CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 1
CONTROL I
Tema:
ESTABILIDAD RELATIVA
CRITERIO DE ESTABILIDAD
DE NYQUIST.
MARGEN DE GANANCIA
Y
MARGEN DE FASE
Prof. Ing. Carlos F. Martín
Prof. Analía Perez Hidalgo
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 2
CRITERIO DE NYQUIST
Introducción:
El criterio de Nyquist es un método gráfico analítico que determina la estabilidad de un sistema en lazo
cerrado, al investigar las propiedades de la traza de Nyquist en el dominio de la frecuencia de la función de
transferencia del lazo L(s). Específicamente, la traza de Nyquist de L(s) es una gráfica de L(jw) en
coordenadas polares, o sea, Im[L(jw)] en función de Re[L(jw)] cuando la frecuencia w varia desde infinito a
cero.
Este es otro ejemplo de la utilización de las propiedades de la función de transferencia del lazo para
encontrar el desempeño del sistema en lazo cerrado.
El criterio de Nyquist tiene las características siguientes que lo hacen un método alternativo atractivo para el
análisis y diseño de los sistemas de control.
1. Además de proveer la estabilidad absoluta, como el criterio de Routh-Hurwitz, también de
información sobre la estabilidad relativa de un sistema estable y el grado de inestabilidad de un
sistema inestable. También da una indicación de cómo se puede mejorar la estabilidad del sistema,
si es necesario.
2. La traza de Nyquist de L(s) es muy fácil de obtener, específicamente utilizando una computadora, o
a falta de ella con la ayuda de un bosquejo del diagrama de Bode de L(jw), sobre todo de la fase.
3. La traza de Nyquist de L(jw) de información tales como, máximo de resonancia MR, frecuencia de
resonancia WR, ancho de banda WA-B y otras, del sistema en lazo cerrado, con mucha facilidad.
4. La traza de Nyquist es útil para sistemas con retardos de transporte que no se pueden tratar con el
criterio de Routh, y que son difíciles de analizar por cualquier otro método, como por ejemplo con
la técnica del lugar de las raíces de la ecuación característica.
Problema de Estabilidad:
El criterio de Nyquist representa un método para determinar la localización de las raíces de la ecuación
característica con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del plano s. A diferencia del método del
lugar de las raíces, el criterio de Nyquist no da la localización exacta de dichas raíces, pero indica si existen
una o más raíces en el semiplano derecho del plano S.
Para abordar este criterio, es necesario, tener en claro algunos conceptos:
Definiciones de Rodeado e Incluido:
Ya que el criterio de Nyquist es un método gráfico analítico, se necesita establecer los conceptos de rodeado
e incluido, los cuales son útiles para la interpretación de las trazas de Nyquist para la estabilidad.
Rodeo o Encierro:
Un punto o una región en un plano de una función compleja se dice que
está rodeado o encerrado por una trayectoria cerrada si está dentro de la misma. Por ejemplo el punto A de la
figura 1 está rodeado por la trayectoria , ya que A está dentro de la trayectoria cerrada.
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Figura 1:
El punto B no está rodeado por ya que está fuera de . Además cuando tiene una dirección asignada a
ella, el rodeo o encierro, si se hace, puede hacerse en el sentido de las manecillas del reloj (SMR) o en
sentido contrario (SCMR). Como muestra la figura 1, el punto A está rodeado por en dirección SCMR. Se
puede decir que la región dentro de está rodeada o encerrada en la dirección prescripta, y la región fuera
de no está rodeada.
Inclusión:
Un punto o región se dice que está incluido o comprendido por una trayectoria cerrada si esta rodeado en la
dirección (SCMR), o el punto o región esta a la izquierda de cuando esta se recorre en la dirección
prescripta. El concepto de inclusión es particularmente útil si solo una porción de la traza es dibujada.
Por ejemplo: En la siguiente figura 2, solo está dibujado un tramo de la trayectoria completa, al no poder
aplicar el concepto de rodeo por estar incompleta la trayectoria, se aplica el concepto de incluido o
comprendido. De esta forma, el punto -1, se encuentra incluido por la trayectoria, ya que se encuentra a la
izquierda de la misma, al recorrer dicho tramo en sentido de la flecha antihorario.
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
O
pen-L
oop (
G)
Imagin
ary
Real
- 1
Figura 2
Número de Rodeos o Inclusiones:
Cuando un punto está rodeado por una trayectoria cerrada , un número N se puede asignar al número de
veces que el mismo está encerrado o rodeado. La magnitud de N se puede determinar al dibujar una flecha
desde el punto a cualquier punto arbitrario s1 sobre la trayectoria cerrada y entonces hacer que s1 siga la
trayectoria en la dirección prescripta hasta que regrese al punto inicial. El número neto de vueltas
realizadas por esta flecha es N, o el ángulo neto girado por la misma de 360xN grados.
Por ejemplo, el punto A en la figura 3a está rodeado una vez o 360º por y el punto B esta rodeado dos
veces o 720º, todos en la dirección SMR.
Figura 3a Figura 3b
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En la figura 3b, el punto A está rodeado una vez y el B dos veces por en el sentido SCMR.
El signo de N, está dado por definición, N es positivo para rodeos en el SCMR y negativo para rodeos en
el SMR.
Una forma conveniente y práctica de determinar N con respecto a cualquier punto del plano complejo, es
dibujar una línea desde el punto en cuestión en cualquier dirección a un punto tan lejos como sea necesario,
el número neto de intersecciones de esta línea con el lugar geométrico nos dará la magnitud y el signo de
N. En la figura 3a para los puntos A y B, N=-1 y N=-2 respectivamente. En la figura 3b para el punto A,
N=1 y para el B, N=2.
Principio del Argumento. Teorema de Cauchy.
Como se demostró, para que un sistema sea estable, ninguna de las raíces de la ecuación característica o
polos del sistema de lazo cerrado, puede estar en el semiplano derecho del plano s, ni sobre el eje jw:
F(s)=1+L(s)=0 (1)
Se debe tener en claro, las siguientes relaciones:
Colocando a G(S) y H(S) en forma de un cociente de polinomios factorizados numerador y denominador, se
desprenden los siguientes conceptos:
)(
)()(
)(
)()(
2
22
1
11
sD
sNKSHy
sD
sNKsGSi
)()()(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)()()()(
21
2121
2
22
1
11 sHsG
sD
sNK
sDsD
sNsNKK
sD
sNK
sD
sNKsHsGsL
Por lo tanto, la ecuación característica puede ponerse de la
siguiente forma:
)2()(
)()()(
)(2).(1
)(2).(12.1)(2).(1)(
)(2).(1
)(2)(1211)(
sD
sKNsDsF
SDsD
SNsNKKSDsDsF
SDsD
SNsNkKsF
0)(.)(0)()(1
0)(2).(12.1)(2).(10)()(1
SNKSDsHsG
SNsNKKSDsDsHsGticaCaracterísEcuación
Empleando el mismo criterio para la Función de Transferencia de lazo cerrado, quedaría:
)(2).(1.)(2).(1
)(2).(1.1)(
)(2).(1
)(2)(12.1)(2).(1
)(1
)(11
)(2
)(22*
)(1
)(111
)(1
)(11
)(SNSNKSDsD
SDsNKsFT
SDsD
SNSNKKSDsD
SD
sNK
SD
SNK
sD
SNK
SD
sNK
sFT LCLC
Siendo:
F(S) = Polinomio denominador de la F.T.L.C
F(S) = 0 Ecuación característica del Sistema
L(S) = G(S)*H(S) = Función de Transferencia de Lazo abierto
L(S) = G(S)*H(S)
Siendo:
K*N(S) = Numerador de G(S)*H(S)
D(S) = Denominador de G(S)*H(S)
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De estas demostraciones, se obtienen las siguientes conclusiones importantes a tener en cuenta:
Hablar de Ceros de la ecuación característica del sistema, es lo mismo que hablar de
Polos de la Función de Transferencia de Lazo Cerrado.
La ecuación característica del sistema, puede obtenerse como la suma del numerador
de G(S).H(S) más el denominador de G(S).H(S) igualada a cero.
Es decir, el polinomio característico, que es el denominador de la Función de Transferencia de
Lazo Cerrado se puede obtener también, como la suma del numerador más el
denominador de la función de Transferencia de Lazo Abierto G(S).H(S).
Los polos de la función de transferencia del lazo abierto L(s), son también los
mismos polos de la ecuación característica F(s).
Los ceros de la Función de Transferencia de Lazo Cerrado, están conformados
por los ceros de G(S) y los polos de H(S).
Puede entonces redactarse la condición de estabilidad así:
Para que un sistema sea estable, ninguno de los ceros de F(s) puede estar en
el semiplano de S positivo o en el eje imaginario.
Como se verá a continuación, el criterio de estabilidad de Nyquist relacionará el número de ceros y de polos
de F(s) que están ubicados en el semiplano derecho del plano s, para averiguar, la condición de estabilidad
del sistema.
Como ya se sabe, debido a la naturaleza física de los sistemas reales de control, el orden del
denominador )(sD , es igual o mayor que el orden del numerador )(sN de la función de transferencia
del lazo L(s). Matemáticamente, esto significa que .0)( constanteunaosLLims
La demostración matemática del criterio de Nyquist requiere el empleo de la teoría de funciones de
variable compleja. Se presentará aquí solo una explicación cualitativa.
Principio del Argumento:
Sea F(s) una función compleja, de una variable compleja S, siendo F(S) racional, unívoca o univaluada (a
cada punto del plano S, le corresponde un punto en el plano F(S)) y analítica en el plano S a excepción
de sus singularidades (ceros y polos) y factorizada de la siguiente forma:
).....(..........)()()(
).......(..........)()()()(
321
321
n
n
PsPsPsPs
sssssF
(3)
En la que:
n ,..........,,, 321 , son los Ceros de la ecuación característica y nPPPP ,..........,,, 321 , son los Polos de la
ecuación característica.
El módulo y la fase serán:
)(..........)()(
)(..........)()()(
21
21
n
n
PsPsPs
ssssF
n
j
n
j
jj PsssF1 1
)()()( (4)
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En la figura 4, se han dibujado arbitrariamente en el plano s los polos y ceros de la función compleja F(s),
con n=6.
También se dibuja una curva S cerrada, arbitraria en el semiplano S positivo que rodea a los ceros
5321 ,, y , así como los polos 65 PyP .
Para cada punto de Analiticidad en el plano S, hay un punto correspondiente en el plano F(S).
La representación que produce una Función analítica es Conforme, por lo tanto existe una
correspondencia que preserva tanto las dimensiones como el sentido de los ángulos.
Desde todos los polos y ceros se trazan segmentos dirigidos hasta un punto S1, cualquiera de la trayectoria
s, de coordenadas jS . Las longitudes de estos segmentos dirigidos vienen dadas por el módulo
de los vectores diferencia .,,........,, 112111 ectPsss
(a) (b)
Figura 4
Al moverse el punto S1 de la curva S en un recorrido completo, en la dirección positiva contraria a las
manecillas del reloj, (SCMR), cada segmento dirigido desde un polo o cero que se encuentre rodeado por la
trayectoria S girará un ángulo neto de 360º.
Todos los polos y ceros exteriores al contorno cerrado S , es decir no rodeados por la
trayectoria S contribuirán con una rotación neta de 0º para la función compleja F(s), al desplazarse el
punto s1 sobre el contorno en un recorrido completo. Es decir, no existe contribución en fase para F(S)
por los polos y ceros de F(S) que no están rodeados por la trayectoria S .
Recordando cómo se encuentra la fase de una Función compleja expresada como el cociente de un
polinomio numerador y otro polinomio denominador, que es: La Fase del numerador menos la fase del
denominador. Relacionando la fase del numerador, con la rotación angular debida a los ceros; y
relacionando la fase del denominador de F(S) con la rotación angular de los polos. Entonces, la rotación
angular neta que sufre la Función F(S), debe ser igual, a la rotación resultante debida a los ceros rodeados
por S menos la rotación resultante debida a los polos rodeados por S . En otras palabras, la rotación
angular neta experimentada por el vector F(s) será:
4(360º)-2(360º)= (4-2) (360º)=2(360º)=720º
Por tanto, en este caso puede establecerse que el número total de rotaciones netas N que experimenta el
vector F(s) debidas al movimiento en SCMR del punto S1 en una vuelta completa al contorno cerrado S es
de N = +2, es decir, en general se cumple:
N = (Z – P)
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Donde:
Z: Número de ceros de la Función F(s), rodeados por la trayectoria cerrada S en el plano s.
P: Número de polos de la de la Función F(s) rodeados por la trayectoria cerrada S en el plano s.
Si N es positivo, (Z>P), la rotación neta es en sentido antihorario, SCMR (en el mismo sentido dela
trayectoria S en el plano S)
Si N es negativo, (Z<P), la rotación neta es en sentido horario, SMR. (en sentido contrario de la trayectoria
S en el plano S)
Si N es cero, (Z=P), la rotación neta es nula.
Nótese que, si en otro ejemplo, el contorno S rodearía solo al polo 5P ,la rotación angular neta
experimentada por el vector F(s) será:
-(360º)= -360 º
F(s) sufrirá una rotación igual a N = -1, en el SMR (sentido a favor de las agujas del reloj), en tanto s1 se
mueva a lo largo del contorno cerrado S en el SCMR.
Trayectoria de Nyquist
Nyquist, para estudiar la estabilidad, tuvo en cuenta dos consideraciones importantes:
Eligió la función compleja F(S) igual a la Ecuación Característica del sistema.
F(S) = 1+L(S). Eligió una trayectoria S con un radio infinito, tal que encierre o abarque a todo el semiplano
derecho positivo del plano S sin pasar por ningún polo o cero de la función F(S), rodeando e
incluyendo de esta manera, a todos los ceros y polos de F(s) que tengan la parte real positiva.
Es decir, al elegir esta trayectoria y a F(S) como la ecuación característica, si existen ceros de la ecuación
característica (que son también los polos de lazo cerrado del sistema), los cuales hacen inestable el
sistema, serían rodeados por la trayectoria de Nyquist que abarca todo el semiplano derecho del plano S.
Según la teoría de funciones de variable compleja, necesaria para obtener esta generalización, es preciso
que el contorno cerrado de la trayectoria S no pase sobre ningún cero o polo de F(s). Como se
demostró anteriormente los polos de F(S) son los mismos polos de L(S). Por lo tanto la trayectoria de
Nyquist es un semicírculo con radio infinito que abarca todo el semiplano derecho del plano S, sin tocar los
polos en el eje jw, como se indica en la figura 5.
Z = P + N
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Figura 5
Esta trayectoria S se selecciona para el criterio de Nyquist en sentido positivo, en el SCMR ya que en
matemáticas el SCMR es tradicionalmente definido para el sentido positivo de los ángulos.
La Trayectoria de Nyquist en sentido SCMR en el plano S, está formada por cuatro tramos:
- Tramo I: desde +j∞ a +j0
- Tramo II: desde +j0 a –j0
- Tramo III: desde –j0 a -j∞
- Tramo IV: desde -j∞ a +j∞
Para poder contar los rodeos netos alrededor del origen del plano F(S), se tendría que obtener la trayectoria
de F completa en el plano F(S), mediante transformación conforme de los cuatros tramos cuando se
recorre en forma completa la trayectoria de Nyquist en el plano S, según el sentido de Nyquist.
Graficación de la Traza de L(s), en vez de F(S) = 1+G(S).H(S)
En principio, una vez que se especifica la trayectoria de Nyquist, la estabilidad del sistema se puede
determinar al graficar el lugar geométrico de F(s)=1+L(s) cuando S toma valores a lo largo de la trayectoria
de Nyquist S , e investigar el comportamiento de la traza de F(s) con respecto al origen (0,0) del plano
F(s) llamado punto crítico.
Como Z = P+N, conociendo P y encontrando N gráficamente, se puede saber si el sistema es estable o
inestable.
Si Z ≠ 0 El Sistema será Inestable.
Si Z= 0 El sistema será Estable.
Analizando el siguiente gráfico,
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Figura 6 (a) (b)
Se observa que:
El vector diferencia L(S) = F(S) – 1, tiene su origen en el punto (1, j0) del plano F(S).
Para el Plano L(S), el origen (0,j0) del plano F(S) alrededor del cual se cuentan los rodeos netos, pasa
a ser el punto (-1, j0) si trabajáramos con el plano L(S) en vez del plano F(S).
Conclusión: El origen (0,j0) del plano F(s)=1+L(s) corresponde al punto (-1, j0) en el plano L(s), la misma
conclusión sobre la estabilidad del sistema se puede obtener al observar el comportamiento de la traza
de L(s) con respecto al punto crítico (-1,j0) en el plano L(s), en vez de observar la trayectoria de F(S)
alrededor del origen (0,0) en el plano F(S), puesto que es más fácil construir la traza de L(s) que ya es
conocida.
Por tanto a partir de ahora, el punto (-1, j0) en el plano L(s) será el punto critico para determinar la
estabilidad del sistema, como lo indican las figuras 6a y 6b.
Este criterio permite así utilizar las propiedades de la función de transferencia del lazo L(s) para
encontrar el comportamiento del sistema de control de lazo cerrado.
En consecuencia una vez determinado P, (ya sea por simple inspección de L(s) que se da como dato, o
aplicando el criterio de Routh a al denominador de L(S), P será el número de cambios de signo de la
primera columna), y N, siempre será un número entero positivo o negativo, se aplicara:
N= Z-P
Siendo ahora:
Z = SIEMPRE son los CEROS DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DEL SISTEMA,
UBICADOS EN EL SEMIPLANO DERECHO DEL PLANO S (es decir, ceros de F(S)=1+G(S)H(S)
rodeados por la trayectoria de Nyquist S que ocupa todo el semiplano derecho).
Estos ceros de la ecuación característica, son también los polos del sistema de lazo
cerrado ubicados en el semiplano derecho del plano S, que hacen inestable al sistema.
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P= Polos de la función L(S) = G(S).H(S) ubicados en el semiplano derecho del plano S rodeados por la
trayectoria de Nyquist S (que también coinciden con los polos de F(S) = 1+L(S))
N = Rodeos netos de la traza de L(S) (es decir Función de Transferencia de lazo Abierto) en el plano L(S),
alrededor del punto crítico -1.
Como Z = N+P
Si Z = 0, El Sistema será Estable.
Si Z ≠ 0, El Sistema será Inestable.
Por lo tanto en un sistema Estable el criterio de Nyquist se puede expresar:
Esto es:
Para que un sistema sea estable, la traza de L(s) deberá rodear al punto critico (-1, j0) un número de veces
igual a la cantidad de polos de L(s) que están en el semiplano derecho del plano s. Los rodeos, si los hay,
deben ser hechos en dirección negativa (por el signo –p) SMR (sentido a favor de las manecillas
del reloj, o sea en sentido horario) para S definida en sentido SCMR (sentido contrario de las
manecillas del reloj).
CRITERIO SIMPLIFICADO DE NYQUIST PARA SISTEMAS CON L(S) DE FASE MÍNIMA.
Se define a una Función de Lazo Abierto L(S) de Fase Mínima, como aquella Función
que no tiene polos ni ceros en el semiplano derecho del plano s o sobre el eje jw, excepto
en el origen del plano s, (integradores puros).- Ya que la mayoría de los sistemas cumplen con esta propiedad de ser de fase Mínima, será prudente
investigar la aplicación del criterio de Nyquist a esta clase de sistemas.
Cuando L(s) es de fase mínima, deberá ser P = 0. Por tanto el criterio de Nyquist se reducirá a:
N = Z
Si N = 0 El sistema es Estable.
Si N ≠ 0 El sistema es Inestable.
Por tanto, el criterio de Nyquist se puede enunciar como:
Para un sistema con una L(s) de fase mínima, el mismo será Estable si la traza de
L(s) que corresponde a la trayectoria de Nyquist, no rodea en forma neta al punto
critico (-1, j0) en el plano L(s). Para un sistema con una L(s) de fase mínima, el sistema será Inestable, si la traza
de L(s) que corresponde a la trayectoria de Nyquist con los cuatro tramos, rodea en
forma neta al punto critico (-1, j0) en el plano L(s). Como Z > 0 (es un número
positivo), por ende N > 0, el punto critico estará rodeado en forma neta en
dirección positiva SCMR (en sentido contrario a las agujas de reloj).
N = - P
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Si hay encierros al punto critico -1, se produce únicamente cuando se pasa de +j
a -j, analizar L(S) desde j a -j, es analizar la respuesta en frecuencia de
L(jw).
Es decir analizar el recorrido en el plano L(S) alcanza solo con analizar sólo la
parte de la trayectoria S en el plano S que corresponde al eje imaginario
positivo +jw.
Reemplazo del concepto de rodeo por el concepto de incluido.
Como se había definido anteriormente, la región que está incluida o comprendida por una trayectoria es
aquella que está a la izquierda cuando la trayectoria S se recorre en el SCMR (sentido positivo).
Como L(jw) y L(-jw) son simétricos respecto al eje real, bastaría solamente con analizar si la traza del tramo
I de L(S) correspondiente a la trayectoria de Nyquist que va de + j a +j0 incluye o no al punto crítico -1
para saber, si el sistema es inestable o estable.
Si el sistema de fase mínima fuera Inestable, y se dibujaran los cuatro tramos de la trayectoria completa
L en el plano L(S) correpondientes a los cuatro tramos de la trayectoria de Nyquist s, el punto (-1,0)
estará rodeado por la traza completa de L , en el plano L(S) en sentido antihorario que es el sentido
asignado como positivo.
Si solamente dibujamos la parte de la trayectoria conforme que corresponde al tramo I de la trayectoria de
Nyquist, cuando jw en el plano S, varía desde +j∞ a +j0 en sentido positivo es decir antihorario, en vez de
la trayectoria completa formada por los cuatro tramos, para el sistema inestable, se cumple
simultáneamente que el punto -1 estará incluido por el tramo I de esa trayectoria que corresponde al tramo I
de la trayectoria de Nyquist. Si se completara todos los tramos del recorrido, ese punto -1 también estaría
rodeado por la trayectoria en sentido positivo antihorario y se cumpliría que Z=N, es decir el sistema de
lazo cerrado, tiene tantos polos en el semiplano derecho del plano S, como rodeos netos realiza la
trayectoria conforme completa L(S) alrededor del punto -1 en el Plano L(S).
Ahora, si el sistema fuera Estable, Z=0, el punto -1, no tendría que estar rodeado por la trayectoria
conforme completa en el plano L(S), tampoco estaría incluido por el tramo I de la trayectoria
conforme en el plano L(S).
Por lo tanto para Simplficar el criterio solo bastaría con graficar el tramo I de Nyquist y aplicar el concepto
de INCLUIDO en vez de RODEADO.
Usando esto, el criterio de Nyquist se simplifica aún más, graficando solamente el segmento del tramo I
de L(jw) correspondiente al tramo I de la trayectoria de Nyquist, que va desde a 0, (los puntos sobre
el eje jw positivo).
El único inconveniente a tener en cuenta de este método, es que la traza que corresponde al eje jw dice solo
si el punto crítico está o no incluido, y si lo está, no dice cuántas veces esta rodeado por la trayectoria
conforme L(S), porque no se pueden contar los rodeos al no dibujar toda la trayectoria completa en el plano
L(S). Por lo tanto, si el sistema es inestable, basta con comprobar que Z 0, pero este procedimiento NO
DICE cuántos ceros de la ecuación característica se encuentran en el semiplano derecho,
para saberlo, se tendrían que dibujar los cuatro tramos. Sin embargo en la práctica esta información no es de
vital importancia.
De acá en más, se definirá la traza de L(jw) que corresponde a la trayectoria conforme del tramo 1 de la
trayectoria de Nyquist del plano S (eje jw positivo), como la Traza de Nyquist de L(s), (o la respuesta
frecuencial del lazo en forma polar).-
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RESUMEN DEL CRITERIO SIMPLIFICADO PARA SISTEMA DE FASE MÍNIMA
L(s) ES DE FASE MÍNIMA, ES DECIR P = 0, L(S) NO DEBE TENER, NI CEROS NI
POLOS SOBRE EL SEMIPLANO DERECHO DEL PLANO S NI EN EL EJE JW (A
EXCEPCIÓN DE POLOS EN EL ORIGEN)
N = Z SOLO SE DIBUJA EL TRAMO I DE LA TRAZA DE L(JW) QUE CORRESPONDE AL
TRAMO I DE LA TRAYECTORIA DE NYQUIST QUE VA DE +j A -j
SE CAMBIA EL CONCEPTO DE RODEO POR INCLUIDO.
AL NO COMPLETAR LOS CUATRO TRAMOS, NO SE PUEDE SABER CUANTOS
CEROS DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SE ENCUENTRAN EN EL SEMIPLANO
DERECHO DEL PLANO S. SOLO SE PUEDE DETERMINAR SI EL SISTEMA ES
ESTABLE O INESTABLE.
SI LA TRAZA DE L(S) INCLUYE AL PUNTO -1, RECORRIENDO LA TRAZA EN
SENTIDO ATIHORARIO DESDE w a W0, EL SISTEM ES INESTABLE.
SI LA TRAZA DE L(S) NO INCLUYE AL PUNTO -1, RECORRIENDO LA TRAZA EN
SENTIDO ATIHORARIO DESDE w a W0, EL SISTEM ES ESTABLE.
PARA SISTEMAS DE FASE MÍNIMA, ESTE CRITERIO SIMPLIFICADO ES
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE. ES DECIR SI LA TRAZA DE L(S)
CORRESPONDIENTE AL TRAMO I DE LA TRAYECTORIA DE NYQUIST, INCLUYE
AL A PUNTO CRÍTICO -1, EL SISTEMA ES INESTABLE. SI LA TRAZA DE L(S) NO
INCLUYE AL -1, EL SISTEMA ES ESTABLE.
SI EL SISTEMA ES DE FASE NO MÍNIMA, P ≠ 0, EL CRITERIO SIMPLIFICADO ES
CONDICIÓN NECESARIA PERO NO SUFICIENTE, ES DECIR: SI LA TRAZA DE L(S)
CORRESPONDIENTE AL TRAMO I DE LA TRAYECTORIA DE NYQUIST, INCLUYE
AL A PUNTO CRÍTICO -1, EL SISTEMA ES INESTABLE. SI LA TRAZA DE L(S) NO
INCLUYE AL -1, NO SE PUEDE ASEGURAR QUE EL SISTEMA SEA ESTABLE, HAY
QUE ANALIZARLO POR OTRO CRITERIO, QUE ES EL CRITERIO GENERAL
SIMPLIFICADO DE NYQUIST, EL CUAL SE APLICA TANTO PARA SISTEMAS DE
FASE MÍNIMA Y NO MÍNIMA.
Ejemplo:
Sea la función de transferencia del lazo de un sistema de control la siguiente:
.)2()1(
)( AbiertoLazodeciaTransferendeFuncionsss
KsL
ticaCaracterìsEcuaciònsss
KsssSLsF
)2()1(
)23()(1)(
23
Determinar aplicando Nyquist el rango del parámetro K dentro del cual el sistema es estable.
En el rango de inestabilidad del mismo averiguar el número de raíces de la ecuación característica en el
semiplano derecho del plano s.
Llamaremos 2
)(0
KssLlímKo
s
y como número de polos de L(S) número de ceros,
En la figura 7, se muestran los diagramas de Bode y las trayectorias conformes completas de la trayectoria
de L(S).
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Diagrama de Bode
Mo
du
lo d
e L
(s),
en
dB
10-2
100
102
-270
-180
-90
Fase d
e L
(jw
), G
rad
os
Parte Real
Part
e I
mag
inari
a
Diagrama de Nyquist
jImL
ReL
I
II
III R inf. c
-K/6 N=0
Z=0
Estable N=2
Z=2 Inestable
Figura 7
Como se aprecia en la figura 7, se ve que el sistema será estable si; K > 0 y L (jwC) > -1 o el mòdulo de
L(jw) es menor a 1 (/L(jw)/ 1)
La frecuencia wC, es llamada frecuencia de cruce de fase, que es la frecuencia para la cual la fase del
vector de L(jw) es -180º, es decir es la frecuencia para la cual el vector de L(jw) tiene parte Imaginaria igual
a cero y parte real negativa, es decir el vector L(jw) tiene fase igual a -180º. Dicha frecuencia se determina
igualando la parte imaginaria de L(jw) a cero y despejando w.
Parte Imaginaria de [L(jw)]=0.
./2020..)2(3
01)( 2
22segradsiIP
j
jKjL CCC
Reemplazando luego wc en la Parte real de L(jw), y haciendo que la parte real de L(jw) no incluya el punto
crítico -1, (/L(jw)/ <1 o L(jw) > -1), se puede despejar el valor de k que hace estable el sistema.
616
163
1)(
2
K
KKKjL
C
C
Por lo tanto el rango pedido de K para que sea estable el sistema será:
0 < K < 6
Si K = 6, el sistema será marginalmente estable.-
Si K > 6 el sistema será Inestable y Z se obtiene de contar los rodeos netos de la traza L(jw) en torno al
punto crítico -1, Z = N = 2, con signo positivo porque el punto -1, es rodeado por la traza de L(jw), dos
veces en sentido positivo, que es el antihorario.
Si k 6 el punto crítico -1, se encuentra incluido por la traza de Nyquist de L(jw), al recorrerla desde
w a w0, en sentido antihorario.
El Rango de la ganancia k, para la cúal el sistema es estable, también se puede encontrar aplicando el
criterio de Routh Hurwitz.
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 14
CRITERIO GENERAL DE NYQUIST SIMPLIFICADO, PARA SISTEMAS CON L(s) DE FASE
MÍNIMA y NO MÍNIMA.
Este criterio evita tener que graficar las trazas conformes de los tramos II, III, y IV de la trayectoria de
Nyquist y contar los rodeos del vector F(s) respecto al punto critico (-1, j0) del plano L(s).
Este criterio utiliza solo L (jw) para Q>0 y sin los circulitos para esquivar los polos de L(s) en el eje jw si los
hubiera.
El comportamiento de la traza correspondiente al tramo I con respecto al punto critico (-1, j0) nos dará la
condición de estabilidad del sistema de control.
Para tal propósito consideremos las dos trayectorias mostradas en la figura 8.
Figura 8
Es claro que la trayectoria de Nyquist 1S en la primera figura es la original ya vista, mientras que la
segunda trayectoria 2S rodea o incluye no solo al semiplano derecho del plano s, sino también los polos de
F(s), (o de L(s)), sobre el eje jw, si es que existen.
Se definirán las siguientes cantidades:
Z= número de ceros de F(s) que están en el semiplano derecho del plano s
P= número de polos de F(s) que están en el semiplano derecho del plano s
Pw= número de polos de de F(s) que están sobre el eje jw del plano S, incluyendo los que están en el
origen del mismo.
N1= Número de vueltas netas del vector F(s) alrededor del punto crítico
(-1, j0) del plano L(s) cuando se recorre la traza de Nyquist
correspondiente a la trayectoria 1S .
N2= Número de vueltas netas del vector F(s) alrededor del punto crítico
(-1, j0) del plano L(s) cuando se recorre la traza de Nyquist
correspondiente a la trayectoria 2S .
Aplicando el teorema de Cauchy a ambas trayectorias se tendrá:
N1= Z – P y N2= Z - (P+Pw)= Z – P - Pw
En lugar de contar vueltas se podrá determinar el giro o rotación en grados del vector F(s), (o sea el vector
que apoyado en el punto crítico (-1, j0) del plano L(s)), recorre los diagramas de Nyquist correspondientes.
Llamando a los mismos 1 y 2 se tendrá:
)2()(º360
)1(º360)(º360
22
11
PPZN
PZN
Se considerara que cada trayectoria de Nyquist 1S y 2S está compuesta de tres porciones, a saber:
1. La porción a lo largo del eje jw, excluyendo los pequeños semicírculos.-
2. Todos los pequeños semicírculos sobre el eje jw.-
3. La porción desde js hasta js a lo largo del semicírculo con radio infinito.-
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 15
Ya que las trayectorias de Nyquist 1S y 2S son simétricas con respecto al eje real en el plano s, los ángulos
girados por el vector F(s) en los diagramas de Nyquist son idénticos para valores positivos o negativos de w.
Por tanto 1 y 2 se podrán escribir como:
)4(2
)3(2
1312112
1312111
Donde:
11 Ángulo que gira el vector F(s) al recorrer la traza de Nyquist con respecto al punto crítico (-1, j0),
correspondiente al eje jw positivo, (o al negativo) del plano s, excluyendo los pequeños semicírculos.
12 Ángulo que gira el vector F(s) al recorrer la traza de Nyquist con respecto al punto crítico (-1, j0),
correspondiente a los pequeños semicírculos sobre el eje jw de la trayectoria 1S . [Como las direcciones de
los pequeños semicírculos de la trayectoria 2S son opuestos a los de 1S el signo de 12 en la ecuación (4)
es negativo].
13 Ángulo que gira el vector F(s) al recorrer la traza de Nyquist con respecto al punto crítico (-1, j0),
correspondiente al semicírculo con radio infinito en las trayectorias de Nyquist.
Cuando L(s) tiene más polos que ceros, la traza de Nyquist de L(s) que corresponde al semicírculo de radio
infinito, deber ser una trayectoria alrededor del origen del plano L(s), (si n > w) ejemplo A.
Por tanto, el giro 13 recorrido por el vector F(s) con respecto al punto crítico (-1, j0) del plano L(s),
(conforme de tramo IV de las trayectorias de Nyquist en el plano s), será nulo, por lo tanto 13 0º.-
Ahora al sumar las ecuaciones (3) y (4) se tendrá:
)5(4 1121
Reemplazando 21 y dados por las ecuaciones (1) y (2) nos queda:
114º360)(º360)( PPZPZ
º360)22(4 11 PPZ
Por ende despejando 11 se obtendrá:
)6(º180)5.0(11 PPZR
Y también:
)7(5.0º180
11 PPZ R
La ecuación (6) establece que:
El ángulo total girado por el vector F(s), en el plano L(s) que corresponde a la porción del eje jw positivo del
plano s, excluyendo los pequeños semicírculos, si existen, es igual a:
[(Número de ceros de F(s) en el semiplano derecho del plano s) – (Número de polos de L(s) en el semiplano
derecho del plano s) – (0.5 Número de polos de L(s) sobre el eje jw del plano s)] 180º.-
Por lo tanto, el criterio de estabilidad de Nyquist se puede llevar a cabo sólo mediante la construcción de la
traza de Nyquist que corresponde a la porción desde js hasta 0s de la trayectoria de Nyquist.
Aún más, si el sistema es inestable, al conocer los valores de PyP,11 , la ecuación (7) da el número de
raíces de la ecuación característica que están en el semiplano derecho del plano s.
Para que el sistema sea estable, Z = 0. Por tanto, este criterio de Nyquist para que el sistema sea estable
establece que, el giro 11 del vector F(s) con respecto al punto crítico (-1, j0) del plano L(s),
correspondiente a la traza de Nyquist para w positivas deberá ser:
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 16
)8(º180)5.0(11 PPE
Por ende al determinar R11 , si este valor coincide con el E11 correspondiente el sistema será estable, de
otra manera no.
Ya que P y Pw no pueden ser negativos, la ecuación (8) indica que:
E11 deberá ser siempre negativo, o sea giro neto del vector F(s) horarios.
También hay que tener claro que, 27011 no es lo mismo que º9011 , pues son giros de F(s) y no
simplemente ángulos.-
Cuando el giro de F(s) es positivo, corresponde a que el punto (-1, j0) este incluido, por tanto la condición
de que la traza de Nyquist de L (jw) no incluya al punto crítico (-1, j0) es una condición solo necesaria para
la estabilidad del sistema con L(s) de fase no mínima.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema con L(s) de fase no mínima sea
estable es que:
RESUMEN PARA SISTEMA DE FASE NO MÍNIMAS:
EL CRITERIO SIMPLIFICADO SE SISTEMAS DE FASE MÍNIMA PARA SISTEMAS DE
FASE NO MÍNIMA ES CONDICIÓN NECESARIA PERO NO SUFICIENTE ( SI LA
TRAZA DEL TRAMO I INCLUYE AL PUNTO -1, EL SISTEMA ES INESTABLE, SI NO
LO INCLUYE HAY QUE ESTUDIARLO POR EL CRITERIO GENERAL SIMPLIFICADO.
EL CRITERIO GENERAL SIMPLIFICADO ES CONDICIÓN NECESARIA Y
SUFICIENTE PARA SISTEMAS DE FASE MÍNIMA Y NO MÍNIMA.
LOS GIROS 11 REAL DEL VECTOR F(S) DEBEN COINCIDIR CON LOS GIROS
11 DE ESTABILIDAD TEÓRICA QUE DEBERIA ROTAR EL VECTOR F(S) PARA QUE
EL SISTEMA FUERA ESTABLE ES DECIR Z= 0
PARA QUE EL SISTEMA SEA ESTABLE, EL SENTIDO DE GIRO 11 REAL DEBE SER
NEGATIVO, ES DECIR GIRO NETO DEL VECTOR F(S) EN SENTIDO HORARIO.
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE UN SISTEMA FASE MÍNIMA Y
NO MÍNIMA SEA ESTABLE:
ERR y 111111 0
)8(º180)5.0(11 PPE
SIENDO:
P = POLOS DE L(S) EN EL SEMIPLANO DERECHO DEL PLANO S
PW = POLOS DE L(S) EN EL EJE JW O EN EL ORIGEN.
SI NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE, EN SIGNO Y VALOR
DEL ANGULO DE GIRO 11 EL SISTEMA ES INESTABLE.
Sistemas con Funciones de Transferencia del Lazo de Fase Mínima
Si L(s) es de fase no mínima, P = 0 y Pw indica el número de polos de L(s) que están en el origen del plano s,
la ecuación (6) se convierte en:
ERR y 111111 0
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 17
)9(º180)5.0(11 PZR
Si el sistema es estable, Z = 0, y la ecuación (9) se puede colocar:
PE º9011 (10)
Ya que Pw denota el número de polos de L(s) que están en el origen del plano s, se puede ver fácilmente que
si el punto crítico (-1, j0) no esta incluido por la traza de Nyquist de L(s), R11 siempre estará dado por la
ecuación (10). Por tanto, cuando L(s) es de fase mínima, la condición de que el punto crítico (-1, j0), no este
incluido por la traza de Nyquist será una condición necesaria y suficiente para que el sistema se estable.-
En consecuencia si L(s) es de fase no mínima la condición de no inclusión del punto crítico (-1, j0) del
plano L(s) es solo necesaria pero no suficiente, además, deberá cumplirse que: .E11R11 ΦΦ
Cuando se cambia el signo de la ganancia del lazo K, el punto critico será el (+1, j0), pero pensado como
(-1, j0).
Por ende los puntos de interés de la traza de Nyquist serán las intersecciones con el eje real del plano L(s), o
sea cuando la parte imaginaria de L (jw) es nula:
ImL (jw)=0 (11)
Con esta ecuación se determinarán las frecuencias wC, si ellas existen, si las soluciones de la ecuación
(11) son complejas significa que la traza de Nyquist no corta al eje real del plano L(s).
Resumen del Procedimiento para el Análisis de Estabilidad por Nyquist
Los pasos a seguir para encontrar los rangos de estabilidad de la ganancia del lazo serán los siguientes:
1- Hacer un bosquejo de la traza de Nyquist correspondiente.
Si la función L(s) es de fase mínima sin dinámica en el numerador, el bosquejo es inmediato, si no es así se
puede usar previamente un esquema de Bode de L(s) para tal fin. También se puede usar cualquier programa
de computación, por ejemplo el Plrplot del Csad/Matlab.
2- Encontrar, si es posible, la ubicación de los puntos críticos para K>0 y K<0, en los cuales se debe
cumplir que .ΦΦ E11R11
3- Si en el punto 2 se lograron ubicar donde deberían estar los puntos críticos para que el sistema sea
estable, ahora se determinan la o las frecuencias wC, empleando la ecuación (11), igualando la parte
imaginaria de L(jw)=0.
Recordar que esto se puede hacer en la forma siguiente:
Si )(
)()(
sD
sKNsL , se reemplaza s por jw:
)]()([
)]()()()([)]()()()([
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
)()(
22 wdwc
wcwbwdwajwdwbwcwaK
wjdwc
wjbwc
wjdwc
wjbwaK
sD
sNKjwL
Si la parte imaginaria es nula se deberá cumplir:
)()()()( wcwbwdwa (12)
Con la ecuación (12), se encuentra la o las wC si existen.
4- Se determina el rango del parámetro variable dentro del cual el sistema será estable, usando:
)(
)()(
C
CC
c
aKjL
o según convenga
)(
)()(
C
CC
d
bKjL
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 18
Estas expresiones deberán ser mayores o menores que -1 para que el sistema sea estable, según se obtuvo en
el punto 2).
Operando con estas desigualdades se determinara el rango buscado.
Ejemplo 1:
Retomando el sistema del ejemplo A, se tiene que:
)2()1()(
sss
KsL , la traza de Nyquist era la indicada en la figura 11.
L
azo
L
(s),
part
e
Imag
inari
a
Parte Real
Traza de Nyquist
0.75K
jImL
ReL =oo 0
c
-K/6 11R=-90º= 11E
Estable si:
Kc>0
L(jc)>-1
11R=+270º = 11E
Inestable :
Z= 11R/180º+0.5
Z=270º/180º+0.5
Z=2
11R = -90º
distinto de
11E
Inestable
para todo
Kc<0
Z=1
Figura 11
Como Pw=1 y P=0, será: 11E = -90°
Siguiendo los pasos ya indicados se determinó la ubicación del punto crítico y resulto que:
616
)(/2
KcKc
jLysegrad CC
Por ende el rango total será: 60 Kc
En los rangos de Inestabilidad el valor de Z es:
Si Kc6 225.0º180
º270 ZZ
Si 0 Kc 115.0º180
º90 ZZ
Como se pude apreciar los resultados son iguales a los ya obtenidos en el ejemplo A.
Cuando 0 , la traza es asintótica a la recta vertical de abscisa -0.75Kc.
Kcdc
bdacKclímjL 75.0)0(
220
Ejemplo 2:
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 19
Para el ejemplo C, se tenía: )4()2(
5.0)(
2
sss
KcsL , la traza de Nyquist de la misma es la indicada en la
figura 13.
Lazo
(L)
Imagin
aria
Real
Traza de Nyquist
jImL
ReL 0
-Kc/16
c=2.828rad/seg.
=0
11E = - 360º
11R=0º=11E
Inestable
Z = 2
11R=-360º=11E
Sistema Estable si:
Kc>0
L(jc)<-1
-Kc/16>-1 o Kc<16
11R=-180º=11E
Inestable
Z = 1
11R=0º=11E
Sist. Inestable
para todo
K < 0
Z = 2
-Kc/12
Rango de Kc para la Estabilidad
12 < Kc 16
Figura 13
Como Pw=0 y P=2, será: º.36011E y
.2º180
11RZ
Como se aprecia en la figura 13, el sistema será estable solo si:
16116
1)(
0
KcKc
jL
Kc
C
En el ejemplo C se determino que: ./8 segradC , además,
.12112
)( KcKc
jL C por ende el rango total será:
1612 Kc
El valor de Z en los rangos de Inestabilidad se indica en la figura 13.-
Ejemplo 3:
Un sistema de control tiene la siguiente función de transferencia del lazo:
)10()1(
)5()2()(
sss
ssKsL ,
El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se indican en la figura 16.
Como Pw=1 y P=1, será: º.27011E y 50.1º180
11
RZ
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 20
Como se ve en la figura correspondiente, el sistema será estable solo para K>0 si se cumple que:
1)( CjL .-
Traza de Nyquist de L(s) Diagrama de Bode de L(s)
-40
-20
0
20
40
10-2
100
102
-270
-180
-90
0Para K = 1
jImL
ReL
11R=+90º
Inestable
Z = 2
11R=-270º
Estable si:
K > 0
L(jc) < -1
c
-K/1.65
11R=-90º
Inestable para
Todo K < 0
Z = 1
=0
Rango:1.65 <K< infinito
Módulo de L(j), dB
Fase de L(j), grados
Figura 16
322
22
2
63)10)(10(:0..)10()9(
7)10()( CCCCsiIP
j
jKjL
Resolviendo para C : 010063 24 CC
Las raíces de la última ecuación son: 2447.10343.8 yj , por ende la solución buscada es:
./2447.1 segrarC
Por lo tanto:
65.1165.164989.1)10(
7)(
2
K
KKKjL
CC
CC
El rango total buscado es:
K65.1 .-
Los valores de Z en los rangos de inestabilidad están indicados en la figura.
Para 265.10 ZK .- Para 10 ZK
Ejemplo 4:
Un sistema de control tiene la siguiente función de transferencia del lazo:
)5)(1(
)92()(
2
sss
ssKsL ,
El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se indican en la figura 17.
Como Pw=1 y P=2, será: º.45011E y 50.2º180
11
RZ
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 21
Diagrama de Bode de L(j)
-40
0
40
10-2
100
102
-180
-90
0
Traza de Nyquist de L(j)
Para: K > 0; K = 1
jImL
ReL
11R=-90
Inestable
para todo
K > 0
Z = 2
11R = +90º
Inestable
para todo
K < 0
Z = 3
11E = -450º
Módulo en dB
Fase en grados
Figura 17
Como se puede apreciar para K>0, el punto crítico no está incluido por la traza de Nyquist y sin embargo el
sistema es inestable pues ER 1111 .-
Para K<0, también ER 1111 , sistema inestable.-
Los valores de Z para 2:0 ZK .- Para 3:0 ZK
Ejemplo 5:
Un sistema de control tiene la siguiente función de transferencia del lazo:
)306(
)22()(
2
2
sss
ssKsL ,
El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se indican en la figura 18.
Como Pw=1 y P=2, será: º.45011E y 50.2º180
11
RZ
Como se ve en la figura correspondiente, el sistema será estable solo para K>0 si se cumple que:
1)(
1)(
1
2
C
C
jLeq
jLeq
)30(6
2)2()(
22
2
j
jKjL
P.I.=0 si: 322 12)30()2( CCCC
Resolviendo para C : 06020 24 CC
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 22
Traza de Nyquis de L(j)Diagrama de Bode de L(j)
-40
-20
0
20
10-2
100
102
-270
-180
-90
0
jImL
ReL c1 c2
11R=-450º
Estable si:
K > 0
L(jc2)>-1
L(jc1)<-1
11R=-90º
Inestable
Z = 2
11R=-90º
Inestable
Z = 2
11R=+90º
Inestable
para todo
K < 0
Z = 3
0
=0 11E=-450º
Para K > 0; K = 1
Módulo de L(j) en dB
Fase de L(j), en grados
Figura 18
Las raíces de la última ecuación son: 9171.10404.4 y , por ende las soluciones buscadas son:
../9171.1/0404.4 21 segradysegrar CC
Por lo tanto:
838.61838.6)30(
2)(
2
1
1
K
KKjL
C
C
1623.1311623.13)30(
2)(
2
2
2
K
KKjL
C
C
El rango total buscado es:
6.838 < K < 13.1623
Los valores de Z en los rangos de inestabilidad están indicados en la figura.
Para: 2;838.60 ZK .-
Para: 21623.13 ZK .-
Y para 30 ZK .-
Con la función Plrplot del Csad/Matlab se grafico la traza de Nyquist para
K=10, la misma se muestra en la figura 19, con las conclusiones correspondientes.-
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 23
Diagrama de Bode de L(j); para K = 10
-20
0
20
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
0
-2 -1 0 1-3
-2
-1
0
1
Traza de Nyquist de L(j), para K = 10
jImL
ReL
11R = -450º
Sistema Estable
Si K = -10
11R = +90º
Sistema Inestable
Z = 3
0
c1 c2
c1 c2
= 0
Figura 19.
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 24
ESTABILIDAD RELATIVA
MARGEN DE FASE Y MARGEN DE GANANCIA
La utilidad de un sistema de control, depende del grado de estabilidad que tenga. Esto es, no
basta que sea estable, sino que debe serlo en cierta medida. Para determinar el grado o
medida de estabilidad de un sistema, se pueden aplicar los métodos de respuesta frecuencial.
Una forma de medir la estabilidad relativa en el dominio de la frecuencia en Sistemas de
Fase Mínima, es observando qué tan cerca se encuentra la traza de Nyquist de L(jw) del
punto (-1,j0).
Para mostrar el concepto de estabilidad relativa en el dominio de la frecuencia, se muestran
las trazas de Nyquist, la respuesta al escalón unitario correspondiente y las respuestas en
frecuencia de un sistema típico de tercer orden, para cuatro valores diferentes de la ganancia
de lazo K en la Figura N° 20.
Al ser la función de lazo L(jw) de fase mínima, el encierro del punto (-1,j0) es suficiente
para demostrar la inestabilidad del sistema en lazo cerrado. Los casos evaluados son los
siguientes:
1)Caso (a): ganancia de lazo K baja. La traza de Nyquist de L(jw) intersecta al eje real
negativo en un punto muy lejano a la derecha del punto (-1,j0). La respuesta al escalón está
bien amortiguada, y el valor de Mr, de la respuesta en frecuencia es bajo.
2)Caso (b): K se incrementa. La intersección se mueve cerca del punto (-1,j0); el sistema es
aún estable, ya que el punto crítico no está encerrado, pero la respuesta al escalón tiene un
sobreimpulso máximo grande, y Mr también es grande.
3)Caso (c): K se incrementa más. La traza de Nyquist ahora pasa a través del punto (-1,j0), y
el sistema es marginalmente estable. La respuesta al escalón se vuelve oscilatoria
indefinidamente, con amplitud constante, y Mr se vuelve infinita.
4)Caso (d): K es relativamente grande. La traza de Nyquist encierra al punto (- 1,j0), y el
sistema es inestable. La respuesta al escalón se vuelve no acotada. La curva de magnitud del
módulo de |M(jw)| en función de w deja de tener significado. De hecho, el sistema es
inestable: ¡El valor de Mr es todavía finito!. En todo el análisis anterior, la curva de fase de
la respuesta en frecuencia en lazo cerrado también provee información cualitativa acerca de
la estabilidad. Observe que la pendiente negativa de la curva de fase se incrementa conforme
la estabilidad relativa disminuye. Cuando el sistema es inestable, la pendiente más allá de la
frecuencia de resonancia se vuelve positiva.
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 25
Figura 20.
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 26
MARGEN DE GANANCIA “Conceptualmente indica la cantidad de ganancia que todavía admite el
Sistema de Lazo Abierto, antes que el Sistema de Lazo Cerrado se vuelva
inestable”.
Para Calcular el Margen de Ganancia, Se define:
Frecuencia de cruce de fase (wc): Como la frecuencia que hace que la Fase del vector de
GH(jwc) valga -180|, o sea la frecuencia para la cual la Parte Imaginaria del vector GH(jwc)
es NULA.
Cruce de fase: Es el punto en el cual la traza de GH(jwc) se intersecta con el eje real
negativo (esto es, la fase en ese punto es de -180º).
Margen de Ganancia, también se define como: el número por el cual hay que multiplicar el
módulo del vector G(jwc) en la frecuencia de cruce de fase wc, cuya fase es de -180°
(Parte Imaginaria nula), para que el módulo del vector GH(jwc) valga valor 1.
Es decir:
El Margen de ganancia es la inversa del módulo de GH en la frecuencia wc, donde la
Fase vale -180°. En coordenada polares, la cercanía de /GH(wc)/al punto crítico -1, da una
idea del margen de ganancia, pero, no es exactamente el margen de ganancia. Si /GH(wc)/
está muy cerca al punto crítico -1, el Margen de Ganancia es muy chico y viceversa.
Figura 21
∠GH(jwc) = ∠L(jwc) = -180º
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 27
Si se quiere expresar el Margen de Ganancia en db, se tiene:
Expresado en db, Margen de ganancia es “la cantidad de ganancia en decibelios (db) que
se pueden añadir al lazo antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable”
También se pude definir el Margen de Ganancia, como el número por el cual hay que
multiplicar la ganancia dada del sistema para obtener la ganancia límite que vuelve
inestable al sistema.
MARGEN DE FASE
Figura 22
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El margen de ganancia es sólo una representación unidimensional de la estabilidad relativa
de un sistema en lazo cerrado. En principio, uno podría pensar que un sistema con margen de
ganancia grande debería ser más estable que uno con margen de ganancia pequeño.
Desafortunadamente, el margen de ganancia por sí solo es inadecuado para indicar la
estabilidad relativa cuando otros parámetros del sistema están sujetos a variación.
Por ejemplo, los dos sistemas representados por las trazas de L(jw) en la figura 22, en
apariencia tienen el mismo margen de ganancia. Sin embargo, el lugar geométrico de A en
realidad corresponde a un sistema más estable que el lugar geométrico de B, ya que cualquier
cambio en los parámetros del sistema que afecte a la fase de L(jw), el lugar geométrico de B
puede encerrar al punto (-1,j0). Aún más, se puede mostrar que el sistema B en realidad tiene
un Mr más grande que el sistema A.
Para incluir el efecto de corrimiento de fase sobre la estabilidad, se introduce el concepto de
Margen de fase (MF), que requiere que se den primeramente las siguientes definiciones:
Frecuencia de cruce de ganancia (wg): Es la frecuencia de L(jw) en el punto de cruce de
ganancia, que permite que el módulo de GH(jwg) valga 1, /GH(jwg)/=/|L(jwg)| = 1
Cruce de ganancia: Es el punto sobre la traza de L(jw) en el cual la magnitud de L(jw) es
igual a 1.
Figura 23
Observando la figura 23:
La definición del margen de fase se establece como:
CONTROL I (Elo y Bio) Profesor Ing. Carlos Francisco Martín, Ing Analía Perez Hidalgo 29
“El margen de fase (MF) se define como el ángulo en grados que la traza L(jw)
se debe rotar alrededor del origen, para que el cruce de ganancia pase por el
punto (-1, j0). El margen de Fase, si se puede marcar exactamente en coordenadas polares (Fig. 23)
“Conceptualmente, el Margen de Fase, se define como la cantidad de fase en
atraso que todavía se le puede agregar al sistema de lazo abierto, antes que el
sistema de lazo cerrado se vuelva inestable”.
Cuando el sistema es de fase mínima, la expresión analítica del Margen de Fase se puede
expresar como:
MF = Margen de fase = ∠L(jwg) + 180º
En donde wg es la frecuencia de cruce de ganancia.
Generalmente un MG de unos 6db y un MP entre 30 y 35º está bien.
MARGEN DE GANANCIA Y DE FASE EN EL DIAGRAMA DE BODE
Las trazas de Bode de una función de transferencia son una herramienta gráfica de suma
utilidad para el análisis y diseño de sistemas de control lineales.
Antes de la aparición de los computadores, las trazas de Bode eran a menudo conocidas
como “trazas asintóticas”, debido a que las curvas de magnitud y fase se podían bosquejar de
sus propiedades asintóticas sin detallar las gráficas. Las aplicaciones modernas de las trazas
de Bode para sistemas de control se deben identificar con las siguientes ventajas y
desventajas:
VENTAJAS:
En ausencia de una computadora, las trazas de Bode se pueden bosquejar por la
aproximación de magnitud y fase con segmentos de línea recta.
El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de ganancia y el margen
de fase se determinan más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza
de Nyquist.
Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus parámetros
se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que sobre la traza de
Nyquist.
Cuando se modifica la ganancia del sistema, las trazas de Bode no cambian de
forma (solamente suben o bajan). No ocurre así con las trazas de Nyquist, cuya
forma cambia en ese caso.
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DESVENTAJAS:
La estabilidad absoluta y relativa de SISTEMA DE FASE NO MÍNIMAS, NO se
puede determinar desde las trazas de Bode. Debe aplicarse el Criterio General de
Nyquist Simplificado para averiguar su estabilidad.
Ejemplo:
Sea una Función de transferencia de Lazo Abierto de Fase Mínima.
Sea:
Recordar:
La frecuencia wc llamada frecuencia de cruce de fase, sirve para marcar y encontrar
el Margen de Ganancia.
La frecuencia wg llamada frecuencia de cruce de ganancia, sirve para marcar y
hallar el Margen de Fase.
Su Diagrama de Bode correspondiente de Módulo y Fase es:
-150
-100
-50
0
50
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Gm = 21.7 dB (at 33.3 rad/s) , Pm = 54.9 deg (at 7.8 rad/s)
Frequency (rad/s)
MF = 54.9°
MG = 21,7 dbwg
wc
Para Sistema Estable wg < wc
Figura 24
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Para Marcar el Margen de Ganancia en el diagrama de Amplitud de Bode, debe
ubicarse en primer lugar la frecuencia wc = frecuencia de cruce de Fase, donde la
Fase mide -180°. En este ejemplo wc= 33,3 rad/seg, subir en esa misma
frecuencia hasta alcanzar la curva de Amplitud. Lo que le falta a la curva de
amplitud, desde ese punto, hasta alcanzar los 0 db es el margen de Ganancia,
expresado en db.
Para Marcar el Margen de Fase en el diagrama de Fase de Bode, debe ubicarse en
primer lugar la frecuencia wg=frecuencia de cruce de Ganancia, donde el Módulo
vale 1. En este ejemplo wg= 7,8 rad/seg, bajar en esa misma frecuencia hasta
alcanzar la curva de Fase. Lo que le falta a la curva de Fase desde ese punto hasta
alcanzar los -180°, es el margen de Fase, expresado en grados.
Podemos obtener las siguientes conclusiones sobre la estabilidad del sistema con respecto a
las trazas de Bode:
El margen de ganancia es positivo, cuando la magnitud de L(jw) a la frecuencia de
cruce de fase wc, es negativo expresado en db, es decir, cuando el margen de
ganancia se mide por abajo del eje 0 db. El sistema es estable.
SI el margen de Ganancia, se mide por arriba del eje 0 db, será negativo y el
sistema será inestable. Se interpreta, como que habría que reducir la ganancia del
sistema de lazo abierto, para que el sistema de lazo cerrado vuelva a hacerse
estable.
El margen de fase es positivo y el sistema es estable si la fase de L(jwg) es mayor
que –180º en el cruce de ganancia, es decir, la fase L(jw) en la frecuencia wg, está
por arriba de los -180°. Esto es, el margen de fase se mide arriba del eje –180º.
Si el margen de fase se mide abajo del eje –180º, el margen de fase es negativo, y
el sistema es inestable.
Para la ganancia normalizada del sistema anterior, KLA=10, el diagrama de bode, arroja un
margen positivo de ganancia de 21,7 db con wc = 33,3 rad/seg y un Margen Positivo de Fase
de 54,9° con wg = 7,8 rad/seg
Aumentando ahora la ganancia normalizada del sistema anterior en un valor KLA=100, el
diagrama de bode, arroja un margen positivo de ganancia de 1,74db con wc = 33,3 rad/seg y
un Margen Positivo de Fase de 3,49° a una frecuencia wg = 30,1 rad/seg. Es decir, ha
disminuido su estabilidad relativa, a medida que se ha aumentado la KLA.
Si solo la ganancia de lazo abierto aumenta, la curva de magnitud se desplaza hacia arriba,
mientras que la curva de fase permanece sin cambio. La frecuencia de cruce de fase,
permanece en el mismo lugar, mientras se puede apreciar en la Figura 25, que la frecuencia
de cruce de ganancia wg aumenta, se corre hacia la derecha, el margen de Ganancia y
Margen de Fase disminuyen y el sistema es menos estable.
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-150
-100
-50
0
50
100M
agnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-270
-180
-90
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
wg=7,8 rad/seg
wc =33 rad/seg MF= -33,7° sistema inestable
wg= 86,60 rad/seg
wg=30,11 rad/seg MG = -18,3 db
sistema inestable
Para un valor de Ganancia normalizada KLA=1000, el diagrama de bode, arroja un Margen
Negativo de Ganancia de -18,3db con wc = 33,3 rad/seg y un Margen Negativo de Fase de
-33,7° a una frecuencia wg = 86,60 rad/seg. Es decir, se ha disminuido su estabilidad
relativa, a tal punto que el Sistema se ha convertido en un Sistema Inestable.
Para que un Sistemas de fase Mínima sea estable debe cumplirse que :
Los sistemas que tienen varios cruces de fase, reciben el nombre de Sistemas
condicionalmente estables. En ellos, se tiene que el sistema es estable en un intervalo
de valores de K, y tanto por debajo, como por encima, el sistema se torna inestable.
Esto puede verse también en la traza de Nyquist, cuando se tengan varios puntos de
corte en el eje negativo.
wg < wc