine(Ventilator) Verluste (Reibung und Einbauten)
Verknüpfung
Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung