„EU peníze středním školám“
Kombinatorická pravidla
Mgr. Marcela Sandnerová
Základní kombinatorická pravidla
Kombinatorické pravidlo součinu
Kombinatorické pravidlo součtu
Kombinatorické pravidlo součinuPříklad 1Kolika způsoby si může Pavel připravit snídani
jestliže si vybírá z následujících možností: nápoj: čaj, káva, mléko, kakao, džus; pečivo: chléb, rohlík, celozrnná bageta; tuk: máslo, Rama, bez tuku; obloha: tavený sýr, šunka, salám, plátkovaný
sýr, marmeláda, med, vejce.
Např. káva, chléb s máslem a medem.
Kombinatorické pravidlo součinuŘešení příkladu 1Snídaně - počet možností – p
nápoj: čaj, káva, mléko, kakao, džus 5 = n1
pečivo: chléb, rohlík, celozrnná bageta 3 = n2
tuk: máslo, Rama, bez tuku 3 = n3
obloha: tavený sýr, šunka, salám, plátkovaný
sýr, marmeláda, med, vejce 7 = n4
p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 = 5∙3∙3∙7 = 315
Pavel si může připravit snídani 315 způsoby.
Kombinatorické pravidlo součinu
Počet všech uspořádaných dvojic, jejichž
první člen lze vybrat n1 způsoby
a druhý člen po výběru prvního n2 způsoby,
je roven: p = n1 ∙ n2
Zformulujte kombinatorické pravidlo
součinu pro uspořádanou trojici, čtveřici, k-tici.
Kombinatorické pravidlo součinu
Počet uspořádaných trojic, jejichž první člen lze
vybrat právě n1 způsoby, druhý člen po výběru
prvního členu právě n2 způsoby a třetí člen
po výběru druhého právě n3 způsoby, je roven:
p = n1 ∙ n2 ∙ n3
Kombinatorické pravidlo součinuPříklad 2Kolik čtyřciferných přirozených čísel menších
než 7 000 lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se
číslice v zápisu čísla neopakují?
Kombinatorické pravidlo součinuŘešení příkladu 2Kolik čtyřciferných přirozených čísel menších
než 7 000 lze sestavit z číslic 0 až 9, jestliže se
číslice v zápisu čísla neopakují?
řád tisíců n1 = 6 možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6
řád stovek n2 = 9 (o jednu číslici méně)
řád desítek n3 = 8 (o jednu číslici méně)
řád jednotek n4 = 7 (o jednu číslici méně)
p = n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 = 6∙9∙8∙7 = 3 024
Lze sestavit 3 024 čtyřciferných přirozených
čísel menších než 7 000.
Kombinatorická pravidla součtu a součinuPříklad 3Novákovi zvažují, zda pojedou v létě na dovolenou
k moři, kde by jim termínem vyhovovaly čtyři pobyty
s možností výběru plné penze, nebo polopenze.
Druhou variantou je pět zahraničních poznávacích
pobytů, u kterých je nabídka plné penze, polopenze,
nebo vlastního stravování.
Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 3Dovolená - počet možností p = p1 + p2
Dovolená u moře p1 = n1 ∙ n2
- možnosti pobytu: 4 = n1
- možnosti stravování: 2 = n2
Poznávací pobyt p2 = n3 ∙ n4
- možnosti pobytu: 5 = n3
- možnosti stravování: 3 = n4
p = p1 + p2 = n1 ∙ n2 + n3 ∙ n4 = 4∙2 + 5∙3 = 23
Novákovi vybírají dovolenou z 23 možností.
Kombinatorické pravidlo součtu
Jsou-li A1 a A2 konečné množiny, pro které platí:
- mají po řadě p1 a p2 prvků,
- jsou disjunktní,
pak počet prvků množiny A1 A∪ 2
je roven: p = p1 + p2
Zformulujte kombinatorické pravidlo součtu
pro uspořádanou k-tici.
Kombinatorické pravidlo součtu
Jsou-li A1, A2, …, Ak konečné množiny, pro které
platí:
- mají po řadě p1, p2, …, pk prvků,
- každé dvě jsou disjunktní,
pak počet prvků množiny A1 A∪ 2 … A∪ ∪ k
je roven: p = p1 + p2 + … + pk
Kombinatorická pravidla součtu a součinuPříklad 4Kolik přirozených čísel menších než 370 lze sestavit
z číslic 0 až 9, jestliže se číslice v zápisu čísla
neopakují?
Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 1. částPřirozená čísla menší než 300,
číslice 0 až 9, neopakují se
počet možností p = p1 + p2 + p3
- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9
řád jednotek n1= 9 (možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81
řád desítek n1= 9 (nelze použít 0)
řád jednotek n2= 9 (o jednu číslici méně, ale přidána 0)
- trojciferná přirozená čísla p3
Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 1. částPřirozená čísla menší než 300,
číslice 0 až 9, neopakují se
počet možností p = p1 + p2 + p3
- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9
(možnosti:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81
řád desítek n1= 9 (nelze použít 0)
řád jednotek n2= 9 (o jednu číslici méně, ale přidána 0)
- trojciferná přirozená čísla p3
Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 2. část- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9
- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81
- trojciferná přirozená čísla
p3 = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 2∙9∙8 = 144
řád stovek n1= 2 (možnosti: 1, 2)
řád desítek n2= 9 (o jednu číslici méně)
řád jednotek n3= 8 (o jednu číslici méně)
p = p1 + p2 + p3 = 9 + 81 + 144 = 234
Lze sestavit 234 přirozených čísel menších
než 300.
Kombinatorická pravidla součtu a součinuŘešení příkladu 4 – 2. část- jednociferná přirozená čísla p1= n1= 9
- dvojciferná přirozená čísla p2 = n1 ∙ n2 = 9∙9 = 81
- trojciferná přirozená čísla
p3 = n1 ∙ n2 ∙ n3 = 2∙9∙8 = 144
řád stovek n1= 2 (možnosti: 1, 2)
řád desítek n2= 9 (o jednu číslici méně)
řád jednotek n3= 8 (o jednu číslici méně)
p = p1 + p2 + p3 = 9 + 81 + 144 = 234
Lze sestavit 234 přirozených čísel menších
než 300.
Zdroje:
Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je
z vlastních zdrojů autorky.
Recommended