)(),()(
)(),()(
2122
2111
txtxfdt
tdx
txtxfdt
tdx
con x1(0), x2(0) assegnati
Con 2 variabili dinamiche
Equilibri:
0),(
0),(
212
211
xxf
xxf
Segno dei secondi membri
0),(
0),(
212
211
xxf
xxf
vettori di fase
x1
x2
01
x
02
x
02
x
02
x
01
x
01
x
Preda-predatore (Vito Volterra, 1926)
Densità prede x1
Densità predatori x2
1x r x1
m x2
2x + c x1x2
b x1x2
x1
x2
01
x
02
x02
x 02
x
01
x
01
x
1x x1 (r b x2) 0
x2( m + c x1) 0
2x
Vito Volterra (1860-1940)
Il matematico si trova in possesso di uno strumentomirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulatiper lungo andare di secoli dagli ingegni più acutie dalle menti più sublimi che siano mai vissute.Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire ilvarco a molti oscuri misteri dell’universo, ed unmezzo per riassumere in pochi simboli una sintesiche abbraccia e collega vasti e disparati risultati di scienze diverse[…]Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi. dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma
Vito Volterra (1860-1940)
"Plasmare dunque concetti in modo da poter introdurre la misura; misurare quindi; dedurre poi delle leggi; risalire da esse ad ipotesi; dedurre da queste, mercé l'analisi, una scienza di enti ideali si, ma rigorosamente logica; confrontare poscia con la realtà; rigettare o trasformare, man mano che nascono contraddizioni tra i risultati del calcolo ed il mondo reale, le ipotesi fondamentali che han già servito; e giungere così a divinare fatti e analogie nuove, o dallo stato presente arrivare ad argomentare quale fu il passato e che cosa sarà l'avvenire; ecco, nei più brevi termini possibili, riassunto il nascere e l'evolversi di una scienza avente carattere matematico.“
Vito Volterra, Saggi Scientifici, Zanichelli Bologna 1920
Fluttuazioni del numero di lepri e linci canadesi ricostruite in base al numero delle pelli acquistate dalla Compagnia della Baia di Hudson nei diversi anni, da Mac Lulich (1937)
X
Y
E
Crescita logistica della preda
1x r x1 sx12 x1x2 = x1(rsx1bx2)
m x2 + c x1x2 = x2(m+cx1)
2x
Prede x1
Pre
dato
ri x
2
1 2
1
2
3
4
tempo
Prede x1
Pre
dato
ri x
2
inse
tticid
a
Sazietà del predatore
1
1221
122
1
21121
1
2111
xa
cxmxxx
xa
cmxx
xa
bxsxrxxx
xa
bsxrxx
(a) Lotka-Volterra senza classico senza smorzatore per la preda
(b) Con smorzatore per la preda
(c) Con saturazione dell’appetito
Modelli lineari a tempo continuo bidimensionali
)()()(
)()()(
2221212
2121111
tXatXadt
tdX
tXatXadt
tdX
Sol. di provatewX
11 tewX 22
Sostituisco ttt
ttt
ewaewaew
ewaewaew
2221212
2121111
0)(
0)(
222121
212111
wawa
wawa
Sistema lineare omogeneo con parametro
(equazione agli autovalori)
Ha soluzioni non nulle se 0))(( 21122211 aaaa
cioè 0)()( 2112221122112 aaaaaa 02 DetTr
= a11 a22 a12 a21
= a11 + a22
Tr2 4det = 0
(1) Due radici (autovalori) reali distinte con corrispondenti autovettori v1 e v2
Tr2 4Det >0
Soluzione generale:X(t) = C1 v1 +C2 v2
te 1 te 2
(2) Due radici (autovalori) reali coincidenti
Tr2 4Det = 0
Soluzione generale:
X(t) = v (C1 +C2t)
te
(3) Due radici (autovalori) complesse
coniugate: Tr2 4Det < 0 a +ib a ib Soluzione generale:
),(| qpj
iij x
fa
)(),()(
)(),()(
2122
2111
txtxfdt
tdx
txtxfdt
tdx
con x1(0), x2(0) assegnati
0),(
0),(
212
211
xxf
xxfEquilibri:
S.D.
Stabilità di ciascun equilibrio.Approssimazione lineare in un intorno. Sia (x1
*, x2*) un equilibrio, dette X1 = x1 x1
*, X2 = x2 x2* si introduce
l’approssimazione lineare in un intorno dell’equilibrio calcolando in esso le 4 derivate parziali:
)()()(
)()()(
2221212
2121111
tXatXadt
tdX
tXatXadt
tdX
Matrice Jacobiana
Approx. lineare
j
iij x
fa
Calcolata in un punto di equilibrio
Esempio
Cont. esempio
Esempi
Competizione fra due specie
21 1 1 1 1 12 1 2 1 1 1 1 12 2
22 2 2 2 2 12 1 2 2 2 2 2 12 1
x r x s x x x x r s x x
x r x s x x x x r s x x
Gli esperimenti di Gause (1934)due specie di protozoi: Paramecium aurelia e Paramecium caudatum.Ponendo in colture separate le due specie, e rinnovando periodicamente il terreno, si ottennero curve di accrescimento approssimativamente sigmoidali con il conseguimento d’uno stato stazionario. Ponendo le due specie insieme in uno stesso terreno di coltura si vide che mentre Paramecium aurelia manteneva ancora un accrescimento logistico, la popolazione di Paramecium caudatum, dopo un certo numero di giorni (circa 8), cominciò a diminuire fino a scomparire del tutto. Da ciò si può dedurre che una delle due specie è riuscita a competere meglio per le risorse causando l’estinzione di quella concorrente.
Il principio d’esclusione competitiva (principio di Gause). Se due specie coesistono in un medesimo ambiente ciò avviene in ragione del fatto che esse presentano nicchie ecologiche separate. Qualora, però, le due specie presentino nicchie sovrapposte, allora una delle due specie prenderà il sopravvento sull’altra fino ad eliminarla.Comunque, spesso la coesistenza è garantita dalla presenza di nicchie ecologiche non completamente sovrapposte (le specie in questioni possono presentare, infatti, differenze lievi a livello di dieta o di habitat). In conseguenza di ciò nasce il quesito su quanto due nicchie debbano essere separate affinché la coesistenza sia permessa..
xyBzdt
dz
xzyRxdt
dy
yxdt
dx
Edward Lorenz
(May 23, 1917–April 16, 2008)