Dati due insiemi A e B, sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali, si definisceuna FUNZIONE fra i due insiemi una relazione che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento
dove:x è detta VARIABILE INDIPENDENTEy è detta VARIABILE DIPENDENTE f è la legge matematica
x y=f(x)
0 3
2 0
4 -3
0 se
0 se ||
xx
xxxy
Funzione definita a trattiEsempio di funzione
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI
Le funzioni possono essere classificate in ALGEBRICHE e TRASCENDENTI
Se l’espressione analitica che descrive una funzione contiene solo addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza, estrazione di radice la funzione si dice ALGEBRICA
Tra le funzioni algebriche troviamo:•razionali intere
•razionali fratte
•irrazionali
75 xy 732 xxy
42
73
x
xy
3 1 xy
Le funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche sono chiamate
funzioni TRASCENDENTI
FUNZIONE DOMINIO
Razionale intera
Razionale fratta
Irrazionale
Trigonometrica
Logaritmica
Esponenziale
Potenze con esponente irrazionale
DOMINIO DI UNA FUNZIONE
2, nxy n ;0 Dparin
; Ddisparin
senxy xy cos ;D
tgxy ZkkxRxD ,2/12|
)(
)(
xB
xAy 0)( xB
cbxaxy nn ....1 ;D
gxy cot ZkkxRxD ,|
1,con log aRaxy a ;0D
Raay x con ;D
xy ;0D
Data una funzione di equazione y=f(x) si definisce il DOMINIO (campo di esistenza o insieme di definizione) della funzione l’insieme dei valori reali di x per i quali l’espressione f(x) ha significato. Si indica con D o C.E.
SEGNO DI UNA FUNZIONE
Esempio:
Studiare il SEGNO di una funzione vuol dire determinare gli intervalli nei quali la funzione è positiva o negativa
+
-
I GRAFICI DELLE FUNZIONI
Traslo il grafico della funzione y=f(x) a destra di un certo vettore a ottenendo y=f(x-a)
Per disegnare y=f(x+a) traslo il grafico a sinistra di un certo vettore a
Traslo il grafico della funzione y=f(x) in alto di un certo vettore b ottenendo y = f (x)+ bPer disegnare y=f(x)- b traslo il grafico verso il basso di un certo vettore b
LE SIMMETRIE
Grafico di y = - f (x)Simmetria rispetto all’asse x
y = - f (x)
y=f(x)
Grafico di y = f (-x)Simmetria rispetto all’asse y
FUNZIONE PARI
y=f(x)y=f(-x)
Grafico di y = - f (-x)Simmetria rispetto ad O
FUNZIONE DISPARI
y=f(x)
y=-f(-x)
Grafico di y = |f (x)|
Simmetria rispetto all’asse
delle x della parte negativa del
grafico
Grafico di y = f ( |x| )
Per x>0 il grafico rimane
uguale,
per x<0 il grafico è il
simmetrico rispetto all’asse y
LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE
Una funzione si dice INIETTIVA se due qualunque elementi distinti di
A hanno immagini distinte in B
Una funzione si dice SURIETTIVA se tutti gli elementi di B sono
immagini di almeno un elemento di A
Una funzione si dice BIIETTIVA (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva
y = 2x-1 è sia iniettiva che suriettiva: a ogni valore scelto sull’asse y corrisponde un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull’asse x. La funzione è quindi biiettiva.
è suriettiva se si considera come insieme B quello degli y tali che y < 4, ma non è iniettiva perché scelto nel codominio un y diverso da 4, esso è immagine di due valori distinti di x.
42 xy
FUNZIONI CRESCENTI e DECRESCENTIData una funzione y=f(x) di dominio D
DI
Crescente in senso lato Decrescente in senso lato
Si dice che f è DECRESCENTE in senso stretto in un intervallo DI
Una funzione sempre crescente o decrescente si dice MONOTONA
Si dice che f è CRESCENTE in senso stretto in un intervallo
FUNZIONI PERIODICHE
f(x)kT)(x , fDxLa funzione f è periodica con periodo T se
Esempi:
T
2T cos
2T
tgxy
xy
senxy
LA FUNZIONE INVERSAABf :1Data una funzione biunivoca, allora si può definire una nuova
funzione
detta funzione INVERSA di f che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x) Se una funzione ammette l’inversa allora è invertibile.
Graficamente la funzione inversa è simmetrica a f rispetto alla bisettrice del
1°/3° quadrante
Esempio:
2)( xxfy definita per x>0 è BIETTIVA
yyfx )(1La sua funzione inversa è:
Per rappresentare la funzione
inversa insieme alla funzione f,
scambiamo le variabili, ottenendo
così:
xy
LA FUNZIONE COMPOSTA
Date due funzioni e
Si indica con o
BAg : CBf :
gf ))(( xgfy
La funzione composta da A a C che si
ottiene associando a ogni x di A
l’immagine mediante f dell’immagine di x
mediante g
Esempio: 2)( xxf 1)( xxg
2)1()1())(( xxfxgfygf
1)())(( 22 xxgxfgyfg