SOLUCION:
Cálculo de las reacciones: Aplicando momentos respecto al punto A se obtiene el valor de
R2.∑M A=0−30k N (2m)−24kN (5m )+6 R2=0
R2=(60+120)
6k N
R2=30 k N∑F y=0R1+R2=(30+24)k NR1=54 k N−R2R1=54 k N−30k N
R1=24 k NFuerza Cortante:
. (V=ΣFyizquierda)Tramo AB
V AB=24k x0N
Tramo BCV BC=(24−30)k x0NV BC=−6k x0NTramo CD
V CD=(24−30−24 )k x0NV CD=−30k x0N
Momento Flexionante:M= ΣMizquierda
Tramo ABM AB=24 k N (x)mM AB=24 x k N m
x M AB
0 0
2 48
Tramo BCMBC= (24 k N ) (x m )−30kN (x−2)mMBC=¿ x0 ¿k N m
x MBC
2 48
5 30
Tramo CDMCD=(24k N ) ( x m)−30kN ( x−2 )m−24k N ( x−5)mMCD=¿ x0 ¿k N m
x MCD
5 30
6 0
425. viga cargada como indica la figura
426) Viga en voladizo, sobre la que actúan dos fuerzas y un par como indica la figura.
Solución:Fuerzas cortantes:
V=∑ Fy izquierda
Tramo ABVAB=(-50)K x0N
Tramo BCVBC=(-50)K x0 N
Tramo CDVCD=-50 K N+30 K N
VCD=-20 K x0NMomentos flexionantes:
M=∑M izquierda
Tramo ABMAB =-50 K N (x m)
MAB =(-50 x)K Nm
Tramo BC MBC =-50 K N (x m) +60 k N
MBC =(-50 X+60x0) k N m
Tramo CD MCD =-50 K N (x m) +60 k N+30 k N ( x -2) mMCD = (-50 x +60)+30(x -2) k NmMCD = (-50 x +30 x -60+60) k Nm
MCD = -20 x k Nm
427. Viga cargada como indica la figura.
x MAB
0
0
1
-50
x MBC
1 -102 -40
x MCD
2 -404 -80
SOLUCION:Cálculo de las reacciones:Aplicando momentos respecto al punto B se obtiene el valor de R2.∑MB=0
10kN (1m )−10k Nm
(2m )(2m)+R2(5m)=0
(10−40 ) k N m=−R2(5m)R2=6kN
∑FY=0
−10k N+R1−10 kNm
(2m )+R2=0
R1=30−R2R1=24 k N
Fuerzas cortantes:V=∑ Fy izquierda
Tramo AB V AB=−10k x0 NTramo BCV BC=(−10+24)k x0NV BC=14k x
0NTramo CD
V CD=(−10+24 ) k N−10k Nm
( x−2 )m
V CD=14 k N−10 xk N+20 k NV CD=(34 x0−10 x)k NTramo DE
V DE=¿ (−10+24 ) k N−10k Nm
(2m )
V DE=−6 k x0NMomento Flexionante:
M= ΣMizquierda
Tramo ABM AB=¿ −10k N (x m)M AB=(−10 x) k N mTramo BCMBC=−10k N ( x m )+24k N ( x−1 )mMBC= (−10x+24 x−24 ) k N m
MBC= (14 x−24 )k N mTramo CDMCD=¿ −10k N ( xm )+24 k N ( x−1 )m
−10k Nm
( x−2 )m (x−2)2
m
MCD={(−10x+24 x−24 )−10(x2−4 x+4 )
2 }k N m
MCD=(−10x+24 x−24−5 x2+20 x−20)k N mMCD=¿ (−5 x2+34 x−44 x0) k N m
Tramo DE
x V CD
2 143 44 -6
x M AB
0 01 -10
x MBC
1 -102 4
x MCD
2 43 134 12
MDE=¿
−10k N ( xm )+24 k N ( x−1 )m−20kN (x−3)mMDE=¿ (−10 x+24 x−24−20 x+60) k N m
MDE=(−6 x+36 x0)k N m
428. Viga cargada como se muestra en la figura
SOLUCION:Cálculo de las reacciones:Aplicando momentos respecto al punto A se obtiene el valor de R2.∑M A=0
-60 k N (1 m)- 5kNm
(4m ) (2m)- 30 k N (6 m) +R2(4 m)=0
-60 – 40 -180=4R2R2 = 70 KN
∑F y=0-R1-60 k N – 20 k N +R2 -30 k N = 0
R1 = ( 110 – 70 ) k NR1=40 KN
Análisis por tramos para la fuerza cortanteV=∑ FYizq
Tramo AB
V AB=¿ 40 k N - 5kNm
( x m)
V AB=(40 x0−5 x )kN
Tramo BC
V BC=40k N−5k Nm
( x m )−60k N
V BC=(−20 x0−5 x )k NTramo CD
V BC=40k N−5k Nm
(4m )−60 k N + 70 k N
30 k N
x= 4m
x MDE
4 125 0
X V AB
0 401 35
x V BC
1 -254 -40
V CD=(40−60−5 (4 )+70 )k NV CD=30 x
0 k NAnálisis por tramos para cargas momenteales
M=∑M izq
Tramo AB
M AB=⦋40 x−5 x (x2)⦌k N .m
M AB=⦋40 x−2.5 x2⦌k N .mTramo BC
MBC=⦋40 x−5 x ( x2 )−60 ( x−1 ) ⦌k N .m
MBC=⦋40 x−2.5 x2−60 x+60 ⦌k N .m
MBC=⦋−2.5 x2−20x+60 x0 ⦌k N .m
Tramo CDMCD=⦋40 x−5 (4 ) ( x−2 )−60 ( x−1 )+70 ( x−4 ) ⦌k N .mMCD=⦋40 x−20 x+40−60+60+70 x−280 ⦌k N .m
MCD=⦋−180 x0+30 x ⦌k N m
Momento máximo(−20 x0−5 x )=0
-20= 4xx=4m
Mmáx= -60 kN m
x M AB
0 00.5 19.41 37.5
x MBC
1 37.51.5 24.42 10
2.5 -5.63 -22.53. -40.64 -60
x V AB
4 -606 0
429. Viga cargada como se indica en la figura P-429.
Cálculo de las reacciones
Cp1= 20 k Nm
(2m)= 40KN
Cp2= 10 k Nm
(6m)= 60KN
∑MB=040KN (1m) – 20KN (1m) + R2 (5m)-60KN (4 m)=0
R2=−(40−20−240 )
5kN
R2=2205
kN
R2=44 kN
∑F y=0R1+R2=(20+40+60)k NR1=−R2+120k NR1=−44k N+120k N
R1=76 k NFuerzas cortantes
V=∑(Fy)izquierdaTramo AB
V AB=−20k Nm
(x m)
V AB=−20x k N
x V AB
0 02 -40
Tramo BC
V BC=−20k Nm
(2m)+76 kN
V BC=36k x0N
Tramo CDV CD=(24−30−24 )k x0N
V CD=−30k x0NTramo DE
V CD=−20k Nm
(2m )+76kN−20kN−¿
10kNm
( x−3 )m+44 kN
V CD=(90x0−10x )k N
Momentos Flexionantes
M=∑(M )izquierdaTramo AB
M AB=−20k Nm
(x)m( x2)m
M AB=−10 x k N mTramo BC
MBC= (−20k N /2 ) (2m ) (x−1 )m+76kN ( x−2 )mMBC=¿ x0 ¿k N m
Tramo CD
MCD=−20k Nm
(2)m ( x−1 )m+76kN ( x−2 )m−10k Nm
( x−3 )m ( x−3 )m2
−20kN (x−3)m
MCD=¿ x0 ¿k N mMCD=¿+46x -97 )k N m
Tramo DE
x V CD
3 167 -24
x V DE
7 208 0
x MBC
2 -403 -4
x MCD
3 -44 7
6 -1
7 -20
x MDE
7 -207,5 -11,3
8 -5
8,5 -20
9 0
MDE=−20k Nm
(2)m ( x−1 )m+76kN ( x−2 )m−10k Nm
( x−3 )m ( x−3 )m2
−20kN (x−3)m
+ 44KN (x-7)mMDE=¿)k N m
MDE=(−5 x2+90 x−405 )k N m
430. En la viga mostrada en la figura determine P para que el momento sobre cada apoyo sea igual al momento a la mitad del claro.
Cálculo las reacciones R1y R2 usando∑MB=0
P(1m)-5(KNm
)(8m)(3m)+R2(6m)-P(7m)
P-120+6R2-7P=0-6P-120+6R2=0
R2=6 P+1206
R2= (P+20) K N∑ Fy=0-P+R1-40+R2-P=0-P+R1-40+P+20-P=0R1-20-P=0
R1=(P+20) K NDonde se tiene:MB+MC=0-P-2.5-P+20=0-2P+17.5=0
P=8.75 K NFuerza cortante
V=∑ FizqTramo AB
VAB = (-8.75-5X) K NTramo BDVBD = (-5x-8.75+28.75VBD =(-5x+20) K NTramo DEVDE=(-5X+20+28.75) K N
VDE=(-5X+48.75) K NM=∑Mizq
Tramo AB
MAB= -8x(x2)-8.75x
MAB=(-2.5x2-8.75x) K N mTramo BDMBD=-2.5x2-8.75x+28.75(x-1)MBD=(-2.5x2+¿20x-28.75) K N mTramo DEMDE=-2.5x2+¿20x-28.75+28.75(x-7) K N mMDE=(-2.5x2+¿48.75x-230) K N m
x VAB0 -8.751 -
13.75
x VBD1 152 103 54 05 -56 -107 -15
x MAB0 01 -11.2
X VDE7 13.758 8.75
Tabla de valores
Para obtener Mmáx. Usamos
-5x+20=0
X=4m
Mmax=11.25K Nm ;Vmax=15 K N
431. Viga cargada y apoyada como indica la figura P-431.
20K N/m
40K N50 k N
DC
x MBD1 -11.252 1.253 8.754 11.255 8.756 1.257 -11.25
x MDE7 -11.258 0
SOLUCION:Cálculo de las reacciones:Sumatoria de momentos en el punto D, para obtener el valor de R1.ΣMD=0-R1(7)+50(5)+100(2)+80(2)-40(3))kN.m=0R1=70kNSumatoria de fuerzas en Y. Para obtener R2
ΣFy=0(70-50-100-80+R2-40)Kn=0R2=200kN.Fuerza cortante
V=∑ FizqTramo ABVAB=(10(x)-70) KNVAB=(10x-70) KNTramo BC: VBC=(70-10(X)-50) KN VBC=(-10X+20)KnTramo CD:VCD=(70-10(X)-50-20(X-3)) KN VCD=(-30X+80) KN Tramo DE:VDE=(70-10(X)-50-20(4)+200) KNVDE=(-10X+140) KNMomentos Flexionantes
M= ΣMizquierda. Tramo AB:
AB=(70x-10x(x2
))KN m
MAB=(-5x2+70x) KN mTramo BC:
MBc=(70x-10x(x2
)-50(x-2))KN m
MBc=(-5x2+20x+100) KN mTramo CD:
MCD=(70x-10x(x2
)-50(x-2)-20(x-3)( x−32
)) KN m
MCD=(-15x2+80x+10) KN mTramo DE:MDE=(70x-10x(x/2)-50(x-2)+200(x-7)-80(x-5)) KN mMDE=(-5x2+140x-900)
20K N/m
X VDE7 709 50
10 40
X VCD3 -105 -707 -180
X VBC2 03 -10
X VAB0 701 602 50
Tablas de valores
x MBC2 1203 115
X MCD3 1154 905 356 -507 -165
X DE7 -1658 -1009 -45
10 0
X MAB0 01 652 120
432. Una carga distribuida está sostenida por dos cargas distribuidas como se muestra en la figura P-432.
Realizamos el cálculo estático:Σ MR 1=0-4(150)+7,5(2W2)=0W2=40KN/mR2=2*W2
R2=80k NΣ F y=0R1+R1-150=0R1=70k NmW1=70/3
W1=23.33KN/mAnalisis por tramos para la fuerza cortanteV=∑ FYizq
Tramo ABV AB= (23.3x ) kN
Tramo BCV BC=(23.3(3)−30 (x−3))kNV BC=(159.9 x0−30 x ) kN
Tramo CD
V CD=(23.3 (3 )−30 (5 )+40 (x−8))kNV CD=(−400.8+40 x ) kN
Análisis por tramos para cargas momenteales
M=∑M izq
Tramo AB
M AB=⦋23.3 x(x2) ⦌kN .m
M AB=⦋11.65 x2⦌kN .mTramo BC
MBC=⦋23.3(3)(x−1.5)−30(x−3)(x−32
) ⦌kN .m
DA
B C
2m3m
5mw2K N/mw1K N/m
30K N/m
x V AB
0 03 69.9
x V AB
3 69.98 -80.1
x V AB
8 -80.810 -0.8
X MBC
0 00.5 2.91 11.65
1.5 26.22 46.6
2.5 72.83 104.8
MBC=⦋69.9 x−104.85−15(x2−6 x+9)⦌kN .m
MBC=⦋−239.85 x0−159.9 x−15x2 ⦌kN .m
X MBC
3 -854.554 -1119.455 -1414.356 -1739.257 -2094.158 -2479.05
Tramo CD
MCD=⦋23.3(3)(x−1.5)−30 (5 ) ( x−5.5 )+40(x−8)( x−82
) ⦌kN .m
MCD=⦋69.9x−104.85−150 x+825+20(x2−16 x+64) ⦌kN .m
MCD=⦋2000.15x0−400.1 x+20 x2⦌kN .mX MBC
8 79.359 19.25
10 -0.85Momento máximo
159.9 x0−30 x=0159.9=30x
X= 5,33 m
433. Viga con voladizo cargada por una fuerza y un par, como se muestra e la figura P-433.
Cálculo de las reaccionesRealizamos el cálculo estático
∑MC=0
-50KN (2m) + 200KN m – R1 (5m) = 0R1 (5m)1=100kN mR1=20kN∑F y=0R1+R2=(50)kNR2=−R1+50kNR1=−20kN+50kNR1=30 kNFuerzas cortantes
V=∑(Fy)izquierdaTramo AB
V AB=20x0 kN
Tramo BCV BC=¿ 20 x0 kN
Tramo CDV CD=(20+30 ) k x0 NV CD=50k x
0NMomentos Flexionantes
M=∑(M )izquierdaTramo AB
M AB=20k N (x m)
M AB=20 x k N m
Tramo BC
m m m
x M AB
0 0
2 40
MBC=20 k N ( x m )−200kN mMBC=¿ ¿kN m
Tramo CD
MCD=20k N ( xm )−200kN m+30 kN (x−3)mMCD=¿ ¿kN mMCD=¿)KN m
x MBC
2 -160
5 -100
x MCD
5 -100
7 0
434. viga cargada como se muestra en la figura P-434
Calculando las reacciones R1y R2 usando∑ME=0
30KN(6m)-R1(5m)+60(3.5m)-60=0R1=66 K N
∑ Fyizq=0(-30+R1-60+R2) K N =0(30+66-60+R2) K N =0R2=24 K NFuerzas cortantes
V=∑ FyizqTramo AB VAB=-30 K N Tramo BC
VBC=-30 K N+66 K N- 20kNm
N(x-1)m
VBC=(-20x+56) K NTramo CD VCD=-30 K N+66 K N-60VCD=-24 K NTramo DE
VDE =-30 K N+66 K N-60VDE=-24 K N
Momento flexionante M=∑Mizq
Tramo ABMAB=(-30) K N (x)m MAB=(-30x) K N mTramo BC
MBC={-30x+66(x-1)-20(x-1)(x−1)2
} K
N mMBC={-30x+66x-66-10( x−1 )2} K N mMBC={36x-66x-10x2+20x-10} K N m
MBC=(-10x2+56x-76) K N m
X VBC1 362 163 -44 -24
X MAB0 01 -30
x MBC1 -302 -43 24 -12
x MCD4 -125 -36
Tramo CDMCD=-30x+66(x-1)-60(x-2.5) MCD=-30x+66x-66-60x+150MCD=(-24x+84 )K NmTramo DEMDE=(-24x+84+60) K Nm
MDE=(-24x+144) K Nm
X MDE5 246 0
435. Viga cargada como se muestra en la figura P-435
Aplicando momentos en B se obtiene el valor de R2.
Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para obtener el valor de R1.
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)
ΣFy=0 R1 – 40KN – 20KN + 32KN – 40KN =0 R1=68KN
ΣM=0 -20KN(2m)-40KN(3m)-5KN(2W)=0 -10W = 40 + 150 W= 16 KNm
Tramo AB:VAB=-10KN/m*(x)mVAB=(-10X)KN
X VAB
0 02 -20
Tramo BC: VBC=68-10KN/m*(x)mVBC=(-10x+68)KN
X VBC
2 484 28
Tramo CD: VCD= -40 KN + 68 KN – 20 KN VCD=(8)KN
Tramo DE:VDE=-40 KN + 68 KN – 20 KN – 40 KNVDE=(-32) KN
Tramo EF:VDE=-40 KN + 68 KN – 20 KN – 40 KN + 32KNVDE=0 KN
Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.
Tramo EF:VDE=-40 KN + 68 KN – 20 KN – 40 KN + 32KNVDE=0 KN
436. Viga en voladizo cargada como se indica en la figura P-436
Carga puntual:20kN/m*2m=40KN
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)
Tramo AB:VAB=10KN/m*(x)mVAB=(10X)KN
X VAB
0 02 20
Tramo BC:VBC=(20)KN
Tramo CD: VCD= 20KN-10KN VCD=(10)KN
Tramo DE:VDE=20KN-10KN-20(X-4)VDE=20KN-10KN-20X+80VDE=(20X+90) KN
X VDE
4 106 -30
Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.
Tramo AB:
MAB=10KN*(X)( x2 )
437. Viga en voladizo cargada como se indica en la figura P-437
Carga puntual:15kN/m*2m=30KN
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)
Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.
Tramo AB:
MAB=10KN*(X)( x2 )
Tramo BC: MBC=-40 – 20(X-2)
Tramo AB:VAB=(0)KN
Tramo BC:VBC=(-20)KN
Tramo CD: VCD=-20 KN – 15 (X-3) VCD= -20 – 15X + 45 VCD=(-15 X +25)KN
Tramo AB: MAB=(-40)KN.m
Tramo DE:VDE=20KN-30KNVDE=(-50) KN
X VCD
3 -205 -50
438. Una viga en voladizo apuntalada y cargada como se muestra en la figura P-438 consiste de dos segmentos unidos por un perno liso en el que el momento flexionante es nulo.
Tramo BC: MBC=-40 – 20(X-2)
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)
Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.
Tramo AB:VAB=(-15X)KN
X VAB
0 01 -15
Tramo BC: VBC=(-15X+40)KNVBC=(40-15X)KN
X VBC
1 254 -20
Tramo CD: VCD=(-15X+40)KN
X VCD
4 -206 -50
Tramo AB:
MAB=(-15X)( x2 ) MAB=(-7.5X2)KN.m
X MAB
0 00.5 -1.91 -7.5
Tramo BC:
MBC=(-15X)( x2 )+40(x-1) KN.m
MBC=(-7.5x2+40x-40)KN.m
439. Una viga apoyada en tres puntos como se muestra en la figura P-439 consiste en dos segmentos unidos en un perno liso en el que el momento flexionante es nulo.
Tramo BC:
MBC=(-15X)( x2 )+40(x-1) KN.m
MBC=(-7.5x2+40x-40)KN.m
Aplicamos momentos Realizamos sumatoria de fuerzas en Y
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)
Aplicamos M=ΣMizquierda para cada tramo.
ΣMC=0-32KN(1m)+40KN(2m)+40KN(3m)-R1(4m)=0R1=42KN
ΣMV=042KN-40KN-40KN+R2-32KN=0R2=70KN
Tramo BC: MBC=42KN/m*(Xm)-40(x-1)-40(X-2) MBC=(42X-40X+40-40X+80) KN.m MBC=(-38X+120)KN.m
Tramo AB:
MAB=42KN/m*(Xm)-20KN*(X)( x2 ) MAB=(42X-10X2)KN.m
X MAB
0 01 322 44
X VAB
0 422 2
Tramo BC: MBC=42KN/m*(Xm)-40(x-1)-40(X-2) MBC=(42X-40X+40-40X+80) KN.m MBC=(-38X+120)KN.m
440. Un marco ABCD, con esquinas rigidas en B y C, sostiene la carga concentrada P como se muestra e la figura P-440(dibuje los diagramas para cada de las partes del marco)
Aplicamos V=ΣFyizquierda para cada tramo.
V B=P ,∆V BA=0
V A=V B+∆V BA=P
V C=−P; ∆V CD=0
V D=V C+∆V CD=−P
Aplicamos M=ΣMizquierda para cada tramo.
MB=−PL2
+∆MBA
MB=P( L2 )MB=
PL2
M A=MB+∆MBA
M A=−PL2
+ PL2
M A=0
MC=PL2
+∆MCD
MB=−(P)(L)
MB=−PL
MC=PL2
441.Una viga ABCD esta sostenida por un perno en A y un apoyo libre en D, sujeta a las cargas mostradas en la figura P-441, que actúan en los extremos de los miembros verticales BE y la viga en B y C.(Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga ABCD solamente).
Aplicando momentos
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)
Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.
ΣMD=0 -R1 (7m) + 6 KNm - 28KNm – 4 KN(5m)=0R1=-6 KN
MB=(3 KN)(2m)MB=6 KNm
MC=-(14 KN)(2m)MC=-28 KNm
Tramo AB:VAB=-6KN
Tramo BC: VBC= -6KN+4KN VBC=-2KN
Tramo CD: VCD=-6KN+4KN VCD=-2KN
Tramo AB: MAB=-6KN*(Xm) MAB=(-6X)KN.m
X MAB
0 02 -12
Tramo BC: MBC=(-6X)KNm-6 KNm + 4KN(X-2)m MBC=(-6X-6+4X-8) KN.m MBC=(-2X-14)KN.m
X MBC
2 -18
442. Viga cargada uniformemente, como indica la figura P-442.
Tramo BC: MBC=(-6X)KNm-6 KNm + 4KN(X-2)m MBC=(-6X-6+4X-8) KN.m MBC=(-2X-14)KN.m
X MBC
2 -18
Relación de triángulos
XL
= YW
y=WxL
F=12
(X )(Y )
WL6
=12 [X Wx
L ]X2=W L3
3W
X2=L2
3
X= L
√3
Aplicamos momentos Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para
obtener el valor de R1
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)
F= XY2
F= LW2
ΣFy=0
R1−LW2
+ LW3
=0
R1=LW2
− LW3
R1=WL6
ΣMA=0 −LW2 ( 2L3 )+LR2=0
LR2=W L2
3
R2=WL3
F=12LW
Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.
443. Viga sometida a la acción de la carga triangular, como indica la figura P-443.
F=12LW
Aplicamos momentos Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para
obtener el valor de R1
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)
Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.
Por ser simétrica la figura los mismos momentos y fuerzas se presentaran en los dos extremos
444. Viga cargada, como indica la figura P-444.
ΣFy=0
R1−WL2
+WL4
=0
R1=WL2
−WL4
R1=WL4
ΣMA=0 −WL2 (L3 )+LR2=0
LR2=−W L2
4
R2=WL4
V AB=WL4
−12L(WL2 )
V AB=WL4
−14L2W
M AB=(WL4 )( L2 )( 23 )M AB=
W L2
12
Aplicamos momentos Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para
obtener elvalor de R1
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)
ΣFy=0
R1+WL4
−WL4
−WL4
=0
R1=WL4
ΣMA=0 −WL4 (L3 )(L2 )−WL
4 ( L2 )( L2 )( 23 )+LR2=0
LR2−W L2
24−WL4 (5 L6 )
LR2=W L2
24+ 5W L2
24
LR2=5W L2+W L2
24
R2=WL4
12W
Nm ( L2 m)=WL
4
V AB=12 (L2 )W
V AB=14WL
Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.
Por ser simétrica la figura los mismos momentos y fuerzas se presentaran en los dos extremos
V AB=12 (L2 )W
V AB=14WL
445. Viga cargada, como indica la figura P- 445.
DIAGRAMA DE CARGAS
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
DIGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE
Carga puntual:40kN/m*40m=160 k N(80KN/m*3m)/2=120 k N
Aplicando momentos en E se obtiene el valor de R1.
Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para obtener el valor de R2
ΣM=0 120 k N(1m)+160(6m) -6m R1 =0R1=180KNΣFy=0180 KN – 160 KN – 120 KN +R2=0 R2=100 k NSemejanza de triángulos
3m
80KNm
= xy
y=80 x3
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)
Tramo AB:VAB=-40KN/m*(x)mVAB=(-40X) k N
Tramo BC: VBC=180KN -40 k N/m*(x)m
VBC=(180-40x) k N
Tramo CD: VCD= -160 KN + 180 KN
X VAB
0 02 -80
X VBC
2 1004 20
CURVA ELASTICA
VCD=(20) k N
Tramo DE:VDE=-160 KN + 180 KN – (((X-5)(80X/3))/2)VDE= 20 KN – (40/3)(X)(X-5)VDE= 20-13.3X(X-5)VDE= 20-13.3X2+66.5XVDE=(-13.3X2+66.5X+20) k N
Aplicamos M= MΣ izquierdapara cada tramo.
Tramo AB:MAB=-40KN*(X)(X/2) MAB=(-20X2) k N.m
Tramo BC:
MBC=-40KN*(X)(X/2)+180(x-2) MBC=(-20X2 +180x-360) k N.m
Tramo CD:MCD= (-160(X-2)+180(X-2)) k N.m MCD=(-160X+320+180X-360) k N.mMCD=(20X-40) k N.m
X MCD
4 405 60
Tramo DE:MDE=(-160(X-2)+180(X-2)-(X-5)(80X/3)(1/2)((X-5)/3)MDE=(-160X+320+180X-360-4.43(X2-10X+25) k N.mMDE=(-4.43X2+66.5x-150.75) k N.m
X MDE
5 716 88.77 97.68 97.7
X MAB
0 01 -202 -80
X MBC
2 -803 04 40
446. Viga en voladizo cargada como se muestra en la figura P-446.
DIAGRAMA DE CARGAS
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE
CURVA ELASTICA
Solución:Semejanza de triángulos3m
30KNm
= xm
yKNm
y=10xKNm
Fuerzas cortantesV=∑ Fyizq
Tramo AB
VAB=- x(10x )2
VAB=(-10x2
2) k N
Tramo BC
VBC=-3m(30 KN
m)
2VBC=-45 k N
Tramo CD
VCD=-3m(30 KN
m)
2 -20 K N
VCD=(-45-20) k NVCD=-65 k N
Momento flexionante
M=∑Mizq
X VAB0 01 -52 -20
x MAB 0 0 1 -5/3 2 -
40/3 3 -45
Tramo AB
MAB=(-10 x2
2)(x3
) k Nm
MAB=−5x3
3 k Nm
Tramo BCMBC=45(x-2) k NmMBC=(-45+90) k Nm
Tramo CDMCD=(45(x-2)-20(x-4)) k NmMCD=-45x+90-20x+80MCD=(-65x+170 ) k Nm x MCD
4 -905 -155
x MBC3 -454 -90
446. Viga en voladizo cargada como se muestra en la figura P-446.
DIAGRAMA DE CARGAS
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE
Solución:Semejanza de triángulos3m
30KNm
= xm
yKNm
y=10xKNm
Fuerzas cortantesV=∑ Fyizq
Tramo AB
VAB=- x(10x )2
VAB=(-10x2
2) k N
Tramo BC
VBC=-3m(30 KN
m)
2VBC=-45 k N
Tramo CD
VCD=-3m(30 KN
m)
2 -20 K N
X VAB0 01 -52 -20
CURVA ELASTICA
VCD=(-45-20) k NVCD=-65 k N
Momento flexionante
M=∑Mizq
Tramo AB
MAB=(-10 x2
2)(x3
) k
Nm
MAB=−5x3
3 k Nm
Tramo BCMBC=45(x-2) k NmMBC=(-45+90) k Nm
Tramo CDMCD=(45(x-2)-20(x-4)) k NmMCD=-45x+90-20x+80MCD=(-65x+170 ) k Nm
x MAB 0 0 1 -5/3 2 -
40/3 3 -45
x MCD4 -905 -155
x MBC3 -454 -90
447. Viga cargada como se muestra en la figura P-447.
DIAGRAMA DE CARGAS
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTO CORTANTE
Carga puntual: (30KN/m*3m)/2=45 k NSemejanza de triángulos:3m
30KNm
= xy
y=30 x3
y=10 x
Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V= FyΣ izquierda)
Tramo AB:VAB=((-x)(10x))/2VAB=(-5X2) k N
X VAB
0 01 -52 -20
CURVA ELASTICA
Tramo BC:VBC=(-45x) k N
Tramo CD: VCD= -45 k N -20 KN VCD=(65) k N
Aplicamos M= MΣ izquierda para cada tramo.Tramo AB:
MAB=(−x )10 x
2*x3
MAB=(-5X3/3) k N.m
X MAB
0 01 -5/32 -40/33 -45
Tramo BC: MBC=-45KN*(X-2) MBC=(-45x+90) k N.m
X MBC
3 -454 -90
Tramo CD:MCD= (-45(X-2)-20(X-4)) k N.m MCD=(-45x+90-20x+80) k N.mMCD=(-65x+170)kN.m
X MCD
4 -905 -155
448. Viga cargada como indica la figura
DIAGRAMA DE CARGAS
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
Solución:Mediante la EstáticaΣM A= 0
-20(0,5) – 60(2,5) -90(3) + 5R2=0
5R2=430
R2= 86K N
ΣF y= 0
R1 - 20 - 60 -90 +86 = 0R1= 20 + 60 + 90 - 86R1= 84K NFUERZAS CORTANTESΣV izq= VEn el tramo ABV AB= 84K N - 20K N.m (x m)V AB= (84 -20x)K N
En el tramo BC
x V AB
0 84
1 64
DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE
CURVA ELASTICA .
La cortante en el tramo será:V BC=84 – 20(1) - 10 (x−1)2- 20 (x-1)
V BC=84 - 20 – 10( x2- 2x + 1)- 20x + 20
V BC= (- 10 x2 + 74)K N
Tramo CDV CD= (84 - 20 - 60 - 90)K NV CD= -86 K N
MOMENTOS FLEXIONANTEM=ΣM izq
Tramo AB
M AB=-20K N.m (x m)(x2
m) + 84x
M AB=-10K N.m (x2m) + 84xK N.m
M AB=(-10x2 + 84x)K N.m
Tramo BC
MBC= 84x – 20(x – 0,5) – 20(x- 1) ( (x−1)2
) - 10((x−1)2¿)(x-1)
MBC= 84x – 20x + 10 - 10(x2- 2x + 1) - 103
( x2- 2x +1)(x-1)
MBC= 84x – 10x2- 103
( x3- 3 x2+3x – 1)
MBC= 84x – 10x2- 103x3+ 10 x2- 10x +
103
)
MBC=- 103x3 + 74x +
103
Mmax= dM BC
dx = 0
-10x2 + 74=0
x2=7410
x= ±2,72MBC= 137,53K N.m
x V BC
1 64
2 343 -164 -86
x M AB
0 0
1 74
x MBC
1 74
2 124,67
3 135,3334 86
Tramo CDMCD=84x - 20(x-0,5) - 60(x -2,5) - 90(x-3)MCD= 84x -20x +10 -60x +150 -90x + 270MCD= -86x + 430
449. Una viga sobre la que actúa la carga triangular de la figura P-449 esta sostenida por una reacción distribuida uniformemente.
x MCD
4 86
5 0
DIAGRAMA DE CARGAS
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE
CURVA ELASTICA
Carga puntual: (60KN/m*3m)/2=90KN
Aplicando momentos en A se obtiene el valor de R2
Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para obtener el valor de R
ΣM=0 -90KN(2m)-180(5m)-20KN(7m) +5m R1 =0R2=144K N
ΣFy=0 R1-90KN-80KN-20KN+144KN=0R1=46KNSemejanza de triángulos:3m
60KNm
= xy
y=60 x3
y=20xSe obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V= FyΣ izquierda )
Tramo AB:VAB=((-x)(20x))/2 + 46KNVAB=(-10X2+46)K N
Tramo BC:VBC=-90KN-20KN/m(x-3)m+46KNVBC=-90KN-20x+60KN+46KNVBC=(-20x+16)K N
Tramo CD: VCD= -45 KN -20 KN VCD=(65)KN
X VAB
0 461 362 63 -44
X VBC
3 -445 -84
Aplicamos M= MΣ izquierda para cada tramo.Tramo AB: MAB=((-x)(20x))/2 (x/3)+ 46KN/m(xm) MAB=)(-10X3/3)+46X) K N.m
X MAB
0 01 42.662 65.333 48
Tramo BC: MBC=46KN/m(Xm)-90KN/m(x-2)m-20KN/m(x-3)m((x-3)/2)MBC=(46x-90x+180-10(x2-6x+9)KN.mMBC= (46x-90x+180-10x2+60x-90)KN.mMBC=(-10X2 +16x+90) K N.m
X MBC
3 484 -65 -80
Tramo CD:MCD= 46KN/m(Xm)-90KN/m(x-2)m+144KN(x-5)m -20KN/m(x-3)m((x-3)/2) MCD=(46x-90x+180-10x2+60x-90+144x-720)KN.mMCD=(-10x2+160x-630)K N.m
X MCD
5 -806 -307 0
450. Viga Cargada y apoyada como se indica en la figura P-450.
DRIAGRAMAS DE CARGA
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE
CURVA ELASTICA
Solución:Realizamos el cálculo estático para encontrar W.Calculo estáticoΣF y= 0– 50K N – 50K N – 80K N + 5W = 0
W=1805
W= 36K N/m
x1
= y36
y=36x
FUERZAS CORTANTESEn el tramo AB
V AB= 12xy
V AB= 12x36 x
V AB= 18x2K N .m
En el tramo BC
V BC=12
(36K N/m)(1m) + 36K N/m (x-1)m – 50K N –
20KN/m (x-1)mV BC=(18 + 36(x-1) – 50 -20(x-1)) K NV BC= 18 – 50 + 36x – 36 -20x + 20V BC= (16x -48)K N
MOMENTOS FLEXIONANTESTramo ABM AB= 18x2¿ )xM AB=6x3K N.m
x V AB
0 0
1 18
x V BC
1 -32
2 -163 0
x M AB
0 0
1 6
Tramo BC
MBC= 18 ¿) + 36(x-1) ((x−1)2
) – 50(x-1) – 20(x-1) (
(x−1)2
)
MBC= 18x – 12 + 362
( x2- 2x +1) – 50(x-1) – 10(x2- 2x
+1)MBC=18x – 12 + 18x2- 36x +18 – 50x +50 -10x2+ 20x -10MBC=(8x2 - 48x + 46)K N.m
Punto de inflexiónMBC=0
8x2 - 48x + 46=0
x=−b±√b2−4ac2a
x=−(−48)±√(−48)2−4 (8 )(46)
2(8)X=1,197
x MCD
1 6
2 -18
3 -26
451. Viga cargada como se muestra en la figura P-451
DIAGRAMAS DE CARGAS
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE
CURVA ELASTICA
Solución:Realizamos la conversión de cargas distribuidas en puntuales.
F=12
(6m)(12K N.m)
F= 36K N.mUsamos el cálculo estático para encontrar las reacciones:
ΣMB= 036(1) + 6R2 – 36(7)=06R2=216R2= 36K N
ΣF y= 0R1 – 36 – 36 + 36 = 0R1= 36K N
FUERZAS CORTANTESEn el tramo ABV AB= -P -FV AB= - x2-(12x -2x2)V AB= - x2−12 x+¿2x2
V AB= (x2−12 x)K N
Del triangulo
x6
= y12
x V AB
0 0
1 -112 -203 -27
y= 2 x
F= 12xy =
12x2 x
F= x2
P=x(12-y)= x(12-2x)P= 12 - 2x2
En el tramo BCV BC=- F – P + R1V BC= - x2−12 x+¿2x2 + 36V BC= (x2 -12x + 36)K N
MOMENTOS FLEXIONANTES
Tramo AB
M AB=-x2(23x) – (12x - 2x2)
x2
M AB=-(23x3) - 6x2 + x3
M AB=( x3
3−6 x2)K N.m
Tramo BC
MBC=-x2(23x) – (12x – 2 x2)
x2
+ 36(x-3)
MBC= ( x3
3 - 6x + 36x – 108) K N.m
x MBC
3 -454 -
38,6675 -
36,6676 -36
x M AB
0 0
1 -5,6672 -21,333 -45
452. Viga cargada como se muestra en la figura P-452.
DIAGRAMA DE CARGAS
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
Solución:Transformamos las cargas dadas a puntuales.
F1= 12
(18K N.m)(3m)
F1= 27 K N.m
F2= 12
(12K N.m)(6m)
F2= 36K N.m
Calculo estáticoΣM A= 036(-2) + 9R2 – 8(27)=09R2=288R2= 32K N
ΣF y= 0
DIAGRAMA DE MOMENTO CORTANTE
CURVA ELASTICA
R1 – 36 – 27 + 32 = 0R1= 31K N
Semejanza de triángulosx6
= y12
y= 12x6
y=2x
FTri= 12x2 x
FTri= x2
FRec=x(12-y)= x(12-2x)FRec= 12 - 2x2
FUERZAS CORTANTESEn el tramo ABV AB= -FTri- FRec+ R1V AB= - x2-12x + 2x2+ 31V AB= ( x2−12 x+¿31)K N
En el tramo BCV BC= 31 – 36 -3(x−6)2
V BC= - 5- 3(x2−12 x+36)V BC= (-5 -3x2 +36x - 108)K NV BC= (-3x2 +36x - 113)K N
MOMENTOS FLEXIONANTES
Tramo AB
M AB=-FTri(23x) - FRec(
x2
)+ 31x
M AB=-x2(23x) – (12x - 2x2)
x2
+ 31x
M AB=-(23x3) - 6x2 + x3+ 31x
M AB=( x3
3−6 x2+ 31x)K N.m
x V AB
0 31
2 114 -16 -5
x V BC
6 -5
7 -88 -179 -32
x M AB
0 0
2 40,6674 49,336 42
Tramo BC
MBC=-31x –36 (x – 2) - FTri
(x−6)3
MBC= 31x – 36x + 72 - 33
(x2- 12x + 36)(x-
6)MBC= -5x + 72 –(x3- 12 x2 + 36x - 6 x2 + 72x - 216)MBC= -5x + 72 –x3+ 12 x2 - 36x + 6 x2 - 72x + 216)MBC= (-113x – x3+ 18x2 + 288)K N.m
Mmax= dM AB
dx =0
x2 - 12x + 31=0x= 3,764mMmax=49,45 K N.m
453. Una carga variable uniformemente esta sostenida por dos reacciones uniformemente distribuidas, como se muestra en la figura P-453.
DIAGRAMAS DE CARGAS Solución:Transformamos la carga triangular distribuida por una puntual para el análisis.
F= 12
(12K N.m)(6m)
F= 36K N.m
Calculo estático
x MBC
6 42
7 368 249 0
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE
ΣMB= 036(3) + R2(4) =04 R2=108R2= 27K N
ΣF y= 0R1 + 27 - 36 = 0R1= 9K NSemejanza de triangulos
x6
=
y12
y= 12x6
y=2x
F = 12x2 x
F= x2
P=4,5K N.m (x m)P= 4,5 x
FUERZAS CORTANTESEn el tramo ABV AB '= -F+ PV AB '= (- x2+ 4,5x)K NEn el tramo BCV B'C= -F + 9V B'C= (-x2 +9)K N
En el tramo CDV CD= -F + 9 + 13,5(x-4)V CD= (-x2 +9 + 13,5x - 54)K NV CD= (-x2 + 13,5x - 45)K N
MOMENTOS FLEXIONANTES
Tramo AB’
x V AB
0 0
1 3,52 5
x V BC
2 5
3 04 -7
x V CD
4 -7
5 -2,5
6 0
M AB '=-x2(x3
) +4,5(x)x2
M AB '=-( x3
3¿+ 2,25 x2
M AB '= (- x3
3+ 2,25 x2)K
N.m
Tramo B’C
MB' C= -x2( x3) + 9(x-1)
MB' C= (- x3
3+9 x−9)K
N.m
Tramo CD
MCD= -x2( x3) + 9(x-1) + 13,5 (x-4)(
x−42
¿
MCD= (- x3
3+9 x−9 + 6,75(x2 - 8X + 16))K
N.m
MCD= (- x3
3 + 6,75x2 - 45x + 108)K N.m
x M AB
0 0
1 1,1922 6,33
x MBC
2 6,33
3 94 5,667
x MBC
4 14,667
5 10,08336 9