Modélisation Statistique
Éléments d’Optimisationc© D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 1/39
Éléments d’Optimisation
Fonctions d’une variable réelle
Soit f une fonction définie sur un intervalleI deR à valeurs dansR.Soit x ∈ I.
Définition 1 x est un maximum global def surI si et seulement si :
f(x) ≥ f(x) ∀x ∈ I
On notera alors : x = Arg supx∈I
f(x).
Définition 2 x est un maximum local def surI si et seulement si∃ε > 0 tel que :
f(x) ≥ f(x) ∀x ∈ [x − ε, x + ε].
Définition 3 x est un minimum global def surI si et seulement si :
f(x) ≤ f(x) ∀x ∈ I
On notera alors : x = Arg infx∈I
f(x).
Définition 4 x est un minimum local def surI si et seulement si∃ ε > 0 tel que :
f(x) ≤ f(x) ∀x ∈ [x − ε, x + ε].
Définition 5 x est un point critique def si et seulement sif ′(x) existe etf ′(x) = 0.
Proposition 1 Si x est un maximum (ou minimum) local def alors, soitx estextrémité deI, soit x est un point critique def
N Rappel (Formule de Taylor)
Soit f définie surI de classeC2. ∀u, v ∈ I, ∃ x0 ∈]u, v[ tel que :
f(u) = f(v) + (u − v) f ′(v) +(u − v)2
2f
′′
(x0).
Proposition 2 Soit f définie surI de classeC2 et x un point critique def . On aalors :
1. sif′′ ≤ 0 surI alorsx est un maximum global def surI.
2. sif′′(x) ≤ 0 surI alorsx est un maximum local def surI.
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2/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Sous MATLAB on utilise la fonctionfmin pour déterminer le Arginfx
f(x).
Pour déterminer le Argsupx
f(x) on utilise la relation :
Arg supx
f(x) = Arg infx
(−f(x)).
Pour déterminer le Arginfx
Finf on crée la fonction :
function y=Finf(x)y=l’expression deFinf ;
☞ sauver sous nom :Finf.m
☞
Pour obtenir le résultat crée un fichier script contenant la commande :
xmin=fmin(’Finf’,[ x(0) , x(1)]) ;
Pour déterminer le Argsupx
Fsup on crée la fonction :
function y=Fsup(x)y=− l’expression deFsup ;
☞ sauver sous nom :Fsup.m
☞Pour obtenir le résultat crée un fichier script contenant la commande :
xmax=fmin(’Fsup’,[x(0) , x(1)]) ;
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 3/39
Exemple 1 Soit f(x) = x (1 − x) l1[0,1](x).
Pour définir la fonction−f on a la fonction suivante :
f1.m
1 function y1=f1(x)2 y1=-x.*(1-x);
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir Argsupx∈[0,1]
f(x) on a le script suivant :
f1max.m
1 V=version; %Version de Matlab2 if (V(1)==5) %version 53 xm=fmin(’f1’,0,1,[14,1.e-12]);4 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])5 else %version 66 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...7 ’iter’,’TolFun’,1e-8);8 xm=fminbnd(@f1,0,1,options);9 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])
10 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
On remarque que : Argsupx∈[0,1]
f(x) =1
2.
Pour obtenir le graphique def on a le script suivant :
f1GRF.m
1 clear all2 x=linspace(0,1,200)’;3 x0=.5*ones(length(x),1);4 y1=-f1(x);5 plot(x,y1,’k’)6 hold on7 plot(x0,y1,’:k’)8 hold off
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH
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4/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Exemple 2 Soit fa,b(x) = xa (1 − x)b l1[0,1](x) (a > 0, b > 0).
Pour définir la fonction−fa,b on a la fonction suivante :
f2.m
1 function y2=f2(x,a,b)2 y2=-x.^a.*(1-x).^b;
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir Argsupx∈[0,1]
fa,b(x) on a le script suivant :
f2max.m
1 V=version; %Version de Matlab2 a=2; b=3;3 if (V(1)==5) %version 54 xm=fmin(’f2’,0,1,[10,1.e-10],a,b);5 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])6 else %version 67 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...8 ’iter’,’TolFun’,1e-8);9 xm=fminbnd(@f2,0,1,options,a,b);
10 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])11 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
On remarque que : Argsupx∈[0,1]
fa,b(x) =a
a + b.
Pour obtenir les graphiques def1,2, f2,2 etf2,3 on a le script suivant :
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 5/39
f2GRF.m
1 clear all2 x=linspace(0,1,200)’;3 a=[1 2 2]’;4 b=[2 2 3]’;5 c=a./(a+b);6 x1=c(1)*ones(length(x),1);7 x2=c(2)*ones(length(x),1);8 x3=c(3)*ones(length(x),1);9 y1=-f2(x,a(1),b(1));
10 y2=-f2(x,a(2),b(2));11 y3=-f2(x,a(3),b(3));12 plot(x,y1,’Linestyle’,’:’,’color’,’k’)13 hold on14 plot(x1,y1,’Linestyle’,’:’,’color’,[0 .8 .9])15 plot(x2,y2,’Linestyle’,’:’,’color’,[.8 0 .9])16 plot(x3,y3,’Linestyle’,’:’,’color’,[.9 .8 0])17 plot(x,y2,’color’,’k’)18 plot(x,y3,’Linestyle’,’--’,’color’,’k’)19 xlabel(’x’)20 box off21 hold off22 gtext(’\leftarrow f_{1,2}(x)’)23 gtext(’\downarrow f_{2,2}(x)’)24 gtext(’\downarrow f_{2,3}(x)’)
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH
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6/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Exemple 3 Soit fa,b(x) = xa e−b x l1]0,∞[(x) (a > 0, b > 0).
Pour définir la fonction−fa,b on a la fonction suivante :
f3.m
1 function y3=f3(x,a,b)2 y3=-x.^a.*exp(-x.*b);
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir les graphiques def2,2, f1,2 etf3,4 on a le script suivant :
f3GRF.m
1 clear all2 x=linspace(0,5,200)’;3 a=[2 1 3]’;4 b=[2 2 4]’;5 c=a./b;6 x1=c(1)*ones(length(x),1);7 x2=c(2)*ones(length(x),1);8 x3=c(3)*ones(length(x),1);9 y1=-f3(x,a(1),b(1));
10 y2=-f3(x,a(2),b(2));11 y3=-f3(x,a(3),b(3));12 plot(x,y1,’Linestyle’,’:’,’color’,’k’)13 hold on14 plot(x1,y1,’Linestyle’,’:’,’color’,[.13 .19 .23])15 plot(x2,y2,’Linestyle’,’:’,’color’,[.29 .31 .37])16 plot(x3,y3,’Linestyle’,’:’,’color’,[.1315 .1380 .21])17 plot(x,y2,’color’,’k’)18 plot(x,y3,’Linestyle’,’--’,’color’,’k’,’linewidth’,2)19 xlabel(’x’)20 box off21 hold off22 gtext(’\leftarrow f_{2,2}(x)’)23 gtext(’\leftarrow f_{1,2}(x)’)24 gtext(’\downarrow f_{3,4}(x)’)
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 7/39
Pour obtenir Argsupx>0
fa,b(x) on a le script suivant :
f3max.m
1 V=version; %Version de Matlab2 a=2; b=2;3 if (V(1)==5) %version 54 xm=fmin(’f3’,1.e-12,10,[10,1.e-10],a,b);5 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])6 else %version 67 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...8 ’iter’,’TolFun’,1e-8);9 xm=fminbnd(@f3,0,1,options,a,b);
10 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])11 end
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On remarque que : Argsupx>0
fa,b(x) =a
b.
Exemple 4 Soit fµ,σ2(x) =1
σ√
2πexp
(
−(x − µ)2
2σ2
)
(µ ∈ R, σ ∈ R⋆+).
Pour définir la fonction−fµ,σ2 on a la fonction suivante :
f4.m
1 function y4=f4(x,mu,sigma)2 y4=-normpdf(x,mu,sigma);
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Pour obtenir les graphiques def−2,2, f0,2 etf3,4 on le script suivant :
K D.GHORBANZADEH
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8/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
f4GRF.m
1 clear all2 mu=[-2 0 2]’; sigma=[2 2 2]’;3 a=3.5*max(mu)+max(sigma);4 x=linspace(-a,a,200)’;5 x1=mu(1)*ones(length(x),1);6 x3=mu(3)*ones(length(x),1);7 for i=1:1:length(mu)8 y4(:,i)=-f4(x,mu(i),sigma(i));9 end
10 plot(x,y4(:,1),’Linestyle’,’:’,’color’,...11 [rand(1) rand(1) rand(1)],’Linewidth’,3)12 hold on13 plot(x1,y4(:,1),’Linestyle’,’:’,’color’,...14 [rand(1) rand(1) rand(1)])15 plot(x3,y4(:,3),’Linestyle’,’:’,’color’,...16 [rand(1) rand(1) rand(1)])17 plot(x,y4(:,2),’color’,’k’)18 plot(x,y4(:,3),’Linestyle’,’--’,’color’,’k’)19 xlabel(’x’)20 box off21 hold off22 gtext(’f_{-2,2}(x) \rightarrow ’)23 gtext(’\downarrow f_{0,2}(x)’)24 gtext(’\leftarrow f_{2,2}(x)’)
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Pour obtenir Argsupx
fµ,σ2(x) on a le script suivant :
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 9/39
f4max.m
1 V=version; %Version de Matlab2 mu=-2; sigma=2;3 if (V(1)==5) %version 54 xm=fmin(’f4’,-3,3,[10,1.e-10],mu,sigma);5 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])6 else %version 67 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...8 ’iter’,’TolFun’,1e-8);9 xm=fminbnd(@f4,-3,3,options,mu,sigma);
10 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])11 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
On remarque que : Argsupx∈R
fµ,σ2(x) = µ.
K D.GHORBANZADEH
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10/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Exemple 5 Soit fa,b(x) = sinax e−b x l1]0,∞[(x) (a > 0, b > 0).
Pour définir la fonction−fa,b on a la fonction suivante :
f5.m
1 function y5=f5(x,a,b)2 y5=-sin(x.*a).*exp(-x.*b);
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir les graphiques def1,1, f2,3 etf2,4 on a le script suivant :
f5GRF.m
1 clear all2 x=linspace(0,6,200)’;3 a=[1 2 2];4 b=[1 3 4];5 for i=1:1:length(a)6 y5(:,i)=-f5(x,a(i),b(i));7 end8 plot(x,y5(:,1),’Linestyle’,’:’,’color’,’k’)9 hold on
10 plot(x,y5(:,2),’color’,’k’)11 plot(x,y5(:,3),’Linestyle’,’--’,’color’,’k’)12 xlabel(’x’)13 box off14 hold off15 gtext(’\leftarrow f_{1,1}(x)’)16 gtext(’\leftarrow f_{2,3}(x)’)17 gtext(’f_{2,4}(x)\uparrow ’)
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 11/39
Pour obtenir Argsupx>0
fa,b(x) on a le script suivant :
f5max.m
1 V=version; %Version de Matlab2 a=1; b=1;3 if (V(1)==5) %version 54 xm=fmin(’f5’,1.e-20,pi,[10,1.e-12],a,b);5 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])6 else %version 67 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...8 ’iter’,’TolFun’,1e-8);9 xm=fminbnd(@f5,1.e-20,pi,options,a,b);
10 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])11 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
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12/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Exemple 6 Soit fa,b(x) = log(a + e−b |x|) (a > 0, b > 0).
Pour définir la fonction−fa,b on a la fonction suivante :
f6.m
1 function y6=f6(x,a,b)2 y6=-log(a+exp(-abs(x).*b));
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir les graphiques def1,1, f1,0.6 etf1,0.3 on ale script suivant :
f6GRF.m
1 clear all2 x=linspace(-15,15,200)’;3 a=[1 1 1];4 b=[1 .6 .3];5 for i=1:1:length(a)6 y6(:,i)=-f6(x,a(i),b(i));7 end8 plot(x,y6(:,1),’Linestyle’,’:’,’color’,’k’)9 hold on
10 plot(x,y6(:,2),’color’,’k’)11 plot(x,y6(:,3),’Linestyle’,’--’,’color’,’k’)12 xlabel(’x’)13 box off14 hold off15 gtext(’f_{1,1}(x)\rightarrow ’)16 gtext(’f_{1,.6}(x)\rightarrow’)17 gtext(’\leftarrow f_{1,.3}(x)’)
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 13/39
Pour obtenir Argsupx∈R
fa,b(x) on a le script suivant :
f6max.m
1 V=version; %Version de Matlab2 a=5; b=1;3 if (V(1)==5) %version 54 xm=fmin(’f6’,-2,2,[10,1.e-10],a,b);5 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])6 else %version 67 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...8 ’iter’,’TolFun’,1e-8);9 xm=fminbnd(@f6,-2,2,options,a,b);
10 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])11 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
On remarque que : Argsupx∈R
fa,b(x) = 0.
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14/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Exemple 7 Soit fa,b(x) =1
a2 + (x − b)2(a > 0, b ∈ R).
Pour définir la fonction−fa,b on a la fonction suivante :
f7.m
1 function y7=f7(x,a,b)2 y7=-1./((x-b).^2.+a^2);
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Pour obtenir les graphiques def0.5,1, f0.5,6 etf0.7,3 on a le script suivant :
f7GRF.m
1 clear all2 x=linspace(-6,12,200)’;3 a=[.5 .5 .7]’; b=[1 6 3]’;4 x1=b(1)*ones(length(x),1);5 x2=b(2)*ones(length(x),1);6 x3=b(3)*ones(length(x),1);7 for i=1:1:length(a)8 y7(:,i)=-f7(x,a(i),b(i));9 end
10 plot(x,y7(:,1),’:k’)11 hold on12 plot(x1,y7(:,1),’Linestyle’,’:’,’color’,...13 [rand(1) rand(1) rand(1)])14 plot(x2,y7(:,2),’Linestyle’,’:’,’color’,...15 [rand(1) rand(1) rand(1)])16 plot(x3,y7(:,3),’Linestyle’,’:’,’color’,...17 [rand(1) rand(1) rand(1)])18 plot(x,y7(:,2),’color’,’k’)19 plot(x,y7(:,3),’Linestyle’,’--’,’color’,’k’)20 xlabel(’x’)21 box off22 hold off23 gtext(’f_{.5,1}(x)\rightarrow ’)24 gtext(’\leftarrow f_{.5,6}(x)’)25 gtext(’\downarrow f_{.7,3}(x)’)
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 15/39
Pour obtenir Argsupx∈R
fa,b(x) on a le script suivant :
f7max.m
1 V=version; %Version de Matlab2 a=.5; b=6;3 if (V(1)==5) %version 54 xm=fmin(’f7’,-10,10,[10,1.e-10],a,b);5 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])6 else %version 67 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...8 ’iter’,’TolFun’,1e-8);9 xm=fminbnd(@f7,-10,10,options,a,b);
10 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])11 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
On remarque que : Argsupx∈R
fa,b(x) = b.
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16/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Exemple 8 Soit
fa(x) = (x − a)2 e−a x l1[0,∞[(x) (a > 0)
On a :f ′a(x) = (x − a) (2 + a2 − ax) e−a x). Donc les points critiques defa sont
x1 = a et x2 = a +2
a. D’autre part,
f ′′a (x) = (2 − 4 ax + 4 a2 + a2 x2 − 2 a3 x + a4) e−a∗x
d’oùf ′′a (x1) = 2 e−a2
doncx1 est un minimum global. On a :f ′′a (x2) = −2 e−2−a2
donc x2 est un maximum. On remarque quefa(0) = a2 et fa(x2) =4
a2e−2−a2
donc sifa(0) ≥ fa(x2), x2 est un maximum local.
Soit a0 > 0 solution de : x2 − 4
x2e−2−x2
= 0, si a < a0, x2 est un maximum
global et sia > a0, x2 est un maximum local.
Pour déterminer la valeur dea0 on a la fonction suivante :
f8z.m
1 function y=fz(x)2 y=x.^2-(4./x.^2).*exp(-2-x.^2);
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Pour obtenir le résultat on a la commande :
>> fzero(’f8z’,1)
ans =
0.7463
Pour définir la fonction−fa on a la fonction suivante :
f8.m
1 function y8=f8(x,a)2 y8=-(x-a).^2.*exp(-a*x);
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 17/39
Pour obtenir les graphiques def0.6, f0.7, f0.8 et f1 on a le script suivant :
f8GRF.m
1 clear all2 V=version; %Version de Matlab3 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...4 ’iter’,’TolFun’,1e-8);5 a=[.6 .7 .8 1];6 b=a+2./a;7 x=linspace(0,10,200)’;8 for i=1:1:length(a)9 x1(:,i)=b(i)*ones(length(x),1);
10 y8(:,i)=-f8(x,a(i));11 if (V(1)==5) %version 512 xm(i)=fmin(’f8’,b(i)-1,b(i)+1,[10,1.e-10],a(i));13 else %version 614 xm(i)=fminbnd(@f8,b(i)-1,b(i)+1,options,a);15 end16 fm(i)=-f8(xm(i),a(i));17 x2(:,i)=linspace(0,fm(i),200)’;18 subplot(2,2,i)19 plot(x,y8(:,i),’k’)20 hold on21 plot(x1(:,i),x2(:,i),’Linestyle’,’:’,’color’,...22 [rand(1) rand(1) rand(1)])23 xlabel(’x’)24 hold off25 end26 gtext(’\downarrow f_{0.6}(x)’)27 gtext(’\downarrow f_{0.7}(x)’)28 gtext(’\downarrow f_{0.8}(x)’)29 gtext(’\downarrow f_{1}(x)’)
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18/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Pour obtenir Argsupx>0
fa(x) on a le script suivant :
f8max.m
1 V=version; %Version de Matlab2 a=.6;3 if (V(1)==5) %version 54 xm=fmin(’f8’,1.e-10,2+1/a,[10,1.e-12],a);5 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])6 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-f8(xm,a))])7 else %version 68 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...9 ’iter’,’TolFun’,1e-8);
10 xm=fminbnd(@f8,1.e-10,2+1/a,options,a);11 disp([’xmax= ’,num2str(xm)])12 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-f8(xm,a))])13 end
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 19/39
Fonctions de plusieurs variables
� Notation. Soitf : U ⊆ Rn −→ R. Pourx =
(
x1
x2
)
∈ U on note :
Df(x) =
(
∂f
∂x1(x), . . . ,
∂f
∂xn(x)
)
D2f(x) =
(
∂2f
∂xi ∂xj(x)
)
1≤i,j≤n
Définition 6 Soitf : U ⊆ Rn −→ R et x ∈ U . Alors :
1. x est un maximum global def surU si et seulement si
f(x) ≥ f(x) ∀x ∈ U.
2. x est un maximum local def surU si et seulement si∃ B(x, ε) telle que
f(x) ≥ f(x) ∀x ∈ B(x, ε)
oùB(x, ε) désigne la boule de centrex.
2. x est un minimum global def surU si et seulement si
f(x) ≤ f(x) ∀x ∈ U.
2. x est un minimum local def surU si et seulement si∃ B(x, ε) telle que
f(x) ≤ f(x) ∀x ∈ B(x, ε).
3. x est un point critique def si Df(x) existe et égale à0.
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20/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Définition 7 Soitf : U ⊆ R2 −→ R et x =
(
x1
x2
)
∈ U . Alors :
1. x est un maximum global def surU si :
∂2f
∂x21
(x) < 0 et det(D2f(x)) =
∂2f
∂x21
(x)∂2f
∂x1 ∂x2(x)
∂2f
∂x1 ∂x2(x)
∂2f
∂x21
(x)
> 0.
2. x est un minimum global def surU si :
∂2f
∂x21
(x) > 0 et det(D2f(x)) =
∂2f
∂x21
(x)∂2f
∂x1 ∂x2(x)
∂2f
∂x1 ∂x2(x)
∂2f
∂x21
(x)
> 0.
3. x n’est ni un minimum ni un maximum def surU si :
det(D2f(x)) =
∂2f
∂x21
(x)∂2f
∂x1 ∂x2(x)
∂2f
∂x1 ∂x2(x)
∂2f
∂x21
(x)
< 0.
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 21/39
Sous MATLAB on utilise la fonctionfmins pour déterminer le Arginfx
f(x).
Pour déterminer le Argsupx
f(x) on utilise la relation :
Arg supx
f(x) = Arg infx
(−f(x)).
Pour déterminer le Arginfx
Fvinf on crée la fonction :
function y=Fvinf(v)x1=v(1) ;...xn=v(n) ;y=l’expression deFvinf ;
☞ sauver sous nom :Fvinf.m
☞
Pour obtenir le résultat on crée un script contenant la commande :
xmin=fmins(’Fvinf’,[x(0)1 , . . . , x
(0)n ]) ;
Pour déterminer le Argsupx
Fvsup on crée la fonction :
function y=Fvsup(v)x1=v(1) ;...xn=v(n) ;y=− l’expression deFvsup ;
☞ sauver sous nom :Fvsup.m
☞
Pour obtenir le résultat on crée un script contenant la commande :
xmax=fmins(’Fvsup’,[x(0)1 , . . . , x
(0)n ]) ;
K D.GHORBANZADEH
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22/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Exemple 9 Soit f(x1, x2) = x21 − x1 x2 + x2
2 + 3x1 − 2x2 + 1.
Trouvons les points critiques def , en tout pointx =
(
x1
x2
)
on a :
∂f
∂x1(x) = 2x1 − x2 + 3
∂f
∂x2(x) = −x1 + 2x2 − 2
Le système d’équations∂f
∂x1(x) = 0 et
∂f
∂x2(x) = 0 admet la solution :
x = t(−4
3,1
3). Déterminons la nature dex. On a :
∂2f
∂x21
(x) = 2 et det(D2f(x)) =2 −1
−1 2= 3.
On en déduit quex = t(−4
3,1
3) est un minimum global def .
Pour définir la fonctionf on a la fonction suivante :
fv1.m
1 function y1=fv1(v)2 x1=v(1);3 x2=v(2);4 y1=x1^2-x1*x2+x2^2+3*x1-2*x2+1;
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir Arg inf(x1,x2)
f(x1, x2) on a le script suivant :
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 23/39
fv1min.m
1 clear all2 V=version; %Version de Matlab3 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...4 ’iter’,’TolFun’,1e-10);5 if (V(1)==5) %version 56 xm=fmins(’fv1’,[1,1],[2,1.e-4]);7 disp([’x1min= ’,num2str(xm(1))])8 disp([’x2min= ’,num2str(xm(2))])9 disp([’f(xmin)= ’,num2str(fv1(xm))])
10 else %version 611 xm= fminsearch(@fv1, [1, 1], options);12 disp([’x1min= ’,num2str(xm(1))])13 disp([’x2min= ’,num2str(xm(2))])14 disp([’f(xmin)= ’,num2str(fv1(xm))])15 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir le graphique def on a le script suivant :
fv1GRF.m
1 clear all2 [x,y]=meshgrid(-1.5:.1:.75);3 z=peaks(x,y);4 c=x.^2-x.*y+y.^2+3*x-2*y+1;5 surf(x,y,z,c)6 map(1,:) = [rand(1) rand(1) rand(1)];7 colormap(map)8 axis([-1.5 .75 -1.5 .75 -7.5 3])9 xlabel(’x_1’)
10 ylabel(’x_2’)
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH
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24/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Exemple 10 Soitf(x1, x2) = x31 + x3
2 − 3x1x2.
Déterminons les points critiques def , en tout pointx =
(
x1
x2
)
on a :
∂f
∂x1(x) = 3x2
1 − 3x2
∂f
∂x2(x) = 3x2
2 − 3x1
Le système d’équations∂f
∂x1(x) = 0 et
∂f
∂x2(x) = 0 admet les solutions :
x = t(1, 1) et y = t(0, 0). D’autre part, on a :
D2f(x1, x2) =
∂2f
∂x21
(x1, x2) = 6x1∂2f
∂x1 ∂x2(x1, x2) = −3
∂2f
∂x1 ∂x2(x1, x2) = −3
∂2f
∂x22
(x1, x2) = 6x2
.
Déterminons la nature dex. On a :
∂2f
∂x21
(x) = 6 et det(D2f(x)) =6 −3
−3 6= 27.
On en déduit quex = t(1, 1) est un minimum global def .
Déterminons la nature dey. On a :
∂2f
∂x21
(y) = 0 et det(D2f(y)) =0 −3
−3 0= −9.
On en déduit quey = t(0, 0) n’est ni un minimum ni un maximum.
Pour définir la fonctionf on a la fonction suivante :
fv2.m
1 function y2=fv2(v)2 x1=v(1);3 x2=v(2);4 y2=x1^3+x2^3-3*x1*x2;
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 25/39
Pour obtenir Arg inf(x1,x2)
f(x1, x2) on a le script suivant :
fv2min.m
1 clear all2 V=version; %Version de Matlab3 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...4 ’iter’,’TolFun’,1e-10);5 if (V(1)==5) %version 56 xm=fmins(’fv2’,[.5,.5],[2,1.e-4]);7 disp([’x1min= ’,num2str(xm(1))])8 disp([’x2min= ’,num2str(xm(2))])9 disp([’f(xmin)= ’,num2str(fv2(xm))])
10 else %version 611 xm= fminsearch(@fv2, [.5, .5], options);12 disp([’x1min= ’,num2str(xm(1))])13 disp([’x2min= ’,num2str(xm(2))])14 disp([’f(xmin)= ’,num2str(fv2(xm))])15 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir le graphique def on a le script suivant :
fv2GRF.m
1 clear all2 [x,y]=meshgrid(-1:.1:2);3 z=peaks(x,y);4 c=x.^3+y.^2-3*x.*y;5 surf(x,y,z,c)6 map(1,:) = [rand(1) rand(1) rand(1)];7 colormap(map)8 axis([-1 2 -1 2 -3 10])9 xlabel(’x_1’)
10 ylabel(’x_2’)
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Exemple 11 Soit
f(x1, x2) = (sinx1 + sinx2 + sin(x1 + x2)) l1[0, π
2](x1) l1[0, π
2](x2)
K D.GHORBANZADEH
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26/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Déterminons les points critiques def , en tout pointx =
(
x1
x2
)
on a :
∂f
∂x1(x) = cosx1 + cos(x1 + x2)
∂f
∂x2(x) = cosx2 + cos(x1 + x2)
Le système d’équations∂f
∂x1(x) = 0 et
∂f
∂x2(x) = 0 admet la solution :
x = t(π
3,π
3). D’autre part, on a :
D2f(x1, x2) =
−sinx1 − sin(x1 + x2) −sin(x1 + x2)
−sin(x1 + x2) −sinx2 − sin(x1 + x2)
.
Déterminons la nature dex. On a :
∂2f
∂x21
(x) = −√
3 et det(D2f(x)) =
−√
3 −√
3
2
−√
3
2−√
3
=9
4.
On en déduit quex = t(π
3,π
3) est un maximum global.
Pour définir la fonction−f on a la fonction suivante :
fv3.m
1 function y3=fv3(v)2 x1=v(1);3 x2=v(2);4 y3=-(sin(x1)+sin(x2)+sin(x1+x2));
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir Arg sup(x1,x2)
f(x1, x2) on a le script suivant :
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 27/39
fv3max.m
1 clear all2 V=version; %Version de Matlab3 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...4 ’iter’,’TolFun’,1e-10);5 if (V(1)==5) %version 56 xm=fmins(’fv3’,[0,0],[],[]);7 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])8 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])9 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv3(xm))])
10 else %version 611 xm= fminsearch(@fv3, [0, 0], options);12 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])13 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])14 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv3(xm))])15 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir le graphique def on a le script suivant :
fv3GRF.m
1 clear all2 map(1,:) = [rand(1) rand(1) rand(1)];3 colormap(map)4 [x1,x2]=meshgrid(0:pi/60:pi/2);5 z=sin(x1)+sin(x2)+sin(x1+x2);6 surf(x1,x2,z)7 xlabel(’x_1’)8 ylabel(’x_2’)
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH
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28/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Exemple 12 Soitf(x1, x2) = x1 exp(−x21 − x2
2).
Déterminons les points critiques def , en tout pointx =
(
x1
x2
)
on a :
∂f
∂x1(x) = (1 − 2x2
1) exp(−x21 − x2
2)
∂f
∂x2(x) = −2x1 x2 exp(−x2
1 − x22)
Le système d’équations∂f
∂x1(x) = 0 et
∂f
∂x2(x) = 0 admet les solutions :
x = t(1√2, 0) et y = t(− 1√
2, 0). D’autre part, on a :
D2f(x1, x2) =
2x1(2x2 − 3) exp(−x2
1 − x22) 2x2(2x
21 − 2) exp(−x2
1 − x22)
2x2(2x21 − 2) exp(−x2
1 − x22) 2x1(2x2
2 − 2) exp(−x21 − x2
2)
.
Déterminons la nature dex. On a :
∂2f
∂x21
(x) = −2√
2 e−1/2 et det(D2f(x)) =−2
√2 e−1/2 0
0 −2√
2 e−1/2
= 8 e−1.
On en déduit quex = t(1√2, 0) est un maximum global.
Déterminons la nature dey. On a :
∂2f
∂x21
(y) = 2√
2 e−1/2 et det(D2f(x)) =2√
2 e−1/2 0
0 2√
2 e−1/2
= 8 e−1.
On en déduit quey = t(− 1√2, 0) est un minimum global def .
Pour définir la fonction−f on a la fonction suivante :
fv4.m
1 function y4=fv4(v)2 x1=v(1);3 x2=v(2);4 y4=-x1.*exp(-x1.^2-x2.^2);
c©D.GHORBANZADEH (2004)
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 29/39
Pour obtenir Arg sup(x1,x2)
f(x1, x2) on le le script suivant :
fv4max.m
1 clear all2 V=version; %Version de Matlab3 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...4 ’iter’,’TolFun’,1e-10);5 if (V(1)==5) %version 56 xm=fmins(’fv4’,[.1,.1],[1,1.e-10],[]);7 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])8 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])9 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv4(xm))])
10 else %version 611 xm= fminsearch(@fv4, [.1, .1], options);12 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])13 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])14 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv4(xm))])15 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH
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30/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
Pour obtenir le graphique def on a le script suivant :
fv4GRF.m
1 clear all2 map(1,:) = [rand(1) rand(1) rand(1)];3 colormap(map)4 [x1,x2]=meshgrid(-3:0.15:3);5 z=x1.*exp(-x1.^2-x2.^2);6 surf(x1,x2,z)7 view([-30.5,15])8 xlabel(’x_1’)9 ylabel(’x_2’)
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 31/39
Exemple 13 Soitf(x1, x2) =1
2− sin(x2
1 + x22).
Déterminons les points critiques def , en tout pointx =
(
x1
x2
)
on a :
∂f
∂x1(x) = −x1 cos(x2
1 + x22)
∂f
∂x2(x) = −x2 cos(x2
1 + x22)
Le système d’équations∂f
∂x1(x) = 0 et
∂f
∂x2(x) = 0 admet la solution :
x = t(0, 0). On a :
∂2f
∂x21
(x) = −2 et det(D2f(x)) =−2 0
0 −2= 4.
On en déduit quex = t(0, 0) est un maximum global.
Pour définir la fonction−f on a la fonction suivante :
fv5.m
1 function y5=fv5(v)2 x1=v(1);3 x2=v(2);4 y5=-.5+sin(x1.^2+x2.^2);
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir Arg sup(x1,x2)
f(x1, x2) on a le script suivant :
K D.GHORBANZADEH
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32/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
fv5max.m
1 clear all2 V=version; %Version de Matlab3 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...4 ’iter’,’TolFun’,1e-12);5 if (V(1)==5) %version 56 xm=fmins(’fv5’,[.5,.5],[1,1.e-10],[]);7 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])8 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])9 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv5(xm))])
10 else %version 611 xm= fminsearch(@fv5, [.5,.5], options);12 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])13 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])14 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv5(xm))])15 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir le graphique def on a le script suivant :
fv5GRF.m
1 clear all2 map(1,:) = [.9*rand(1) .8*rand(1) .7*rand(1)];3 colormap(map)4 [x1,x2]=meshgrid(-3:0.1:3);5 z=.5+sin(x1.^2+x2.^2);6 surf(x1,x2,z)7 view([-37,60])8 xlabel(’x_1’)9 ylabel(’x_2’)
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 33/39
Exemple 14 Soit
f(x1, x2) = x31 x2
2 (a − x1 − x2) l1]0,∞[(x1) l1]0,∞[(x2) (a > 0).
Déterminons les points critiques def , en tout pointx =
(
x1
x2
)
on a :
∂f
∂x1(x) = x2
1 x22 (3a − 4x1 − 3x2)
∂f
∂x2(x) = x3
1 x2 (2a − 2x1 − 3x2).
Le système d’équations∂f
∂x1(x) = 0 et
∂f
∂x2(x) = 0 admet la solution :
x = t(a
2,a
3). D’autre part, on a :
D2f(x1, x2) =
6x1 x22 (a − 2x1 − x2) x2
1 x2 (6 a − 8x1 − 9x2)
x21 x2 (6 a − 8x1 − 9x2) 2x3
1 (a − x1 − 3x2)
.
Déterminons la nature dex. On a :
∂2f
∂x21
(x) = −a4
9et det(D2f(x)) =
−a4
9−a4
12
−a4
12−a4
8
=a8
144.
On en déduit quex = t(a
2,a
3) est un maximum global.
Pour définir la fonction−f on a la fonction suivante :
fv6.m
1 function y6=fv6(v,a)2 x1=v(1);3 x2=v(2);4 y6=-x1.^3.*x2.^2.*(a-x1-x2);
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir Arg sup(x1,x2)
f(x1, x2) on a le script suivant :
K D.GHORBANZADEH
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34/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
fv6max.m
1 clear all2 a=12;3 V=version; %Version de Matlab4 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...5 ’iter’,’TolFun’,1e-12);6 if (V(1)==5) %version 57 xm=fmins(’fv6’,[.1,.1],[1,1.e-10],[],a);8 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])9 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])
10 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv6(xm,a))])11 else %version 612 xm= fminsearch(@fv6, [.1,.1], options,a);13 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])14 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])15 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv6(xm,a))])16 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir le graphique def on a le script suivant :
fv6GRF.m
1 clear all2 a=2;3 map(1,:) = [.5*rand(1) .5*rand(1) .5*rand(1)];4 colormap(map)5 [x1,x2]=meshgrid(0:0.05:1);6 z=x1.^3.*x2.^2.*(a-x1-x2);7 surf(x1,x2,z)8 view([-125,25])9 xlabel(’x_1’)
10 ylabel(’x_2’)
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Exemple 15 Déterminer trois nombres strictement positifs dont la somme est égaleàa et dont le produit est maximum.Soit x1, x2 et a − x1 − x2 et soitx1 x2 (a − x1 − x2) leur produit. Par hypothèsex1 > 0, x2 > 0, a − x1 − x2 > 0 soitx1 + x2 < a etx1 x2 (a − x1 − x2) > 0.On cherche donc le Arg sup
(x1,x2)∈∆f(x1, x2) avec
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 35/39
f(x1, x2) = x1 x2 (a − x1 − x2) l1∆(x1, x2)
et ∆ = {(x1, x2) : x1 > 0 , x2 > 0 , a − x1 − x2 > 0}.
Déterminons les points critiques def , en tout pointx =
(
x1
x2
)
on a :
∂f
∂x1(x) = x2 (a − 2x1 − x2)
∂f
∂x2(x) = x1 (a − x1 − 2x2)
Sur le domaine∆ le système d’équations∂f
∂x1(x) = 0 et
∂f
∂x2(x) = 0 admet la
solution :x = t(a
3,a
3). D’autre part, on a :
D2f(x1, x2) =
−2x2 a − 2x1 − 2x2
a − 2x1 − 2x2 −2x1
.
Déterminons la nature dex. On a :
∂2f
∂x21
(x) = −2 a
3et det(D2f(x)) =
−2 a
3−a
3
−a
3−2 a
3
=a2
3.
On en déduit quex = t(a
3,a
3) est un maximum global.
Pour définir la fonction−f on a la fonction suivante :
fv7.m
1 function y7=fv7(v,a)2 x1=v(1);3 x2=v(2);4 y7=-x1.*x2.*(a-x1-x2);
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir Arg sup(x1,x2)
f(x1, x2) on a le script suivant :
K D.GHORBANZADEH
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36/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
fv7max.m
1 clear all2 a=15;3 V=version; %Version de Matlab4 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...5 ’iter’,’TolFun’,1e-12);6 if (V(1)==5) %version 57 xm=fmins(’fv7’,[.1,.1],[1,1.e-10],[],a);8 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])9 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])
10 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv7(xm,a))])11 else %version 612 xm= fminsearch(@fv7, [.1,.1], options,a);13 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])14 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])15 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv7(xm,a))])16 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir le graphique def on a le script suivant :
fv7GRF.m
1 clear all2 a=2;3 map(1,:) = [.5*rand(1) 0 .5];4 colormap(map)5 [x1,x2]=meshgrid(0:0.1:1.5);6 z=x1.*x2.*(a-x1-x2);7 surf(x1,x2,z)8 view([180,180,90])9 xlabel(’x_1’)
10 ylabel(’x_2’)
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH
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Éléments d’Optimisation avec Matlab 37/39
Exemple 16 Soitf(x1, x2) = x1 x2 exp(
−x21 − x1 x2 − x2
2
)
.
Déterminons les points critiques def , en tout pointx =
(
x1
x2
)
on a :
∂f
∂x1(x) = x2 (1 − x1 x2 − 2x2
1) exp(
−x21 − x1 x2 − x2
2
)
∂f
∂x2(x) = x1 (1 − x1 x2 − 2x2
2) exp(
−x21 − x1 x2 − x2
2
)
Le système d’équations∂f
∂x1(x) = 0 et
∂f
∂x2(x) = 0 admet les solutions :x(1) = t(0, 0),
x(2) = t(1,−1) , x(3) = t(−1, 1) , x(4) = t(1√3,
1√3) ,
x(5) = t(− 1√3,− 1√
3). D’autre part, on a :
D2f(x1, x2) = exp(
−x21 − x1 x2 − x2
2
)
A(x1, x2) C(x1, x2)
C(x1, x2) B(x1, x2)
.
avec
A(x1, x2) = x2 (4x31 + 4x2x
21 + x1x
22 − 6x1 − 2x2)
B(x1, x2) = x1 (4x32 + 4x1x
22 + x2
1x2 − 2x1 − 6x2)
C(x1, x2) = (1 − 2x21 − 3x1x2 − 2x2
1 + 2x31x2 + 5x2
1x22 + 2x1x
32).
Déterminons la nature dex(1). On a :
∂2f
∂x21
(x(1)) = 0 et det(D2f(x(1))) = −1.
On en déduit quex(1) = t(0, 0) n’est ni un minimum ni un maximum.
Déterminons la nature dex(2). On a :
∂2f
∂x21
(x(2)) = 3 e−1 et det(D2f(x(2))) =3 e−1 e−1
e−1 3 e−1= 8 e−2.
On en déduit quex(2) = t(1,−1) est un minimum local.
Déterminons la nature dex(3). On a :
∂2f
∂x21
(x(3)) = 3 e−1 et det(D2f(x(3))) =3 e−1 e−1
e−1 3 e−1= 8 e−2.
K D.GHORBANZADEH
'
&
$
%
38/39 Éléments d’Optimisation avec Matlab
On en déduit quex(3) = t(−1, 1) est un minimum local.
Déterminons la nature dex(4). On a :
∂2f
∂x21
(x(4)) = −5 e−1
3et det(D2f(x(4))) =
−53 e−1 −1
3 e−1
−13 e−1 −5
3 e−1=
8
3e−2.
On en déduit quex(4) = t(1√3,
1√3) est un maximum local.
Déterminons la nature dex(5). On a :
∂2f
∂x21
(x(5)) = −5 e−1
3et det(D2f(x(5))) =
−53 e−1 −1
3 e−1
−13 e−1 −5
3 e−1=
8
3e−2.
On en déduit quex(5) = t(− 1√3,− 1√
3) est un maximum local.
Pour définir la fonction−f on a la fonction suivante :
fv8.m
1 function y8=fv8(v)2 x1=v(1);3 x2=v(2);4 y8=-x1.*x2.*exp(-x1.^2-x2.^2-x1.*x2);
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir un maximum local def on a le script suivant :
K D.GHORBANZADEH
'
&
$
%
Éléments d’Optimisation avec Matlab 39/39
fv8max.m
1 clear all2 V=version; %Version de Matlab3 options = optimset(’TolX’,1e-12,’Display’,...4 ’iter’,’TolFun’,1e-12);5 if (V(1)==5) %version 56 xm=fmins(’fv8’,[.1,.1],[],[]);7 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])8 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])9 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv8(xm))])
10 else %version 611 xm= fminsearch(@fv8, [.1,.1], options);12 disp([’x1max= ’,num2str(xm(1))])13 disp([’x2max= ’,num2str(xm(2))])14 disp([’f(xmax)= ’,num2str(-fv8(xm))])15 end
c©D.GHORBANZADEH (2004)
Pour obtenir le graphique def on a le script suivant :
fv8GRF.m
1 clear all2 map(1,:) = [rand(1) rand(1) rand(1)];3 colormap(map)4 [x1,x2]=meshgrid(-4:0.1:4);5 z=x1.*x2.*exp(-x1.^2-x2.^2-x1.*x2);6 surf(x1,x2,z)7 view([-15,20])8 xlabel(’x_1’)9 ylabel(’x_2’)
c©D.GHORBANZADEH (2004)
K D.GHORBANZADEH