Equações do 2º Grau
Ana Fraga Mota
Carmen Salvado
Elisa Mosquito
M.ª Teresa Santos
Didáctica da Álgebra
2004 / 2005
Elementos de Álgebra Augusto José da Cunha 1887 Escola Politécnica (4º e 5º
anos de liceu) actual 10º ano 52 páginas
Álgebra e Trigonometria Fernando Dias Agudo 1938 4º, 5º e 6º anos do liceu actual 10º ano 21 páginas
Apresentação dos Manuais Compêndio de Álgebra
Eduardo Ismael dos Santos Andrea
1924 6ª e 7ª classes actual 11º ano 26 páginas
Matemática 9 Maria Augusta F. Neves, Luís Guerreiro e Armando Neves 2004 9º Ano de escolaridade 22 páginas
Compêndio de Matemática António de Almeida Costa, Alfredo Osório dos Anjos e António Augusto Lopes
1970 9º Ano de escolaridade 17 páginas
Apresentação dos Manuais
A resolução de equações de 2º grau conduz à extracção da raiz quadrada de expressões literaes, ou numéricas, por isso, antes de expor o processo de resolução de equações, trataremos da teoria de radicaes do 2º grau.
O tema está dividido em três capítulos:
Capítulo I – Radicais do 2º grau (14 pág.) Capítulo II – Equação do 2º grau a uma incógnita ( 24
pág.) Capítulo III – Equações que se reduzem ao 2º grau ou ao
1º grau (14 pág.).
Elementos de Álgebra Augusto José da Cunha (1887)
I. Duplo valor da raiz quadrada (quantidades imaginárias)visa esclarecer o que é a raiz quadrada
I. Quadrado e raiz quadrada de monómiosoperações com monómios
II. Quadrado e raiz quadrada de polinómiosoperações com polinómios
I. Calculo dos radicaes do 2º grau simplificação de radicais operações com radicais
No final são apresentados 10 exercícios: Acha a raiz quadrada do polinómio; Simplifica a expressão; Valor de…; Demonstra as seguintes igualdades;A resposta é apresentada junto ao exercício.
Capítulo I – Radicais do 2.º Grau
Capítulo II – Equação do 2.º grau a uma incógnitaI. Resolução da equação
- definição da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, com a , b e c quantidades conhecidas;- Equações incompletas ax2 + c = 0, ax2 + bx = 0;- Resolução e discussão das soluções das equações incompletas;- Resolução da equação do 2º grau completa, quando a=1;- Resolução da equação ax2 + bx + c = 0, com a , b e c quantidades conhecidas;
- Dedução da fómula - a primeira equação resolvida com a fórmula anterior é
II. Discussão da equação- discussão das soluções em função dos valores de a, b e c.
III. Composição da equação- divisão de polinómios
IV. Propriedades do trinómio do 2º grau- trinómio do 2º grau é a expressão algébrica ax2+bx+c, com a, b e c quantidades
conhecidas;- decomposição do trinómio- aplicação às desigualdades do 2º grau.
No final são apresentados 26 exercícios: Resolve as seguintes equações; Decompor o trinómio em dois factores do 1º grau;
a
acbbx
2
42
)4)(53(122 xxxx
Capítulo III – Equações que se reduzem ao 2º ou ao 1º grauI. Equações irracionaes
- definição de equação irracional;
II. Equações biquadradas- define equação biquadrada
III. Transformações das expressões da forma
No final são apresentados 12 exercícios: Resolve as seguintes equações; Transforma a expressão.
BA
024 cbxax
O tema está dividido em dois capítulos:
- o capítulo VIII
- Equações do 2º grau a uma incógnita (6 pág.)
- Propriedades do Trinómio do 2º grau (13 pág.)
- capítulo IX
- Problemas do 2º Grau. Discussão (3pag.)
O capítulo termina com exercícios e as respectivas soluções (quatro páginas).
Compêndio de Álgebra Eduardo Ismael dos Santos Andrea (1924)
define a equação do 2º grau como sendo o trinómio ax2 + bx + c = 0, com a , b e c finitos;
Indica:
- as raízes possíveis são reais ou complexas;
- procede à dedução das raízes da equação admitindo a≠0,
A 1ª equação a ser resolvida com pela fórmula anterior é 3x2 – 5x + 2 = 0; Discute o número de raízes da equação em função do sinal de b2 – 4ac ; Enuncia as propriedades do trinómio
- sob a forma de teoremas seguidos da respectiva demonstração;
- indica a regra para se obter a expressão da equação do 2º grau quando são conhecidas as duas raízes;
- apresenta teoremas relativos à factorização do trinómio no produto de dois polinómios do 1º grau, quando as raízes são reais ou complexas ;
Capítulo VIII – Equações do 2ºgrau a uma incógnita
a
acbbx
2
4'
2
a
acbbx
2
4''
2
Estuda os valores de x que tornam positivo ou negativo o trinómio; “Discutir as raízes da equação (3γ – 1)2x2 – (2γ + 1) x + γ=0
quando varia de - a + ” A representação gráfica de uma função do 2º grau chama-se
parábola.
Exemplos de problemas cuja resolução envolvem a discussão das raízes da equação do 2º grau.
O capítulo termina com:- 36 exercícios
- aplicação da fórmula;- “Formar equações cujas as raízes são”- discutir, a priori, as equações;- estudar as raízes em função de um parametro;
- indicação das soluções;
Capítulo VIII- Equações do 2.º grau a uma incógnita
Capítulo IX- Problemas do 2.º grau. Discussão
O capítulo I “Equações e Problemas do 2º grau”
Divide-se em 2 secções:
- Equações (16 pág.)
A.Nota histórica
B.Resolução gráfica (2 pág.)
C.Resolução algébrica (14 pág.)
- Problemas do 2º grau (4 pág.)
Termina com um quadro que resume os principais tópicos a fixar na resolução de uma equação do 2º grau;
Listagem de exercícios de aplicação.
Álgebra e Trigonometria Fernando Dias Agudo (1938)
Capítulo I- Resolução algébrica
A transformação geométrica do polinómio (a+b)2=a2+2ab+b2 numa expressão com incógnitas;
Define equação do 2º grau a uma incógnita, completa e incompleta. Inicia a resolução das equações do 2º grau com a questão: “Por que
razão é, necessariamente, a ≠0?” Dedução da fórmula resolvente Indica “os passos” da resolução das equações do 2º grau A 1º equação que é resolvida segundo a fórmula resolvente é
Simplificação da fórmula resolvente em função dos diferentes coeficientes
Discussão do número de raízes da equação
3
2
5
1
1
3
xx
x
Define raízes imaginárias usando a resolução da equação x2 + 1 = 0; define
- números complexos;
- a representação dos números complexos no “plano de eixos”.
Capítulo I – Resolução algébrica
Apresenta 4 exemplos de exercícios de aplicação da fórmula resolvente.
“Busquemos um número cujo quadrado de metade e do seu terço,
e do seu quarto, todos juntos façam tanta soma como é o mesmo número” (Extraído do livro de Álgebra de Pedro Nunes)
Tópicos essenciais, na resolução de uma equação do 2º grau e de problemas que envolve as equações do 2º grau;
Listagem de 31 exercícios de aplicação da fórmula resolvente.
Capítulo I – Problemas do 2º Grau
O capítulo 5 “Problemas e Equações do 2º grau”
Divide-se em 2 secções:
- Equações (12pág.)
Resolução algébrica
- Problemas do 2º grau (3 pág.)
Termina com uma listagem de exercícios de revisão.
Compêndio de Matemática A. A. Costa, Afredo Osório dos A., António A.
Lopes (1970)
Inicia com a resolução de problemas e exemplos de equações do 2.º grau incompletas.
Reduz o polinómio do 1.º membro a um quadrado perfeito, aplica os casos notáveis, na resolução de equações do 2.º grau completas.
Aplica a Lei do Anulamento do Produto, colocando o 1.º membro sob a forma de um produto de dois ou mais factores.
Define equação do 2.º grau e foca os casos de c=0 e b= 0, dizendo que nestes casos são equações incompletas e mostra como proceder. Apresenta regras práticas para resolver as equações do tipo:
A primeira equação que é resolvida segundo a fórmula resolvente é
Caso “O coeficiente b=2k”.
Capítulo 5- Resolução algébrica
01526 xx
02 cx 02 bxax
apresenta 4 exemplos de problemas (2 ligados ao quotidiano e um envolvendo a Geometria), de aplicação da fórmula resolvente, no caso de serem equações do 2.º grau completas.
Finaliza esta parte com a proposta de resolução de 5 problemas:
- 2 numéricos; - 2 geométricos; - 1 quotidiano. Termina o Capítulo com uma listagem de exercícios e problemas a que denomina por ”Exercícios de revisão”. Este dividem-se em:
- inequações; - sistemas de inequações com parêntesis e denominadores; - decomposição de polinómios em factores; - resolução de equações; - resolução de problemas; - um exercício de simplificação de radicais.
Capítulo 5 – Problemas do 2º Grau
Capítulo IV: “Equações do 2º grau”
Divide-se em 4 sub-títulos:
- “Operações com polinómios. Casos notáveis da multiplicação de
polinómios. Decomposição em factores (Revisão)” (4 pág.);
- “Resolução de equações de 2.º grau incompletas.
Lei do Anulamento do Produto. (Revisão)” (4 pág.);
- “Resolução de equações do 2.º grau completas.
Fórmula Resolvente” (4 pág.);
- “Resolução de problemas do 2.º grau” (4 pág.);
Matemática 9 M.ª A. F. Neves,Luís Guerreiro e Armando
Neves (2004)
Refere os conteúdos a serem estudados;
Apresenta uma breve “Nota Histórica;
Aponta o que os alunos já devem saber:
Operar com polinómios;
Aplicar os casos notáveis da multiplicação de polinómios;
Decompor em factores um polinómio;
Resolver equações do 2.º grau incompletas. Apresenta exemplos, exercícios e problemas de revisão;
Desenvolve o conceito através da resolução de um problema, apresentando dois processos de resolução;
Refere que: “existe uma fórmula resolvente de equações do 2.º grau que permite determinar as soluções de qualquer equação do 2.º grau”.
Capítulo V- Equações do 2.º grau
Apresenta a dedução da fórmula , sob a forma de nota;
A primeira equação a ser resolvida é
Refere que: na “resolução de um problema, [deve-se] fazer um desenho ou um esquema que pode ajudar a formar uma equação que relacione os dados e a incógnita. Em seguida resolve-se a equação e interpreta-se as suas soluções”;
Apresenta a resolução de três problemas seguindo os passos sugeridos;
Sugere a resolução de problemas; “Palavras-chave/Conhecimentos e Capacidades Específicos” “Avaliação”: Propõe exercícios de avaliação de dois tipos:
“Questões de escolha múltipla” e “Questões de desenvolvimento”;
Apresenta as soluções de todos os exercícios de todos os capítulos.
Capítulo IV- Equações do 2.º grau
0372 2 xx
Os conteúdos a serem aprendidos pelos alunos e a abordagem dos
mesmos sofreu grandes alterações com a evolução do currículo da
Matemática;
Livros analisados desde 1887 até 2004;
Evolução na abordagem das equações do 2º grau:
formalismo e abstracção excessivo abordagens simples e concretas
A fórmula resolvente só aparece após uma primeira parte em que se
trabalham equações do mesmo grau mas incompletas ou completas;
Actualmente as equações do 2º grau incompletas são estudadas num ano
lectivo (8º ano), no ano seguinte introduzem-se as equações do 2º grau
completas (com o estudo da fórmula resolvente) e apenas no 10º ano é
introduzida a discussão das soluções da equação completa (binómio
discriminante), bem como o estudo dos radicais (Curriculo em espiral).
Conclusões
A relação entre as equações do 2.º grau e a função quadrática só é
abordada no livro de Ismael Andrea;
As tarefas propostas aos alunos deixaram de ter um cunho
estritamente matemático dando espaço a problemas
contextualizados em situações do quotidiano;
O grau de dificuldade dos exercícios diminui gradualmente;
A natureza do texto muda com a época em que é escrito;
Evolução gradual do aumento da letra e dos espaços utilizados
entre parágrafos; deixam de existir parágrafos numerados e
utilizam esquemas, desenhos e cores.
Conclusões
Agudo, F. D. (1938). Álgebra e Trigonometria. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco.
Andrea, E. I. S. (1924). Compêndio de Álgebra. Lisboa: Imprensa Nacional de Lisboa.
Calado, J. J. G. (1960). Compêndio de Álgebra. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco.
Costa, A. A., Anjos, A. O. & Lopes, A. A. (1970). Compêndio de Matemática. Porto: Porto Editora.
Costa, A. A., Anjos, A. O. & Lopes, A. A. (1987). Matemática Jovem. Porto: Porto Editora.
Cunha, A. J. (1887). Elementos de Álgebra. (5ª edição). Lisboa: Livraria de António Maria Pereira.
Neves, M. A. F., Guerreiro, L. & Neves, A. (2004). Matemática 9.(1ª edição). Porto: Porto Editora.
Ponte, J. P. (2004). As equações nos manuais escolares. Revista Brasileira de História da Matemática, 4(8), 149-170.
Referências Bibliográficas
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