1
© Copyright 2008 Börje Norlin
1
Ellära och Elektronik Moment AC-nät
Föreläsning 4Kapacitans och Induktans
Uppladdning av en kondensatorMedelvärde och Effektivvärde
Sinusvåg över kondensator och spole
© Copyright 2008 Börje Norlin
2
Kondensatorer• För att lagra elektrisk laddning
• Tillverkas i många olika varianter
2
© Copyright 2008 Börje Norlin
3
Kondensatorer och kapacitans• Plattor med isolerande
material emellan, skdielektrikum.
• Kapacitans C = Q / U Där Q laddning och U spänning (C mäts i Farad F)
• Geometriskt gäller C = εrε0A/d därε0=8,85·10-12 F/m
© Copyright 2008 Börje Norlin
4
Kapacitans• Ström är laddningsrörelse, dvs• Sambandet Q = CU ger för i
• Spänningen u över kondensatorn erhålls genom att integrera strömmen
dtdqi =
dtduCCu
dtd
dtdqi ===
( ) ( ) ( ) tdtiCC
qtut
′′+= ∫0
10
3
© Copyright 2008 Börje Norlin
5
Kapacitans• Kondensatorn är spänningströg
– Oladdad kondensator leder ström ”obehindrat”.– Laddningen lagras i form av ett elektriskt fält som ger en spänning
för att motverka strömmen.
• Uppladdning av kondensator– När brytaren slås till så börjar ström flyta ”mot” kondensatorn– Elektroner ”trängs” på nedre plattan, på övre finns ”hål”– Spänningen över kondensatorn ökar, kondensatorn ”laddas upp”.
© Copyright 2008 Börje Norlin
6
Uppladdning av kondensator
V12V
C16.8uF
A BT
G
XSC1
R1
4.7kohm
J1
Key = Space
• Kondensatorn laddas upp
– När brytaren slås till övre läget
• Kondensatorn laddas ur– När brytaren slås i
nedre läget• Oscilloskopet mäter
– Spänningen över kondensatorn och spänningen efter brytaren
4
© Copyright 2008 Börje Norlin
7
Uppladdningskurva• Spänningen 2 V slås till• Kondensatorn börjar att
laddas upp• Uppladdningen följer
ekvationen
• E: batterispänningent: tiden, R: resistans, C: kapacitansen
– På miniräknare kan ex
ibland heta INV ln, eftersom det är motsatsen till naturlig logaritm ln
( ) ( )RCtC eEtU −−⋅= 1
© Copyright 2008 Börje Norlin
8
Urladdningskurva• Kondensatorn kopplas till
jord• Kondensatorn börjar att
laddas ur• Urladdningen följer
ekvationen
• E: batterispänningent: tiden, R: resistans, C: kapacitansen
( ) RCtC eEtU −⋅=
5
© Copyright 2008 Börje Norlin
9
Beräkning av tidskonstant• Kondensatorn har INGEN egen tidskonstant
– Uppladdningstiden beror på BÅDE kondensatorn och resistorn
• Tidskonstanten• Ex τ = RC = 6.8⋅E-6 ⋅ 4.7⋅E3 = 32 ms• När t = τ blir exponenten i uppl.ekv. -t/RC = -τ/τ = -1• I ekvationen UC = 2 ⋅ (1-e-1) = 2 ⋅ 0.63 = 1.26 V• MAN KAN MÄTA TIDSKONSTANTEN τ
– Mät tiden tills spänningen når 63 % av batteriets spänning
CR⋅=τ
© Copyright 2008 Börje Norlin
10
Mätning av tidskonstant• Tidkonstant
– Mät tiden till 63 %
• Lättare mätning– Mät tiden till 10 % och 90 %
32 ms
63 %
%)63(t=τ
2,2%)10(%)90( tt −
=τ
10 %90 %
6
© Copyright 2008 Börje Norlin
11
Spolar
© Copyright 2008 Börje Norlin
12
Induktans• Spänningen över en spole blir
• Inför induktansen L (Henry H) för att få ett uttryck för spänningen som funktion av strömmen
( )imot prop flöde magnetiskt Φ
och varvantalNDär
==Φ
=dtdNtu
( )dtdiL
dtdiNktu ==
7
© Copyright 2008 Börje Norlin
13
Induktans• Strömmen genom spolen erhålls genom att
integrera spänningen
• Slutsats: Spolen är strömtrög– Ström genom en spole bygger upp ett magnetfält
som inducerar spänning för att motverka strömändringen.
( ) ( ) ( )∫ ′′+=t
tdtuL
iti0
10
© Copyright 2008 Börje Norlin
14
Induktion i spole ”urladdning”
V12V
A BT
G
XSC1
R1
4.7kohm
J1
Key = Space
L1150H
• Ström & magnetfält– Brytaren i övre läget
• Spolen skapar spänning – För att bevara
strömmen och magnetfältet
– När brytaren slås i nedre läget
• Oscilloskopet mäter – Spänningen över
spolen och spänningen efter brytaren
8
© Copyright 2008 Börje Norlin
15
Urladdningskurva• Spolen kopplas till jord• Spolen ”behåller”
strömmen genom att ”bums” ändra sin spänningen
• Spänningsfallet över resistorn behålls
© Copyright 2008 Börje Norlin
16
Induktion utan att jorda
• Avbrott – resistor mot jord• Spolen måste ge betydligt
mycket mer spänning• Kan överbrygga brott i kretsen
– I tändstiftet och i fördelardosan
V12V
A BT
G
XSC1
R1
4.7kohm
J1
Key = Space
L1150H
R2100kohm
9
© Copyright 2008 Börje Norlin
17
Växelström/spänning
• Tidsberoende variabler skrivs med gemener, t.ex u(t) och i(t)
© Copyright 2008 Börje Norlin
18
Sinusvågens period
• Avläsning av en period
10
© Copyright 2008 Börje Norlin
19
Sinusvåg• Toppvärde û• Period T• frekvens f=T-1
• vinkelfrekvens ω=2πf
• fasvinkel ϕ
© Copyright 2008 Börje Norlin
20
Sinusvåg över resistor• Spänning• Strömmen genom resistans bestäms av Ohms
lag även för växelspänning, dvs
• Det kan vi skriva som
• Strömmen i fasi fas med spänningen då ϕu = ϕi
( ) ( )ϕω += tutu sinˆ
( ) ( ) ( )ϕω +== tRu
Rtuti sin
ˆ
( ) ( )ϕω += titi sinˆ
11
© Copyright 2008 Börje Norlin
21
Medelvärde• Medelvärdet av en växelspänning beräknas
genom integrering över en hel period.
– Resultatet divideras med periodtiden T för att erhålla ett normaliserat värde.
• Medelvärde kan mätas med en voltmeter inställd på DC.
( )∫=T
m dttuT
u0
1
© Copyright 2008 Börje Norlin
22
Exempel medelvärde• Medelvärde av en
fyrkantsvåg– Amplitud 2 V och
period 2 s– 1:a halvan av kurvan
ger plus 2 till ytan– 2:a halvan av kurvan
ger minus 2 till ytan
• Spänningens medelvärde är 0 V
Tid (s)
u (V)
2
2
0
( )
( ) 02221
2221
1
2
1
1
0
0
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
==
∫∫
∫
dtdt
dttuT
UT
m
12
© Copyright 2008 Börje Norlin
23
Effektivvärde• Frågeställning:
En likspänning U ger upphov till en effekt Pi en resistor R. Vilken växelspänning u(t)över samma resistor ger samma effekt?
• För växelspänningen gäller momentant att
• Eftersom strömmen och spänningen är i fas kan vi sätta ϕ=0.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕωϕω +⋅+=⋅= titutitutp sinˆsinˆ
© Copyright 2008 Börje Norlin
24
Effektivvärde• Den momentana effekten är
• Den energi som utvecklas under en period blir
• Effekten definieras som P=W/t
( ) ( ) ( ) ( )tiutitutp ωωω 2sinˆˆsinˆsinˆ ⋅=⋅=
( )∫=T
dttpW0
( ) ( )∫∫ ⋅==TT
dttiuT
dttpT
P0
2
0sinˆˆ11 ω
13
© Copyright 2008 Börje Norlin
25
Effektivvärde• Men trigonometri kan vi ändra uttrycket för P
• Om vi räknar fram värdet på integralen( ) ( )∫∫ −
⋅=
⋅=
TTdtt
Tiudtt
TiuP
00
2 2cos121ˆˆ
sinˆˆ
ωω
[ ]
( ) ( ) ( )( )0002
ˆˆ2
02sin22sin0
2ˆˆ
22sin
2ˆˆ
2cos12
ˆˆ
000 0
−−−⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
⋅=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
⋅= ∫ ∫
TTiuTT
Tiu
ttTiutdtdt
TiuP
TTT T
ωω
ωω
ωωω
© Copyright 2008 Börje Norlin
26
Effektivvärde• Effekten av en växelspänning blir
• Effektivvärde är en storhet som för en given växelspänning ger en viss effekt. P=UeIe
• För sinusvåg gäller att
2ˆˆ iuP ⋅
=
2
ˆoch
2ˆ iIuU ee ==
14
© Copyright 2008 Börje Norlin
27
Effektivvärde• Generellt; utgå från uttrycket för effekt
• Kan integralen delas upp i u- och i-faktorer?( ) ( )∫∫ ⋅==
TTdttiu
Tdttp
TP
0
2
0sinˆˆ11 ω
( ) ( )
( ) ( )∫∫
∫∫
⋅
=⋅⋅⋅=
TT
TT
dttiTudttu
Ti
dttiuT
dttiuT
P
0
2
0
2
0
2
0
2
sinˆˆsinˆ
ˆ
sinˆˆ1sinˆˆ1
ωω
ωω
© Copyright 2008 Börje Norlin
28
Effektivvärde• Skriv effekten som två faktorer som beror av
en enda storhet vardera.
• Dessa faktorer kallas effektivvärden.
( ) ( )
( ) ( )∫∫
∫∫
⋅
=⋅=
TT
TT
dttiT
dttuT
dttiTudttu
TiP
0
22
0
22
0
2
0
2
sinˆ1sinˆ1
sinˆˆsinˆ
ˆ
ωω
ωω
15
© Copyright 2008 Börje Norlin
29
Effektivvärde• Effektivvärdet för en godtycklig växelstorhet
av godtycklig vågform definieras:
• Effektivvärde kan mätas med en voltmeter inställd på AC. (förenklat påstående)
( )
( )∫
∫
=
=
T
e
T
e
dttiT
I
dttuT
U
0
2
0
2
1
1
© Copyright 2008 Börje Norlin
30
Exempel effektivvärde• Effektivvärde av en
fyrkantvåg– Amplitud 2 V och
period 2 s– Både negativ och
positiv spänning ger samma positiva bidrag.
• Spänningens effektiv-värde är 2 V
Tid (s)
u (V)2
2
0
u2 (V)4
( )
224212
21
1
2
0
2
0
2
=⋅=
==
∫
∫
dt
dttuT
UT
RMS
16
© Copyright 2008 Börje Norlin
31
Sinusvåg över kondensator• Strömmen genom kondensatorn ges av
• Strömmen är fasförskjuten 90° före spänningen.• Vi ser att för kondensatorn.• Inför reaktans XC = 1/ωC
( ) ( ) ( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=+=+==
2sinˆ
cosˆsinˆ
πϕωω
ϕωωϕω
tCu
tuCtudtdC
dtduCti
ωCui ⋅= ˆˆ
© Copyright 2008 Börje Norlin
32
Sinusvåg över kondensator
17
© Copyright 2008 Börje Norlin
33
Sinusvåg över kondensator• Med reaktansen kan Ohms lag användas.
• Enheten för reaktans är ohm.
CXuiˆˆ =
ΩAV
VAss
111
===⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−Cω
© Copyright 2008 Börje Norlin
34
Ersättningskapacitans
NT
NT
CCCC
XXXX
ωωωω1111
21
21
+⋅⋅⋅++=
=+⋅⋅⋅++=
NT
NT
CCCCXXXXωωωω +⋅⋅⋅++=
=+⋅⋅⋅++=
21
21
1111
NT CCCC1111
21+⋅⋅⋅++= NT CCCC +⋅⋅⋅++= 21
Tvärt om jämfört med resistorer
18
© Copyright 2008 Börje Norlin
35
Sinusvåg över spole• Strömmen genom spolen ges av
• Strömmen är fasförskjuten 90° efter spänningen.• Vi ser att för spolen.• Inför reaktans XL = ωL
( ) ( ) ( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=+−
=′+=′′= ∫∫
2sin
ˆcos
ˆ
sinˆ1100
πϕωω
ϕωω
ϕω
tL
utL
u
tdtuL
tdtuL
titt
Luiω
ˆˆ =
© Copyright 2008 Börje Norlin
36
Sinusvåg över spole
19
© Copyright 2008 Börje Norlin
37
Ersättningsinduktans
NT LLLLL +⋅⋅⋅+++= 321NT LLLLL11111
321+⋅⋅⋅+++=
NT
NT
LLLLXXXXωωωω +⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=
21
21
NT
NT
LLLL
XXXX
ωωωω1111
1111
21
21
+⋅⋅⋅++=
=+⋅⋅⋅++=
Samma sak som för resistorer