Ensino Superior
2.2- Integração Numérica
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
Problema (I)
x
y
(x1,y1)
(x2,y2) (x3,y3)
(x4,y4)
(x5,y5)
(x6,y6)
a
b
?)(
?)(
xf
dxxfb
a
(x7,y7)g(x)
h(x)
Problema (II)
?)(
)()()(
xF
aFbFdxxfb
a
x
Motivação
• Calcular a integral de uma função f(x) em casos onde:
I) f(x) é conhecida apenas em certos pontos
II) é impossível calcular ou difícil de expressar a antiderivada F(x) de f(x)
Integração Numérica
• Utilizam-se funções polinomiais de interpolação para aproximar o valor da integral definida:
Simpson) de (Regra
Trapézio) do (Regra
Retângulo) do (Regra
2
1
0
b
a
b
a
b
a
b
a
(x)dxP
(x)dxP
(x)dxP
f(x)dx
Aproximações para a integral
Regra do Retângulo(P0(x))
Regra do Trapézio(P1(x))
Regra de Simpson(P2(x))
Regra do Retângulo
• Aproximamos a integral de f(x) divindo o intervalo [a,b] em m subintervalos e calculando a área dos retângulos de base h=(b-a)/m e altura f(x), isto é,
1
0
)()(m
kk
b
ahxfdxxf
1
0
1
2)(
m
k
kkb
ah
xxfdxxf
1
01)()(
m
kk
b
ahxfdxxf
usando f(x) do ponto à esquerda
usando f(x) do ponto à direta
usando f(x) do ponto médio
Regra do Trapézio
• Aproximamos f(x) por um polinômio de grau 1 que interpola (x0,y0) e (x1,y1)=(x0+h,y1) pela forma de Lagrange:
h
xy
h
xyyyy
h
x
h
xxy
h
hxxy
xx
xxy
xx
xxyxP
01
00001
01
00
01
01
10
101
)(
)(
)(
Regra do Trapézio
• Integrando o polinômio no intervalo [x0,x1]:
)(2
)()(2
1)(
)()2)((2
1
)())()((2
1
)(2
1)(
01
010001010
1000001
01
00001010101
01
000
2011
1
0
1
0
1
0
yyh
yyxhyyyhyyx
yyxhyhxyy
h
xy
h
xyyxxxxxxyy
h
xh
xy
h
xyyxyy
hdxxP x
x
x
x
x
x
Regra do Trapézio
• Interpretação geométrica: a expressão anterior mostra que a integral de f(x) pode ser aproximada pela a área do trapézio:
=x0 =x1 = x0+h
y0
y1
h
f(x)
)(2
h)(
)(
101
1
0
yydxxP
dxxf
x
x
b
a
Regra do Trapézio Repetida
• Dividindo o intervalo de integração em m partes iguais de medida h=(b-a)/m,
temos a Regra do Trapézio Repetida:
1
01
1
0
11
)()()(m
k
x
x
m
k
x
x
b
a
k
k
k
k
dxxPdxxfdxxf
)}()]()()([2)({2
h
])()([(2
h)(
1210
1
01
1
01
1
mm
m
kkk
m
k
x
x
xfxfxfxfxf
xfxfdxxPk
k
Regra de Simpson
• Aproximando f(x) pelo polinômio de grau 2 que interpola os pontos
(x0, f(x0)),
(x1, f(x1))=(x0+h, f(x0+h)),
(x2,f(x2))=(x0+2h, f(x0+2h)),
temos:
Regra de Simpson
200100000
201000
2102
2
10102
22020
2
12121
2
0
102
201
210
12
1
02
02
21
2
01
01
20
2
10
102
)(2
1)2()2)((
2
1
)2(2
1)22(32
2
1
2
1
2
11
)(2
)(
)(
)(
)2(
)(
))(2(
))((
))((
))((
)2)((
))((
)()()()(
yhxxyhxxyhxhx
yhxyhxyhxx
yyyxh
hh
xxxxxxy
hh
xxxxxxy
hh
xxxxxxy
hh
xxxxy
hh
xxxxy
hh
xxxxy
xx
xx
xx
xxxf
xx
xx
xx
xxxf
xx
xx
xx
xxxfxP
Regra de Simpson
• Integrando a expressão anterior no intervalo [x0,x2],
após simplificações, obtemos:
hxx
hx
x
hx
x
hx
x
xyhxxyhxxyhxhx
xyhxyhxyhx
xyyy
hxP
2200100000
22
201000
23
2102
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
)(2
1)2()2)((
2
1
2)2(
2
1)22(32
2
1
32
1
2
11)(
)]()(4)([3
)( 2102
2
0
xfxfxfh
dxxPx
x
Regra de Simpson
• Interpretação geométrica: a integral de f(x) é aproximada pela área entre o eixo-x e a parábola que passa pelo ponto médio e pelos extremos do intervalo [a,b] :
Regra de Simpson Repetida
• Subdividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos (sendo m par):
obtemos a Regra de Simpson Repetida:
1
02
1
0
11
)()()(m
k
x
x
m
k
x
x
b
a
k
k
k
k
dxxPdxxfdxxf
)]()(4)(2)(4)(2)(4)([3
h
)()(4)(2)(3
h)(
143210
112
1
120
1
02
221
mm
mk
kk
k
m
k
x
x
xfxfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfdxxPmm
k
k
Estimativas de Erro
• Pela Regra dos Trapézios Repetida:
• Pela Regra de Simpson Repetida:
)( sendo ,180
)4(
],[44
5
0
xfmáxMMmh
Emxxx
SR
)( sendo ,12 ],[
22
3
0
xfmáxMMmh
Emxxx
TR
.12
)(ou 2
2
Mhab
ETR
.180
)(ou 4
4
Mhab
ESR
Exercícios
1. a) Calcule a integral definida de f(x)=ex no intervalo [0,1] pelo método de Simpson com uma estimativa de erro inferior a 10-5.
b) Para se obter um resultado com estimativa de erro semelhante utilizando a Regra do Trapézio, quantas subdivisões do intervalo de integração são necessárias?
Exercícios
2. a) Qual o erro máximo cometido na aproximação de pela regra de Simpson com quatro subintervalos? E por Trapézios?
b) Calcule a integral pelos dois métodos e compare com a estimativa do item a).
4
0
3 )133( dxxx
Exercícios
3. Use a Regra de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço computacional possível (menor números de divisões e maior precisão). Justifique sua resposta.Trabalhe com três casas decimais.
21 ,)2(
10 ,)(
3
2
xsex
xsexxf
Exercícios
4. Sabendo que a Regra de Simpson é, em geral, mais precisa que a Regra dos Trapézios, qual seria o modo mais adequado de calcular a integral definida de f(x) no intervalo dado, usando a tabela abaixo? Aplique este processo para determinar o valor da integral.
x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
f(x) 1.0 1.2408 1.5735 2.0333 2.6965 3.7183
Exercícios para Entrega
1. a) Calcule a integral a seguir pela Regra do Trapézio e pela Regra de Simpson, usando quatro e seis divisões do intervalo [a,b]. Compare os resultados.
b) Quantas divisões do intervalo são necessárias, no mínimo, para se obter erros menores que 10-5, com cada uma das regras?
14
2 x
dx
Respostas aos exercícios
1. a) m 8; para m=8 temos IS= 1.718284 b) m 151
2. ESR=0; IS=172; |ETR | ≤ 24; IT=184.
3. IS=44.083 com erro zero.
4. I = 4.227527 (Trapézios no primeiro intervalo e o restante por Simpson).
1. a) Trapézios (m=4): 4.7683868
Trapézios (m=6): 4.7077771
Simpson (m=4): 4.6763744
Simpson (m=6): 4.6614894
b) Trapézios: 1382
Simpson: 80