PreisbildungimRegelenergiemarktEinVergleichvonLinearen,Gemischt-GanzzahligenundSpieltheoretischenAnsätzen
DanielHUPPMANN,AndréORTNER,ChristophGRAF14.SymposiumEnergieinnovation2016
TechnischeUniversitätGraz
DieBedeutungdesRegelenergiemarkts
DieBereitstellungvonRegelenergieverursachtfürKraftwerksbetreiberOpportunitätskosteninzweiRichtungen(Just&Weber,2008;Ortner&Graf,2013)
• EntgangeneProfite,wennGrenzkosten<Spotmarktpreis• RealeVerlusteaufgrunddermust-run-BedingungaufMindestlast,wennGrenzkosten>Spotmarktpreis
RegelenergiepreiseundSpotpreisebeeinflussensichwechselseitig!
Eslässtsichtheoretischzeigen,dassdahermidload-Kraftwerkeambestengeeignetsind,Regelenergiebereitzustellen(Richter,2012)
WeitereSchwierigkeiten(indiesemVortragnichtberücksichtigt):Stochastik(Regelenergiekontrakte längerfristigalsSpotmarkt)UnterschiedlicheTypenvonRegelenergie(Primär,Sekundär,Minuten)StrategischesVerhalten(Annahme:MarktteilnehmerbietenzuGrenzkosten)
FürdensicherenBetriebdesStromsystemsistdieVorhaltungvonRegelenergiekapazität notwendig
14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 2
DastechnischeVersagendesRegelenergiemarktes
ZweiAnsätzezurBestimmungdesoptimalenKraftwerkseinsatzes:DersozialePlaner(dieElektrotechnikerin)lösteinKostenminimierungsproblem(unit-commitment problem)DerMarkt(dieBetriebswirtin)lösteinGleichgewichtsproblemzwischennicht-kooperativenKraftwerksbetreibern
AufgrundderAnfahrkosten&nicht-konvexertechnischerRestriktionenführendieAnsätzenichtzumselbenErgebnis!
DieOpportunitätskostenwerdendurchdie„Marktpreise“nichtnotwendigerweiseabgedeckt(Anreizinkompatibilität)DasMarktdesign(dieVolkswirtin)empfiehltAuktionen,aberdasbehandeltnurdasSymptom,nichtdaszugrundeliegendeProblem!
DersozialePlaner&derprofitorientierteKraftwerksbetreiber,unddazwischenklaffteineLücke...
14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 3
GleichgewichtinSpielenmitganzzahligenVariablen(I)
DasProblem:inganzzahligenOptimierungsproblemenexistierenkeineDualvariablen(akaSchattenpreise,Lagrange-Multiplikatoren)
DadurchlassensichkeinemarkträumendenPreisefindenundesexistiert(invielenFällen)keinNash-GleichgewichtStandard-Solver(CPLEX,GUROBI,etc.)liefernOutput,deroftfälschlicherweisealsSchattenpreiseinterpretiertwird(O‘Neilletal.,2005)
InzentralisiertenStrommärkten(z.B.USA:IndependentSystemOperators)istdieseProblematikals„uplift problem“bekannt(Gribik,Hogan&Pope,2007)
InEuropaaufgrunddes„energy-only“MarktdesignsvongeringererBedeutung,aberfürdenRegelenergiemarktvongroßerRelevanzWiradaptiereneinenAnsatzzurLösungeinesGleichgewichtsinbinärenStrategien(Huppmann&Siddiqui,2015)
InSpielenmitganzzahligen Entscheidungen gibtes(i.A.)keinemarkträumenden PreiseundkeinNash-Gleichgewicht
14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 4
GleichgewichtinSpielenmitganzzahligenVariablen(II)
AlternativeAnsätzezurLösungvonbinärenGleichgewichtsproblem:allePermutationen(brute-force)oderLinearisierungdesLösungsraums...
DerneueAnsatz:WirleitendieBedingungen1.Ordnung(Karush-Kuhn-Tucker,KKT)fürbeidemöglichenWertederbinärenEntscheidungab(anstelleeinerLinearisierungderVariablen)AnreizkompatibilitätwirdexplizitalsNebenbedingunghinzugefügtEinemultikriterielleZielfunktiondientalsAuswahlmechanismus
DerMechanismusisteinmehrstufigesOptimierungsproblemund......ErlaubteineAbwägungzwischenMarkteffizienz(Wohlfahrt)undden
KompensationszahlungenfüreinstabilesGleichgewicht...Kannalsgemischt-ganzzahligeslinearesProblem
Wiradaptieren denAnsatzvonHuppmann&Siddiqui(2015)zurexaktenmultikriteriellenLösungvonganzzahligen Spielen
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RegelenergiealsmehrstufigesbinäresProblem
DieBereitstellungvonRegelenergie isteinOptimierungsproblemmitbinärenEntscheidungen aufmehreren Ebenen
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TeilnahmeamRegelenergiemarkt?Ja Nein
KraftwerkübergesamtenZeitrauminBetrieb
ErzeugungjeStundetdurchKKT-Bedingungen
(Mindestlastberücksichtigt)
ProfitimFallderBereitstellungvonRegelenergie
KraftwerkinStundet inBetrieb?Ja Nein
ErzeugungundProfitinStundet durchKKT-Bedingungen
KeineErzeugung,Abfahrkosten=Verlust
(wenninStundet–1 inBetrieb)
VergleichderProfitezurBestimmungderoptimalenEntscheidunginStundet
SummeüberalleStundent ergibtProfitimFallderNichtteilname
VergleichderProfitezurBestimmungderoptimalenEntscheidung
MehrstufigebinäreGleichgewichtsprobleme
DasGleichgewichtsmodellfürdenRegelenergiemarktbestehtaus...
...einerZielfunktion(Wohlfahrtsmaximierung):einWalrasianischerAuktionatorsetztSpot- undRegelenergiepreis
...undNebenbedingungen:jeMarktteilnehmereinGleichungssystem,dasdessenjeweilsoptimaleEntscheidungabbildet(gegebendenMarktpreisen)Markträumungsbedingungen
DiesesProblemkannalsgemischt-ganzzahligeslinearesOptimierungsproblemmitStandard-Methodengelöstwerden(Huppmann&Siddiqui2015)
DieZahlderbinärenVariablensteigtzwarnichtexponentiell,abergroßeAnwendungensindnumerisch(noch)zuaufwendig
DasSpielzwischenmehreren Erzeugern kannalsgemischt-ganzzahliges linearesOptimierungsproblemgelöstwerden
14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 7
DreiRegelenergie(markt)modelle imVergleich
• DaslineareModell:Wohlfahrtsoptimum=MarktgleichgewichtabertechnischeRestriktionendurchLinearisierungvereinfacht
• DasKraftwerkeinsatzmodell(unit-commitment model)TechnischeRestriktionensindberücksichtigtaberLösung(Wohlfahrtsoptimum)isti.A.keinMarktgleichgewicht
• DasMarktgleichgewichtsmodellinbinärenStrategienTechnischeRestriktionenundindividuelleAnreizeberücksichtigtaberwegennumerischeKomplexität(vorläufig)nurstilisiertesBeispiel
WirvergleichendieModelleanhandeinesstilisiertenDatensatzesmitneunErzeugernunddreiZeitperioden
DerKraftwerkseinsatz (unddieSystemkosten)überalleModellegleich!
Wirvergleichen dreiModellansätzefürdenRegelenergiemarkt:linear,gemischt-ganzzahlig undbinäresGleichgewicht
14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 8
Vergleichder„Preise“zwischendenModellen
EsgibtkeineklareTendenz, obPreiseinbestimmtenAnsätzenhöheroderniedrigersind
14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 9
0
5
10
15
20
25
Stunde1 Stunde2 Stunde3 positiv negativ
Spotpreis Regelenergiekapazitätspreis
LinearesModell Kraftwerkseinsatzmodell BinäresGleichgewicht
KonsumentenausgabenundProfitederErzeuger
DieKonsumentenausgaben sinken(imuntersuchten Fall)durchdieBerücksichtigung derspieltheoretischenAnreize
14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 10
0
1000
2000
3000
4000
Konsumenten ErzeugerProfit
Konsumenten ErzeugerProfit
Konsumenten ErzeugerProfit
LinearesModell Kraftwerkseinsatzmodell BinäresGleichgewicht
Spot Regelenergiepositiv Regelenergienegativ
ZusammenfassungundAusblick
AktuelleModellefürdenRegelenergiemarktvernachlässigenentweder
...dietechnischenAspekte(Anfahrkosten,Mindestlast)oder
...dasSpielzwischennicht-kooperativenMarktteilnehmern(Wohlfahrtsmaximierung,dadurchkeineGarantiederAnreizkompatibilität)AufgrundderNichtkonvexitätgibt es(u.U.)keinemarkträumendenPreise,unddasistkeineFragedesMarktdesigns(Auktionen,etc.)!
WiradaptiereneinenAnsatzzurLösungvonNash-Gleichgewichteninnicht-kooperativenSpielenmitbinärenStrategien(Huppmann&Siddiqui,2015)
WirvergleichendiesesModellhinsichtlichder“Preise“mitdenStandardansätzen
OffeneFragenunddienächstenHerausforderungen:NumerischeSkalierbarkeit,AnwendbarkeitaufrealeDaten,...ÄnderungdesKraftwerkseinsatzes (undderKosten)durch„bessere“Preise?
Wirpräsentieren einRegelenergiemarktmodell, dastechnischeRestriktionenundökonomischeAnreizeexplizitkombiniert
14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 11
Dr.DanielHuppmannResearchScholar– EnergyProgram
InternationalInstituteforAppliedSystemsAnalysis(IIASA)Schlossplatz1,A-2361Laxenburg,Austria
[email protected]+43(0)2236807- 572http://www.iiasa.ac.at
VielenDank fürIhreAufmerksamkeit!
DanielHUPPMANN, IIASAundJohnsHopkinsUniversityAndré ORTNER,Energy EconomicsGroup,TUWienChristophGRAF,Institut fürRegulierungsökonomie, WUWien
Bibliographie
PaulR.Gribik,WilliamW.Hogan,and SusanL.Pope.Market-clearingelectricty prices andenergyuplift:WorkingPaper,JohnF.KennedySchoolof Government,HarvardUniversity,2007.http://www.hks.harvard.edu/fs/whogan/Gribik_Hogan_Pope_Price_Uplift_123107.pdf
DanielHuppmannandSaulehSiddiqui.Anexactsolutionmethodforbinaryequilibriumproblemswithcompensationandthepowermarketupliftproblem:DIWDiscussionPaper1475,2015.http://diw.de/sixcms/detail.php?id=diw_01.c.502763.deGAMScodesavailableatwww.github.com/danielhuppmann/binary_equilibrium
SebastianJustandChristophWeber.Pricingofreserves:Valuingsystemreservecapacityagainstspotpricesinelectricitymarkets.EnergyEconomics30(6):3198-3221,2008.http://dx.doi.org/10.1016/j.eneco.2008.05.004
RichardP.O'Neill,PaulM.Sotkiewicz,BenjaminF.Hobbs,MichaelH.Rothkopf,andWilliamR.StewartJr.Efficient market-clearingprices inmarkets with nonconvexities.EuropeanJournalofOperationalResearch 164(1):269-285,2005.http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2003.12.011
AndréOrtnerandChristophGraf.Multi-marketunit-commitmentandcapacityreservepricesinsystemswithalargeshareofhydropower:Acasestudy.10th InternationalConferenceontheEuropeanEnergyMarket(EEM),2013.http://dx.doi.org/10.1109/EEM.2013.6607336
JanRichter.Ontheinteractionbetweenproductmarketsandmarketsforproductioncapacity:Thecaseoftheelectricityindustry:EWIWorkingPaper2011/09,2011.
14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 13
Backupslides
PreisbildungimRegelenergiemarkt 1414.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGraz
Themath– Obtaining“duals”inintegerprogramming
O’Neilletal.(2005)proposedatwo-stepapproach:SolvetheMIPusingstandardmethods(Problem1)SolvethelinearizedLPmodel(Problem2),fixingdiscrete/binaryvariablesatoptimallevelx* asdeterminedbyProblem(1)
Thedualvariables (λ*, μ*) toProblem(2)canbeinterpretedasmarket-clearing,Walrasian prices!ButthesearenotactuallythecorrectpricesforProblem(1)!
Dualsinintegerprogramsusingatwo-stepprocedure
DanielHuppmann,SaulehSiddiquiExactsolutionstobinaryNashequilibriumproblems 15
minx,y f x, y( ) (1)
s.t. g x, y( ) ≤ 0
x ∈{0,1}n
y ∈!m
minx,y f x, y( ) (2)
s.t. g x, y( ) ≤ 0 λ( )x = x* µ( )x, y( )∈!n+m
Anexactsolutionmethod&the“switchvalue”
Weintroducetheterm“switchvalueκ”todescribetheabsolute(notmarginal)losswhendeviatingfromtheoptimalvalueofx*:
Applyingthisideatothesimpleexample:
Theswitchvariablecanbeinterpretedasashadowprice!Itcanbeusedasameasureof“disequilibrium”(Çelebi &Fuller,2016)
DanielHuppmann,SaulehSiddiquiExactsolutionstobinaryNashequilibriumproblems 16
f x*, y*( ) = f x×, y×( )−κwhere x× =1− x* and y× = argmin y f x×, y( )
minx x − 0.5( )2
s.t. x ∈{0,1}
µ(x* = 0) = −1µ(x* = 1) = 1
κ = 0
Ratherthanfocusingonrelaxationsofbinaryvariables,let’slookatthelossfromdeviation(“switchvalue”)
Thecoreideaofoursolutionapproach
AssumethatKKTconditionsarenecessaryandsufficientw.r.t.continuousvariablesyi forfixedbinaryxi andgivenrivalsactionsy-i,then……wecomputetheoptimalresponseforbothstates ofvariablexi
assumingxi=1:
andassumingxi=0:
Andthen,wecheckwhichstrategyisoptimalbycomparingpay-offs:
Wecomputetheoptimalvaluew.r.t.thecontinuousvariablesforbothstatesofthebinaryvariablesimultaneously
DanielHuppmann,SaulehSiddiquiExactsolutionstobinaryNashequilibriumproblems 17
To overcome this caveat in practical applications and obtain dual variablesfrom binary programs, the following approach is often used (cf. O’Neill et al.,2005). Consider the general constrained problem:
minx,y
f(x, y)
s.t. g(x, y) 0 (1)
x 2 {0, 1}n, y 2 Rm
To obtain dual variables to the constraints g(x, y), such problems are com-monly solved in a two-step procedure: first, the original problem (1) is solvedusing integer programming techniques; then, the binary variables x are lin-earized, and constraints are added to fix these variables at the level determinedto be optimal, x⇤, in the first step:
minx,y
f(x, y)
s.t. g(x, y) 0 (�) (2)
x = x⇤ (µ)
(x, y) 2 Rn+m
minxi2{0,1},yi2Rm
fi
�xi
, yi
, y�i
(x�i
)�
(3)
s.t. gi
�xi
, yi
� 0 (�
i
) (4)
0 = rxi fi
⇣xi
, yi
, y�i
(x�i
)⌘+ �
i
rxi gi
�xi
, yi
�, x
i
(free) (5)
0 = ryi fi
⇣xi
, yi
, y�i
(x�i
)⌘+ �
i
ryi gi
�xi
, yi
�, y
i
(free) (6)
0 � gi
�xi
, yi
�? �
i
� 0 (7)
0 = ryi fi
⇣1, ey(1)
i
, y�i
(x�i
)⌘+ e�(1)
i
ryi gi
�1, ey(1)
i
�, ey(1)
i
(free) (8)
0 � gi
�1, ey(1)
i
�? e�(1)
i
� 0 (9)
0 = ryi fi
⇣0, ey(0)
i
, y�i
(x�i
)⌘+ e�(0)
i
ryi gi
�0, ey(0)
i
�, ey(0)
i
(free) (10)
0 � gi
�0, ey(0)
i
�? e�(0)
i
1 � 0 (11)
0.1 Marginal relaxation vs. the loss from a binary deviation
There is a further caveat of using the duals of Problem (2) for algorithms and(economic) interpretation of results: this approach introduces the dual µ as themarginal relaxation of the constraint that fixes x at its optimal value. However,it is more appropriate to ask not about a marginal relaxation, but a switch from
1
To overcome this caveat in practical applications and obtain dual variablesfrom binary programs, the following approach is often used (cf. O’Neill et al.,2005). Consider the general constrained problem:
minx,y
f(x, y)
s.t. g(x, y) 0 (1)
x 2 {0, 1}n, y 2 Rm
To obtain dual variables to the constraints g(x, y), such problems are com-monly solved in a two-step procedure: first, the original problem (1) is solvedusing integer programming techniques; then, the binary variables x are lin-earized, and constraints are added to fix these variables at the level determinedto be optimal, x⇤, in the first step:
minx,y
f(x, y)
s.t. g(x, y) 0 (�) (2)
x = x⇤ (µ)
(x, y) 2 Rn+m
minxi2{0,1},yi2Rm
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�xi
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(3)
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i
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⇣xi
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i
, y�i
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)⌘+ e�(0)
i
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i
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0.1 Marginal relaxation vs. the loss from a binary deviation
There is a further caveat of using the duals of Problem (2) for algorithms and(economic) interpretation of results: this approach introduces the dual µ as themarginal relaxation of the constraint that fixes x at its optimal value. However,it is more appropriate to ask not about a marginal relaxation, but a switch from
1
To overcome this caveat in practical applications and obtain dual variablesfrom binary programs, the following approach is often used (cf. O’Neill et al.,2005). Consider the general constrained problem:
minx,y
f(x, y)
s.t. g(x, y) 0 (1)
x 2 {0, 1}n, y 2 Rm
To obtain dual variables to the constraints g(x, y), such problems are com-monly solved in a two-step procedure: first, the original problem (1) is solvedusing integer programming techniques; then, the binary variables x are lin-earized, and constraints are added to fix these variables at the level determinedto be optimal, x⇤, in the first step:
minx,y
f(x, y)
s.t. g(x, y) 0 (�) (2)
x = x⇤ (µ)
(x, y) 2 Rn+m
minxi2{0,1},yi2Rm
fi
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(x�i
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(3)
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)⌘+ �
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, yi
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0 = ryi fi
⇣xi
, yi
, y�i
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ryi gi
�xi
, yi
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i
(free) (6)
0 � gi
�xi
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0 = ryi fi
⇣1, ey(1)
i
, y�i
(x�i
)⌘+ e�(1)
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ryi gi
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(free) (8)
0 � gi
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0 = ryi fi
⇣0, ey(0)
i
, y�i
(x�i
)⌘+ e�(0)
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ryi gi
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�, ey(0)
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(free) (10)
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i
1 � 0 (11)
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�1, ey(1)
i
, y�i
(x�i
)�7 f
i
�0, ey(0)
i
, y�i
(x�i
)�
(12)
1
Thecoreideaofoursolutionapproach(II)
The“if-then”conditionstodeterminetheindividuallyoptimallybinarydecisionareverypainfultocomputeinlarge-scaleproblems:
Weusetheswitchvalueκ andintroduceacompensationpaymentξ:
Weusetheswitchvaluetotheincentive-compatibilitychecktoreplacethecumbersome“if-then”conditions
DanielHuppmann,SaulehSiddiquiExactsolutionstobinaryNashequilibriumproblems 18
Player i will choose the value of the binary variable xi
= xi
and ey(x
i
)
i
such that
fi
⇣xi
, ey(x
i
)
i
, y�i
(x�i
)⌘is lowest given the decisions of the rivals y�i
(x�i
). Mathemat-
ically, this can be written as follows:
fi
�1, ey(1)
i
, y�i
(x�i
)�< f
i
�0, ey(0)
i
, y�i
(x�i
)�
) x⇤i
= 1 (7a)
fi
�1, ey(1)
i
, y�i
(x�i
)�> f
i
�0, ey(0)
i
, y�i
(x�i
)�
) x⇤i
= 0 (7b)
fi
�1, ey(1)
i
, y�i
(x�i
)�= f
i
�0, ey(0)
i
, y�i
(x�i
)�
) x⇤i
= {0, 1} (7c)
The logic is similar to the notion of incentive compatibility in game theory, i.e.,there exists no profitable deviation given the decisions of all rivals. This can also beinterpreted as the optimal response of each player to the rivals’ decisions.
Hence, a vector (x⇤i
, y⇤i
(x⇤i
))i2I
that satisfies the incentive compatibility constraintsin Definition 1 for each player constitutes a Nash equilibrium. If the incentive com-patibility condition is not satisfied for any feasible strategy, it may be necessary tofinancially compensate a player to ensure that she doesn’t deviate, as stated in Defi-nition 2.
Now, we propose a mathematically equivalent formulation to represent the incen-tive compatibility logic by introducing four non-negative variables for each player,(1)
i
,(0)
i
, ⇣(1)
i
, ⇣(0)
i
, and a su�ciently large scalar (or vector of scalars), eK.1 The vec-
tor (x
i
)
i
can be interpreted as the loss the player would incur by switching from itsoptimal decision to the other option, so it is similar to a dual, but not on the margin,as discussed in the previous section. The vector ⇣(xi
) are compensation payments toguarantee incentive compatibility (i.e., the remuneration the player receives from themarket operator or regulator to not deviate from the decision).
Although this may look very similar a disjunctive constraints reformulation at firstglance, it’s a bit di↵erent:
fi
⇣1, ey(1)
i
, y�i
⌘+
(1)
i
� ⇣(1)
i
� (0)
i
+ ⇣(0)
i
= fi
⇣0, ey(0)
i
, y�i
⌘(8a)
(1)
i
+ ⇣(1)
i
xi
eK (8b)
(0)
i
+ ⇣(0)
i
�1� x
i
� eK
(1)
i
,(0)
i
, ⇣(1)
i
, ⇣(0)
i
2 R+
(8c)
There are six possible outcomes regarding whether the incentives of an individualplayer and the market operator are aligned need to define in detail what incentivealign means... YES!, I am having trouble understanding this right away ornot:
individually equilibrium incentives
case optimal solution (1)
i
(0)
i
⇣(1)
i
⇣(0)
i
aligned
I active active > 0 0 0 0 yesII inactive inactive 0 > 0 0 0 yesIII inactive active 0 0 > 0 0 noIV active inactive 0 0 0 > 0 noV either active/inactive 0 0 0 0 yesVI active/inactive either 0 0 0 0 yes
Case I: incentives aligned, player would lose by not activatingCase II: incentives aligned, player would lose by activatingCase III: player must be compensated to not leave the market (i.e., deactivate)Case IV: player must be compensated to not enter the market (i.e., activate)
1 In applied work using this reformulation, one can of course make the parameter eK specificto each player and constraint to improve computation e�ciency. We omit this specificationfor notational convenience.
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Player i will choose the value of the binary variable xi
= xi
and ey(x
i
)
i
such that
fi
⇣xi
, ey(x
i
)
i
, y�i
(x�i
)⌘is lowest given the decisions of the rivals y�i
(x�i
). Mathemat-
ically, this can be written as follows:
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�1, ey(1)
i
, y�i
(x�i
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i
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i
, y�i
(x�i
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= 1 (7a)
fi
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i
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= 0 (7b)
fi
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i
, y�i
(x�i
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i
�0, ey(0)
i
, y�i
(x�i
)�
) x⇤i
= {0, 1} (7c)
The logic is similar to the notion of incentive compatibility in game theory, i.e.,there exists no profitable deviation given the decisions of all rivals. This can also beinterpreted as the optimal response of each player to the rivals’ decisions.
Hence, a vector (x⇤i
, y⇤i
(x⇤i
))i2I
that satisfies the incentive compatibility constraintsin Definition 1 for each player constitutes a Nash equilibrium. If the incentive com-patibility condition is not satisfied for any feasible strategy, it may be necessary tofinancially compensate a player to ensure that she doesn’t deviate, as stated in Defi-nition 2.
Now, we propose a mathematically equivalent formulation to represent the incen-tive compatibility logic by introducing four non-negative variables for each player,(1)
i
,(0)
i
, ⇣(1)
i
, ⇣(0)
i
, and a su�ciently large scalar (or vector of scalars), eK.1 The vec-
tor (x
i
)
i
can be interpreted as the loss the player would incur by switching from itsoptimal decision to the other option, so it is similar to a dual, but not on the margin,as discussed in the previous section. The vector ⇣(xi
) are compensation payments toguarantee incentive compatibility (i.e., the remuneration the player receives from themarket operator or regulator to not deviate from the decision).
Although this may look very similar a disjunctive constraints reformulation at firstglance, it’s a bit di↵erent:
fi
⇣1, ey(1)
i
, y�i
⌘+
(1)
i
� ⇣(1)
i
� (0)
i
+ ⇣(0)
i
= fi
⇣0, ey(0)
i
, y�i
⌘(8a)
(1)
i
+ ⇣(1)
i
xi
eK (8b)
(0)
i
+ ⇣(0)
i
�1� x
i
� eK
(1)
i
,(0)
i
, ⇣(1)
i
, ⇣(0)
i
2 R+
(8c)
There are six possible outcomes regarding whether the incentives of an individualplayer and the market operator are aligned need to define in detail what incentivealign means... YES!, I am having trouble understanding this right away ornot:
individually equilibrium incentives
case optimal solution (1)
i
(0)
i
⇣(1)
i
⇣(0)
i
aligned
I active active > 0 0 0 0 yesII inactive inactive 0 > 0 0 0 yesIII inactive active 0 0 > 0 0 noIV active inactive 0 0 0 > 0 noV either active/inactive 0 0 0 0 yesVI active/inactive either 0 0 0 0 yes
Case I: incentives aligned, player would lose by not activatingCase II: incentives aligned, player would lose by activatingCase III: player must be compensated to not leave the market (i.e., deactivate)Case IV: player must be compensated to not enter the market (i.e., activate)
1 In applied work using this reformulation, one can of course make the parameter eK specificto each player and constraint to improve computation e�ciency. We omit this specificationfor notational convenience.
9
Definitionsforbinarygamesandnotionsofequilibrium
Definition:BinarygameWehaveasetofplayers,eachseekingtosolveabinaryproblem:
Definition:EquilibriuminabinarygameA(Nash)equilibriuminbinaryvariablesisafeasiblevectorsuchthat:
Definition:Quasi-equilibriuminabinarygamewithcompensationA(Nash)quasi-equilibriuminbinaryvariablesisafeasiblevectorandavectorofcompensationpaymentssuchthat:
Weintroducethenotionofabinaryquasi-equilibriumtodescribeincentive-compatible outcomeswithcompensation
DanielHuppmann,SaulehSiddiquiExactsolutionstobinaryNashequilibriumproblems 19
minxi∈{0,1}yi∈!
m
fi xi , yi , y− i x− i( )( )
s.t. gi xi , yi( ) ≤ 0 λi( )
i ∈I
fi xi*, yi
*, y− i* x− i
*( )( ) ≤ fi xi× , yi
× , y− i* x− i
*( )( ) ∀ i ∈I
xi*, yi
*( )i∈I
xi*, yi
*( )i∈I
fi xi*, yi
*, y− i* x− i
*( )( )−ζ i ≤ fi xi× , yi
× , y− i* x− i
*( )( ) ∀ i ∈I
ζ i( )i∈I
LösungmehrstufigerbinärerGleichgewichtsprobleme
DasSpielzwischenmehrerenErzeugernkannalsganzzahlig-gemischteslinearesOptimierungsproblemgelöstwerden
DieTeilnahme amRegelenergiemarkt erfordertbinäreEntscheidungen aufmehreren Ebenen
14.SymposiumEnergieinnovation(EnInnov2016),TUGrazPreisbildungimRegelenergiemarkt 20
Teilnahmeam
Regelenergiem
arkt?
JaNein
KraftwerküberdengesamtenZeitraum
inBetrieb
OptimaleErzeugungjeStundetdurchKKT-Bedingungenbestimmt
(Mindestlastberücksichtigt)
ProfitimFallderBereitstellungvonRegelenergie
KraftwerkinStundetinBetrieb?
Ja
Nein
OptimaleErzeugungundProfitinStundet durch
KKT-Bedingungenbestimmt
KeineErzeugung,Abfahrkosten=Verlust
(wenninStundet–1 inBetrieb)
VergleichzurBestimmungderoptimalenEntscheidunginStundet
SummeüberalleStundent ergibtProfitimFallderNichtteilname
VergleichzurBestimmungderoptimalenEntscheidung