Valor esperado o Esperanza
Matemática para variable discreta
Definición : Sea X una variable aleatoria discreta con la
distribución de probabilidades (Xi, P(Xi)) para =1,2,3,…….n,..
Se llama valor esperado de X o esperanza matemática de X a:
i i
1
E(X) = xp xi
A este número se lo llama también valor promedio de X
1) Si X toma un número finito de valores, entonces:
i i
1
E(X) = xp xn
i
Es el promedio ponderado de los valores
posibles de X
2) Si todos los valores posibles son igualmente probables,
entonces i
1
1E(X) = x
n
in
Es el promedio aritmético de los n
valores posibles.
Ejemplo: Calcular la esperanza de la variable
aleatoria X :suma de los puntos obtenidos al
arrojar dos dados:
71236
1...7
36
6...3
36
22
36
1
)()(12
2
i
ii xxXPXE
Se espera que la suma de los puntos obtenidos al arrojar dos
dados sea 7.
Si el valor esperado tuviera cifras decimales, la interpretación
estaría dada entre los enteros comprendidos, ya que la
variable es discreta.
Valor esperado o Esperanza
Matemática para variable continua
Sea X una variable aleatoria continua con fdp f(x) para todo x real, se llama valor esperado de X o esperanza matemática de X, a:
E(X) x.f(x) dx
E(X) existe si x .f(x) dx <
Hallar la E(X) para 6x(1-x) si 0 1
f(x)0 enotro caso
x
Ejercicio: Un instrumento electrónico tiene
una duración X, (en unidades de 100 hs)
que es una VAC con la fdp:
Suponiendo que el costo de fabricación de tal artículo es $20 y que el fabricante vende el artículo por $50, pero garantiza un reembolso total si x 0,2 y devuelve la mitad si
-xe si x >0f(x)
0 si x 0
0,2 0,4x
¿Cuál es la utilidad neta esperada por
artículo?
Interpretación
Si se produce un gran número de instrumentos electrónicos, perderá $20 alrededor del 18% de las
veces, ganará 5 $ alrededor del 15 % de las
veces y ganará $30 alrededor del 67% de las
veces.
El fabricante espera ganar, a la larga, $17,25 por
artículo.
Ui P(Ui)
-20 0,18
5 0,15
30 0,67
Propiedades del valor esperado
en V.A.C
1) Si X = C entonces E(X) = C
2) E(C.X)= C.E(X)
3) E (X+Y) = E (X) + E(Y)
4) E (X-Y) = E (X) - E(Y)
5) E (X.Y) = E (X) . E(Y) si X eY son
Variables aleatorias independientes
Medidas de variabilidad: Desviación,
Varianza y Desviación estándar o Dispersión
Varianza: La varianza de una variable aleatoria X es la
esperanza matemática del cuadrado de la desviación de X
respecto de su esperanza.
Desviación: Llamamos desviación a la variable aleatoria
X – E(X)
Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observar que la
dispersión lo hace con las mismas unidades que los
datos.
Propiedad de la desviación: E [ X – E(X)] = 0
22V(X) = E X-E XX
Dispersión: V(X)X
Otra forma de expresar la
varianza
22( ) ( )V x E x E x Demostrar
2
2 2( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )V x x E x f x dx x f x dx x f x dx
Ejemplo 1 (de la clase anterior) Del lote de
calculadoras donde hay 3 defectuosas. Se
selecciona una calculadora al azar y se la prueba,
repitiéndose la operación hasta que aparezca una
calculadora no defectuosa.
Calcular la V(x) de dos maneras.
2
1
( ) ( ( )) . ( )n
i i
i
V x x E x p x
VAD
VAC
Ejemplo 1
xi P ( X = xi ) xi – E(x) (xi – E(x) )2 (xi – E(x) )2 . P (xi )
1 5/8 1-1.5=-0.5 0.25 0.15625
2 15/56 2-1.5=0.5 0.25 0.066964
3 5/56 3-1.5=1.5 2.25 0.20089
4 1/56 4-1.5= 2.5 6.25 0.111607
0.5357
2 2( ( )) ( ) 0.5357i i
i
x E x P x
( ) 0.7319V X
Ejemplo 2) Calcula la varianza y dispersión
de la variable aleatoria X cuya fdp es
2x si 0 x 1f(x)=
0 si x 0,1
V(X) 1/18 0.2357
1( )
18V X