ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL GCH2120 – DYNAMIQUES DES SYSTEMES DÉPARTEMENT DE GÉNIE CHIMIQUE EXAMEN FINAL – AUTOMNE 2011
Date: Lundi, le 19 déc. 2011 Heure: 13h30-‐16h00 Documentation : Toute Calculatrice : Toute
Répondez aux questions 1-‐4 dans le cahier d’examen et le QCM sur le questionnaire, et remettez.
1. Refroidisseur de grand-‐mères
La manière la plus simple de refroidir un liquide chaud est de le transvaser dans un contenant plus grand. Vous voulez mettre cette idée en œuvre dans le domaine du génie chimique en construisant un grand réservoir à volume constant, réservoir tampon, pour les besoins de refroidissement, comme le montre la figure ci-‐dessous.
Tin [°C] est la température d’entrée, Tout [°C] est la température de sortie, Tamb = 20 [°C] est la température ambiante, Fin = 10 [L/h] le flux d’entrée, Cp = 4 [kJ/kg/°C] est la chaleur spécifique, ρ = 1 [kg/L] est la densité, U = 40 [kJ/dm2/°C/h] est le coefficient d’échange de chaleur, A = 10 [dm2] est l’air de la surface d’échange et V = 10 [L] est le volume du réservoir. Calculer la fonction de transfert entre la température d’entrée et de sortie du réacteur
2. Dimensionnement d’un réservoir tampon
On vous demandé de dimensionner un réservoir tampon pour réduire les fluctuation (supposées sinusoïdales) du débit d’entrée de ±10% de sa valeur nominale à ±1% de sa valeur nominale. Une entrée typique peut être décrite par Fin(t) = 1 + 0.1 cos(10 t) [L/h]. La fonction de
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transfert d’un réservoir est 𝐺 𝑠 = !
!! !!!
, où V est le volume du réservoir et F le flux
nominal. Que devrait être le volume du réservoir atteindre la réduction désirée ?
3. Systèmes interconnectés (5 pts) Le schéma reproduit ci-‐dessous décrit un ensemble de sous-‐systèmes. Les matrices de chacun d’eux sont données:
A1 = -‐3, A2 = -‐2, A3 = -‐1, B1 = 1, B2 = -‐1, B3 = 1, C1 = 2, C2 = 1, C3 = 1, D1 = 1, D2 = -‐1, D3 = 1.
a. Calculez les matrices A,B,C,D du système global (2.5 pts) b. Calculez la fonction de transfert globale (forme numérateur sur dénominateur) (2.5 pts)
4. Contrôle d’un réacteur (2 pts) Dans un réacteur, la fonction de transfert entre la chaleur fournie et la température a l’intérieur
de réacteur est donnée par 𝐺 𝑠 = !"(!!!)!!!.!!
!!! (!!!!). Calculez le contrôleur PI, en faisant une
approximation appropriée.
5. Questions à choix multiples (10 X 0.5 = 5 pts)
a. On vous demande de modéliser « the entire plant » avec 3 réacteur avec leurs chemises chauffantes et 6 réacteurs. Combien de sous-‐systèmes considérerez-‐vous ?
i. 9
ii. 12
iii. 15
iv. 18
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b. Dans une fission nucléaire, la réaction utilisée est U235 + n (neutron) = Kr92 + Ba141 + 3 n.
Combien de bilans massiques/molaires peuvent être écrits ?
i. 2
ii. 3
iii. 4
iv. Les bilans massiques/molaires ne peuvent pas être écrits dans le cas de réactions nucléaires-‐ pas de conservation.
c. Un modèle à 6 états, 4 entrées et 3 sorties. Il est linéarisé pour donner : !∆!!"
= 𝐴 ∆𝑥 + 𝐵 ∆𝑢 et ∆𝑦 = 𝐶 ∆𝑥 + 𝐷 ∆𝑢. Quelle serait la dimension de la matrice D ? i. 6 X 4
ii. 3 X 4
iii. 3 X 6
iv. 4 X 3
d. Considérez le système, !"!"= 𝑥 − 𝑥!, qui a 2 point d’équilibre x = 0 et x = 1. Commentez
la stabilité de ce système aux deux points d’équilibre. i. Le système est stable aux deux points d’équilibre
ii. x = 0 est stable tandis que x = 1 est instable
iii. x = 0 est instable tandis que x = 1 est stable
iv. Le système est instable aux deux points d’équilibre
e. On obtient la fonction de transfert suivante: 𝐺 𝑠 = !!!!!
!!!. Que valent le gain, la
constante de temps et le retard ?
i. Gain = 5, constante de temps = 5 sec, retard = 2 sec.
ii. Gain = 1, constante de temps = 1 sec, retard = 1/2 sec.
iii. Gain = 1, constante de temps = 1/5 sec, retard = 2 sec.
iv. Gain = 5, constante de temps = 1/5 sec, retard = 1/2 sec.
f. Parmi les réponses suivantes, laquelle fournira une réponse inverse :
i. Tous les coefficients du numérateur la fonction de transfert sont positifs ii. Tous les coefficients du numérateur la fonction de transfert sont négatifs iii. Tous les coefficients du numérateur la fonction de transfert sont de signes
différents iv. Les zéros de la fonction de transfert sont à gauche de l’axe imaginaire
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g. Soit 𝐺 𝑠 = (!!!!!)
!²!!"!!! la fonction de tranfert d’un système. Commentez sur le type de
réponse suite à un échelon. i. Non-‐oscillatoire, pas de réponse inverse
ii. Oscillatoire, pas de réponse inverse
iii. Non-‐oscillatoire, réponse inverse
iv. Oscillatoire, réponse inverse
h. Un échelon d’amplitude 1 (Δu = 1) est donné à un système ayant la fonction de transfert 𝐺 𝑠 = (!!!!)
(!!!). Calculer la pente initiale et le saut de la réponse.
i. ∞ et 2
ii. 2 et 1
iii. 1 et 2
iv. On ne peut pas le calculer
i. La fonction de transfert entre la température d’un réacteur et le température d’entrée
est donnée par 𝐺 𝑠 = !!"!" !!! (!!!!!!)
. On vous demande de concevoir un contrôleur
sans erreur au régime permanant. Quel type de contrôleur utiliserez-‐vous ?
i. P
ii. PI
iii. PID
iv. Pas de besoin d’utiliser un contrôleur.
j. On vous demande de contrôler le niveau d’un réservoir en manipulant le débit de sortie. Le débit entrant est constant. Quel type de contrôleur utiliseriez-‐vous?
i. Contrôleur P avec un gain positif.
ii. Contrôleur P avec un gain négatif.
iii. Contrôleur PI avec un gain positif.
iv. Contrôleur PI avec un gain négatif.
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Solution #1:
d(rho V)/dt = rho Fin – rho Fout = 0
d(rho V cp Tout)/dt = Fin rho cp (Tin – Tout) – UA (Tout-‐Tamb)
dToutdt = Fin/V *(Tin – Tout) – UA/(V rho cp) * (Tout – Tamb)
A = -‐ Fin/V – UA/(V rho cp), B = Fin/V, C = 1, D = 0
G(s) = (Fin/V) / (s + Fin/V+UA/(V rho cp)) = 1/(s+11)
Solution #2:
G(s=10i) = 1/(1+10Vi), Amp = 1/sqrt(100*V^2+1) = 1/10, V =1 [L]
Solution #3:
A = [A1 0 0; 0 A2 0; C1*B3 C2*B3 A3] = [-‐1 0 0; 0 -‐2 0; 1 -‐1 -‐2]
B = [B1; B2; (D1+D2)*B3] = [1; -‐1; 0]
C = [D3*C1 D3*C2 C3] = [2 1 1]
D = D3*(D1+D2) = 0
G1 = (s+5)/(s+3), G2 = -‐(s+3)/(s+2)
G3 = (s+1)/(s+2), Gtotal = 1/(s+3)
Solution #4:
Gapp(s) = -‐2 e^-‐2s/(5s+1) C(s) = (5s+1)/(2 *(lambda+2)*s) = (5s+1)/5s pour lambda = 0.5