Lista de Exerccios: solues - Unidade 2
2.1 Uma lmina de ao de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, mdulo de elasticidade E = 210 x 10
9 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e usada como uma mola
simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento.
(a) Determinar a constante de mola para a fora e deslocamento na direo vertical, na posio da massa. (b) Quais as modificaes que se fariam nas dimenses da viga para duplicar a sua constante de mola? (c) Determinar a constante de mola se duas lminas so usadas uma em cima da outra com lubrificante entre
elas (no h atrito).
(d) Encontrar a constante de mola se duas lminas so usadas uma em cima da outra e soldadas juntas.
Dados: t = 3 mm, L = 300 mm, b = 20 mm, E = 210 x 109 Pa
(a) Viga bi-apoiada sob flexo 3
48
L
EIk
com 41233
m 104512
003,002,0
12
bt
I
N/m 108,163,0
1045102104848 33
129
3
L
EIk
(b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes solues: 1. Diminuir o comprimento para
m 238,0108,162
10451021048
2
483
3
129
3
k
EIL
2. Aumento do momento de inrcia (dimenses da seo transversal)
4119
333
m 1091021048
3,0108,162
48
2
E
klI
(c) A configurao proposta consitui-se em uma associao em paralelo, implicando na duplicao da rigidez,
de forma que N/m 106,33108,16233 k
(d) Desta forma a espessura da viga duplicada t = 6 mm
412
33
m 1036012
006,002,0
12
bt
I
N/m 101343,0
10360102104848 33
129
3
L
EIk
2.2 Uma mquina de massa m = 500 kg montada em uma viga de ao bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, que possui uma seo transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 10
9 N/m
2. Para
reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. Determinar o
valor de k necessrio para reduzir a flecha da viga para um tero do seu valor original (sem a mola). Assumir
que a massa da viga desprezvel.
m
k
Figura 2.1
Dados: m = 500 kg, L = 2 m, t = 0,1 m, b = 1,2 m e E = 206 x 109 N/m
2.
Como o momento de inrcia (em relao linha elstica) de uma viga
4433
m 1000,112
1,02,1
12
tb
I
A rigidez de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no centro
N/m 101262
1000,1102104848 63
49
3
L
EIkv
A mola de rigidez k se associa em paralelo (observar que aumenta a rigidez) com a viga. Para que a flecha
seja reduzida para um tero de seu valor inicial tem-se
33
v
eq
viga
final
kP
k
P
De onde
N/m 10252106,123223 66 vvveq kkkkkk
2.3 O eixo de um elevador em uma mina est suspenso por dois cabos de comprimento L = 150 m e dimetro d = 20 mm cada. Os cabos so feitos de ao com mdulo de elasticidade E = 210 x 10
9 Pa.
(a) Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do eixo para deslocamento na direo vertical.
(b) Determinar como a constante de mola ir variar se o nmero de cabos for aumentado para quatro. (c) Determinar como a constante de mola ir variar se o dimetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos).
Dados: L = 150 m, d = 20 mm, E = 210 x 109 Pa.
(a) N/m 104401504
02,010210
4
3292
L
Ed
L
EAk
Com dois cabos em paralelo
N/m 108802 3 kkeq
(b) N/m 1076,14 6 kkeq
(c) N/m 109901504
03,010210
4
3292
L
Ed
L
EAk
N/m 1098,12 6 kkeq
Comparando os resultados dos itens a) e c), ocorreu uma variao de 2,25 vezes na rigidez para uma
ampliao de 50% no dimetro do cabo.
2.4 Um sistema de barra de toro de uma suspenso automotiva possui comprimento L = 1,5 m e dimetro d = 18 mm. O mdulo de elasticidade transversal G = 85 GPa.
(a) Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. (b) Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G = 41 GPa.
Dados: l = 1,5 m, d = 18 mm, G = 85 GPa
(a)
4944
m 103,1032
018,0
32
d
J
N.m/rad 5845,1
103,101085 99
L
GJk t
(b) Com G = 41 GPa
N.m/rad 2825,1
103,101041 99
L
GJk t
2.5 Uma mola de lminas mltiplas consiste de trs lminas de ao de comprimento L = 0,3 m, largura b = 0,10 m e espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexo vertical se o mdulo de
elasticidade E = 210 x 109 Pa e o bloco de conexo rgido. Notar que as extremidades das lminas
permanecem sempre horizontais.
Figura 2.2
Dados: L = 0,3 m, b = 0,10 m, t = 0,005 m e E = 210 GPa
Uma viga bi-engastada, com carregamento P concentrado no seu centro, possui uma deformao igual a
EI
PLviga
192
3
Cada uma das 3 lminas uma viga engastada com a sua extremidade condicionada a uma deformao
vertical, sem girar. Desta forma ela pode, em funo da simetria, ser considerada como a metade de uma
viga bi-engastada com carregamento concentrado no centro. Desta forma pode-se dizer que ser necessrio
o dobro da carga para produzir uma igual deformao em uma viga bi-engastada com o dobro do
comprimento de cada lmina.
EI
LF
k
F
192
23
23
3
de onde
N/m 102,973,0
12
005,01,01021012
123 33
39
3
L
EI
F
k
Como so trs lminas que sofrem a mesma deformao, esto associadas em paralelo de forma que a
rigidez equivalente
N/m 102923 3 kkeq
2.6 Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d = 8 mm, conectadas como mostrado, em um crculo de um raio R = 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento l = 250 mm e o mdulo de
elasticidade do material na mola E = 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barra
est carregada em flexo com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos.
Figura3
Dados: d = 8 mm, R = 100 mm, l = 250 mm E = 210 GPa,
Cada barra se comporta como as lminas do exerccio anterior, submetidas a flexo, de forma que sua rigidez
312
l
EIPk
barra
A rigidez torsional proporcionada por cada barra determinada por
N.m/rad 32425,0
1,064
008,01021012
123
24
9
3
22
l
REIRk
R
RPMk barra
t
t
Como so 8 molas combinadas proporcionando um efeito torsional equivalente a uma associao em paralelo
(mesma deformao), a rigidez torsional equivalente
N.m/rad 1059,232488 3 teqt kk
2.7 Uma barra de toro consiste de trs segmentos com dimetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400, 600, e 500 mm, respectivamente, conectados em srie de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa,
determinar a constante de mola torsional.
Dados: d1 = 30 mm, d2 = 40 mm, d3 = 50 mm, l1 = 400 mm, l2 = 600 mm, l3 = 500 mm, G = 105 GPa.
N.m/rad 109,204,032
03,010105
32
3
49
1
4
1
1
1
1
l
dG
l
GIk P
t
N.m/rad 100,446,032
04,010105
32
3
49
2
4
2
2
2
2
l
dG
l
GIk P
t
N.m/rad 101295,032
05,010105
32
3
49
3
4
3
3
3
3
l
dG
l
GIk P
t
N.m/rad 108,12
10129
1
100,44
1
109,20
1
1
111
1 3
333
321
ttt
eq
kkk
k
2.8 Uma mola helicoidal usada em uma transmisso de caminho tem dimetro do arame d = 10 mm, dimetro D = 100 mm e tem 15 espiras, mdulo de elasticidade transversal G = 81 GPa.
(a) Encontrar a constante de mola axial. (b) Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o nmero de espiras. (c) Encontrar a constante de mola se duas molas esto conectadas em paralelo. (d) Encontrar a constante de mola se duas molas so conectadas em srie.
Dados: d = 10 mm, D = 100 mm, n = 15 espiras e G = 81 GPa.
(a) N/m 1075,61,0158
01,01081
8
3
3
49
3
4
nD
Gdk
(b) N/m 1038,31,0308
01,01081
8
3
3
49
3
4
nD
Gdk
(c) N/m 105,1323 kk
eq
(d) N/m 1038,32
4k
keq
2.9 Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e feita de ao com E = 2,1 x 1011 Pa, d = 3 mm e de Di = 30 mm. Determinar a constante torsional da mola.
Dados: E = 210 GPa, d = 3 mm, Di = 30 mm e n = 6.
D = Di + d = 3 + 30 = 33 mm
N.m/rad 895033,0632
003,010210
32
393
nD
Edk
t
Figura 2.4
2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direo de
Figura 2.5
2
2
1
eqkU
2323
2
12121
2
23
2
121
2
2
2
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1 lklkkkklklkkkkU
tttt
223
2
12121lklkkkkk
tteq
2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6
Os trs segmentos de eixos, com rigidezes k1, k2 e k3, esto submetidos toro esto associados em srie,
possuindo rigidez equivalente:
313221
321
321
1 111
1
kkkkkk
kkk
kkk
keq
Combinando-se com o quarto segmento de eixo, localizado do outro lado do disco, de rigidez torcional k4,
ocorre uma associao em paralelo:
412kkk
eqeq
As duas molas de rigidezes k5 e k6 esto associadas em paralelo, possuindo rigidez equivalente
653kkk
eq
Figura 2.6
As duas molas de rigidezes k7 e k8 esto associadas em srie, possuindo rigidez equivalente
87
87
87
4 11
1
kk
kk
kk
keq
Os segmentos de eixo esto submetidos toro , enquanto que as molas esto submetas a uma deformao linear igual a
Rx A energia potencial total igual soma das energias potenciais armazenadas em cada um dos elementos
deformados (segmentos de eixos e molas)
224
2
32
2
4
2
3
2
22
1
2
1
2
1
2
1 RkRkkxkxkkU
eqeqeqeqeqeq
Substituindo os termos das rigidezes
22
87
87
65
313221
321
42
1
R
kk
kkkk
kkkkkk
kkkkU
De forma que a rigidez torcional equivalente
2
87
87
65
313221
321
4R
kk
kkkk
kkkkkk
kkkkk
eq
2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de dimetro interno d e espessura t que possui a mesma constante de mola axial que o eixo slido cnico mostrado na Fig. 2.7.
D d
l
Figura 2.7
1
2
1
22
1
22
14
44
4
24
4 l
tdtE
l
dtdE
l
ddE
l
EA
l
EDdk
ie
Dd
tdltl
41
2.13 Determinar a massa equivalente referente coordenada x para o balancim mostrado na Fig. 2.8.
Figura 2.8
A massa m2 se movimenta com velocidade x , a o balancim com velocidade angular b
x e a massa m1
com velocidade linear xb
aa .
A energia cintica total igual soma das energias cinticas de cada uma das inrcias (massas em
translao e balancim em rotao), dada por
2
2
2
2
2
2
1
2
2
22
2
12
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1xmx
bJx
b
amxmJx
b
amT
OO
2
2
22
1
1
2
1xm
bJ
b
amT
O
De forma que a massa equivalente
22
2
1 mb
Jamm O
eq
2.14 Duas massas, com momentos de inrcia de massa J1 e J2, so colocadas em eixos rgidos rotativos que so ligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o nmero de dentes nas engrenagens 1 e 2 so n1 e n2,
respectivamente, determinar o momento de inrcia de massa equivalente correspondente a 1.
Figura 2.9
Energia cintica
2
22
2
112
1
2
1 JJEC
Relao de transmisso
2211nn
Ento
212
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
112
1
2
1
2
1
J
n
nJ
n
nJJEC
Momento de inrcia equivalente
2
2
2
1
1J
n
nJJ
eq
2.15 Determinar o momento de inrcia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, com referncia ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, Ji e ni so os momentos de inrcia de massa e os nmeros de
dentes, respectivamente, das engrenagens i, i=1,2, ... , 2N.
Figura 2.10
Energia cintica
N
i
iiJEC
2
1
2
2
1
Relaes de transmisso
11 iiii nn
N
i
iii
i
n
n
n
n
nJJEC
0
2
1
2
12
4
3
2
1122
22
1
Ento
210
2
12
4
3
2
1122
22
1
N
i
iii
i
n
n
n
n
nJJEC
Momento de inrcia equivalente
N
i
iiieq
i
n
n
n
n
nJJJ
0
2
12
4
3
2
1122
2
2.16 Um oscilador harmnico possui massa m = 1,2 kg e constante de rigidez k = 8,5 kN/m. Determinar a freqncia natural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto).
Dados: m = 1,2 kg, k = 8,5 kN/m
rad/s 2,842,1
8500
m
kn
cpm 804 cpm 60) (13,4 Hz 4,132
2,84
2
f
2.17 Um oscilador harmnico possui massa m = 10 kg e perodo de vibrao natural, medido em um osciloscpio, igual a 35 ms. Determinar a constante de mola.
Dados: m = 10 kg, Tn = 35 ms.
N/m 10322035,0
10442 3
2
2
2
222
n
nnT
mfmmk
2.18 Um automvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspenso 0,02 m sob condies estticas. Determinar a freqncia natural do automvel na direo vertical assumindo que o amortecimento seja
desprezvel.
Dados: m = 2000 kg, st = 0,02 m
rad/s 1,2202,0
81,9
st
n
g
m
k
2.19 Uma prensa industrial est montada sobre uma camada de borracha para isol-la de sua base. Se a borracha est comprimida 5 mm pelo peso prprio da prensa, determinar a freqncia natural do sistema.
st
st
g
m
kkmg
rad/s 3,44005,0
81,9
st
n
g
m
k
Hz 05,72
3,44
2
n
nf
2.20 Um sistema massa-mola possui um perodo natural de 0,21 seg. Qual ser o perodo se a constante de mola (a) aumentada em 50 % ? (b) reduzida em 50 % ?
Dados: Tn = 0,21 seg
s 21,022
k
mT
n
n
(a) Rigidez aumentada em 50 % ?
s 171,021,05,1
1
5,12
k
mT
n
(b) Rigidez reduzida em 50 % ?
s 297,021,05,0
1
5,02
k
mT
n
2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqncia natural de 10 Hz. Quando a constante de mola reduzida em 800 N/m, a freqncia natural alterada em 45 % (a diferena). Determinar a massa e a constante de mola do
sistema original.
Dados: fn = 10 Hz, k = 800 N/m.
rad/s 201022 nn
fm
k
22 20 mmkn
2055,0
8002080055,0
2
m
m
m
kn
Resolvendo
kg 291,0
2055,01
80022
m
N/m 1015,1202905,020 322 mk
2.22 Um oscilador harmnico de massa m = 1 kg e rigidez k = 40 kN/m possui uma freqncia natural prxima freqncia excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqncia natural
em 30% (a diferena). Determinar as possveis mudanas requeridas.
Dados: m = 1 kg e k = 40 kN/m
rad/s 2001
40000
m
kn
rad/s 1402007,07,01
nn
Mantendo a massa
kN/m 6,191401 2211
n
mk
Mantendo a rigidez
kg 04,2140
4000022
1
1
n
km
ou uma infinita combinao de parmetros garantido que
rad/s 1401
n
2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma fora de 100 N para produzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola esto agora rigidamente fixadas e uma massa de
10 kg colocada no ponto mdio de seu comprimento. Determinar o tempo necessrio para completar um ciclo
de vibrao quando a massa vibra.
Dados: F = 100 N, = 10 mm e m = 10 kg.
kN/m 0,10010,0
100
Fk
Quando dividida em duas a constante de mola se torna
10000
1111
11
kkk
kN/m 0,2010000
121
1
kk
Na nova configurao, as duas metades esto associadas em paralelo
kN/m 0,4020000221
kkeq
O tempo para cumprir um ciclo
ms 3,9940000
1022
k
mT
n
2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pisto com m = 0,3 kg e est suportado por uma mola helicoidal de d = 1 mm, D = 10 mm, 10 espiras e G = 105 GN/m
2. Determinar a freqncia
natural da vibrao do pisto se no h leo no cilindro.
Figura 2.11
Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m2.
kN/m 31,101,0108
001,010105
8 3
49
3
4
nD
Gdk
rad/s 1,663,0
1031,1 3
m
kn
Hz 5,102
1,66
2
n
nf
2.25 O cilindro de uma vlvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pisto com m = 0,2 kg e suportado por uma mola helicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m
2, determinar a freqncia natural de
vibrao do pisto se no h fluido na vlvula.
Figura 2.12
Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m2.
kN/m 30,103,068
002,010105
8 3
49
3
4
nD
Gdk
rad/s 5,802,0
1030,1 3
m
kn
Hz 8,122
5,80
2
n
nf
2.26 Uma unidade de ar-condicionado est ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade 300 kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa
permissvel da constante de cada mola.
Dados: m = 300 kg, fn = entre 32 e 40 Hz.
rad/s 80 a 642 nn
f
Rigidez 24n
mk
MN/m 03,3
4
643002
min
k
MN/m 74,4
4
803002
max
k
2.27 Um desumidificador de ar est suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadas fixamente. A massa da unidade de 200 kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao vertical seja
maior do que 30 Hz e para vibrao horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissvel para os
dimetros das barras. E = 210 GN/m2.
Dados: 4 barras, l = 0,5 m, m = 200 kg, fn > 30 Hz (vertical), 10 Hz fn 15 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m2.
rad/s 302
rad/s 202
maxmax
minmin
nn
nn
f
f
Limites para a rigidez horizontal (flexo)
MN/m 78,130200
kN/m 79020200
22
maxmax
22
minmin
n
n
mk
mk
Rigidez horizontal flexo (assumindo viga em balano)
49
3
4
9
310990
5,0
641021034
34 d
d
l
EIk
mm 6,3610990
1078,1
10990
mm 9,2910990
10790
10990
49
6
49
max
max
49
3
49
min
min
kd
kd
Rigidez horizontal flexo (assumindo duplo engaste)
412
3
4
9
31096,3
5,0
6410210124
124 d
d
l
EIk
mm 9,251096,3
1078,1
1096,3
mm 1,211096,3
10790
1096,3
412
6
412
max
max
412
3
412
min
min
kd
kd
Rigidez vertical trao-compresso
rad/s 602minmin
nn
f
MN/m 11,760200 22minmin
n
mk
212
2
9
1032,15,0
4102104
4 d
d
l
EAk
mm 32,21032,1
1011,7
1032,1 12
6
12
min
min
kd
2.28 Um coletor de lixo limpo est fixado no solo por 4 colunas de seo tubular retangular de espessura 5 cm e comprimento 0,5 m. A massa da unidade 500 kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao horizontal
esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissvel para a largura da sesso tubular. E = 210 GN/m2.
Dados: 4 colunas de seo retangular, t = 5 cm, l = 0,5 m, m = 500 kg, 32 Hz fn 40 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m2.
rad/s 802
rad/s 642
maxmax
minmin
nn
nn
f
f
Limites para a rigidez horizontal (flexo)
MN/m 6,3180500
MN/m 2,2064500
22
maxmax
22
minmin
n
n
mk
mk
Rigidez horizontal flexo (assumindo viga em balano)
bb
l
btE
k 63
39
3
3
102105,0
05,010210123
4
mm 15010210
104,31
10210
mm 3,9610210
102,20
10210
6
6
6
max
max
6
6
6
min
min
kb
kb
Rigidez horizontal flexo (assumindo duplo engaste)
bb
l
btE
k 63
39
3
3
108405,0
05,01021041212
4
mm 6,3710840
104,31
10840
mm 1,2410840
102,20
10840
6
6
6
max
max
6
6
6
min
min
kb
kb
2.29 Um purificador de ar est fixado no solo por 6 pilares slidos de ferro de forma retangular, com 100 mm de largura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na unidade. A massa da
unidade 800 kg. Determinar as freqncias naturais horizontais nas duas direes. E = 210 GN/m2.
Dados: 6 pilares, b = 100 mm, t = 50 mm, l =2 m, m = 800 kg e E = 210 GN/m2.
Rigidez horizontal primeira direo flexo (assumindo viga em balano)
kN/m 492212
05,01,01021036123
63
39
3
3
l
btE
k
rad/s 8,24800
10492 3
m
kn
Rigidez horizontal segunda direo flexo (assumindo viga em balano)
MN/m 97,1212
1,005,01021036123
63
39
3
3
l
tbE
k
rad/s
6,49800
1097,1 6
m
kn
Rigidez horizontal primeira direo flexo (assumindo duplo engaste)
MN/m 97,12
05,01,01021061212
63
39
3
3
l
btE
k
rad/s 6,49800
1097,1 6
m
kn
Rigidez horizontal segunda direo flexo (assumindo duplo engaste)
MN/m 88,72
1,005,01021061212
63
39
3
3
l
tbE
k
rad/s 2,99800
1088,7 6
m
kn
2.30 Um pequeno compressor est apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 3,0 kN/m cada uma, na direo vertical, e 4,0 kN/m na direo horizontal. A massa da unidade 30 kg.
Determinar as freqncias naturais para vibraes horizontal e vertical.
Dados: quatro molas de borracha, kv = 3,0 kN/m, kh = 4,0 kN/m e m = 30 kg.
Direo horizontal
rad/s 1,2330
400044
m
kh
nh
Hz 68,32
09,23
2
nh
nhf
Direo vertical
rad/s 0,2030
300044
m
khv
nv
Hz 18,32
0,20
2
nh
nhf
2.31 O ncleo mvel de um rel eletromagntico mostrado na Fig. 2.13 possui massa m = 12 gr, e est suportado por uma mola com k = 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que esto montados em lminas
flexveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lmina mvel possui comprimento de 20 mm e as
estacionrias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a freqncia natural com o rel aberto e
fechado. E = 210 GN/m2.
Figura 2.13
Dados: m = 12 gr, k = 3,0 kN/m, t = 0,8 mm, b = 6 mm, l1 = 20 mm, l2 = 15 mm e E = 210 GN/m2.
Com o rel aberto:
rad/s 500012,0
3000
m
kn
ou
Hz 6,79
2
500
2
n
nf
Com o rel fechado
a) lmina mvel dupla viga engastada
kN/m 161
202,0
12
0008,0006,0102103
2
33
3
9
3
1
1
l
EIk
b) lmina fixa viga engastada
kN/m 8,47015,0
12
0008,0006,0102103
33
3
9
3
2
2
l
EIk
De cada lado ocorre associao em srie de k1 e k2
kN/m 9,36108,4710161
108,471016133
33
21
21
1
kk
kkk
eq
Estes dois conjuntos esto associados em paralelo
kN/m 7,73109,36223
1
eqeqkk
A freqncia natural com rel fechado ser
rad/s 1053,2012,0
300073728 3
m
keq
n ou
Hz 4022
1053,2
2
3
n
nf
2.32 Achar a freqncia natural de vibrao do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, como mostrado na Fig. 2.14.
Figura 2.14
xmmgxkxk sin21
sendo x1 medido a partir da posio de equilbrio esttico
11211
sin xmmgxkxkstst
0sin121121 xkkxmmgkk
st
pela condio de equilbrio esttico.
A freqncia natural
m
kkn
21
2.33 Determinar a expresso para a freqncia natural do sistema mostrado na Fig. 2.15, considerando desprezveis as massas das plataformas.
Figura 2.15
Viga engastada
3
1
11
1
3
l
IEk
Viga bi-apoiada
3
2
22
2
48
l
IEk
Constante de mola equivalente, associao em paralelo
21 kkkeq
Freqncia natural
3
2
22
3
1
1121483
l
IE
l
IE
W
g
W
kkg
m
keq
n
2.34 Uma mola helicoidal de rigidez k cortada em duas metades e uma massa m conectada s duas metades como mostra a Fig. 2.16(a). O perodo natural deste sistema 0,5 seg. Se uma mola idntica cortada de forma que
uma das partes tenha de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha , com a massa sendo conectada
s duas partes como mostra a Fig. 2.16(b), qual ser o perodo natural do sistema?
Figura 2.16
Uma mola pode ser considerada como duas metades associadas em srie, de forma que
kk 21 cada metade
As duas metades associadas em paralelo, como mostra a Fig. 2.16a, possuem rigidez
kkkeq
421
Freqncia natural
5,0
222
4
n
nTm
k
m
k
2m
k
Para a diviso mostrada na Fig. 2.16b, dividindo a mola em 4
kk 42
Associando 3 em srie
3
4
111
1
222
3
k
kkk
k
Associando k2 e k3
3
16
3
44
32
kkkkkk
eq
Freqncia natural
rad/s 5,1423
4
3
4
3
161
m
k
m
kn
Perodo
s 433,05,14
221
n
nT
2.35 Trs molas e uma massa esto presas a uma barra rgida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 2.17. Achar a freqncia natural de vibrao do sistema.
Figura 2.17
Do diagrama de corpo livre da barra PQ, considerada como de massa desprezvel, a 2 Lei de Newton para
movimentos angulares (Lei de Euler), pode ser escrita para momentos em relao ao ponto P como
0333
2
22
2
11 xllklklk
De onde se tem que
xlklklk
lk
2
33
2
22
2
11
33
Do diagrama de corpo livre da massa m, a 2 Lei de Newton pode ser escrita para as foras atuantes na
massa
xmxlk 33
Substituindo a segunda expresso na terceira chega-se equao do movimento em x
02
33
2
22
2
11
2
22
2
113
x
lklklkm
lklkkx
De onde se extrai a freqncia natural como sendo
2
33
2
22
2
11
2
22
2
113
lklklkm
lklkkn
2.36 O sistema mostrado na Fig. 2.18 modela o mecanismo de contato de um rel eletro-mecnico. (a) Determinar sua freqncia natural de oscilao em torno do piv. (b) De determinar o valor da rigidez k que resultar em duas vezes a sua freqncia natural.
Figura 2.18
Equao do movimento
2
22
22a
l
g
WI
lk
O
022
2
2
2
lka
l
g
W
a) Freqncia natural
222
22
2
4
4
4
4
alW
gkl
al
g
W
lk
n
b) Como a rigidez proporcional ao quadrado da freqncia natural, necessrio quadruplic-la para dobrar
a freqncia natural.
2.37 O sistema mostrado na Fig. 2.19 modela o brao de um mecanismo de elevao de peso. Determinar sua freqncia natural de oscilao em torno do ponto A.
Figura 2.19
Equaes do movimento
xmLxk
xLLklk
2
2
2
10
Da primeira
Lk
Lklkx
2
2
2
2
1
e Lk
Lklkx
2
2
2
2
1
substituindo na segunda
02
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
L
Lk
Lklkk
Lk
Lklkm
resultando em
0212
2
2
2
1 lkkLklkm
ou ento
0
2
2
2
1
2
21
Lklkm
lkk
Freqncia natural
22
2
1
2
21
Lklkm
lkkn
2.38 Para o pndulo invertido mostrado na Fig. 2.20 que modela um tipo de sismgrafo: (a) Determinar a freqncia natural. (b) Se a mola k1 removida para que o valor da constante de mola k2 a freqncia natural ser zero?
Figura 2.20
a) Freqncia natural
2211
2
22mLhkhkmgL
0222
2
11
2 mgLhkhkmL
2
2
22
2
11
mL
mgLhkhkn
b) Com k1 = 0 para fazer com que a freqncia natural se anule necessrio que
2
2
2
2
22h
mgLkmgLhk
2.39 Para o pndulo controlado mostrado na Fig. 2.22 modelando um relgio: (a) Determinar a freqncia natural. (b) Para que valor da massa m2 a freqncia natural ser zero?
Figura 2.21
(a) Equao do movimento
222
2
111122LmLmgLmgLm
02211
2
22
2
11 gLmgLmLmLm
Freqncia natural
2
22
2
11
2211
LmLm
gLmLmn
(b) 00
22112
22
2
11
2211
LmLm
LmLm
gLmLmn
2
1
12L
Lmm
2.40 Uma barra uniforme rgida de massa m e comprimento l est articulada no ponto A e ligada a cinco molas como mostra a Fig. 2.22. Achar a freqncia natural do sistema se k = 2 kN/m, kt = 1 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m.
Figura 2.22
Dados: k = 2,0 kN/m, kt = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m.
Momento de inrcia da barra
12
2mlI
G
em relao a A
mllml
mdIIGA
22
2
23
2
12
936
3
612
22222 mlmlmlm
lmlI
A
Equao do movimento
At
Ikl
kl
k
22
3
22
32
09
10
9
22
klk
mlt
Freqncia natural
rad/s 1,45510
5200010100091092
2
2
2
ml
klkt
n
2.41 Um cilindro de massa m e momento de inrcia J0 rola livremente, sem deslizar, mas tem seu movimento restrito por duas molas de rigidez k1 e k2 como mostra a Fig. 2.23. Achar a freqncia natural de vibrao e o valor de a
que maximiza a freqncia natural.
Figura 2.23
Rotao pura em torno do ponto de contato
222
2
1mRJaRkaRk
O
0221
2 aRkkmRJO
Freqncia natural
2
21
2
2
21
mRJ
kkaR
mRJ
aRkk
OO
n
Para maximizar
a = R
2.42 Achar a equao do movimento da barra rgida uniforme AO, de comprimento l e massa m mostrada na Fig. 2.24. Achar tambm sua freqncia natural.
Figura 2.24
3212
222 mllm
mlJ
O
3
2
2
2
2
1
mlklkak
t
03
2
2
2
1
2
t
klkakml
2
2
2
2
13
ml
klkakt
n
2.43 Um disco circular uniforme, de massa m, pivotado no ponto O como mostra a Fig. 2.25. Achar a freqncia natural do sistema.
Momento de inrcia em relao ao centro do disco
2
2maJ
C
Figura 2.25
Equao do movimento
2
2
2mb
mamgb
02
2
2
gbb
a
Freqncia natural
22 2
2
ba
gbn
2.44 O sistema mostrado na Fig. 2.26 modela o brao de um sismgrafo vertical. (a) Determinar sua freqncia natural de oscilao em torno do piv. (b) Determinar o valor da rigidez k que resultar no dobro da sua freqncia natural
Figura 2.26
Equao do movimento
022
22
kamL
mLka
a) Freqncia natural
2
2
mL
kan
b) Rigidez para dobrar a freqncia natural
kk 41
2.45 Uma massa m montada na extremidade de uma barra de massa desprezvel e pode assumir trs diferentes configuraes como mostra a Fig. 2.27. Determinar a configurao que proporciona a maior freqncia natural.
Figura 2.27
a) l
gn
b) 22 mlakmgl
022 akmglml
2
2
2
2
ml
ka
l
g
ml
mglkan
c) 22 mlakmgl
022 mglakml
l
g
ml
ka
ml
mglkan
2
2
2
2
A configurao que proporciona a maior freqncia natural a b).
2.46 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.28, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.
O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .
Figura 2.28
Momento de inrcia do retngulo em relao ao seu centro
2212
bam
J
Momento de inrcia do quadrado em relao ao seu centro
6
2
1
1
amJ
Massa do quadrado sem o furo espessura unitria 2
1am
Momento de inrcia do crculo em relao ao centro
822
1 22
2
22
DmDmJ
Massa do crculo (a ser retirada)
4
2
2
Dm
Massa total
4
2
2
21
Dammm
Momento de inrcia total em relao ao centro
442
1
6
1 222221
DDaaJJJ
O
326
44 DaJ
O
Momento de inrcia em relao ao piv Teorema dos eixos paralelos (Steiner)
443262
22
2
442 DDa
DaDmJJ
OP
32
3
46
4224 DDaaJ
P
Equao do movimento
P
JD
mg 2
02432
3
46
2
2
4224
DDag
DDaa
Freqncia natural
4224
22
92416
412
DDaa
DagDn
2.47 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.29, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.
O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .
Figura 2.29
Momento de inrcia do crculo externo em relao ao seu centro
8
2
11
DmJ
Momento de inrcia do crculo interno em relao ao seu centro
8
2
22
dmJ
Massa do crculo externo espessura unitria
4
2
1
Dm
Massa do crculo interno (a ser retirada)
4
2
2
dm
Massa do crculo (a ser retirada)
4
2
2
Dm
Massa total
2221
4dDmmm
Momento de inrcia total em relao ao centro
4421
32
1dDJJJ
O
Momento de inrcia em relao ao piv Teorema dos eixos paralelos (Steiner)
4432
1
2
222
44
2
ddDdD
dmJJ
OP
2
3
216
4
22
4 ddD
DJ
P
Equao do movimento
P
Jd
mg 2
02
3
22
1 224
22
4
dDgd
ddD
D
Freqncia natural
4224
22
32
4
ddDD
dDgdn
2.48 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.30, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.
O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .
Figura 2.30
Momento de inrcia do crculo externo em relao ao piv
2
2
11
RmJ
Momento de inrcia do crculo interno em relao ao piv
2
2
2
2
2
228
3
48Rm
Rm
RmJ
Massa do crculo externo espessura unitria 2
1Rm
Massa do crculo interno (a ser retirada)
4
2
2
Rm
Massa total
4
3 2
21
Rmmm
Novo centride
2
0
2
1
2211 Rr
r
mrrmrmc
6
4
3
24
22
Rr
rRRR
c
c
Momento de inrcia total em relao ao piv
32
13
48
3
2
4
2
22
2
21
RR
RRRJJJ
P
Equao do movimento
Pc
Jmgr
064
3
32
13 24
Rg
RR
04
13 gR
Freqncia natural
R
gn
13
4
2.49 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.31, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.
O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .
Figura 2.31
Momento de inrcia do disco superior em relao ao seu centro 2
1
1122
1
dmJ
com massa
4
2
1
1
dm
Momento de inrcia da barra em relao ao piv
2
1
2
222
22212
dlmbl
mJ
com massa
blm 2
Momento de inrcia do disco inferior em relao ao piv 2
12
3
2
2
332222
1
dl
dm
dmJ
com massa
4
2
2
3
dm
Massa total
bldd
dbl
dmmmm 2
2
2
1
2
2
2
1
321444
Novo centride
22
22
0
21
3
1
2
1
332211
dl
dr
ldr
r
mrrmrmrmc
cr
dbl
ddl
ddldbl
4422422
2
2
2
121
2
21
2
2
2
1
21
2
21
42
24
dbld
dlddldblr
c
Momento de inrcia total em relao ao piv
2
12
2
2
2
1224
2
4
13212
16221232dld
ddlblbl
blddJJJJ
P
Equao do movimento
0442
24
216221232
0
2
2
2
12
2
2
1
21
2
21
2
12
2
2
2
1224
2
4
1
bldddbld
dlddldbl
dldddl
blblbl
dd
mgrJcP
Freqncia natural
2
12
2
2
2
1224
2
4
1
2
2
2
12
2
2
1
21
2
21
216221232
442
24
dldddl
blblbl
dd
bldddbld
dlddldbl
n
2.50 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.32, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.
O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .
Figura 2.32
Momento de inrcia do quadrado em relao ao seu centro
6
2
1am
JG
Massa do quadrado espessura unitria 2
1am
Momento de inrcia em relao ao piv
3
2
262
4442
1
aaaamJJ
GP
Equao do movimento
0223
2
2
2
2
22
4
2
1
kaa
gaa
Ja
ka
gmP
Freqncia natural
222
)22(3
a
kagn
2.51 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.33, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv. O elemento possui espessura unitria e as massas das barras vertical e horizontal so iguais a m.
Figura 2.33
Momento de inrcia da barra vertical em relao articulao
2
22
1212
LmbL
mJ
Momento de inrcia da barra vertical em relao articulao
2222
12mLbL
mJ
Momento de inrcia da total em relao articulao
22221
4
5
6mLbL
mJJJ
P
Novo centride
Lr
Lr
mrrmrmc
2
1
2211 2
Lr
mrmLL
m
c
c
4
3
22
Equao do movimento
04
32
4
5
6
02
222
LmgmLbLm
mgrJcP
Freqncia natural
22 172
18
Lb
gLn
2.52 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.35, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv. O elemento possui espessura unitria e largura desprezvel.
Figura 2.34
Momento de inrcia da barra em relao articulao
2
22
6
5
2
3
12mLLm
mLJ
Equao do movimento
02
3
6
5
02
3
2
LmgmL
LmgrJ
Freqncia natural
L
gn
5
33
2.53 A velocidade mxima atingida pela massa de um oscilador harmnico simples 10 cm/s, e o perodo de oscilao 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar:
(a) a velocidade inicial; (b) a amplitude do deslocamento; (c) a acelerao mxima e (d) o ngulo de fase.
Dados: vmax = 10 cm/s, Tn = 2 s, x0 = 2 cm.
(a) rad/s 2
22
n
nT
tv
txxn
n
n
sincos 0
0
tvtxxnnn
cossin00
20
2
max0
2
0
2
0maxxvvvxv
nn
mm/s 8,7702,01,0 220
v
(b) rad/s 2
22
n
nT
mm 8,310778,0
02,0
2
2
2
02
0
n
vxA
(c) 2
2
222
maxmm/s 314
0778,002,08,31
Aa
n
(d) rad 891,002,0
0778,0tantan 1
0
01
nx
v
2.54 Uma mquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem rigidez k = 130 kN/m. Se a mquina em sua base modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical, determinar:
(a) a freqncia natural e (b) a equao do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direo vertical.
Dados: m = 250 kg, k = 130 kN/m e x0 = 1 mm.
(a) Freqncia natural
rad/s 8,22250
130000
m
kn
(b) Equao do movimento
mm 10 xA
m 8,22cos001,0 tx
2.55 Uma mquina possui massa m = 250 kg e possui freqncia natural para vibrao vertical n = 5140 rad/s. Se a mquina em sua fundao modelada como sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,
determinar:
(a) a rigidez k do suporte elstico e (b) a equao do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical provocada por
um impacto.
Dados: m = 250 kg, n = 5140 rad/s e v0 = 1 mm/s. (a) Rigidez
GN/m 60,6514025022
nmk
(b) mm 1095,15140
001,0 40 n
vA
mm 5140sin1095,14 tx
2.56 Uma mquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 104 N/m e tem freqncia natural de vibrao vertical
n = 550 rad/s. Se a mquina em sua fundao modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical, determinar:
(a) a massa da mquina e (b) a equao do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130
mm/s na direo vertical.
Dados: k = 5,5 x 104 N/m, n = 550 rad/s, x0 = 1 mm e v0 = 130 mm/s.
(a) Massa da mquina
kg 182,0550
5500022
n
km
(b) Equao do movimento
mm 03,1550
1301
2
2
2
02
00
n
vxX
rad 232,01550
130tantan 1
0
01
x
v
n
tXxn
cos0
mm 232,0550cos03,1 tx
2.57 Um instrumento eletrnico tem massa m = 3,4 kg e suportado por 4 coxins de elastmero com uma rigidez k = 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte modelado como um sistema de um grau de liberdade para
vibrao vertical, determinar:
(a) a freqncia natural e (b) se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se mxima amplitude de vibrao do
movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto imediatamente aps o impacto
da ferramenta.
Dados: 4 coxins, k = 5400 N/m cada, m = 3,4 kg, w1 = 0,5 kgf, X0 = 1,7 mm.
(a) Freqncia natural
rad/s 7,794,3
540044
m
kn
(b) Velocidade
m 0017,0
2
1
02
00
n
vxX
m 10227,054004
81,95,0 310
k
gmx
rad/s 4,745,04,3
540044
1
1
mm
kn
mm/s 1254,74227,070,1 221
2
0
2
00
nxXv
2.58 Um instrumento eletrnico tem massa m = 3,4 kg e suportado por 4 coxins de elastmero com rigidez desconhecida. O instrumento no seu suporte modelado como um sistema de um grau de liberdade para
vibrao vertical. Durante um teste, uma massa m1 = 0,5 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida. O
impacto foi plstico e a amplitude de vibrao medida foi 2,2 mm com freqncia do movimento vertical
resultante igual a 325 rad/s. Determinar:
(a) a rigidez de cada um dos quatro coxins elsticos e (b) a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto.
Dados: 4 coxins, m = 3,4 kg, m1 = 0,5 kg, X0 = 2,2 mm e n1 = 325 rad/s. (a) Rigidez
kN/m 1034
3255,04,3
4
22
11
nmm
k
(b) Velocidade da massa em queda antes do impacto
mm 0119,0411900
81,95,01
0
k
gmx
mm/s 715325100119,00022,0 23220
2
00
nxXv
mm/s 55777155,0
5,04,30
1
1
0
v
m
mmv
2.59 A massa m cai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezvel, como mostra a Fig. 2.35, e a coliso plstica. Determinar a resposta do sistema.
Figura 2.35
k
mgx
0
ghv 20
m
kn
k
mgh
k
mg
m
k
gh
k
mgvxX
n
222
2
22
02
00
mg
hk
m
k
k
mg
gh 2tan
2tan 11
Resposta do sistema
mg
hkt
m
k
k
mgh
k
mgx
2tancos
2 12
2.60 A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Fig. 2.36, e a coliso plstica. Determinar a resposta do sistema.
Figura 2.36
Conservao da quantidade de movimento
010
vmmvm
ghv 20
ghmm
mv 2
1
0
Condies iniciais
1
0
0
2mm
mghv
k
mgx
Freqncia natural
1mm
kn
Amplitude do movimento
1
222
1
1
22
02
00
22
mmk
ghm
k
mg
k
mm
mm
ghm
k
mgvxX
n
ngulo de fase
1
1
1
11
0
012
tan
2
tantanmmg
hk
k
mg
mm
k
mm
mgh
x
v
n
A resposta do sistema ser
tXtxn
cos0
1
1
11
22 2tancos
2
mmg
hkt
mm
k
mmk
ghm
k
mgx
2.61 Resolver o problema 2.24 usando o Mtodo de Rayleigh.
Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m2.
kN/m 31,101,0108
001,010105
8 3
49
3
4
nD
Gdk
tXx
tXx
nn
n
sin
cos
0
0
2
max
2
max
maxmax
2
1
2
1kxxm
UT
2
0
2
0
2
2
1
2
1kXXm
n
rad/s 1,663,0
1031,1 3
m
kn
Hz 5,102
1,66
2
n
nf
2.62 Resolver o problema 2.25 usando o Mtodo de Rayleigh.
Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m2.
kN/m 30,103,068
002,010105
8 3
49
3
4
nD
Gdk
tXx
tXx
nn
n
sin
cos
0
0
2max
2
max
maxmax
2
1
2
1kxxm
UT
2
0
2
0
2
2
1
2
1kXXm
n
rad/s 5,802,0
1030,1 3
m
kn
Hz 8,122
5,80
2
n
nf
2.63 Resolver o problema 2.38 usando o Mtodo da Energia.
a) Freqncia natural utilizando o Princpio da Conservao da Energia
2
2
22
2
11
2
1
cos2
1
2
1
LmT
LLmghkhkU
0sin 2222
2
11 mLmglhkhkUT
dt
d
sin 02
22
2
11
2 mgLhkhkmL
2
2
22
2
11
mL
mgLhkhkn
b) Com k1 = 0 para fazer com que a freqncia natural se anule necessrio que
2
2
2
2
22h
mgLkmgLhk
2.64 Resolver o problema 2.39 usando o Mtodo da Energia.
(a) Freqncia natural
222
2
11
2211
2
1
2
1
cos1cos1
LmLmT
gLmgLmU
0sinsin2211
2
22
2
11 gLmgLmLmLmUT
dt
d
sin 0
2211
2
22
2
11 LmLmLmLm
2
22
2
11
2211
lmlm
glmlmn
(b) 00
22112
22
2
11
2211
lmlm
lmlm
glmlmn
2
1
12l
lmm
2.65 Resolver o problema 2.40 usando o Mtodo da Energia.
Dados: k = 2,0 kN/m, kt = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m.
Momento de inrcia da barra
12
2mlI
G
em relao a A
mllml
mdIIGA
22
2
23
2
12
936
3
612
22222 mlmlmlm
lmlI
A
Equao do movimento
09
10
9
22
tk
klmlUT
dt
d
0910 22 t
kklml
Freqncia natural
rad/s 1,45510
5200010100091092
2
2
2
ml
klkt
n
2.66 Resolver o problema 2.41 usando o Mtodo da Energia.
Energia cintica
222
1mRJT
O
Energia potencial
211
2
1aRkkU
0211
2 aRkkmRJUTdt
dO
0221
2 aRkkmRJO
Freqncia natural
2
21
2
2
21
mRJ
kkaR
mRJ
aRkk
OO
n
Para maximizar
a = R
2.67 Um cilindro circular de massa m e raio r ligado a uma mola de mdulo k, como mostra a Fig. 2.37. Utilizando o Mtodo da Energia, achar a freqncia do movimento, quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfcie
spera.
Energia cintica
222
2
1
2
1
mrmrT
2
22
2
2
2
2
1
2
1
3
2
2
1
32
12
A
t
IT
kl
kl
kU
02
12
9
1022
2
tAk
lk
lk
lIUT
dt
d
Figura 2.37
Energia cintica
222
2
1
2
1
mrmrT
Energia potencial
22
1rkU
02
3 22 krmrUTdt
d
02
3 km
Freqncia natural
m
kn
3
2
2.68 No sistema massa-mola mostrado na Fig. 2.38, a corda pode ser considerada como inextensvel. Achar a freqncia natural de vibrao, utilizando o Mtodo da Energia.
Figura 2.38
Energia cintica
22
2
2
12
1
2
1
2
1 JxMxmT
com 2
,,22121
rxrxxx e 2
2
1MrJ
222
2
22
22
22
2
4
34
2
1
242
1
22
1
22
1
2
1
MrmrMrMrmr
MrrMrmT
Energia potencial
2
22
2
242
1
22
1
2
1
krrkkxU
Conservao da energia
044
34 222
krMrmrUT
dt
d
Equao do movimento
034 kMm Freqncia natural
Mm
kn
34
2.69 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfcie de raio R, como mostra a Fig. 2.39. Determinar a freqncia de oscilao quando o cilindro ligeiramente deslocado da sua posio de equilbrio.
Use o Mtodo da Energia.
Figura 2.39
Energia cintica rotao pura em relao ao ponto de contato
22
2
22
1
mr
mrT
Energia potencial
cos1 rRmgmghU condio de rolamento puro
rrRrrRrrR Conservao da energia
0sin2
3 2 rRmg
mrUT
dt
d
Linearizando e substituindo os ngulos
02
3 2
rR
r
rR
rrRmg
mr
02
3
rR
g
Freqncia natural
rRg
n
3
2
2.70 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s parada no final dos trilhos por uma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola 40 kN/mm e a constante de amortecimento 20
kN.s/m determinar:
(a) o deslocamento mximo da locomotiva aps atingir o sistema e (b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento mximo.
Dados: m = 60 103 kg, v = 20 m/s, k = 40 kN/mm e c = 20 kN.s/m.
(a) deslocamento mximo
rad/s 8,251060
10403
6
m
kn
00645,08,2510602
1020
2 3
3
nm
c
rad/s 8,258,2500645,011 22 nd
Com x0 = 0 e v0 = 20 m/s
m 775,08,25
2002
0
2
00
dd
nv
xxv
X
rad 2
tantan 1
0
001
d
n
x
xv
m 2
8,25cos775,0cos 167,0
tetXetx td
tn
teteXtxd
t
dd
t
n
nn sincos
00 txx
mx
0sincos00
ttdddn
22
0
0
0
11tan
cos
sin
n
n
d
n
d
d
d tt
t
s 0606,0200645,01
00645,0tan
8,25
1
1tan
1
2
1
2
1
0
d
t
m 767,02
0606,08,25cos775,0 0606,0167,00
etx
(b) tempo
s 0606,00t
2.71 Um oscilador harmnico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento c = 12 N.s/m e constante de mola k = 0,5 kN/m. Determinar:
(a) A freqncia natural amortecida. (b) O fator de amortecimento e o decremento logartmico.
Dados: m = 1,2 kg, c = 12 N.s/m e k = 0,5 kN/m..
(a) Freqncia natural amortecida
rad/s 4,202,1
500
m
kn
245,04,202,12
12
2
nm
c
rad/s 8,194,20245,011 22 nd
(b) Fator de amortecimento e decremento logaritmico 245,0
59,1245,01
245,02
1
2
22
2.72 A razo entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido 18:1. Determinar a mesma relao de amplitudes se a quantidade de amortecimento
(a) dobrada, ou
(b) reduzida para a metade.
Dados: razo entre amplitudes sucessivas = 18:1.
89,218lnln2
1 x
x
Fator de amortecimento
418,0
89,22
89,2
2 2222
Constante de amortecimento
nmc 2
(a) Dobrando c dobra
57,9
418,021
418,022
1
2
22
357,9
2
1 103,14 eex
x
(b) Reduzindo pela metade
34,1
2
418,01
2
418,02
1
2
22
83,334,1
2
1 eex
x
2.73 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilaes por segundo e em 50 ciclos sua amplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logartmico e o fator de
amortecimento. Qual ser o percentual de diminuio do perodo de oscilao se o amortecimento for
removido?
Dados: f = 5 Hz, 50 ciclos amplitude cai para 10% da inicial.
0461,01,0
ln50
1ln
1
1
1
1
1
x
x
x
x
mm
00733,0
0461,02
0461,0
2 2222
s 2,05
1
dT
Sem amortecimento
s 199995,05
00733,011122
dn
nff
T
O percentual de reduo de 0,00269 %.
2.74 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento crtico de 20 N.s/m, e um decremento logartmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 m/s, determinar o
deslocamento mximo do mesmo.
Dados: k = 5000 N/m, cc = 20 N.s/m, = 2,0 e v0 = 1 m/s. Fator de amortecimento
303,0
0,22
0,2
2 2222
A constante de amortecimento crtico permite determinar a massa do sistema
kg 02,050004
20
422
22
k
cm
m
c
m
kmc cc
nc
Ento
rad/s 50002,02
20
n e rad/s 476500303,011 22
nd
A expresso para o movimento
tXetxd
tn cos
com m 00210,04,476
10 d
vX
e rad
20
1tantan 1
0
01
nx
v
O deslocamento mximo ocorre quando a velocidade se anula
0sincos111
11 tXetXetxd
t
cd
t
n
nn
s 00265,01
tan2
1sincos0
2
1
111
d
dcdnttt
O deslocamento mximo ser o deslocamento no tempo t1
m 00134,02
00265,0476cos00210,0 00265,0500303,0
exmx
2.75 Um oscilador harmnico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 100 kN/m. Determinar:
(a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento = 0,1. (b) O decremento logartmico e a freqncia natural amortecida.
Dados: m = 30 kg, k = 100 kN/m e = 0,1. (a) Constante de amortecimento
N.s/m 346100000301,02222 mkm
kmmc
n
(b) Decremento logartmico e freqncia natural amortecida
631,01,01
1,02
1
2
22
rad/s 4,575001,011
rad/s 7,5730
100000
22
nd
nm
k
2.76 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c = 3,8 N.s/m, e constante de rigidez k = 1500 N/m. Determinar:
(a) O fator de amortecimento, o decremento logartmico, e a freqncia natural amortecida. (b) A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm.
Dados: m = 45 gr, c = 3,8 N.s/m, k = 1500 N/m e x0 = 1 mm.
(a) fator de amortecimento, o decremento logartmico, e a freqncia natural amortecida:
rad/s 183045,0
1500
m
kn
231,0183045,02
8,3
2
nm
c
49,1231,01
231,02
1
2
22
rad/s 178183231,011 22 nd
(b) resposta a um deslocamento inicial de 1 mm.
20
2
00 xxv
Xd
n
com v0 = 0 e x0 = 1 mm.
m 1003,1001,0178
001,0183231,0 322
X
rad 233,0231,01
231,0tan
1tan
2
1
2
1
mm 233,0178cos03,1 2,42 tex t
2.77 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m = 3 kg e constante de rigidez k = 500 N/m. O decremento logartmico medido foi 2,5. Determinar:
(a) O fator de amortecimento. (b) A freqncia natural amortecida.
Dados: m = 3 kg, k = 500 N/m e = 2,5. (a) O fator de amortecimento.
370,0
5,22
5,2
2 2222
(b) A freqncia natural amortecida.
rad/s 9,123
500
m
kn
rad/s 0,129,12370,011 22 nd
2.78 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m = 8 kg e constante de rigidez k = 1,2 MN/m. Determinar: (a) O fator de amortecimento e a freqncia natural amortecida para um decremento logartmico 0,05. (b) A constante de amortecimento.
Dados: m = 8 kg, k = 1,2 MN/m e = 0,05. (a) O fator de amortecimento e a freqncia natural amortecida
3
22221096,7
05,02
05,0
2
rad/s 3878
102,1 6
m
kn
rad/s 38738700796,011 22 nd
(b) A constante de amortecimento
N.s/m 3,49387800796,022 n
mc
2.79 Uma mquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 kN.s/m e rigidez k = 130 kN/m. Se a mquina e sua base modelada para vibrao vertical como um sistema de um grau
de liberdade, determinar:
(a) A freqncia natural amortecida. (b) A expresso para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direo vertical.
Dados: m = 250 kg, c = 1,45 kN.s/m, k = 130 kN/m e x0 = 1mm.
(a) A freqncia natural amortecida.
rad/s 8,22250
130000
m
kn
127,08,222502
1450
2
nm
c
rad/s 6,228,22127,011 22 nd
(b) A expresso para o movimento resultante
2
0
2
00 xxv
Xd
n
com v0 = 0 e x0 = 1 mm.
m 1001,1001,06,22
001,08,22127,0 322
X
rad 128,0127,01
127,0tan
1tan
2
1
2
1
mm 128,06,22cos01,1 90,2 tex t
2.80 Uma mquina possui massa m = 250 kg e freqncia natural amortecida para vibrao vertical d = 5140 rad/s. Atravs da medio do decremento logartmico achou-se um fator de amortecimento = 0,12. Se a mquina e sua base modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibrao vertical, determinar:
(a) A rigidez k do suporte elstico. (b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical, imposta por um impacto.
Dados: m = 250 kg, d = 5140 rad/s, = 0,12 e v0 = 1mm/s. (a) A rigidez k do suporte elstico.
GN/m 70,612,01
5140250
1 2
2
2
2
d
mk
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical, imposta por um impacto.
rad/s 5177250
10701,6 9
m
kn
v0 = 1mm/s
m 101955140
001,0 9020
2
00
dd
nv
xxv
X
2
m 2
5140cos10195 6219
tex t
2.81 Uma mquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqncia natural de vibrao vertical
amortecida d = 255 rad/s. Medindo-se o decremento logartmico, determinou-se um fator de amortecimento = 0,18. Se a mquina e sua base so modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,
determinar:
(a) A massa da mquina. (b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na
direo vertical.
Dados: k = 55 kN/m, d = 255 rad/s, = 0,18, x0 = 1mm e v0 = 130mm/s. (a) A massa da mquina.
kg 818,0
255
18,015500012
2
2
2
d
km
(b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direo vertical.
rad/s 2,2598184,0
55000
m
kn
mm 22,1001,0255
001,025918,013,02
2
0
2
00
x
xvX
d
n
rad 606,0255001,0
001,025918,013,0tantan 1
0
001
d
n
x
xv
mm 606,0255cos22,1 7,46 tex t
2.82 Um instrumento eletrnico possui massa m = 3,4 kg e est apoiada em quatro coxins de elastmero com rigidez
k = 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logartmico, = 0,20. Se o instrumento e seus apoios modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,
determinar:
(a) A freqncia natural. (b) Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibrao de 1,7
mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta.
Dados: m = 3,4 kg, k = 5400 N/m cada um dos 4 coxins, = 0,20, m1 = 0,5 kg e X = 1,7 mm. (a) Freqncia natural
rad/s 7,794,3
54004
m
kn
(b) Velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta
Xv x
xn
n
0 0
2
2
0
2
1
Explicitando para v0
0
2
0
2
0xxXv
nd
Com mm 227,054004
81,95,010
k
gmx e a nova freqncia natural igual a
rad/s 4,745,04,3
54004
n e
rad/s 9,724,742,01 2 d
a velocidade inicial resulta
mm/s 126000227,04,742,0000227,00017,09,72 220
v
2.83 Um voltmetro mostrado na Fig. 2.40 possui um ponteiro de alumnio ( = 2700 kg/m3) de comprimento l = 50 mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100
N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crtico posicionado a um raio r = 8 mm. Durante uma
medida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem desligada, determinar o tempo requerido para o
ponteiro retornar indicao de 1 volt.
Figura 2.40
Dados: = 2700 kg/m3, l = 50 mm, b = 3 mm, t = 1 mm, k = 100 N.mm/rad, r = 8 mm, X1 = 80 volts e X2 = 1 volt.
Massa
kg 10405,005,0001,0003,02700 3 btLm
Equao do movimento
033
03
22
2
2
2
mL
k
Lm
rc
kcrmL
Jrcrk
t
t
t
Freqncia natural
rad/s 3,54405,01005,4
1,033242
mL
kt
n
Equao do movimento com amortecimento crtico
tn
nett
000
Com rad 800
K e 00
tn
netKt 180
Para rad 1
1Kt
111
1801t
n
netKKt
De onde
s 01172,01t
2.84 Um medidor de nvel de gua mostrado na Fig. 2.41 possui uma bia cilndrica de 100 mm de dimetro (massa desprezvel), uma barra com massa 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Determinar a constante de amortecimento
requerida para produzir amortecimento crtico.
Figura 2.41
Dados: d = 100 mm, m = 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm.
Equao do movimento
04
33
342
2
2
22
m
dg
Lm
lc
LmLg
dLllc
Freqncia natural
rad/s 5,215,04
1,081,910003
4
3 22
m
dgn
Amortecimento crtico
22
2
2
3
22
3
l
Lmc
Lm
lcn
cn
N.s/m 25807,03
5,2142,05,022
2
cc
2.85 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfcie seca sob a ao de uma mola de rigidez 10 N/mm. Aps quatro ciclos completos a amplitude 100 mm. Qual o coeficiente de atrito mdio entre as duas
superfcies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos?
Dados: m = 10 kg, k = 10 N/mm, 4 ciclos completos, X4 = 100 mm, X0 = 150 mm.
Queda de amplitude: k
N2 a cada meio ciclo
4 ciclos
k
N22410100150 3
Como kg 1,9881,910 mgN
Ento 0,31998,116
100001050 3
O movimento cessar aps r meio ciclos
ciclos meio 24 5,23
10000
1,983186,0210000
1,983186,015,0
2
0
k
Nk
Nx
r
O tempo para que se execute 4 ciclos
s 795,010000
102424
24
4
k
mt
n
ciclos
Tempo de parada
s 38,22
199,024
2
Trt
f
2.86 Uma massa de 20 kg est suspensa por uma mola de rigidez 10000 N/m. O movimento vertical da massa est sujeito a uma fora de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola inicialmente deslocada de 5,5 cm
para baixo de sua posio de equilbrio esttico determinar:
(a) o nmero de meio ciclos transcorridos at que atinja o repouso; (b) o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e (c) o alongamento final da mola.
Dados: m = 20 kg, k = 10000 N/m, Fa = 50 N e x0 = 5 cm.
(a) Nmero de meio-ciclos at o repouso
ciclos meio 5
10000
50210000
50055,0
2
0
k
Nk
Nx
r
(b) Tempo transcorrido at atingir o repouso
s 281,010000
2022
2
k
mT
n
s 702,02
281,05
2
Trt
f
(c) Posio em que ocorrer a parada
m 005,010000
5025055,0
20
k
Nrxtx
f
2.87 A massa m = 2 kg de um oscilador harmnico linear com k = 500 N/m desliza em uma superfcie horizontal
com coeficiente de atrito esttico s = 0,2 e cintico = 0,08. (a) Determinar o mximo valor do deslocamento inicial que no resultar em qualquer movimento devido
fora de atrito.
(b) Determinar o nmero de ciclos para a vibrao iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm at parar completamente.
Dados: m = 2 kg, k = 500 N/m, s = 0,2 e c = 0,08. (a) Deslocamento inicial mximo
mm 85,7500
81,922,0max0
k
Nx s
(b) Nmero de ciclos at a parada
ciclos 2 ciclos meio 448,3
500
81,9208,02500
81,9208,0025,0
2
0
k
Nk
Nx
r
2.88 Um painel construdo por uma fibra composta especial reforada se comporta como um sistema de um grau de liberdade com massa de 1 kg e rigidez de 2 N/m. A relao entre amplitudes sucessivas 1,1. Determinar o
valor da constante de amortecimento histertico , da constante de amortecimento viscoso equivalente ceq e a energia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm.
Dados: m = 1 kg, k = 2 N/m, relao entre amplitudes sucessivas = 1,1 e X = 10 mm.
Decremento logartmico
0953,01,1ln Fator de amortecimento viscoso equivalente
0152,0
0953,02
0953,0
2 2222
Freqncia natural
rad/s 41,11
2
m
kn
Freqncia do movimento amortecido
rad/s 41,141,10152,011 22 nd
Constante de amortecimento viscoso equivalente
s/mN 0429,041,110152,022 neq
mc
Coeficiente de amortecimento histertico
03033,02
414,104290,0
k
cdeq
Energia dissipada por ciclo
)(N.m J 101,1901,041,10429,0 622 XcWdeq
2.89 Uma viga engastada com rigidez flexo de 200 N/m suporta uma massa de 2 kg na sua extremidade livre. A massa deslocada inicialmente de 30 mm e abandonada a mover-se livremente. Se a amplitude aps 100 ciclos
do movimento 20 mm estimar a constante de amortecimento histertico da viga.
Dados: k = 200 N/m, m = 2 kg, x0 = 30 mm e x100 = 20 mm.
Decremento logartmico
00405,002,0
03,0ln
100
1ln
1
1
1
mx
x
m
Fator de amortecimento viscoso equivalente
000645,0
00405,02
00405,0
2 2222
Freqncia natural
rad/s 0,102
200
m
kn
Freqncia do movimento amortecido
rad/s 0,1010000645,011 22 nd
Constante de amortecimento viscoso equivalente
s/mN 0258,0102000645,022 neq
mc
Coeficiente de amortecimento histertico
00129,0200
100258,0
k
cdeq
2.90 Um oscilador harmnico torsional possui momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J = 1,2 kg.m
2 e rigidez torsional kt = 8500 N.m/rad. Determinar a freqncia natural torsional em rad/seg, Hz, e
CPM (ciclos por minuto).
Dados: J = 1,2 kg.m2 e kt = 8500 N.m/rad.
rad/s 2,842,1
8500
J
kt
n
cpm 804Hz 4,132
2,84
2
n
nf
2.91 Um oscilador harmnico torsional possui momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J = 10 kg.m
2 e seu perodo natural de vibrao foi medido em um osciloscpio, sendo igual a 35 ms. Determinar
a sua rigidez torsional.
Dados: J = 10 kg.m2 e Tn = 35 ms.
rad/s 180035,0
22
n
nT
kN/m 32218010 22 nt
Jk
2.92 Um oscilador harmnico torsional com momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J = 1 kg.m
2 e rigidez torsional kt = 40000 N.m/rad possui uma freqncia natural muito prxima freqncia
excitadora. Decidiu-se que o momento de inrcia ou a rigidez deveriam mudar para diminuir a freqncia
natural em 30%. Determinar a mudana requerida em cada opo.
Dados: J = 1 kg.m2, kt = 40000 N.m/rad.
Freqncia natural
rad/s 2000,1
40000
J
kt
n
Reduo de 30%
rad/s 1401
n
Alterao no momento de inrcia
2
2
1
1kg.m 04,2
n
tk
J
Alterao na rigidez
rad
mN 196002
11
ntJk
2.93 O rotor P de uma bomba centrfuga (Fig. 2.42) est conectada a um motor que gira com velocidade angular
constante , atravs de um acoplamento flexvel com constante de rigidez torsional KT e um par de
engrenagens com raios r1 e r2 e momentos de inrcia de massa polares J1 e J2, respectivamente. O rotor da
bomba possui momento de inrcia de massa polar JP. Determinar a freqncia natural da oscilao torsional,
assumindo que os eixos de conexo so rgidos.
Figura 2.42
Energia cintica
2
2
2
22
2
112
1
2
1
2
1
PJJJT
Relao de transmisso
1
2
1
22211
r
rrr
Resultando em uma energia cintica
2122
2
2
1
12
1
PJJ
r
rJT
Momento de inrcia equivalente
2
2
2
12
2
21
r
rJJrJJ P
eq
Freqncia natural
212
2
21
2
2
rJJrJ
rk
J
k
P
T
eq
T
n
2.94 Determinar a freqncia natural de oscilao do pndulo duplo composto mostrado na Fig. 2.43 para pequenas oscilaes em torno da posio de equilbrio.
Figura 2.43
Equaes do movimento
22
2
222222
11
2
111111
sin
sin
JLmFrgLm
JLmFrgLm
Relao de transmisso
221122112211 rrrrrr
Da segunda das equaes do movimento, linearizando
2
2222
2
222
r
gLmLmJF
Substituindo F e as relaes da transmisso na primeira das equaes do movimento chega-se a
0122
2
2
1
111
2
222
2
2
12
111
gLm
r
rgLmLmJ
r
rLmJ
Cuja freqncia natural
2222
2
2
12
111
22
2
2
1
11
LmJr
rLmJ
gLmr
rgLm
n
2.95 Um oscilador harmnico torsional com momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J = 1 kg.m
2 e rigidez torsional kt = 10000 N.m/rad possui uma freqncia de oscilao torsional igual a 96
rad/seg, ao invs dos 100 rad/seg esperados. Suspeitou-se que alguma forma de amortecimento foi introduzida
no sistema diminuindo a freqncia de oscilao. Determinar o fator de amortecimento.
Dados: J = 1 kg.m2, kt = 10000 N.m/rad, n = 100 rad/s, d = 96 rad/s,
Freqncias natural e do movimento amortecido
n
21 d
De onde o fator de amortecimento pode ser obtido
280,0100
9611
22
n
d
2.96 O rotor de um indicador de sintonia de radio (dial) est conectado a uma mola e a um amortecedor torcionais formando um sistema de um grau de liberdade. A escala graduada em divises iguais e a posio de equilbrio
do rotor corresponde ao zero da escala. Quando um torque de 2x10-3
N.m aplicado estaticamente, o
deslocamento angular do rotor 50o com o ponteiro mostrando 80 divises da escala. Quando o rotor liberado
de sua posio, o ponteiro balana primeiro para -20 divises em um segundo e depois para 5 divises no outro
segundo. Achar:
(a) A constante de mola torsional; (b) O perodo natural no amortecido do rotor; (c) O momento de inrcia de massa do rotor, (d) A constante de amortecimento torsional.
Dados: Mt = 210-3
N.m, 0 = 50o 80 divises da escala, 0,5 -20 divises e 1 5 divises
(a) Constante de mola torsional
m/radN 1029,2
18050
102 33
t
t
Mk
(b) Perodo natural no amortecido O perodo amortecido 2 s. Para determinar o perodo no amortecido necessrio calcular o fator de
amortecimento, que exige o conhecimento do decremento logartmico.
77,25
80lnln
1
0
K
K
O fator de amortecimento
404,0
2 22
A relao entre os perodos
s 83,12404,011 22 dn
TT
(c) Momento de inrcia do rotor necessrio conhecer a freqncia natural que
rad/s 43,383,1
22
n
nT
De forma que o momento de inrcia
26
2mkg 10194
n
t
O
kJ
(d) Constante de amortecimento torsional
s/radmN 105392 6 nOt
Jc
2.97 Um pndulo torsional tem uma freqncia natural de 200 cpm quando vibrando no vcuo. O momento de inrcia de massa do disco 0,2 kg.m
2. Quando est imerso em leo sua freqncia natural 180 cpm.
Determinar a constante de amortecimento. Se o disco, quando imerso no leo, sofre um deslocamento inicial de
2o, achar seu deslocamento no final do primeiro ciclo.
Dados: fn = 200 com, J = 0,2 kg.m2, fd = 180 com e 0 = 2
o.
Fator de amortecimento
436,0200
18011
22
n
d
f
f
Constante de amortecimento torsional
s/radmN 3,6560
22002,0436,022
nOtJc
Amplitude angular
rad 0388,0180
2
60
2180
1802
60
2200436,00 2
2
2
0
2
00
d
n
ngulo de fase
rad 451,0180
200436,0tan
60
2180
1802
1802
60
2200436,00
tantan
1
1
0
001
d
n
Perodo da oscilao amortecida
s 333,0
60
2180
22
d
dT
Posio angular aps o primeiro ciclo (transcorrido um perodo de oscilao)
rad 1066,1cos 3 dd
T
dTeT dn