El TeoremaFundamental
Introduccion
Un problematecnico
El TeoremaFundamental
Dos corolariosimportantes
Derivacion defuncionesintegrales
El Teoremade Cambio deVariable
Integracionpor partes
El Teorema Fundamental del Calculo
Departamento de Analise Matematica
Facultade de Matematicas
Universidade de Santiago de Compostela
Santiago, 2011
El TeoremaFundamental
Introduccion
Un problematecnico
El TeoremaFundamental
Dos corolariosimportantes
Derivacion defuncionesintegrales
El Teoremade Cambio deVariable
Integracionpor partes
IntroduccionLa Regla de Barrow: un resultado sorprendente
Recordemos que f es integrable en I = [a, b] y su integral en Ivale A ∈ R si se cumplen las dos siguientes definiciones(equivalentes):
1 ∫ b
af =
∫ b
af = A.
2 Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si P ∈ P(I ) cumple‖P‖ < δ entonces |S(f ; P)− A| < ε para cualquiereleccion de puntos intermedios.
¿De donde sale la Regla de Barrow?∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a) si F ′ = f en I y f continua en I .
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Un problematecnico
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Derivacion defuncionesintegrales
El Teoremade Cambio deVariable
Integracionpor partes
IntroduccionLa Regla de Barrow: un resultado sorprendente
Recordemos que f es integrable en I = [a, b] y su integral en Ivale A ∈ R si se cumplen las dos siguientes definiciones(equivalentes):
1 ∫ b
af =
∫ b
af = A.
2 Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si P ∈ P(I ) cumple‖P‖ < δ entonces |S(f ; P)− A| < ε para cualquiereleccion de puntos intermedios.
¿De donde sale la Regla de Barrow?∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a) si F ′ = f en I y f continua en I .
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Un problematecnico
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Dos corolariosimportantes
Derivacion defuncionesintegrales
El Teoremade Cambio deVariable
Integracionpor partes
Un problema tecnicoTiene que ver con la aditividad con respecto al intervalo de integracion
Recordemos que si f : [a, b] −→ R es integrable en [a, b] sedefine ∫ a
bf (x) dx = −
∫ b
af (x) dx .
Problema. Demuestra que si f : I = [a, b] −→ R es integrableen I entonces para cualesquiera x , y , z ∈ I se tiene que∫ y
xf (s) ds −
∫ z
xf (s) ds =
∫ y
zf (s) ds.
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Integracionpor partes
Un problema tecnicoTiene que ver con la aditividad con respecto al intervalo de integracion
Recordemos que si f : [a, b] −→ R es integrable en [a, b] sedefine ∫ a
bf (x) dx = −
∫ b
af (x) dx .
Problema. Demuestra que si f : I = [a, b] −→ R es integrableen I entonces para cualesquiera x , y , z ∈ I se tiene que∫ y
xf (s) ds −
∫ z
xf (s) ds =
∫ y
zf (s) ds.
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Un problematecnico
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Dos corolariosimportantes
Derivacion defuncionesintegrales
El Teoremade Cambio deVariable
Integracionpor partes
La funcion integral indefinida
Sea f : I = [a, b] −→ R una funcion integrable en I .Definicion. Una integral indefinida de f es cualquier funcionde la forma
F : x ∈ I 7−→ F (x) =
∫ x
x0
f (s) ds,
donde x0 ∈ I esta fijado de antemano.
Teorema. En las condiciones de la definicion anterior, lafuncion F es lipschitziana en I (y, por tanto, continua en I ).
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Dos corolariosimportantes
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Integracionpor partes
La funcion integral indefinida
Sea f : I = [a, b] −→ R una funcion integrable en I .Definicion. Una integral indefinida de f es cualquier funcionde la forma
F : x ∈ I 7−→ F (x) =
∫ x
x0
f (s) ds,
donde x0 ∈ I esta fijado de antemano.Teorema. En las condiciones de la definicion anterior, lafuncion F es lipschitziana en I (y, por tanto, continua en I ).
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Derivacion defuncionesintegrales
El Teoremade Cambio deVariable
Integracionpor partes
El Teorema Fundamental del CalculoRelaciona los calculos diferencial e integral
Teorema Fundamental del Calculo.Sean f : I = [a, b] −→ R integrable en I , x0 ∈ I , y la funcionintegral indefinida
F : x ∈ I 7−→ F (x) =
∫ x
x0
f (s) ds.
Si f es continua en un punto c ∈ I entonces F es derivable enc y F ′(c) = f (c).
Nota. Si c es un extremo del intervalo se entiende que F ′ es lacorrespondiente derivada lateral.
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Teorema Fundamental del Calculo.Sean f : I = [a, b] −→ R integrable en I , x0 ∈ I , y la funcionintegral indefinida
F : x ∈ I 7−→ F (x) =
∫ x
x0
f (s) ds.
Si f es continua en un punto c ∈ I entonces F es derivable enc y F ′(c) = f (c).
Nota. Si c es un extremo del intervalo se entiende que F ′ es lacorrespondiente derivada lateral.
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Integracionpor partes
Dos corolarios importantesExistencia de primitivas para las funciones continuas y la Regla de Barrow
Corolario (Existencia de primitivas para las funcionescontinuas). Si f : J −→ R es continua en un intervalo J (nonecesariamente cerrado o acotado), entonces para cualquierx0 ∈ J fijado la funcion integral indefinida
F : x ∈ J 7−→ F (x) =
∫ x
x0
f (s) ds,
es una primitiva de f (es decir, F ′(x) = f (x) para todo x ∈ J).Ademas, cualquier otra primitiva de f es de la formaG (x) = F (x) + k para todo x ∈ J y para un cierto valor k ∈ R.
Corolario (Regla de Barrow). Si f : I = [a, b] −→ R escontinua en I y F es una primitiva de f entonces∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a).
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Dos corolarios importantesExistencia de primitivas para las funciones continuas y la Regla de Barrow
Corolario (Existencia de primitivas para las funcionescontinuas). Si f : J −→ R es continua en un intervalo J (nonecesariamente cerrado o acotado), entonces para cualquierx0 ∈ J fijado la funcion integral indefinida
F : x ∈ J 7−→ F (x) =
∫ x
x0
f (s) ds,
es una primitiva de f (es decir, F ′(x) = f (x) para todo x ∈ J).Ademas, cualquier otra primitiva de f es de la formaG (x) = F (x) + k para todo x ∈ J y para un cierto valor k ∈ R.
Corolario (Regla de Barrow). Si f : I = [a, b] −→ R escontinua en I y F es una primitiva de f entonces∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a).
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El Teoremade Cambio deVariable
Integracionpor partes
Dos corolarios importantesNotas sobre la existencia de primitivas para las funciones continuas
1 El primer corolario no solo asegura la existencia deprimitivas para las funciones continuas, sino que tambiennos dice como son:
si f es continua en el intervalo Jentonces todas sus primitivas son de la forma
F (x) = k+
∫ x
x0
f (s) ds (x ∈ J), con x0 ∈ J y k ∈ R fijados.
2 No siempre las funciones elementales tienen primitivaselementales. Por ejemplo, F (x) =
∫ x0 e−s
2ds es una
primitiva de f (x) = e−x2, pero F no se puede expresar en
terminos de funciones elementales.
3 Las funciones discontinuas pueden tener primitivas o no¿Ejemplo de cada una?
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Dos corolarios importantesNotas sobre la existencia de primitivas para las funciones continuas
1 El primer corolario no solo asegura la existencia deprimitivas para las funciones continuas, sino que tambiennos dice como son: si f es continua en el intervalo Jentonces todas sus primitivas son de la forma
F (x) = k+
∫ x
x0
f (s) ds (x ∈ J), con x0 ∈ J y k ∈ R fijados.
2 No siempre las funciones elementales tienen primitivaselementales. Por ejemplo, F (x) =
∫ x0 e−s
2ds es una
primitiva de f (x) = e−x2, pero F no se puede expresar en
terminos de funciones elementales.
3 Las funciones discontinuas pueden tener primitivas o no¿Ejemplo de cada una?
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Dos corolarios importantesNotas sobre la existencia de primitivas para las funciones continuas
1 El primer corolario no solo asegura la existencia deprimitivas para las funciones continuas, sino que tambiennos dice como son: si f es continua en el intervalo Jentonces todas sus primitivas son de la forma
F (x) = k+
∫ x
x0
f (s) ds (x ∈ J), con x0 ∈ J y k ∈ R fijados.
2 No siempre las funciones elementales tienen primitivaselementales.
Por ejemplo, F (x) =∫ x
0 e−s2
ds es una
primitiva de f (x) = e−x2, pero F no se puede expresar en
terminos de funciones elementales.
3 Las funciones discontinuas pueden tener primitivas o no¿Ejemplo de cada una?
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Dos corolarios importantesNotas sobre la existencia de primitivas para las funciones continuas
1 El primer corolario no solo asegura la existencia deprimitivas para las funciones continuas, sino que tambiennos dice como son: si f es continua en el intervalo Jentonces todas sus primitivas son de la forma
F (x) = k+
∫ x
x0
f (s) ds (x ∈ J), con x0 ∈ J y k ∈ R fijados.
2 No siempre las funciones elementales tienen primitivaselementales. Por ejemplo, F (x) =
∫ x0 e−s
2ds es una
primitiva de f (x) = e−x2, pero F no se puede expresar en
terminos de funciones elementales.
3 Las funciones discontinuas pueden tener primitivas o no¿Ejemplo de cada una?
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Dos corolarios importantesNotas sobre la existencia de primitivas para las funciones continuas
1 El primer corolario no solo asegura la existencia deprimitivas para las funciones continuas, sino que tambiennos dice como son: si f es continua en el intervalo Jentonces todas sus primitivas son de la forma
F (x) = k+
∫ x
x0
f (s) ds (x ∈ J), con x0 ∈ J y k ∈ R fijados.
2 No siempre las funciones elementales tienen primitivaselementales. Por ejemplo, F (x) =
∫ x0 e−s
2ds es una
primitiva de f (x) = e−x2, pero F no se puede expresar en
terminos de funciones elementales.
3 Las funciones discontinuas pueden tener primitivas o no¿Ejemplo de cada una?
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Derivacion defuncionesintegrales
El Teoremade Cambio deVariable
Integracionpor partes
Dos corolarios importantesNotas sobre la Regla de Barrow
1 En ocasiones podemos usar la Regla de Barrow aunque enprincipio no se cumplan sus hipotesis.
Por ejemplo, cuandotenemos una cantidad finita de discontinuidades, todasellas evitables; en el calculo de integrales de funcionescontinuas a trozos quiza podamos aplicar la Regla deBarrow al calcular la integral en cada trozo.
2 Existe una version mas general de la Regla de Barrow.Segundo Teorema Fundamental del Calculo. Sif : I = [a, b] −→ R es integrable en I y F es una
primitiva de f , entonces∫ ba f (x) dx = F (b)− F (a).
Ejercicio. Encuentra un ejemplo de una funcion f quesatisfaga las condiciones del Segundo TeoremaFundamental y no las de la Regla de Barrow.
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Dos corolarios importantesNotas sobre la Regla de Barrow
1 En ocasiones podemos usar la Regla de Barrow aunque enprincipio no se cumplan sus hipotesis. Por ejemplo, cuandotenemos una cantidad finita de discontinuidades, todasellas evitables
; en el calculo de integrales de funcionescontinuas a trozos quiza podamos aplicar la Regla deBarrow al calcular la integral en cada trozo.
2 Existe una version mas general de la Regla de Barrow.Segundo Teorema Fundamental del Calculo. Sif : I = [a, b] −→ R es integrable en I y F es una
primitiva de f , entonces∫ ba f (x) dx = F (b)− F (a).
Ejercicio. Encuentra un ejemplo de una funcion f quesatisfaga las condiciones del Segundo TeoremaFundamental y no las de la Regla de Barrow.
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Dos corolarios importantesNotas sobre la Regla de Barrow
1 En ocasiones podemos usar la Regla de Barrow aunque enprincipio no se cumplan sus hipotesis. Por ejemplo, cuandotenemos una cantidad finita de discontinuidades, todasellas evitables; en el calculo de integrales de funcionescontinuas a trozos quiza podamos aplicar la Regla deBarrow al calcular la integral en cada trozo.
2 Existe una version mas general de la Regla de Barrow.Segundo Teorema Fundamental del Calculo. Sif : I = [a, b] −→ R es integrable en I y F es una
primitiva de f , entonces∫ ba f (x) dx = F (b)− F (a).
Ejercicio. Encuentra un ejemplo de una funcion f quesatisfaga las condiciones del Segundo TeoremaFundamental y no las de la Regla de Barrow.
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1 En ocasiones podemos usar la Regla de Barrow aunque enprincipio no se cumplan sus hipotesis. Por ejemplo, cuandotenemos una cantidad finita de discontinuidades, todasellas evitables; en el calculo de integrales de funcionescontinuas a trozos quiza podamos aplicar la Regla deBarrow al calcular la integral en cada trozo.
2 Existe una version mas general de la Regla de Barrow.Segundo Teorema Fundamental del Calculo. Sif : I = [a, b] −→ R es integrable en I y F es una
primitiva de f , entonces∫ ba f (x) dx = F (b)− F (a).
Ejercicio. Encuentra un ejemplo de una funcion f quesatisfaga las condiciones del Segundo TeoremaFundamental y no las de la Regla de Barrow.
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Dos corolarios importantesNotas sobre la Regla de Barrow
1 En ocasiones podemos usar la Regla de Barrow aunque enprincipio no se cumplan sus hipotesis. Por ejemplo, cuandotenemos una cantidad finita de discontinuidades, todasellas evitables; en el calculo de integrales de funcionescontinuas a trozos quiza podamos aplicar la Regla deBarrow al calcular la integral en cada trozo.
2 Existe una version mas general de la Regla de Barrow.Segundo Teorema Fundamental del Calculo. Sif : I = [a, b] −→ R es integrable en I y F es una
primitiva de f , entonces∫ ba f (x) dx = F (b)− F (a).
Ejercicio. Encuentra un ejemplo de una funcion f quesatisfaga las condiciones del Segundo TeoremaFundamental y no las de la Regla de Barrow.
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Derivacion defuncionesintegrales
El Teoremade Cambio deVariable
Integracionpor partes
Derivacion de funciones integralesEsto es otra consecuencia del Teorema Fundamental del Calculo
Nos planteamos ahora como calcular derivadas de funciones deltipo
x 7−→∫ h(x)
g(x)f (s) ds.
Proposicion. Si f : I −→ R es continua en el intervalo I ,g , h : J −→ R son derivables en el intervalo J y g(x), h(x) ∈ Ipara todo x ∈ J, entonces para todo x ∈ J tenemos que(∫ h(x)
g(x)f (s) ds
)′= f (h(x))h′(x)− f (g(x))g ′(x).
Ejemplo. Calcula la derivada de la funcion
G (x) =
∫ cos x
sen xe−s
2ds (x ∈ R).
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Nos planteamos ahora como calcular derivadas de funciones deltipo
x 7−→∫ h(x)
g(x)f (s) ds.
Proposicion. Si f : I −→ R es continua en el intervalo I ,g , h : J −→ R son derivables en el intervalo J y g(x), h(x) ∈ Ipara todo x ∈ J, entonces para todo x ∈ J tenemos que(∫ h(x)
g(x)f (s) ds
)′= f (h(x))h′(x)− f (g(x))g ′(x).
Ejemplo. Calcula la derivada de la funcion
G (x) =
∫ cos x
sen xe−s
2ds (x ∈ R).
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Nos planteamos ahora como calcular derivadas de funciones deltipo
x 7−→∫ h(x)
g(x)f (s) ds.
Proposicion. Si f : I −→ R es continua en el intervalo I ,g , h : J −→ R son derivables en el intervalo J y g(x), h(x) ∈ Ipara todo x ∈ J, entonces para todo x ∈ J tenemos que(∫ h(x)
g(x)f (s) ds
)′= f (h(x))h′(x)− f (g(x))g ′(x).
Ejemplo. Calcula la derivada de la funcion
G (x) =
∫ cos x
sen xe−s
2ds (x ∈ R).
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Integracionpor partes
Cambio de variable en la integral definida¡No sera necesario deshacer los cambios de variable!
Teorema de Cambio de Variable en la integral definida.La formula de cambio de variable∫ G(b)
G(a)f (x) dx =
∫ b
af (G (t)) G ′(t) dt
es valida si G : I = [a, b] −→ R es continuamente derivable enI y f es integrable en G (I ).
Nota para recordar la formula. En la primera integralhacemos x = G (t), de donde dx = G ′(t) dt.Solamente lo demostraremos en el caso “f continua”.Al contrario que el en Teorema de Cambio de Variable para elcalculo de primitivas, la funcion de cambio de variable G nonecesita ser inyectiva.
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Cambio de variable en la integral definida¡No sera necesario deshacer los cambios de variable!
Teorema de Cambio de Variable en la integral definida.La formula de cambio de variable∫ G(b)
G(a)f (x) dx =
∫ b
af (G (t)) G ′(t) dt
es valida si G : I = [a, b] −→ R es continuamente derivable enI y f es integrable en G (I ).Nota para recordar la formula. En la primera integralhacemos x = G (t), de donde dx = G ′(t) dt.
Solamente lo demostraremos en el caso “f continua”.Al contrario que el en Teorema de Cambio de Variable para elcalculo de primitivas, la funcion de cambio de variable G nonecesita ser inyectiva.
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Cambio de variable en la integral definida¡No sera necesario deshacer los cambios de variable!
Teorema de Cambio de Variable en la integral definida.La formula de cambio de variable∫ G(b)
G(a)f (x) dx =
∫ b
af (G (t)) G ′(t) dt
es valida si G : I = [a, b] −→ R es continuamente derivable enI y f es integrable en G (I ).Nota para recordar la formula. En la primera integralhacemos x = G (t), de donde dx = G ′(t) dt.Solamente lo demostraremos en el caso “f continua”.
Al contrario que el en Teorema de Cambio de Variable para elcalculo de primitivas, la funcion de cambio de variable G nonecesita ser inyectiva.
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Teorema de Cambio de Variable en la integral definida.La formula de cambio de variable∫ G(b)
G(a)f (x) dx =
∫ b
af (G (t)) G ′(t) dt
es valida si G : I = [a, b] −→ R es continuamente derivable enI y f es integrable en G (I ).Nota para recordar la formula. En la primera integralhacemos x = G (t), de donde dx = G ′(t) dt.Solamente lo demostraremos en el caso “f continua”.Al contrario que el en Teorema de Cambio de Variable para elcalculo de primitivas, la funcion de cambio de variable G nonecesita ser inyectiva.
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Cambio de variable en la integral definidaAplicaciones practicas: Caso Facil y Caso No Tan Facil
Como usar el cambio de variable en la integral definida.∫ G(b)
G(a)f (x) dx︸ ︷︷ ︸
(I )
=
∫ b
af (G (t)) G ′(t) dt︸ ︷︷ ︸
(II )
.
Ejemplo del Caso Facil (Partimos de la integral (II), porlo que la funcion de cambio G y su dominio se encuentranentre los datos del problema.)
(a) Calcula la∫ π/4
0
√sen t cos t dt.
(b) Calcula la∫ √
sen t cos t dt.
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Como usar el cambio de variable en la integral definida.∫ G(b)
G(a)f (x) dx︸ ︷︷ ︸
(I )
=
∫ b
af (G (t)) G ′(t) dt︸ ︷︷ ︸
(II )
.
Ejemplo del Caso Facil (Partimos de la integral (II), porlo que la funcion de cambio G y su dominio se encuentranentre los datos del problema.)
(a) Calcula la∫ π/4
0
√sen t cos t dt.
(b) Calcula la∫ √
sen t cos t dt.
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Cambio de variable en la integral definidaAplicaciones practicas: Caso Facil y Caso NO TAN Facil
Como usar el cambio de variable en la integral definida.∫ G(b)
G(a)f (x) dx︸ ︷︷ ︸
(I )
=
∫ b
af (G (t)) G ′(t) dt︸ ︷︷ ︸
(II )
.
Ejemplo del Caso NO TAN Facil (Partimos de la integral(I), por lo que la funcion de cambio G NO se encuentraentre los datos del problema.)
(a) Calcula la∫ 1−1
√1− x2 dx .
(b) Calcula la∫ √
1− x2 dx .(c) Repite el apartado (a) usando la misma funcion de cambiopero con dominio en [−π/2, π/2 + 2π].
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Cambio de variable en la integral definidaAplicaciones practicas: Caso Facil y Caso NO TAN Facil
Como usar el cambio de variable en la integral definida.∫ G(b)
G(a)f (x) dx︸ ︷︷ ︸
(I )
=
∫ b
af (G (t)) G ′(t) dt︸ ︷︷ ︸
(II )
.
Ejemplo del Caso NO TAN Facil (Partimos de la integral(I), por lo que la funcion de cambio G NO se encuentraentre los datos del problema.)
(a) Calcula la∫ 1−1
√1− x2 dx .
(b) Calcula la∫ √
1− x2 dx .(c) Repite el apartado (a) usando la misma funcion de cambiopero con dominio en [−π/2, π/2 + 2π].
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Cambio de variable en la integral definidaSegunda version: solamente para cambios biyectivos
Segunda version del Teorema de Cambio de Variable.La formula de cambio de variable∫ G(b)
G(a)f (x) (G−1)′(x) dx =
∫ b
af (G (t)) dt
es valida si G : I = [a, b] −→ R es continuamente derivable enI , G ′(t) 6= 0 para todo t ∈ I , y f es integrable en G (I ).Ejemplo. Calcular ∫ π2
(π/2)2
cos√
t dt.
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Integracion por partes en la integral definida
Teorema de integracion por partes en la integral definida.Si f , g : I = [a, b] −→ R son funciones continuamentederivables en I entonces∫ b
af ′(x) g(x) dx = f (b)g(b)− f (a)g(a)−
∫ b
af (x) g ′(x) dx .
Abreviatura de la formula:∫ b
au dv = u v |ba −
∫ b
av du.
Ejemplo.∫ π
0 ex sen x dx .
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Integracion por partes en la integral definida
Teorema de integracion por partes en la integral definida.Si f , g : I = [a, b] −→ R son funciones continuamentederivables en I entonces∫ b
af ′(x) g(x) dx = f (b)g(b)− f (a)g(a)−
∫ b
af (x) g ′(x) dx .
Abreviatura de la formula:∫ b
au dv = u v |ba −
∫ b
av du.
Ejemplo.∫ π
0 ex sen x dx .
El TeoremaFundamental
Introduccion
Un problematecnico
El TeoremaFundamental
Dos corolariosimportantes
Derivacion defuncionesintegrales
El Teoremade Cambio deVariable
Integracionpor partes
Integracion por partes en la integral definida
Teorema de integracion por partes en la integral definida.Si f , g : I = [a, b] −→ R son funciones continuamentederivables en I entonces∫ b
af ′(x) g(x) dx = f (b)g(b)− f (a)g(a)−
∫ b
af (x) g ′(x) dx .
Abreviatura de la formula:∫ b
au dv = u v |ba −
∫ b
av du.
Ejemplo.∫ π
0 ex sen x dx .