1. TPICI Tema: Matemtica Responsable: Lic. Irma No Equipo n 8
Alumnos: Duran Laura, Chaca Romn Segundo cuatrimestre, 2014
2. Procedimiento general para el diseo de domos Geodsicos
3. 1. Se elige un poliedro base. En este caso se considera como
poliedro base octaedro de radio unitario y centrado en el
origen.
4. a) Se considera una de las caras de la fraccin elegida del
poliedro. b) Se dividen todas las aristas de est cara en partes
iguales, marcando con un punto cada divisin. c) Considrese una de
estas aristas como base (el segmento de recta formado por e1e2) ,
despus se unen los puntos de las dos caras restantes con segmentos
de recta paralelos a la arista base. Se repiten el paso 2 b) y 2
c), con las aristas restantes como base, para obtener la cara
totalmente dividida. Al terminar se repite el paso 2 con el resto
de las caras de la fraccin del poliedro. se le conoce como
frecuencia. 2. Se particionan las caras de una fraccin del
poliedro.
5. Se considera la cara perteneciente al primer octante de la
fraccin elegida del poliedro.
6. Se dividen todas las aristas de est cara en =4 partes
iguales, marcando con un punto cada divisin. Despus se trazan las
paralelas a la arista .
7. Repitiendo lo anterior sobre todas las aristas restantes
como base se tiene:
8. Se observa que despus de particionar las caras del poliedro
aparecen nuevos puntos, a partir de las intersecciones de las lneas
paralelas a cada arista, los que se llamarn Vij y se calculan de la
siguiente manera: + + m = , , = , , Donde u, m son los vectores que
parten desde e1 a e2 y e3 respectivamente y se calcula como u = e2
- e1 y m = e3 - e1 y es la frecuencia elegida para el domo
geodsico. Para saber cul punto es el Vij , se pondr especial
cuidado en la diferencia entre i y j. i nos indica la posicin sobre
la fila j. j nos indica el nivel en el que est el punto, es decir,
es el nmero de la fila paralela a u en el que se encuentra el
punto. 3. Calcular las coordenadas de los nuevos puntos.
10. Localizacin de los puntos Vij correspondientes al primer
octante.
11. Para poder proyectar cada punto en la esfera de radio 1 y
centrada en el origen es necesario normalizar cada vector formado
del origen a cada uno de los punto Vij, al punto proyectado se le
llama wij. Normalizar cada vector del origen a Vij, es dividir el
vector sobre su propia norma, es decir, wij 1 ij 2 + ij 2 + ij 2 .
(ij , ij , ij ) 4. Se proyecta cada punto de la particin en la
esfera.
13. Localizacin de los puntos wij correspondientes al primer
octante.
14. 5. Se calcula las nuevas longitudes de los segmentos, es
decir, la distancia euclidiana. En la literatura se hacen diseos de
domos de distintas maneras, se presenta la siguiente propuesta de
etiquetas para los distintos segmentos, que depende del nivel y
posicin en el que se encuentre el segmento. Se etiqueta en orden
alfabtico empezando por la letra A, siendo la etiqueta del segmento
del nivel ms alto de la cara, es decir, el segmento localizado
entre los puntos w0,h-1, y w1,h-1. Si el segmento se encuentra en
las orillas del tringulo original no lleva un subndice, de lo
contrario se le pondr un subndice iniciando en 2 y aumentando a
medida que el segmento se encuentre ms cerca del centro del
tringulo original, as se sabr que tan interno es el nivel en el que
se encuentra el segmento. La distancia euclidiana se calcula de las
siguiente forma: w, w = (w w )2 + (w w )2 +(w w )2
15. Propuesta de etiquetas para el domo. Mapa de etiquetas
completo
16. Se calculan las distancias euclidianas aproximadas de los
puntos normalizados. Calculando solamente las longitudes A,B,C, ,D,
w, w Segmentos Distancia w03 , w13 A 0.447214 w02 , w12 B 0.517638
w01 , w11 C 0.438871 w11 , w21 C2 0.57735 w00 , w10 D 0.320364 w10
, w20 D2 0.459506 Los clculos se encuentran disponibles en:
https://drive.google.com/file/d/0B4zbBXeluN3YY28zTnZYR1hSc1k/edit?usp=sharing
17. Finalmente el Domo queda de la siguiente forma:
18. Nuestro Domo:
19. Bibliografa Dueas Osuma, Alejandro (2013). El problema de
corte unidimensional aplicado a la obtencin de elementos
longitudinales de domos geodsicos. Universidad de Sonora, Divisin
de Ciencias Exactas y Naturales.