Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 1.
Diszkret matematika 2. C szakirany5. eloadas
Nagy [email protected]
[email protected]/∼nagy
Komputeralgebra Tanszek
2015. osz
Strukturak Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 2.
Muveletek
DefinıcioEgy X halmazon ertelmezett muvelet alatt egy ∗ : X n → X fuggvenytertunk.Egy X halmazon ertelmezett biner (ketvaltozos) muvelet egy∗ : X × X → X fuggveny. Gyakran ∗(x , y) helyett x ∗ y -t ırunk.
Pelda
C halmazon az +, · biner muvelet.
C halmazon az ÷ (osztas) nem muvelet, mert dmn(÷) 6= C× C.
C∗ = C \ {0} halmazon az ÷ biner muvelet.
Strukturak Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 3.
Muveleti tulajdonsagok
DefinıcioA ∗ : X × X → X muveletasszociatıv, ha ∀a, b, c ∈ X : (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c);kommutatıv, ha ∀a, b ∈ X : a ∗ b = b ∗ a.
Pelda
C-n az + ill. a · muveletek asszociatıvak, kommutatıvak.
A fuggvenyek halmazan a kompozıcio muvelete asszociatıv:(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).
A fuggvenyek halmazan a kompozıcio muvelete nem kommutatıv:f (x) = x + 1, g(x) = x2:x2 + 1 = (f ◦ g)(x) 6= (g ◦ f )(x) = (x + 1)2.
A kivonas az egesz szamok halmazan nem asszociatıv:−1 = (1− 1)− 1 6= 1− (1− 1) = 1.
Strukturak Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 4.
Algebrai strukturak
Definıcio
A (H;M) par algebrai struktura, ha H egy halmaz, M pedig H-nertelmezett muveletek halmaza.Az egy biner muveletes strukturat grupoidnak nevezzuk.
Pelda
(N; +) algebrai struktura, mert termeszetes szamok osszegetermeszetes szam (ld. Diszkret matematika 1.), es grupoid is.
(N;−) nem algebrai struktura, mert peldaul 0− 1 = −1 6∈ N.
(Z; +, ·) algebrai struktura, mert egesz szamok osszege es szorzataegesz szam (ld. Diszkret matematika 1.), de nem grupoid.
(Zm; +, ·) algebrai struktura (ld. Diszkret matematika 1.), nemgrupoid.
Strukturak Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 5.
Felcsoportok
Definıcio
A (G ; ∗) grupoid felcsoport, ha ∗ asszociatıv G -n.Ha letezik s ∈ G : ∀g ∈ G : s ∗ g = g ∗ s = g ,akkor az s semleges elem (egysegelem), (G ; ∗) pedig semleges elemesfelcsoport (egysegelemes felcsoport, monoid).
Pelda
N az + muvelettel egysegelemes felcsoport n = 0 egysegelemmel.
Q a · muvelettel egysegelemes felcsoport n = 1 egysegelemmel.
Ck×k a matrixszorzassal egysegelemes felcsoport azegysegmatrixszal, mint egysegelemmel.
Strukturak Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 6.
Csoportok
Definıcio
Legyen (G ; ∗) egy egysegelemes felcsoport e egysegelemmel. A g ∈ Gelem inverze a g−1 ∈ G elem, melyre g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.Ha minden g ∈ G elemnek letezik inverze, akkor (G ; ∗) csoport.Ha ezen felul ∗ kommutatıv is, akkor (G ; ∗) Abel-csoport.
Pelda
Q az + muvelettel, a 0 egysegelemmel.
Q∗ = Q \ {0} a · muvelettel, az 1 egysegelemmel.
{M ∈ Ck×k : detM 6= 0} a matrixszorzassal, es az egysegmatrixszal,mint egysegelemmel.
X → X bijektıv fuggvenyek a kompozıcioval, es az idX : x 7→ xidentikus lekepzessel mint egysegelemmel.
Strukturak Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 7.
Gyuruk
Definıcio
Legyen (R; ∗, ◦) algebrai struktura, ahol ∗ es ◦ biner muveletek. Aztmondjuk, hogy teljesul a ◦-nek a ∗-ra vonatkozo bal oldalidisztributivitasa, illetve jobb oldali disztributivitasa, ha∀k, l ,m ∈ R-re: k ◦ (l ∗m) = (k ◦ l) ∗ (k ◦m), illetve∀k, l ,m ∈ R-re: (l ∗m) ◦ k = (l ◦ k) ∗ (m ◦ k).
Pelda(Z; +, ·) eseten teljesul a szorzas osszeadasra vonatkozo mindket oldalidisztributivitasa.
Elnevezes
(R; ∗, ◦) ket biner muveletes algebrai struktura eseten a ∗-ra vonatkozosemleges elemet nullelemnek, a ◦-re vonatkozo semleges elemetegysegelemnek nevezzuk. A nullelem szokasos jelolese 0, az egysegeleme1, esetleg e.
Strukturak Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 8.
Gyuruk
Definıcio
Az (R; ∗, ◦) ket biner muveletes algebrai struktura gyuru, ha
(R; ∗) Abel-csoport;
(R; ◦) felcsoport;
teljesul a ◦-nek a ∗-ra vonatkozo mindket oldali disztributivitasa.
Az (R; ∗, ◦) gyuru egysegelemes gyuru, ha R-en a ◦ muveletre nezve vanegysegelem.Az (R; ∗, ◦) gyuru kommutatıv gyuru, ha a ◦ muvelet (is) kommutatıv.
Pelda
(Z; +, ·) egysegelemes kommutatıv gyuru.
(2Z; +, ·) gyuru, de nem egysegelemes.
Q, R, C a szokasos muveletekkel egysegelemes kommutatıv gyuruk.
Ck×k a szokasos muveletekkel egysegelemes gyuru, de nemkommutatıv, ha k > 1.
Strukturak Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 9.
Nullosztomentes gyuruk
Definıcio
Ha egy (R, ∗, ◦) gyuruben ∀r , s ∈ R, r , s 6= 0 eseten r ◦ s 6= 0, akkor Rnullosztomentes gyuru.
PeldaNem nullosztomentes gyuru
(R2×2; +, ·):(
0 00 1
)·(
1 00 0
)=
(0 00 0
)AllıtasNullosztomentes gyuruben a nem-nulla elemek additıv rendje megegyezik,es vagy egy p prımszam vagy vegtelen.
DefinıcioHa az elozo allıtasban szereplo kozos rend p, akkor a gyurukarakterisztikaja p, ha a kozos rend vegtelen, akkor pedig 0. Jelolese:char(R).
Strukturak Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 10.
Nullosztomentes gyuruk
DefinıcioA kommutatıv es nullosztomentes gyurut integritasi tartomanynaknevezzuk.
Pelda
(Z; +, ·)
Definıcio
Az (R; ∗, ◦) egysegelemes integritasi tartomanyban az a, b ∈ R elemekreazt mondjuk, hogy a osztoja b-nek, ha van olyan c ∈ R, amire b = a ◦ c .Jelolese: a|b.
DefinıcioAz egysegelem osztojat egysegnek nevezzuk.
Strukturak Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 11.
Testek
Definıcio
Az (R; ∗, ◦) gyuru ferdetest, ha (R \ {0}; ◦) csoport. A kommutatıvferdetestet testnek nevezzuk.
Pelda
Q, R, C a szokasos muveletekkel,
Zp a szokasos muveletekkel, ha p prım.
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 12.
Alapfogalmak
Definıcio
Legyen (R; +, ·) gyuru. A gyuru elemeibol kepzett f = (f0, f1, f2, . . . )(fj ∈ R) vegtelen sorozatot R folotti polinomnak nevezzuk, ha csak vegessok eleme nem-nulla.Az R folotti polinomok halmazat R[x ]-szel jeloljuk.R[x ] elemein definialjuk az osszeadast es a szorzast.f = (f0, f1, f2, . . . ), g = (g0, g1, g2, . . . ) es h = (h0, h1, h2, . . . ) esetenf + g = (f0 + g0, f1 + g1, f2 + g2, . . . ) es f · g = h, ahol
hk =∑
i+j=k
figj =k∑
i=0
figk−i =k∑
j=0
fk−jgj .
Megjegyzes
Konnyen lathato, hogy polinomok osszege es szorzata is polinom.
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 13.
Alapfogalmak
Allıtas (NB)
Ha (R; +, ·) gyuru, akkor (R[x ]; +, ·) is gyuru, es R folottipolinomgyurunek nevezzuk.
Megjegyzes
Gyakran az (R; +, ·) gyurure szimplan R-kent, az (R[x ]; +, ·) gyurureR[x ]-kent hivatkozunk.
Allıtas
Ha az R gyuru kommutatıv, akkor R[x ] is kommutatıv.
Bizonyıtas
(f · g)k = f0gk + f1gk−1 + . . . + fk−1g1 + fkg0 == gk f0 + gk−1f1 + . . . + g1fk−1 + g0fk == g0fk + g1fk−1 + . . . + gk−1f1 + gk f0 = (g · f )k
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 14.
Alapfogalmak
Allıtas1 ∈ R egysegelem eseten e = (1, 0, 0 . . .) egysegeleme lesz R[x ]-nek.
Bizonyıtas
(f · e)k =k∑
j=0
fjek−j =k−1∑j=0
fjek−j + fke0 = fk
AllıtasHa az R gyuru nullosztomentes, akkor R[x ] is nullosztomentes.
BizonyıtasLegyen m, illetve n a legkisebb olyan index, amire fn 6= 0, illetve gm 6= 0.
(f · g)n+m =n+m∑j=0
fjgn+m−j =n−1∑j=0
fjgn+m−j + fngm +n+m∑
j=n+1
fjgn+m−j = fngm 6= 0
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 15.
Alapfogalmak
Jeloles
Az f = (f0, f1, f2, . . . , fn, 0, 0, . . . ), fn 6= 0 polinomotf (x) = f0 + f1x + f2x
2 + · · ·+ fnxn, fn 6= 0 alakba ırjuk.
DefinıcioAz elozo pontban szereplo polinom eseten fi -t az i-ed foku tagegyutthatojanak nevezzuk, f0 a polinom konstans tagja, fn afoegyutthatoja, fnx
n a fotagja, n pedig a foka. f fokanak jeloleseredeg(f ) hasznalatos.
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 16.
Alapfogalmak
Megjegyzes
A foegyutthato tehat a legnagyobb indexu nem-nulla egyutthato, a fokpedig ennek indexe.A 0 = (0, 0, . . . ) nullpolinomnak nincs legnagyobb indexu nem-nullaegyutthatoja, ıgy a fokat kulon definialjuk, megpedig deg(0) = −∞.
DefinıcioA konstans polinomok a legfeljebb nulladfoku polinomok, a linearispolinomok pedig a legfeljebb elsofoku polinomok. Az fix
i alakba ırhatopolinomok a monomok. Ha f ∈ R[x ] polinom foegyutthatoja Regysegeleme, akkor f -et fopolinomnak nevezzuk.
Pelda
x3 + 1 ∈ Z[x ]23 ∈ Q[x ]
πx + (i +√
2) ∈ C[x ]
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 17.
Alapfogalmak
Allıtas
Legyen f , g ∈ R[x ], deg(f ) = n, es deg(g) = k. Ekkor:
deg(f + g) ≤ max(n, k);
deg(f · g) ≤ n + k.
Bizonyıtas
Legyen h = f + g . Ekkor j > max(n, k) eseten hj = 0 + 0 = 0.Legyen h = f · g . Ekkor j > n + k eseten
hj =
j∑i=0
figj−i =n∑
i=0
figj−i +
j∑i=n+1
figj−i = 0.
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 18.
Alapfogalmak
Megjegyzes
Nullosztomentes gyuru eseten egyenloseg teljesul a 2. egyenlotlensegben,hiszen
hn+k =n+k∑i=0
fign+k−i =n−1∑i=0
fign+k−i + fngk +n+k∑
i=n+1
fign+k−i = fngk 6= 0.
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 19.
Alapfogalmak
Definıcio
Az f (x) = f0 + f1x + f2x2 + . . . + fnx
n ∈ R[x ] polinom r ∈ R helyenfelvett helyettesıtesi erteken az f (r) = f0 + f1r + f2r
2 + . . . + fnrn ∈ R
elemet ertjuk.f (r) = 0 eseten r -et a polinom gyokenek nevezzuk.Az f : r 7→ f (r) lekepezes az f polinomhoz tartozo polinomfuggveny.
Megjegyzes
Ha R veges, akkor csak veges sok R → R fuggveny van, mıg vegtelen sokR[x ]-beli polinom, ıgy vannak olyan polinomok, amikhez ugyanaz apolinomfuggveny tartozik, peldaul x , x2 ∈ Z2[x ].
Peldaf (x) = x2 + x − 2 ∈ Z[x ]-nek a −2 helyen felvett helyettesıtesi erteke(−2)2 + (−2)− 2 = 0, ezert −2 gyoke f -nek.
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 20.
A maradekos osztas tetele es kovetkezmenyei
Tetel (polinomok maradekos osztasa)
Legyen R egysegelemes integritasi tartomany, f , g ∈ R[x ], es tegyuk fel,hogy g foegyutthatoja egyseg R-ben. Ekkor egyertelmuen leteznek olyanq, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = qg + r , ahol deg(r) < deg(g).
Bizonyıtas
Letezes: f foka szerinti TI: ha deg(f ) < deg(g), akkor q = 0 es r = feseten megfelelo eloallıtast kapunk.Legyen f foegyutthatoja fn, g foegyutthatoja gk . n ≥ k eseten legyenf ∗(x) = f (x)− fng
−1k g(x)xn−k .
deg(f ∗) < deg(f ) (Miert?) miatt f ∗-ra hasznalhatjuk az indukciosfeltevest, vagyis leteznek q∗, r∗ ∈ R[x ] polinomok, amikre f ∗ = q∗g + r∗.f (x) = f ∗(x) + fng
−1k g(x)xn−k = q∗(x)g(x) + r∗(x) + fng
−1k g(x)xn−k =
= (q∗(x) + fng−1k xn−k)g(x) + r∗(x),
ıgy q(x) = q∗(x) + fng−1k xn−k es r(x) = r∗(x) jo valasztas.
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 21.
A maradekos osztas tetele es kovetkezmenyei
Bizonyıtas folyt.
Egyertelmuseg: Tekintsuk f ket megfelelo eloallıtasat:f = qg + r = q∗g + r∗, amibol:
g(q − q∗) = r∗ − r .
Ha a bal oldal nem 0, akkor a foka legalabb k, de a jobb oldal fokalegfeljebb k − 1, tehat0 = g(q − q∗) = r∗ − r , es ıgyq = q∗ es r = r∗.
Definıcio
Ha c ∈ R az f ∈ R[x ] polinom gyoke, akkor (x − c) ∈ R[x ] a c-heztartozo gyoktenyezo.
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 22.
A maradekos osztas tetele es kovetkezmenyei
Kovetkezmeny (gyoktenyezo levalasztasa)
Ha 0 6= f ∈ R[x ], es c ∈ R gyoke f -nek, akkor letezik olyan q ∈ R[x ],amire f (x) = (x − c)q(x).
Bizonyıtas
Osszuk el maradekosan f -et (x − c)-vel (Miert lehet?):
f (x) = q(x)(x − c) + r(x).
Mivel deg(r(x)) < deg(x − c) = 1, ezert r konstans polinom.Helyettesıtsunk be c-t, ıgy azt kapjuk, hogy0 = f (c) = q(c)(c − c) + r(c) = r(c),amibol r = 0.
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 23.
A maradekos osztas tetele es kovetkezmenyei
Kovetkezmeny
Az f 6= 0 polinomnak legfeljebb deg(f ) gyoke van.
Bizonyıtas
f foka szerinti TI:deg(f ) = 0-ra igaz az allıtas (Miert?).Ha deg(f ) > 0, es f (c) = 0, akkor f (x) = (x − c)g(x) (Miert?), aholdeg(g) + 1 = deg(f ) (Miert?). Ha d gyoke f -nek, akkor d − c = 0,amibol d = c , vagy d gyoke g -nek (Miert?). Innen kovetkezik az allıtas.
Polinomok Diszkret matematika 2. C szakirany 2015. osz 24.
A maradekos osztas tetele es kovetkezmenyei
Kovetkezmeny
Ha ket, legfeljebb n-ed foku polinomnak n + 1 kulonbozo helyen ugyanaza helyettesıtesi erteke, akkor egyenloek.
Bizonyıtas
A ket polinom kulonbsege legfeljebb n-ed foku, es n + 1 gyoke van(Miert?), ezert nullpolinom (Miert?), vagyis a polinomok egyenloek.
Kovetkezmeny
Ha R vegtelen, akkor ket kulonbozo R[x ]-beli polinomhoz nem tartozikugyanaz a polinomfuggveny.
Bizonyıtas
Ellenkezo esetben a polinomok kulonbsegenek vegtelen sok gyoke lenne(Miert?).