Controle de Sistemas Desempenho de Sistemas de Controle
Renato Dourado Maia
Universidade Estadual de Montes Claros
Engenharia de Sistemas
Controle de Sistemas – Professor Renato Dourado Maia
Análise da Resposta Temporal A resposta temporal de um sistema de controle
pode ser dividida em duas partes:
A resposta transitória:
A resposta de regime permanente ou estado esta-cionário (steady-state):
( ) ( ) ( )ty t y t y= + ∞
( )y ∞
( )ty t
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Análise da Resposta Temporal A resposta transitória é definida como a parte da
resposta que tende a zero quando o tempo tende a infinito:
A resposta de estado estacionário é a parte da resposta que permanece quando a resposta tran-sitória se iguala a zero, podendo ser constante ou um sinal que varia no tempo com padrão cons-tante, como um sinal senoidal de amplitude, fre-quência e fase constante, ou um sinal tipo rampa com inclinação constante.
lim ( ) 0tty t
→∞=
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Especificações de Desempenho Podem incluir vários índices de resposta temporal
para uma entrada de comando específica, bem como uma precisão em regime permanente espe-rada.
Geralmente as especificações são concorrentes.
O que fazer?
Buscar um compromisso entre as características desejadas e as que são obtidas após ajustes sucessivos...
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Sinais de Teste
(a) Degrau. (b) Rampa. (c) Parábola.
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Sistemas de Primeira Ordem Consideremos um sistema de primeira ordem:
Para uma entrada do tipo impulso unitário, a saí-da do sistema é:
1( )( )( )
Y s kG sR s as
= =+
1( ) ( ) ( ) 1 ( ) atkY s G s R s y t kes a
−= = ⇒ =+
0 0
0Seja o polo da fu
pp p
pnçãoa
< →= − = → > →
lim ( ) 0t
y t→∞
=klim ( )t
y t→∞
= ∞
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Sistemas de Primeira Ordem Para uma entrada do tipo degrau unitário, a saída
do sistema é:
1( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( ) ( )
tak k k kY s G s R s y t es s s
aa asa
a−= = = − ⇒ = −
+ +
0p a= − <
1 constante de t mpoa eτ = =
Tempo para se chegar a 63,2% do valor final...
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Sistemas de Primeira Ordem
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Sistemas de Segunda Ordem Consideremos um sistema de segunda ordem:
Considerando-se realimentação unitária negativa:
2
2 2
( )( )( ) 2
n
n
Y sG sR s s s
ωωζ
= =+
2
2 2( ) ( )2
n
n n
Y s R ss sζ
ωω ω
=+ +
Qual é a resposta para uma entrada em degrau unitário?
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Sistemas de Segunda Ordem A resposta temporal para uma entrada em de-
grau unitário é:
( ) 1 ( )
1 ( )
n
n
t
n n
t
n
ey t cos t sen t
e sen t
ω
ω
ζ
ζ
ω ββ
ω
ζ ββ
βθ
ω
β
−
−
= − +
= − +
1 2, 1 , 0 1cosθ βζ ζ ζ−= = − < <
Coeficiente/Fator/Relação de Amortecimento
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Sistemas de Segunda Ordem 2
2 2( )2
n
n n
G ss sζ
ωω ω
=+ +
Pólos 21 2, 1n np p jω ωζ ζ= − ± −
X Polo
θ
jω
σ
21nω ζ−
nζω−
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Sistemas de Segunda Ordem Componentes da Resposta ao Degrau Gerados por Polos Complexos
Decaimento exponencial gerado pela parte real do par de pólos complexos
Oscilação senoidal gerada pela parte imaginária do par de pplos complexos
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Sistemas de Segunda Ordem Um sistema de segunda ordem pode ser classifi-
cado de acordo com o valor de seu coeficiente de a-mortecimento:
1 2
21 2
1 2
21 2
21 2
0 ,
0 1 , 11 ,
1 , 1
0 , 1
n
n n
n
n n
n n
p p j não amortecido
p p j subamortecidop p criticamente amortecido
p p sobreamortecido
p p j instável
ζ
ζ ζ
ω
ω ωω
ω ω
ζζ
ζ ζ ζ
ζ ζ ζω ω
= → = ⇒ −
< < → = − ± − ⇒
= → = − ⇒
> → = − ± − ⇒
< → = − ± − ⇒
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Sistemas de Segunda Ordem
plano s
plano s
plano s
plano s
Pólos Resposta ao degrau
Não-amortecido
Subamortecido
Criticamente amortecido
Superamortecido
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Sistemas de Segunda Ordem
Não-amortecido
Subamortecido
Superamortecido
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,5 1,5 2,5 3,5
Criticamente amortecido
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Sistemas de Segunda Ordem
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
ωn*t
y(t)
Resposta de um sistema de Segunda Ordem para Diferentes Fatores de Amortecimento
ζ = 0.1ζ = 0.2ζ = 0.4ζ = 0.7ζ = 1ζ = 2
Script em Matlab: M_5_DesempenhoSistemasProg1.m
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Sistemas de Segunda Ordem
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Sistemas de Segunda Ordem Sistema
Diagrama de pólos e zeros Resposta
Geral
Subamortecido
Superamortecido
plano s
plano s
Não-amortecido
Criticamente amortecido
plano s
plano s
1,4 1,2
0,8 0,6 0,4 0,2
sen 1,06 19,47°
0,5
0,171 1,171
7,854t 1,146t
1,146 7,854
0,8 0,6 0,4 0,2
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Sistemas de Segunda Ordem Especificações de resposta transitória, conside-
rando entrada em degrau:
1. Tempo de Subida:
2. Tempo de Acomodação ou Assentamento:
3. Ultrapassagem Percentual:
4. Tempo do Primeiro Pico:
1,r rT T
sT. .U P
pT
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Sistemas de Segunda Ordem
Tempo Tempo de
Assentamento Tempo de
Pico
Tempo de Subida
Ultra- passagem
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Sistemas de Segunda Ordem A mesma envoltória
A mesma freqüência
A mesma ultrapassagem
plano s
plano s
plano s
Movimentação do pólo
Movimentação do pólo
Movimentação do pólo
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Sistemas de Segunda Ordem Fixando uma tolerância de 2%, por exemplo,
para o tempo de acomodação, como calculá-lo?
Pensando apenas na exponencial que “envolve” a resposta:
Aplicando o nosso conhecimento de Cálculo 0...
0,02snTe ζω− <
44n
sT τωζ
= =
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Sistemas de Segunda Ordem O valor máximo e o tempo do primeiro pico re-
presentam um ponto de máximo... Como achar uma expressão para calculá-los?
Aplicando o nosso conhecimento de Cálculo 1...
2
( ) 01n
pTdy tdt ω ζ
π= ⇒ =
−
2
2
1
1
1
100.
tpM
U
e
eP
πζ
ζπ
ζ
ζ
− −
− −
= +
=
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Sistemas de Segunda Ordem Ultrapassagem Percentual e Tempo de Pico Normalizado × Relação
de Amortecimento U
ltrap
assa
gem
Máx
ima
Perc
entu
al
Coeficiente de Amortecimento
Ultrapassagem Percentual
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Sistemas de Segunda Ordem Ultrapassagem Percentual e Tempo de Pico Normalizado × Relação
de Amortecimento
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Coeficiente de Amortecimento(ζ)
Ultr
apas
sage
m P
erce
ntua
l
Ultrapassagem Percentual x Coeficiente de Amortecimento (ζ)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 13
4
5
6
7
8
9
10
11
Coeficiente de Amortecimento(ζ)
Tem
po d
e P
ico
Nor
mal
izad
o ( ω
nT p)
Tempo de Pico Normalizado (ωnTp) x Coeficiente de Amortecimento (ζ)
Script em Matlab: M_5_DesempenhoSistemasProg2.m
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Sistemas de Segunda Ordem Tempo de Subida Normalizado versus Relação de Amortecimento
Tempo de Subida Real
Aproximação Linear
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Sistemas de Segunda Ordem Efeito de um terceiro polo na resposta de um
sistema de segunda ordem:
A análise de sistemas de segunda é importante porque muitos sistemas têm um par de polos dominantes.
Quando um sistema possui dois polos complexos (osci-lações subamortecidas) e um polo real (resposta expo-nencial), a resposta total será uma combinação das duas, predominando aquela que for mais lenta (pplos mais próximos da origem).
16/09/2014 27/29
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Sistemas de Segunda Ordem Seja o seguinte sistema de terceira ordem:
É possível analisá-lo como um sistema de se-gunda ordem?
Sim, desde que a seguinte condição, que é verificada experimentalmente, seja satisfeita:
2
1( ) , 1( 2 1)( 1) nT ss s sζ γ
ω= =+ + +
1 10 nγ ζω≥
Dominância de polos!!!
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Sistemas de Segunda Ordem
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t
y(t)
Efeito de um Terceiro Pólo na Resposta de um Sistema de Segunda Ordem
Segunda Ordemp3 = 0.5
p3 = 1
p3 = 2
p3 = 10
2
2 23
5( )((1 ) 1)( 2 5 )
G ssp s s
=+ + +
1 10 nγ ζω≥
3 10
!!!aproximação válida
p ≥
⇓
1nζω =
Script em Matlab: M_5_DesempenhoSistemasProg3.m
16/09/2014 29/29