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EJERCICIOS RESUELTOS DE VECTORES
1. Dado e l vector = (2, - 1) , determinar dos vectores
equipolentes a , , sab iendo que A(1, -3) y D(2, 0) .
oluc i!n"
2. #alcu la e l va lor de $ sab iendo que e l m!dulo de l vector = ($,
3) es %.
&'#&*
3. i e s u n v ec to r d e c om po ne nt es ( 3, +) , a ll ar u n v ec to r
uni tar io de su misma d i recc i!n y sent ido.
&'#&*
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4. Dados los vrt i ces de un t r in/ulo A(1, 2) , (-3, +) y #(-1, 3) ,
a l lar las coordenadas de l bar i centro.
&'#&*
5. a l l a r l as coordenadas de l punto # , sab iendo que (2, - 2) es e l
punto med io de A#, A(- 3, 1) .
&'#&*
6
6. Ave r i /ua r s i e s t n a l i neados l o s pun tos " A ( -2 , - 3 ) , (1 , 0 ) y
#(, %) .
&'#&*
7. #alcu la las coordenadas de D para que e l cuadr i l tero de vrt i ces"
A(-1, -2) , (+, -1) , #(%, 2) y D sea un para le lo/ramo.
&'#&*
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8. 'as coordenadas de los e4tremos de l se/mento A son" A (2, - 1)
y (5 , - + ) . a l la r l as c oo rd enad as d el p un to # q ue d iv id e a l
se/mento A en dos partes ta les que A# es la mi tad de #.
&'#&*
9. i e l s e/men to A de e4 t r emos A (1 ,3 ) , (6 , % ) , s e d i v i d e en
c ua tr o p ar te s i /ua le s, 7 cul es s on l as c oo rd enad as d e l os
puntos de d iv is i!n8
&'#&*
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10. al lar e l s imtr i co de l punto A(+, -2) respecto de 9(2, ) .
&'#&*
11. n ve ct or t ie ne n de c om po ne nt es ( %, : 2) . a ll ar l as
coordenadas de A s i se conoce e l e4tremo (12, :3).
&'#&*
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12. D ad o e l v ec to r = ( 2, - 1 ), d et er mi na r d os v ec to re s
equipolentes a , , sab iendo que A(1, -3) y D(2, 0) .
&'#&*
13. #alcu lar la d is tanc ia entre los puntos"
&'#&*
14. i e s un v ec to r d e c omp onen te s ( 3, + ) , a ll ar u n v e c to r
uni tar io de su misma d i recc i!n y sent ido.
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&'#&*
15. al lar un vector un i tar io de la misma d i recc i!n que e l vector
=(5, -) .
&'#&*
16. #a lcu la l a s c oo rdenadas de D pa ra que e l c uad r il te ro de
vrt i ces" A(-1, -2) , (+, -1) , #(%, 2) y D sea un para le lo/ramo.
&'#&*
17. a l l ar l as coordenadas de l punto med io de l se/mento A , de
e4tremos A(3, ;) y (-1, %) .
&'#&*
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18. al lar las coordenadas de l punto #, sab iendo que (2, - 2)
es e l punto med io de A#, A(- 3, 1) .
&'#&*
19. Aver i/uar s i e s tn a l ineados l os puntos " A ( - 2 , - 3) , (1 ,
0) y #(, %) .
&'#&*
20. #alcu lar e l va lor de a para que los puntos es tn a l ineados.
&'#&*
21. D ad os l o s p un t o s A ( 3 , 2 ) y ( % , + ) a l l a un p un t o # ,
a l ineado con A y , de manera que se obten/a
&'#&*
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22. Dados los vrt i ces de un t r in/ulo A(1, 2) , (-3, +) y #(-1,
3) , a l lar las coordenadas de l bar i centro.
&'#&*
23. D ad os d o s v r ti ce s d e un t ri n/u lo A (2 , 1 ), (1 , 0 ) y e l
bar i centro
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25. al lar e l s imtr i co de l punto A(3, -2) respecto de 9(-2, % ) .
&'#&*
26. 7>u puntos ? y > d iv iden a l se/mento de e4tremos A(-1, -3)
y (%, ) en t res partes i/ua les8
&'#&*
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27. i e l se/mento A de e4t remos A(1,3) , (6 , %) , se d i v ide
en cuat ro par tes i /ua les , 7cu les son l as coordenadas de l os
puntos de d iv is i!n8
&'#&*
28. Dados los siguientes vectores: k j i a ˆˆˆ ++−= 32 ;k j i b ˆˆˆ 334 +−= y k j c ˆˆ 4+−= .
Determinar:
a. ba− b. c ba 23 +− c. c ba 32 •− )( d. bc b 234 ×−− )(
e. El ángulo que forma el vector a con cada uno de los ejescoordenados.
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f. El ángulo entre los vectores: b3 y c 2−
Solucin:
a) [ ] k j i k j i ba ˆˆˆˆ)(ˆ)(ˆ)( 266313342 −+−=−+−−+−−=−
7876266 222 !)()( ==−++−=− ba
b)i k j k j i k j i c ba (ˆ)()ˆˆ(ˆˆˆ()ˆˆˆ( 931224233433223 −++−−=+−++−−++−=+−
j i c ba ˆˆ 101423 +−=+−
c) )ˆˆˆ()ˆˆ()ˆˆˆˆˆˆ()( k j i k j k j i k j i c ba 59101236683232 −+−=+−•−+−++−=•− 8712539010 −=−+−+−= ))(())(())((
d) )( c b 34 − " j i c b j i k j k j i ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆ()ˆˆˆ( 91634916433344 +−=−−⇒−=+−−+−
k j i b ˆˆˆ 6682 +−=
k j i k j i
bc b ˆˆˆ
ˆˆˆ
)( 249654
668
0916234 ++=−
−=×−−
e) #ngulos que forma a con los ejes coordenados
$on el eje % : &!cos 312214
2=⇒
−== α α
a
a x
$on el eje ' : &!cos 736143 =⇒== β β
aay
$on el eje ( : &!cos 57414
1=⇒== γ γ
a
az
f) ngulo entre los vectores c y b 23 −
&!coscos.)( 612868306902323 =⇒=−⇒−=−• ϕ ϕ ϕ c bc b
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29. *allar las com+onentes rectangulares del vector a " ,u! en la direccin
-/ res+ecto al semieje +ositivo de las 0.
Solucin:
1igamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo +royectamos encada uno de los semieje
a
a x =030cos de donde 00 30530 coscos == aa x 334.=⇒ x a
aasen
y =030 de donde 5230530 !. =⇒°=°= y y asenasena
30. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura
Solucin:
Se a+lica el teorema de 2itágoras
2552543 22 =⇒==+= S S
31. 3res +ersonas tiran de un cuer+o al mismo tiem+o a+licando lassiguientes fuer4as: 56 " ,7 al Sur. 58 " 67 -& al Sur9Este y 5- " 7 ,& al7or9Este. $alcular +or medio de com+onentes rectangulares! la fuer4a
resultante y la direccin a donde se mueve.
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Solucin:
>>.
!
!tan 86211739
99
18 011 =⇒
−=⇒
= −− α α α tg
F
F g
x
y
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32. Dados los vectores
( )
( )
( )5,4,2,6
1,2,2,4
2,1,0,1
3
2
1
−=−=
−=
v
v
v
,
Halar el v3 en función d e los otros dos.
Solución:
podemos observar que el vector 3v se obtiene a partir de los otros
dos de la siguiente forma: 3212 vvv =+⋅ o equivalentemente,
02 321 =−+ vvv , por tanto, los vectores { }321 ,, vvv son linealmente
dependientes.
33. Siendo )1,2,3(23 −−=−+−= k jiu , Hallar el producto de u por 3:
Solución:
)3,6,9(369)23.(33 −−=−+−=−+−= k jik jiu
34. Si )5,3,2(532 −=−+= k jiu )6,4,1(64 −−=−+−= k jiv , Hallar :u.!
"ol#ucion
40)6)$(5(4$3)1$(2 =−−++−=• vu
35. %alcula el producto !ectorial de lo" !ectore" )3,7,1( −=u )4,0,5(−=v
Solución.
%on!iene colocar el pri&er !ector de'a(o de e"te el "eundo:
)3,7,1( −=u)4,0,5(−=v
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35)11,28,(
0 5*
7 1,
5*4
13* ,
4 0
3*7 ==× vu
36. +ado" lo" !ectore" )6,1,4()5,2,3( == v yu , alla el -rea del paralelora&o ue deter&inan.
Solución:
/eniendo en cuenta ue el -rea del paralelora&o ue deter&inan e" el &ódulo del
producto !ectorial:
5)*2,7,(1 4
2 3
,4 6
3 5
,6 1
5 2
=
=× vu
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rea 78)5(27 222 =−++=× vu por lo ue rea 2u78
37. Dados los puntos A(1,1,1, !(",3,# $ %(&,',, )alla el *rea deltri*ngulo que determinan.
Solución:
+l *rea del tri*ngulo determinado por los tres puntos viene dada por lafórmula siguiente:
2
1 AC AB Área ×=
or lo tanto, )allemos AC v y ABu ==
Dic)os vectores ser*n: )5,2,3(=u $ )6,1,4(=v $ su producto vectorial:
5)*2,7,(
1 4
2 3 ,
4 6
3 5 ,
6 1
5 2 =
=× vu
78)5(27 222 =−+−=× vu $ por tanto 22
78
2
1uvu Área =×=
38. +ado" lo" !ectore" )6,1,4()5,2,3( == v yu , alla un !ector
perpendicular a a&'o"
u
!
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"olución
n !ector perpendicular a a&'o" e" el producto !ectorial:
5)*2,7,(1 4
2 3
,4 6
3 5
,6 1
5 2
=
=×vu
o ta&'in, &ediante la rela &ne&otcnica:
)5,2,7(527185832012
614
523 −=−+=−−−++==× k ji jik k jik ji
vu
39. Dados los vectores ),1,0,1( −=a )1,2,0( −=b $ ).0,0,2(=c ,)alla el producto mi-to 5,,6 cba :
solucion
4
0 02
120
101
).(,, =−−
=×= cbacba
40. Dados los vectores ),1,0,1( −=a )1,2,0( −=b $ ).0,0,2(=c ,)alla el volumen del paraleleppedo que determinan.
solucion
40 02
120
101
).(,, =−−
=×== cbacbaVolumen
41. Dados los vectores ),5,2,3(u −= )6,1,4(! −= $ ),1,0,2( −= )alla el volumen del tetraedro que determinan.
solucion
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29810243
10 2
6 1 4
523
).( −=+−−−=−
−−
=×wvu
2)( u6
2929
6
1=−=tetraedroVolumen
42.* 89uede a'er do" !ectore" u ! tale" ue ,3!.u −= 1u = 2! =
Solución:
Si α es el *ngulo que forman, de la de/nición de producto escalar, seobtiene:
α= co".!.u!.u
0 entonces, 5,1co"co".2.13 −=α⇒α=−
Dic)a relación es imposible porque 1co"1 ≤α≤−
"3. Halla el valor de a para que los vectores )5,1,2(u −= $ )6,2,a(! = ,sean perpendiculares.
Solución:
ara que sean perpendiculares, el producto escalar )a de ser nulo,por tanto,
0)6,2,a).(5,1,2( =− ⇒ 0302a2 =++− $ de aqu se obtiene a 2 1#
"". Halla un vector cu$o módulo sea " $ adem*s perpendicular a)1,0,2(u = $ )2,1,3(! −=
Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vectorperpendicular a cada uno de ellos,
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or tanto, )2,1,1(
1*3
0 2,
3 2
2 1,
2 1*
1 0 !u −−==×
4o dividimos por su módulo para obtener un vector de módulo unidad:
)2,1,1(!u −−=× es perpendicular a u $ a v.
6)2()1(1!u 222 =−+−+=× 5
−−=−−=
××
62,
61,
61)2,1,1(
6
1
!u
!u
+l vector unitario obtenido lo multiplicamos por " $ obtenemos elvector buscado:
−−=
−−=
3
64,
3
62,
3
62
6
2,
6
1,
6
14
"&. Dados los vectores )5,2,3(u = $ )6,1,4(! = )alla el *rea del tri*nguloque determinan.
Solución:
+l *rea del tri*ngulo determinado por dos vectores viene dada por lafórmula siguiente:
Hemos de )allar, por tanto, el producto vectorial de los dos vectores dados:
u
!
!u2
1rea ×=
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)5,2,7(; 5 2i7
614
523
; i
!u −=−+==×
78)5(27!u 222 =−+−=×
2
78!u
2
1rea =×=
"#. Dados los vectores ),5,2,3(u −= )6,1,4(! −= $ ),1,0,2( −= )alla elvolumen del tetraedro que determinan.
Solución:
+l volumen del tetraedro es6
1
del producto mi-to tomado en
en valor absoluto.
29810243
10 2
6 1 4
523
)!.(u −=+−−−=−
−−
=×
2
tetraedro( u6
2929
6
1)
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6ódulo de u:
6)2(11u 222 =−++=
or tanto,
−=−
6
2,
6
1,
6
1)2,1,1(
6
1 ser* unitario (modulo1 $ de la
misma dirección que u.
"7 rueba que el producto escalar de dos vectores u $ v, es igual almódulo de uno de ellos por la pro$ección del otro sobre el.
Solución:
α= co".!.u!.u
u"o're!de. proco".!=> =α=
luego =>.u!.u =
+n el caso de que el *ngulo sea obtuso se obtiene :
4os *ngulos α $ β son suplementarios
por tanto, β−=α co"co"
α= co".!.u!.u
=>co"!co".! −=β−=α
donde => es la pro$ección de v sobre u
es decir, =>.u!.u −=
Observación importante:
%uando el producto escalar es positivo, el *ngulo es agudo
%uando el producto es negativo, el *ngulo es obtuso.
v
u p r o . d e ! " o ' r e u
αO A
v
u
α
OA
β
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"8. 9os dan los vectores ),1,0,1(a −= )1,2,0( ' −= $ ).0,0,2(c = Halla:
a alor absoluto del producto mi-to de a, b $ c $ da su signi/cadogeom;trico.
b
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→→→→
+=⋅= k iuv2
23
2
233
51. +ado" lo" !ectore":→→→→
−+= k jia 23 →→→
+−= k ib 2 , deter&inar:
a) Su producto e"calar →→⋅= ba p . ') nulo ue ?or&an
→a
→b .
c) Su producto !ectorial→→→
×= ba p .
d) Su !ector "u&a,→c .
e) @l producto &iAto
×⋅
→→→bac .
"olucion
a 52032)1(02)1(3 −=−+−=⋅−+⋅+−⋅=⋅+⋅+⋅=⋅= →→
z z y y x x babababa p
b α co"⋅⋅=⋅= →→
baba p
14)1(23 222222 =−++=++= z y x aaaa
520)1( 222222 =++−=++= z y x bbbb
9or tanto:
B7,12670
5arcco"
70
5co"
co"5145
=−=⇒−=
⋅⋅=−
α α
α
c)
( ) ( ) ( )
→→→
→→→→→→
→→→
→→→
+−=
=+⋅+−⋅−−⋅=−
⋅+−
−⋅−
−⋅=
−−=×=
k ji
k jik ji
k ji
ba p
254
20160401
23
21
13
20
12
201
123
d →→→→→→→→→
++=⋅+−+⋅++⋅−=+= k jik jibac 22)21()02()13(
e) 0210821524225422 =+−=⋅+⋅−⋅=
+−⋅
++=
×⋅
→→→→→→→→→
k jik jibac
52. %alcular el &ódulo del !ector:→→→→
++= k jiv 22 . >de&-" e"cri'e el !ector unitario
de la &i"&a dirección ue→v .
"olucion
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Módulo:
39122 222222 ==++=++= z y x vvvv
Vector unitario:
→→→→
→
++== k jiv
vu
3
1
3
2
3
2
53. +ado" lo" !ectore"→→→→
+−= k jia 23 C→→→→
−+= k jib 3 C→→→→
−+= k jic 2 , allar:
a) @l &ódulo de→→→
++ cba .
') @l !ector→→→
+− cba 323 .
c) @l !ector unitario →u en la dirección del !ector anterior.
"olucion
a) →→→→→→→→→
−=⋅−−+⋅++−+⋅++=++= k ik jicba s 36)131()112()213(
5345)3(06 222222 ==−++=++= z y x s s s s
') @l !ector →→→ +− cba 323 .
→→→→→→
→→→→→→→→→→→→→
+−=⋅−++⋅+−−+⋅+−=
=
−++
+−−+
+−=+−=
k jik ji
k jik jik jicbav
6513)363()326()629(
336622369323
c) @l !ector unitario→u en la dirección del !ector anterior.
v
vu
→→
=
2306)5(13 222222 =+−+=++= z y x vvvv
→→→→
→
+−== k jiv
vu
230
6
230
5
230
13
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@