Download pdf - Comportarea podurilor pietonale la acțiunea produsă de ...sd.utcb.ro/_upload/content/docs/252_ercusi_george-alexandru... · Solicitările induse de pietoni pe structurile de poduri

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCȚII BUCUREŞTI

Facultatea de Căi ferate Drumuri și Poduri

TEZA DE DOCTORAT Rezumat

Comportarea podurilor pietonale la

acțiunea produsă de mișcarea oamenilor

Doctorand

Ing. ERCUȘI G. Alexandru Conducător științific

Prof. univ. dr. ing. Dan Ilie CREȚU

BUCUREŞTI 2013

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCȚII BUCUREŞTI

Facultatea de Căi Ferate Drumuri și Poduri

Titularul prezentei teze de doctorat a beneficiat pe întreaga perioadă a studiilor universitare de doctorat de bursă atribuită prin proiectul strategic „Burse oferite doctoranzilor în Ingineria Mediului Construit”, beneficiar UTCB, cod POSDRU/107/1.5/S/76896, proiect derulat în cadrul Programului Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane, finanţat din Fondurile Structurale Europene, din Bugetul Naţional şi cofinanţat de către Univeritatea Tehnică de Construcții București.

TEZA DE DOCTORAT Rezumat

Comportarea podurilor pietonale la

acțiunea produsă de mișcarea oamenilor

Doctorand

Ing. ERCUȘI G. Alexandru Conducător de doctorat

Prof. univ. dr. ing. Dan Ilie CREȚU

BUCUREŞTI 2013

ALEXANDRU ERCUSI ‐ 1 ‐ UTCB 2013

CUPRINS

1. INTRODUCERE .............................................................................................................................3

1.1. ACȚIUNI PE PASARELE ÎN URMA ACTIVITĂȚILOR UMANE ..................................................3

1.2. RĂSPUNSUL STRUCTURAL ...................................................................................................3

1.3. CONFORTUL .........................................................................................................................4

1.4. FENOMENE DE INTERACȚIUNE ............................................................................................4

2. OAMENII CA SURSĂ DE VIBRAȚIE PE PODURILE PIETONALE .....................................................5

2.1. LOCOMOȚIA UMANĂ ...........................................................................................................5

2.2. PARAMETRII MERSULUI .......................................................................................................5

2.3. MODELAREA FORȚELOR ÎN RAPORT CU TIMPUL ................................................................5

2.3.1. Mersul ..........................................................................................................................5

2.3.2. Joggingul și alergatul ....................................................................................................6

2.4. Vandalism ............................................................................................................................7

2.5. RĂSPUNSUL STRUCTURAL ÎN URMA MODLELOR DETERMINISTE ......................................7

2.5.1. Modelul structural GSR58 ............................................................................................7

2.5.2. Răspunsul structural GSR58 .........................................................................................8

3. MODELARE PROBABILISTICĂ ......................................................................................................9

3.1. MODELAREA ÎN RAPORT CU SPECTRUL FORȚEI ..................................................................9

3.2. CUANTIFICAREA RĂSPUNSULUI STRUCTURAL ................................................................. 10

3.3. CONCLUZII PRIVIND MODELAREA PROBABILISTĂ ............................................................ 12

4. TRAFIC PIETONAL ..................................................................................................................... 13

4.1. COMPORTAMENTUL OAMENILOR CÂND ÎNAINTEAZĂ ÎN AGLOMERĂRI ........................ 13

5. INTERACȚIUNEA DINAMICĂ PIETON‐STRUCTURĂ .................................................................. 13

5.1. INTERACȚIUNEA LATERALĂ PRIN SINCRONIZARE ............................................................ 14

5.2. INTERACȚIUNEA LATERALĂ PRIN STRATEGII DE MENȚINERE A ECHILIBRULUI ............... 14

5.2.1. Modelarea interacțiunii laterale ............................................................................... 14

5.2.2. Comportarea unui pieton PI pe o bază fixă .............................................................. 16

5.2.3. Comportarea unei mulțimi de pietoni PI pe o suprafață mobilă ............................. 16

5.2.4. Instabilitatea structurii .............................................................................................. 18

5.3. MODELAREA MATEMATICĂ A INTERACȚIUNII VERTICALE PIETON STRUCTURĂ............. 19

6. DESCRIEREA ȘI ANALIZA PRESCRIPȚIILOR DE PROIECTARE ..................................................... 19

6.1. ISO 10137‐2009 ................................................................................................................ 20

6.2. BS EN 1991‐2:2003 ........................................................................................................... 20

6.3. SETRA/AFGC ...................................................................................................................... 20

6.3.1. Acțiuni dinamice ........................................................................................................ 20

6.3.2. Criterii de confort ...................................................................................................... 20


6.4. CEB fib32 ............................................................................................................................ 20

6.5. HiVoSS ................................................................................................................................ 20

7. COMPARAȚIE NUMERICĂ A PRESCRIPȚIILOR ........................................................................... 20

7.1. Modelul numeric HOB58V ................................................................................................ 20

7.2. Model numeric SUS153O .................................................................................................. 21

8. AMORTIZORI CU MASĂ ACORDATĂ ......................................................................................... 23

8.1. Principiul de funcționare ................................................................................................... 24

8.2. Studiu de caz pe modelul HOB58V ................................................................................... 24

9. CONCLUZII, CONTRIBUȚII ȘI DIRECȚII VIITOARE DE STUDIU .................................................... 25

9.1. Concluzii ............................................................................................................................. 25

9.2. Contribuții personale ......................................................................................................... 30

9.3. Direcții viitoare de studiu .................................................................................................. 31

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ ................................................................................................................. 31

INTRODUCERE


1. INTRODUCERE Podurile pietonale sunt adesea subiectul concursurilor de arhitectură datorită conceptului

funcţional şi al transparenţei structurale. Diferenţa între acest tip de pod si cele de cale ferata si

şosea nu rezidă numai in atingerea scopul elementar al lui, adică cel de a traversa un obstacol şi

de a permite desfășurarea unui alt tip de trafic, în acest caz trafic pietonal , ci si prin senzaţia pe

care o au pietonii când traversează podul. Un studiu a demonstrat, că este mult mai neplăcut

pentru pietoni atunci când oscilează un pod cu structură greoaie decât unul cu o structură uşoară.

Acest lucru atestă că evenimentele neaşteptate sunt mult mai neliniștitoare si dezagreabile decât

cele aşteptate. Fără a chestiona problema portanţei sub acţiunea încărcărilor cele mai

defavorabile, atât statice cât şi dinamice, impuse de norme, se poate concluziona, că transparenţa

structurală este un ţel in sine atunci când se proiectează astfel de poduri. Problema se pune așa,

pentru că pietonii interacționează direct cu acest tip de structură, si nu prin intermediul mașinii

sau al trenului, de aceea este important ca structura sa aibă o scară umană, ca detaliile sa fie

concepute si realizate impecabil şi să arate cât mai transparent felul în care sunt transmise

eforturile. Acest lucru invită pietonii să exploreze şi să înțeleagă felul în care funcţionează

structura.

Solicitările induse de pietoni pe structurile de poduri pietonale au un grad mare de împrăștiere

deoarece nu depind numai de numărul de pietoni şi gradul de sincronizare dintre ei sau de starea

fizică si psihică a lor, ci mai sunt şi variabile in timp şi in spaţiu. Limitarea săgeţii este cel mai vechi

criteriu de dimensionare, care însă este insuficient în cazul elementelor structurale susceptibile la

vibraţii. Exigenţa ca podurile pietonale să nu aibă moduri proprii de vibraţie în domeniul de

frecvenţe al mersului pietonilor, îngrădeşte prea mult posibilitatea de a proiecta aceste structuri.

Sensibilitatea la oscilaţii a unui pod pietonal depinde de frecvenţele proprii, de masele modale şi

de amortizarea structurii. Calcularea răspunsului dinamic al structurii din solicitări cu pietoni şi

compararea lui cu criterii de confort, ce apar în norme sub forma accelerațiilor reprezintă o

abordare raţională a problemei. Pentru aceasta abordare sunt însă necesare modele de încărcare

şi criterii de confort credibile.

1.1. ACȚIUNI PE PASARELE ÎN URMA ACTIVITĂȚILOR UMANE

Pentru a estima cât mai realist felul în care pietonii pot solicita o structura este necesară

clasificarea activităților pe care aceștia le pot desfășura. Astfel oamenii pot merge, pot alerga sau

pot produce acte de vandalism, deasemenea ei se pot deplasa individual sau în grupuri. Dacă

pasarela se află pe o ruta importantă atunci poate exista flux continuu de pietoni, iar în cazuri

extreme pot exista evenimente în masă unde densitatea pietonilor poate ajunge pană la 2.0

persoane/m2. Cercetarea în acest domeniu se desfășoară prin teste pe teren, măsurători în

laborator și modelare matematică.

1.2. RĂSPUNSUL STRUCTURAL

Acțiunile variabile în timp produc oscilații structurale, care depind atât de magnitudinea încărcării

cât și de proprietățile modale (masă și amortizare) ale structurii. Ele pot fi ținute sub control

modificând frecvența fundamentală, ajustând masa structurii sau rigiditatea acesteia, sau prin

introducerea unor dispozitive de amortizare. Cel mai frecvent folosit în cazul podurilor pietonale

fiind amortizorul cu masa acordată.

INTRODUCERE


1.3. CONFORTUL

Cel mai ușor mod de a măsura vibrațiile unei structuri este cu ajutorul accelerometrelor, ele sunt

cele mai la îndemână dispozitive pentru astfel de măsurători. În consecință s‐a impus, ca și

confortul să fie cuantificat în funcție de accelerația pe care centrul de greutate al pietonului o

resimte.

1.4. FENOMENE DE INTERACȚIUNE

Deşi efectul interacţiunii dintre pietoni şi structură poate fi uneori neglijat, existenţa sa nu mai

este subiectul unei dezbateri. Acesta a fost identificat pe diferite structuri de poduri pietonale,

astfel a fost identificat in 1972 pe un pod în arc [BA87], pe podul hobanat Toda Fig. 1.1 a) din

Japonia în 1989 cu o deschidere de 134 m, sau pe podul suspendat Maple Valley Fig. 1.1 b) din

1999 cu o deschidere de 320 m tot din Japonia. Notabilă a fost însă prezenţa acestui fenomen la

inaugurarea podurilor Millenium din Londra în anul 2000 [DFF01] şi a pasarelei Solferino din Paris

în 1999, având ca urmare închiderea circulaţiei şi echiparea ulterioară cu dispozitive de

amortizare. Cel mai recent, dar şi cel mai tragic eveniment, a avut loc datorită panicii declanşate

de vibraţiile laterale ca urmare a sincronizării pieton structură, s‐a produs în Cambodgia în

noiembrie 2010 şi s‐a soldat cu moartea a peste 350 de oameni.

Teoretic sincronizarea pietonilor cu structura se poate produce atât în sens lateral cât si în sens

vertical, cea din urmă nu a fost însă surprinsă în practică. Cele două aspecte care guvernează

fenomenul ar fi, modificarea proprietăţilor dinamice ale structurii, datorită surplusului de masă, şi

acordarea mersului pietonilor la o vibraţie inerentă a structurii.

În timp ce o mare parte din cercetare este concentrată pe interacţiunea pieton‐structură în

termeni de reacţiuni produse pe cale, puţine studii s‐au concentrat pe mecanismul de interacţiune

în sine. Întrebările privind schimbarea de comportament și de echilibru a pietonilor, care

declanşează fenomenul defavorabil, rămân încă fără răspuns. Încercând să clarifice mecanismul

de interacţiune, atenţia cercetărilor, se îndreaptă către modelarea biomecanică. Biomecanica

conţinând date importante în ceea ce privește mersul uman si modificarea echilibrului în timpul

mersului.

Fig. 1.1 a) Podul pietonal Toda din Japonia și b) Podul pietonal Momijdani

a) b)

OAMENII CA SURSĂ DE VIBRAȚIE PE PODURILE PIETONALE


2. OAMENII CA SURSĂ DE VIBRAȚIE PE PODURILE PIETONALE

2.1. LOCOMOȚIA UMANĂ

Mersul şi alergatul normal este definit de [Whi07] ca o metodă de locomoţie ce implică folosirea

a două picioare, alternant, pentru a obţine atât suport cât si propulsie, sau mai scurt “bipedalism

alternativ” [Ste55].

În afară de viteza de deplasare, mersul se mai diferențiază de alergat, prin contactul permanent

cu suprafața de deplasare. Termenul indisolubil legat de „mers” este „pasul” [Sbe87] şi implicit

pasul dublu, care corespunde seriei de mişcări, care se succede între cele două poziţii identice ale

unui singur picior [Sbe87]. Pasul dublu este compus din două faze, cea de sprijin şi cea de

pendulare. Faza de sprijin reprezintă aproximativ 60% din ciclul unui pas dublu şi începe cu

aşezarea călcâiului pe sol (atacul cu talonul) urmată de contactul complet al labei piciorului cu

solul şi se termină cu propulsarea înainte a corpului prin desprinderea degetelor labei piciorului

de sol (desprinderea halucelui ). Faza de pendulare durează aproximativ 40% din ciclul unui pas

dublu şi conţine două perioade, de accelerare şi de decelerare.

2.2. PARAMETRII MERSULUI

În timpul mersului, un pieton produce o forţă dinamică, variabilă în timp, ce are componente în

cele trei direcţii: vertical, orizontal‐lateral şi orizontal‐longitudinal [BA87]. Reacţiunile locale

produse de oameni apar datorită accelerării și decelerării centrului de greutate și sunt procese

complexe ce depind de mai mulţi parametrii. Felul fiecărui individ de a merge depinde de

următoarele trăsături fizice: vârstă, gen, înălţime, greutate, sănătate, corpolenţă; şi psihice: stare

de spirit, motivul pentru care se deplasează, statutul social‐economic (educaţie, meserie,

background social). Înaintarea oamenilor pe pod este de asemenea puternic influențată de vreme,

perioada zilei, zonă. O mare importanţă o are şi densitatea fluxului de pietoni. Viteza de deplasare

determină timpul pe care un pieton îl petrece pe structură.

Deși oamenii pot păși cu aceeași frecvență, lungimea pasului variază cu lungimea piciorului, care

este diferită pentru fiecare pieton motiv pentru care viteza de deplasare, diferă la fiecare individ.

Oamenii își ajustează, în timpul mersului, lungimea și frecvența pasului astfel încât să minimizeze

costul energetic al metabolismului.

Variaţia în timp a reacţiunii verticale este caracterizată de două maxime şi este în mare măsură

influenţată de viteza de mers, atunci când mersul este lent maximele scad şi minimele se măresc.

Mersul rapid induce şocuri în cale, şi este în consecinţă caracterizat de o diferenţă mai mare între

maxime şi minime.

2.3. MODELAREA FORȚELOR ÎN RAPORT CU TIMPUL

În proiectare sunt necesare modele analitice de încărcare, cu care sa se poată estima starea de

serviciu în care se află structura. Modelele analitice se construiesc pe baza măsurătorilor. În

literatură există doua abordări de modelare a acțiunii pietonilor, și anume: modelarea în raport cu

timpul și modelarea în raport cu frecvențele.

2.3.1. Mersul

Cea mai veche şi mai răspândită formulare matematică a acţiunilor induse de oameni se bazează

pe descompunerea reacţiunilor locale, din cale, în serii Fourier şi însumarea acestora.

Amplitudinea forței dinamice raportată la greutatea statică a pietonului se numește coeficient de



încărcare dinamică sau coeficient Fourier. El reprezintă baza acestui model de încărcare și ca

urmare cercetarea și‐a îndreptat atenția spre găsirea unei dependențe a coeficienților Fourier de

frecvența pașilor. S‐a observat astfel că primul coeficient Fourier crește considerabil cu frecvența

pașilor iar al doilea nu depinde în mare măsură de frecvență.

2.3.2. Joggingul și alergatul

Pentru a‐şi schimba viteza de mers, persoanele modifică lungimea pasului şi frecvenţa cu care

acesta atinge calea. Prin mărirea frecvenţei pasului, se măreşte şi amplitudinea verticală maximă,

iar picioarele sunt pentru o perioadă mai scurtă în contact cu calea. Astfel alergarea este

caracterizată de o fază de salt. Componenta verticală conţine un singur maxim iar cea laterala este

neglijabilă. Comportarea în timp a încărcării dinamice, poate fi modelată ca un şir de impulsuri

semi‐sinusoidale ca în Fig. 2.2 b). Acest model poate fi folosit pentru mişcările, ce sunt

caracterizate de o fază în care ambele picioare sunt desprinse de cale aceste tipuri de mişcare

pot fi – jogging, alergat sau sărit. tpreprezintă durata contactului cu calea, fp este frecvenţa

salturilor iar coeficientul dinamic kp rezultă din condiţia ca integrala din încărcarea

verticalăFp,vert t funcţie de durata acţiunii raportată la durata pasului să fie egală cu greutatea

pietonului. kp descrie relația dintre magnitudinea încărcării și raportul dintre timpul de contact tp

a)

Amplitudine [N]

Timp [s]b)

Armonica i=1

Armonica i=2 Armonica i=3

Fvertical Flateral

Armonica i=3 Armonica i=2

Armonica i=1

Fig. 2.1 Forța verticală a) si laterală b) indusă de un pieton care merge, și componența oscilațiilor, care prin însumare formulează forța

Fig. 2.2 a) Coeficient dinamic kp b) Funcția de încărcare după model semisinusoidal

tpTp

kpG

t

F P,vert

b) a) t

kp



și Tp durata până la următorul salt. Din măsurători s‐a observat că acest raport se află în intervalul

0.3‐0.6 pentru salturi de 2Hz pe o platformă rigidă și rareori se află sub 0.5 în cazul salturilor pe o

platformă flexibilă, ceea ce însemnă că factorul dinamic nu poate să depășească o valoare de 5.

2.4. Vandalism Atunci când o structură oscilează perceptibil sub mersul normal al oamenilor, aceștia pot simți

nevoia de a se “juca” cu structura, inducând voit forțe dinamice în cale, acordate la oscilația

percepută. Aceste acțiuni se pot modela cu o funcție Hanning sau cu cele mai sus menționate

pentru alergare. Studii efectuate de Caetano au arătat că deși se pot induce accelerații foarte mari

ce depășesc accelerația gravitațională (pentru o structură foarte ușoară), pietonii nu pot rămâne

pentru mult timp în fază cu oscilația, participând apoi la amortizarea acesteia.

2.5. RĂSPUNSUL STRUCTURAL ÎN URMA MODLELOR DETERMINISTE

Mai departe a fost exemplificat modul, în care o pasarelă pietonală fictivă, poate răspunde la

acțiunea dinamică a mai multor pietoni, care se deplasează liber pe structură. Rezultatele au fost

obținute pe baza unui model analitic dezvoltat în programul de calcul matematic MAPLE.

2.5.1. Modelul structural GSR58

Modelul analizat a fost o grindă simplu rezemată (Fig. 2.3) cu proprietăți date în Tab. 2.1., care

este traversată de un șir de forțe, care variază în timp. Pentru acest studiu au fost adoptate

ipotezele Euler‐Bernoulli.

Tab. 2.1 Proprietățile modelului analizat

Descrierea parametrilor Parametrii

Deschidere de calcul L= 58 m

Lățimea căii B=4 m

Masa structurii m= 3.15∙103 kg/m

Rigiditatea verticală EIvert= 4.954∙1010 N/m2

Rigiditatea laterală EIoriz= 5.530∙108 N/m2

Fracțiune din amortizarea critică ζ= 0.005

Frecvența verticală fv= 1.852 , 7.407, 16.666 Hz

Frecvența laterală fh= 0.196 , 0,783, 1.761 Hz

Grinda din Fig. 2.3 este deci supusă unui n șir de forțe Fp,n , care se deplasează cu aceeași viteză

constantă v. Deformata grinzii în lungul axei y în poziția x și timpul t este dată de w(x,t). Pe baza

ipotezelor mai sus menționate se poate scrie ecuația de mișcare a structurii sub forma ecuației

2.1, care este o ecuație cu derivate parțiale neomogenă iar δ este funcția Dirac‐delta, care se

folosește deseori în analiza structurală pentru a modela forțe concentrate. Se simulează condiții

de rezemare pentru grinda simplu rezemată și condiții inițiale (în raport cu timpul t) nule.

m

∂2

∂t2w x,t + c

∂

∂tw x,t + EI

∂4

∂x4w x,t = Fp,n

np

n=1

(t)·δ(x-vt), 0≤ vt ≥L 2.1

Teoretic pentru a simula efectul prezenței mai multor pietoni pe structură, s‐ar însuma forțele

generate de numărul de pietoni, dar asta ar însemna ca pietonii ajung simultan și merg în fază pe

structură. Acest lucru nu se întâmplă în realitate, ei având diferite rate de sosire pe pasarelă.

Literatura de specialitate recomandă folosirea unei rate de sosire după o distribuție Poisson. Acest

lucru a fost aplicat pe exemplul analizat, generând o rată de sosire de 3 persoane/s. Inițial s‐a

...

L

Fp,1 Fp,n

x

y

v

vt

Fig. 2.3 Schema statică a modelului analizat GSR58



determinat densitatea de pietoni pe structură, care pentru acest model este de 0.3 persoane/m2,

apoi a fost determinat numărul de pietoni, pe baza densității și a suprafeței structurii Np=0.3LB și

rata de sosire a celor Np persoane, care în medie sosesc câte 3 pe structură. Numărul de pietoni

a fost ales în așa fel încât să producă un răspuns de dimensiuni apreciabile, păstrând totodată

efortul de calcul la un minim. Pentru a simula efectiv rata de sosire diferită a pietonilor pe

structură se introduce un defazaj în dreptul fiecărei funcții de încăracre Fp. Pe toată durata

defazajului funcția are valoarea zero. Ecuația este rezolvată în MAPLE cu ajutorul procedurii

pdsolve.

2.5.2. Răspunsul structural GSR58

Scopul acestui studiu a fost de exemplifica comportarea unei grinzi simplu rezemate sub acțiunea

dinamică a unuia sau a mai multor pietoni. Fig. 2.4 a) arată deformata structurii în sens vertical în

punctul L/2 pe durata traverserării structurii de către un pieton, care înaintează cu o viteză de 1.3

m/s cu o frecvență identică cu cea a primului mod de vibrație al structurii, iar Fig. 2.4 b) arată

Fig. 2.5 a) Deformata și b) viteza structurii sub acțiunea a 70 de pietoni, care merg. Valori înregistrate în punctul L/2

a) b)t [s]

t [s]

Deform

ata

Viteza

Fig. 2.4 a) Deformata și b) viteza structurii sub acțiunea a unei persoane, care merge. Valori înregistrate în punctul L/2

Deform

ata

Viteza

t [s] t [s]

a) b)

MODELARE PROBABILISTICĂ


variația vitezei în acel punct. Fig. 2.5 a) și b) arată același lucru, dar pentru 70 de pietoni, se poate

observa creșterea magnitudinii, dar și prezența unor salturi în grafice, care marchează sosirea

pietonilor pe structură.

Înaintarea pietonilor cu aceeași viteză nu este tocmai realistă, dar este suficientă pentru a observa

comportamentul structurii. Variația vitezei nu ar trebui să producă diferențe majore în ceea ce

privește răspunsul structurii, deoarece variația ar fi foarte mică, incomparabilă cu viteza trenurilor

sau a mașinilor, situații în care s‐a observat dependența răspunsului structural de viteza

vehiculelor. Totuși magnitudinea forței crește odată cu mărirea vitezei de înaintare. Au fost

realizate simulări și pentru oameni, care aleargă pe structură, unde forțele sunt aplicate conform

modelului semisinusoidal. În acest caz răspunsul structural are o magnitudine mai mare datorită

coeficientului de impact și o amplitudine mai accentuată a oscilației, datorită diferenței între

condiția de zero, în timpul fazei de salt, și a duratei de contact cu calea unde forța ajunge la

valoarea maximă.

3. MODELARE PROBABILISTICĂ

Abordarea deterministă modelează, pe baza ipotezelor asumate, eficient acțiunea individuală a

pietonilor. Cercetările arată însă că această abordare supraestimează intensitatea reală a acțiunii.

[RP86] a obținut prin metode deterministe, excitând primul mod de vibrație al unei grinzi simplu

rezemate, accelerații de două ori mai mari decât cele observate pe structura reală supusă mersului

uman, fapt ce arată că mersul uman nu este perfect periodic.

3.1. MODELAREA ÎN RAPORT CU SPECTRUL FORȚEI

Inițial acest model a fost introdus de [BPO04], care a modelat forța în funcție de primele 6

armonici, mai târziu [ZPR07] a perfecționat acest model introducând și primele 5 subarmonici, dar

folosește numai primele 5 armonici considerând că armonici mai mari nu produc oscilații

perceptibile.

Una din ipotezele modelului determinist este egalitatea pașilor în timpul mersului, în realitate însă

acest lucru nu se întâmplă, deoarece fiecare pas este caracterizat de parametrii ai mersului puțin

diferiți (frecvență, lungime, viteză) deoarece un picior este mai puternic decât celălalt (de regulă

dreptul), fapt ce explică și prezența subarmonicilor în spectrul forțelor.

Astfel mersul nu produce forțe sinusoidale și deci nu poate fi exprimat eficient prin coeficienți

Fourier fiind un proces aleator cu bandă îngustă [BPO04].

a) b)Frecvenţa/ Frecvenţa paşilor Timp [s]

Coeficient Fourier/ Greutatea corporală

Forţa [N]

Fig. 3.1 a) Spectrul forţei şi b) reprezentarea în raport cu timpul a forţei reprodus după [ZPR07]



Studiul efectuat de [BPO04] urmărește cu predilecție marginile în care variază mersul generat de

aceeași persoană, înregistrând mersul a trei subiecți la viteze de mers ce variază între 0.7 m/s și

2.1 m/s. Mersul constrâns poate simula înaintarea în condiții de trafic dens sau atunci când pietonii

se deplasează în grupuri și sunt nevoiți să mențină viteza de înaintare a grupului. Energia

dispersată ce apare în cazul mersului real, poate fi reprezentată prin analiză stochastică în

domeniul frecvențelor, unde forțele generate în timpul mersului sunt exprimate drept densități

auto‐spectrale.

Pentru fiecare frecvenţă din spectru este necesară determinarea fazei, [ZPR07] susţine că pentru

intervalul [‐π,π] fazele sunt uniform distribuite. Astfel pentru reconstruirea modelului în raport cu

timpul au fost generate cu ajutorul unei funcţii de distribuţie uniformă fazele pe intervalul mai sus

menţionat. În Fig. 3.1 a) şi b) sunt reprezentate atât spectrul forţei cât şi variaţia în timp a forţei,

ambele generate artificial pe baza prelucrării statistice a datelor măsurate de [ZPR07]. Diferenţe

între funcţie reală şi cea generată apar datorită fazelor generate artificial, dar energia forţei nu

este afectată de faze [ZPR07].

3.2. CUANTIFICAREA RĂSPUNSULUI STRUCTURAL

Structura este supusă unui șir continuu de forțe generate de mersul pietonilor în grupuri sau în

aglomerări, iar fiecare pieton participă la amplificarea dar și la diminuarea răspunsului structural.

Acest lucru este exemplificat în Fig. 3.2, care surprinde deformata a) și viteza b) pe modelul

structural GSR58 supus mersului a 70 de pietoni, a căror acțiune este modelată probabilistic

conform procedurii elaborate de [ZPR07]. Proprietățile pietonilor cum ar fi frecvența de mers și

lungimea pasului sunt luate după autorul Sahnaci iar greutatea unui pieton are o valoare medie

de 700 N și abatere standard de 1.3 N după o distribuție normală.

Această abordare este marcată de o scădere considerabilă a magnitudinii deplasărilor și a

vitezelor, raportate la Fig. 2.5 a) și b) unde acțiunea a fost modelată conform modelului

determinist, care surprinde numai efectul maxim, pe care pietonii îl pot produce, în termeni de

forțe, pe structură.

Diferența dintre modelul determinist și cel probabilistic, a fost în continuare studiată pe modelul

GSR58, forțele sunt de data aceasta aplicate în mijlocul deschiderii și nu sunt mobile.

În continuare sunt generate 2000 de forțe prin intermediul modelului probabilistic de forma Fig.

3.1 b) , care sunt aplicate pe structură așa cum s‐a descris anterior. Durata de aplicare a fiecărei

Fig. 3.2 a) Deformata și b) viteza structurii în punctul L/2 sub acțiunea a 70 de pietoni modelați probabilistic

t [s] t [s]

Deform

ata

Viteza



încărcări este surprinsă de timpul T în care un pieton parcurge structura și este exprimată prin

intermediul relației 3.1 unde L este lungimea structurii iar fs și ls sunt frecvența respectiv lungimea

pașilor conform.

T=

L

fsls 3.1

Răspunsul structural în mijlocul deschiderii sub acțiunea unui pieton, este de forma Fig. 3.3 a), din

el se extrage valoarea maximă (în modul) și rădăcina medie pătratică (RMS). Prin repetarea acestei

proceduri de 2000 de ori se obține Fig. 3.3 b) .

Cele două seturi de date (valori de vârf și medii RMS) din Fig. 3.3 b) se reformulează după modelul

unor distribuții normale prin calcularea mediei și a deviației standard al fiecărui set de date. Pentru

distribuțiile normale astfel obținute se calculează probabilitatea cumulativă de nedepășire a unui

anumit nivel de accelerații.

Se continuă studiul și pentru grupuri de pietoni. Astfel se consideră scenarii cu grupuri de câte

2,4,6,8 persoane, forța fiind compusă prin însumarea persoanelor din grup, considerându‐se că

fiecare pieton merge cu o viteză și frecvența diferită, ipoteză, care este descoperitoare. Pietonii

fiind în grup ei pot merge cu frecvențe apropiate, dacă nu chiar identice. Analiza se repetă pentru

fiecare grup de pieton de câte 250 de ori, forțele fiind diferite la fiecare analiză. Precizia

rezultatelor (în sens statistic) depinzând de numărul de repetări efectuate. Modelul cu o persoană

având astfel o siguranță statistică mult mai mare, având 2000 de repetări, față de analiza cu

grupuri de pietoni, motiv pentru care graficele nu sunt suprapuse. Răspunsurile sunt apoi

sintetizate în Fig. 3.4 și printr‐o procedură similară celei descrise mai sus, unde s‐a analizat

acțiunea unei singure persoane. Distribuțiile normale ale accelerațiilor au o împrăștiere mai mare

odată cu creșterea numărului de persoane din grup motivul fiind variația mai mare a armonicilor

în funcția de încărcare. Valorile accelerațiilor cresc odată cu numărul de persoanelor din grup, așa

cum era de așteptat. Se ating valori de vârf de până la 0.45 m/s2 pentru grupul de 8 persoane, care

Fig. 3.3 a) Accelerația structurii în urma acțiunii unui pieton; b)Valori de vârf și mediate RMS ale accelerației punctului L/2 al structurii, din acțiunea a 2000 de pietoni ce acționează pe rând

Valori de vârf

Valori mediate RMS

t [s]

Accelerația [m/s

2]

Număr de valori a) b)



au însă probabilitate mică de apariție, care în cazul determinist sunt de 4.5 m/s2, fiind deci de 10

ori mai mari.

3.3. CONCLUZII PRIVIND MODELAREA PROBABILISTĂ

Valorile medii ale răspunsurilor de vârf și RMS pentru modelare deterministă și probabilistă sunt

suprapuse în Fig. 3.5, pe lângă diferența foarte mare dintre cele două metode, se mai poate

observa o creștere aproape liniară a valorilor precum și o creștere aproape asimptotică a valorilor

obținute determinist. Această diferență se poate ajusta prin introducerea unor coeficienți de

reducere, care să țină cont de faptul că pietonii nu se pot sinconiza perfect cu structura, că nu pot

merge toți cu aceeași frecvență. În această manieră abordează normele de calcul problema și ea

v‐a fi descrisă în capitolele următoare.

În ceea ce privește accelerațiile obținute cu modelul probabilistic, el necesită validare

experimentală, iar modul în care ele au fost mediate în cazul RMS și al valorilor de vârf este aspru

prelucrat, medierea fiind mai corectă pe sectoare de timp.

Fig. 3.5 Compararea accelerațiilor obținute încărcând GSR58 cu modelul determinist și cel probabilist pentru diferite grupuri de pietoni

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

1 2 3 4 5 6 7 8

Accelerația m/s

2

Numărul de pietoni din grup

Determinist vârf

Determinist RMS

Probabilistic RMSProbabilistic vârf

Fig. 3.4 a) Probabilitatea de apariție a accelerațiilor de vârf și b) probabilitatea de nedepășire a unui anumit nivel de accelerații de vârf pentru diferite grupuri de pietoni

gr. 2

gr. 4

gr. 6

gr. 8

Accelerații de vârf [m/s2] Accelerații de vârf [m/s2]

Probabilitate

Probabilitatea de nedep

ășire a accelerației

gr. 2

gr. 4

gr. 6

gr. 8

TRAFIC PIETONAL


4. TRAFIC PIETONAL Interacţiunea pieton‐structură sau pieton‐pieton dă naştere unui sistem dinamic multiscalat şi

multifizic [VB09]. Astfel au loc fenomene colective, care nu apar doar datorită prezenţei fiecărei

componente din sistem dar şi datorită interacţiunii dintre ele. Comportamentul masei de pietoni

şi forţa exercitată de pietoni pe structură, modifică proprietăţile dinamice şi răspunsul structural,

care la rândul ei afectează mersul pietonilor pe structura în mişcare. Pentru a cuantifica matematic

aceste fenomene este necesară o abordare multidisciplinară din domeniul biodinamic şi teoria

traficului.

4.1. COMPORTAMENTUL OAMENILOR CÂND ÎNAINTEAZĂ ÎN AGLOMERĂRI

Caracteristica principală a comportamentului oamenilor în aglomerări este că viteza de mers este

afectată de densitatea pietonilor, cu cât este mai mare densitatea cu atât pietonii merg mai încet.

În cazul aglomerărilor viteza nu mai poate fi liber aleasă ea fiind influențată de viteza persoanelor

din jur. Importantă este de data aceasta exprimarea vitezei în funcție de densitatea pietonilor.

Aceasta relație a fost exprimată de [VB09] prin intermediul unei ecuații din domeniul traficului

vehiculelor, așa zisa formula Kladek ilustrată în Fig. 4.1. Pe măsura ce densitatea de pietoni crește,

abilitatea oamenilor de a se deplasa liber descrește, ceea ce înseamnă că distribuția parametrilor

mersului se îngustează. Dar experimentele arată, că pietonii nu intră în sincronizare colectivă

atunci când densitatea crește, Ingolfsson [Ing11] explică acest lucru prin lungimea pasului, care

rămâne aleatoare deși viteza este aceeași.

Venutti și Bruno [VB09] concluzionează că nu se pot determina relaţii densitate‐viteză general

valabile, deoarece comportamentul pietonilor depinde de foarte mulţi parametrii. Trebuie avut în

vedere ca majoritatea diagramelor care ilustrează dependenţa vitezei de densitatea pietonilor au

fost determinate în situaţii staţionare, adică nu s‐a ţinut cont de faptul că ar putea exista situaţii

de panică sau situaţii în care terenul se mişcă şi produce dezechilibru.

5. INTERACȚIUNEA DINAMICĂ PIETON‐STRUCTURĂ

În general se consideră că persoanele în mișcare nu modifică, comportarea modală a unei

structuri, studii recente arată însă, că acest lucru nu este în totalitate adevărat observându‐se o

scădere în frecvență și o creștere a amortizării structurale în prezența pietonilor în mișcare. Pentru

Fig. 4.1 Relația densitatea viteză pentru diferite scenarii de trafic Europa

ρ [pietoni/m2]

v [m

/s]

Ora de vârf

Tranzit

Timp liber

INTERACȚIUNEA DINAMICĂ PIETON‐STRUCTURĂ


acțiuni verticale acest lucru se întâmplă datorită inabilității pietonilor de se sincroniza cu structura

fapt ce reduce oscilațiile. Qin [QLY13] a propus un model, prin care se poate modela matematic

efectul, pe care îl are oscilația unei structuri asupra mersului uman și cum un pieton poate sa‐și

mențină echilibrul în aceste condiții. În acestu studiu s‐a observat, importanța rigidității piciorului

asupra nivelului de oscilații indus și că accelerațiile structurale scad când unghiul de atac crește

(unghiul, pe care piciorul din față, îl face cu orizontala). Deasemenea s‐a observat că interacțiunea

dinamică crește cu nivelul de oscilații, deoarece mai multă energie este indusă sistemului pentru

a menține un mers continuu.

5.1. INTERACȚIUNEA LATERALĂ PRIN SINCRONIZARE

Sincronizarea pieton‐structură se poate produce atunci când pietonii îşi adaptează mersul la o

mişcare oscilantă inerentă a structurii, ei merg practic pe o suprafaţă care oscilează. Pietonii sunt

mult mai sensibili la vibraţii laterale, de aceea e mai probabil ca ei să se sincronizeze cu structura

din încercarea de a‐şi păstra echilibrul corporal. Ei îşi adaptează inconştient frecvenţa laterală a

paşilor la frecvenţa laterală a structurii.

Teste efectuate de [DFF01] pe Millenium Bridge, au arătat ca forțele dinamice induse de pietoni

sunt liniar proporționale cu viteza suprastructurii, astfel încărcarea produsă de pietoni poate fi

echivalată cu acțiunea unor amortizori negativi.

Astfel pentru un anumit număr critic de pietoni stabilit de Dallard și Fitzpatrick [DFF01], această

amortizare negativă depășește amortizarea pozitivă a structurii, provocând creșterea

exponențială a oscilațiilor.

În prezența unei amortizări și mase modale mici factorul de amortizare negativă are un aport mai

mare, crescând astfel șansa de instalare a instabilității laterale. În general modelele, care se

bazează pe paradigma sincronizării se obțin cu parametrii acordați la datele măsurate și nu ca

derivate ale unor dovezi evidente.

5.2. INTERACȚIUNEA LATERALĂ PRIN STRATEGII DE MENȚINERE A ECHILIBRULUI

În mod interesant pe Millenium Bridge fenomenul sincronizării nu s‐a produs perfect și pietonii s‐

au acordat și dezacordat alternant la mișcarea laterală a structurii. Deasemenea analizarea unor

măsurători recente evidențiază că sincronizarea laterală, nu reprezintă fenomenul, care inițiază

mișcarea. Măsurători efectuate de J. Brownjohn și de J. Macdonald pe Changi Airport Bridge și pe

Clifton suspension Bridge, arată, că vibrațiile nu s‐au produs datorită fenomenului de sincronizare,

neobservându‐se vârfuri in spectrul de accelerații verticale la dublul vibrațiilor laterale, care era

de așteptat dacă un număr mare de pietoni și‐ar fi sincronizat pașii [BMB12] .

5.2.1. Modelarea interacțiunii laterale

Macdonald [Mac08] a dezvoltat un model matematic prin care se poate cuantifica efectul

interacțiunii laterale exprimând forța indusă de un pieton prin intermediul unui pendul inversat.

Acest model a fost foarte bine primit în Marea Britanie unde i‐a fost acordată multă atenție

scriindu‐se și un articol în Nature News pe această temă cu titlul “Millennium Bridge wobble

explained”. În continuare este descris acest model, care este mai departe studiat prin intermediul

unei rutine create în MAPLE.



Relația 5.1 reprezintă ecuația, care guvernează mișcarea pendulului inversat și cea a căii,

reprezentată vectorial în Fig. 5.1. Poziția y a centrului de greutate (CG) este controlată de u poziția

centrului de presiune (CP), care este rezultanta vectorilor de pe suprafața de contact a tălpii cu

calea. Numărul pasului este reprezentat prin n, iar deplasarea structurală prin X. Viteza și

accelerația se obțin prin derivare în raport cu timpul. Indicii j și i reprezintă numărul pietonului

respectiv numărul modului de vibrație, N fiind modurile considerate. Relația 5.2 descrie ecuația

de mișcare a structurii, care este dependentă de mișcarea pietonilor, m este masa modală a

modului considerat, c amortizarea modului de vibrație iar k rigiditatea structurii. φ este ordonata

modului de vibrație i din dreptul poziției pietonului j. Pulsația pendulului este Ωp și depinde de g

atracția gravitațională și l lungimea pendulului inversat. Se neglijează faza de dublu suport cu

condiția de a menține poziția CG, pentru începutul pasului curent, identică cu poziția de la finalul

pasului anterior.

Forța laterală se obține din accelerarea centrului masei în orice moment sau mai poate fi

exprimată în funcție de poziția relativă a CG și CP în timpul oricărui pas, conform relației 5.3.

Fj=mj Ωj2 uj,n t -yj t 5.3

Legea de așezare a piciorului un stabilită de Hof, este o funcție liniară ce depinde de poziția laterală

a CG și de viteza lui în momentul tranziției de la un picior la celălalt, u fiind parametrul prin care se

menține echilibrul pendulului inversat. Constanta bmin reprezintă marginea de stabilitate a

uj,n t =yj,n

0 t +

d

dty(t)

j,n

0

Ωj+ -1 nbmin

5.4

modelului, semnul constantei schimându‐se la fiecare pas. În felul acesta CG nu va ieși niciodată

în afara CP atunci când mersul este perturbat. Modul de control este similar unui regulator

proporțional derivativ PD folosit în procese automate. În cazul modelelor, care folosesc paradigma

d2

dt2yj t +Ωj

2 uj,n t -yj t =-d2

dt2Xi t φi,j

N

i=1

5.1

mi

d2

dt2Xi t +ci

d

dtXi t +kiXi t = mjΩj

2 uj,n t -yj t φi,j

np

j=1

5.2

CG

y

l

mj g

X

u FL

mjd2

dt2y(t)

CP ks

cs

ms

Fig. 5.1 Pendul inversat sub oscilația transversală a căii



sincronizării pentru a explica fenomenul interacțiunii laterale, se presupune că se modifică

frecvența pașilor și nu poziția acestora.

5.2.2. Comportarea unui pieton PI pe o bază fixă

Modelul este testat în diferite scenarii, scenariul de față are ca scop calibrarea parametrilor

pietonilor, în acest sens se scrie ecuația de mișcare pentru un pieton, care merge pe o cale fixă

adică d2

dt2Xi t =0. Ecuația a fost scrisă în MAPLE și rezolvată unde prin intermediul comezii dslove,

care folosește algoritmul numeric Fehlber‐Runge‐Kutta (rkf45) de ordinul 4‐5 pentru integrarea în

timp a ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi. Deși ecuațiile sunt de ordinul doi, MAPLE fiind un

program de calcul matematic simbolic, rescrie ecuațiile aducându‐le la forma ordinară. Integrarea

ecuațiilor începe cu condiție inițială nulă pentru deplasarea, respectiv viteză inițială 0.1 m/s a CG.

Fig. 5.2 reprezintă oscilația CG și CP, iar proprietățile pietonului sunt: masa m=70kg, lungimea

pendulului inversat l=1.34∙0.9=1.2 m, marginea de stabilitatea bmin=0.0157 m, frecvența pașilor

fs=1.8 Hz. Lungimea medie a piciorului este 0.9 m.

Pentru acești parametrii modelul dă rezultate așteptate. Prin mărirea masei se modifică așa cum

este de așteptat forța laterală indusă structurii. Modelul se dovedește însă a fi foarte sensibil la

modificarea frecvenței pașilor, cu cât frecvența se apropie mai mult de zero cu atât deplasarea CG

devine mai mare și implicit forța indusă devine mai mare. Frecvența pașilor determină momentul

în care este aplicată legea de control pentru a da valori poziției CG în pasul curent.

5.2.3. Comportarea unei mulțimi de pietoni PI pe o suprafață mobilă

Această simulare se efecutează pe o structură similară GSR58, se modifică însă masa modală, care

pentru această simulare este 50430 kg, frecvența structurii este 0.783 Hz, se consideră un mod de

vibrație uniform. Prin intermediul modului de vibrație se introduce dimensiunea spațială în

ecuațiile unidimensionale de mișcare. Prezența mai multor pietoni j este obținută cuplând ecuația

5.2 la j ecuații de forma 5.1 obținând astfel un sistem de j+1 ecuații diferențiale cuplate. Acest

sistem este rezolvat, ca la punctul anterior prin metoda numerică rkf45 din MAPLE. Comanda

dsolve are posibilitatea de a introduce evenimente la anumiți pași de timp în algoritmul de

rezolvare, astfel folosind funcția events se poate introduce frecvența pașilor, când se aplică și legea

de control, simulând astfel înaintarea PI pe structură.

Traficul pietonal este suprins în mod simplist, pornind de la o densitatea de pietoni pe structură

se obține numărul de pietoni prin înmulțire cu suprafața căii. Apoi se determină rata de sosire a

pietonilor prin intermediul unei distribuții Poisson, care în acest caz are o medie de 3 pietoni/s.

Acest efect este introdus în model printr‐un defazaj propriu fiecărui pieton, care întârzie

înmulțirea ordonatei modului de vibrație din dreptul pietonului cu ecuația de mișcare. Astfel prin

t [s]

CP

CG CG,CP[m

]

a)

Fig. 5.2 Deplasarea CG și CP pe o bază fixă



intermediul unei funcții piecewise, se compune defazajul cu forma modului de vibrație, pe

perioada defazajului ordonata este nulă, la fel și atunci când pietonul părăsește structura.

Având densitatea de pietoni se poate determina viteza pietonilor, care duce la frecvența de mers.

Se dau variații parametrilor pietonilor prin distribuții normale, astfel masa pietonilor are o medie

de 70 kg și o deviație standard de 0.13 kg, lungimea medie a piciorului este 0.871 m cu deviație

standard 0.096 m, marginea de stabilitate este conform 0.0157 m cu o deviație standard 0.007 m.

Viteza de mers este obținută pentru Europa și trafic pietonal de timp liber. Poziția CG se poate

introduce în funcție de marginea căii pe care pietonii merg, făcând posibilă distribuirea pietonilor

și în sens lateral, în situația de față însă toți pietonii se deplasează în axul căii.

Simulând un trafic pietonal de 0.3 persoane/m2 se obține oscilația CG și CP din Fig. 5.3 a) a unui

pieton de pe structură. Prezența a 70 de persoane pe structură induce un nivel perceptibil de

vibrații, inducând mersul modificat al PI care este marcat de lățirea pasului, dar și de mărirea forței

laterale Fig. 5.3 b) induse la nivelul căii

Mișcarea inerentă a structurii produce mersul modificat al pietonilor, ea este simulată aici prin

introducerea unei deplasări inițiale a structurii de 4.5 mm. Aceasta mișcare inițiază o oscilație

descrescătoarea datorită amortizării structurale. În Fig. 5.4 oscilația începe de la 4.5 mm apoi tinde

să scadă în prezența unui mic număr de PI, dar pe măsură ce tot mai mulți PI ajung pe structură,

oscilația este întreținută și crește treptat.

t [s]

CG,CP [m]

a)

Fig. 5.3 a) deplasarea CG și CP, b) viteza CG, c) forța laterală în prezența unei deplasări inițiale a structurii de 4.5 mm

t [s]

Forță CP [N]

b)



Ideea vehiculată în acest model este că pietonii pot sustrage amortizare structurii fără a se deplasa

cu o frecvență de pășire identică cu cea a structurii, Fig. 5.5 încearcă să explice acest lucru, a)

descrie componența de frecvențe a pietonului care merge cu 0.87 Hz și excită structura b) care

are o frecvență de 0.78 Hz. Figurile au fost obținute efectuând transformata Fourier prin

intermediul comenzii DFT din MAPLE a semnalului generat de forța indusa de pietoni respectiv de

deplasarea structurii.

5.2.4. Instabilitatea structurii

În condiții de trafic dens pietonii pot sustrage suficientă energie structurii astfel încât să producă

instabilitatea dinamică a acesteia, care vine cu oscilații excesive. În model, acest lucru se poate

observa atunci când amplitudinile oscilațiilor încep să crească explonențial. Astfel este introdus în

algoritmul de integrare o comandă tot în cadrul funcției events, care să oprească simularea odată

ce o deplasare de 10 cm s‐a atins. Modelul a fost astfel analizat pentru diferite densități de trafic

pietonal, s‐a analizat și o situație, în care pietonii sunt distribuiți uniform pe structură și bat pasul

pe loc. Se testează și cazul în care integrarea în timp pornește de la condiții inițiale ale structurii în

repaus cu concluzia că instabilitatea este inițiată și în acest caz.

După cum se vede în Fig. 5.4 b) densitatea de 0.3 pietoni/m2 nu induce oscilații excesive spre

deosebire de Fig. 5.6 unde accelerațiile încep să crească exponențial după un anumit timp.

t [s]

Accelerația [m/s

2]

b)

Fig. 5.4 accelerația structurii sub acțiunea a 0.3 persoane/m2 cu o deplasare inițială de 4.5 mm

Fig. 5.5 Spectru Fourier pentru a) forța indusă de un pieton 0.87 Hz și b) viteza structurii pentru 0.3 persoane/m2

fs [Hz] fs [Hz]

Amplitudine Fourier

Amplitudine Fourier

DESCRIEREA ȘI ANALIZA PRESCRIPȚIILOR DE PROIECTARE


În realitate oscilațiile structurii nu pot lua valori prea mari, deoarece oamenii nu pot ține pasul cu

mișcarea, în acest caz ei se opresc și acționează ca și forțe statice pe structură. Prin intermediul

acestui model, care este cuplat la un scenariu de trafic, se poate cuantifica efectul pe care pietonii

îl pot avea pe o structură sensibilă la oscilații laterale. Și s‐a arătat că instabilitatea laterală se poate

produce cuplând o serie de PI cu un model simplist al unei structuri cu un grad de libertate

dinamică, prin alternarea pasului și nu prin alternarea frecvenței. Avantajul este că se poate face

o simulare mult mai fină a fenomenului, de exemplu prin intermendiul numărului critic stabilit în

lucrarea [DFF01], se obține un număr de aproape 17 persoane care duce la instalarea instabilității,

prin intermediul PI la 17 persoane care bat pasul pe loc (numărul critic a fost determinat pentru

pietoni distribuiți uniform pe cale) se obține o accelerație de 0.04 m/s2, instabilitatea producându‐

se pentru apropape 130 de persoane pe structură. Explicația pentru diferența considerabilă între

cele două metode stă în faptul că pendulul inversat sustrage energie structurii în funcție de

oscilația pe care o percepe pe când numărul critic este obținut pentru oscilații relativ mari pe

Millenium Bridge.

5.3. MODELAREA MATEMATICĂ A INTERACȚIUNII VERTICALE PIETON STRUCTURĂ

Acest model, care a fost doar descris în lucrare, a fost dezvoltat de [BMB11] și este construit tot

pe principiul modelului anterior. Arată că în funcție de raportul dintre frecvența structurii și

frecvența mersului pietonii se comportă ca niște amortizori pozitivi sau negativi pentru mișcarea

structurii, se presupune, că per total, pentru un grup de pietoni tendința este de a adăuga masă și

amortizare structurii. În prezent modelul acoperă acțiunea pietonilor ca și forță exterioară pe

structură dar nu și efectul reacției pietonilor.Metodele existente de prezicere a vibrațiilor verticale

sunt în prezent relativ imprecise. Zivanovic sugerează că interacțiunea pieton‐structură mărește

amortizarea structurală, pe o structură frecvența a crescut de la 2.04 Hz cu un factor de 2.5.

6. DESCRIEREA ȘI ANALIZA PRESCRIPȚIILOR DE PROIECTARE În acest capitol au fost prezentate normele relevante pentru modelarea acțiunii dinamice produse de oameni pe podurile pietonale precum și instabilitatea laterală și criteriil de confort.

Fig. 5.6 Inițierea instabilității dinamice a) forța indusă de un pieton și b) accelerația structurii pentru 0.55 pietoni/m2

Accelerație [m/s

2]

Forța [N]

t [s]t [s]

COMPARAȚIE NUMERICĂ A PRESCRIPȚIILOR


6.1. ISO 10137‐2009

6.2. BS EN 1991‐2:2003

6.3. SETRA/AFGC

6.3.1. Acțiuni dinamice

6.3.2. Criterii de confort

6.4. CEB fib32

6.5. HiVoSS

7. COMPARAȚIE NUMERICĂ A PRESCRIPȚIILOR

În continuare a fost realizat un studiu numeric comparativ între norme și prescripții pentru a

evidenția diferența dintre ele, dar și pentru a vedea unde se poziționează modelele analizate în

capitolele anterioare. Prin urmare se vor selecta două modele numerice diferite unul susceptibil

la acțiuni verticale și celălalt la acțiuni laterale.

7.1. Modelul numeric HOB58V

Podul pietonal prezentat în Fig. 7.1 se află în miniportul Murighiol în localitatea Murighiol, este un

pod hobanat asimetric cu hobane dispuse în evantai, într‐un singur plan.

Modelul a fost analizat spațial prin metoda elemetului finit în programul de calcul SAP2000. Au

fost folosite elemente tip bară cu două noduri având toate cele 6 grade de libertate activate.

Tablierul a fost modelat ca o grindă având secţiunea transversală poziţionată în centrul de

greutate. Au fost realizate mai multe analize și s‐a ajuns la concluzia că și cablurile pot fi aproximate

cu elemente de bară, fără a modifica comportarea structurii, ele au însă rotirile libere la capete.

Pilonul și piloții au fost și ei modelați cu elemente de tip bară.

În timpul analizei modale nu s‐a ținut cont de masa pilonului și a pilelor, deoarece au masă mare

în raport cu cea a tablierului și comportare de corp rigid alterând factorii de participare ai maselor.

Tablierul fiind modelat axial, comportarea modală nu surprinde moduri de torsiune. Fracțiunea

din amortizare critică este considerată ζ=0.005, datorită tablierului metalic.

În urma analizei modale se observă că al doilea mod de vibrație, care este vertical, vibrează liber

cu o frecvență de 1.81 [Hz] ce‐l face susceptibil la acțiunea verticală a pietonilor.

58

31.5

3

0.8

3

1

1.3

Fig. 7.1 Structura analizată HOB58V



Au fost efectuate analize pentru oameni, care se plimbă în grupuri de diferite dimensiuni.Pentru

a obține răspunsurile structurale din Fig. 7.2 au fost aplicate încărcări oscilatorii în mijlocul

deschiderii și au fost efectuate analize time‐history ce au fost rezolvate prin suprapunere modală,

iar valorile reprezintă valoarea maximă a răspunsului. Tab. 7.1 reprezintă răspunsul maxim în urma

unui flux de 0.6 pietoni/m2 modelat folosind normele menționate anterior.

Tab. 7.1 Accelerații maxime obținute în urma simulării unui flux de 0.6 p/m2 după diferite norme NORMA Accelerații maxime pentru un flux de 0.6 p/m2

ISO1037 4.19 BS EN 1991‐2 4.41 SETRA/AFGC 4.37

CEB FIB32 12.93

Așa cum s‐a precizat în capitolul 6 când a fost descrisă abordarea normelor, există o asemănare

în ceea ce privește modul în care sunt descrise grupurile de pietoni. Anume prin coeficienți care

determină numărul efectiv de pietoni, care merg în sincron. Această asemănare se reflectă și în

cazul normelor BS EN 1991‐2 și SETRA/AFGC. Norma ISO1037 și prescripția CEB fib32 depășind cu

un factor de de aproape 2 celelalte norme. Această diferență nemaifiind așa de mare în cazul

fluxului de pietoni prezentat în Tab. 7.1 decât pentru CEB fib32, care depășește răspunsul

celorlalte norme cu un factor de 3. În realitatea acest nivel de accelerații probabil că nu se poate

atinge deoarece pietonii se opresc când acestea devin insuportabile și nu mai pot înainta în condiții

normale.

7.2. Model numeric SUS153O

Structura analizată în acest subcapitol este un pod pietonal suspendat de 153 m, el este realizat

integral metalic cu prinderi sudate. Suprastructura este realizată din elemente tip țeavă la fel și

pilonii. Legătura pilonulor cu tablierul este realizată indirect prin intermediul tiranților,care fac

legătura cu cablurile suspendate. Tiranții sunt înclinați și sunt dispuși la 10 m distanță. Înclinarea

tiranțiilor are ca efect rigidizarea suplimentară a tablierului în plan. Structura tablierului și a

pilonilor este realizată pe sistem grindă cu zăbrele. Calea este realizată din dulapi metalici tip U. O

parte din proprietățile geometrice ale structurii sunt afișate în Fig. 7.3. Structura a fost analizată

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

1 2 3 4 5 6 7 8

BSEN ISO SETRA FIB

Fig. 7.2 Răspunsul structural HOB58V în mijlocul deschiderii

Număr de persoane în grup

Accelerația [m/s

2]



spațial în programul SAP2000 cu elemente uniaxiale de tip bară tablierul și pilonii, și cu elemente

de tip cablu tiranții și cablurile suspendate. Prinderea cablurilor principale în zona pilonului a fost

realizată cu ajutorul unor element de legătură tip link ale căror translații si rotații au fost blocate

mai puțin cele din lungul podului.

Analiza a pornit de la un caz de încărcare neliniar ce conține încărcările predominante pe structură,

apoi toate celelalte cazuri de încărcare au fost analizate liniar pornind de la sfârșitul cazului

neliniar. S‐a optat pentru o astfel de analiză datorită neliniarității cablurilor. Modurile de vibrație

au fost filtrate în funcție de relevanța lor față de acțiunea pietonilor în mișcare pe structură, astfel

au fost selectate numai modurile, care se apropie de frecvența pasulu pietonilor, interesante sunt

așadar modurile de vibrație verticale si transversale ale tablierului cu valori cuprinse în intervalele

0.75‐2.5 Hz. Modurile nu sunt bine separate și modul 2 are masele mobilizate în lateral, având o

frecvență de 0.796 Hz fiind considerat mai departe în analize. Structura are o greutate totală de

127.9 tone, factorul de participare al maselor de 0.38 duce la o masă de 48.602 kg mobilizată în

timpul modului 2 de vibrație. Interesant este deci de analizat în ce condiții structura iși pierde

stabilitatea în sens lateral. În sensul acesta au fost efectuate analize de tip time history unde

răspunsul este obținut prin suprapunerea modurilor de vibrație obținute în cazul de analiză

MODAL. Simulări cu Fast Nonlinear Analysis nu au dat rezultate diferite. Au fost considerate

acțiunile prezentate în capitolul 6, din care norma ISO1037 este eliminată din analize neavând un

model matematic prin care să se surprindă interacțiunea laterală. În timp ce ISO1037 nu este

calibrat pentru acest tip de analiză, BS EN 1991‐2 recomandă obținerea limitei de stabilitate ca un

raport dintre masa structurii şi masa pietonilor pe metru liniar și înmulțirea lui cu fracțiunea din

amortizarea critică. Se compară valoarea obţinută cu o limită de stabilitate. Iar SETRA/AFGC

recomandă încărcarea structurii cu acțiuni dinamice uniform distribuite echivalente, care apoi se

compară cu o accelerație limită de 0.1m/s2.

Tab. 7.2 Centralizarea răspunsurilor în ceea ce privește instabilitatea laterală

NORMA PIETONI Răspuns Calificativ

BSEN 1991‐2

1 3.5 Stabil

2 1.74 Stabil

4 0.87 Stabil

6 0.58 Stabil

8 0.43 Stabil

0.6 [p/m2] 0.01 Instabil

50m 153m 50m

34.15

6m

10 m

3.6 m

1.28 m

Fig. 7.3 Modelul analizat SUS153O

AMORTIZORI CU MASĂ ACORDATĂ


SETRA/AFGC

1 0.014 [m/s2] Stabil

2 0.019 [m/s2] Stabil

4 0.028 [m/s2] Stabil

6 0.034 [m/s2] Stabil

8 0.039 [m/s 2] Stabil

0.6 [p/m2] 0.141 [m/s2] Instabil

CEB fib32

1 0.063 [m/s2] Stabil

2 ‐ ‐

4 ‐ ‐

6 ‐ ‐

8‐15 0.190 [m/s2] Instabil

0.6 [p/m2] 2.651 [m/s2] Instabil

Analizând răspunsurile din Tab. 7.2 se poate observa o asemănare între rezultatele date de

SETRA/AFGC și de BS EN 1991‐2, care se disting însă de rezultatele obținute prin CEB fib32.

Numărul critic de pietoni în urma căruia se produce instabilitatea laterală dat de [DFF01] este 60

de persoane, valoare, care este în concordanță cu BS EN 1991‐2 și SETRA/AFGC .

8. AMORTIZORI CU MASĂ ACORDATĂ

Așa cum s‐a arătat în capitolele anterioare, dar și în [CRE11], oscilațiile induse de oameni pe

structurile de poduri pietonale pot afecta starea de serviciu a acestora depășind limitele de confort

ale pietonilor. Necesitatea de a limita oscilații excesive se extinde pe mai multe domenii, de la

construcții unde amplitudinile pot fi de ordinul metrilor la mecanica fină unde ele pot fi de ordinul

nanometrilor.

Amortizarea se poate obține pasiv prin amortizori vâscoși, elastomeri sau prin transferarea

energiei cinetice unor absorbitori dinamici de vibrații (amortizori cu masă acordată, amortizori cu

masă acordată cu lichid). Procedeul semi‐activ se referă la dispozitive pasive cu proprietăți

controlabile: amortizorul vâscos cu fluid magneto‐reologic. Controlul activ al vibrațiilor impune

folosirea unui set de senzori (care pot citi deformații, accelerații, viteze, eforturi), actuatori (de

forță, inerție, deformație) și a unui algoritm de control (feedback sau feedforward).

Sistemele de amortizare, care prezintă avantaje tehnico economice sunt cele pasive, cele mai

folosite în cazul podurilor pietonale pentru suprimarea vibrațiilor induse de oameni fiind

aborbitorii dinamici (AD), amortizorii cu masa acordata (TMD) si amortizorii vâscoși. Primele două

sisteme sunt eficiente în reducerea oscilațiilor pentru frecvența structurii pentru care au fost

calibrați, spectrul de utilizare poate fi însă lărgit prin introducerea amortizorilor activi sau

semiactivi. Amortizorii vâscoși nu sunt dependenți de frecvență ci sunt dependenți de viteză. Ei

sunt ineficienți în cazul vitezelor mici, deasemenea montarea acestora necesită două puncte de

prindere pentru a suprima mișcarea relativă între acestea, fapt ce le reduce plaja de utilizare.

Analize în acest sens au fost realizate pe un pod rutier complex în [ECR12] unde amortizori vâscoși

au fost folosiți pentru a limita deplasările iar principiul izolării bazei pentru a reduce efectul

seismului pe structură .

În continuare se va demonstra măsura în care oscilațiile structurale pot fi reduse prin intermediul

TMD. În acest sens realizându‐se diferite studii pe modelul HOB58V. Dispozitivele de tip AD sunt

AMORTIZORI CU MASĂ ACORDATĂ


discutate și analizate în [CRE11] unde au fost efectuate și studii comparative cu TMD, concluzia

fiind că TMD sunt mai eficienți. Diferența între AD și TMD rezidă în elementul de amortizare pe

care îl are TMD în plus față de AD, și este ilustrată în Fig. 8.1. Prin urmare AD funcționează numai

pe principiul antifazei (AD este în antifază cu oscilația structurală).

8.1. Principiul de funcționare

Forța indusă de TMD are 3 componente, dependente de accelerație, viteză și deplasare.

Pentru un anumit raport al maselor (masa modală a structurii și masa amortizorului) μ, J.P.

DenHartog a obținut relații pentru frecvența fopt și fracțiunea din amortizarea critică ζopt a

sistemului auxiliar, care duce la o comportare optimă a acestuia sub condiția de deplasare minimă

a structurii [Pet00]. Astfel amortizorul poate fi dimensionat în funcție de relația 8.1.

8.2. Studiu de caz pe modelul HOB58V

Așa cum s‐a arătat în subcapiolul 7.1 modelul HOB58V dezvoltă oscilații excesive sub acțiunea unui

flux de pietoni de 0.6 persoane/m2 așadar el este studiat în continuare cu scopul de a reduce

aceste oscilații. Modelul este ușor reconfigurat, astfel pentru analiza dinamică s‐a folosit de data

aceasta un raport al amortizării de ζ=0.02. Încărcările oscilante au fost aplicate conform BSEN

fopt=

1

1+μ, ζopt=

3μ

8(1+μ)3 8.1

‐2.5

‐1.5

‐0.5

0.5

1.5

2.5

0 10 20 30 40 50 60

Vârfuri de accelerații[m/s2]

Poziția secțiunii [m]

Flux 0.8 ‐ a_max Flux 0.8 ‐ a_min

0.01_Flux 0.8 ‐ a_max 0.01_Flux 0.8 ‐ a_min

0.055_Flux 0.8 ‐ a_max 0.055_Flux 0.8 ‐ a_min

Fig. 8.2 Vârfuri de accelerații în lungul structurii sub un flux de 0.4 persoane/m2 și aceste accelerații reduse de înfluența TMD pentru μ=0.01 și μ=0.05

mAD mT

kAD

ks cs

kT cT

ks cs

ms ms ys

YT

Fig. 8.1 Absorbitor dinamic (AD) și amortizor cu masă acordată (TMD)

CONCLUZII, CONTRIBUȚII ȘI DIRECȚII VIITOARE DE STUDIU


1991‐2 pentru fluxuri de 0.4 respectiv 0.8 persoane/m2, cu scopul de a vedea plaja de aplicație a

TMD‐urilor. În programul SAP2000 efectul amortizorului este introdus prin intermediul unei mase

atașate tablierului prin intermediul unui element de legătură tip link având proprietăți de

amortizare și rigiditate liniare.

Amortizorul a fost aplicat în punctul de maximă amplitudine al modului 1 de vibrație, considerat

în analiză. S‐a observat că frecvența optimă este un parametru mai important decât amortizarea

optimă pentru comportarea amortizorului [CRE12]. În Fig. 8.2 este ilustrată reducerea

accelerațiilor pe structură pentru cele de două densități de flux sub acțiunea TMD cu un raport al

maselor de 1% și 5%. Eficiența acestora nu este una proporțională cu masa amortizorului, idee

care este mai departe ilustrată în Fig. 8.3 Pentru care au fost efectuate analize pe 10 modele cu

mase ale amortizorilor ce variază între 1% ‐5% cu un increment de 0.5%.

Acest studiu este important deoarece masa amortizorului modifică, comportarea modală motiv

pentru care ea trebuie ținută la un minim. Deasemenea Fig. 8.3 ilustrază eficiența amortizorului în

raport cu masa acestuia și arată că acelerațiile nu descresc proporțional cu creșterea masei. Ceea

ce înseamnă că de la un anumit nivel creșterea masei este inutilă în reducerea răspunsului.

9. CONCLUZII, CONTRIBUȚII ȘI DIRECȚII VIITOARE DE STUDIU

9.1. Concluzii Principala concluzie a acestei lucrări este importanța acțiunii produse de pietoni atât în sens

vertical cât și în sens lateral. Modul în care această acțiune este modelată poate influența intr‐o

foarte mare măsură răspunsul structural. Având în vedere natura de proces aleator cu bandă

îngustă a mersului uman abordarea nu poate fi decât una probabilistă. Mersul uman împreună cu

parametrii care îl guvernează este descris în termeni de biomecanica mersului în capitolu 2.

Există însă și modele deterministe care modelează “brut” acțiunea în domeniul timpului, bazându‐

se pe medii, în ceea ce privește greutatea, de exemplu, și coeficienți Fourier ce modelează primele

armonici ale încărcării. Tot pe același principiu se modelează acțiunea atunci când oamenii

0.57 0.54 0.51 0.48 0.45 0.43 0.41 0.40 0.38 0.36

‐0.52 ‐0.49 ‐0.47 ‐0.45 ‐0.43 ‐0.41 ‐0.39 ‐0.37 ‐0.35 ‐0.34

0.80 0.76 0.72 0.68 0.64 0.61 0.59 0.56 0.54 0.51

‐0.73 ‐0.70 ‐0.67 ‐0.64 ‐0.61 ‐0.58 ‐0.55 ‐0.52 ‐0.50 ‐0.48

‐1.00

‐0.80

‐0.60

‐0.40

‐0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055

Vârfuri de accelerații[m

/s2]

Raportul maselor

Flux 0.4 ‐ a_max Flux_0.4 ‐ a_min Flux_0.8 ‐ a_max Flux_0.8 ‐ a_min

Fig. 8.3 Vârfuri de accelerații pentru diferite valori ale lui μ



desfășoară alte activități pe structură, cum ar fi joggingul, alergatul sau vandalismul, în aceste

situații magnitudinea încărcării este dată de coeficientul de impact kp, care poate mări greutatea

unui pieton cu un factor de 5. Aceste modele sunt eficiente atunci când se caută răspunsul produs

de o singură persoană pe structură, care în unele situații poate avea relevanță, dacă structura este

foarte ușoară, dacă traficul pietonal este foarte mic. O astfel de situație ar putea fi o pasarelă într‐

un parc industrial. În subcapitolul 2.4 au fost efectuate simulări pe modelul GSR58, o grindă simplu

rezemată modelată numeric în programul de calcul matematic MAPLE, care a fost supusă acțiunii

unor forțe mobile pulsante modelate determinist conform expresiilor din subcapitolul 2.3.Pe lângă

efectul unei persoane care merge sau aleargă, a fost simulat și un scenariu de trafic în care un flux

de 70 de persoane înaintează (mers și alergat) liber pe structură. Nu se poate ajunge la o concluzie

în acest capitol fără a compara rezultatele cu cele obținute în capitolul 3 unde s‐a realizat o

abordare probabilistică a acțiunii verticale induse de pietoni, în acest sens a fost folosit un model

dezvoltat de [ZPR07]. Care propune exprimarea acțiunii în funcție de primele 5 armonici și

subarmonici, modelul își propune să țină cont atât de varibilitatea mersului între diferiți pietoni

cât și de variabilitatea forței produsă de același pieton. Forța este inițial construită în domeniul

frecvențelor unde se ține cont de o lățime de bandă de 0.5·f în jurul armonicilor și subarmonicilor,

și apoi reconstruită în domeniul timpului sub prezumția că fazele sunt uniform distribuite în

intervalul [‐π,π]. Din acest motiv forța astfel reconstruită prezentată în Fig. 3.1 b) are și valori

negative în componența ei, și se poate intrepreta că pietonii participă atât la mărirea răspunsului

structural, cât și la diminuarea acestuia. Au fost efectuate simulări asemănătoare cu cele din

subcapitolul 2.4. dar cu acțiunea obținută prin modelul probabilist. Diferențele între răspunsurile

structurale modelate cu cele două tipuri de încărcări sunt considerabile. Din păcate răspunsurile

sunt exprimate în termeni de deplasări și viteze, accelerațiile neputând fi obținute când structura

este solicitată de foțe mobile pulsante. Acest lucru este a fost remediat considerându‐se forța

aplicată fix în mijlocul deschiderii. Astfel sunt generate 2000 de forțe care solicită pe rând mijlocul

deschiderii simulând comportarea unui pieton, însumând aceste forțe s‐au realizat simulări pentru

grupuri de 2,4,6,8 persoane cu câte 250 de repetări pe grup. Răspunsurile în accelerații sunt apoi

prelucrate statistic și reprezentate în termeni de probabilități de nedepășire. Aceste rezultate sunt

apoi comparate cu modelul determinist, unde acțiunea produsă de un pieton este multiplicată cu

numărul persoanelor din grup, diferența dintre vârfurile și valorile mediate RMS ale răspunsului

structural sunt expuse în Fig. 3.5 unde se observă diferența foarte mare între cele două metode,

care reprezintă marginile de sus și de jos ale acțiunii, care ar trebui să dimensioneze starea de

serviciu a structurii. Între aceste valori ar trebui să se situeze acțiunile propuse de norme, deoarece

atunci când pietonii se mișcă în grup ei pot merge cu frecvențe apropiate deci un anumit grad de

coordonare există în mișcare. Datorită înalțimii diferite pe care este probabil, ca ei să o aibă și deci

a lungimii piciorului, ei pot merge cu aceeași viteză dar pot avea frecvențe de pășire diferite.

Deasemenea într‐un grup de pietoni variază și greutatea corporală, anumite studii relevă că

coeficienții Fourier pot varia cu greutatea corporală, relații în acest sens nu există încă.

Mai departe este discutat traficul pietonal și modul în care oamenii înaintează în condiții de

aglomerare. Se deosebesc doi factori importanți care influențează viteza de înaintare într‐un flux

pietonal. Ea scade odată cu creșterea densității de trafic dar variază și în funcție de tipul de trafic,

care poate fi de timp liber, de oră de vârf sau de tranzit.



Interacțiunea laterală prezentată în subcapitolul 5.2 este o parte foarte importantă a acestei

lucrări, ea reprezintă partea cea mai dificilă în ceea ce privește înțelegerea mecanismului cât și al

modelării matematice. Importanța interacțiunii laterale pentru acest domeniu este mare,

deoarece ea stă la baza pierderii de stabilitate laterală a structurilor de poduri pietonale, un

exemplu major fiind Millenium Bridge. În literatură există două abordări care încearcă să cuantifice

fenomenul. Un model a fost dezvoltat pentru Millenium Bridge și este valabil pentru domeniul de

frecvențe laterale de 0.5‐1.0 Hz , și consideră că pietonii acționează ca niște amortizori negativi,

care sustrag energie structurii. Relația dezvoltată de [DFF01] exprimă numărul de pietoni care

produce instabilitatea structurii, fiind o relație dedusă, ea nu explică mecanismul care duce la

pierderea de stabilitate. Macdonald [Mac08] a dezvoltat în acest sens un model pornind de la

ideea că oamenii își mențin echilibrul corporal, în timpul mersului perturbat de oscilațiile căii, prin

poziția laterală a piciorului. Acest lucru este obținut prin intermediul unui pendul inversat (PI), care

exprimă în mod simplist mersul uman în plan frontal și este reprezentat în Fig. 5.1.

Mai multe simulări au fost realizate pe acest model în MAPLE unde au fost realizate studii

numerice pe ecuațiile de mișcare care guvernează sistemul cuplat PI‐structură. PI induce forțe la

nivelul căii prin mișcarea de oscilație a masei pietonului situată în centrul de greutate (CG). Poziția

piciorului este determintă prin intermediul unei legi de control, care ține cont de poziția și viteza

CG de la finalul pasului anterior. Legea de control este aplicată în funcție de frecvența de pășire,

dacă frecvența ia valori foarte mici, durata pașilor crește, și oscilația CG se mărește generând în

felul acesta o forță mai mare pe structură. Modelul este mai departe cuplat la un scenariu de

trafic unde se consideră o rată de sosire a pietonilor pe structură după o distribuție Poisson, și sunt

simulate diferite densități de trafic pietonal. Algoritmul de rezolvare este formulat în așa fel încât

atunci când se atinge o deplasare de 10 cm a structurii simularea să se oprească, considerându‐se

că instabilitatea s‐a produs deja, instabilitatea se produce defapt atunci când accelerații încep să

crească exponențial.

Pentru a crea o imagine de ansamblu, se studiază sumar normele și prescripțiile de proiectare în

capitolul 6, care apoi sunt exemplificate în capitolul 7 unde se face o comparație între ele, pe o

pasarelă hobanată (HOB58V) cu deschiderea de 58m și una suspendată de 153m deschidere

SUS153O. Pe modelul HOB58V se studiază acțiunile verticale și pe modelul SUS153O cele laterale,

aceste structuri au fost alese în acest sens deoarece prezintă susceptibilități la acest tip de acțiuni.

Concluzia principală acestor studii este că ele dau răspunsuri structurale diferite. Unele norme

sunt mai vechi și nu au fost aduse la zi cum ar fi ISO10137, care supraestimează răspunsul și nici

nu conține un model de calcul, care să prezică instabilitatea laterală. Răspunsurile obținute cu

prescripția CEB fib32 sunt foarte mari în comparație cu celelalte norme. Cea mai avansată normă

este anexa natională la BSEN 1991‐2, ea propune atât modele de forțe mobile pentru grupuri de

pietoni pentru care se dau viteze de mers cât și pentru oameni care aleargă. Deasmenea norma

are un model încoporat prin intermediul căruia se poate prezice instabilitatea laterală. O altă

normă comparabilă cu BSEN 1991‐2 este cea elaborată de SETRA/AFGC răspunsurile obținute sunt

similare cu BSEN 1991‐2, dar modul în care ele sunt aplicate pe structură este mai simplu. Această

normă are și ea o metodă prin care se pot obține informații despre instabilitatea laterală, de data

aceasta prin limita de 0.1 m/s2 a accelerației pe care o produce încărcarea laterală.



Comparația este dusă mai departe în acest capitol și se compară modelele discutate în capitolul 2

și 5 cu răspunsurile date de norme.

Pentru a putea aplica încărcările generate de modelul probabilistic, pe o structură reală se scrie o

rutină în MAPLE, care generează în funcție de deschiderea și de lățimea structurii precum și de

densitatea traficului pietonal, date despre fiecare pieton care se află pe structură, în fișiere .txt.

Astfel pe lângă forța indusă de fiecare pieton mai sunt generate date despre durata parcurgerii

structurii, viteza de înaintare, rata de sosire a pietonilor, durata forței este identică cu durata

parcurgerii. Aceste fișiere sunt apoi încărcate în programul SAP2000 unde sunt aplicate pe

structură. Pentru această comparație forțele sunt aplicate fix în mijlocul deschiderii modelului

HOB58V. Se generează astfel 2000 de forțe, care se aplică pe structură, răspunsurile sunt apoi

suprapuse liniar pentru a obține efectul grupurilor de pietoni, care s‐au considerat ca și înainte

1,2,4,6,8 cu 2000 respectiv 250 de reptări. Răspunsurile au fost vizualizate sub forma

histogramelor, după care s‐au realizat înfășurători după distribuții log‐normale conform, Fig. 9.1

a), aceste date sunt reprezentate apoi sub forma unor funcții cu distribuție cumulativă Fig. 9.1 b)

pentru a vizualiza probabilitatea de nedepășire a accelerațiilor. Din start se poate spune că deși

acest mod de abordare este mai complicat, rezultatele,care se obțin au un conținut mult mai mare

de informație și pot da un grad de încredere mult mai mare atunci când se dorește alegerea unei

soluții.

Rezultatele ilustrate în Fig. 9.2 sunt comparabile cu cele generate de norme și prescripții, dar se

pare că depășesc valorile așteptate pentru grupuri mai mari de 4 persoane, acest lucru este însă

relevant având în vedere că efectul de grup a fost obținut prin suprapunerea liniară a răspunsului

și că forța a fost aplicată fix.

Fig. 9.1 a) Histograma valorilor și distribuția lognormală înfășurătoare pentru un grup de 8 persoane

modelate probabilistic pe structura HOB5V și b) Probabilitatae de nedepășire pentru grupuri de 1‐8 persoane

a) b) Accelerația verticalăm/s2

Probabilitateadenedep

ășire

gr.8

gr.6

gr.4

gr.2

gr.1

Densitateadeprobabilitate



În ceea ce privește interacțiunea laterală modelul dezvoltat în capitolul 5 dă rezultate așteptate și

apropiate de cele din norme. Pentru modelul SUS153O se consideră că modul de vibrație lateral,

sensibil la acțiunea laterală a pietonilor este uniform și sinusoidal, cu această înformație precum

și cu frecvența modului și masa modală a acestuia se intră în program unde se caută densitatea de

pietoni sub care se pierde stabilitatea structurii. Inițial este simulată acțiunea a 8 PI ce înaintează

pe structură și se poate vedea în Fig. 9.3a) că nivelul accelerațiilor este unul scăzut și valoarea de

0.02 m/s2 este comparabilă cu cea obținută prin SETRA/AFGC de 0.039 m/s2 pentru același număr

de pietoni ilustrată și în Tab. 7.2. Este de așteptat ca accelerațiile să fie mai mici decât cele

modelate prin norme deoarece PI au proprietăți diferite și forța pe care o induc structurii este în

funcție de amplitudinea oscilației structurii, și unii PI vor fi in poziții unde amplitudinea este mai

mare alții acolo unde ea este mai mică. Valorile date de BSEN 1991‐2 sunt la limita stabilității. Mai

departe se calculează numărul critic de pietoni stabilit de ARUP, care în acest caz este 60, și se

traduce printr‐o densitate de 0.11 persoane/m2 , modelul cu PI produce o accelerație de 0.15 m/s2,

care se traduce printr‐un început de instabilitate. Spre deosebire de Fig. 9.3 b) unde instabilitatea

pentru un flux de de 0.4 pietoni/m2 s‐a produs deja după aproximativ 70 s. Se poate astfel vedea

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

1 2 3 4 5 6 7 8BSEN ISO SETRA FIB Probab Medie

Fig. 9.2 Valori de vârf sau medii răspunsului în accelerații pe modelul HOB58V sub acțiunea grupurilor de pietoni

Număr de pietoni

Accelerații [m/s

2]

Fig. 9.3 Accelerația indusă pe modelul SUS153O de a) 8 pietoni și b) de un flux de 0.4 pietoni/m2

a) b)t [s] t [s]

Accelerații [m

/s2]



cum diferite abordări ale acțiunii induse de pietoni dau răspunsuri structurale diferite, care la

rândul lor pot duce la concluzia că este necesară echiparea structurii cu amortizori ceea ce

înseamnă un cost suplimentar posibil nenecesar. Deasemenea introducerea amortizorilor cu masă

acordată, tratați în capitolul 8 ,înseamnă un supliment de masă pe structură și implicit de spațiu,

care de multe ori este restrâns în cazul structurilor ușoare. Folosirea amortizorilor cu masă

acordată este una benefică. Eficiența amortizorilor depinde de raportul maselor ales care în cazul

podurilor pietonale nu ar trebui să depășească 8%, și de frecvența optimă pentru masa

amortizorului aleasă. Reducerea răspunsului nu este proporțională cu creșterea masei

amortizorului.

9.2. Contribuții personale Tendința structurilor de poduri pietonale este de a deveni mai ușoare și mai zvelte, proprietățile

privind comportarea dinamică a structurilor este decisivă pentru starea de serviciu a acestora.

Indisolubil legate de răspunsul structural sunt acțiunile dinamice. Aceste două teme acțiune și

răspuns au fost abordate matematic în lucrare. Modelarea acțiunilor în termeni de modelare

probabilistică, în ceea ce privește acțiunea verticală și interacțiunea laterală, este abordată în

termeni de biomecanica mersului. Deasemenea se analizează modificarea răspunsului structural

prin introducerea amortizorilor cu masă acorată.

Analizele efectuate sunt actuale atât prin tematică, cât și prin abordarea matematică. Iar această

lucrarea aduce contribuții în domeniul discutat atât din punct de vedere informațional cât și din

punct de vedere practic. Principalele contribuții personale sunt:

Descriere a locomoției umane și a parametrilor care influențează mersul. Sunt explicați o

serie de termeni, care nu sunt proprii domeniului construcțiilor, ei fiind preluați din domeniul

biomecanicii mersului dând astfel un caracater multidisciplinar lucrării.

Modelare forțelor pentru a face posibilă exprimarea lor ca forțe mobile. Unele relații, cum

sunt cele care modelează acțiunea oamenilor care sar sau alergă sunt exprimate în literatură

prin relații care modelează un singur salt, reformularea acestora a fost necesară și a fost

realizată în mod original.

Modelarea interacțiunii laterale a fost realizată într‐un mod original, prin care în aplicarea

legii de control au fost întroduse evenimente în algoritmul de rezolvare al ecuațiilor

diferențiale.

Cuplarea tuturor modelelor la scenarii de trafic unde s‐a ținut cont de tipul de trafic și de

densitatea fluxului de pietoni pentru a modela viteza de înaintare a acestora, precum și

frecvența de pășire. S‐a ținut cont și de rata de sosire a pietonilor pe structură, prin

intermediul unor defazaje care întarzie intrarea acestora pe structură.

Realizarea unui program care generează funcții de forțe aleatoare cu care se poate încărca

orice tip de structură, programul generând forțele în raport cu durata de parcurgere a

structurii. Greutățile pietonilor sunt generate după distribuții normale și rata de sosire după

o distribuție Poisson.

Concluziile la care se ajunge în ceea ce privește normele sunt deasemenea importante

pentru că acestea indică normele mai ușor de aplicat și mai precise în obținerea răspunsului

structural

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ


Analiza parametrică prin studii de caz specifice cu scopul de observa raportul masă‐

structură/masă‐amortizor cu care un amortizor devine sau nu mai eficient în diminuarea

răspunsului structural, odată cu creșterea masei acestuia.

Dezvoltarea a patru programe originale scrise în limbajul simbolic MAPLE destinate analizei

dinamice specifice interacțiunii pieton structură.

9.3. Direcții viitoare de studiu Studiile realizate în această lucrare nu sunt decât o introducere în domeniu, toate modelele

realizate pot fi îmbunătățite. Cel mai sensibil aspect ar fi modelul de trafic, care poate fi modificat

prin introducerea așa numitor forțe sociale prin care pietonii interacționează între ei și își modifică

viteza de mers și frecvența în funcție de persoanele care participă la trafic. Acest model ar putea

fi abordat cu modele de curgere granulară din mecanica fluidelor.

Modelul de grindă simplu rezemată realizat în Maple nu poate momentan să producă accelerații

structurale din forțe mobile.

Modelul cu pendul inversat poate fi perfecționat în continuare, se pot introduce decalaje în timp,

care să întârzie momentul în care pietonii pășesc simulând astfel un mers perturbat, acest lucru

se poate obține modificând legea de control sau modificând artificial frecvența de mers după o

anumită distribuție.Interacțiunea verticală, care a fost abordată doar informativ în lucrare, poate

fi modelată similar interacțiunii laterale, sau se poate crea un model tridimensional cu inspirații

din robotică, care să cuprindă și comportarea laterală.

În ceea ce înseamnă modificarea răspunsului structural prezintă interes sistemele de amortizare

active, o lucrare de referință și foarte inspirantă în acest domeniu este [Ble11] unde răspunsul

structural al unei pasarele cu structură catenară este redus prin intermediul unor “mușchi bionici”

activi .Deasemenea trebuie studiată modelarea forțelor mobile pulsante în programele de

element finit.


[BA87] 1 Bachmann, H. ; Amman, W.: Schwingungsprobleme bei Bauwerken,

Durch Menschen und Maschinen induzierte Schwingungen, Structural

Engineering Documents, IABSE, Zürich, 1987

[Ble11] 2 A. Bleicher, Aktive Schwingungskontroll einer Spannbandbrücke mit pneumatischen

Aktuatoren, teză doctorat, 2011

[BMB12] 3 M. Bocian, J.H.G. Macdonald, J. Burn, Biomechanically inspired modelling of pedestrian‐

induced forces on laterally oscillating structures, Journal of Sound and Vibration 331, 3914‐

3929, 2012

[BMB11] 4 M. Bocian, J.H.G. Macdonald, J. Burn, Modelling of self‐excited vertical forces on structures

due to walking pedestrians, EURODYN 2011, 1110‐1118, 2011

[BPO04] 5 J.M.W. Browjohn, A. Pavic, P. Omezetter, A spectral density approach for modeling

continuous vertical forces on pedestrian structures due to walking, Canadian Journal of

Civil Engineering 31, 2004, 65‐77.

[COH11] 6 S.P. Caroll, J. S. Owen, M. F.M Hussein, Crowd‐bridge interaction by combining

biomechanical and discrete element models, Proccedings of the 8th international

Conference on Structural Dynamics, EURODYN 2011, 1048‐1055, 2011



[CRE11] 7 D. Crețu, I.R. Răcănel, A. Ercuși, Devices used to limit the human induced vibrations on

footbridges, fib symposium Prague 2011, 2011

[CRE12] 8 D. Crețu, I.R. Răcănel, A. Ercuși, Passive control devices used to improve the dynamic

response of a footbridge, EACS, 5th ed, 2012

[DFF01] 9 P. Dallard, A.J. Fitzpatrick, A. Flint, S. Le Bourva, A. Low, R.M. Ridsdill Smith,

M. Willford, The London Millenium Footbridge, The Structural Engineer, 79, 17‐

33, 2001

[ECR12] 10 A. Ercuși, I.R. Răcănel, D. Crețu, Improvement of the dynamic response oa concrete bridge

using special bearings and passive control devices, 15WCEE, 2012

[Ing11] 11 E.T. Ingolfson, Pedestrian‐induced lateral vibrations of footbridges‐ Experimental studies

and probabilistic modelling, Phd, thesis, 2011

[Mac08] 12 J.H.G. Macdonald, Lateral excitation bridges by balancing pedestrians, Proceedings of the

Royal Society A, 2008

[Pet00] 13 Ch. Petersen, Dynamik der Baukonstruktionen, 2000

[QLY13] 14 J.W. Qin, S.S. Law, Q.S. Yang, N. Yang, Pedestrian‐bridge dynamic interaction, including

human participation, Journal of Sound and Vibration 332, 1107‐1124, 2013

[Sbe87] 15 T. Sbenghe, Kinetologie profilactică, terapeutică şi de recuperare, 1987

[VB09] 16 F. Venuti, L. Bruno, Croed‐structure interaction in lively footbridges under synchronous

lateral excitation: A literature review, Physics of Life Reviews, 176‐206, 2009

[Whi07] 17 M.W. Whittle, Gait analysis, 4 ed.

[ZPR07] 18 S. Zivanovic, A. Pavic, P. Reynolds, Probability‐based prediction of multi‐mode vibration

response to walking excitation, Engineering Structures, Vol. 29, 942‐954