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MACHINE A EQUILIBRER : Eléments de correction à tra vailler et compléter.
Q 1-1-1 et 1-1-2
Liaison linéaire annulaire en A :
(((( ))))0000
00
0
z,y,x,AA
A
Z
X
rrr
Liaison rotule en O :
(((( ))))0000
0
0
z,y,x,OO
O
O
Z
Y
X
rrr
Q1-1-3 Déplacement des torseurs en O. Puis les liaisons étant en _ _ _ _ _ _ _ , on _ _ _ _ _ _ _ les torseurs d’actions mécaniques pour trouver le torseur de la pivot d’axe 0y, écrit ci-dessous Q 1-3-1.
Q 1-2 Expressions des grandeurs physiques cinétiques et dynamiques pour S1 et pour S2 :
Donnée : 00/20/1 y.r&
rrθθθθ====ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ avec pour toute l'étude : Cte====ωωωω====θθθθ&
A partir de la donnée 01 y.dOGr−−−−==== nous trouvons : 0V 0/1G1
rr====∈∈∈∈ donc 0011
rr====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ /G
A partir de la donnée 022 y).hb(x.OGrr ++++++++ρρρρ==== nous trouvons : ........./GV ====∈∈∈∈ 012
r
20/1G z..V2
rrωωωωρρρρ−−−−====∈∈∈∈ puis ......../G ====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ 022
r
- Résultante dynamique du solide S1 en mouvement par rapport à R0 :
masse du solide S1 x vecteur accélération du point G1 donc ici 01G1 1M ////.... ∈∈∈∈ΓΓΓΓ
r
comme 0V 0/1G1
rr====∈∈∈∈ alors 001G1
rr====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ ////
donc ici 0M 01G1 1
rr====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ ////
....
- Résultante dynamique du solide S2 en mouvement par rapport à R0 :
masse du solide S2 x vecteur accélération du point G2 donc ici 02G2 2M ////.... ∈∈∈∈ΓΓΓΓ
r
avec 201G zV2
rr........//// ωωωωρρρρ−−−−====∈∈∈∈ donc 2
202G x
2
rr........//// ωωωωρρρρ−−−−====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈
alors 22
202G2 xMM2
rr................ //// ωωωωρρρρ−−−−====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ ( dans la base B2 )
alors 02
202
202G2 zMxMM2
rrr....))))sin(sin(sin(sin(................))))cos(cos(cos(cos(................ //// αααα++++θθθθωωωωρρρρ++++αααα++++θθθθωωωωρρρρ−−−−====ΓΓΓΓ ∈∈∈∈ ( dans la base B0 )
- Vecteur moment cinétique, au point G1 , du solide S1 en mouvement par rapport à R0 :
au centre d'inertie : (((( )))) 011101G SGI1 ////////,,,,
....,,,, ΩΩΩΩ====σσσσrr
0
0
0
0
00
00
00
ωωωω====
ωωωω
==== .I.
K
I
K
2B2B2B
au point O : en utilisant la propriété de changement de point du moment cinétique :
011G1101G01O VMOG1 ////////,,,,////,,,, .... ∈∈∈∈∧∧∧∧++++σσσσ====σσσσ
rrr mais comme ici 0V 0/1G1
rr====∈∈∈∈ alors 01G01O 1 ////,,,,////,,,, σσσσ====σσσσ rr
- Vecteur moment cinétique, au point B , du solide S2 en mouvement par rapport à R0 :
B est un point fixe : (((( )))) 02202B SBI ////////,,,,....,,,, ΩΩΩΩ====σσσσrr
ωωωω−−−−ωωωωωωωω−−−−
====
====.D
.B
.F
...
...
...
.
.........
.........
.........
222 BBB
au point O, en utilisant la propriété de changement de point du moment cinétique : .........../,B/,O ∧∧∧∧++++σσσσ====σσσσ 0202
rr
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donc
ωωωω−−−−ωωωω
ωωωωρρρρ−−−−ωωωω−−−−====∧∧∧∧++++
ωωωω−−−−ωωωωωωωω−−−−
====σσσσ.D
.B
..b.M.F
...
...
...
.M
...
...
...
.D
.B
.F
/,O
2
202
2B2B2B2B
r
- Moment dynamique du solide S1 : [[[[ ]]]]0
01O01O Rdtd
////,,,,////,,,, σσσσ====δδδδ rr car O est un point fixe dans R0
donc ici : 001O
rr====δδδδ ////,,,, (car ω = cte et 02 yy
rr ==== )
- Moment dynamique du solide S2 : [[[[ ]]]]0
02O02O Rdtd
////,,,,////,,,, σσσσ====δδδδ rr car O est un point fixe dans R0
donc ici, comme ω = cte et 02 yyrr ==== : alors :
22
222
02O zbMFxDrrr....).).).).........((((........////,,,, ωωωωρρρρ++++++++ωωωω−−−−====δδδδ ( dans la base B2 )
02
22
02O xbMFDrr
)].)].)].)].sin(sin(sin(sin(....).).).).........(((())))cos(cos(cos(cos(........[[[[////,,,, αααα++++θθθθωωωωρρρρ++++++++αααα++++θθθθωωωω−−−−====δδδδ
02
22 zbMFD
r)].)].)].)].cos(cos(cos(cos(....).).).).........(((())))sin(sin(sin(sin(........[[[[ αααα++++θθθθωωωωρρρρ++++++++αααα++++θθθθωωωω++++ ( dans la base B0 )
1.3 - Application du Principe Fondamental de la Dynamique à l'ensemble des deux solides S1∪∪∪∪S2 en mouvement par rapport au repère (galiléen) RRRR0 :
Q1-3-0 voir cours polycop.
T(Pivot équiv 0→1)+ T(Courroie→1)+ T(pes→1)+ T(pes→2) = D(S1∪S2 / R0)
Avec, le torseur dynamique :
D(S1∪S2 / R0)
∪∪∪∪
∪∪∪∪
δδδδ
ΓΓΓΓ
/R02S1SO,
0R2S1SG M.
O
= r
r
////,,,,
résultante dynamique moment dynamique au point O
M est la masse de l'ensemble S1∪S2 et G est le centre d'inertie résultant de l'ensemble S1∪S2 Ici G1 et G2 étant connu séparément, nous préférons utiliser la propriété :
0R2S2G0R1S1G0R2S1SG 21 MMM. ////,,,,////,,,,////,,,,
........ ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ ++++====∪∪∪∪
rrr
et nous avons aussi : /R02SO,/R01SO,/R02S1SO, δδδδ++++δδδδ====δδδδ ∪∪∪∪
rrr
Sous forme d'équations vectorielles, le PFD s'énonce ici :
0R2S2G0R1S1G 21 MM 2S1SextorcesF////,,,,////,,,,
........))))(((( ΓΓΓΓΓΓΓΓ∑∑∑∑ ∪∪∪∪→→→→ ++++====rrr
/R02SO,/R01SO,/O 2S1SextactionsomentsM δδδδ++++δδδδ====∑∑∑∑ ∪∪∪∪→→→→rrr
))))((((
Q 1-3-1 Résultats de l'inventaire des actions mécaniques extérieures sur l'ensemble S1∪∪∪∪S2 :
Nous trouvons 4 torseurs d'actions mécaniques extérieures agissant sur S1∪∪∪∪S2. - chaque torseur a été écrit au point où l'écriture est la plus simple :
TTTT(Pivot équiv 0→→→→1) =
(((( ))))000 z,y,x,OAOA
O
AOA
X.aZZ
0Y
Z.aXX
rrr
++++
−−−−++++ TTTT(Courroie →→→→1) =
(((( ))))0001 z,y,x,G
m
0T
C0
00
rrr
−−−−
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TTTT(pes→→→→1) =
(((( ))))0001 z,y,x,G1 0g.M
00
00
rrr
-
TTTT(pes→→→→2) =
(((( ))))0002 z,y,x,G2 0g.M
00
00
rrr
-
puis nous écrivons (réduisons) chaque torseur au point O. (en appliquant la propriété de changement de point du moment d'un torseur.) : ……………………………………………………………………………………………..
Nous obtenons les 4 torseurs d'actions mécaniques extérieures sur S1∪∪∪∪S2, au pt O, dans BBBB0
TTTT(Pivot équiv 0→→→→1) =
(((( ))))000 z,y,x,OAOA
O
AOA
X.aZZ
0Y
Z.aXX
rrr
++++
−−−−++++ TTTT(Courroie →→→→1) =
(((( ))))000 z,y,x,O
m
0T
C0
T.d0
rrr
−−−−
TTTT(pes→→→→1) =
(((( ))))000 z,y,x,O1
1
0g.M
00
d.g.M0
rrr
-
TTTT(pes→→→→2) =
(((( ))))000 z,y,x,O2
2
2
0g.M
)cos(..g.M0
)hb.(g.M0
rrr
αααα++++θθθθρρρρ++++−−−−
-
- Utiliser les résultats de l'inventaire des actions mécaniques extérieures appliquées à S1∪S2 et les résultats de 1.2 pour : écrire les six équations de la dynamique galiléenne en projection sur la base )z,y,x( 000
rrr:
Somme des composantes de forces selon l'axe x0 : XA + XO = - M2.ρρρρ.ωωωω2.cos(θθθθ+αααα) Somme des composantes de forces selon l'axe y0 : YO = 0 Somme des composantes de forces selon l'axe z0 : ZA + ZO -T -M 1.g - M2.g = M2.ρρρρ.ωωωω2.sin(θθθθ+αααα) Somme des composantes de moments selon l'axe x0 -a.ZA +d.T+M1.g.d -M2.g.(b+h) =
(F+M2.ρρρρ.b).ωωωω2.sin(θθθθ+αααα) - D.ωωωω2.cos(θθθθ+αααα) Somme des composantes de moments selon l'axe y0 Cm + M2.g.ρρρρ.cos(θθθθ+αααα) = 0 Somme des composantes de moments selon l'axe z0 a.XA = (F+M2.ρρρρ.b).ωωωω2.cos(θθθθ+αααα) + D.ωωωω2.sin(θθθθ+αααα)
1.4 - Justifier l'emploi de deux capteurs, l'un en A, l'autre en O, situés dans un plan horizontal, couplés à un capteur angulaire pour la détermination des inconnues D, F, ρ et α. En n’utilisant que les 2 équations 1 et 6 et si on mesure par des capteurs les valeurs de XA et XO en fonction de θθθθ, ainsi que ωωωω alors il n’y a que 4 inconnues ρρρρ, αααα, F et D.
Somme des composantes de forces selon l'axe x0 : XA + XO = - M2.ρρρρ.ωωωω2.cos(θθθθ+αααα) Somme des composantes de moments selon l'axe z0 a.XA = (F+M2.ρρρρ.b).ωωωω2.cos(θθθθ+αααα) + D.ωωωω2.sin(θθθθ+αααα)
En utilisant 2 fois ce système de 2 équations à 2 valeurs de θθθθ indépendantes : 0 et 90° étant par ailleurs 2 valeurs plus simples à utiliser, on obtient alors un système de 4 équations à 4 inconnues. On peut résoudre et exprimer : ρρρρ, αααα, F et D puis faire l’A.N. … …
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