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Ch12Ch12Infinite Sequence Infinite Sequence

and Seriesand Series

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無窮數列與級數無窮數列與級數

2

• 12.1 無窮數列• 12.2 無窮級數• 12.3 積分檢定法• 12.4 比較檢定法• 12.5 交錯級數• 12.6 比值與根式檢定法與絕對收斂、條件收斂

• 12.7 次方級數• 12.12 Taylor 和 Maclaurin 級數

12.412.4Comparison Tests Comparison Tests

比較檢定法比較檢定法

12.412.4Comparison Tests Comparison Tests

比較檢定法比較檢定法

4

學習重點•知道比較檢定法的原理•會利用比較檢定法判別級數是否收歛或發散

5

比較檢定法

•直接比較檢定法– Direct Comparison Test

•極限比較檢定法– Limit Comparison Test

6

直接比較檢定法•直接比較檢定法

–緣起

n321

n2642 ?∞•小發大必發

大

小

大

小

大

小

大

小

7

12

1

2

1

2

1

2

132

n

n3

1

3

1

3

1

3

132

大

直接比較檢定法•直接比較檢定法

–緣起

?•大收小必收

1/2小

大

小

大

小

大

小

8

直接比較檢定法•直接比較檢定法 • Direct Comparison Test

–對象：任何 Σan與其相關的 Σbn

–檢查：•(1) bn ≦ an , 任何 n 而且 Σbn 發散• (2) bn ≧ an , 任何 n 而且 Σbn收斂

–判定：•(1) Σan 發散• (2) Σan 收斂

結論

9

Example 1

12 342

5

n nn

大22 2

5

342

5

nnn

n

n

ann1

2 342

5

- 檢查：?

- 判定：

- 結論收斂

收斂,1

2

5

12

n

n

bn

•大收小必收

12 342

5

n nn

10

1

ln

n

n

n

Example 1 = ?

ln 13

nn

n n

- 判定：

- 結論

•小發大必發

發散,bn n

n

1

1

發散1

ln

n

n

n

11

Q 1

n

n

an1 15

5 ?

(a) Series is convergent.

(b) Series is divergent.

12

Q 1

1 15

5

n n

,1

51

1

5/15/5

5/5

15

5

nnnn

大

n

n

an1 15

5

- 檢查：?

- 判定：

- 結論

1 15

5

n n 發散

•小發大必發

1發散,

1

1

n

n

bn

小n

1

13

–判定：(1) Σbn Σan 同時發散或同時收斂(2) Σbn 收斂 Σan 收斂(3) Σbn 發散 Σan 發散

極限比較檢定法 •極限比較檢定法 • Limit Comparison Test

–對象：任何 Σan與其相關的 Σbn

–檢查：

結論

)3(,

)2(,0

)1(,

lim

c

ba nnn

14

Example 3

1 12

1

nn

,1211

1lim

12

2lim

21

)12(1lim

nnn

n

nn

n

n

n

nn

a1 12

1

- 檢查：?

- 判定：

- 結論

1 12

1

nn 收斂

1,

2

1

1

n

nn

b 收斂

15

2

51

2 3

5n

n n

n

Example 4

2 2

5/ 2 1/ 25

2 3 2 2

5n n

n n na b

n nn

1n21n

n

2bp = 1/2 < 1

- 結論收斂

發散

1

11

,1

1

1p

np

p

np

16

2 1/ 2

5

5/ 2 3/ 2

5

5

2 3lim lim .

25

2 3lim

2 53

2 2 0lim 1

5 2 0 12 1

n

n nn

n

n

a n n n

b n

n n

n

n

n

結論

)3(,

)2(,0

)1(,

lim

c

ba nnn

Σbn ,Σan 同時發散或同時收斂

25

25

n1

n1

- 判定： - 結論 2

51

2 3

5n

n n

n

發散

17

Q 2 ?



1

1

n2 1n

18

Q 2 ?

1

1

n2 1n

11n

nlim

n1

1n1lim

2n

2

n

diverges n

bn

n

1

1

diverges 1nn

2

1

1

19

Q 3



n

n

ann

n

12 12

12?

20

Q3

12 12

12

n nn

n

1212

1lim

2 nnn

nn

n

n

ann

n

12 12

12

- 檢查：?

- 判定：

- 結論

12 12

12

n nn

n發散

發散,1

1

n

n

bn

nn

nnn

2

2

2

12lim

2

1

21

複習一下特殊級數檢定法

幾何級數發散檢定法伸縮級數p - 級數積分檢定法

直接比較檢定法極限比較檢定法