Catatan Kuliah Aljabar Linier
Suryadi Siregar
Sekolah Tinggi Manajemen
Informatika dan Komputer Bandung
______________________________________
BANDUNG 2018
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page i
Kata Pengantar
Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian
vektor. Skenario proses Gramm-Schmidt bagian ini, diakhiri dengan soal latihan
yang harus dikerjakan secara mandiri maupun berkelompok
Bagian kedua, membahas Kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks,
pengertian bebas linier, kebergantungan linier Matrik, operasi matrik diakhiri
dengan soal latihan
Bagian ketiga, memberikan ragam cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linier &
Matriks Untuk mengasah keterampilan mahasiswa disampaikan beberapa soal
pekerjaan rumah
Bagian keempat, Aplikasi Aljabar Linier dengan studi kasus rangkaian listrik.
Programa Linier,. Matrik Markovs dan banyak latihan soal
Mahasiswa yang mengambil matakuliah ini hendaknya tidak mengandalkan buku
ini sebagai satu-satunya sumber. Berselancar di internet, membaca buku dan jurnal
di Perpustakaan merupakan hal mutlak yang harus dilakukan untuk mencapai
sukses.
Akhir kata semoga buku ini memberikan manfaat bagi pengguna, saran dan
komentar untuk kesempurnaan akan kami terima dengan senang hati
Acknowledgments Buku ini disusun dari banyak sumber yang telah menjadi
public domain
Bandung, akhir Januari 2018
Penulis
Suryadi Siregar
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page ii
Daftar Isi Bab 1 Ruang Vektor 1
I. 1 Ruang Vektor Rn 1
I. 2 Panjang vector dan jarak dua titik 2
I. 3 Operasi pada vektor 3
I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor; 4
I. 5 Jarak antara dua titik 4
I. 6 Perkalian dengan Vektor 5
I. 7 Definisi 6
I. 8 Perkalian silang/vektor (cross product) 7
I. 9 Theorema 7
1.10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan Proses Gramm-Schmidt 8
I. 11 Hitung Volume Kotak 12
I. 12 Kebergantungan Linier Vektor Di Rn 13
I. 13 Ruang Bagian (sub-space) 15
I. 14 Soal Latihan 15
17
Bab 2 Kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks 17
II. 1 Kombinasi Linier 17
II. 2 Ruang Bagian (sub-space) 19
II. 3 M a t r i k s 20
II. 4 Operasi Matriks 24
II.5 Latihan 34
Bab 3. Sistem Persamaan Linier & Matriks 36
III. 1 Persamaan Linier 36
III. 2 Sistem persamaan linier 37
III. 3 Operasi baris elementer 38
III. 4 Sistem persamaan linier homogen 42
III. 6 Operasi Matriks 44
III. 7 Latihan 54
III. 8 Representasi Matriks dalam Sistem Persamaan Linier 57
III. 9 Latihan 62
III. 10 Minor, Kofaktor dan Determinan 63
III. 11 Notasi dan Sifat-Determinan 66
III. 12 Soal latihan: 67
III. 13 Eliminasi Gauss-Jordan 68
III. 14 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan Matrik Inversi 69
III. 15 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan Metode Cramer 70
Bab 4 AplikasiAljabarLinier 73
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page iii
IV. 1 Jaringan Listrik (Electrical Networks) 73
IV. 2 Rangkaian listrik 74
IV. 3 Programa Linier (Linear Programming) dan Optimasi 75
IV. 4 Latihan 79
IV. 5 Matrik Stochastic, proses Markov 79
Bab V Nilai dan Vektor Eigen 82
V. 1 Menentukan nilai eigen 82
V. 2 Algoritma mencari nilai dan vector eigen 83
V. 3 Soal Latihan 86
Daftar Pustaka 88
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 1
Bab 1 Ruang Vektor ______________________________________________________
I. 1 Ruang Vektor Rn
1. Ruang berdimensi satu R1 = R = kumpulan bilangan real
Menyatakan suatu garis bilangan;
-3 -2 -1 0 1 2
2. Ruang berdimensi dua R2 = bidang datar ;
Setiap vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan terurut dua
bilangan real dalam sumbu x dan sumbu y;
Gambar 1. 1 Vektor pada suatu bidang mempunyai komponen x dan
y
Bila ditulis sebagai
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 2
A= (a1,a2) vektor menyatakan sebuah titik
Dapat juga ditulis sebagai
1 2 1 2A a i a j a a
dimana ,i j adalah vektor satuan sepanjang
sumbu x dan sumbu y
vektor A
dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor 1a
dan
2a
Dalam hal ini (1,0)i
dan (0,1)j
adalah vektor satuan, yaitu vektor
yang panjangnya satu, masing2 sepanjang sumbu x, sumbu y dan
saling tegak lurus
I. 2 Panjang vector dan jarak dua titik
Panjang vektor (norm) A
dapat dihitung dari dalil Phytagoras;
2 2 2 2 2
1 2 1 2A a a A a a
Untuk vektor di R3 = dalam ruang. Prinsipnya sama;
Bila ditulis sebagai ;
A= (a1,a2,a3) vektor menyatakan sebuah titik
Jika ditulis
1 2 3 1 2 3A a i a j a k a a a
dikatakan vektor A
merupakan kombinasi
linier dari vektor 1a
,2a
dan3a
Dalam hal ini (1,0,0)i
, (0,1,0)j
dan (0,0,1)k
adalah vektor
satuan yakni vektor yang panjangnya satu dan saling tegak lurus
satu sama lain.
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 3
Vektor dengan sifat seperti ini disebut vektor ortonormal
(panjang/norm satu dan saling tegak lurus)
Panjang vektor (norm) A
dapat dihitung dari dalil Phytagoras;
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3A a a a A a a a
Gambar 1 Vektor dalam ruang mempunyai komponen x,y dan z
I. 3 Operasi pada vektor
Sifat vektor dapat dipindah asal norm dan arahnya tetap, jadi jika
ada dua vektor A
dan B
dan C
= A
+ B
Diagram berikut menyatakan penjumlahan kedua vektor ini C
= A
+
B
adalah sama;
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 4
Gambar 1. 2 Penjumlahan vektor
I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor;
Jika A
dan B
dua vektor di Rn maka C
= A
+ B
juga merupakan
vektor yang ada di Rn, artinya
Jika A
=(a1,a2,..,an) dan B
=(b1,b2,..,bn) maka
C
= A
+ B
= (a1+b1,a2+ b2,..,an+ bn)
Contoh
Misalkan A
=(1,2,-2) dan B
= (3,4,-5) maka;
1) C
= A
+ B
=(1+3, 2+4, -2-5) = (4,6,-7)
) C
= A
- B
= A
+ (- B
)=(1,2,-2)+ (-3,-4,5)= (-2,-2,3)
3) C 3A 3 1 2 2 3 6 6, , , ,
I. 5 Jarak antara dua titik
Jika A
=(a1,a2) dan B
=(b1,b2) maka jarak A ke B sama saja dengan
menghitung panjang (norm) vektor AB
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 5
Gambar 1. 3 Jarak antara dua titik A dan B identik dengan panjang
vektor AB dalam hal ini AB B A
Dari gambar kita lihat; B
= A
+ AB
atau
1 2 1 2 1 1 2 2AB B A b b a a b a b a , , ,
Jadi panjang vektor;
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )AB b a b a a b a b BA
I. 6 Perkalian dengan Vektor
1) Perkalian dalam/ titik (inner product/dot product)
Definisi andaikan A
dan B
vektor di R2 atau di R
3 maka
didefinisikan;
A
B
= .A B Cos
sudut yang dibentuk diantara vektor A
dan B
(perhatikan
gambar 1.3)
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 6
Gambar 1. 4 Segitiga
sembarang
Rumus cosinus 2 2 2 2a b c bcCos 2 2 2 2b a c acCos 2 2 2 2c a b abCos
Rumus sinus
2 2 2
2 .AB A B A B Cos
atau dapat juga ditulis;
2 2 2
2 .B A A B A B Cos
Atau dengan menggabungkan definisi dan pernyataan ini diperoleh;
2 2 21
.2
A B A B Cos A B B A
atau dapat ditulis kembali;
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2A B a a b b b a b a a b a b
jadi
1 1 2 2A B a b a b
I. 7 Definisi
Untuk ruang dimensi n, Rn perinsipnya sama, jika 1 2( , ,.... )nA a a a
dan
1 2( , ,.... )nB b b b
a b c
Sin Sin Sin
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 7
maka 1 1 2 2
1
.....
n
n n i iA B a b a b a b a b
I. 8 Perkalian silang/vektor (cross product) Definisi Perkalian vektor atau perkalian silang hanya didefinisikan
untuk R3
Jika A
=(a1,a2,a3) dan B
=(b1,b2,b3) maka A
B
didefinisikan
sebagai;
1 2 3
1 2 3
i j k
A B a a a
b b b
= 2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
a a a a a ai j k
b b b b b b
A
× B
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )i a b a b j a b a b k a b a b
I. 9 Theorema
1) A
× B
= - ( B
× A
) skew symmetry
2) A
× ( B
+C
) = A
× B
+ A
×C
hukum distribusi
3) c( A
× B
) = (c A
)× B
c suatu skalar
4) A
( A
× B
) = 0 ortogonalitas terhadap A
5) B
( A
× B
) = 0 ortogonalitas terhadap B
6) 2 2 2 2 2
2 2( ) sin
A B A B A B A B Identitas Lagrange
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 8
7) A
× B
= O
A
dan B
bergantungan linier, (yang satu merupakan
kelipatan yang lain) disini O
adalah vektor nol, yaitu vektor
dengan panjang nol
Ilustrasi;
Gambar 1. 5 Perkalian dua vektor menentukan arah
I. 10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan
Proses Gramm-Schmidt Diberikan himpunan vector Y= a,b,c,d ingin dicari himpunan vector
ortonormal 1 2 3 4O= e ,e ,e ,e
Penyelesaian
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 9
1
1
1
1
2 2 1
2 1 2 1
Jawab I : Buat Vektor Ortonormal e
a e =
a
II : Buat Ruang Vektor W dengan e dan b
W= e ,b
e * W e *=αe +βb , α,β bil ril sembarang
Jika e * e sehingga e *.e =0 α
1 1
1 1 1 1
1 2 1 1
2 1 1
22 1 2
2
e +βb .e =0
αe .e +βb.e =0 α+βb.e =0
α=-βb.e e *= -βb.e e +βb
Ambil β=1 e *=b- b.e e
e * e = ,maka e dan e Ortonormal.
e *
1 2
3 3 1 2
3 1 1 2 1
1
1
3 2 1 2 2
III: Buat Ruang Vektor U= e ,e ,c
e * U e *=αe +βe +γc, α,β,γ sembarang
i e * e αe +βe +γc e =0
α + β(0) + c.e =0
Ambil γ=1 α=-c.e .
ii e * e αe +βe +γc e =0
0 +
2 2
3 1 1 2 2
33
3
β + γc.e =0 β c.e
e *=c- c.e e - c.e e
*
*
ee
e
IV Buat ruang vector 1 2 3V e e e d, , ,
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 10
4 4 1 2 3
4 1 1 2 3 1
1 1
4 2 1 2 3 2
2 2
4 3 1 2 3 3
e V e e e e d
e e e e e d e 0
0 0 d e 0 ambil 1 d e
e e e e e d e 0
0 0 d e 0 d e
e e e e e d e 0
0 0 d e
* *
*
*
*
3 30 d e
Dengan demikian kita peroleh
4 1 1 2 2 3 3
44
4
e d d e e d e e d e e
ee
e
*
*
*
Sehingga himpunan ortonormal O sudah dapat ditentukan 1 2 3 4O e e e e, , ,
Ilustrasi
1. Diketahui :
1,0,1 , 2,1,0 , 1,1,0A
Carilah himpunan ortonormalnya ?
Penyelesaian:
Misal = a = (-1,0,1) , b=(-2,1,0), c =(-1.1.0)
a. Untuk 1e
1
2 2 2
1,0,1 11,0,1
21 0 1
ae
a
b. Untuk 2e
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 11
Buat ruang vektor 1,
B e b
Maka ada
*
2
*
2 1 1
1 12,1,0 2,1,0 1,0,1 1,0,1
2 2
1 12,1,0 2,1,0 1,0,1 1,0,1 2,1,0 2 1,0,1 1,1, 1
2 2
e B
e b b e e
Maka:
*
22 * 2 2 2
2
1,1, 1 11,1, 1
31 1 1
ee
e
c. Untuk ,
Maka ada * *
3 3 1 1 2 2e e c c e e c e e
*
3
1 11,1,0 1,1,0 1,0,1 1,0,1
2 2
1 11,1,0 1,1, 1 1,1, 1
3 3
1 11,1,0 1,1,0 1,0,1 1,0,1 1,1,0 1,1, 1 1,1, 1
2 3
1 1 1 1 11,1,0 1 1,0,1 2 1,1, 1 , ,
2 3 6 3 6
e
Maka:
*
33 * 2 2 2
3
1 1 1, ,
16 3 61,2,1
61 1 1
6 3 6
ee
e
Sehingga diperoleh:
1 1 11,0,1 , 1,1, 1 , 1,2,1 ,
2 3 6O
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 12
I. 11 Hitung Volume Kotak Vektor A dan B membentuk alas sebuah kotak. Vektor C
menyatakan rusuk tegaknya. Ketiga vektor berada di R3. Hitunglah
volume kotak tersebut.
Penyelesaian
Gambar 1. 6 Kotak dibentuk oleh tiga vector A, B dan C. Sudut
disebut inklinasi. Volume kotak V A B C
Volume = Luas alas kali tinggi= Luas jajaran genjang kali tinggi
1V 2Luassegi tiga tinggi 2 A B sin C cos
2
A B sin C cos A B C cos A B C
Ilustrasi
2. Hitung luas alas, inklinasi dan volume kotak yang dibangun
oleh vektor :
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 13
1,2,3 , 2, 3,1 1,0,2A B dan C dimana
A dan B sebagai alas dan C sebagai rusuk tegak
Penyelesaian:
i. Hitung
2 3 1 3 1 2
1 2 3 11 5 7 11,5, 73 1 2 1 2 3
2 3 1
i j k
A B i j k i j k
ii. Hitung volume kotak
Volume, 11,5, 7 1,0,2 11 0 14 3V A B C
Volume kotak = 3 satuan isi
iii. Hitung inklinasi
cos 3 11,5, 7 1,0,2 cos
33 195 5 cos cos 95,5
31,225
o
A B C A B C
Jadi, sudut inklinasinya adalah 95,5 derajad
I. 12 Kebergantungan Linier Vektor Di Rn
Definisi
Jika vektor S dapat dinyatakan sebagai 1 1 2 2
1
. . .n
i i n nS a b a b a b a b
dengan ai suatu konstanta dan ib menyatakan suatu vector. Maka S
dikatakan merupakan kombinasi linier dari ib
Definisi
Jika 1 1 2 2
1
. . .n
i i n nS a b a b a b a b O .
Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bebas linier jika dan hanya
jika 1 2 . . . na a a o
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 14
Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bergantungan linier jika
ada salah satu ai dalam S yang tidak sama dengan nol
Ilustrasi
1) Periksa apakah 1,2C dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
dari dua vector 3, 4A dan 2, 5B
Penyelesaian: cari konstanta ia dari pernyataan :
1 2 1 2 1 2 1 21,2 3, 4 2, 5 3 2 , 4 5C a A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2 1 2
1 2 2 1
13 2 1 1 2
3
14 5 2 4 2
5
a a a a
a a a a
Kita peroleh 1 2
1 10,
23 23a a
Jadi ada a1 dan a2 yang memenuhi. Jadi vector C merupakan
kombinasi linier dari vector A dan vector B
2) Periksa apakah 1,3C dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
dari dua vector 3,6A dan 1,2B
Penyelesaian: cari ia dari pernyataan :
1 2 1 2 1 2 1 21,3 3,6 1,2 3 ,6 2C a A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2
1 2
3 1 (2)
6 2 3
0 1
a a
a a
Tidak konsisten, jadi tidak ada a1 dan a2 yang memenuhi, jadi
vector C bukan merupakan kombinasi linier dari vector A dan
vector B.
3) Periksa apakah 4,8C dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari dua vector 3,6A dan 1,2B
Penyelesaian: cari ia dari pernyataan :
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 15
1 2 1 2 1 2 1 24,8 3,6 1,2 3 ,6 2 C a A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2
1 2
3 4
6 2 8
a a
a a
Kedua persamaan ini adalah identik jadi kita hanya dapat
menyatakan
Kita peroleh 2 14 3 a a
Jadi ada a1 dan a2 yang tak hingga banyaknya yang memenuhi.
Jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector
B
I. 13 Ruang Bagian (sub-space) Definisi M himpunan satu atau lebih vector dari suatu ruang vector
V dinamakan ruang bagian V jika memenuhi 1) u M, v M u v M
2) R u M
I. 14 Soal Latihan
1) Hitunglah sudut antara A
dan B
serta panjang C
A
+ B
jika;
A=(1,2) dan B=(-1,4)
2) Panjang vektor A
=(1,-2) dan B
= (3,4) membentuk rusuk
suatu jajaran genjang hitunglah luas jajaran genjang tersebut
3) Sebuah kotak dibangun oleh rusuk-rusuk yang dinyatakan
oleh 3 vektor ; A
, B
dan C
. Jika A
dan B
diambil sebagai alas.
a) Buktikan bahwa isi kotak tersebut adalah
V = ( A
x B
) C
.
b) Selanjutnya apabila diketahui vektor
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 16
A
=(1,2,0) dan B
=(-2,1,0) dan C
=(1,2,3). Hitunglah volume kotak
jika A
dan B
menyatakan rusuk dari alas kotak tersebut. Hitung
juga kemiringan(inklinasi), , dari kotak itu
4) Diketahui:
1,0,1,1 , 1, 2,1,0 , 1, 1,1,0 , 1,1,1,1A
Carilah himpunan ortonormalnya ?
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 17
Bab II
Kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks
______________________________________________________
II. 1 Kombinasi Linier Definisi
Jika S dapat dinyatakan sebagai 1 1 2 2
1
. . .n
i i n nS a b a b a b a b
dengan ai suatu konstanta dan bi masing menyatakan suatu vector.
Maka S disebut merupakan kombinasi linier dari bi
Definisi
Jika 1 1 2 2
1
. . .i i n n
i
S a b a b a b a b O
. (3.1)
Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bebas linier jika dan hanya
jika dalam (3.1) dipenuhi 1 2 . . . na a a o
Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bergantungan linier jika
ada salah satu ai dalam (3.1) yang tidak sama dengan nol
Ilustrasi
1) Periksa apakah 1,2C dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
dari dua vector 3, 4A dan 2, 5B
Penyelesaian cari ia dari pernyataan :
1 2 1 2 1 2 1 21,2 3, 4 2, 5 3 2 , 4 5C a A a B a a a a a a
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 18
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2 1 2
1 2 2 1
13 2 1 1 2
3
14 5 2 4 2
5
a a a a
a a a a
Kita peroleh 1 2
1 10,
23 23a a
Jadi ada a1 dan a2 yang memenuhi jadi vector C merupakan
kombinasi linier dari vector A dan vector B
2) Periksa apakah 1,3C dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
dari dua vector 3,6A dan 1,2B
Penyelesaian cari ia dari pernyataan :
1 2 1 2 1 2 1 21,3 1,2 2,4 2 ,2 4 C a A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2
1 2
2 1 kalikan dengan 2
2 4 3 jumlahkan
0 1
a a
a a
Tidak konsisten, jadi tidak ada a1 dan a2 yang memenuhi dengan
kata lain vector C bukan merupakan kombinasi linier dari vector A
dan vector B
3) Periksa apakah 4,8C dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari dua vector 3,6A dan 1,2B
Penyelesaian cari ia dari pernyataan :
1 2 1 2 1 2 1 24,8 3,6 1,2 3 ,6 2 C a A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2
1 2
3 4
6 2 8
a a
a a
Kedua persamaan ini adalah identik jadi kita hanya dapat
menyatakan a1 sebagai fungsi dari a2 atau sebaliknya;
Kita peroleh 2 14 3 a a
Jadi ada a1 dan a2 yang tak hingga banyaknya yang memenuhi.
Jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector
B
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 19
II. 2 Ruang Bagian (sub-space) Definisi M himpunan satu atau lebih vector dari suatu ruang vector
V dinamakan ruang bagian V jika memenuhi 1) u M, v M u v M
2) R u M
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 20
II. 3 M a t r i k s
Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat
digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah
dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks
digunakan untuk menyatakan susunan bilangan-bilangan yang
berbentuk empat persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom.
Bilangan-bilangan dalam matriks tersebut dinamakan entry atau
komponen matriks. Biasanya entry atau komponen-komponen
matriks tersebut dituliskan di antara dua kurung.
Setiap matriks mempunyai ukuran. Ukuran matriks ini ditentukan
oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam matriks
tersebut. Jadi untuk matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom
ukurannya adalah m x n. Untuk menyatakan matriks, biasanya
digunakan huruf besar, sedangkan untuk menyatakan kuantitas-
kuantitas numerik dari komponen (entry) matriks digunakan huruf
kecil. Jadi jika A adalah sebuah matriks, maka aij menyatakan
komponen matriks yang berada pada baris ke-i dan kolom ke-j.
Sebagai contoh, matriks A yang berukuran m x n dituliskan
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
Baris ke-1
Kolom ke-1
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 21
Contoh II.1 :
Macam-macam ukuran matriks
2
1
3
Matrik berukuran 3 x 1
A
A
= 3 2 1
Matriks berukuran 1 x 3
B
B
2
= 3 4
3 1
Matriks berukuran 3 x 2
C
C
=
Matriks berukuran 2 x 4
a b c dD
e f g h
D
11 12 13
21 22 23
31 32 33
41 42 43
Matriks E berukuran 4 x 3
e e e
e e eE
e e e
e e e
2 3 5 1
6 1 4 7
3 8 1 2
Matriks berukuran 3 x 4
F
F
Matriks A yang terdiri dari n baris dan n kolom, dinamakan matriks
bujursangkar atau matriks kuadrat, dan komponen-komponen a11,
a22, . . . , ann dikatakan berada pada diagonal utama.
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
matriks x
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
n n
diagonal utama
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 22
Contoh II.2
Macam-macam matriks bujursangkar
3 4
5 1
matriks 2 x 2
A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
matriks 3 x 3
b b b
B b b b
b b b
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
matriks 4 x 4
c c c c
c c c cC
c c c c
c c c c
4 2 3 1
2 2 6 5
1 3 2 5 4
1 7 3 1
3 1 5 7 1
matriks 5 x 5
e
D
e
Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut
mempunyai ukuran dan komponen yang berkesesuaian yang sama.
Contoh II.3
Tinjaulah matriks-matriks berikut
4 2 1
1 3 5
3 4 2
A
4 2 1
1 3 5
3 4 2
B
4 2 1
2 1 3
3 4 2
C
4 2 1
1 3 5D
Matriks A = B karena keduanya mempunyai ukuran dan komponen
matriks yang sama. Matriks A C karena tidak semua
komponennya berkesesuaian. Matriks A D karena kedua matriks
tidak mempunyai ukuran yang sama. Demikian juga halnya matriks
B C, B D dan C D.
Suatu matriks bujursangkar yang semua komponen pada diagonal
utamanya terdiri dari bilangan satu dan komponen lainnya terdiri
dari nol dinamakan matriks satuan atau matriks identitas. Matriks
satuan ini biasanya dinyatakan dengan huruf I dan jika ukurannya
disertakan maka dituliskan In untuk matriks n x n seperti contoh di
bawah ini.
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 23
1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . .
. . . .
. . . .
0 0 0 . . . 1
Matriks satuan x
nI
n n
2
1 0
0 1
Matriks satuan 2 x 2
I
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriks satuan 3 x 3
I
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Matriks satuan 4 x 4
I
Komponen-komponen suatu matriks dapat terdiri dari nol
semuanya. Matriks semacam ini dinamakan matriks nol dan diberi
simbol O seperti contoh di bawah ini.
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Matriks nol berukuran 3 x 4
O
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Matriks nol berukuran 4 x 4
O
Jika komponen-komponen dalam kolom suatu matriks diubah
menjadi baris maka akan diperoleh matriks baru yang dinamakan
transpos A seperti yang didefinisikan di bawah ini.
Definisi : Jika A adalah sembarang matriks m x n, dan apabila
kolom pertamanya diubah menjadi baris pertama, kolom
keduanya menjadi baris kedua dan seterusnya, maka matriks
yang baru tersebut dinamakan transpos A dan diberi simbol At
dan ukurannya berubah menjadi n x m.
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 24
Contoh II.4 Matriks dan transposnya
3 1 5
6 0 2
4 3 1
A
3 6 4
1 0 3
5 2 1
tA
11 12 13
21 22 23
31 32 33
41 42 43
b b b
b b bB
b b b
b b b
11 21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43
t
b b b b
B b b b b
b b b b
2 3
6 5
1 4
C
2 6 1
3 5 4
tC
3 0 5 1
1 4 1 0
5 2 3 6
D
3 1 5
0 4 2
5 1 3
1 0 6
tD
II. 4 Operasi Matriks
Tidak setiap matriks dapat dijumlahkan atau dikalikan dengan
matriks lain, karena ukuran matrik memegang peranan dalam
penjumlahan dan perkalian matriks.
Definisi : Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama,
misalkan m x n, maka A + B adalah matriks yang diperoleh
dengan menjumlahkan semua komponen yang berkesesuaian
(komponen yang menempati posisi yang sama) dalam kedua
matriks tersebut. Sedangkan A B adalah matriks yang
diperoleh dengan mengurangkan semua komponen A dengan
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 25
komponen yang berkesesuaian dari matriks B. Matriks baru hasil
penjumlahan atau pengurangan tersebut, mempunyai ukuran
yang sama yaitu m x n, karena itu matriks yang ukurannya
berlainan tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh II.5
Tinjaulah matriks-matriks berikut,
1 5 3
3 2 6
4 0 5
2 1 2
A
2 1 4
5 2 3
6 3 2
3 1 2
B
2 5 4
3 6 1
1 4 5
C
Matriks A ditambah matriks B adalah,
1 5 3 2 1 4 1 2 5 1 3 4
3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3
4 0 5 6 3 2 4 6 0 3 5 2
2 1 2 3 1 2 2 3 1 1 2 2
A B
1 4 7
8 4 3
2 3 3
1 0 0
Matriks A + C dan B + C tidak didefinisikan karena ukurannya
berbeda.
Untuk pengurangan dapat dilakukan langsung seperti penjumlahan
dan syaratnya pun sama yaitu kedua matriks harus berukuran sama.
Jadi matriks A C dan B C tidak terdefinisi karena ukurannya
berbeda, sedangkan matriks A dikurangi matriks B adalah,
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 26
1 5 3 2 1 4 1 ( 2) 5 ( 1) 3 4
3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3
4 0 5 6 3 2 4 (6) 0 ( 3) 5 ( 2)
2 1 2 3 1 2 2 ( 3) 1 1 2 2
A B
3 6 1
2 0 9
10 3 7
5 2 4
Definisi : Jika k adalah sebuah skalar dan A adalah sebuah
matriks, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh
dengan mengalikan semua komponen matriks A dengan k.
Contoh II.6
Jika matriks A adalah, 9 2 5
7 4 3A
maka,
(3)(9) (3)( 2) (3)(5) 27 6 153
(3)(7) (3)(4) (3)( 3) 21 12 9
1
3 3
A
Aartinya A
dan ( 1)A ( 1)(9) ( 1)( 2) ( 1)(5) 9 2 5
( 1)(7) ( 1)(4) ( 1)( 3) 7 4 3
Teorema II.1
Andaikan matrik A, B, C dan O (matriks nol) mempunyai
ukuran yang sama, dan k serta l adalah skalar. maka
1. A + B = B + A (Hukum komutatif untuk
penjumlahan)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum assosiatif untuk
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 27
penjumlahan)
3. k(A + B) = kA + k B = (A + B) k
4. k(A B) = kA kB = (A B)k
5. A + O = O + A = A
6. A A = O
7. O A = - A
8. (k + l)A = kA + lA = A(k + l)
9. (k l)A = kA lA = A(k l)
10. (kl)A = k(lA)
Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x
n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang komponen-
komponennya ditentukan sebagai berikut; Untuk mendapatkan
komponen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks AB,
ambil baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B.
Kalikan komponen-komponen yang berkesesuaian dari baris
dan kolom, kem udian jumlahkan semua hasil kali tersebut.
Dari definisi di atas dapat kita lihat bahwa dua matriks dapat
diperkalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama banyaknya
dengan jumlah baris matriks kedua. Untuk mempermudah
mengingat dapat digunakan Gambar II.1. Dari gambar tersebut, jika
ukuran matriks yang berada di sebelah dalam sama, maka hasil
kalinya dapat didefinisikan, dan ukuran matriks yang berada di
sebelah luar memberikan ukuran hasil kali matriks tersebut.
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 28
A
m x r
B
r x n
= AB
m x n
Gambar II.1
Contoh II.7
Misalkan A adalah matriks 2 x 4, B adalah matriks 4 x 3 dan C
matriks 2 x 3.
Matriks A dengan matriks B dapat diperkalikan karena jumlah
kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B yaitu 4. Hasil
kalinya yaitu matriks AB mempunyai ukuran 2 x 3.
Matriks A dengan matriks C tidak dapat diperkalikan karena
jumlah kolom matriks A (4) tidak sama dengan jumlah baris matriks
C (3).
Matriks B dengan matriks C dapat diperkalikan karena jumlah
kolom matriks B sama dengan jumlah baris matris C yaitu 3. Hasil
kalinya yaitu matriks BC mempunyai ukuran 4 x 3.
Untuk mendapatkan komponen-komponen matriks hasil perkalian
dapat dilihat dalam contoh di bawah ini.
Contoh II.8
Diketahui tiga matriks berikut,
2 1 3
3 4 5A
1 3 6 2
5 3 0 1
2 4 1 5
B
3 1
4 5
2 1
C
Tentukanlah hasil kali AB, AC dan BC.
Jawab :
di luar
Ukuran
matriks hasil
perkalian
di dalam
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 29
Matriks A berukuran 2 x 3 sedangkan matriks B berukuran 3 x 4,
jadi matriks A dan matriks B dapat diperkalikan dan hasilnya adalah
matriks 2 x 4 seperti di bawah ini,
-1 3 6 2
2 -1 3 5 3 0 1
-3 4 52 4 1 5
AB
(2)(-1) + (-1)(5) + (3)(2) (2)(3) + (-1)(-3) + (3)(4) (2)(6) ( 1)(0) (3)(1) (2)( 2) ( 1)(1) (3)(5)
( 3)( 1) (4)(5) (5)(2) ( 3)(3) (4)( 3) (5)(4) ( 3)(6) (4)(0) (5)(1) ( 3)( 2) (4)(1) (5)(5)
-1 21 15 10
33 -1 -13 35
Matriks A berukuran 2 x 3 sedangkan matriks C berukuran 3 x 2,
jadi matriks A dan matriks C dapat diperkalikan dan hasilnya adalah
matriks 2 x 2 seperti di bawah ini,
3 12 1 3
4 53 4 5
2 1
AC
(2)(3) ( 1)(4) (3)( 2) (2)(1) ( 1)( 5) (3)(1)
( 3)(3) ((4)(4) (5)( 2) ( 3)(1) (4)( 5) (5)(1)
4 10
3 18
Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks C berukuran 3 x 2,
jadi matriks B dan C tidak dapat dikalikan, atau BC tidak
terdefinisi.
Hukum komutatif untuk perkalian dalam bilangan riil, tidak berlaku
dalam perkalian matriks, karena AB tidak selalu sama dengan BA.
Contoh II.9
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 30
Diketahui matriks A, B dan C seperti contoh II.8. Tentukanlah BA,
CA dan CB.
Jawab :
Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks A berukuran 2 x 3,
jadi matriks A dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau BA tidak
terdefinisi.
Matriks C berukuran 3 x 2 sedangkan matriks A berukuran 2 x 3,
jadi matriks C dan matriks A dapat diperkalikan dan hasilnya adalah
matriks 2 x 2 seperti di bawah ini,
AC = 3 1
2 1 34 5
3 4 52 1
= (3)(2) (1)( 3) (3)( 1) (1)(4) (3)(3) (1)(5)
(4)(2) ( 5)( 3) (4)( 1) ( 5)(4) (4)(3) ( 5)(5)
( 2)(2) (1)( 3) ( 2)( 1) (1)(4) ( 2)(3) (1)(5)
= 3 1 14
23 24 13
7 6 1
Matriks C berukuran 3 x 2 dan matriks B berukuran 3 x 4, jadi
matriks C dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau CB tidak
terdefinisi.
Dari contoh II.8 dan II.9 tersebut dapat kita lihat bahwa AB BA
dan AC CA.
Teorema II.2
Jika matriks A, B, C dan matriks nol O mempunyai ukuran yang
memenuhi untuk penjumlahan dan perkalian matriks yang
diperagakan di bawah ini, dan k adalah suatu konstanta, maka
a. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)
b. A(B + C) = AB + AC (hukum distributif)
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 31
c. (A + B)C = AC + BC (hukum distributif)
d. A(B C) = AB AC
e. (A B)C = AC BC
f. k(BC) = (kB)C = B(kC)
g. AO = O ; OA = O
Jika A adalah matriks m x n, In adalah matriks satuan berukuran n x
n dan Im adalah matriks satuan m x m maka AIn = A dan ImA = A.
Jadi matriks satuan memegang peranan yang penting dalam
perkalian matriks yang peranannya mirip dengan bilangan 1 dalam
hubungan numerik a.1 = 1. a = a
Contoh II.10 Tinjau matriks-matriks berikut,
11 12 13
21 22 23
a a aA
a a a
2
1 0
0 1I
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
Jika matriks I2 dikalikan dengan matriks A hasilnya adalah,
11 12 13 11 12 13
2
21 22 23 21 22 23
1 0
0 1
a a a a a aI A A
a a a a a a
Jika matriks A dikalikan dengan matriks I3 hasilnya adalah,
11 12 13 11 12 13
3
21 22 23 21 22 23
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a a a aAI A
a a a a a a
Dalam perkalian bilangan riil berlaku pernyataan berikut,
(i) Jika ab = ac dan a 0 maka b = c
(ii) Jika ad = 0 maka a = 0 atau d = 0
Dalam perkalian matriks, pernyataan ini tidak selalu benar seperti
yang diberikan dalam contoh berikut.
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 32
Contoh II.11
Diketahui matriks-matriks berikut,
0 1
0 2A
1 1
3 4B
2 5
3 4C
3 7
0 0D
Kalikan matriks A dengan matriks B dan kalikan matriks A dan
matriks C, diperoleh
0 1 1 1 3 4
0 2 3 4 6 8
AB
0 1 2 5 3 4
0 2 3 4 6 8AC
Dari kedua perkalian di atas didapatkan bahwa AB = AC, akan
tetapi B C.
Kalikan matriks A dengan matriks D, diperoleh
0 1 3 7 0 0
0 2 0 0 0 0
AD
Walaupun hasil perkalian di atas menunjukkan bahwa AD = O akan
tetapi A O dan juga D O.
Dari perkalian matriks yang telah dibahas di atas, dapat
didefinisikan pangkat dalam matriks sebagai berikut,
Definisi: Jika A adalah matriks bujursangkar, maka pangkat
bilangan bulat tak negatif dari matriks A ini didefinisikan
sebagai berikut,
A0 = I A
n = A A A . . . A (n >0)
n buah A
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 33
Perkalian matriks yang mempunyai pangkat, sama dengan perkalian
bilangan riil yang berpangkat seperti ditunjukkan dalam teorema di
bawah ini.
Teorema II.3 Jika A adalah matriks bujursangkar, r dan s adalah bilangan
bulat, maka
ArA
s = A
r+s dan (A
r) s = A
rs
Contoh II.12
Diketahui matriks A = 2 1
3 4
A3 = A A A =
2 1 2 1 2 1
3 4 3 4 3 4
= 1 6 2 1
18 13 3 4
= 16 25
75 34
A4 = A
3 A
1 =
16 25 2 1
75 34 3 4
= 107 84
252 61
Teorema II.4
Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat
dilakukan, maka
a. (At ) t = A
b. (A + B) t = A
t + B
t
c. (kA) t = k A
t , di mana k adalah skalar sebarang
Contoh II.13.
Diketahui matriks 1 3 6 2
5 3 0 1
2 4 1 5
A
dan 1 5 2 1
3 2 4 3
6 0 1 4
B
n buah matriks A
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 34
1 5 2
3 3 4
6 0 1
2 1 5
tA
1 3 6
5 2 0
2 4 1
1 3 4
tB
1 3 6 2
( ) 5 3 0 1
2 4 1 5
t tA A
1 3 6 2 1 5 2 1 0 8 8 1
5 3 0 1 3 2 4 3 8 1 4 2
2 4 1 5 6 0 1 4 8 4 2 9
A B
(A + B)t =
0 8 8
8 1 4
8 4 2
1 2 9
t tA B =
1 5 2
3 3 4
6 0 1
2 1 5
+
1 3 6
5 2 0
2 4 1
1 3 4
=
0 8 8
8 1 4
8 4 2
1 2 9
1 3 6 2 2 6 12 4
2 2 5 3 0 1 10 6 0 2
2 4 1 5 4 8 2 10
A
2 10 4 1 5 2
6 6 8 3 3 4(2 ) 2 2
12 0 2 6 0 1
4 2 10 2 1 5
t tA A
II.5 Latihan 1. Tentukanlah tranpos matriks-matriks berikut,
(i) A = 2 4
7 5
(ii) B = 3 6 7
8 5 1
2 9 4
(iii) C =
1 4 9 5
7 5 2 6
9 6 4 10
10 8 3 7
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 35
2. Tinjaulah matriks-matriks berikut,
A = 3 6 7
8 5 1
3 8
7 2
4 1
B
6 5
5 7
2 4
C
1 9 4
2 8 3
6 7 5
D
7 1 3
1 2 4
5 6 8
E
4 7 9 6
5 0 5 3
1 8 4 2
F
Hitunglah :
(a) A + B (b) A + D (c) B + C (d) C + B
(e) C + E (f) D + E (g) D + F (h) E + F
3. Hitunglah untuk matriks-matriks pada soal nomor 2.
(a) A B (b) A D (c) B C (d) C B
(e) C E (f) D E (g) D F (h) E F
4. Untuk matriks-matriks dalam soal nomor 2, hitunglah,
(a) At B (b) A D
t (c) (B C)
t (d) (C B)
t
(e) C E (f) (D E)t (g) (ED)
t (h) E
tD
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 36
Y
X
)3
4,0(
( 2 , 0 )
BAB III. Sistem Persamaan Linier & Matriks
____________________________________________________
III. 1 Persamaan Linier Persamaan linier umumnya ditulis sebagai
1 1 2 2 . . .
, konstanta, variabel peubah bebas
n n n
i i i
a x a x a x b
a b x
Ciri-cirinya
- Semua variabel berpangkat Satu
- Semua suku hanya memiliki satu variabel
Secara geometri Persamaan Linier dengan ;
- 2 variabel menyatakan suatu garis lurus
- 3 variabel menyatakan suatu bidang
Contoh :
1. Dua variabel 2x + 3y = 4
2tan disebut gradien atau koefisien arah
3
y = -3
2x +
3
4
2. Tiga variabel 3x + 4 y + z = 5
Z
Y
X
( 0 , 0 , 5 )
( 0 , , 0 )
( , 0 , 0 )
4
5
3
5
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 37
Jika bn = 0 , maka persamaan itu dinamakan “ Persamaan Linier
Homogen ” .
Secara geometri artinya
o 2 variabel garis lurus yang melalui (0,0)
o 3 variabel bidang datar yang melalui (0,0,0)
III. 2 Sistem persamaan linier
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier
dalam peubah bebas 1 2, , . . ., nx x x dinamakan sistem persamaan
linier atau sistem linier. Bentuk umum dari sistem persamaan linier
yang terdiri dari m persamaan linier dan n bilangan tak diketahui
adalah,
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . +
di mana 1 2, , . . ., nx x x adalah bilangan-bilangan tidak diketahui
(variabel), aij (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) adalah koefisien
bilangan yang diketahui nilainya dan bi adalah konstanta. Tanda
subscript pada koefisien aij merupakan alat untuk mempermudah
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 38
dalam menyatakan letak koefisien tersebut dalam persamaan.
Subscript pertama yaitu i menyatakan persamaan yang ke-i dalam
sistem persamaan linier tersebut, sedangkan subscript kedua yaitu j
menyatakan letak koefisien tersebut pada bilangan yang tidak
diketahui sebagai padanan perkaliannya. Sebagai contoh a23 adalah
koefisien yang berada di persamaan kedua, kolom ke tiga yang
dikalikan dengan x3.
III. 3 Operasi baris elementer
Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linier yaitu,
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . +
Dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian matri
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
Pemecahan sistem persamaan linier ini tidak akan berubah jika,
Dua baris dari sistem persamaan linier tersebut saling bertukar
tempat.
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 39
Suatu baris dari sistem persamaan linier tersebut dikalikan
dengan suatu bilangan tetap 0.
Suatu baris diganti oleh jumlah baris tersebut dengan kali baris
yang lain.
Ketiga operasi ini dinamakan operasi baris elementer (disingkat
OBE) dan masing-masing dinyatakan oleh simbol Oij, Oi() dan
Oij(). Jadi,
Oij berarti baris ke-i dan baris ke-j saling tukar tempat
Oi( ) berarti baris ke-i diganti dengan kali baris ke-i.
Oij( ) berarti baris ke-i diganti oleh baris ke-i yang sudah
ditambah dengan kali baris ke-j.
Dengan menggunakan operasi baris elementer (disebut juga metode
Gauss) ini kita dapat memecahkan sistem persamaan linier seperti
pada contoh berikut,
Contoh I.3
Carilah pemecahan atau jawab sistem persamaan linier berikut,
x y z
x y z
x y z
2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
J awab :
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 40
Untuk memecahkan sistem persamaan di atas akan digunakan
operasi baris elementer sebagai berikut,
x y z
x y z
x y z
2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
Langkah
pertama, baris
kedua diganti
oleh baris kedua
yang sudah
ditambah -2 kali
baris pertama,
diperoleh
x y z
y z
x y z
2 9
2 7 17
3 6 5 0
Langkah kedua,
baris ketiga
diganti oleh
baris ketiga yang
sudah ditambah
-3 kali baris
pertama,
diperoleh
7
x y z
y z
y z
2 9
2 17
3 11 27
Langakah ketiga,
baris kedua
diganti oleh baris
kedua yang
sudah dikalikan
dengan 1/2,
diperoleh
2
x y z
y z
y z
2 9
3 11 27
17
2
7
Langkah
keempat, baris
ketiga diganti
oleh baris ketiga
yang sudah
ditambah
dengan -3 kali
baris kedua,
diperoleh
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 41
2
1
2
x y z
y z
z
2 9
17
2
3
2
7
Langkah kelima,
baris ketiga
diganti oleh
baris ketiga yang
sudah dikalikan
dengan - 1/2,
diperoleh
2
x y z
y z
z
2 9
3
17
2
7
Langkah keenam,
baris kedua
diganti oleh
baris kedua yang
sudah ditambah
2/7 kali baris
ketiga, diperoleh
x y z
y
z
2 9
2
3
Langkah ketujuh.
baris pertama
diganti oleh baris
pertama yang
sudah ditambah
dengan -2 kali
baris ketiga,
diperoleh
x y
y
z
3
2
3
Langkah
kedelapan, baris
pertama diganti
oleh baris
pertama yang
sudah ditambah
dengan -1 kali
baris kedua,
diperoleh
x
y
z
1
2
3
Jadi pemecahannya adalah, x = 1, y = 2 dan
z = 3.
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 42
III. 4 Sistem persamaan linier homogen
Sistem persamaan linier yang semua suku konstantanya berharga
nol disebut sistem persamaan linier homogen. Bentuk umum dari
sistem persamaan linier homogen adalah,
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
n n
n n
m m mn n
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . +
Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang
konsisten, karena 1 20, 0, . . ., 0nx x x selalu merupakan
pemecahan dari sistem tersebut. Pemecahan seperti itu dinamakan
pemecahan trivial. Jika ada pemecahan lain selain pemecahan
trivial, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan
taktrivial/non trivial.
Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka
terdapat satu pemecahan atau takterhingga banyaknya pemecahan.
Salah satu dari pemecahan tersebut adalah pemecahan trivial,
karena itu dapat dibuat pernyataan berikut. Untuk sistem persamaan
linier homogen, salah satu pernyataan berikut benar,
Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.
Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan
tak trivial dan salah satu diantaranya adalah pemecahan trivial.
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 43
Jika sistem persamaan homogen melibatkan lebih banyak bilangan
tidak diketahui daripada banyaknya persamaan, maka sistem
tersebut dipastikan mempunyai pemecahan taktrivial.
Contoh I.5
Carilah pemecahan sistem persamaan linier di bawah ini
x y z w
x y w
x y z w
2 0
0
4 3 0
Sistem persamaan linier terahir adalah
x z w
y z
0
0 atau
w x z
z y
Untuk x = s dan y = t maka z = t dan w = -s - t. Berapa saja nilai s
dan t diambil akan merupakan pemecahan dari sistem persamaan
linier homogen di atas. Pemecahan trivial dipenuhi untuk s = 0 dan
t = 0.
Catatan
1) Jika pada suatu persamaan diperoleh pernyataan
1 2 n n n0x 0x . . .0x b ,b 0 maka SPL tersebut dikatakan
inkonsisten, artinya sistim persamaan linier tidak mempunyai
solusi
2) Jika pada suatu persamaan diperoleh pernyataan
1 2 n n n0x 0x . . .0x b ,b 0 maka persamaan tersebut dapat
dihilangkan dan tidak mempengaruhi hasil
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 44
Soal Latihan
1. Carilah x,y, dan z dari sistim persamaan linier berikut dengan
metode Gauss
2 2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
x y z
x y z
x y z
2. Carilah solusi sistim persamaan linier x,y,z, dan u, berikut dengan
metode Gauss,bila ada
2 9
2 4 3 2 1
3 6 5 0
3 6 5 3 0
x y z u
x y z u
x y z
x y z u
III. 5 Operasi Matriks
Tidak setiap matriks dapat dijumlahkan atau dikalikan dengan
matriks lain, karena ukuran matrik memegang peranan dalam
penjumlahan dan perkalian matriks.
Definisi : Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran
sama, misalkan m x n, maka A + B adalah matriks yang
diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen yang
berkesesuaian (komponen yang menempati posisi yang sama)
dalam kedua matriks tersebut. Sedangkan A B adalah matriks
yang diperoleh dengan mengurangkan semua komponen A
dengan komponen yang berkesesuaian dari matriks B. Matriks
baru hasil penjumlahan atau pengurangan tersebut, mempunyai
ukuran yang sama yaitu m x n, karena itu matriks yang
ukurannya berlainan tidak dapat dijumlahkan atau
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 45
dikurangkan.
Contoh II.5
Tinjaulah matriks-matriks berikut,
1 5 3
3 2 6
4 0 5
2 1 2
A
2 1 4
5 2 3
6 3 2
3 1 2
B
2 5 4
3 6 1
1 4 5
C
Matriks A ditambah matriks B adalah,
1 5 3 2 1 4 1 2 5 1 3 4
3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3
4 0 5 6 3 2 4 6 0 3 5 2
2 1 2 3 1 2 2 3 1 1 2 2
A B
1 4 7
8 4 3
2 3 3
1 0 0
Matriks A + C dan B + C tidak didefinisikan karena ukurannya
berbeda.
Untuk pengurangan dapat dilakukan langsung seperti
penjumlahan dan syaratnya pun sama yaitu kedua matriks harus
berukuran sama. Jadi matriks A C dan B C tidak terdefinisi
karena ukurannya berbeda, sedangkan matriks A dikurangi matriks
B adalah,
1 5 3 2 1 4 1 ( 2) 5 ( 1) 3 4
3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3
4 0 5 6 3 2 4 (6) 0 ( 3) 5 ( 2)
2 1 2 3 1 2 2 ( 3) 1 1 2 2
A B
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 46
3 6 1
2 0 9
10 3 7
5 2 4
Definisi : Jika k adalah sebuah skalar dan A adalah sebuah
matriks, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh
dengan mengalikan semua komponen matriks A dengan k.
Contoh II.6
Jika matriks A adalah, 9 2 5
7 4 3A
maka, (3)(9) (3)( 2) (3)(5) 27 6 15
3 (3)(7) (3)(4) (3)( 3) 21 12 9
A
dan ( 1)A ( 1)(9) ( 1)( 2) ( 1)(5) 9 2 5
( 1)(7) ( 1)(4) ( 1)( 3) 7 4 3
Teorema II.1
Andaikan matrik A, B, C dan O (matriks nol) mempunyai ukuran
yang sama, dan k serta l adalah skalar. maka
a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan)
b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum assosiatif untuk
penjumlahan)
c) k(A + B) = kA + k B = (A + B) k
d) k(A B) = kA kB = (A B)k
e) A + O = O + A = A
f) A A = O
g) 1.A = A
h) (k + l)A = kA + lA = A(k + l)
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 47
i) (k l)A = kA lA = A(k l)
j) (kl)A = k(lA)
Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x
n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang komponen-
komponennya ditentukan sebagai berikut; Untuk mendapatkan
komponen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks AB,
ambil baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B.
Kalikan komponen-komponen yang berkesesuaian dari baris
dan kolom tersebut, kemudian jumlahkan semua hasil kali
tersebut.
Dari definisi di atas dapat kita lihat bahwa dua matriks dapat
diperkalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama banyaknya
dengan jumlah baris matriks kedua. Untuk mempermudah
mengingat dapat digunakan Gambar II.1. Dari gambar tersebut, jika
ukuran matriks yang berada di sebelah dalam sama, maka hasil
kalinya dapat didefinisikan, dan ukuran matriks yang berada di
sebelah luar memberikan ukuran hasil kali matriks tersebut.
A
m x r
B
r x n
= AB
m x n
Gambar II.1
Contoh II.7
Misalkan A adalah matriks 2 x 4, B adalah matriks 4 x 3 dan C
matriks 3 x 3.
Ukuran matriks
hasil perkalian
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 48
Matriks A dengan matriks B dapat diperkalikan karena jumlah
kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B yaitu 4.
Hasil kalinya yaitu matriks AB mempunyai ukuran 2 x 3.
Matriks A dengan matriks C tidak dapat diperkalikan karena
jumlah kolom matriks A (4) tidak sama dengan jumlah baris
matriks C (3).
Matriks B dengan matriks C dapat diperkalikan karena jumlah
kolom matriks B sama dengan jumlah baris matris C yaitu 3.
Hasil kalinya yaitu matriks BC mempunyai ukuran 4 x 3.
Untuk mendapatkan komponen-komponen matriks hasil
perkalian dapat dilihat dalam contoh di bawah ini.
Contoh II.8
Diketahui tiga matriks berikut,
2 1 3
3 4 5A
1 3 6 2
5 3 0 1
2 4 1 5
B
3 1
4 5
2 1
C
Tentukanlah hasil kali AB, AC dan BC.
Jawab :
Matriks A berukuran 2 x 3 sedangkan matriks B berukuran 3 x 4,
jadi matriks A dan matriks B dapat diperkalikan dan hasilnya adalah
matriks 2 x 4 seperti di bawah ini,
-1 3 6 2
2 -1 3 5 3 0 1
-3 4 52 4 1 5
AB
(2)(-1) + (-1)(5) + (3)(2) (2)(3) + (-1)(-3) + (3)(4) (2)(6) ( 1)(0) (3)(1) (2)( 2) ( 1)(1) (3)(5)
( 3)( 1) (4)(5) (5)(2) ( 3)(3) (4)( 3) (5)(4) ( 3)(6) (4)(0) (5)(1) ( 3)( 2) (4)(1) (5)(5)
-1 21 15 10
33 -1 -13 35
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 49
Matriks A berukuran 2 x 3 sedangkan matriks C berukuran 3 x 2,
jadi matriks A dan matriks C dapat diperkalikan dan hasilnya adalah
matriks 2 x 2 seperti di bawah ini,
3 12 1 3
4 53 4 5
2 1
AC
(2)(3) ( 1)(4) (3)( 2) (2)(1) ( 1)( 5) (3)(1)
( 3)(3) ((4)(4) (5)( 2) ( 3)(1) (4)( 5) (5)(1)
4 10
3 18
Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks C berukuran 3 x 2,
jadi matriks B dan C tidak dapat dikalikan, atau BC tidak
terdefinisi.
Hukum komutatif untuk perkalian dalam bilangan riil, tidak
berlaku dalam perkalian matriks, karena AB tidak selalu sama
dengan BA.
Contoh II.9
Diketahui matriks A, B dan C seperti contoh II.8. Tentukanlah BA,
CA dan CB.
Jawab :
Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks A berukuran 2 x 3,
jadi matriks A dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau BA tidak
terdefinisi.
Matriks C berukuran 3 x 2 sedangkan matriks A berukuran 2 x 3,
jadi matriks C dan matriks A dapat diperkalikan dan hasilnya adalah
matriks 2 x 2 seperti di bawah ini,
3 12 1 3
4 5 3 4 5
2 1
CA
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 50
=
(3)(2) (1)( 3) (3)( 1) (1)(4) (3)(3) (1)(5)
(4)(2) ( 5)( 3) (4)( 1) ( 5)(4) (4)(3) ( 5)(5)
( 2)(2) (1)( 3) ( 2)( 1) (1)(4) ( 2)(3) (1)(5)
=
3 1 14
23 24 13
7 6 1
Matriks C berukuran 3 x 2 dan matriks B berukuran 3 x 4, jadi
matriks C dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau CB tidak
terdefinisi.
Dari contoh II.8 dan II.9 tersebut dapat kita lihat bahwa AB BA
dan AC CA.
Teorema II.2
Jika matriks A, B, C dan matriks nol O mempunyai ukuran
yang memenuhi untuk penjumlahan dan perkalian matriks
yang diperagakan di bawah ini, dan k adalah suatu konstanta,
maka
a. A(BC) = (AB)C (hukum asosiatif untuk perkalian)
b. A(B + C) = AB + AC (hukum distributif)
c. (A + B)C = AC + BC (hukum distributif)
d. A(B C) = AB AC
e. (A B)C = AC BC
f. k(BC) = (kB)C = B(kC)
g. AO = O ; OA = O
Jika A adalah matriks m x n, In adalah matriks satuan berukuran
n x n dan Im adalah matriks satuan m x m maka AIn = A dan ImA =
A. Jadi matriks satuan memegang peranan yang penting dalam
perkalian matriks yang peranannya mirip dengan bilangan 1 dalam
hubungan numerik a.1 = 1. a = a.
Contoh II.10
Tinjau matriks-matriks berikut,
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 51
11 12 13
21 22 23
a a aA
a a a
2
1 0
0 1I
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
Jika matriks I2 dikalikan dengan matriks A hasilnya adalah,
11 12 13 11 12 13
2
21 22 23 21 22 23
1 0
0 1
a a a a a aI A A
a a a a a a
Jika matriks A dikalikan dengan matriks I3 hasilnya adalah,
11 12 13 11 12 13
3
21 22 23 21 22 23
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a a a aAI A
a a a a a a
Dalam perkalian bilangan riil berlaku pernyataan berikut,
(i) Jika ab = ac dan a 0 maka b = c
(ii) Jika ad = 0 maka a = 0 atau d = 0
Dalam perkalian matriks, pernyataan ini tidak selalu benar seperti
yang diberikan dalam contoh berikut.
Contoh II.11
Diketahui matriks-matriks berikut,
0 1
0 2A
1 1
3 4B
2 5
3 4C
3 7
0 0D
Kalikan matriks A dengan matriks B dan kalikan matriks A dan
matriks C, diperoleh 0 1 1 1 3 4
0 2 3 4 6 8
AB
0 1 2 5 3 4
0 2 3 4 6 8
AC
Dari kedua perkalian di atas didapatkan bahwa AB = AC, akan
tetapi B C.
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 52
Kalikan matriks A dengan matriks D, diperoleh
0 1 3 7 0 0
0 2 0 0 0 0
AD
Walaupun hasil perkalian di atas menunjukkan bahwa AD = O akan
tetapi A O dan juga D O.
Dari perkalian matriks yang telah dibahas di atas, dapat
didefinisikan pangkat dalam matriks sebagai berikut,
Definisi: Jika A adalah matriks bujursangkar, maka pangkat
bilangan bulat tak negatif dari matriks A ini didefinisikan
sebagai berikut,
A0 = I A
n = A A A . . . A
(n >0)
n buah A
Perkalian matriks yang mempunyai pangkat, sama dengan perkalian
bilangan riil yang berpangkat seperti ditunjukkan dalam teorema di
bawah ini.
Teorema II.3
Jika A adalah matriks bujursangkar, r dan s adalah bilangan
bulat, maka
ArA
s = A
r+s dan (A
r) s = A
rs
Contoh II.12
n buah matriks A
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 53
Diketahui matriks A = 2 1
3 4
A3 = A A A =
2 1 2 1 2 1
3 4 3 4 3 4
= 1 6 2 1
18 13 3 4
= 16 25
75 34
A4 = A
3 A
1 =
16 25 2 1
75 34 3 4
= 107 84
252 61
Teorema II.4
Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat
dilakukan, maka
a. (At ) t = A
b. (A + B) t = A
t + B
t
c. (kA) t = k A
t , di mana k adalah sebarang skalar
Contoh II.13.
Diketahui matriks
1 3 6 2
5 3 0 1
2 4 1 5
A
dan
1 5 2 1
3 2 4 3
6 0 1 4
B
1 5 2
3 3 4
6 0 1
2 1 5
tA
1 3 6
5 2 0
2 4 1
1 3 4
tB
1 3 6 2
( ) 5 3 0 1
2 4 1 5
t tA A
1 3 6 2 1 5 2 1 0 8 8 1
5 3 0 1 3 2 4 3 8 1 4 2
2 4 1 5 6 0 1 4 8 4 2 9
A B
(A + B)T =
0 8 8
8 1 4
8 4 2
1 2 9
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 54
t tA B =
1 5 2
3 3 4
6 0 1
2 1 5
+
1 3 6
5 2 0
2 4 1
1 3 4
=
0 8 8
8 1 4
8 4 2
1 2 9
1 3 6 2 2 6 12 4
2 2 5 3 0 1 10 6 0 2
2 4 1 5 4 8 2 10
A
2 10 4 1 5 2
6 6 8 3 3 4(2 ) 2 2
12 0 2 6 0 1
4 2 10 2 1 5
t tA A
III. 6 Latihan 1. Tentukanlah tranpos matriks-matriks berikut,
(i) A = 2 4
7 5
(ii) B =
3 6 7
8 5 1
2 9 4
(iii) C =
1 4 9 5
7 5 2 6
9 6 4 10
10 8 3 7
2. Tinjaulah matriks-matriks berikut,
A = 3 6 7
8 5 1
3 8
7 2
4 1
B
6 5
5 7
2 4
C
Jadi (A + B)t =A
t + B
t
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 55
1 9 4
2 8 3
6 7 5
D
7 1 3
1 2 4
5 6 8
E
4 7 9 6
5 0 5 3
1 8 4 2
F
Hitunglah :
(a) A + B (b) A + D (c) B + C (d) C + B
(e) C + E (f) D + E (g) D + F (h) E + F
3. Hitunglah untuk matriks-matriks pada soal nomor 2.
(a) A B (b) A D (c) B C (d) C B
(e) C E (f) D E (g) D F (h) E F
4. Untuk matriks-matriks dalam soal nomor 2, hitunglah,
(a) AB (b) BA (c) AD (d) DA
(e) BC (f) BF (g) CD (h) DC
(i) DE (j) ED (k) EF (l) FE
5.Diketahui 8 1
= 3 2 4 7 6
a b b c
d c a d
. Tentukanlah harga a, b, c dan d.
6. Misalkan 0 1
0 2A
. Carilah matriks B berukuran 2 x 2 yang
memenuhi,
(a) AB = 0 (b) BA = 0
7. Diketahui matriks-matriks berikut,
A = 1 4 2
1 4 2
B =
1 2
1 3
5 2
C =
2 2
1 1
1 3
Hitunglah,
(a) B +C (b) AB (c) BA (d) AC (e) CA (f) A(2B 3C)
8. Tinjaulah matriks-matriks berikut,
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 56
3 0
1 2
1 1
A
B = 4 1
0 2
1 4 2
3 1 5C
1 5 2
1 0 1
3 2 4
D
6 1 3
1 1 2
4 1 3
E
Hitunglah,
(a) AB (b) D + E (c) D E (d) DE (e) ED (f) 7B
9. Dengan menggunakan matriks-matriks pada soal nomor 8,
hitunglah operasi-operasi di bawah ini.
(a) 3C D (b) (3E)D (c) (AB)C (d) A(BC) (e) (4B)C
+ 2B (f) D + E2
10. Hitunglah AB BA di mana,
2 0 0
1 1 2
1 2 1
A
3 1 2
3 2 4
3 5 11
B
11. Carilah harga a, b, c dan d yang memenuhi persamaan matriks
berikut,
(i) 0 0 1 0 1
1 0 0 0 9
0 1 0 0 6
0 0 0 1 5
a
b
c
d
(ii)
1 0 2 0
0 0 1 1 1 0 6 6
1 4 9 2 0 1 0 0 1 9 8 4
0 0 1 0
a b c d
12. Diketahui matriks,
1 2
3 4
5 6
A
dan
3 2
1 5
4 3
B
. Carilah matriks
p q
C r s
t u
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 57
sehingga A + B C = O
13. Diketahui matriks-matriks berikut, 2 3 5
1 4 5
1 3 4
A
1 3 5
1 3 5
1 3 5
B
2 2 4
1 3 4
1 2 3
C
a. Tunjukkanlah bahwa AB = OA = O, AC = A, CA = C
b. Gunakanlah hasil pada bagian a untuk memperlihatkan bahwa
ACB = CBA dan A2 B
2 = (A B)(A + B)
14. Diketahui matriks-matriks berikut,
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
3 4
2 5
1 6
B
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
Buktikanlah bahwa,
(a) (At )
t = A (b) (5A)
t = 5A
t (c) (AB)
t = B
t A
t (d) (AI)
t = A
t
15. Dengan menggunakan matriks-matriks pada soal 14, hitunglah,
(a) At B (b) B
t A (c) (AI)B (d) A(IB)
III. 7 Representasi Matriks dalam Sistem
Persamaan Linier
Pada waktu membahas mengenai sistem persamaan linier, telah
diperkenalkan bentuk umum sistem persamaan linier, yaitu
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 58
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . +
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Apabila kita buat sebuah matriks yang komponen-komponennya
terdiri dari koefisien-koefisien sistem persamaan linier di atas maka
akan diperoleh matriks berikut,
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
Matriks ini disebut matriks koefisien dari sistem persamaan linier.
Jika konstanta bi (i = 1, 2, . . . , m) disertakan dalam
matriks ini, maka matriksnya menjadi,
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
atau
tanpa
garis
pemisa
h
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
Matriks yang menyertakan konstanta bi ini disebut matriks yang
diperbesar.
Contoh II.14
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 59
Diketahui sistem persamaan linier yang terdiri dari tiga persamaan
linier dan tiga bilangan yang tidak diketahui berikut,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
x x x
x x x
x x x
Pertanyaannya hitunglah x1,x2 dan x3 dengan metode Eliminasi
Gauss
Matrik koefisien dari sistem persamaan linier ini adalah,
1 1 2
2 4 3
3 6 5
Sedangkan matriks yang diperbesarnya adalah,
1 1 2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
atau
1 1 2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
Perkalian matriks mempunyai penerapan yang penting dalam
sistem persamaan linier. Tinjaulah suatu sistem yang terdiri dari m
persamaan linier dan n bilangan tidak diketahui.
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . +
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Karena dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika komponen-
komponen yang berkesesuaiannya sama, maka sistem persamaan
linier di atas dapat dituliskan dalam persamaan matriks tunggal
berikut,
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 60
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . .
. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . +
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Matriks di ruas kiri adalah matriks m x 1 dan matriks di ruas kanan
juga matriks m x 1. Matriks di ruas kiri dapat dituliskan sebagai
hasil kali yang memberikan,
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1
. . .
. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . .
n
n
m mn mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
A X
B
Jika matriks dengan komponen-komponennya aij diberi nama
matriks A (matriks m x n), matriks yang komponen-komponennya
xi (matriks n x 1) diberi nama matriks X dan matriks dengan
komponen-komponennya bi (matriks m x 1) diberi nama matiks B,
maka perkalian matriks di atas dapat dituliskan menjadi,
AX = B
Dengan demikian sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam
bentuk perkalian matriks. Untuk sistem persamaan linier homogen,
bentuk perkalian matriksnya adalah AX = O, di mana O adalah
matrik nol berukuran m x 1.
Contoh II.15
Tinjaulah sistem persamaan linier berikut,
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 61
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
3 2 15
5 3 2 0
3 3 11
11 7 30
x x x
x x x
x x x
x x
Matriks ini dapat dituliskan sebagai perkalian matriks AX = B, di
mana
3 2 1
5 3 2
3 1 3
11 7 0
A
1
2
3
x
X x
x
15
0
11
30
B
Matriks A berukuran 4 x 3 dan matriks X berukuran 3 x 1, jadi
menurut peraturan perkalian matriks, matriks A dapat dikalikan
dengan matriks X dan hasilnya yaitu matriks B berukuran 4 x 1.
Dari matriks B di atas, dapat kita lihat bahwa matriks B betul
berukuran 4 x 1. Jika kita coba kalikan lagi matriks A dengan
matriks X maka akan diperoleh,
1 2 3
1
1 2 3
2
1 2 3
3
1 2
3 2 3 2 1
5 3 25 3 2
3 33 1 3
11 7 11 7 0
x x xx
x x xAX x
x x xx
x x
Karena AX=B maka
diperoleh;
15
0
11
30
B
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
3 2 15
5 3 2 0
3 3 11
11 7 30
x x x
x x xAX B
x x x
x x
ata
u
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
3 2 15
5 3 2 0
3 3 11
11 7 30
x x x
x x x
x x x
x x
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 62
III. 8 Latihan Buatlah sistem-sistem persamaan linier pada soal nomor 1 sampai
dengan 7 menjadi bentuk perkalian matriks.
1. 2 3 4 0
1
4 5 6 1
x y z
x y z
x y z
2. 3 5
2 4 11
3
x y z
x y z
y z
1 3
1 2
1 2 3
2 3
3 13.
5 3 2
7 4 5 3
2 6 4
x x
x x
x x x
x x
4. 2 5 4 1
3 3 3
2 5 3 2
4 6 5 5
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
1 2 3
1 2 3 4
1 3 4
3 4
5 7 6 65.
3 2 5
2 4 3 1
2 4 3
x x x
x x x x
x x x
x x
6. 4 2 0
3 5 3 0
7 6 0
8 2 5 0
x y w
x y z w
x y z
x z w
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
7 5 2 17.
3 7 7
6 5 3 4
2 4 6 1
4 3 8 2
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Tentukanlah bentuk sistem persamaan linier dari perkalian matriks
dalam soal nomor 8 sampai dengan 13.
1
2
3
8. 2 3 5 1
1 8 1 2
0 4 2 4
x
x
x
9. 0 6 4 5
2 0 3 0
5 3 1 3
x
y
z
1
2
3
10. 9 4 6 3
4 5 0 4
2 7 3 1
3 1 8 0
x
x
x
11. 0 3 1 7 4
0 8 0 5 6
5 3 2 0 2
2 6 4 8 8
x
y
z
w
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 63
12. 2 7 0 1 0
1 4 2 3 0
6 2 3 1 0
8 0 5 6 0
x
y
z
w
1
2
3
4
13. 1 4 2 1 0
5 2 0 3 0
3 6 4 1 0
8 4 6 2 0
4 0 1 7 0
x
x
x
x
III. 9 Minor, Kofaktor dan Determinan
Tinjau matriks bujur sangkar (jumlah baris sama dengan jumlah
kolom/variable)
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
Definisi : Matriks yang diperoleh dengan membuang baris ke-i
kolom j disebut minor ke ij diberi symbol, ijM
Contoh
22 23 2 21 23 2
32 33 3 31 33 3
11 12
2 3 1 3
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .,
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
n n
n n
n n nn n n nn
a a a a a a
a a a a a a
M M
a a a a a a
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 64
Definisi : Kofaktor, ijA adalah determinan
ijM dikalikan dengan -1
jika i+j ganjil atau dikalikan dengan 1 jika i+j genap. Jadi dapat
ditulis dengan rumus;
1 det 1i j i j
ij ij ijA M M
Definisi : Determinan matrik 1, dan 1,ijA a i n j n dapat dihitung
dengan berbagai cara;
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
....... baris ke-1 sebagai referensi
....... baris ke-2 sebagai referensidet
. . . . . .
....... baris ke-n sebagai referensi
n n
n n
n n n n nn nn
a A a A a A
a A a A a AA
a A a A a A
Apabila determinan suatu matrik tidak sama dengan nol. Matrik
disebut matrik non-singular
Definisi : Jika determinan matrik bujur sangkar
1, dan 1,ijA a i n j n tidak sama dengan nol, maka matrik tersebut
disebut non-singular dan mempunyai inversi (symbol 1A ). Matrik
inversi 1A
didefinisikan sebagai;
11 12 1
21 22 21
1 2
. .
. .1, 1,
. . . . .det
. .
disebut Ajoint matrik disebut juga matrik ajoint
t
nt
ijn
n n nn
t
ij
A A A
AA A AA i j n
A A
A A A
A A
Contoh; carilah inversi matrik berikut
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 65
1 2 3
0 2 1
3 2 1
A
Hitung dulu determinan 1 2 3
det det 0 2 1 12, jadi matrik non-singular dan mempunyai inversi
3 2 1
A
Hitung kofaktornya
11 11 12 12 13 13
1
2 1 0 1 0 20, 3, 6
2 1 3 1 3 2
i j
ij ijA M
A M A M A M
21 21 22 22 23 23
2 3 1 3 1 24, 8, 4
2 1 3 1 3 2A M A M A M
31 31 32 32 33 33
2 3 1 3 1 24, 1, 2
2 1 0 1 0 2A M A M A M
Jadi; 1
1 10
3 30 3 6 0 4 41 1 1 2 1
4 8 4 3 8 112 12 4 3 12
4 1 2 6 4 21 1 1
2 3 6
tt
ijAA
A
Perhatikan
1
1 10
3 31 2 3 1 0 01 2 1
0 2 1 0 1 04 3 12
3 2 1 0 0 11 1 1
2 3 6
AA I
Theorema: untuk semua matrik bujur sangkar berlaku AA-1
=I
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 66
III. 10 Notasi dan Sifat-Determinan
Jika ditulis 1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33, , , , , dan , ,A a a a A a a a A a a a
Definisikan;
11 12 13
1 2 3 1 2 3 11 12 13 31 32 33 21 22 23
21 22 23 31 32 33
det , , , ,
i j k a a a
A d A A A A A A a a a a a a a a a
a a a a a a
(scalar triple product)
Sifat-sifat
1. Homogenitas tiap baris
Contoh (dalam baris pertama) 1 2 3 1 2 3, , , , skalard tA A A td A A A t
2. Penjumlahan tiap baris
Contoh (dalam baris kedua) 1 2 3 1 2 3 1 3, , , , , , vektord A A C A d A A A d A C A C
3. Perkalian scalar triple product adalah nol jika ada 2 baris yang
sama
Contoh: 1 1 3 1 2 1 1 3 3, , , , , , 0d A A A d A A A d A A A
4. Normalisasi , , 1 dengan = 1,0,0 , = 0,1,0 , = 0,0,1d i j k i j k
Theorema : jika i 1 2= , , . . ,i i inA a a a
Maka determinan 1 2, , . . , nd A A A memenuhi axioma berikut;
Axioma 1 : Homogenitas dalam tiap baris jika Ak adalah baris ke k
dikalikan dengan scalar t, maka 1 2 1 2, , . ., , . . , , . . , , . . skalark n k nd A A tA A td A A A A t
Axioma 2: penjumlahan tiap baris 1 2 1 2 1 2, , . ., , . . , , . , , . . , , . , , . . vektork n k n nd A A A C A d A A A A d A A C A C
Axioma 3: determinan akan hilang (bernilai nol) jika ada 2 baris
yang sama:
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 67
1 2, , . . , 0 , sembarang n i jd A A A A A i j
Axioma 4: determinan matrik identitas adalah satu 1 2 k, , . . , 1 dengan adalah vektor satuannd I I I I
Theorema:
untuk setiap matrik bujur sangkar A dan B berlaku det(AB) =(det
A )(det B)
Theorema:
Jika matrik A nonsingular (det A≠0)
berlaku 1 1det
detA
A
Theorema:
Untuk setiap matrik kuadrat (matrik bujur sangkar) A dan B berlaku
det det detA O
A BO B
hal yg sama untuk det det det det
A O O
O B O A B C
O O C
III. 11 Soal latihan:
1. Misal
1 0 0 0
0 1 0 0,
0 0 1 0
0 0 0 1
a b c d
e f g hA B
a b c d
e f g h
Buktikan bahwa det det dan det B=detc d a b
Ag h e f
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 68
2. Misal
0 0
0 0
a b
c dA
e f g h
x y z w
buktikan bahwa
det deta b g h
Ac d z w
3. Hitunglah semua kofaktor dan determinan dari matriks
berikut
a.
1 1 2 1 2 1
A= 2 4 3 , 0 1 3
3 6 5 3 1 0
B
b.
2 1 0 0 0 1 0 0
2 0 5 1 2 4 5 1,
0 1 9 1 0 1 0 1
4 3 2 1 0 3 2 1
C D
c.
0 1 0 3 0
1 2 0 0 0
2 3 1 0 1
1 0 0 0 1
1 2 0 0 1
A
III. 12 Eliminasi Gauss-Jordan
Dalam contoh I.3 pada bab I, telah diberikan pemecahan sistem
persamaan linier dengan menggunakan operasi baris elementer
(OBE). Operasi baris elementer ini dapat dilakukan langsung pada
matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linier. Sebagai
contoh kita ulangi lagi contoh I.3 tetapi sekarang OBE dilakukan
langsung pada matriks yang diperbesarnya.
Contoh II.16 (Soal sama dengan contoh I.3)
Carilah pemecahan atau jawab sistem persamaan linier berikut,
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 69
2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
x y z
x y z
x y z
Jawab :
Matriks yang diperbesar dari system persaman linier di atas adalah,
12
2 23
13
1 1 2 91 1 2 9 1 1 2 9
2 1 7 172 4 3 1 0 2 7 17 0 1 3
3 2 2 23 6 5 0 0 3 11 27
0 3 11 27
OO O
O
32
3
31
21
1 1 2 9 1 1 2 97
7 17 7 1720 1 2 0 1
2 2 2 22
1 3 0 0 1 30 0
2 2
1 1 0 3 1 0 0 1
0 1 0 2 1 0 1 0 2 , , 1,2,3
0 0 1 3 0 0 1 3
OO
O
O x y z
Eliminasi Gauss-Jordan dari matriks ini memberikan, , , 1,2,3x y z
III. 13 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan
Matrik Inversi Tinjau persamaan linier
1 1 1 1AX Y A AX A Y IX A Y X A Y
Dalam hal ini A menyatakan suatu matrik bujur sangkar sedangkan
X dan Y menyatakan matrik kolom, artinya X dapat dicari bila A-1
Y
bisa dihitung
Ilustrasi
Diketahui sistim persaman linier AX = Y dengan
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 70
1 2 3 1
0 2 1 , dan 0
3 2 1 3
A Y
Pertanyaannya carilah X
Penyelesaian: Cari dulu matrik inversi dari matrik A dari soal
sebelumnya sudah dihitung inversi matrik A-1
adalah;
1
1 10
3 3
1 2 1
4 3 12
1 1 1
2 3 6
t
ijAA
A
Jadi matrik kolom X dapat dihitung;
1
1 10
3 3 111 2 1 10
24 3 123 01 1 1
2 3 6
X A Y
Jadi solusinya adalah 1, , 1, ,02
x y z
III. 14 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan
Metode Cramer
Tinjau sistim persamaan linier nn
Dalam bentuk matrik;
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . +
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 71
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
. . .
. . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . .
n
n
n n nn n n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
Definisikan;
11 12 1 11 12 1 1
21 22 2 21 22 2 2
1 2 1 2
1 2
. . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . ., , kolom ke-k di isi oleh vektor
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
, , , ,
n n
n n
k
n n nn n n n nn
n
a a a a a b a
a a a a a b a
D D
a a a a a b a
B b b b
Maka X dapat dicari dari hubungan;
1 21 2, , . . . , ,n
n
DD Dx x x
D D D
Ilustrasi; Cari x,y dan z dari sistim persamaan linier berikut 3 1
2 0
2 1
x y z
x y z
x z
Penyelesaian: Indeks 1,2 dan 3 dalam rumus secara berurutan kita
nyatakan sebagai parameter x,y dan z. Selanjutnya SPL ditulis
dalam bentuk;
3 1 1 1
1 2 1 0
1 0 2 1
x
y
z
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 72
Hitung; 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1
1 2 1 13, 0 2 1 3, 1 0 1 1, 1 2 0 5
1 0 2 1 0 2 1 1 2 1 0 1
x y zD D D D
Jadi 3 1 5
, ,13 13 13
yx zDD D
x y zD D D
Dapat ditulis
1
, , 3,1,513
x y z
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 73
Bab 4
AplikasiAljabarLinier ________________________________________________________________
Aljabar linier banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari
misalnya dalam sistim:
1. Jaringan Listrik (Electrical Networks).
2. Jaringan Jalan Antar Kota (Nets of Roads Connecting City).
3. Proses Produksi (Production Processes).
IV. 1 Jaringan Listrik (Electrical Networks) Definisi:Node (titik simpul)= adalah pertemuan 2 cabang atau lebih
(1,2,dan 3).Reference Node = Node dimana tegangan listrik
menjadi nol, akibat di bumikan (Grounded).
Network dinyatakan dalam,
Matrik A = [ajk], dengan.
ajk = +1 Jika cabang k meninggalkan node j
-1 Jika cabang k memasuki node j
0 Jika cabang k tidak menyinggung
node j
A disebut nodal inciden matrix
Cabang 1 2 3 4 5 6
Node 1 1 -1 1 0 0 0
Node 2 0 1 0 1 1 0
Node 3 0 0 -1 0 -1 -1
Soal 1: Tuliskan Nodal Incidence Matrix untuk rangkaian dibawah
ini.
1 3 2
Reference
Node
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 74
Gb. 2 Electrical
network
Gb. 3 Electrical
network
Gb. 4 One way
street
Soal 2
Gambarkan jaringan listrik yang mempunyai nodal incidence
matrix seperti berikut; 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 11 1 0 0 0
) ) 1 1 0 0 ) 1 00 0 1 0 0
0 1 1 0 1 10 0 0 1 0
a b c
IV. 2 Rangkaian listrik
Review Hukum Kirchhoff.
a) Current Law (KCL): untuk tiap NODE (titik simpul) pada tiap
rangkaian listrik berlaku; jumlah arus masuk = jumlah arus keluar.
b) Voltage Law (KVL): untuk tiap loop tertutup. Jumlah total
voltage yang hilang = voltage yang dihasilkan oleh gaya
elektromagnetik.
Contoh: rangkaian listrik
Ingat Ohm V IR
P
Q
10Ω
15Ω
10Ω
I2
I1 I3
90V 80V
20Ω
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 75
Pertanyaannya : Carilah I1, I2 dan I3
Penyelesaian: Gunakan hukum Kirchoff
1 2 3
1 2 3
2 3
1 2
Node P : I I +I =0
Node Q :I -I +I =0
Loop kanan:10I +25I =90
Loop kiri :20I +10I =80
1 2 3
2 3
1 2
1
2
3
0
10 25 90
20 10 80
1 1 1 0
0 10 25 90
20 10 0 80
I I I
I I
I I
I
I
I
Jadi dapat dihitung, I1=2, I2=4 dan I3=2
Jadi jumlah arus yang mengalir pada cabang yang bersangkutan
adalah I1=2 Ampere, I2=4 Ampere dan I3=2 Amper
IV. 3 Programa Linier (Linear Programming)
dan Optimasi
Definisi
Optimasi adalah upaya, mencari solusi yang optimal misalnya,
memaksimalkan (maksimasi) keuntungan atau meminimalkan
(minimasi) kerugian. Asumsi, keadaan dapat dinyatakan dalam
fungsi linier terdiri dari fungsi tujuan (objective) dan fungsi
pembatas (constraint)
Definisi sifat dari fungsi tujuan dan fungsi pembatas
Fungsi tujuan(objektif), meminimumkan (minimasi) atau
memaksimalkan (maksimasi)
Fungsi pembatas (constraint), selalu lebih besar atau sama dengan
nol.
Cara penyelesaian
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 76
1. Gambarkan koordinat x-y. Dalam hal ini x dan y
menunjukkan variable bebas dan variable terikat dari fungsi
linier. Fungsi tujuan maupun fungsi pembatas.
2. Tentukan fungsi tujuan
3. Identifikasi batasan dalam sistim pertaksamaan
4. Gambarkan garis pembatas dalam sistim koordinat
5. Cari titik yang paling “menguntungkan” sesuai dengan fungsi
tujuan
Contoh 1:
Untuk membuat kontainer K dan L diperlukan dua mesin M1 dan
M2. Untuk membuat kontainer K, M1 memerlukan waktu 2 menit,
M2 memerlukan 4 menit. Untuk membuat L, M1 membutuhkan 8
menit, M2 memerlukan 4 menit. Keuntungan bersih untuk kontainer
K, 29 $-US dan kontainer L, 45 $-US. Tentukan rencana produksi
(jumlah K dan L yang harus dibuat) untuk satu jam kerja agar
keuntungan menjadi maksimal.
Penyelesaian :
`
Misal:
1x = produksi kontainer K/jam
2x = produksi kontainer L/jam
keuntungan /jam : 1 2 1 2, 29 45f x x x x
M1,2’
2’
M2 ,4’
4’
M1, 8’
8’
M2 ,4’
4’
K
L
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 77
batasan
1 2 12 8 60 dihasilkanx x M
1 2 24 4 60 dihasilkanx x M
1 20 dan 0x x
Mencari titik pemecahan
1 2
1 2
2 8 60
4 4 60
x x
x x
Dari pernyataan ini
diperoleh; 1 210, 5x x
Untuk titik A = (0,2
15 )
1 2 1 2
15, 29 45 29 0 45 337,35
2f x x x x
Untuk B = (10,5) 1 2 1 2, 29 45 29 10 45 5 515f x x x x
Untuk C = (15,0) 1 2 1 2, 29 45 29 15 45 0 435f x x x x
Jadi keuntungan Maksimum, bila x1 = 10 dan x2 = 5
1
2
22, dengan perkataan lain
1
x
x produksi kontainer K sebanyak 2
kali kontainer L akan menjadi maksimum.
Contoh 2:
Suatu pabrik baja memperkirakan keuntungan dari produksi sekrup
panjang Rp 30/biji dan sekrup pendek Rp 15/biji. Kapasistas penuh
seluruh mesin perhari 40.000 skrup panjang atau 60.000 sekrup
pendek. Karena ada perbedaan cara pengolahannya, setiap jam
dihasilkan 5000 sekrup panjang atau 7500 sekrup pendek. Tetapi
bahan kimia khusus untuk produksi sekrup panjang hanya tersedia
untuk mengolah 30.000 sekrup panjang. Bagian pengepakkan hanya
mampu mengepak 50.000 sekrup perhari.Berapa sekrup dari
masing-masing ukuran harus dibuat agar tercapai keuntungan
maksimum? Catatan waktu kerja yang diizinkan adalah 8 jam
perhari.
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 78
Penyelesaian
Misal jumlah sekrup yang harus dibuat, x sekrup panjang dan y
sekrup pendek.
Fungsi tujuan : memaksimalkan keuntungan. Jadi dapat dinyatakan
sebagai fungsi linier 30 15z x y
Fungsi pembatas: (1) 0 40.000, 0 60.000
(2) 85000 7500
(3) 30.000
(4) 50.000
x y
x y
x
x y
Dari persamaan (1) dan (3) yang berlaku adalah ; 30.000x
Normalisasi x dan y dinyatakan dalam ribuan maka; (1) 30.000 30, 60.000 60
(2) 8 8 kalikan 15 3 2 1205000 7500 5 7,5
(3) 50.000 50
x x y y
x y x yx y
x y x y
Selanjutnya dibuat grafik berdasarkan syarat tersebut dan cari titik
potong kedua grafik titik B
50 50
3 2 120 3 2 50 120
20 30
x y y x
x y x x
x y
Titik potongnya B, adalah x
= 20 dan
y = 30
Titik solusi adalah A=(0,50), B=(20,30), C=(30,15) dan D=(30,0)
Maksimumkan 30 15z x y untuk semua titik.
0,50 30(0) 15(50) 750
20,30 30(20) 15(30) 1050
30,15 30(30) 15(15) 1125
30,0 30(30) 15(0) 900
A z
B z
C z
D z
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 79
Jadi keuntungan maksimum sebesar Rp. 1.125.000 akan didapat
bila diproduksi x (jumlah sekrup panjang) 30 ribu dan y (jumlah
sekrup pendek)15 ribu
IV. 4 Latihan Soal-soal berikut diambil dari Kreyzig, Advance Mathematics For
Engineurs.
1. Gunakan hukum Kirchhoff untuk menentukan arus
1 2 31 , 3 , 4 ,I A I A I A
2. Aplikasi analogi sirkuit listrik. Kasus Traffic Flow. Tentukan
jumlah kendaraan setiap jam (one-way streets).
Hitung X1, X2, X3 dan X4 dan nyatakan arahnya. Misal dari A ke B
atau dari B ke A
IV. 5 Matrik Stochastic, proses Markov Pemerintah daerah sebuah kota mempunyai lahan seluas 50 km
kuadrat. Alokasi penggunaannya di atur sebagai berikut (kondisi
tahun 2015).
I. Untuk perumahan (p) = 30%
I1
I3 I2
4V
0,5Ω 1Ω
2Ω
8V
1Ω P Q
400 800
800 600
1000 600
1000 1200
A B
C D
X1 X2
X3
X4
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 80
II. Untuk komersial (k) = 20%
III. Untuk industry (I) = 50%
Tentukan alokasi lahan pada tahun 2020 dan 2025 jika di andaikan
transisi probabilitas (peluang beralihan). Untuk setiap 5 tahun di
berikan oleh matrik
jkA a
ke I II III
I 0,8 0,1 0,1
Dari II 0,1 0,7 0,2
III 0,0 0,1 0,9
Penyelesaian dari matrik A dan keadaan pada tahun 2015 dapat
dihitung alokasi lahan perlima tahun kemudian
Alokasi lahan pada tahun 2020
I. Untuk perumahan= 0,830+0,120+050=26 %
II. Untuk komersial = 0,130+0,720+0,150=22 %
III. Untuk industry = 0,130+0,220+0,950=52 %
Alokasi lahan pada tahun 2025
I. Untuk perumahan= 0,826+0,122+052=23 %
II. Untuk komersial = 0,126+0,722+0,152=23,2 %
III. Untuk industry = 0,126+0,222+0,952=53,8 %
Persoalan mejadi sederhana jika dimisalkan kondisi tahun 2015 30% 0,3
20% 0,2
50% 0,5
X
Misalkan Y, dan Z matrik kolom untuk masing-masing kondisi 2020
dan 2025 0,8 0,1 0,1
0,1 0,7 0,2
0,0 0,1 0,9
A
jadi
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 81
0,8 0,1 0,1 0,26
0,3 0,2 0,5 0,1 0,7 0,2 0,22
0,0 0,1 0,9 0,52
0,8 0,1 0,1 0,23
0,26 0,22 0,52 0,1 0,7 0,2 0,232
0,0 0,1 0,9 0,538
t
t
Y X A
Z Y A
Atau untuk Z dapat juga dihitung dari pernyataan;
t
t t tZ Y A X A A A XA akan memberikan hasil yang sama
Jadi lahan yang akan terpakai pada tahun 2025 adalah;
1. Perumahan = 0,2350 = 11,5 km2
2. Komersial = 0,23250 = 11,6 km2
3. Industri = 0,53850 = 26,9 km2
Total =50 km2
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 82
Bab V Nilai dan Vektor Eigen ____________________________________________________
Misalkan ada matrik matrikjkA a n n dari sistim persamaan linier
dengan suatu vektor dan suatu bilangan asliAX X X
Definisi
1. Nilai dimana mempunyai solusi AX X X O disebut nilai
eigen atau nilai karakteristik, sedangkan vector X disebut
vector eigen
2. Kumpulan nilai eigen disebut spectrum matrik A Nilai absolut
terbesar nilai eigen matrik A disebut radius spectral A
3. Kumpulan vector eigen yang berkaitan dengan nilai eigen A
dan vector nol O membentuk ruang vector yang disebut ruang
eigen (eigen space)
4. Persoalan (strategi) untuk menentukan nilai eigen dan vector
eigen disebut problem nilai eigen (eigen value problem).
Problem ini muncul dalam fisika dan aplikasinya
V. 1 Menentukan nilai eigen
Misalkan ada matrik n n mempunyai paling sedikit satu dan
paling banyak n nilai eigen yang berbeda dari sistim persamaan
linier berikut AX X
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
. . .
. . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . .
n
n
n n nn n n
a a a x x
a a a x x
a a a x x
Persamaan ini dapat juga ditulis sebagai;
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 83
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
( ) . . . 0
( ) . . . 0
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . ( ) 0
n
n
n n nn n
a a a x
a a a x
a a a x
(1)
Dalam bentuk lain dapat ditulis sebagai; A I X O
Sistim persamaan linier dikatakan mempunyai solusi trivial bila; det 0D A I
Atau
12 111
21 222
1 2
. . .
. . .
. . . . . .det 0
. . . . . .
. . . . . .
. . .
n
n
n n nn
a aa
a aa
A I
a a a
(2)
D () disebut determinan karakteristik atau persamaan karakteristik
A. Bila D () ditulis dalam bentuk polinom maka dia disebut
polinom karakteristik
Theorema
Nilai eigen matrik bujur sangkar A adalah sama dengan akar
persamaan D()=0
V. 2 Algoritma mencari nilai dan vector eigen
1. Cari nilai eigen dari persamaan D ()=0 dari persamaan (2)
2. Tentukan 1 2, , , dari persamaan (1),nX x x x X O
Ilustrasi-1
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 84
Carilah nilai dan vector eigen dari matrik
0 1
0 0A
Penyelesaian
2
1 2
det 0
10 0
0
D A I
Vektor eigen dicari dari hubungan;
1
1 2 2
2
0 1 00 0 0 0
0 0 0
xA I X x x x
x
Jadi vector eigennya adalah;
1 2 1 1 1, ,0 1,0 , 0X x x x x x
Ilustrasi-2
Carilah nilai dan vector eigen dari matrik
0 1
1 0A
Penyelesaian
2
12 1 2
det 0
11 0 dimana dan dengan 1
1
D A I
i i i i
Vektor eigen dicari dari hubungan;
1
2 1
2
1 0
1 0
xix ix
xi
Jadi vector eigennya adalah;
1 2 1 1 1 1, , 1, , 0X x x x ix x i x Ilustrasi-3
Carilah nilai dan vector eigen dari matrik 1
a bA
a
Penyelesaian
2
12 1 2
det 0
0 dimana dan 1
D A I
a ba b a bi a bi a bi
a
Vektor eigen dicari dari hubungan;
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 85
1 1
2 2
2 1 2 1 2 1
0 0
0 1 01
0
a a bi b x xbi b
x xbia a bi
bx ibx bx ibx x ix
Jadi vector eigennya adalah;
1 2 1 1 1 1, , 1, , 0X x x x ix x i x
Ilustrasi-4
Tentukan nilai dan vector eigen dari matrik 2 2 3
2 1 6
1 2 0
A
Penyelesaian
det 0
2 2 32 61 6 2 1
2 1 6 2 2 3 012 1 2
1 2
D A I
atau
3 2
3 2
21 45 0
Dengan cara trialand error: =-3 3 3 21 3 45 0
Dua akar yang lain dapat dicari dari pernyataan
1 2 3 2 3
3 22
2 3
3
21 45atau 2 15 3 5
3
D
Jadi kita peroleh;
1 2 33 dan 5
Vektor eigen dicari dari hubungan;
1
2
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 3 0
2 1 6 0 ,
1 2 0
2 2 3 0
2 1 6 0
2 0
x
x X O
x
x x x
x x x
x x x
Untuk =-3
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 86
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3 2
2 3 0
2 4 6 0
2 3 0
ketiga persamaan ini identik oleh sebab itu kita hanya bisa menyatakan 3 2
x x x
x x x
x x x
x x x
Jadi vector eigennya dapat ditulis sebagai; 1 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2
3 2
, , 3 2 , , 3 ,0, 2 , ,0 3,0,1 2,1,0
atau tidak boleh nol
X x x x x x x x x x x x x x
x x
Untuk =5
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1 3
7 2 3 0 ( )
2 4 6 0 ( )
2 5 0 ( )
pernyataan (c) 2 tambahkan ke (b) diperoleh 2
x x x a
x x x b
x x x c
x x x x
Jadi kita peroleh
1 2 3 3 3 3 3, , , 2 , 1, 2,1X x x x x x x x
V. 3 Soal Latihan 1. Tentukan nilai dan vector eigen dari persamaan berikut;
1 1 1 cos sin
) ) )1 1 1 sin cos
aa b c
b
2. Dalam mekanika kuantum tentang spin electron dikenal “Pauli
Spin Matrices”
1 2 3
0 1 0 1 1, ,
1 0 0 0 1
iP P P
i
a. Buktikan ketiga matrik ini mempunyai nilai eigen 1 dan -1
b. Tentukan semua matrik 22 dengan entri bilangan kompleks
yang mempunyai nilai eigen 1 dan -1. jawab
, dan sembarang, 1a b
b c a bcc a
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 87
3. Tentukan a,b,c,d,e,f bila
1,1,1 , 1,0, 1 dan 1, 1,0 adalah vektor eigen dari matrik
1 1 1
A= a b c
d e f
(Jawab a=b=c=d=e=f=1)
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 88
Daftar Pustaka Halliday,…
Anton,….