República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Núcleo Caracas
Curso de Inducción Universitaria CIU
Cátedra: Razonamiento Matemático
PRODUCTOS NOTABLES GUIA CIU NRO: 6
COMISIÓN DE APOYO DE RAZONAMIENTO MATEMATICO
INTEGRANTES: Ing. Beliana Gómez
Ing. Elvia Moreno Ing. Mixef Rojas
Lic. Teresa Gómez Prof. Neida González
Productos Notables 2
En matemáticas existen productos de expresiones algebraicas que dadas sus
especiales características, se les ha desarrollado fórmulas de solución directa. Tales
productos son conocidos como “productos notables” y son herramientas
fundamentales al momento de factorizar (siguiente capítulo). Son tan importantes que
en el transcurso de cualquier carrera y en cursos avanzados, se presentan productos
notables en muchas situaciones prácticas y en la solución de ejercicios.
Vamos a estudiar estos productos notables con algunos ejemplos, pero el solo estudio
no brindará el dominio necesario, ¡¡¡¡ tienen que practicar y ejercitarse !!!!
Caso 1.- Binomio al cuadrado:
Es un producto de la forma ( )2ba ±
a.) Si los términos se suman.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 222
22
22
2
2
2
bababa
baba
bbaabababa
bababa
++=+
++=
+++=++
++=+
Aplicando la propiedad distributiva a la última expresión :
Recuerde que ab = ba
b.) Si los términos se restan.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 222
22
22
2
2
2
bababa
bababbaabababa
bababa
+−=−
+−=
+−−=−−
−−=−
Aplicando la propiedad distributiva a la última expresión:
Recuerde que ab = ba
Podemos concluir que: ( ) 222 2 bababa +±=±
El desarrollo de un binomio elevado al cuadrado resulta un Trinomio
Cuadrado Perfecto. Dicho desarrollo del binomio es:
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Productos Notables 3
El primer término (a) al cuadrado: a2
el doble producto del primer término por el segundo: 2ab ±
El segundo término (b) al cuadrado: b2
Donde el segundo término del trinomio lleva el signo del segundo término del
binomio. Además, el primer y tercer términos del trinomio siempre son positivos.
ERROR COMUN:
lo correcto es ( ) 255 22 +=+ xx ( ) 25105 22 ++=+ xxx
( ) 93 22 −=− yy lo correcto es ( ) 963 22 +−=− yyy
Evite confusiones y analice muy bien los siguientes ejemplos.
Ej. 1.Desarrolle ( )28+x
Solución:
Identificamos los términos del polinomio
x es el primer término
8 es el segundo término
Aplicamos la fórmula para un binomio al cuadrado ( ) 222 2 bababa ++=+
El primero al cuadrado + dos veces el primero por el segundo + el segundo al cuadrado.
( )6416
)8()8()(282
222
++=
++=+
xxxxx
Ej. 2.Desarrolle ( )24−m
Solución:
Identificamos los términos del polinomio
m es el primer término , 4 es el segundo término
Aplicamos la fórmula para un binomio al cuadrado ( ) 222 2 bababa +−=−
El primero al cuadrado - dos veces el primero por el segundo + el segundo al cuadrado.
( )168
)4()4()(242
222
+−=
+−=−
mmmmm
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Productos Notables 4
ERROR COMUN:
( ) 222 4424 )()()m(mm +−−=− La solución correcta es la
que se dá en el ejemplo
.
Ej. 3.Desarrolle ( )224 −x
Solución:
Identificamos los términos del polinomio
4x es el primer término, 2 es el segundo término
Aplicamos la fórmula para un binomio al cuadrado ( ) 222 2 bababa +−=−
( ) ( )
416162242424
2
222
+−=
+−=−
xx)()()x(xx
Ej. 4.Desarrolle ( )22 32 xx −
Solución:
Identificamos los términos del polinomio 22x es el primer término, 3x es el segundo término
Aplicamos la fórmula para un binomio al cuadrado ( ) 222 2 bababa +−=−
( ) ( ) ( )( ) ( )234
222222
91243322232
xxxxxxxxx
+−=
+−=−
Ej. 5.Desarrolle ( )223 +− x
Solución:
Recuerde que al elevar (4x)2 hay que al elevar al cuadrado ambos factores, por eso resulta 16x2.
Este signo está repetido pues ya fue considerado en el desarrollo: -2m(4) ( ) 1684 22 ++=− mmm
Recuerde la operación Potencia de una Potencia,
( ) 422 xx = , se coloca la misma base y se multiplican
los exponentes
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Productos Notables 5
Es preferible colocar el término positivo primero para evitar confusiones, es decir se
aplica la propiedad conmutativa de la suma.
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (
2
222
22
91243322232
3223
xxxxx
xx
+−=
+−=−
−=+−
)
Ej. 6.Desarrolle 2
41
21
⎟⎠⎞
⎜⎛ ⎝
+− x
Solución:
2
222
22
41
41
161
21
21
412
41
21
41
21
41
41
21
xx
xxx
xx
+−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
Recuerde que al elevar una fracción al cuadrado se eleva numerador y denominador a la misma potencia
Ej. 7.Desarrolle ( ) 254 x−−
Solución:
Observe que ambos términos son negativos. En la próxima sección se estudia la
factorización y comprenderá que al factorizar por (-1), podemos transformar la
expresión. De momento es importante saber que ante una situación como ésta, resulta
práctica y matemáticamente correcta la siguiente igualdad:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )22222 5454154154 xxxx +=+⋅−=+⋅−=−−
Ambos términos han cambiado de signo sin alterar el valor del resultado, sólo
porque el exponente es par.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 2540165542454 xxxxx ++=+⋅⋅+=+
Respuesta: ( ) ( ) 222 2540165454 xxxx ++=+=−−
Otra solución es (-4- 5x)2 = (-4)2 - (-4).5x + (-5x)2 = 16 + 20x + 25x2, recuerde
que el primer término es -4 y el segundo es -5x. Al aplicar la fórmula, no se escribe
el signo del segundo término del trinomio ya que ésta lo que considera previamente.
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Productos Notables 6
Caso 2.- Producto de dos binomios con un término común:
Es un producto de la forma ( )( )bxax ++ donde el término común (en este caso) es
x.
Al desarrollar este producto aplicando la propiedad distributiva, tenemos:
( )
abbaxx
abxbxax
abaxxbxbxax
+++=
+++=
+++=+⋅+
)(
)(
2
2
2
Es decir:
( ) abbaxxbxax ++⋅+=+⋅+ )()( 2
El cuadrado del término común (x2) + el producto del término común (x) por
la suma algebraica de los no comunes (a+b) + el producto de los términos no
comunes (ab).
Ej. 8.Desarrolle ( )( 31 +− xx )Solución:
El término común es x, términos no comunes –1 y 3
( )( ) ( )( )
32
31)31(312
2
−+=
−++−+=+−
xx
xxxx
Ej. 9.Desarrolle ( )( 7242 )−− xx
Solución:
El término común es 2x, términos no comunes –4 y -7
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
28224
282114
7427427242
2
2
2
+−=
+−+=
−−+−−+=−−
xx
xx
xxxx
Ej. 10.Desarrolle ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜ ⎝
⎛−
43
321
3
22 xx
Solución:
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Productos Notables 7
El término común es 3
2x , términos no comunes 43
21 y−
83
129
83
341
9
83
3432
9
43
21
343
21
343
321
3
24
24
24
22222
−+=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
xx
xx
xx
xxxx
Ej. 11.Desarrolle ( ) ( )3232 2232 yxyyxy +−
Solución:
El término común es 2xy2, términos no comunes –3y3 y 2y3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
6542
62342
33233223232
624624
2322322232
yxyyxyxyyyx
yyxyyyxyyxyyxy
−−=
−+−+=
−++−+=+−
Ej. 12.Desarrolle ( ) ( )xyyx 2532 ++
Solución:
El término común es 2x, términos no comunes 3y y 5y
Note que en este caso el término común no aparece como primer término de
ambos binomios. Es posible ordenar antes de efectuar el desarrollo.
( ) ( ) [ ] )5)(3(253)2(5232 2 yyxyyxyxyx +++=++
= 22 15164 yxyx ++
¿Qué pasa cuándo los términos no comunes sólo difieren en el signo? Pues bien, se
nos presenta el caso de producto notable conocido como suma por diferencia de
binomios. El cual será desarrollado más adelante.
Ej. 13.Desarrolle ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +− 3
31
82
31 baba yxyx
Solución:
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Productos Notables 8
Estos términos se agrupan para aplicar la regla Los términos comunes son ba yx −
31 ,
Términos no comunes 82 y 3
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +− 3
31
82
31 baba yxyx = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − 3
82
313
82
31 2
baba yxyx
= 86
31
826
312
91 22 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⋅− babbaa yxyyxx
86
826
2426
32
91 22 +−++−= babbaa yxyyxx
43
413
1213
32
91 22 +−++−= babbaa yxyyxx Se simplifican las fracciones
Caso 3.- Suma por diferencia de Binomios:
Es un producto de la forma ( ) ( )baba −⋅+
Observe que el término común está representado por “a” y los términos no comunes
son los mismos pero de signo contrario. Aplicamos el método del apartado anterior y
obtenemos:
( )( ) ( ) ( )( )bbbbaababa −+−+=−+ 2
22 ba −=
Es decir:
( ) ( ) 22 bababa −=−⋅+
El producto de la suma por la diferencia es una diferencia de cuadrados. Su desarrollo
es el término común al cuadrado menos el término no común al cuadrado.
Veamos algunos ejemplos:
Ej. 14.Desarrolle ( ) ( 22 )+− xx
Solución:
( ) ( ) 22 )2()(22 −=+− xxx
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Productos Notables 9
42 −= x
No tiene importancia cual factor va primero, la suma o la diferencia, ya que el
producto cumple con la propiedad conmutativa, es decir:
( ) ( ) )2()2(22 −+=+− xxxx
Ej. 15.Desarrolle ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
432
432 xx
Solución:
( )1694
432
432
432 2
22 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + xxxx
Ej. 16.Desarrolle ( ) ( )baba 2323 +−⋅−−
Solución:
( ) ( ) ( ) ( 22 232323 bababa −−=+−⋅−− )
3
22 49 ba −=
Note que el término común es ( )a− y los no comunes (-2b) y (2b) sólo difieren en
el signo.
Ej. 17.Desarrolle ( ) )34(43 xx −⋅−
Solución:
En este caso, notamos que los términos de los binomios (3x) y (4) tienen
signos contrarios, es decir no existen términos comunes, por lo tanto no podemos
aplicar la regla de Suma Por Diferencia, este ejemplo podemos tratarlo de la siguiente
manera: Se aplica la propiedad distributiva
Reducción de términos semejantes.
( ) ( ) xxxxx 12169123443 2 +−−=−⋅−
16249 2 −+−= xx
Ej. 18.Desarrolle ( ) )42(42 4343 yxxyyxxy ++⋅−+
Solución:
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Curso de Inducción Universitaria
Productos Notables 10
En este caso notamos que los términos que convienen seleccionar para aplicar el
producto de suma por diferencia son: y yx. Entonces lo tratamos de la
siguiente manera:
42 43 +xy
( ) )42(42 4343 yxxyyxxy ++⋅−+
( ) 2243 )(42 yxxy −+=
224386 16164 xyxyxy −++=
Ordenando queda: ( ) )42(42 4343 yxxyyxxy ++⋅−+ 16164 224386 +−+= xyxyxy
Caso 4.- Binomio al cubo:
Es una expresión de la forma , vamos a estudiar los casos por separados: ( 3ba ± )
Caso 4. A. ( )3ba +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
322223
22
2
3
22
2
bababbabaavadistributipropiedadlaAplicando
bababababa
babababa
+++++=
+++=
++=
+++=+
io al cuadrado
y agrupando términos semejantes tenemos:
( ) 32233 33 babbaaba +++=+
Aplicamos la fórmula para el binom
Es decir,
el cubo del 1er término + 3 veces el cuadrado del 1er. término por el 2do. término + 3 veces el 1er. término por el cuadrado del 2do. término + el cubo del 2do. término
Observe:
Los dos términos centrales tienen como factor 3. h
h
h
Término a término, a va descendiendo de grado: 3,2,1 y 0.
Término a término, b va ascendiendo de grado: 0,1,2,3.
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Curso de Inducción Universitaria
Productos Notables 11
Ej. 19.Desarrolle ( )32+x
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
8126
8436
223232
23
23
32233
+++=
+++=
+++=+
xxx
xxx
xxxx
Caso 4. B. ( )3ba −
( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )322223
2223
22
2
3
2222
2
bababbabaabbabbabaabbaa
vadistributipropiedadlaAplicandobababa
baba
babababa
−++−−=
−++−−+−+−+=
−+−=
−−=
−−−=−
y agrupando términos semejantes tenemos:
( ) 32233 33 babbaaba −+−=−
Es decir:
el cubo del 1er término - 3 veces el cuadrado del 1er. término por el 2do. término + 3 veces el 1er. término por el cuadrado del 2do. término - el cubo del 2do. término
Ej. 20.Desarrolle ( )332 −x
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
2754368
279233438
3323323232
23
23
32233
−+−=
−+−=
−+−=−
xxx
xxx
xxxx
Ej. 21.Desarrolle ( )32xx −
Solución:
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Productos Notables 12
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
6543
64223
322222332
33
33
33
xxxx
xxxxxx
xxxxxxxx
−+−=
−+−=
−+−=−
Ej. 22.Desarrolle 3
221
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + yx
Solución:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3223
3223
32233
8623
81
842132
413
81
222132
213
212
21
yxyyxx
yyxyxx
yyxyxxyx
+++=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
Caso 5.- Binomio de Newton:
Cuando se tiene un binomio elevado a una potencia entera positiva, existe un
desarrollo general conocido como el Teorema del Binomio de Newton, el cual utiliza
una serie de coeficientes que siguen un modelo conocido como el Triángulo de
Pascal. Este método es muy útil para desarrollar binomios ( [ n entero
positivo] y el Triángulo de Pascal viene dado por:
)nba +
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(a+b)6
...........
(a+b)5
(a+b)4
(a+b)3
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)0
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Productos Notables 13
h
h
Con la excepción de los coeficientes unitarios extremos, los otros coeficientes
resultan de la suma de los dos números que están sobre él. Por ejemplo, para los
coeficientes encerrados en círculo tenemos,
El coeficiente 6, es la suma de 3 + 3;
El coeficiente 15 es la suma de 5 + 10
Así, todos los coeficientes de los binomios se generan, sumando los coeficientes que
están por encima de él, a la derecha y a la izquierda
Ej. 23.Desarrolle ( )5yx +
Solución:
Al aplicar el binomio de Newton el producto es igual a:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )543223455 510105 yyxyxyxyxxyx +⋅+⋅+⋅+⋅+=+
Observe:
h
h
h
h
h
h
h
Si el binomio tiene potencia n=5, el resultado tendrá n+1=5+1=6 términos
Los dos términos extremos están elevados a la potencia del binomio.
Los términos centrales tienen como coeficientes los elementos de la fila n+1=
5+1=6 del Triángulo de Pascal.
Término a término, el 1er. elemento del binomio va descendiendo de grado:
5,4,3,2,1 y 0.
Término a término, el 2do. elemento del binomio va ascendiendo de grado:
0,1,2,3,4,5.
En general, para un binomio (a+b)n tenemos:
( ) nnnn
nn
nn
nn bbacbacbacaba +⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+=+ −−− 1222
11 K
donde:
• son los coeficientes que están en la (n+1)-fila del
Triángulo de Pascal
nnnnnn ccccc K,,,, 4321
Si el binomio tiene potencia n, el resultado tendrá (n+1) términos
Los dos términos extremos están elevados a la potencia del binomio, n.
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Curso de Inducción Universitaria
Productos Notables 14
h
h
Término a término, el 1er. elemento del binomio va descendiendo de grado: n,(n-
1), ... 2,1 y 0.
Término a término, el 2do. elemento del binomio va ascendiendo de grado: 0,1,2,
... (n-1),n
Ej. 24.Desarrolle ( )432 yx +
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4322344 3324326324232 yyxyxyxxyx +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=+
Hemos utilizado el Triángulo de Pascal, donde el 1er. término del binomio es 2x
y el 2do. término es 3y. Los coeficientes del binomio son: 1, 4, 6, 4 y 1. (5ta. fila del
Triángulo de Pascal) y los términos cumplen con la siguiente condición:
Las potencias del 1er. elemento, 2x, van decreciendo: 4, 3, 2, 1, 0. �
� Los potencias del 2do.elemento, 3y, van creciendo: 0, 1, 2, 3, 4.
Continuemos desarrollando el ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )432234
4322344
81216216961681272494638416)32(
yxyyxyxxyyxyxyxxyx
++++=
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=+
Ej. 25.Desarrolle ( )52 2yx −
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )5423426810
542322232425252
3280804010225210210252
yyxyxyxyxxyyxyxyxyxxyx
−+−+−=
−+−+−+−+−+=−
Observe como los signos se van alternando cuando el 2do. elemento del binomio está
restando, empezando por el signo + y luego -, +, -, +,-,....
Ej. 26.Desarrolle 3
2212 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − yx
Solución:
Vamos a utilizar el Binomio de Newton para resolver este producto:
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Curso de Inducción Universitaria
Productos Notables 15
( ) ( ) ( )( ) ( )
32246
32246
3222232
32
81
2368
81
4123
21438
21
2123
21232
212
yyxyxx
yyxyxx
yyxyxxyx
−+−=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Ejercicios de aplicación:
Ej. 27. Utilice productos Notables para calcular el volumen del siguiente cubo
2x -1
Solución:
Primero recordemos que el cubo tiene todas sus dimensiones de igual medida, es
decir:
largo = ancho = altura = 2x – 1
Luego observemos que la fórmula para el volumen de un sólido y sustituimos:
( ) ( ) ( )( )312
121212arg
−=
−⋅−⋅−=××=
x
xxxaltoanchoolV
Aplicando las propiedades de multiplicación de potencias de igual base
Por último desarrollamos el producto notable:
( ) ( ) ( ) ( )
16128
16)4(38
1123)1.()2(3212
23
23
22233
−+−=
−+⋅−=
−⋅+−=−
xxx
xxx
xxxx
Ej. 28.Una pieza cuadrada de cartón es utilizada para construir una caja sin tapa,
cortando de cada esquina un cuadrado de 5cm de lado; luego se doblan los bordes
para formar los lados de la caja. ¿Hallar la fórmula que permita conocer las
dimensiones de la pieza de carton para que el volumen de la caja sea de 12.500 cm3?
Solución:
Primero representamos gráficamente la pieza de cartón:
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Curso de Inducción Universitaria
Productos Notables 16
Llamamos a al lado de la pieza cuadrada de cartón. En la Fig. 2, cortamos las
esquinas y la parte sombreada representa el fondo de la caja y las pestañas de la pieza
cortada de 5cm. representa la altura de la caja.
El volumen V de la caja será:
altoanchoolV ××= arg
5)10(
5)10()10(2 ⋅−=
⋅−⋅−=
aV
aaV
Sabemos, por el enunciado del problema, que el volumen de la caja es igual a
12.500 cm3, es decir
( ) 500.210
500.125)10(5)10(500.12500.12
2
2
2
=−
=⋅−
⋅−=⇒=
a
aaV
Respuesta: la fórmula deseada es ( ) 250010 2 =−a , observe que es un producto
notable.
Ejercicios Propuestos:
I. Desarrolle los siguientes binomios al cuadrado:
a) ( )22 5−x b) ( )232 yx −
a
5 5
5 5
5
5
5
5
a a-10
Fig. 1 Fig. 2
a-10
5 5
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Curso de Inducción Universitaria
Productos Notables 17
c) ( )234 xx + d) 2
2 841
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +x
e) ( )22 2xyx +− f) 2
2 853
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− x
g) ( )2224 yxyx −
i) ( )2yx −
h) 2
253 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − yx
j) 2
223
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
xyxy
II. Desarrolle los siguientes binomios al cubo:
a) ( )32 5−x b) ( )332 yx −
c) ( )323xxy − d) 3
43
32
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + yx
e) ( )322 35 baab + f) ( )324bab −
III. Desarrolle los siguientes productos de binomios utilizando Productos
Notables:
a) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
852
852 xx b) ( )( )2323 22 +− xx
c) ( )( 6384 −− xx ) d) ( )( )xyyxyy 5282 33 ++
e) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− 2222 2
432
43 yxyx f) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + 3232
53
43
21
43 bbabba
g) ( )( )2323 84 xxyxxy ++ h) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − yxyx
54
51
52
51
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Curso de Inducción Universitaria
Productos Notables 18
IV. Desarrolle utilizando el Binomio de Newton y el Triángulo de Pascal:
a) ( )42 53 −x b) ( )532 yyx −
c) ( )622 42 yyx − d) 5
43
32
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + yx
e) ( )635 abab +f)
42
23
32
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − bab
V. Desarrolle los siguientes productos utilizando productos notables
a) ( ) 253 4 yy yx + b) 22332
22 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
baba
c) ( ) 2211 aa xx −+ − d) 3
22
81
94
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − xyyx
e) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + yyxyyx
5614
3311
5614
3311 2222 f) ( ) ( )21 22 −−⋅+− nnnn xxxx
g) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
43
43 nnnn yxyx
VI. Responde a cada una de los siguientes planteamientos
a) ¿Qué diferencia observas entre ( ) 222 axyax −− ?
b) ¿Es = ? Justifica tu respuesta. ( )2ax −− ( 2ax + )
)c) ¿Es = ? Justifica tu respuesta. ( )3ax − ( 3xa −
d) Si a + b = 7 y a - b =3, ¿Cuánto vale a2-b2?
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Curso de Inducción Universitaria
Productos Notables 19
VII. Utilice Productos Notables para determinar la fórmula que permita calcular el
volumen de cada uno de los siguientes cubos:
a)
b)
c)
Utilice Productos Notables para determinar la fórmula que permita calcular el área de
cada uno de las siguientes figuras:
d)
e)
131
−x
Resuelva los siguientes problemas:
f) Si un cuadrado de área es igual a x2 se le suma a un lado 10 cm y al otro 4 cm,
¿Cuál es la fórmula que permite calcular el área de la nueva figura?
g) Encuentre una fórmula que permita calcular el área de la base de un
paralelepípedo de base rectangular, sabiendo que las dimensiones son: x cm de
altura, y en la base el largo es 3 unidades menos que la altura y el ancho es 3
unidades más que la altura.
h) Un envase tiene forma de cubo y contiene un volumen igual a 125 cm3 . Con la
finalidad de disminuir costos, la empresa reducir el tamaño del envase restando
“n” unidades (con n<5) a la arista del cubo original. ¿Qué fórmula permite
conocer el volumen del nuevo envase?
i) Un tanque en forma de paralelepípedo se encuentra lleno de agua. Las
dimensiones del tanque que son:
largo= x +2; ancho= x + 3 y altura= x + 6
x + 1
x x3 - 5 5 +4
x + 1
x - 1
COMISIÓN DE APOYO RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Curso de Inducción Universitaria
Productos Notables 20
si al abrir la llave el nivel de agua se reducen en 4 cm, ¿cuál es el volumen de
agua que queda dentro del tanque?
Respuestas de los ejercicios propuestos:
Parte I a) 2510 24 +− xx b) 22 9124 yxyx +−
c) 642 816 xxx ++ d) 644161 24 ++ xx
e) 2234 44 yxyxx +− f) 64548
259 24 +− xx
g) 443322 4816 yxyxyx +− h) 22
425159 yxyx +−
i) yxyx +− 2 j) xyyxy 46
49
++
Parte II a) 1257515 246 −+− xxx b) 3223 2754368 yxyyxx −+−
c) 654433 27279 xyxyxyx −+− d) 3223
6427
89
278 yxyyxx +++
e) 36455463 271352256125 babababa +++ f) 654233 644812 babbaba −+−
Parte III
a) 64254 2 −x b) 49 4 −x
c) 484812 2 ++ xx d) 2246 40264 yxxyy ++
e) 44
1694 xy − f) 64224
103
403
169 bbaba −−
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Productos Notables 21
g) 43362 322 xyxyx ++ h) 22
258
252
251 yxyx −+
Parte IV a) 6251500135054081 2468 +−+− xxxx
b) 5525354555 243810080.172024032 yxyxyxyxyxy −+−+−
c)
121121049688710612 096.4288.12360.15240.10840.376864 yyxyxyxyxyxyx +−+−+−
d) 54322345
024.1243
128135
815
35
2720
24332 yxyyxyxyxx +++++
e) ( ) 666 144.2628 baab =
f) 87625344
168196
916
8116 babbababa +−+−
Parte V a) yxxx 108464 168 ++
b) 424
465564 bababa+−
c) aaa xxx 42222 2 −−+ ++ d) 44536
57612
64848
72964 xyxyx +−
e) 244
3136196
1089121 yyx − f) 22 24 −+− nnn xxx
g) 492 22 −++ nnnn yyxx
Parte VII
a) Resp: 133)( 23 +++= xxxxV
b) Resp: 12522513527)( 23 −+−= xxxxV
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Productos Notables 22
c) Resp: 64240300125)( 23 +++= xxxxV
d) Resp: 1)( 2 −= xxA
e) Resp: 132
91)( 2 +−= xxxA
f) Resp: 4014)( 2 ++= xxxA
g) Resp: 9)( 2 −= xxV
h) Resp: 321575125)( nnnnV −+−=
i) Resp: 12105 23 +−+ xxx
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