7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 1/16
ECUACIONESECUACIONES
DIFERENCIALESDIFERENCIALESDEFINICIÓN DE ECUACIÓNDEFINICIÓN DE ECUACIÓN
DIFERENCIALDIFERENCIALUna ecuación diferencial es unaUna ecuación diferencial es una
ecuación que contiene lasecuación que contiene lasderivadas de una o más variablesderivadas de una o más variablesdependientes con respecto a unadependientes con respecto a unao más variables independienteso más variables independientes
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 2/16
EJEMPLOSEJEMPLOS
x sendx
dya =) C y K
dx
yd b =+ 2
2
2
)
( ) ( )[ ] 01)2
22 =−++−++ y
dx
dy x
dx
yd x xe αβ β α γ
Wt EW qcdt
dq Rdt qd L f cos1)2
2
=++
(Ec. Dif. de Gauss)|
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 3/16
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONESCLASIFICACION DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALESDIFERENCIALES
SEGÚN SU TIPOSEGÚN SU TIPO ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIAECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA! Es una! Es una
ecuación que sólo contiene lasecuación que sólo contiene las
derivadas ordinarias de una o másderivadas ordinarias de una o másvariables dependientes con respectovariables dependientes con respectoa una sola variable independientea una sola variable independiente
x sendx
dya =) C y K
dx
yd b =+
2
2
2
)
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 4/16
ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIALECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL! Es una! Es unaecuación que contiene las derivadasecuación que contiene las derivadas
parciales de una o más variablesparciales de una o más variablesdependientes" respecto a dos o másdependientes" respecto a dos o másvariables independientesvariables independientes
E#emploE#emplo $ecuación diferencial de %aplace&$ecuación diferencial de %aplace&
0)2
2
2
2
2
2
=∂
+∂
∂+
∂
∂
z
wd
y
w
x
wa
t
w
z
w
y
w
x
wad
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
22)
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 5/16
Clasificación según el ordenClasificación según el orden
El orden de una ecuación diferencialEl orden de una ecuación diferencialordinaria o en derivadas parcialesordinaria o en derivadas parcialesestá dado por la derivada de ma'orestá dado por la derivada de ma'ororden $ primera derivada" se(undaorden $ primera derivada" se(undaderivada" tercera derivada" etc & quederivada" tercera derivada" etc & quefi(ura en la ecuaciónfi(ura en la ecuación
2
2
dx
yd
2
2
dx
yd
n
n
dx
yd
Indica el orden de la ecuación
2da. Deriada ! deriada de 2d!. Orde".
E"#si$a deriada ! deriada de !rde" "
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 6/16
E#emplos)E#emplos)
03)1
2
2
2
=+
+ ydx
dy K
dx
yd
y x
dx
dy+= 3)2
0152)32
2
=−− xdx
dy
dt
xd
( ) 022)4 22 =−+ dx xydy y x
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 7/16
GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIAGRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA
El (rado de una ecuación diferencial ordinaria"El (rado de una ecuación diferencial ordinaria"
esta dado por el e*ponente al(ebraico de laesta dado por el e*ponente al(ebraico de laderivada de mas alto orden e*presado en laderivada de mas alto orden e*presado en la
ecuaciónecuación E#emploE#emplo
x sen y xdx
yd
dx
yd =−+
2
2
22
2
2
)1
x Log ydx
dy
dx
yd =+
+
40
2
2
)2
x sen ydx
dy
dx
yd =+
−
5
83
2
2
25)5
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 8/16
Clasificación según la linealidadClasificación según la linealidado no linealidado no linealidad
Importante
U"a ecuaci%" difere"cia& &i"ea& es de &a f!r$a'
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f y xa y xa y xa y xa nn
N N =++++ −
− '1
1
1
)(
0
d!"de ( ) x f yaaaa nn ,,, 110 −
s!" fu"ci!"es de x
NOTA: !d!s sus #r$i"!s de*e" ser de GRADO UNO
L! a"eri!r i"dica +ue &as ecuaci!"es difere"cia&es &i"ea&es ie"e" d!s
caracer,sicas i$-!ra"es'
a. La aria*&e de-e"die"e y / !das sus deriadas s!" de -ri$er 0rad!1
es decir &a -!e"cia de !d! #r$i"! d!"de a-arece y es .
*. Cada c!eficie"e s%&! de-e"de de x +ue es &a aria*&e
i"de-e"die"e.
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 9/16
ECUACIÓN DIFERENCIAL NO LINEAL
La fu"ci!"es de y a& c!$! y sen ! &as fu"ci!"es de &as deriadas de y
c!$! '2 ye "! -uede" a-arecer e" u"a ecuaci%" &i"ea&1 si es! !curre se dice
+ue &a ecuaci%" difere"cia& es "! &i"ea&.
E3e$-&!s'
Potencia distinta de 1
x y y y xy =++ 2'''')1 2
N! es ecuaci%" difere"cia& &i"ea& -!r +ue ' y ie"e c!$! c!eficie"e a 2 y
de*e ser fu"ci%" de 456
xe ydxdy
dx yd x =+
− 6)2
2
3
3
3
La aria*&e de-e"die"e 4 y 6 / !das sus deriadas de*e" de e"er e&
$is$! e5-!"e"e ! ser de& $is$! 0rad! (u"!)
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 10/16
E3e$-&!s'
( ) 2492583'''6'''3)1 x y x y x y x y x y x IV =+++−
E" e& e3e$-&! a"eri!r &!s c!eficie"es de &a aria*&e de-e"die"e 4 y 6 / &!s
c!eficie"es de sus deriadas s!" fu"ci!"es de 4 x 6.
x y y y y cos'''2''')2 =++−
A+u, su-!"e$!s +ue a"! 4 y 6 c!$! sus deriadas ie"e c!$!
c!eficie"es 10 = x / +ue es s!*ree"e"did! -!r &! +ue "! se e5-resa e"
&a ecuaci%" 0e"era&$e"e.
x
e y sen y =+')3
x
e y xy sen =+ ')4
E" es)e cas! y sen 1 xy sen es u"a fu"ci%" )ri0!"!$#)rica / +ue s!"
fu"ci!"es de 4 y 6 -!r &! )a")! es ecuaci%" difere"cia& "! &i"ea&.
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 11/16
SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
La s!&uci%" de u"a ecuaci%" difere"cia& !rdi"aria de !rde" “n” es u"a re&aci%"
+ue c!")ie"e 4n6 c!"s)a")es ar*i)rarias i"de-e"die")es +ue 3u")! c!" &as
deriadas !*)e"idas de e&&! sa)isface &a ecuaci%" difere"cia&.
Definición
Se &&a$a s!&uci%" de u"a ecuaci%" difere"cia& a u"a fu"ci%" )( x F y =
de)er$i"ada e" e& i")era&! ba, 3u")! c!" sus deriadas sucesias 7as)a e&
!rde" n i"c&usie )a& +ue a& 7acer &a sus)i)uci%" )( x F y = e" &a ecuaci%"
difere"cia& #s)a se )ra"sf!r$a e" u"a ide")idad c!" res-ec)! a x e" e&
i")era&! ba, .
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 12/16
. De$!s)rar +ue B Ax x y ++= 35 es u"a s!&uci%" de &a ecuaci%" difere"cia&
899: ;<5
S!&uci%"'E" es)e cas! &a ecuaci%" )ie"e d!s -ar=$e)r!s A / >1 es)! "!s i"dica +ue
se deria d!s eces'
89: ?52@ A 1 899: ;<5
Lue0! ree$-&aa"d! '' y e" &a ecuaci%" difere"cia& de& e"u"ciad!'
;<5 : ;<5 resu&)a u"a ide")idad -!r &! )a")!' Bx Ax x y ++= 35 es u"a
s!&uci%" de &a ecuaci%" difere"cia& i"dicada.
Es)e cas! -uede 7a*er $=s de u"a s!&uci%".8 : ?5;@ A es s!&uci%" de /99: ;<5
8 : ?5;@ > es s!&uci%" de /99: ;<5
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 13/16
SOLUCION PARTICULAR
DEFINICIÓN:
U"a s!&uci%" -aricu&ar de u"a ecuaci%" difere"cia& es cua&+uier re&aci%"
+ue saisface &a ecuaci%" es! es &! reduce a u"a ide"idad.
U"a s!&uci%" -aricu&ar se !*ie"e de &a -ri$iia ! s!&uci%" 0e"era& da"d!
a&!res defi"idas a &!s c!"sa"es ar*irarias.
P!r e3e$-&!'
B Ax x y ++= 32 es &a s!&uci%" 0e"era& (! -ri$iia) de &a ecuaci%"
difere"cia&' /99 : 25
E"!"ces -!de$!s asi0"ar difere"es a&!res ar*irari!s a &as c!"sa"es'
( )0,0cuando,2 3
=== B A x y Es u"a s!&uci%" -aricu&ar de &a E.D. /99 :
25
872 3 +−= x x y cua"d! A :B > :C. Es u"a s!&uci%" Paricu&ar de /99 :
25
B x y += 32 ( si A :<) Es u"a s!&uci%" Paricu&ar de /99 : 25
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 14/16
SOLUCIÓN SINGULAR
DEFINICIÓN:
U"a ecuaci%" -uede e"er s!&uci!"es +ue "! se -uede" !*e"er de &a
-ri$iia cua&+uiera +ue sea e& a&!r +ue se da a &as c!"sa"es
ar*irarias dic7as s!&uci!"es se &&a$a" s!&uci!"es si"0u&ares.
E3e$-&!'
. Sea / : C5 @ 2C2 &a s!&uci%" 0e"era& ! -ri$iia de u"a ecuaci%"
difere"cia&. a&&ar &a ecuaci%" difere"cia& as!ciada c!" &a -ri$iia dada
S!&uci%"'
22ccx y += ()
Deria"d! res-ec! a 456 se ie"e
89 : c
ree$-&aAa"d! &a deriada e" ()
( ) 2'2' y x y y += arre0&a"d!' ( ) 0''2 2 =−+ y x y y
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 15/16
2
8
1 x y −= c!$-r!*ar +ue esa ecuaci%" es s!&uci%" de &a ecuaci%"
difere"cia& e"c!"rada ! as!ciada a &a s!&uci%" 0e"era&'
( ) 0''2 2 =−+ y xy y
Deria$!s &a fu"ci%"2
8
1 x y −=
x y x y 4
1'28
1'
2
−=⇒−=
Ree$-&aa"d! e" &a ecuaci%" difere"cia&'
08
1
4
1
16
12
08
1
4
1
4
12
222
2
2
=+−
=
−−
−+
−
x x x
x x x x
084
1
8
1 2
22 =+− x
x x
7/21/2019 Ecuaciones Diferencial
http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-diferencial 16/16
. O*e"0a &a ecuaci%" difere"cia& as!ciada c!" &a -ri$iia y = A cos a x + B
sen a x, sie"d! A / > c!"sa"es ar*irarias / a u"a c!"sa"e fi3a.
Deria$!s 2 eces c!" res-ec! a 4a6
( ) ( )
( ) ( )
ax sen Baax A
a sax sen Baaax Aadx yd
ax Baax sen Aa
aax Baax sen Adx
dy
22
2
2
cos
.cos
cos
.cos
−−=
−++−=
+−=
+−=
fac!r c!$"
( )ax sen Bax Aa +−= cos2 -er! A cosax + B senax = y
02
2
22
2
2
=+⇒−=∴ yadx
yd ya
dx
yd E.D. -edida