Circuito emulador
de funciones de transferencia
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES
CUAUTITLAN CAMPO 4
Jiménez Juárez Marcos Enrique
Santos Landa Francisco Javier
Bernardo Álvarez Jesús Felipe
Alumnos:
Profesor:
Pedro Celestino Rendón Torres
Control de procesos
2015-I
26/11/2014
Grupo: 1053
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
Objetivo
Implementar un circuito electrónico configurable que sea capaz de emular respuestas de sistemas dinámicos con
función de transferencia de la forma:
( )
Introducción
La función de transferencia de cualquier sistema dinámico es la relación que existe entre la(s) respuesta(s) del
sistema y la(s) entrada(s) aplicadas. Siendo el sistema más sencillo el que cuenta con solo una entrada y una
sola salida (SISO: Single Input Single Output).
El conocer la función de transferencia del sistema implica conocer el funcionamiento del mismo y poder
predecir su respuesta a determinada señales de entrada. La identificación y modelado de los sistemas es el
primer paso para llevar a cabo la aplicación de un sistema de control a los mismos. Una vez conocida la función
de transferencia es posible diseñar el controlador que mejore la respuesta según parámetros específicos. Sin
embargo, como en cualquier otro diseño, el lograr el resultado deseado es un proceso iterativo, donde se hacen
los diseños de manera teórica, son probados en simulaciones por computadora y posteriormente son probados
en el sistema real.
Este proceso de prueba, comprobación de resultados y rediseño (si es necesario), presenta los siguientes
inconvenientes:
Si las pruebas son muy costosas no es posible realizar muchas de ellas o su duración puede ser limitada.
Si el sistema responde muy lentamente cada prueba retrasara el proceso de diseño del controlador.
Por ello es conveniente contar con un dispositivo electrónico que sea configurable y emule la respuesta de los
sistemas. Las ventajas de este tipo de sistemas son:
Uso de dispositivos electrónicos de bajo consumo de potencia.
Fácil medición de la señal de entrada y la señal de salida
Compacto y económico, con piezas fácilmente reemplazables
Por lo que el presente trabajo desarrollara un circuito que emule funciones de transferencia utilizando
componentes de electrónica analógica.
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
Desarrollo
Diferentes tipos de sistemas presentan diferentes funciones de transferencia, pero en general pueden ser
representados de manera suficientemente precisa empleando una función de transferencia de segundo orden.
Esto es, una función de transferencia de 2 polos. En caso de que los sistemas presenten un retraso en la
respuesta (cosa común en sistemas que representan reacciones químicas), es conveniente considerar una función
de dos polos y un cero, de la siguiente forma:
( )
( )( )
Al desarrollar la ecuación anterior se obtiene:
( )
( ) ( )
La cual se reescribirá de la siguiente forma:
( )
Esta función de transferencia representa el caso más general de función de transferencia de segundo grado, 1
cero y 2 polos. Y los parámetros a0, a1, b0 y b1 definen la función de transferencia.
Para el diseño del circuito se considera lo siguiente:
Los polos del sistema son negativos, es decir los polos siempre se encuentran en el semiplano negativo
del dominio del plano complejo.
Tanto el cero como la ganancia pueden cambiar de signo, por lo que el circuito puede representar
sistemas de fase mínima y de fase no mínima.
Una vez que se ha definido la función de transferencia que será representada por el circuito es necesario crear
un diagrama de simulación que represente por bloques la función de transferencia. Para ello primero se obtiene
una representación en espacio de estados de la misma, la cual se muestra a continuación, esto se hace con el
propósito de obtener una familia de ecuaciones de primer grado, de manera que no es necesario incluir
derivadores en el diseño, ya que este tipo de circuito debe evitarse por que introduce ruido al sistema:
[ ] [
] [ ] [
]
[ ] [ ] [ ]
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
El diagrama de simulación de la función de transferencia es el siguiente:
Los componentes electrónicos empleados para realizar este sistema serán circuitos con amplificadores
operacionales, ya que, como puede apreciarse en el diagrama de simulación, se compone de sumadores,
integradores y amplificadores.
Dado que los parámetros variables a0, a1, b0, y b1 son todos ganancias, es posible hacerlos variables empleando
amplificadores inversores variables con potenciómetros.
Es importante tener en cuenta los signos negativos introducidos por los circuitos inversores y utilizar inversores
de ganancia unitaria cuando sea necesario para no afectar la función de transferencia.
Por ello el diagrama de bloques del circuito presenta algunos inversores que corrigen los cambios de signo
cuando es necesario. Si se comprueban las ecuaciones de espacio de estados representadas por el diagrama de
bloques siguiente se demuestra que el diseño cumple con la representación deseada de función de transferencia.
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El diagrama de bloques del circuito con amplificadores operacionales es el que se muestra a continuación:
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
Circuito 1
Para llevar a cabo el diseño del circuito se empleó el software Proteus 8 © de Labcenter Electronics.
Diseño de los sumadores:
Para los sumadores se utilizan sumadores inversores puesto que su ganancia permanece unitaria y su modelado
es más sencillo, así, los sumadores empleados serán como el mostrado a continuación:
Diseño de los amplificadores:
Para poder obtener ganancias variables se utilizan amplificadores con una resistencia variable en la
realimentación, de esta manera teóricamente es posible controlar la ganancia desde cero hasta un máximo.
Diseño de los integradores:
La consideración necesaria para el integrador es que tenga ganancia unitaria. La ganancia del integrador queda
definida como:
∫
De manera que RC debe ser igual a 1. Debido a la restricción de los operacionales de una resistencia de entrada
máxima de 100k, (por la corriente de polarización), es necesario emplear capacitores de valores elevados, los
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cuales solo se encuentran del tipo electrolítico, con lo cual se llega al problema de la polarización de los
capacitores.
La solución ideada fue utilizar el sistema y comprobar si la polarización de los capacitores afecta o si los
capacitores se dañan al operar, esta decisión se basa en que al consultar diversa bibliografía sobre
amplificadores operacionales, frecuentemente se encuentran ejemplos de integradores con capacitores
polarizados, y no se hace ningún comentario respecto a la polarización.
Las pruebas demostraron que es posible emplear capacitores electrolíticos de la manera mostrada en la figura y
el circuito funciona correctamente. Los capacitores son de 25V en un sistema que no pasará de los 15V por lo
que incluso en polarización invertida no es muy probable que se dañen de manera inmediata y sería posible
predecir su fallo al observar resultados incorrectos en el funcionamiento del circuito.
Por lo que los integradores utilizados son como el que se muestra a continuación:
En caso de que el circuito presentara problemas a futuro es posible utilizar dos capacitores electrolíticos con
polaridades encontradas, para realizar el circuito integrador. De la siguiente manera:
Este circuito garantiza que los capacitores no se dañaran debido a las polaridades encontradas la capacitancia
equivalente de los capacitores en serie es de 50µF, y la resistencia equivalente de entrada es de 20kΩ, por lo que
la constante RC de este circuito sigue siendo de 1.
También es importante señalar que no se requiere de una resistencia de realimentación en los integradores, para
esta aplicación en particular, donde el circuito será probado con señales de tipo escalón (señal de CD) por lo que
no se debe limitar la ganancia del integrador a bajas frecuencias.
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El circuito 1 de la simulación se muestra a continuación:
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Circuito 2
Mejora en el control de las ganancias:
El siguiente diseño presenta la solución ideada para lograr un mejor ajuste del potenciómetro al poner switches
para elegir la escala de funcionamiento del potenciómetro:
A través de los switch se puede elegir que la escala del potenciómetro, en este caso puede ser de 0 a 1, de 0 a 10,
o de 0 a 100.
Para evitar la saturación de los amplificadores operacionales se eligió una cantidad de ganancia máxima de 100.
Mejora en los integradores:
La ganancia de los integradores puede modificar el tiempo de respuesta del circuito, por lo que se puede
considerar que desde estos circuitos se puede escalar la constante de tiempo, por ello los integradores también
cuentan con switches para elegir un funcionamiento 10 veces más rápido o 10 veces más lento de una función
de transferencia.
Estas mejoras fueron implementadas en el circuito 2.
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Circuito 2, diagrama esquemático:
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
El circuito impreso fue diseñado en el mismo software y se muestra en la siguiente imagen:
Para poder calibrar el circuito se observó que los potenciómetros de perilla convencionales son de
comportamiento lineal por lo que es posible marcar una escala en el chasis donde irán montados, para poder
calibrar cómodamente el circuito. Sin embargo, esta escala no es muy precisa, por lo que se debe usar solo
como primer aproximación a la función de transferencia deseada y posteriormente ajustarse hasta tener la
respuesta deseada. El ajuste que proporciona la variación de cada parámetro se presenta en de forma detallada
más adelante.
A continuación se muestran algunas de las gráficas que se usaron para comprobar el funcionamiento del circuito,
así como sus comparaciones con la simulación en Proteus y el cálculo de la respuesta escalón de MATLAB:
10 cm
12 cm
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CONTROL DE PROCESOS 2015-i
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
Efec
to d
el c
amb
io d
e s
ign
o d
e a
0 y
a1
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Configuración del circuito
La fórmula general de un sistema de segundo orden es la que se muestra a continuación:
( )
Al agregar a un sistema de segundo orden un cero la formula se escribe de la siguiente manera:
( )
De manera que es posible establecer la siguiente equivalencia:
( )
De esta manera es posible relacionar la función de cada uno de los parámetros variables del circuito con las
características de respuesta de la función de transferencia.
La ganancia del sistema está definida por las variables a1 y b1 y se obtiene de la siguiente forma:
Sin embargo, el cero del sistema está definido por las variables a0 y a1, de la siguiente forma:
La constante de amortiguamiento está definida por:
√
Los polos del sistema están definidos por las variables b0 y b1 y pueden ser hallados al resolver la ecuación de
trayectoria directa del sistema.
Esta relación de los parámetros variables con las características de la función de transferencia indica que variar
un parámetro implica la variación de varios aspectos de la función de transferencia, por lo que en caso de
realizar ajustes es importante conocer esto para saber predecir el nuevo comportamiento.
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
Para representar una determinada función de transferencia en el circuito se llevan a cabo los siguientes pasos:
Se elige una función de transferencia para que sea representada por el circuito, y se utilizan las escalas
apropiadas para los potenciómetros según el diagrama siguiente se muestran los switch para cada variable:
La selección de la escala de cada variable se hace con los switch asignados según el siguiente diagrama:
Switch 1: escala de 0 a 100
Switch 2: escala de 0 a 10
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
Switch 3: escala de 0 a 1
Para cambiar la escala de tiempo los switch deben configurarse de la siguiente manera:
Esta disposición fue por simetría de los elementos en la placa impresa.
Posteriormente se le dan los valores a los parámetros de manera aproximada al girar los potenciómetros a la
posición deseada, apoyándose en la escala marcada en el chasis para ello.
Finalmente al observar la respuesta de la función en el osciloscopio se realizan los ajustes necesarios hasta
obtener la respuesta buscada.
Ejemplo 1:
Se desea representar en el circuito la función de transferencia siguiente:
( )
( )( )
Se desarrolla la función a la forma adecuada para el circuito:
( )
( )
Se eligen las escalas adecuadas para cada variable:
Para a0 escala de 0 a 1
Para a1 escala de 0 a 10
Para b0 escala de 0 a 10
Para b1 escala de 0 a 10
Se giran los potenciómetros a la posición aproximada de sus valores deseados, en caso de no coincidir con la
respuesta deseada se harán los ajustes después de observar la primera respuesta del sistema de acuerdo a las
instrucciones dadas anteriormente.
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Se colocan los signos de a0 y a1 con los switch ubicados en la tapa del chasis, en este ejemplo a0 es negativo y
a1 es positivo.
Se observa la respuesta del sistema obtenida de la simulación en Proteus y la respuesta generada en MATLAB:
La respuesta generada por el circuito es la siguiente:
0 1 2 3 4 5 6 7-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
MATLAB
Proteus
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Ejemplo 2:
Se desea representar una función del siguiente tipo:
Sistema de fase mínima, 2 polos, ningún cero, ganancia de 1.5, constante de amortiguamiento de 0.2, que se
estabilice en 5 segundos aproximadamente.
Si la constante de amortiguamiento es menor a uno el sistema es sub-amortiguado y presentara oscilaciones.
Si se espera que el sistema se estabilice en 5 seg, la constante de tiempo es de:
Por lo que la parte real de los polos conjugados es 1.
De la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado se obtiene:
√
Dado que para nuestra ecuación, a = 1, siempre se cumple; si sabemos que la parte real de esta ecuación es igual
a uno, se escribe:
Pero:
√
Por lo que al sustituir en la formula se obtiene:
√
Al sustituir el valor de la constante de amortiguamiento se obtiene:
b1 = 25
Y la ganancia se utiliza para calcular a1 como se muestra a continuación:
Al sustituir en la fórmula del circuito se obtiene la función:
( )
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La grafica obtenida con esta ecuación se muestra a continuación:
Es posible observar la diferencia entre la gráfica de Proteus y la de MATLAB, esta diferencia no es muy
marcada pero es posible ajustarla al cambiar ligeramente la variable b0 a un valor menor, sin embargo cabe
recordar que esta función fue creada de acuerdo a los parámetros dados al inicio y cumple con las
especificaciones requeridas.
La grafica generada por el circuito se muestra a continuación:
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
2.5Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
MATLAB
Proteus
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Ejemplos gráficos de la variación de cada
parámetro
Casos especiales de sistema inestable:
( )
( )
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CONTROL DE PROCESOS 2015-i
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
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Resumen de funcionamiento del circuito
Parámetro
Efectos al incrementar
a0
Sistema de fase mínima
(a0 positivo)
Sistema de fase no mínima
(a0 negativo)
- Incrementa el retraso inicial del
sistema
- Incrementa el pico negativo al inicio
de la respuesta
- Incrementa el valor del cero, lo
“aleja” del centro del plano complejo.
- Incrementa el sobreimpulso del sistema
- Incrementa el valor del cero, lo “aleja”
del centro del plano complejo. - En cierto punto puede cancelar un polo
y presentar un sistema de primer orden.
a1 - Incrementa la ganancia
- Incrementa el valor del cero, lo “aleja” del centro del plano complejo.
b0
- Reduce el tiempo de respuesta del sistema
- Incrementa el sobreimpulso inicial
- Modifica el valor de los polos (si uno es cancelado con el cero del sistema, se
presenta un sistema de primer orden)
- Incrementa el valor de la constante de amortiguamiento
b1
- Reduce la ganancia del sistema
- Modifica el valor de los polos
- Incrementa la frecuencia natural del sistema
- Reduce la constante de amortiguamiento del sistema
Signos de a0 y a1
a0 a1
Efecto
+ +
- Sistema de fase mínima (cero en lado negativo
del dominio del plano complejo)
- No hay retraso inicial
- Ganancia positiva
+ –
- Sistema de fase no mínima (cero en el lado
positivo del dominio del plano complejo)
- Retraso inicial definido por el valor de a0
- Ganancia negativa
– +
- Sistema de fase no mínima (cero en el lado
positivo del dominio del plano complejo)
- Retraso inicial definido por el valor de a0
- Ganancia positiva
– –
- Sistema de fase mínima (cero en lado negativo
del dominio del plano complejo)
- No hay retraso inicial
- Ganancia positiva
CONTROL DE PROCESOS 2015-i
Características finales de funcionamiento
del circuito
Voltaje de alimentación: ±5V a ±15V, recomendado ±12V
Función de transferencia:
( )
Donde
Se puede escalar la constante de tiempo x0.1, x1 o x10.
Limitaciones del circuito:
Por saturación de los operacionales, se recomienda limitar la ganancia de CD de la función de transferencia
al valor:
Además es importante recordar que la ganancia se calcula con la respuesta en estado estable, por ello incluso
si se evita la saturación en estado estable, puede existir saturación debido al máximo sobreimpulso de
sistemas subamortiguados. En tal caso se recomienda disminuir el voltaje de la señal de entrada.
Finalmente cabe señalar que para el uso correcto del circuito se requiere de conocimiento básico de
respuestas de sistemas dinámicos según su función de transferencia y de preferencia contar con la referencia
de la señal deseada obtenida mediante MATLAB.