ELE-31 Princıpios de Telecomunicacoes
Prof. Manish Sharma
October 26, 2015
5 Modulacao Angular ou exponencial.
Neste capıtulo apresentamos as modulacoes angulares, como gera-las e as consequencias espectrais. Tambemapresentamos metodos de demodulacao e os efeitos que distorcoes e interferencias podem causar.
5.1 Modulacao em Fase e em Frequencia
• Recapitulando, um sinal modulado qualquer pode ser escrito como xc(t) = A(t) · cos(2πf(t) + φ(t)).
• Genericamente, um sinal com envoltoria constante e fase variavel teria a seguinte expressao:
xc(t) = Ac · cos(2πfct+ φ(t)) (1)
• O argumento do cosseno e um angulo, tambem chamado de fase, cujo valor instantaneo na expressaoacima vale:
θc(t) , 2πfct+ φ(t) (2)
• Reescrevendo a expressao acima obtemos:
xc(t) = Ac · cos(θc(t)) = Ac · <{exp(j · φc(t))} (3)
que da origem ao nome modulacao exponencial, que e considerada uma modulacao linear.
• No caso da modulacao em fase (PM-Phase Modulation), o valor de φ(t) vale
φ(t) = φ∆ · x(t), (4)
onde x(t) obedece as convencoes sobre a mensagem adotadas no capıtulo anterior e φ∆ ≤ 180o, para evitarambiguidades. O valor de φ∆ e o maior desvio de fase possıvel.
• Assim, o sinal modulado PM tem o formato:
xPMc (t) = Ac · cos(2πfct+ φ∆ · x(t)) (5)
• O diagrama fasorial deste sinal esta mostrado na figura 1. A velocidade de rotacao do fasor nao e constante.O angulo total e a soma da rotacao 2πfct mais φ(t).
• Assim como a velocidade linear de um objeto e a variacao de posicao de um objeto em uma reta, avelocidade angular e a variacao do angulo. Matematicamente:
f(t) =1
2πω(t) ,
1
2π
dθc(t)
dt= fc +
1
2π
dφ(t)
dt(6)
• A funcao f(t) e a frequencia instantanea de rotacao. Embora a sua unidade seja Hz, o seu valor nao seequivale ao f encontrado no espectro, como veremos em breve.
1
f(t) 2πfct
ϕ(t) A
Figure 1: Diagrama fasorial de um sinal com modulacao FM/PM. Em vermelho a projecao do fasor no eixoreal.
• No caso de modulacao em frequencia (FM-Frequency Modulation), a mensagem esta na frequencia in-stantanea, que vale:
fFM (t) , fc + f∆x(t) (7)
onde f∆ e o maior desvio de frequencia instantanea do sinal e deve ser menor do que fc para que f(t) ≥0,∀t.
• Como para FM a relacao entre fase instantanea e frequencia instantanea e dφ(t)dt = 2πf∆x(t), temos que
a frequencia instantanea pode ser escrita como:
φ(t) = φ(t0) + 2πf∆
∫ t
t0
x(λ)dλ (8)
onde a fase inicial vale φ(t0). Assumiremos por simplicidade que ela vale zero no instante t = 0.
• O sinal modulado e entao:
xFMc (t) = Ac · cos(
2πfct+ 2πf∆
∫ t
0
x(λ)dλ
)(9)
• Se x(t) tiver um nıvel DC diferente de zero, a integral divergira. Na pratica isto equivale a um desvio defrequencia constante que pode sere incorporado a fc.
• As modulacoes PM e FM sao muito parecidas. Uma pode ser obtida a partir da outra com o uso deintegradores ou derivadores, como mostra a tabela 1.
• Em ambos os casos a amplitude do sinal e constante, o que permite afirmar que ST =A2
c
2 F.
• O sinal xc(t) vale zero de forma nao periodica. Se fc for grande o suficiente, a informacao sobre frequenciainstantanea pode ser obtida exclusivamente a partir dos cruzamentos de zero. Esta propriedade serautilizada futuramente na demodulacao de sinais modulados em fase.
2
Modulacao φ(t) f(t)
PM φ∆ · x(t) 12π
dφ(t)dt
FM 2πf∆
∫ t0x(λ)dλ fc + f∆x(t)
Table 1:
• Embora a frequencia instantanea esteja, no caso da modulacao FM, entre fc ± f∆, a banda ocupada emaior do que 2f∆. E possıvel melhorar o desempenho da modulacao FM aumentando o valor de f∆, ateum certo limite.
5.1.1 PM e FM de faixa estreita
• Qualquer sinal em banda passante pode ser escrito como:
xc(t) = xci(t)cos(2πfct)− xcq(t)sin(2πfct) (10)
• Utilizando a serie de Taylor das funcoes seno e cosseno, escrevemos, com base no diagrama fasorialreferenciado em fc:
xci(t) = Accos(φ(t)) = Ac[1− 1
2!φ2(t) + · · ·
]xcq(t) = Acsin(φ(t)) = Ac
[φ(t)− 1
3!φ3(t) + · · ·
] (11)
• Supondo que |φ(t)| << 1 (radiano), temos que xci(t) ≈ Ac e xcq(t) ≈ Acφ(t). A condicao sobre φ(t)caracteriza a modulacao de faixa estreita (narrowband).
• Nestas condicoes:xc(t) ≈ Ac · cos(2πfct)−Acφ(t) · sin(2πfct)
Xc(f) ≈ Ac
2 δ(f − fc) + j2AcΦ(f − fc) para f > 0.
(12)
• Para a modulacao PM, Φ(f) = φ∆X(f). Para FM, Φ(f) = − jf∆X(f)f . Logo, a banda do sinal modulado
sera de aproximadamente 2W , onde W e a banda de x(t).
• Exemplo: quando o sinal de entrada e x(t) = sinc(2Wt), temos que X(f) = 12W Π
(f
2W
). Logo, o espectro
de xc(t) para sinais PM e FM seriam aqueles da figura 2-(a) e (b), respectivamente.
5.1.2 Modulacao tonal.
• E conveniente no caso generico analisar o resultado da modulacao tonal. So e necessario fazer esta analiseuma vez, ao considerarmos que o sinal de entrada e:
x(t) =
{Am · sin(2πfmt) PM
Am · cos(2πfmt) FM(13)
• Ambos os sinais resultariam em φ(t) = β · sin(2πfmt), onde:
β =
{φ∆Am para PM
f∆ · Am
fmpara FM
(14)
• Para que a modulacao seja considerada de faixa estreita, necessitamos que β << 1. Neste caso, o sinalmodulado fica:
xc(t) ≈ Accos(2πfct)−Acβsin(2πfmt) · (sin(2πfc)
= Accos(2πfct) + Acβ2 [cos(2π(fc+ fm)t)− cos(2π(fc− fm)t)]
(15)
cujo espectro e diagrama fasorial estao na figura 3.
3
fc-W
(a) (b)
fc+W
fc
fc-W
fc+W
fc
Figure 2: Espectros resultantes da modulacao (a)-PM e (b)-FM de faixa estreita, quando a mensagem e umasinc.
• Um fasor com frequencia relativa negativa e que garante que a envoltoria do sinal e constante.
• No caso generico para qualquer β, o sinal modulado e:
xc(t) = Ac[cos(φ(t)) · cos(2πfct)− sin(φ(t)) · sin(2πfct)] (16)
• Embora xc(t) nao seja periodico em t, tanto cos(φ(t)) quanto sin(φ(t)) sao periodicos, pois, por exemplo,cos(φ(t)) = cos(β · sin(2πfmt)). Logo, eles possuem podem ser escritos como uma serie de Fourier, dadapor:
cos(β · sin(2πfmt)) = J0(β) +∞∑
n par
2 · J0(β) · cos(2πnfmt)
sin(β · sin(2πfmt)) =
∞∑n ımpar
2 · J0(β) · sin(2πnfmt)
(17)
onde Jn(β) e a funcao de Bessel do primeiro tipo e ordem n, cuja definicao e:
Jn(β) ,1
2π
∫ π
−πexp[j(β · sin(λ)− nλ)]dλ (18)
• Substituindo estes valores em xc(t) chegamos na conclusao que o sinal modulado contem, alem da porta-dora, um numero infinito de senoides separadas igualmente de fm.
• Ao representarmos o espectro unilateral, as frequencias negativas devem ser rebatidas.
• A princıpio, a banda de transmissao de um sinal tonal e infinita.
• Amplitudes das frequencias fc + n · fm, n 6= 0, dependem das funcoes de Bessel, cujas principais pro-priedades sao:
4
fc f
fc+W
fc-W
(a)
𝐴𝑐𝛽
2
𝐴𝑐𝛽
2
𝐴(𝑡)
fm
-fm
(b)
𝐴𝑐
𝐴𝑐𝛽
2
Figure 3: (a)-Espectro aproximado da modulacao tonal e (b)-diagrama fasorial correspondente, referenciadoem fc.
1. A amplitude da portadora depende de J0(β). Consequentemente, depende da mensagem transmitida.Ha valores de β tal que J0(β) = 0.
2. O numero de linhas laterais com amplitudes relevantes (acima de um certo valor) depende de β.Quando β << 1, apenas J0 e J1 sao relevantes, o que confirma a analise anterior. Com β maior,Jn(β) sera relevante para um valor de n maior.
3. Quanto maior o valor de β, maior a banda que contem senoides com amplitude relevante.
• Podemos desenhar Jn(β) em funcao de β, para varios n, como mostrado na figura 4-(a) e (b)-em funcaode n
β . Uma interpretacao das figuras e a seguinte:
– Jn(β) em funcao de nβ e semelhante a uma envoltoria espectral das bandas laterais. Ao multiplicarmos
o eixo horizontal por βfm obtemos a amplitude dos sinais nas frequencias fc + nfm.
– Jn(β) decai monotonicamente para nβ > 1, e |Jn(β)| << 1 para n
β >> 1
• Em FM, e possıvel manter o valor de Am · f∆ e ao mesmo temo aumentar o valor de β ao diminuir fm,pois β = Am·f∆
fm. Isto permite manipular a escolha de β, mantendo o maior desvio em frequencia.
5.1.3 Analise Fasorial
• Voltando ao sinal de faixa estreita e modulacao tonal, temos que o sinal modulado e:
xc(t) ≈ Accos(2πfct)−Acβsin(2πfmt) · (sin(2πfc)) (19)
5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5
0
0.5
1
J n(
)
n = 0
n = 1
n = 2
n = 5
n = 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
n-
J n(
)
= 1
= 2
= 5
= 10
Figure 4: Duas visualizacoes das funcoes de Bessel.
onde φ(t) = βsin(2πfmt). A amplitude e fase deste sinal podem ser aproximadas1:
A(t) =√A2c + (βsin(2πfmt))2
≈ Ac
[1 +
β2
4− β2
4cos(4πfmt)
]φ(t) = arctan
[Acβsin(2πfmt)
Ac
]≈ β · sin(2πfmt)
(20)
• Embora a fase tenha o valor desejado, a amplitude nao. Ela deveria ser constante mas nao e.
• Para corrigir a distorcao em amplitude, acrescentamos termos em fc ± 2fm, o que causaria distorcao nafase.
• Para corrigir esta nova distorcao na fase, adicionarıamos senoides em fc± 3fm, o que novamente causariadistorcao em amplitude(menor do que a distorcao original), e assim suscetivamente.
• Logo, para haver nenhuma distorcao em fase e em amplitude ao mesmo tempo, precisamos adicionartermos em fc ± nfm indefinidamente.
• Os termos de ordem ımpar causam modulacao em frequencia por gerar o termo em quadratura com aportadora, enquanto que os termos de ordem par corrigem a distorcao em amplitude por estarem em fasecom a portadora.
5.2 Banda de transmissao e distorcao
• Em geral, a banda de transmissao que contem todo o sinal e infinita, mesmo que a banda do sinaltransmitido seja finita.
1Aproximamos√
1 + x ≈ 1 + 12x ,primeiros dois termos da serie de Taylor, e arctan(x) ≈ x.
6
• Na pratica, sistemas FM possuem banda finita e funcionam bem, mesmo que isto resulte em uma pequenadistorcao causada pela eliminacao de parte do espectro ideal.
• Deve-se analisar a relacao distorcao/banda ocupada e escolher um valor de banda ocupada que resulteem uma distorcao razoavel.
5.2.1 Estimativa de Banda de Transmissao
• Em geral, a amplitude do espectro cai quanto mais distante de fc, isto e, quanto maior |f − fc|.
• A partir de algum valor de |f − fc|, a amplitude do espectro pode ser considerada insignificante. Osignificado de significancia e variavel e depende do sistema.
• Ha resultados empıricos.
• Retornando a figura Jn(β) × nβ , observamos que o valor de Jn(β) cresce rapido quando |nβ | << 1, espe-
cialmente se β >> 1.
• Logo, |Jn(β)| e significante se |n| << β, isto e, o conteudo espectral significante esta entre os ındices ±β.
• Para obter o equivalente em frequencia, lembramos que na modulacao FM, temos que β = Am · f∆
fm. Logo:
W = n · fm = β · fm = Amf∆
fm· fm = Am · f∆ (21)
isto e, a banda de um sinal FM seria de 2Am · f∆, centralizada em fc.
• Esta conclusao coincide com a intuicao que a energia de um sinal FM estaria na frequencia instantanea,e esta varia entre fc ±Am · f∆.
• Por outro lado, se J0(β) >> Jn 6=0(β)∀n, entao todas as linhas laterais sao relativamente pequenos emrelacao a linha em fc. Isto acontece se β << 1.
• Em um extremo, a conclusao erronea seria de que devemos transmitir somente o termo em fc, ou seja,uma unica senoide cuja frequencia nao varia no tempo. Devemos manter pelo menos os dois primeirostermos (em fc − fm e fc + fm). Logo, para β pequeno, a banda do sinal e aproximadamente de 2fm.
• Em ambos os casos de β, a alteracao de fm da modulacao tonal altera linearmente a banda ocupada. Se umsinal nao for tonal, aproximamos fm pela maior frequencia existente no sinal2. Uma interpretacao possıvele que desta forma estamos calculando a banda ”‘instantanea”’ do sinal modulado quando a frequencia”‘instantanea”’ da mensagem vale fm e que fm < W , a banda da mensagem.
• Qualitativamente podemos definir o espectro significante de outra maneira: considerando o valores de ntal que |Jn(β)| > ε, onde 0.01 < ε < 0.1, dependendo da aplicacao.
• Isto e, se existe M tal que |JM (β)| > ε e |JM+1(β)| < ε, o espectro teria 2M + 1 linhas significativas nototal.
• A banda do sinal pode genericamente ser escrita como:
B = 2 ·Mε(β) · fm (22)
onde Mε(β) e uma funcao de β, parametrizada por ε. O formato desta funcao esta na figura 5. Ela podeser aproximada por M(β) ≈ β + 2.
• Empiricamente, ε = 0.01 e conservador, enquanto que ε = 0.1 pode ser aceitavel mas causa distorcaoperceptıvel.
2Esta aproximacao considera, por exemplo, que a modulacao de um sinal FM composto por duas senoides ocuparia a banda2Am · fmax, onde fmax e a frequencia da senoide mais rapida, ignorando a nao linearidade existente nessa modulacao
7
Figure 5: Formato da funcao Mε(β) para ε = 0.01 e ε = 0.1 (linhas cheias) e aproximacao(linha tracejada).
• O valor de M(β) depende de β que, por sua vez, e inversamente proporcional a fm. Por outro lado, B daequacao acima depende linearmente de fm. Logo, a maior banda ”‘instantanea”’ ocupada por um sinaldepende de alguma forma de fm < W . O seu valor maximo seria a banda de fato do sinal modulado.Usando a aproximacao para M(β), chegamos a :
B ≈ 2(β + 2) · fm = 2 ·(Amf∆)
fm+
)· fm = 2(Amf∆ + 2fm) (23)
• Limitando pela nossa convencao sobre mensagens os valores de Am ≤ 1 e fm < W , concluımos que omaior valor de B ocorre quando Am = 1 e fm = W . Logo:
BFMT = maxB = 2(f∆ + 2W ), se β > 2 (24)
• Isto acontece com o valor β∗ = f∆
W , que nao e o maior de β, mas sim o valor que maximiza a banda.
• Qualquer sinal suave com Am < 1 e fm < W necessitara de uma banda menor.
• Para um mensagem x(t) com banda W e razoavelmente suave, a banda de transmissao seria a definidaacima, pois a frequencia ”‘instantanea”’ do sinal variaria lentamente, assim como a sua integral.
• Esta analise ignora a nao linearidade da modulacao exponencial.
• Pare resolver de forma parcial este problema, definimos a razao de desvio, tambem conhecido como ındicede modulacao:
D ,f∆
W(25)
• O conhecimento de uma funcao do tipo M(D) permitiria definir a banda de transmissao como BT =2M(D) ·W . Entretanto, nao ha como definir M(D).
8
• Para valores extremos de D temos que a banda de transmissao vale:
BT =
{2DW = 2f∆ D >> 1
2W D << 1 (modulacao de faixa estreita)(26)
• Estes resultados podem ser combinados em uma unica expressao que assintoticamente assume os valoresacima:
BT ≈ 2(f∆ +W ) = 2(D + 1)W, (27)
que e chamada de regra de Carson.
• A regra de Carson e uma boa estimativa de banda para D << 2 e D >> 10. Entretanto, na regiao2 < D < 20, a regra de Carson subestima a banda necessaria, empiricamente.
• Uma aproximacao melhor na pratica e usar a seguinte formula:
BT ≈ 2(f∆ + 2W ) = 2(D + 2)W (28)
• Para modulacao de faixa estreita, a regra de Carson superestima a banda necessaria, pois D + 1 > 1.
• As estimativas para banda de FM sao validas para o caso PM utilizando φ∆ no lugar de D. Assim:
BT = 2M(φ∆)W ≈ 2(φ∆ + 1)W (29)
• Caso as mensagens a serem transmitidas possuem descontinuidades no tempo, a frequencia instantaneados mesmos nao varia lentamente. As aproximacoes acima nao seriam validas e seria necessario porexemplo medir a banda de transmissao ou obter alguma expressao analıtica que permita a determinacaoda banda.
• Exemplo: FM comercial
– Por lei, f∆ = 75kHz.
– o sinal de entrada e um sinal de audio com conteudo espectral relevante entre 30Hz e 15kHz. Logo,W = 15kHz.
– Pelas contas acima: D = f∆
W = 5.
– Pela regra de Carson, BT ≈ 2(5 + 1)W = 180kHz.
– Pela regra modificada: BT ≈ 2(5 = 2)W = 210kHz.
– Na pratica, usa-se BT = 200Khz.
– A utilizacao de uma modulacao tonal com fm = 15kHz e com parametros acima resultaria em β = 5e (pela figura) M(β) ≈ 7. A banda de transmissao seria de 210kHz.
– Se fm = 5kHz, o valor de β seria maior, β = 15 e M(15) ≈ 15. Entretanto, a banda seria de 150kHz,menor do que o valor anterior
5.2.2 Distorcao linear
• Nesta secao mostraremos como a modulacao FM e robusta a distorcao linear causada por um canal.
• O problema pode ser modulado como um canal com entrada xc(t), resposta H(f) e saıda yc(t), onde:
xc(t) = Ac<{exp(2πfct+ φ(t)} (30)
• Em banda base equivalente terıamos o sinal:
xlp(t) =1
2exp(jφ(t)) (31)
9
• Sabemos tambem que no domınio da frequencia:
Ylp(f) = H(f + fc) · u(f + fc) ·Xlp(f), (32)
o que resulta no tempo emylp(t) = F [Ylp(f)] (33)
• Em banda passante terıamos entao
yc(t) = 2<{ylp(t) · exp(j2πf + ct)} (34)
• Ha problemas: operacoes Xlp(f) = F{xlp(t)} e ylp(t) = F [Ylp(f)] sao complicadas e exigem analisenumerica. Casos particulares podem ser analisados.
• Por exemplo, o sistema da figura 6 com resposta em amplitude e em fase linear teria a seguinte transfor-mada de Fourier:
Hlp(f) = H(f + fc) · u(f + fc) =
(K0 +
K1
fcf
)· exp[j(−2πtofc − 2πt1f)], (35)
resultando em:
Ylp(f) = K0exp(−j2πfcto)[Xlp(f) · exp(−j2πt1f)] +K1
j2πfcexp(−j2πfct) · [(j2πf) ·Xlp(f) · exp(−j2πt1f)]
(36)
fc
f
arg[H(f)]=exp(-j2πft1)
Linear com
coeficiente 𝐾1
𝑓1
-2πft0
K0
Figure 6: Resposta em frequencia de H(f).
• Aparecem os termos:
– exp(−j2πfct0)→ atraso da portadora;
– exp(−j2πft1)→ atraso de grupo (linear em f);
– j2πf ·Xlp(f)→ derivada de xlp(t) em relacao ao tempo.
10
• Com estas associacoes, conseguimos escrever a TF inversa de Ylp(f):
ylp(t) = K0 exp(−j2πfct0) · xlp(t− t1) +K1
j2πfcexp(−j2πfct0)
dx(t− t1)
dt(37)
• A derivada de x(t) vale:
dx(t−t1)dt =
d
dt
{1
2Ac · exp[jφ(t− t1)]
}=j
2Ac
(dφ(t− t1)
dt
)exp(jφ(t− t1))
(38)
• Substituindo tudo na equacao de ylp(t) chegamos a3:
ylp(t) = Kd exp[−j2πfct0]·(
1
2Acexp(jφ(t− t1))
)+
K1
j2πfcexp[−j2πfct0]
j
2Ac
(dφ(t− t1)
dt
)exp(jφ(t−t1))
(39)
• Este sinal em banda passante equivale a:
yc(t) = A(t)cos[2πfc(t− t0) + φ(t− t1)] (40)
onde:
A(t) = Ac
[Kd +
K1
2πfc
dφ(t− t1)
dt
](41)
• Para sinais FM, temos a relacao dφ(t−t1)dt 2πf∆x(t). Neste caso:
A(t) = Ac
[Kd +K1
f∆
fcx(t)
](42)
• Pela ultima equacao percebe-se que, quando o sinal FM passa por um sistema com a resposta em frequenciadefinida, o sinal resultante sera, alem de modulado em frequencia, tambem modulado em amplitude.
• Este processo e chamado de conversao FM-AM.Um detector de envoltoria poderia ser utilizado pararecuperar a mensagem, pois este detector e insensıvel a variacoes na frequencia da portadora de modulacoesAM.
• A modulacao em amplitude teria ındice d emodulacao µ = K1f∆
Kdfc.
• Nao ha maiores problemas neste metodo a nao ser que a distorcao causada pelo sistema cause distorcaode fase do sinal, que e onde esta a informacao.
5.2.3 Distorcao nao linear e limitadores
• Distorcao em amplitude pode causar conversao FM-AM.
• Caso indesejada, esta distorcao pode ser eliminada traves de um elemento nao linear controlada seguidade alguma filtragem.
• Para esta analise, usaremos o sinal vin(t) = A(t) ·cos(θc(t)), onde A(t) e a amplitude e θc(t) = 2πfct+φ(t)e a fase.
• Este sinal passa por um dispositivo nao linear sem memoria, gerando um sinal vout(t). A relacao entreentrada e saıda deste dispositivo e dada por uma funcao T [·]. A ausencia de memoria quer dizer quevout(t = t∗) = T [vin(t = t∗)], isto e, a saıda no instante t∗ depende somente do valor de entrada noinstante t∗.
3Mantemos o j para mostrar que ele se cancelara
11
• A funcao vin(t) nao e necessariamente periodica em t, mas e periodica em θc(t) com perıodo 2π.
• Logo, vout(t) tambem e uma funcao periodica de θc(t) com perıodo 2π, o que nos permite escrever a suaserie de Fourier (em relacao a θc(t)) como4”’:
vout(t) =
∞∑n=1
|2an| · cos(nθc + arg(an))
an =1
2π
∫2π
T [vin(θc)]exp(−jnθc)dθc(43)
• Se a amplitude de T [vin(t)] varia com o tempo, os coeficientes an tambem variarao. Por outro lado, seesta amplitude nao varia com o tempo, os coeficientes serao constantes. Neste caso, o sinal de saıda e:
vout(t) = |2a1|cos(2πfct+ φ(t) + arg(a1)) + |2a2|cos(4πfct+ 2φ(t) + arg(a1)) + · · · (44)
• Pela expressao acima percebe-se que a distorcao nao linear gera modulacoes FM adicionais em harmonicosda frequencia central, com amplitudes constantes |2an| e modulacao em fase por nφ(t), mas uma faseconstante.
• Se estas modulacoes nao se sobreporem significantemente no espectro, o primeiro termo do somatorioacima poderia ser isolado utilizando um filtro passa faixas centrado em fc.
• Um elemento nao linear que tornaria a amplitude constante seria um limitador ideal, tambem conhecidocomo clipper. A relacao entre entrada e saıda e, em funcao de θc, e:
vout =
{v0 − π
2 < φ < π2
−v0π2 < φ < 3π
2
(45)
• Nesta situacao, os valores dos coeficientes sao:
an =
2v0
nπ n = 1,5,9,· · ·−2v0
nπ n = 3,7,11,· · ·0 n = 2,4,6,· · ·
(46)
• O resultado e o sinal:
vout(t) =4v0
πcos(2πfct+ φ(t))− 4v0
3πcos(6πfct+ 2φ(t)) + · · · (47)
• Mesmo filtrando, o primeiro termo contem mais do que 80% da potencia do sinal F.
• Amplificadores nao lineares podem, pelo meso raciocınio, serem utilizados para gerar sinais FM comgrande eficiencia em potencia.
• O mesmo metodo tambem pode ser utilizado para corrigir pequenas variacoes na amplitude do sinal nomomento da recepcao.
5.3 Geracao e deteccao de sinais FM
• O componente chave para geracao de sinais FM e um VCO - Voltage Controlled Oscillator. Versoesmodernas equivalentes sao DCO - Digitally Controlled Oscillator.
• Em um VCO, o sinal de saıda e uma senoide cuja frequencia varia instantaneamente com o nıvel do sinalde entrada. Pode haver um termo constante, de modo que f(t) = fc + k · x(t), onde x(t) e o nıvel deentrada e k e uma constante.
12
(a) (b)
(c) (d)
FM PM
Mo
du
lador
Dem
odula
dor
VCO 𝑑
𝑑𝑡 VCO x(t) xc(t) x(t) xc(t)
𝑑
𝑑𝑡 ENV xc(t) x(t)
𝑑
𝑑𝑡 ENV xc(t) xc(t)
𝑑
𝑑𝑡
Figure 7: Modulador e demodulador para sinais FM e PM
• Utilizando um VCO, os moduladores FM e PM teriam diagrama de blocos da figura 7-(a) e (b), respec-tivamente.
• Ha tres tipos uteis de demoduladores AM:
– Conversor FM-AM
– Discriminador de variacao de fase
– Detector de cruzamentos de zero.
5.3.1 Conversor FM-AM
• Um detector de envoltoria pode ser utilizado para detectar sinais FM desde que haja uma conversaoFM-AM.
• Como visto nas secoes anteriores, um sistema cuja resposta em frequencia tenha modulo linear emfrequencia pode causar esta conversao.
• Outros dispositivos podem realizar esta operacao, desde que de alguma forma a derivada do sinal apareca.
• Assim, se xc(t) = Ac · cos(θc(t)), temos:
dx(t)
dt= −Ac dθc(t)
dt · sin(θc(t))
= 2πAc[fc + f∆ · x(t)] · sin(θc(t)± 180o)(48)
• Como [fc+f∆ ·x(t)] ≥ 1] sempre, nao ha inversao de fase do sinal e a envoltoria e proporcional a mensagem.
• A derivada pode alternativamente implementada por um circuito sintonizado. No tempo discreto, aderivada deve ser aproximada por equacoes de diferencas.
• Um diagrama que utiliza um detector de envoltoria para recuperar a mensagem esta mostrado na figura8.
4Omitimos t em θc(t) para facilitar o entendimento da periodicidade de vout(t) em relacao a θc(t).
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Limitador FPF 𝑑
𝑑𝑡 ENV
Remove
DC xc(t) KDx(t)
Figure 8: Detector de envoltoria precedido de corretor de distorcao em amplitude
5.3.2 Discriminador de variacao de fase
• Em vez de utilizar um circuito cuja saıda varia linearmente com a fase, podemos utilizar um discriminadorde variacao de fase.
• Para t1 pequeno, a derivada de um sinal pode ser aproximada como:
dv(t)
dt≈ 1
t1[v(t)− v(t− t1)] (49)
• Para FM, temos:dφ(t)
dt= 2πf∆x(t)
φ(t)− φ(t− t1) ≈ t1 ·dφ(t)
dt= 2πf∆t1 · x(t)
(50)
, isto e, a diferenca de fase em dois instantes proximos e aproximadamente proporcional a mensagem.
• Um atraso pode ser obtido atraves de uma linha de atraso. Utilizando a aproximacao sin(x) ≈ x para xpequeno, podemos utilizar o diagrama da figura 9.
5.3.3 Detector de cruzamentos de zero
• Um detector de cruzamentos de zero esta apresentado na figura 10. Os elementos deste circuito sao:
– Um limitador, cuja saıda e uma onda retangular com frequencia variavel.
– Um circuito monoestavel, que tem dois estados: ativo e inativo. Quando o sinal de entrada destecircuito cruza o zero no sentido negativo/positivo, o circuito fica ativo por um curto perıodo detempo, retornando ao estado inativo. Assim, a cada cruzamento de zero no sentido indicado, ocircuito monoestavel emite um pulso retangular curto com largura τ e amplitude A.
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Limitador FPF
Desvio de fase
FPB xc(t) KDx(t) X cos(2πfct+ϕ(t))
sin(2πfct+ϕ(t))
Figure 9: Demodulador utilizando discriminador de fase.
– Um integrador janelado, cuja saıda vale a integral do sinal de entrada entre os instantes t − T e t.Funciona como um contador de quantos pulsos foram emitidos pelo circuito monoestavel nos ultimosT segundos.
– Um eliminador de nıvel DC
• A ideia do detector de cruzamento de zero e que, se W << 1T << fc, o intervalo entre cruzamentos de
zero sera praticamente constante durante varios pulsos. Isto e, 1f(t) permanece praticamente constante
durante T segundos.
• Nesta janela de tempo, teremos nT ≈ T · f(t) cruzamentos de zero no intervalo, que serao contados pelointegrador janelado, resultado em:
1
T
∫ t
t−Tv(λ)dλ =
1
ntAτ ≈ Aτf(t) (51)
• Apos eliminacao do valor medio fc, obtemos a saıda yD(t) ≈ KD · f∆ · x(t), onde KD e uma constante dedeteccao.
• Detectores comerciais apresentam erro de demodulacao menor do que 0.1% para valores de fc entre 1Hze 10MHz.
• Utilizando um divisor por L (que emite um pulso a cada L pulsos recebidos), a faixa de operacao (e oerro) de um detector aumenta por L.
• A vantagem deste tipo de detector e que eles sao facilmente implementaveis em circuitos digitais.
5.4 Exercıcios
Questoes 1 2 3 4 5 7 9 12 13Problemas: 5.1.1 5.1.4 5.1.8 5.1.12 5.1.15 5.1.17 5.2.1 5.2.3 5.2.5 5.2.8 5.2.9
5.2.16 5.3.10
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Limitador Circuito
Monoestável
1
𝑇 𝑡
𝑡−𝑇
Remove DC xc(t) KDfΔx(t)
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
xc(t)
sgn(xc(t))
Pulsos
Figure 10: Detector de cruzamentos de zero.
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