Definition of turbulent flow (Hinze)
“Turbulent fluid motion is an irregular condition of flow in which the various quantities show a random variation in time and space, so that statistically distinct average values can be
discerned”
Définition de l’écoulement turbulent
- Irrégularité de l’écoulement turbulent - Diffusivité turbulente élevée
- Grands nombres de Reynolds - Phénomène tridimensionnel - Dissipation - La turbulence est une propriété de l’écoulement - Hypothèse du continu
Traits caractéristiques de
l’écoulement turbulent
Echelles caractéristiques de la turbulence
Loi d’échelle de Kolmogorov
L'intensité de la vitesse des mouvements d’échelle est définie comme la variation typique de la vitesse turbulente sur une distance
On défini les échelles suivantes pour la turbulence
• Echelle caractéristique des grands tourbillons : échelle intégrale (ou
Echelle d’injection)
• Echelle caractéristique de la vitesse d’agitation du fluide, k étant
l’énergie cinétique turbulente
• Echelles caractéristiques de longueur, de vitesse et de temps des
plus petits tourbillons : Echelle de Kolmogorov
La turbulence est caractérisée par 3 paramètres : la taille et la vitesse des
tourbillons aux échelles d’injection (gros tourbillons) et par la viscosité du fluide
ku
,u,
I
Energie cinétique turbulente, taux de dissipation et spectre d’énergie
Loi d’échelle de Kolmogorov
• L‘énergie cinétique et la puissance dissipée sont des grandeurs extensives.
Cela veut dire qu’en situation homogène, l’énergie cinétique (k) et la
puissance dissipée sont proportionnelles à la masse totale du fluide.
• On note e le taux d'injection d‘énergie dans le fluide (égal au taux de
dissipation) ramenée à l'unité de masse. La dimension de e est [L2T-3]
• On défini la densité spectrale de l’énergie cinétique (également
appelée « spectre d’énergie ». Représente l’énergie de tous les
tourbillons dont la longueur d’onde (taille caractéristique) est comprise entre
L’énergie cinétique totale s’écrit:
)(E
d)(E
2et
d
221
0
d)(Ek
Hypothèses de Kolmogorov
Loi d’échelle de Kolmogorov
Première Hypothèse de Kolmogorov
Au plus petites échelles, la variation de vitesse du mouvement turbulent est
uniquement déterminée par la viscosité cinématique n et par le flux moyen
d’énergie e (par unité de masse et de temps). A ces échelles, la taille
caractéristique est petite en comparaison avec les grandes échelles de
l’écoulement ..
Les petites structures sont donc « en équilibre » ; elles ont le temps de
s’adapter aux variations “lentes” puisque leur temps caractéristique est très
petit devant celui de la décroissance énergétique. Le comportement des
échelles dissipatives ne dépend pas de l’écoulement ; il est entièrement
déterminé par la viscosité du fluide n et le montant du taux de dissipation e
)( II
Loi d’échelle de Kolmogorov
Conséquences de la première Hypothèse : Les échelles de Kolmogorov
Au plus petites échelles la statistique des mouvements turbulents est
uniquement déterminée à partir de n et < e >. On peut alors construire,
dimensionnellement, une échelle dite de Kolmogorov, telle que :
Les effets visqueux sont donc comparables aux effets inertiels et les
mouvements de tailles plus petites que cette taille sont responsables de la
dissipation de l’énergie cinétique de l’écoulement sous forme de chaleur.
L’échelle de Kolmogorov est aussi appelée échelle de dissipation.
Hypothèses de Kolmogorov
2
1
4
14
13
~)(~u~
en
ne
en
1
u~R e
n
Deuxième hypothèse de Kolmogorov
Cette hypothèse prolonge la première en la précisant dans le cas des
nombres de Reynolds élevés:
Quand en plus la taille du tourbillon est importante devant les plus petites
échelles dissipatives (vitesse caractéristique ) c’est à dire dans la zone
inertielle la variation de vitesse du mouvement turbulent est
uniquement déterminée par le taux de dissipation e et ne dépend pas de la
viscosité
Conséquence
Si la séparation d’échelles le permet, il existe une zone ou le mécanisme
dominant est le transfert d’énergie vers les petites structures sans qu’il y est
transformation irréversible en chaleur par viscosité C’est la notion de sous-
domaine inertiel
)( I
u
Loi d’échelle de Kolmogorov
Seconde hypothèse de Kolmogorov
Si alors la statistique des mouvements turbulents est
universelle et uniquement déterminée par < e >.
Pour une échelle intermédiaire appartenant à la gamme d’échelles inertielles, le
taux de transfert d’énergie par unité de masse transitant par cette échelle ne
peut que s’exprimer comme :
La puissance dissipée par les plus petits tourbillons provient des grandes
structures par interactions non-linéaires. Il existe un équilibre entre les forces
d’inertie (qui ont tendance à étendre le spectre de la turbulence) et les forces
visqueuses qui vont agir comme un frein au niveau des grands nombres
d’onde.
)( I
3u
~e
Loi d’échelle de Kolmogorov
Sur le domaine inertiel le montant e représente en fait le flux conservatif
d’énergie qui passe des grandes échelles vers les petites échelles
Le taux de dissipation de l’énergie dans les petites structures correspond aussi
au taux d’injection d’énergie contenu dans les tourbillons porteurs d’énergie
Les grandes structures sont crées par le mouvement moyen et dépendent de la
géométrie de l’écoulement: anisotropes, instationnaire, longue durée de vie.
La zone inertielle (transfert énergétique) entre les grandes et les petites
structures. les petits tourbillons sont plus indépendants du mouvement moyen,
isotropes avec un comportement stable mais une courte durée de vie.
Augmenter le nombre de Reynolds ne modifierai pas les grandes structures
mais élargirait la zone inertielle. (Si le nombre de Re est déjà important.)
Loi d’échelle de Kolmogorov
Illustrations élémentaires Dispersion turbulente On considère l‘évolution au cours du temps de deux particules séparées d'une distance . La loi de Kolmogorov donne, pour Cette équation s'intègre pour donner Le diamètre d'une tache de polluant évolue ainsi en
Il est intéressant de noter que cette loi a été établie quinze ans avant la loi de Kolmogorov .
Loi d’échelle de Kolmogorov
0 )( I
3
1
)(~dt
du
e
3u
~e
t3
1
3
2
03
2
e
2
3
2
1
te
Loi d’échelle de Kolmogorov
0 )( I
3
1
)(~dt
du
e
3u
~e
t3
1
3
2
03
2
e 2
3
2
1
te
Illustrations élémentaires
Dispersion turbulente
On considère l‘évolution au cours du temps de deux particules séparées d'une distance . La loi de Kolmogorov donne, pour
Cette équation s'intègre pour donner
Le diamètre d'une tache de polluant évolue ainsi en
Il est intéressant de noter que cette loi a été établie quinze ans avant la loi de Kolmogorov .
Illustrations élémentaires Vitesse limite d'un corps en chute libre Considérons un objet de taille et de masse M en chute libre (accélération de la pesanteur g) dans un fluide de densité r et de viscosité cinématique n. Sa vitesse limite est obtenue en égalant son poids M g avec la force de résistance du fluide. Dans le régime laminaire, la force est proportionnelle à la vitesse et à la viscosité. L'analyse dimensionnelle donne: On a donc
(pour un objet sphérique on aurait au dénominateur un facteur 6 que l'analyse dimensionnelle ne peut attraper).
Loi d’échelle de Kolmogorov
viscvisc u~F rn
rnMg
~u visc
Illustrations élémentaires Vitesse limite d'un corps en chute libre Dans le régime turbulent, la loi indique que la puissance est proportionnelle au cube de la vitesse. Comme la puissance est le produit de la force par la vitesse, on en déduit que la force est proportionnelle au carré de la vitesse. L'expression correcte dimensionnellement est : On en déduit :
Le rapport
Loi d’échelle de Kolmogorov
22
Turb u~F r
2Turb
Mg~u
r
3u
~e
e
Visc
Turb Ru
~F
F
n
Illustrations élémentaires Vitesse limite d'un corps en chute libre Calculons l'ordre de grandeur de la vitesse de chute d'un parachutiste. Les ordres de grandeur sont : rair ~1Kg=m3, M ~100 Kg, g ~ 10 m/s2, ~1m. On trouve m/s, soit environ 120 Km/h. En prenant ~ 10 m, après l'ouverture du parachute, on trouve une vitesse d'arrivée au sol d'environ 3,3 m/s. Ces ordres de grandeur sont corrects Le nombre de Reynolds est ici d'environ : (air : )
La formule laminaire donnerait un résultat ridicule (de l'ordre de 105 m/s).
Loi d’échelle de Kolmogorov
s/m10~ 25n
33~1000~uTurb
6
5e 103,310
33x1~R
Illustrations élémentaires Vitesse limite d'un corps en chute libre Calculons l'ordre de grandeur de la vitesse de chute d'un parachutiste. Les ordres de grandeur sont : rair ~1Kg=m3, M ~100 Kg, g ~ 10 m/s2, ~1m. On trouve m/s, soit environ 120 Km/h. En prenant ~ 10 m, après l'ouverture du parachute, on trouve une vitesse d'arrivée au sol d'environ 3,3 m/s. Ces ordres de grandeur sont corrects Le nombre de Reynolds est ici d'environ : (air : )
La formule laminaire donnerait un résultat ridicule (de l'ordre de 105 m/s).
Loi d’échelle de Kolmogorov
s/m10~ 25n
33~1000~uTurb
6
5e 103,310
33x1~R
Exercice Deux disques contra-rotatifs de diamètre 10cm tournent dans de l'eau à la vitesse angulaire w = 2f. On prendra, pour l’échelle d'injection, la moitié du rayon des disques et pour l’échelle de vitesse, la vitesse du disque à mi-rayon. La masse d'eau en mouvement est d'environ M = 5kg. Les disques tournent à une fréquence de f=20Hz. On demande d'estimer : • le nombre de Reynolds d’injection RI ; • la puissance W fournie aux disques; • l’échelle de dissipation . On se propose d'augmenter le nombre de Reynolds RI d'un facteur 10. Pour cela, on envisage 2 solutions : 1. faire tourner les disques dix fois plus vite,
2. remplacer l'eau par du mercure (nHg ~ neau/10; rHg = 13,6 reau). Calculer la puissance nécessaire dans les deux hypothèses. Qu'en pensez-vous ?
Loi d’échelle de Kolmogorov
s/m10~ 26
eau
n
La cascade énergétique
Echelles caractéristiques des plus petites échelles
Echelles caractéristiques des tourbillons porteurs d’énergie
On sait également que le taux de dissipation est fixé par les grosses structures
de sorte qu’on a :
Lorsque le nombre de Reynolds est encore plus grand, les spectres de k et de
e sont largement séparés et la zone inertielle s’élargit. Les structures dans cette région ne font que transférer l’énergie cinétique à
dissiper, fixée par les grosses structures, vers les structures les plus fines
I
3
Iu
~
e
2
1
4
14
13
~)(~u~
en
ne
en
1
u~R e
n
I
II
I
u~k~u
u~ I
2
13
I
e nI
etI
u~R
La cascade énergétique
Echelles caractéristiques des plus petites échelles
Echelles caractéristiques des tourbillons porteurs d’énergie
On sait également que le taux de dissipation est fixé par les grosses structures
de sorte qu’on a :
Lorsque le nombre de Reynolds est encore plus grand, les spectres de k et de
e sont largement séparés et la zone inertielle s’élargit. Les structures dans cette région ne font que transférer l’énergie cinétique à
dissiper, fixée par les grosses structures, vers les structures les plus fines
2
1
4
14
13
~)(~u~
en
ne
en
1
u~R e
n
I
II u~k~u I
2
1
I
nI
etI
u~R
I
3
Iu
~
e
La cascade énergétique
Echelles caractéristiques des plus petites échelles
Echelles caractéristiques des tourbillons porteurs d’énergie
Remarquons, pour terminer cette section, que les lois sont assez bien vérifiées
expérimentalement. Pour obtenir des ordres de grandeurs dans un écoulement
turbulent, on peut retenir les coefficients de proportionnalité suivants :
Les coefficients numériques sont très approximatifs, et le premier est assez
variable d'un écoulement à l'autre
4
13
~
en
3
3
I
34
I Iu
~n
nI
etI
u~R
ee
2
33
I
k~
u~ I
4
3
etI R~
4
3
4
1
I
3
2 10etu
10 I nee
Deux conséquences importantes découlent de la notion de sous domaine inertiel
1/ Sur le sous domaine inertiel, le montant e du taux de dissipation qui règle
la décroissance énergétique représente un flux conservatif d’énergie
2/ Si l’on postule pour la densité spectrale d’énergie une expression
indépendante de la viscosité n de la forme:
La cascade énergétique
e KC)(E
Dimensionnellement, on a dans la zone inertielle
pour le spectre :
L’analyse dimensionnelle permet de déterminer
les deux exposants α et β. La constante CK, est
appelée constante de Kolmogorov :
La cascade énergétique
e KC)(E
5.1CC)(E K3
5
3
2
K e
Le modèle tourbillonnaire et la
cascade énergétique
injection d'énergie
dissipation
transfert d
'énerg
ie
35
32
)(E
e
Cascade
edissipation
d’énergie
)(Elog
logilog
Le modèle d’interaction tridimensionnelle entre le gradient de vitesse et les
tourbillons permet d’expliquer le mécanisme de transfert d’énergie à travers le
spectre. Pour illustrer ce phénomène on présente l’interaction des tourbillons
avec les gradients de la seule composante U1 du champ de vitesse
Eléments de dynamique des tourbillons La vorticité De la vorticité apparaît, par exemple, lorsqu’il existe un gradient de vitesse suffisamment grand entre deux couches fluides
• La présence de vorticité ne signifie pas l’existence d’une structure cohérente de type Tourbillon : la vorticité peut se dissiper sans donner naissance à une structure cohérente
• Les tourbillons sont des structures cohérentes dans le sens où ils concernent des
zones du fluide, très grandes devant les échelles visqueuses, dans lesquelles la
distribution de vorticité est continue et de même signe.
• Dans le cas de l’existence de tourbillons stationnaires, les lignes de courant sont susceptibles de s’enrouler en spirales, voire d’être fermées, autour du centre de rotation.
• Selon la définition de Jeong et Hussain les tourbillons existent dès lors que leur coeur
peut être associé à un minimum local de pression
La vorticité
En prenant le rotationnel de l’équation de Navier et Stokes, nous obtenons l’équation de
transport de la vorticité (à aire en guise d’exercice :
Le terme à gauche correspond à la variation temporelle et à la convection de la vorticité
par l’écoulement ; le premier terme à droite correspond à l’étirement et à l’inclinaison du tourbillon, le second correspond à la diffusion visqueuse de la vorticité.
Les tourbillons ont un rôle sur le transport de masse, de quantité de mouvement et
d’énergie. L’énergie cinétique des tourbillons se définie alors par son enstrophie qui permet notamment de ne pas prendre en compte les termes de vitesse liés à la
convection.
Dans le cas où le fluide est considéré comme visqueux, cette énergie peut se dissiper
au cours du temps
Eléments de dynamique des tourbillons
dv2
1T 2
V
rw
Circulation des tourbillons
La circulation d’un tourbillon est une grandeur qui définit son intensité. Dans le cas idéal du modèle de Rankine, un tube de vorticité de rayon a satisfait aux conditions suivantes:
w= Constante si r ≤ a et w = 0 si r > a
Dans le cas du tourbillon de Rankine, le
rayon a du tube est équivalent à la taille
du coeur du tourbillon. Celle-ci est donc
calculée en considérant la rotation solide
du coeur. La circulation Г d’un tel tourbillon s’exprime par :
avec C un contour fermé contenant le tube de vorticité et uq la vitesse azimutale induite
par la vorticité
)r(ru2duC
q
Eléments de dynamique des tourbillons
Téorème de Stockes - Théorème de Kelvin
En appliquant le théorème de Stokes, la circulation s’exprime également par:
Théorème de Kelvin
- Fluide parfait
- les forces extérieures dérivent d’un potentiel scalaire
- et que le fluide soit barotropique,
Dans ces conditions
-la circulation est constante
quelle que soit la section de tourbillon considérée ; une dilatation ou une contraction des
induit une baisse ou une augmentation de la vitesse azimutale respectivement ;
Néanmoins dans la réalité des écoulements,
les fluides sont toujours visqueux, ce qui induit une diffusion et une dissipation
visqueuse des tourbillons,
wS
dSn
Eléments de dynamique des tourbillons
g
0dt
d
Le modèle tourbillonnaire et la
cascade énergétique
L’évolution des structures tourbillonnaire est supposée vérifier les hypothèses suivantes
- la masse de toute structure se conserve lors de cette déformation
- les effets de viscosité sont négligeables
La première hypothèse implique que :
La deuxième hypothèse se traduit en vertu du théorème de Kelvin par la conservation
de la circulation
Théorème de Kelvin : la circulation sur un contour fermé dont chaque point se déplace
avec la vitesse locale du fluide reste constante au cours du temps. On a donc :
tetanconsrl2''
tetanconsr2'' w
Le modèle tourbillonnaire et la
cascade énergétique Ces deux relation permettent de définir les lois de variation des différents paramètres
des structures tourbillonnaires au cours d’un étirement ou tassement d’ensemble
Propriétés Etirement /
élongation
Tassement /
compression
Longueur (l)
Rayon (r) )l( 21 )l( 21
Vitesse angulaire
(w )l( )l( 1
Vitesse azimutale )l( 21 )l( 21
Masse
Circulation
Energie cinétique )l( )l( 1
Le système tourbillonnaire évolue dans le sens d’une réduction de la section des structures avec augmentation des vitesses radiale et azimutale ainsi que celle de
l’énergie cinétique. Le moment cinétique se conserve et le nombre reste constant
Le modèle tourbillonnaire et la
cascade énergétique Considérons l’interaction des tourbillons avec les gradients de la seule
composante U1 du champ de vitesse
x3
x1
x2
U1
dlx
UU
1
1
1
x1
x2
U1
x1
x2
U1
x3
dlx
UU
2
1
1
dlx
UU
3
1
1
Deux types d’interaction vitesse-tourbillon :
- étirement – tassement
- basculement
Le modèle tourbillonnaire et la
cascade énergétique
L’interaction inertielle par étirement tourbillonnaire successif est une phénoménologie
selon laquelle l’énergie cinétique d’agitation se redistribue vers les structures de taille
décroissante avec perte de mémoire de l’anisotropie initiale du déclanchement du
processus
z
y
y
y y y z y z z x y z z x z x x x
x z z
x
z z y y x x x x
Tourbillon anisotrope
Turbulence quasi-
isotrope
RICHARDSON
Big whirls have little whirls
that feed on their velocity
Little whirls have lesser whirls
and so on to viscosity
Les équations des bilans instantanés de masse et de quantité de mouvement s'écrivent pour les fluides newtoniens considérés ici: Conservation de la masse : Conservation de la quantité de mouvement
ijij s2 )x
u
x
u(
2
1s
i
j
j
iij
0x
u
t i
i
r
r
i
jj
i
2
ij
ij
i gxx
u
x
p
x
uu
t
ur
r
r
Pour les fluides incompressibles on a : Ces deux équations sont suffisantes pour décrire la turbulence dans un écoulement incompressible (l’aspect énergétique ou des espèces n’est pas abordé dans ce cours). On peut donc envisager de résoudre ces équations directement. Il s’agit de la Simulation Numérique Directe ou encore DNS (Direct Numerical Simulation).
et
i
j
ij
ij
ij
i gxx
p
x
uu
t
ur
r
r
0x
u
i
i
Simulation numérique directe
Simulation numérique directe La simulation directe représente la méthode la plus exacte pour prédéterminer la
turbulence : elle consiste à résoudre directement les équations de Navier Stokes sans
hypothèse préalable
AVANTAGES :
- Accès à toutes les informations sur la physique de l’écoulement : structures,
transferts énergétiques, vitesses, dissipations, . . .
-Pas de modèles à mettre en œuvre, on se concentre sur la physique des
phénomènes étudiés.
MAIS :
Limitations très rapide au niveau des moyens de calcul (rapidité et la taille mémoire).
.
3
3
I
34
I Iu
~n
4
3
etI R~
4
9
et
3
Id R~N
2
1
etI
t R~N
I
I u~ I
2
1
3
I2
1
Iu
~~
n
en
Simulation numérique directe La capacité de calcul devrait augmenter proportionnellement à
Conséquences pratiques:
Pour simuler numériquement de façon directe le même écoulement turbulent avec un
nombre de Reynolds 10 fois supérieur, il faut disposer d’un temps de calcul 1000 fois
plus grand.
Quelques valeurs caractéristiques:
• pour un écoulement atmosphérique pour une turbulence
de grille obtenue en laboratoire
• Pour la simulation d’un tourbillon anticyclonique de le maillage
nécessaire demanderait un nombre de points de grille
• Pour une simulation directe d’un jet turbulent environ 107 points de grille pour un
Reynolds de 1000 (assez faible). Le temps de calcul sur une machine (2,2 G-Flops) est
de 50 h avec une occupation de la mémoire vive de 1 G0
3
et4
11
ettd R~R~NN
mm1 mm1.0
km4000I 30
d 10~N
Simulation numérique directe Pour une simulation directe d’un jet turbulent environ 107 points de grille pour un
Reynolds de 1000 (assez faible). Le temps de calcul sur une machine (2,2 G-Flops) est
de 50 h avec une occupation de la mémoire vive de 1 G0.
Dans les applications les plus courantes, les jets ont des nombres de Reynolds 1000
fois plus grands. Il faut 5,62 1013 points de grille, 106 Go de mémoire vive et 50 milliard
d’heures de calcul sur la même machine !
D’une façon générale, Les nombres de Reynolds accessibles à la simulation directe
sont très inférieurs à ceux associés aux écoulements des géofluides ou des
écoulement d’intérêt industriel. La DNS reste encore et pour longtemps du domaine de
la recherche
Simulation numérique directe
DNS : Plus gros calcul connu actuellement, THI avec 20483 et 40963 (Reλg = 1217)
Yokokawa, Itukara, Ishihara & Kaneda (2002) sur Earth Simulator (Japan)
Modélisation et Simulation de la
turbulence Il est techniquement, impossible de résoudre une configuration industrielle ou
expérimentale de dimension importante à grand nombre de Reynolds avec la DNS .
Approches statistiques : Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS)
Puisque l’on ne peut connaître tous les paramètres du fluide en tout point et à tout
instant, on va essayer d’obtenir une description statistique de ses propriétés de ses
propriétés à travers leur moyenne et leurs moments d’ordre 2, 3 ou plus.
Simulation des Grandes Échelles : Large Eddy Simulation (LES)
Observations.
- GS anisotropes - instationnaires - ...
- GS responsables du transport convectif.
- PS comportement auto-similaire - ...
- PS responsables de la dissipation
Principe du modèle LES.
Simulation ‘exacte’ de l’effet des GS. Modélisation de l’effet des PS.
Simulation des Grandes Echelles de Turbulence (LES).
Avantages
- Prise en compte des instabilités dues aux GS.
- Résultat moins sensible au modèle.
- Augmentation de la précision statistique.
Inconvénients
- Contraintes numériques (schéma-maillage)
- Temps calcul.
Modélisation et Simulation de la turbulence
DNS-LES traitement statistique des résultats obtenus.
RANS traitement statistique des équations avant résolution.
Modélisation et Simulation de la
turbulence
Simulation des Grandes Echelles de la
turbulence (LES) La simulation des grandes échelles repose sur les équations de Navier-Stokes filtrées
spatialement.
Filtrage des équations de Navier-Stokes.
Espace Physique
Application d’un ‘filtre’
Espace Spectral
Coupure du spectre.
edissipation
d’énergie
)(Elog
log
Echelles résolues
Echelles de-sous maille
m
fréquence de coupure
Simulation des Grandes Echelles de la
turbulence (LES) Les échelles les plus petites, non résolues par le calcul, peuvent être modélisées en
estimant qu’elles ont un comportement quasi-isotrope et/ou auto-similaire
Modèle de sous-maille :
- rôle structurel : modélisation de la dissipation non assurée par les échelles résolues
- rôle fonctionnel : modélisation de l’interaction entre les échelles non résolues et
résolues autour de la fréquence de coupure
Il est absolument impossible de séparer la formulation du modèle de sous-maille de
l’algorithme numérique (filtrage + résolution Navier-Stokes),
Pas de formulation “universelle”, toujours un sujet de recherche ....
Petites structures - isotropes - comportement stable - courte duree de vie
Grandes structures - instationnaires - longue duree de vie - anisotropes
Exemple Un anémomètre à fil chaud est monté sur l'aile d'un avion en vol (l'anémomètre à fil
chaud est un instrument qui mesure les fluctuations de vitesse en écoulement
turbulent de gaz).
L'avion est animé d'une vitesse de 50 m/s. L'échelle de longueur des gros tourbillons
est de 100 m. L'anémomètre est conçu pour mesurer les fluctuations des plus petites
échelles de la turbulence.
Exemple
Un anémomètre à fil chaud est monté sur l'aile d'un avion en vol (l'anémomètre à fil
chaud est un instrument qui mesure les fluctuations de vitesse en écoulement
turbulent de gaz).
L'avion est animé d'une vitesse de 50 m/s. L'échelle de longueur des gros tourbillons
est de 100 m. L'anémomètre est conçu pour mesurer les fluctuations des plus petites
échelles de la turbulence.
1. En admettant que les gros tourillons correspondent aux échelles porteuses
d’énergie, donner une évaluation de l’ordre de grandeur du taux de dissipation. 2. Donner alors une évaluation de l'ordre de grandeur des plus petites échelles de la
turbulence, quel est alors l'ordre de grandeur des fluctuations de vitesse à ces
échelles
3. Quelles sont les fréquences les plus élevées que va rencontrer l'anémomètre?
Quelle fréquence d'acquisition doit t-on prévoir ?
4. quelle est la taille maximale que doit présenter le capteur (fil chaud)
5. si on s'autorise à interpréter le bruit électronique de l'appareil en terme de
fluctuations de vitesse, quel doit être le niveau maximal tolérable de ce bruit.
Exemple
Un anémomètre à fil chaud est monté sur l'aile d'un avion en vol (l'anémomètre à fil
chaud est un instrument qui mesure les fluctuations de vitesse en écoulement
turbulent de gaz).
L'avion est animé d'une vitesse de 50 m/s. L'échelle de longueur des gros tourbillons
estt de 100 m. L'anémomètre est conçu pour mesurer les fluctuations des plus petites
échelles de la turbulence.
1. En admettant que les gros tourillons correspondent aux échelles porteuses
d’énergie, donner une évaluation de l’ordre de grandeur du taux de dissipation. 2. Donner alors une évaluation de l'ordre de grandeur des plus petites échelles de la
turbulence, quel est alors l'ordre de grandeur des fluctuations de vitesse à ces
échelles
3. Quelles sont les fréquences les plus élevées que va rencontrer l'anémomètre?
Quelle fréquence d'acquisition doit t-on prévoir ?
4. quelle est la taille maximale que doit présenter le capteur (fil chaud)
5. si on s'autorise à interpréter le bruit électronique de l'appareil en terme de
fluctuations de vitesse, quel doit être le niveau maximal tolérable de ce bruit.
Exemple
On réalise des expériences d'écoulement à bulles sur un dispositifs
expérimental embarqué dans l'avion. Il s'agit d'abord de l'étude de la
turbulence induite par l'ascension de bulles d'air sphériques de 1 mm
dans un liquide au repos (eau). La vitesse d'ascension des bulles est
estimée à 0.1 m/s
6. Donner une estimation du taux de dissipation provoqué par
l'ascension des bulles si on suppose que la fraction volumique du gaz
est de l'ordre de 10%
7. En admettant que les échelles de la bulles correspondent au
échelles porteuses d'énergie, donner une estimation des plus petites
échelles de la turbulence dans le liquide
8. L'acquisition du signal est réalisée à une fréquence de 1 KHz. Est ce
que cette fréquence est suffisante pour capter les plus petites échelles
de la turbulence x
u
g
y
Expériences d ’écoulement turbulent à bulles en micro-gravité
50° 50°
Inlet Ressources 1.8g
Micro-Gravity 0 g Outlet Ressources 1.8g
Chahed J., Colin C., Masbernat L., (2002), "Turbulence and phase distribution in
bubbly pipe flow under micro-gravity condition", Journal of Fluids Engineering,
Vol.124, pp. 951-956
Exemple
On réalise maintenant un écoulement à bulles en micro-gravité avec une vitesse du
liquide égale 2 m/s. le diamètre de la conduite est de 10 cm. Notons qu ’en micro-
gravité, le glissement des bulles est nul et on suppose que la turbulence est
quasiment monophasique.
9. En admettant que les échelles de la conduites correspondent aux échelles
porteuses d'énergie, donner une évaluation des ordres de grandeurs des échelles
dissipatrices
10. Quel doit être dans ce cas la fréquence d'acquisition si on veut capter les plus
petites échelles de la turbulence
NB. On prend : viscosité cinématique de l'air (1,5 10-5 m2/s) viscosité cinématique de
l'eau (10-6 m2/s)
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