Continuous Systems 225
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 225
ในการศกษาและวเคราะหการสนทางกล เราจะไดวเคราะหการสนอสระและการสนแบบบงคบโดยระบบทม
ขนล าดบความอสระเทากบหนง ระบบทมขนล าดบความอสระหลายล าดบทงทไมมความหนวงและมความหนวง
มาแลวในบทกอนหนาน หรอไดศกษาถงระบบทมล าดบขนความเปนอสระทจ ากด นนคอแมวาระบบจะมล าดบขน
ความเปนอสระมากหลายล าดบขนแตกมคาทนบได หรอก าหนดล าดบขนความเปนอสระทแนนอนได ส าหรบในบทน
เราจะศกษาการสนของระบบทเปนระบบตอเนอง(Continuous systems) หรอระบบทมล าดบขนความอสระไมจ ากด
ส าหรบการวเคราะหการสนทางกลเพอใหผลการวเคราะหทไดมความถกตอง เราจ าเปนตองก าหนดพกดให
พอเพยงกบสมมตฐานของการเคลอนททเราสนใจ จงเปนไปไดทระบบทสนใจจะเปนระบบทมล าดบขนความอสระไม
จ ากด เนองจากเราสนใจและพจารณาทกๆจดของระบบวามอสระทจะเคลอนทไปมาในทศทางทก าหนดได เชน การ
สนของเสนเชอกนนทกจดบนเสนเชอก สามารถจะเคลอนทไปมาในทศทางตางๆ ไดตลอดเวลา เปนตน เราจะพบวา
ระบบทมล าดบขนความเปนอสระทจ ากดนน สมการการเคลอนทจะอยในรปของสมการอนพนธปกตและเปนเชงเสน
ในการหาผลเฉลยของสมการประเภทนจะไมซบซอนมากนก แตส าหรบระบบตอเนองนนเราจะไดสมการการเคลอนท
ในรปของสมการอนพนธยอย (Partial differential equation) Ffpตวแปรจะเปนฟงกชนของต าแหนงและเวลา ในการ
แกปญหาเพอหาผลเฉลยของสมการดงกลาวนนจะมความยงยากซบซอนมาก อยางไรกตามขอมลทเราไดจะท าใหเรา
เขาใจถงการสนของระบบไดดกวาการประมาณวาระบบมล าดบขนความเปนอสระทจ ากด
ในบทนเราจะศกษาการสนทางกลของระบบตอเนองเบองตน อาทเชน การสนของเชอก การสนของคาน และ
การสนของเพลา เปนตน โดยการประยกตวธการแยกตวแปร (Separation of variables) ส าหรบการแกปญหาสมการ
อนพนธยอย ซงเปนวธการทงายทสดในการแกปญหาสมการอนพนธยอย นอกเหนอจากนนนกศกษายงตองใชทกษะ
การแกปญหาคาเรมตนและคาขอบเขต (Initial and boundary value problems) เพอหาผลการตอบสนองของระบบท
ก าหนดเงอนไขทงสองมาให
6.1 การสนตามขวางของเชอก (Transverse vibration of a string)
พจารณาเสนเชอกทมความยดหยนยาว L ทมแรงกระท าภายนอก f(x,t) กระท าตามขวางเสนเชอก ดงแสดง
ในรปท 6-1(a) การกระจดตามขวางของเสนเชอก w(x,t) ซงสมมตวามขนาดเลก ณ ต าแหนงสมดลแรงในแนวแกน z
ดงแสดงในรป 6-1 (b) ผลรวมของแรงทงหมดทกระท าตอสวนของเสนเชอกทมหนาตดสม าเสมอ คอ
2
2d sin d d sin d
wP P f x P x
t
(6.1)
รปท 6-1. การสนตามขวางของเสนเชอก
Continuous Systems 226
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 226
โดยท P แรงดง(N), ความหนาแนนของเสนเชอก (kg/m3) และ การกระจดเชงมม(rad) ส าหรบสวนความ
ยาวdx
d dP
P xx
(6.2)
sin tanw
x
(6.3)
และ 2
2sin d tan d d
w wx
x x
(6.4)
แทนสมการ 6.2, 6.3 และ 6.4 ลงในสมการ 6.1 เราจะได
2 2
2 2d d d d
P w w w wP x x f x P x
x x x x t
(6.5)
เมอdx มคานอยมาก ดงนน 2(d ) 0x และสมการ 6.5หารดวยdx เราเขยนไดใหม คอ
2 2
2 2
( , )( , )
w x t wP f x t
x t
(6.6)
ถา ( , ) 0f x t เราจะไดสมการเคลอนทของการสนอสระ
2 2
2 2
( , )w x t wP
x t
(6.7)
หรอ 2 2
2
2 2
( , )w x t wc
x t
(6.8)
โดยท 1 2
c P , สมการ6.8 เราเรยกวาสมการคลน(Wave equation)
สมการ 6.8 เปนสมการการเคลอนทของการสนอสระส าหรบเชอกทมพนทหนาเทากน(Uniform) และเปนสมการ
อนพนธยอยอนดบสอง ในการหาผลเฉลยของสมการ 6.8 นน เราสามารถประยกตใชวธการแยกตวแปร โดยให
( )W x เปนฟงกชนทขนกบตวแปร x เพยงอยางเดยว และ ( )T t เปนฟงกชนทขนกบตวแปร t ผลเฉลยจะได คอ
( , ) ( ) ( )w x t W x T t (6.9) แทนสมการ 7.9 ลงในสมการ7.8 เราจะได
2 2
2
2 2
d ( ) d ( )( ) ( )
d d
W x T tc T t W x
x t
2 2 2
2 2
d ( ) 1 d ( )
( ) d ( ) d
c W x T t
W x x T t t (6.10)
จากสมการ 6.10 เราพบวาสมการดานซายมอนนจะขนกบตวแปร x เพยงอยางเดยว และดานขวามอจะขนกบตวแปร t
ซงจะเทากบคาคงท (a) ดงนน
Continuous Systems 227
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 227
2 2 2
2 2
d ( ) 1 d ( )
( ) d ( ) d
c W x T ta
W x x T t t (6.11)
สมการ 6.11 เราสามารถเขยนใหมได คอ
2
2
1 d ( )
( ) d
T ta
T t t
หรอ 2
2
d ( )( ) 0
d
T taT t
t (6.12)
และ 2 2
2
d ( )
( ) d
c W xa
W x x
หรอ 2
2 2
d ( )( ) 0
d
W x aW x
x c (6.13)
โดยทวไป คาคงท a จะมคาเปนลบ ดงนนเราก าหนดให 2a เราจะไดสมการ 6.12 และ6.13 ใหมคอ
2
2
2
d ( )( ) 0
d
T tT t
t (6.14)
2 2
2 2
d ( )( ) 0
d
W xW x
x c
(6.15)
ผลเฉลยของสมการทงสอง คอ
( ) cos sinT t A t B t (6.16)
( ) cos sinW x C x D xc c
(6.17)
โดยท ความถของการสน และ , , ,A B C D คาคงท ซงเราสามารถหาไดจากเงอนไขเรมตนและเงอนไขขอบเขต
เงอนไขเรมตนและขอบเขต (Initial and boundary conditions)
สมการ 6.5, 6.6 และสมการ 6.7 เปนสมการอนพนธยอยอนดบสอง โดยอนพนธของ w ทขนกบตวแปรตน x กบ t ซง
ในสมการนมตวแปรตนสองตวแปร ดงนนเราจะตองมคาเงอนไขเรมตนสองคา และเงอนไขขอบเขตสองคาเพอใชหาผล
เฉลย ( , )w x t โดยเงอนไขเรมตนจะถกก าหนดดวยการกระจดเรมตน 0( )w x และความเรวตน
0( )w x ทเวลา t=0 คอ
0( , 0) ( )w x t w x (6.18a)
0( , 0) ( )w
x t w xt
(6.18b)
Continuous Systems 228
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 228
กรณเสนเชอกถกยดทปลายทงสอง(String with both ends fixed) พจาณารปท 6-2 แสดงเสนเชอกถกยดไว
ไมใหเคลอนทตลอดเวลาบรเวณดานหวและปลายเชอกทมความยาว L ซงเราจะไดเงอนไขขอบเขต คอ
(0, ) ( , ) 0w t w L t หรอ
(0) 0
( ) 0
W
W L
(6.19)
ทต าแหนง 0x เราจะได ( 0) 0W x แทนในสมการ 6.17
0 cos 0 sin 0C Dc c
เราจะได 0C
ทต าแหนง x L เราจะได ( ) 0W x L แทนในสมการ 7.17
0 cos sinC L D Lc c
เราจะได 0 sinD L
c
โดยท D ไมสามารถเทากบศนย ส าหรบผลเฉลย nontrivial ดงนน
sin 0Lc
(6.20)
สมการ 6.20 เราเรยกวาสมการความถ (Frequency equation) และคา เรยกวาคาเฉพาะ(eigenvalues)หรอความถ
ธรรมชาต ดงนนเราสามารถหาความถธรรมชาตจ านวน n ความถ โดยเงอนไขทท าให sine เทากบศนย เมอ
, 1,2,n L n nc
หรอ , 1,2,n
n cn
L
(6.21)
ผลเฉลย ( , )nw x t ทมตอความถ n สามารถเขยนแสดงได คอ
รปท 6-2. เชอกทถกยดปลายทงสองขาง
Continuous Systems 229
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 229
( , ) ( ) ( ) cos sin ( )n nn n n n n nw x t W x T t C x D x T t
c c
เมอ 0C และสมการ 6.21 เราจะไดสมการส าหรบกรณ คอ
( , ) sin ( )n n
nw x t x T t
L
(6.22)
โดยท ( ) cos sinn n n
n c n cT t A t B t
L L
ผลเฉลย ( , )nw x t เราเรยกวารปรางการสน n โหมด(nth normal mode) ของเสนเชอก โดยแตละจดของเสนเชอกสนทม
ขนาดการสนแปรผนตรงกบคา ( )W x ทจดนนๆ ซงเราเรยกวารปรางบรรทดฐาน n โหมด(nth normal mode)
รปทวไปของผลเฉลยของสมการ 6.8 ส าหรบกรณน เราจะได
1
( , ) sin cos sinn n n
n
n n c n cw x t x A t B t
L L L
(6.23)
โดยท ,n nA B คาคงท สามารถหาคาไดจากเงอนไขเรมตน คอ
0
0
0
0
2( )sin d
2( )sin d
L
n
L
n
n xA w x x
L L
n xB w x x
nc L
(6.24)
รปรางการสนโหมดท 1 เมอ n=1 หรอเราเรยกวาโหมดพนฐาน(Fundamental mode) และ1 เรยกวาความถพนฐาน
(Fundamental frequency) คอ
1
c
L
(7.25)
รปท 6-3. รปรางการสนโหมดท 1
Continuous Systems 230
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 230
คาบการสนของความถพนฐาน คอ 1
1
2 2L
c
รปท 6-3 แสดงรปรางการสนโหมดท 1 ของเสนเชอกทถกยดไวไมใหเคลอนทตลอดเวลาบรเวณดานหวและปลาย
เชอกและทจด 0nw ตลอดเวลาซงเราเรยกวาโหนด ส าหรบกรณนจะมสองโหนด คอ 0x และ x L
รปรางการสนโหมดท 2 เมอ n=2 เราจะไดสมการความถ คอ
2
2 c
L
(6.26)
รปท 6-4 แสดงรปรางการสนโหมดท 2 ของเสนเชอกและส าหรบกรณนจะมสามโหนด คอ 0x , x L และ
2x L
รปรางการสนโหมดท 3 เมอ n=3 เราจะไดสมการความถ คอ
3
3 c
L
(6.27)
รปท 6-5 แสดงรปรางการสนโหมดท 3 ของเสนเชอกและส าหรบกรณนจะมสโหนด คอ 0x , x L , 3x L และ
2 3x L
รปท 6-4. รปรางการสนโหมดท 2
รปท 6-5. รปรางการสนโหมดท 3
Continuous Systems 231
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 231
ตวอยางท e6.1 พจาณากรณเสนเชอกถกยดไวไมใหเคลอนทตลอดเวลาบรเวณดานหวและปลายเชอกทมความยาว
L= 0.8 m ความหนาแนนของเสนเชอก 5000 kg/m3 และแรงตงของเสนเชอกเทากบ 200 N ซงเราจะไดเงอนไข
ขอบเขต คอ (0, ) ( , ) 0w t w L t จงหาความถพนฐาน และความถโหมดท 2 พรอมต าแหนงโหนด
ก. เราจะไดสมการความถพนฐาน คอ 1 0.785
c
L
rad/sec
โดยท 0.2P
c
ข. ความถโหมดท 2 คอ 2
21.57
c
L
rad/sec
โหนดส าหรบกรณนมสามโหนด คอ 0x , 0.8x m และ 0.4x m
ตวอยางท e6.2 พจาณารปท e6-1 เสาไฟฟาแรงสง ซงมระยะความหางของเสา 1000 m และสายเคเบลมความ
หนาแนนเทากบ 8000 kg/m3 จงหาแรงดงของเสนเคเบลทท าใหมความถโหมดท 1-3 มคานอยกวา 15 Hz
สายเคเบลถกยดไมใหเคลอนททงสองดาน ซงเราจะไดเงอนไขขอบเขต คอ (0, ) ( , ) 0w t w L t
และ 3 15 Hz หรอ
3 30 rad/sec ส าหรบกรณน , 1,2,n
n cn
L
ดงนน 3
330
c
L
โดยท
8000
P Pc
, 1000 mL
แรงดงจะได 11308 10
8000 3
P LP
N
รปท e6-1. เสาไฟฟาแรงสง
Continuous Systems 232
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 232
6.2 การสนตามยาวของเพลา (Longitudinal vibration of a rod)
พจารณาเพลาทมความยดหยนยาว L ทมพนทหนาตด A(x) และมแรงกระท าภายนอก f(x,t) กระท าตามยาว
ของเพลา ดงแสดงในรปท 6-6(a) แรงกระท าตอพนทหนาตดเลกๆ ของเพลา โดยแรงดง P คอ
u
P A EAx
(6.28)
โดยท P แรงดง, ความเคนตามแนวแกน x, u การกระจดตามแนวแกน x, u
x
ความเครยดตามแนวแกน x
และE Young’s modulus
จากรป 6-7 (b) ผลรวมของแรงทงหมดทกระท าตอสวนยอยของเพลาในแนวแกน x คอ
2
2
( , )d ( , )d d
u x tP P f x t x P A x
t
(6.29)
โดยท ความหนาแนนของเพลา และใชความสมพนธของสมการท 6.28 แทนลงในสมการ 6.29 ส าหรบเพลาทม
พนทหนาตดไมเทากน เราจะได
2
2
( , ) ( , )( ) ( , ) ( ) ( )
u x t u x tEA x f x t P x A x
x x t
(6.30)
ส าหรบเพลาทมพนทหนาตดเทากน เราจะได
2 2
2 2
( , ) ( , )( , )
u x t u x tEA f x t P A
x t
(6.31)
ถา ( , ) 0f x t เราจะไดสมการเคลอนทของการสนอสระ
2 2
2
2 2
( , ) ( , )u x t u x tc
x t
(6.32)
โดยท 1 2
c E ,
รปท 6-6. การสนตามยาวของเพลา
Continuous Systems 233
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 233
เราพบวาสมการ6.32 เปนสมการอนพนธยอยอนดบสอง หรอสมการคลอนเชนเดยวกบสมการ 6.8 ในการหาผลเฉลย
ของสมการ 6.32 นน เราสามารถใชวธการแยกตวแปรเชนเดยวกน โดยให ( )U x เปนฟงกชนทขนกบตวแปร x เพยง
อยางเดยว และ ( )T t เปนฟงกชนทขนกบตวแปร t ผลเฉลยจะได คอ
( , ) ( ) ( )u x t U x T t (6.33)
โดยท ( ) cos sinT t A t B t และ ( ) cos sinU x C x D xc c
เงอนไขเรมตนจะถกก าหนดดวยการกระจดเรมตน 0( )u x และความเรวตน
0( )u x ทเวลา t=0 คอ
0( , 0) ( )u x t u x (6.34a)
0( , 0) ( )u
x t u xt
(6.34b)
Continuous Systems 234
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 234
กรณเพลาถกยดหนงดานอกดานปลอยอสระ(Rod with a fixed-free) พจาณารปท 6-7 แสดงรปเพลาทถกยด
ไวดานหนงไมใหเคลอนทตลอดเวลาและมความยาว L
ซงเราจะไดเงอนไขขอบเขต คอ (0, ) ( , ) 0u
u t L tx
ทต าแหนง 0x เราจะได ( 0) 0U x ดงนน
0 cos 0 sin 0C Dc c
เราจะได 0C
ทต าแหนง x L เราจะได
( , ) cos sinU L t C L D Lc c
และ ( , ) sin cosU
L t C L D Lx c c c c
(6.35)
เนองดวย 0C และเงอนไขขอบเขต ( , ) 0u
L tx
ดงนนสมการ 6.35 เขยนใหมได
0 cosD Lc c
โดยท Dc
ไมสามารถเทากบศนย ส าหรบผลเฉลย nontrivial ดงนน
cos 0Lc
(6.36)
สมการ 6.36 เปนสมการความถของกรณน ดงนนเราสามารถหาความถธรรมชาตจ านวน n ความถ โดยเงอนไขทท า
ให cosine เทากบศนย เมอ
2 1 , 1,2,2
n L n nc
รปท 6-7. เชอกทถกยดหนงดานและปลอยอสระอกดานหนง
Continuous Systems 235
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 235
หรอ 2 1 , 1,2,2
n
cn n
L
(6.37)
ผลเฉลย ( , )nu x t ทมตอความถ n สามารถเขยนแสดงได คอ
( , ) sin 2 1 ( )2
n nu x t n x T tL
(6.38)
โดยท ( ) cos 2 1 sin 2 12 2
n n n
c cT t A n t B n t
L L
รปทวไปของผลเฉลยของสมการ 6.32 ส าหรบกรณน เราจะได
1
( , ) sin 2 1 cos 2 1 sin 2 12 2 2
n n n
n
c cu x t n x A n t B n t
L L L
(6.39)
โดยท ,n nA B คาคงท สามารถหาคาไดจากเงอนไขเรมตน
ตารางท T6-1 แสดงคาความถธรรมชาตและรปรางการสนส าหรบกรณตางๆ
การตงฉากของฟงกชนรปรางโหมดบรรทดฐาน ฟงกชนรปรางโหมดบรรทดฐานส าหรบการสนตามยาวของเพลาม
ความสมพนธการตงฉาก คอ
0
( ) ( ) 0
L
i jU x U x dx (6.40)
โดยท ( )iU x เปนฟงกชนรปรางโหมดบรรทดฐานของโหมด i และ ( )jU x เปนฟงกชนรปรางโหมดบรรทดฐานของโหมด j
ทมตอความถธรรมชาต i และ
j ดงนน
22 2
2
( )( ) 0i
i i
U xc U x
x
(6.41a)
2
2 2
2
( )( ) 0
j
j j
U xc U x
x
(6.41b)
คณสมการ 6.41a ดวย ( )jU x และคณสมการ 6.41b ดวย ( )iU x
22 2
2
( )( ) ( ) ( ) 0i
j i i j
U xc U x U x U x
x
(6.42a)
2
2 2
2
( )( ) ( ) ( ) 0
j
i j j i
U xc U x U x U x
x
(6.42b)
Continuous Systems 236
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 236
สมการ 6.42a ลบดวยสมการ 6.42b และอนตเกรทจาก 0 ถง L เราจะได
22 2
2 2 2 2
0 0
2
2 2
0
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) = ( ) ( )
L L
jii j j i
i j
L
jij i
i j
U xc U xU x U x dx U x U x dx
x x
U xc U xU x U x
x x
(6.43)
ดานขวามอของสมการ 6.43 เราสามรถพสจนไดวามคาเทากบศนยส าหรบเงอนไขขอบเขตทกกรณ เชนตวอยาง เมอ
เรายดดาน 0x ไว เงอนไขขอบเขตคอ (0, ) 0u t และเราปลายอสระดาน x L เงอนไขขอบเขตคอ ( , ) 0u
L tt
ดงนนฟงกชนรปรางโหมดบรรทดฐานมคณสมบตการตงฉากกน
ตวอยางท e6.3 จงหาความถพนฐานของการสนอสระตามยาวของเพลา ซงมเงอนไขขอบเขตทปลายทงสองขาง
ปลอยอสระและเงอนไขเรมตนเทากบศนย โดยสมมตวาเพลามความยาว 5 เมตร,ความหนาแนนเทากบ 5000 kg/m3
และมคา E= 10x1010 N/m2
เราจะไดเงอนไขขอบเขตคอ (0, ) ( , ) 0u u
t L tx x
และ 1 2
1414.21c E
ผลเฉลยส าหรบกรณน พจารณาไดจากตาราง T6-1 เราจะได
1
( , ) sin 2 1 cos 2 1 sin 2 12 2 2
n n n
n
c cu x t n x A n t B n t
L L L
และสมการความถ 2 1 , 1,2,2
n
cn n
L
เราจะไดความถพนฐาน 1 444.287 rad/sec
Continuous Systems 236
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 236
6.3 การสนแบบบดของเพลา (Torsional vibration of a rod)
พจารณาเพลาทมความยดหยนยาว L ทมพนทหนาตด A(x) และมแรงกระท าภายนอก f(x,t) กระท าตามยาว
ของเพลา ดงแสดงในรปท 6-8(a) ถา ( , )x t คอมมบดของพนทหนาตดเลกๆ ของเพลา ความสมพนธระหวางระยะ
บด(Torsional deflection)กบโมเมนตแบบบดเกลยว(Twisting moment) คอ
( , ) ( ) ( , )tM x t GJ x x tx
(6.44)
โดยท G Shear moment, ( )GJ x คาคงทของสปรงแบบบด(Torsional striffness), ( )J x โมเมนตโพลารความ
เฉอยของพนทหนาตดเลกๆ ของเพลา ถาโมเมนตโพลารความเฉอยของพนทหนาตดเลกๆ ของเพลาตอความยาวหนง
หนวยคอ 0I , แรงบดเฉอยทกระท าตอความยาวdx จะได
2
0 2dI x
t
(6.45)
จากรป 6-8 (b) ผลรวมของแรงบดทงหมดทกระท าตอสวนยอยของเพลา คอ
2
0 2d ( , )d dt t tM M f x t x M I x
t
(6.46)
ใชสมการท 6.44 และ dtMx
x
แทนลงในสมการ 6.46 ส าหรบเพลาทมพนทหนาตดไมเทากน เราจะได
2
0 2( ) ( , ) ( , ) ( )GJ x x t f x t I x
x x t
(6.47)
ส าหรบเพลาทมพนทหนาตดเทากน เราจะได
2 2
02 2( , ) ( , )GJ x t f x t I
x t
(6.48)
ถา ( , ) 0f x t เราจะไดสมการเคลอนทของการสนอสระ
รปท 6-8. การสนแบบบดของเพลา
Continuous Systems 237
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 237
2 2
2
2 2
( , ) ( , )x t x tc
x t
(6.49)
โดยท 1 2
0c GJ I ส าหรบเพลาทมพนทหนาตดไมเทากน และเพลาทมพนทหนาตดเทากน 0I J ดงนน
1 2
c G (6.50)
เราพบวาสมการ6.49 เปนสมการอนพนธยอยอนดบสอง หรอสมการคลนเชนเดยวกบสมการ 6.8 ในการหาผลเฉลย
ของสมการ 6.49 นน เราสามารถใชวธการแยกตวแปรเชนเดยวกน โดยให ( )x เปนฟงกชนทขนกบตวแปร x เพยง
อยางเดยว และ ( )T t เปนฟงกชนทขนกบตวแปร t ผลเฉลยจะได คอ
( , ) ( ) ( )x t x T t (6.51)
โดยท ( ) cos sinT t A t B t และ ( ) cos sinx C x D xc c
เงอนไขเรมตนจะถกก าหนดดวยการกระจดเรมตน 0( )x และความเรวตน
0( )x ทเวลา t=0 คอ
0( , 0) ( )x t x (6.52a)
0( , 0) ( )x t xt
(6.53b)
กรณเพลาถกปลอยอสระทงสองดาน(Rod with a free-free) พจาณารปท 6-9 แสดงรปเพลาทถกยดไวดานหนง
ไมใหเคลอนทตลอดเวลาและมความยาว L
ซงเราจะไดเงอนไขขอบเขต คอ (0, ) ( , ) 0t L tx x
ทต าแหนง 0x เราจะได
( , ) cos 0 sin 0x t C Dc c
รปท 6-9. เพลาทถกปลอยอสระทงสองดาน
Continuous Systems 238
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 238
(0, ) sin 0 cos 0t C Dx c c c c
(6.54)
แทนเงอนไขขอบเขตทต าแหนง 0x ลงในสมการ 6.54 เราจะได 0D
ทต าแหนง x L เราจะได
( , ) cos sinL t C L D Lc c
และ ( , ) sin cosL t C L D Lx c c c c
(6.55)
เนองดวย 0D และเงอนไขขอบเขต ( , ) 0L tx
ดงนนสมการ 6.55 เขยนใหมได
0 sinC Lc c
โดยท Cc
ไมสามารถเทากบศนย ส าหรบผลเฉลย nontrivial ดงนน
sin 0Lc
(6.56)
สมการ 6.56 เปนสมการความถส าหรบกรณน ดงนนเราสามารถหาความถธรรมชาตจ านวน n ความถ โดยเงอนไขท
ท าให sine เทากบศนย เมอ
, 0,1,2,n L n nc
หรอ , 0,1,2,n
n cn
L
(6.57)
ผลเฉลย ( , )n x t ทมตอความถ n สามารถเขยนแสดงได คอ
( , ) ( ) ( ) cos sin ( )n nn n n n n nx t x T t C x D x T t
c c
เมอ 0D และแทนสมการ 6.57 เราจะไดสมการส าหรบกรณ คอ
( , ) cos ( )n n
nx t x T t
L
(6.58)
โดยท ( ) cos sinn n n
n c n cT t A t B t
L L
Continuous Systems 239
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 239
ผลเฉลย ( , )n x t เราเรยกวารปรางการสน n โหมด(nth normal mode) ของเสนเชอก โดยแตละจดของเสนเชอกสนทม
ขนาดการสนแปรผนตรงกบคา ( )x ทจดนนๆ ซงเราเรยกวารปรางบรรทดฐาน n โหมด(nth normal mode)
รปทวไปของผลเฉลยของสมการ 6.49 ส าหรบกรณน เราจะได
1
( , ) cos cos sinn n n
n
n n c n cx t x A t B t
L L L
(6.59)
ความถธรรมชาตและรปรางการสนของระบบแบบบดทมเงอนไขขอบเขตแตกตางจะไดดงแสดงในตาราง T6-2
Continuous Systems 240
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 240
Continuous Systems 240
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 240
6.4 การสนดานขางของคาน (Lateral vibration of a beam)
พจารณาคานทมความยดหยนยาว L ทมพนทหนาตด A(x) และมแรงเฉอน V(x,t) และ f(x,t) แรงกระท า
ภายนอกตอหนงหนวยความยาวของคาน ดงแสดงในรปท 6-10(a) ขณะทแรงเฉอยกระท าตอพนทหนาตดเลกๆ ของ
คานคอ
2
2( )d ( , )
wA x x x t
t
(6.60)
โดยท ความหนาแนนของคาน
จากรป 6-10 (b) ผลรวมของแรงทกระท าตอสวนยอยของเพลาในแนวแกน z คอ
2
2
( , )d ( , )d d
w x tV V f x t x V A x
t
(6.61)
สมการการเคลอนทของโมเมนตในแนวแกน y รอบจด 0 เราจะได
d
d d d ( , )d 02
xM M V V x f x t x M (6.62)
โดยท d dV
V xx
, d dM
M xx
และ dxมคานอยมาก ดงนนสมการ 6.61, 6.62 เขยนใหมได
2 2
2 2( , ) ( , ) ( ) ( , )
V wx t f x t A x x t
x t
(6.63)
2
2( , ) ( , ) 0
Mx t V x t
x
(6.64)
เราใชความสมพนธ2
2
MV
x
จากสมการ 6.63 และ6.64 ดงนน
รปท 6-10. การสนดานขางของคาน
Continuous Systems 241
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 241
2 2
2 2( , ) ( , ) ( ) ( , )
M wx t f x t A x x t
x t
(6.65)
จากทฤษฎการบดโคงของคาน(Euler-Bernoulli thin beam theory) ความสมพนธระหวางโมเมนตบดโคงกบระยะบด
โคง สามารถเขยนแสดงไดดงน
2
2( , ) ( ) ( , )
wM x t EI x x t
x
(6.66)
โดยท E Young’s modulus และ ( )I x โมเมนตเฉอยของพนทหนาตดคานในแกน y และใชสมการ 6.66 แทนใน
สมการ 6.65 เราจะไดสมการการเคลอนทส าหรบแรงการสนดานขางชองคานทพนทหนาตดไมเทากน คอ
2 2 2
2 2 2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
w wEI x x t A x x t f x t
x x t
(6.67)
ส าหรบคานทมพนทหนาตดเทากน คอ
4 2
4 2( , ) ( , ) ( , )
w wEI x t A x t f x t
x t
(6.68)
ถา ( , ) 0f x t เราจะไดสมการเคลอนทของการสนอสระ
4 2
4 2( , ) ( , ) 0
w wEI x t A x t
x t
(6.69)
โดยท 1 2
c EI A ,
ขณะทสมการการเคลอนทเปนอนพนธอนดบสองขนกบเวลาและสมการอนพนธอนดบสขนกบต าแหนงของคาน(x)
ดงนนจะไดสเงอนไขขอบเขตและสองเงอนไขเรมตนคอการกระจดเรมตน0( )w x และความเรวตน
0( )w x ทเวลา t=0
คอ
0( , 0) ( )w x t w x (6.70a)
0( , 0) ( )w
x t w xt
(6.70b)
ผลเฉลยการสนอสระของสมการ6.69 เราสามารถใชวธการแยกตวแปรเชนเดยวกน โดยให ( )W x เปนฟงกชนทขนกบ
ตวแปร x เพยงอยางเดยว และ ( )T t เปนฟงกชนทขนกบตวแปร t ผลเฉลยจะได คอ
( , ) ( ) ( )w x t W x T t (6.71)
Continuous Systems 242
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 242
แทนสมการ6.71 ในสมการ6.69 และเทากบคาคงท(a) เราจะได
2 4 2
2
4 2
( ) 1 ( )
( ) ( )
c W x T ta
W x x T t t
(6.72)
โดยท 2a คาคงทบวก, สมการ6.72 เราสามารถแยกไดสองสมการ คอ
2 4
2
4
( )
( )
c W x
W x x
หรอ 4
4
4
( )( ) 0
W xW x
x
(6.73a)
โดยท 2 2
4
2
A
c EI
22
2
1 ( )
( )
T t
T t t
หรอ 2
2
2
( )( ) 0
T tT t
t
(6.73b)
ผลเฉลยของสมการ 6.73b เราจะได
( ) cos sinT t A t B t (6.74)
โดยท ,A B คาคงท สามารถหาไดจากเงอนไขเรมตน ส าหรบผลเฉลยของสมการ 6.73a เราสมมตให
( ) sxW x Ce (6.75)
โดยท ,C s คาคงท และเราจะไดสมการชวยคอ
4 4 0s (6.76)
รากสมการ 7.76 คอ
1,2 ,s 3,4 ,s i (6.77)
ดงนนผลเฉลยของสมการ 6.73a เราจะได
1 2 3 4( ) x x i x i xW x C e C e C e C e (6.78)
หรอ
1 2
3 4
( ) cos cosh cos cosh
sin sinh sin sinh
W x C x x C x x
C x x C x x
(6.79)
โดยท 1 2 3 4, , ,C C C C คาคงท สามารถหาไดจากเงอนไขขอบเขต ความถธรรมชาตของคานสามารถหาได จาก
Continuous Systems 243
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 243
22
4
EI EIL
A AL
(6.80)
เราทราบวาฟงกชน ( )W x คอรปรางโหมดบรรทดฐานของคาน และ ความถธรรมชาตของการสน
เงอนไขขอบเขตส าหรบกรณการสนแบบบดโคงของคาน
1. ปลายอสระ(Free end) เราจะได
โมเมนตแบบบดโคง (Bending moment) 2
20
wEI
x
แรงเฉอน(Shear force) 2
20
wEI
x x
2. ปลายจบยดแบบงาย(Simply supported end)
โมเมนตแบบบดโคง (Bending moment) 2
20
wEI
x
ระยะโคง (w)=0
3. ปลายถกยดตดแนน(Fixed end)
ระยะโคง (w)=0 และ 0w
x
4. ปลายยดตดกบสปรง ตวหนวงและมวลเชงเสน ดงแสดงในรปท 6-11.
แรงเฉอน(Shear force) 2 2
2 2
w w wEI a kw c m
x x t t
รปท 6-11. คานทปลายยดกบสปรง ตวหนวงและมวลเชงเสน
Continuous Systems 244
มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร หนา 244
โดยท 1a ส าหรบปลายดานซายของคาน และ 1a ส าหรบปลายดานขวาของคาน
โมเมนตแบบบดโคง (Bending moment) 2
20
wEI
x
5. ปลายยดตดกบสปรง ตวหนวงและมวลแบบบด ส าหรบกรณนเงอนไขขอบเขต
โมเมนตแบบบดโคง (Bending moment) 2 2 3
02 2t t
w w w wEI a k c I
x x x t x t
โดยท 1a ส าหรบปลายดานซายของคาน และ 1a ส าหรบปลายดานขวาของคาน
แรงเฉอน(Shear force) 2
20
wEI
x x
รปท 6-12. คานทปลายยดกบสปรง ตวหนวงและมวลแบบบด