8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
1/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 38
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
2/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 39
2.1 INTRODUCCIÓN.
La aproximación de funciones es un tema de uso frecuente en el
Análisis Numérico, y consiste en aproximar una función f por otra que sea
más fácil de “manipular”. Entre las razones que justifican la aproximación
están:
i) Dificultades que se presentan al evaluar u operar con funciones: por
ejemplo se sabe que ( )2
xe x f = es integrable en [ ] ℜ⊂b,a , pero
∫b
a
x dxe2
no se puede calcular por los métodos analíticos ya conocidos.
ii) Frecuentemente sucede que la información respecto a una función f
se da mediante una tabla de valores y no se conoce la ley de
asignación que define a f , por lo que no se puede operar con f.
La técnica más frecuente empleada para encontrar la función
aproximante g es expresarla como una combinación lineal de funciones
pertenecientes a una clase de funciones elementales:
( ) ( ) ( ) ( ) xga... xga xga xg nn+++= 1100 ( )∑=
=n
iii xga
0
(2.1)
donde ia son constantes reales por determinar
( ){ }nii xg 0= es una familia de funciones.
Sí la familia de funciones ( ){ } xg i es:
i) { }nk
k x0=: entonces ( ) nn xa xa xa xg +++= ...
11
00 (Aproximación
polinomial )
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
3/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 40
ii) ( ) ( ){ }nk kxcos ,kxsen , 01 = : entonces
( ) ( ) ( )( )∑=
++=n
k
k k kxcosbkxsenaa xg
1
01
iii) { }nk kxe 0= : entonces ( ) nxn x x ea...eaea.a xg ++++= 2210 1
iv) Aproximación Racional.
Existen criterios muy diversos para aproximar funciones:
a) Unas veces se exige que la función aproximante g coincida con la
función f en un determinado conjunto de puntos ( lo cual se conoce como
interpolación).
b) Otros métodos exigen que la diferencia entre ( ) xg y ( ) x f sea lo máspequeño posible. ( Mínimos cuadrados ).
2.2 INTERPOLACIÓN.
Sea f definida en un intervalo cerrado tal que:
i x 0 x 1 x . . . 1−n x n x
( )ii x f f = ( )0 x f ( )1 x f . . . ( )1−n x f ( )n x f
Se quiere hallar una función g tal que: ( ) ( ) ni x f xg ii ,...,1,0, =∀= :
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
4/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 41
a la función g se le llama función interpolante, la cual satisface las
siguientes condiciones: ( ) ( ) ni xg x f ii ,...,1,0, == . Geométricamente esto
significa: se debe encontrar una función g que pase por los puntos
( ) n ,..., ,i , f , x ii 10= .
Una vez hallada la función interpolante ésta se usa para:
i) Aproximar los valores de f en algún punto no tabulado * x entre 0 x y n x .
(Interpolación directa o simplemente interpolación).
ii) Conociendo el valor de ( )* x f , hallar * x (interpolación inversa), es decir
resolver la ecuación ( ) a x f =* , para * x .
iii) Aproximar f fuera del intervalo de interpolación (extrapolar): no es
recomendable usar una función interpolante para extrapolar ya que no se
conoce el comportamiento de f fuera del intervalo de interpolación.
Las fórmulas de interpolación se pueden usar para extrapolar, pero hay
que tener cuidado ya que el error de truncamiento puede ser grande si nos
alejamos de los puntos tabulados. Así, si se usa interpolación para extrapolar
se puede garantizar solamente para valores de x muy próximos a los valores
tabulados. Existen métodos para extrapolar llamados extrapolación de
Richardson y extrapolación 2δ de Aitken.
Los datos obtenidos mediante medición pueden interpolarse, pero en
la mayoría de los casos no es recomendable una interpolación directa debido
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
5/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 42
a los errores aleatorios implicados en la medición. En estos casos se
recomienda usar el método de los mínimos cuadrados.
2.3 APROXIMACIÓN POLINOMIAL.
La técnica más usada para interpolar son los polinomios, por su
facilidad de manejo y además porque aproximan uniformemente funciones
continuas. Este hecho lo garantiza el siguiente teorema:
Teorema 2.1 Teorema de Weirstrass.
Sea f una función continua en un intervalo cerrado I y sea 0>ε , entonces
existe un polinomio P definido en I tal que ( ) ( ) ε
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
6/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 43
para ni ...,3,2,1,0= . Esto representa un sistema de ( )1+n ecuaciones con
( )1+n incógnitas: niai ,...,2,1,0, = . La matriz asociada a este sistema es:
=
nnnn
n
n
x x x
x x x
x x x
A
...1
...............
...1
...1
2
1211
0200
Se debe probar que 0det ≠ A : el determinante de la matriz A es el tipo
Vandermonde y su valor es: ( )∏≤
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
7/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 44
b) Los nodos no necesariamente están ordenados ni igualmente espaciados.
c) Los polinomios de Taylor no sirven para interpolar.
d) Los métodos mencionados anteriormente generan el mismo polinomio, solo
que están expresados en distintas formas.
2.4 POLINOMIOS DE LAGRANGE.
a) Interpolación lineal: el polinomio de grado 1 que pasa por los puntos
( )( )00 , x f x A , ( )( )11 , x f x B , pueden escribirse así:
( ) ( ) ( )1100 x xa x xa xP −+−= (2.5)
donde 10 ,aa son constantes por determinar. Para hallar el valor de las
constantes se evalúa P en 0 x x = y 1 x x = obteniéndose:
( )
01
10
x x
x f a
−= ,
( )
10
01
x x
x f a
−=
lo cual se sustituye en (5) obteniéndose:
( ) ( ) ( )101
00
10
1 x f x x
x x x f
x x
x x xP
−
−+
−
−=
Sean ( )10
10
x x
x x x L
−
−= , ( ) 100 = x L , ( ) 010 = x L
( )01
01
x x
x x x L
−
−= , ( ) 001 = x L , ( ) 111 = x L
Note que L0 (x) y L1(x) son polinomios de grado 1.
c) El polinomio de grado 2 que pasa por los puntos ( )( )00 , x f x , ( )( )11 , x f x ,
( )( )22 , x f x se puede expresar así:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2022111002 x x x xa x x x xa x x x xa xP −−+−−+−−= (2.6)
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
8/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 45
donde ℜ∈210 ,, aaa . Para hallar 210 ,, aaa se evalúa P2 en 210 ,, x x x :
( ) ( )( ) ( )02010102 x f x x x xa xP =−−= , de donde( )
( ) ( )2010
01
x x x x
x f a
−−=
( ) ( )( ) ( )12101212 x f x x x xa xP =−−= de donde( )
( ) ( )2101
12
xxxx
xf a
−−=
( ) ( )( ) ( )21202022 x f x x x xa xP =−−= ;( )
( ) ( )1202
20
x x x x
x f a
−−=
Sustituyendo 210 ,, aaa en (2.6) y reordenando los términos se obtiene:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )2
1202
101
2101
200
2010
212 x f
x x x x
x x x x x f
x x x x
x x x x x f
x x x x
x x x x xP
−−
−−+
−−
−−+
−−
−−=
Sean :
( )
( )( )
( ) ( )2010
21
0 x x x x
x x x x
x L −−
−−
= : ( ) ( ) ( ) 0,0,1 201000 === x L x L x L
( ) ( )( )
( ) ( )2101
201
x x x x
x x x x x L
−−
−−= : ( ) ( ) 2,0,0,1 111 === i x L x L i
( ) ( )( )
( ) ( )1202
102
x x x x
x x x x x L
−−
−−= : ( ) ( ) 1,0,0,1 222 === i x L x L i
Luego: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2211002
x f x L x f x L x f x L xP ++=
En general, el polinomio que interpola los puntos ( )( )ii x f x , ,
ni ,...,2,1,0= es de grado menor que n, viene dado por:
( ) ( ) ( )∑=
=n
k
k k n x f x L xP0
(2.7)
Donde:
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
9/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 46
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )nk k k k k k k
nk k k
x x... x x x x... x x x x
x x... x x. x x... x x x x x L
−−−−−
−−−−−=
+−
+−
1110
1110 (2.8)
( ) ∏≠=
=−
−=
n
k ii ik
ik nk
x x
x x x L
0
,...,1,0, (2.9)
Los ( ) x Lk se llaman polinomios de Lagrange, son de grado n y tienen la
propiedad: ( )
≠
==
k isí
k isí x L ik
0
1
Al polinomio ( ) xPn dado por (2.7) se le llama fórmula de interpolación de
Lagrange, y es de grado menor o igual que n (por ser la suma de polinomios
de grado n). Observe que ( ) xPn es una combinación lineal de los ( )i x f , y
( ) x Li para i=0,1,2,..,n.
Notas:
a) En el numerador de ( ) x Lk va el producto de n factores de la forma i x x − ,
n,...,,i 10= excepto el factor ( )k x x − , y en el denominador va dicho producto
evaluado en k x .
b) Los nodos pueden estar ordenados en cualquier forma.
Ejemplo 2.1 Halle el polinomio de Lagrange que interpola los puntos
(1,1) , (2,2) y (3,3).
Solución. Sea P este polinomio y es de la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2211002 x f x L x f x L x f x L xP ++=
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
10/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 47
donde: ( ) ( )( )
( ) ( )3121
320
−−
−−=
x x x L ( )
( )( )
2
320
−−=
x x x L
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
1
31
3212
3111
−
−−=
−−
−−=
x x x L
x x x L :
( ) ( )( )
( ) ( )2313
212
−−
−−=
x x x L : ( )
( )( )
2
212
−−=
x x x L
Sustituyendo se obtiene: P2(x)=x que es un polinomio de grado 1.
Ejemplo 2.2 Suponga que una relación funcional ( ) x y y = está dada por:
x 0 0.25 0.5 0.75 1.00
y 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055
Encuentre los valores de x que satisfagan la relación
50607090 .,.,.,.y = respectivamente usando interpolación lineal.
Solución: Para encontrar x tal que 9.0= y se usara interpolación lineal con
los nodods: 00 = x y 25.01 = x , así el polinomio correspondiente es:
( ) ( )
( )
( )
( )8109.0
025.0
09162.0
25.00
25.01 ×
−
−+×
−
−=
x x xP
De allí: ( ) 91620421201 . x. xP +−= . Se quiere hallar x tal que ( ) 9.01 = xP , así
909162042120 .. x. =+− , de allí que: 0385.0= x
De igual manera para 4854070 . xobtienese ,. y ==
6743060 . x ,. y ==
8467.0,5.0 == x y
En este ejemplo se realizo una interpolación inversa y fue fácil resolver la
ecuación pues es de grado 1 . Si la ecuación es de grado mayor o igual que
3 se requiere usar métodos numéricos para resolver ecuaciones , sin embargo
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
11/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 48
los métodos de interpolación se pueden adaptar adecuadamente para resolver
ecuaciones ( mas adelante se explica el método )
Ejemplo 2.3 Determinar el polinomio de Lagrange que ajusta los puntos:
i x 0 1 2 3
( )i x f 1 1 2 3
Solución: El polinomio es de grado 3: ( ) ( ) ( )∑=
=3
0
3
i
ii x f x L xP , donde:
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )6116
6
11
302010
321 2300 −+−−=×
−−−
−−−= x x x
x x x x f x L
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( ) x x x x x x x f x L 65
2
11
013121
032 2311 +−=×
−−−
−−−=
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( ) x x x x x x
x f x L 342023212
0312322 +−−=×−−−
−−−=
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( ) x x x x x x x f x L 23
2
13
032313
021 2333 +−=×
−−−
−−−=
Luego: ( ) 16
5
6
1 233 +−+−= x x x xP
Se deja al lector que reordene los puntos en otra forma y halle ( ) xP3 , luego
compare con el resultado anterior anterior .
NOTA : Si los nodos están igualmente espaciados, la fórmula de
interpolación de Lagrange se simplifica. Veamos:
Sean n x x x
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
12/56
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
13/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 50
( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )431
4
1
2112
4312 −−−=
−−
−−−= ssss
sssss L
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )421
6
1
1123
4213 −−−−=
−×××
−−−= ssss
sssss L
( ) ( )( )( )
( )( ) ( ) ( )( )( )321
24
1
1234
3214 −−−=
−−−= ssss
sssss L
Como 642.1= x y 210 . x = entonces 21.2=s ,
luego se calculan los Li( s ).f( xi ) :
( ) ( ) 00272967890212120 .. f . L =⋅ , ( ) ( ) 03680354690412121 .. f . L =⋅
( ) ( ) 44432319610612122 .. f . L =⋅ , ( ) ( ) 704346027880812123 .. f . L =⋅
( ) ( ) 501281262890022124 .. f . L −=⋅ ,
Luego ( ) ( ) 44089697802126421 ..P. f =≈ y el valor exacto es :
( ) ( ) 495915011064216421 ..ln. f ==
Repetir el ejercicio usando la fórmula (2.8).
El error de truncamiento que se comete al usar el polinomio de Lagrange
viene dado por:
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )n
n
n x x x x x xn
f x R −−−
+=
+
...!1
10
1 ε (2.13)
donde ε esta entre 0 x y n x . Así: ( ) ( ) ( ) x R xP x f nn += , donde ( ) xPn es el
polinomio de Lagrange. Esta fórmula (13) permite hallar una cota superior
para el error:
( )( )( )
( ) ∏=
+
−+
≤n
i
i
n
n x xn
f x R
0
1
!1
ε
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
14/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 51
Sí existe 0> M tal que ( )( ) M f n ≤+ ε 1 , para todo ε , entonces:
( )( ) ∏=
−+
≤n
i
in x xn
M x R
0!1 (2.14)
La desigualdad (2.14) permite hallar una cota para el error, solo si se
conoce f y si ( )1+n f existe y es continua en el intervalo de interpolación. En
caso contrario no se puede estimar el error.
Lo expuesto anteriormente se resume en los siguientes teoremas:
Teorema 2.3 Polinomios de Lagrange.
Sí n x x x ,...,, 10 son ( )1+n números distintos ( nodos ) y , f es una
función cuyos valores están dados en los nk xk ,...,1,0, = , entonces existe
un único polinomio P de grado menor o igual que n tal que ( ) ( )k k xP x f = para
todo k . Dicho polinomio está definido por:
( ) ( ) ( )∑=
=n
k
k k x L x f xP
0
donde: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )nk k k k k k k
nk k k
x x... x x x x... x x x x
x x.. x x x x... x x x x x L
−−−−−
−−−−−=
+−
+−
1110
1110
( ) ( )
( )∏≠=
=−
−=
n
k ii ik
ik n ,... , ,k
x x
x x x L
0
10 ,
además ( )
=
≠=
k isí
k isí x L ik
1
0
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
15/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 52
El siguiente teorema nos da una cota para el error involucrado al utilizar
los polinomios de Lagrange:
Teorema 2.4 Sí n x x x ,...,, 10 son ( )1+n números distintos ( nodos) en el
intervalo cerrado [ ]ba , y si f tiene derivadas continuas hasta el orden ( )1+n
en [ ]ba , , entonces para cada [ ]ba x ,∈ existe xε en ( )ba , tal que:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) xnnk f
!n
x x... x x... x x x x xP x f ε
+
−−−−=− +110
1
donde P es el polinomio interpolante de Lagrange.
NOTA: Sí los nodos son equidistantes entonces la fórmula (2.14) se
transforma en:
( )( )
M hn
x R n
n1
14
1 +
+≤ , de donde ( ) ( ) M x f n ≤+1 .
ERROR EN LA INTERPOLACIÓN LINEAL
Sea ( ) xP1 el polinomio de Lagrange de grado 1 que pasa por los puntos
( )( )00 , x f x y ( )( )11, x f x , el error asociado a esta aproximación viene dada por:
( )( ) ( )
( )( ) 1010
2
12
x y x , x , x x x x!
f x R entreε−−
ε=
Luego: ( )( ) ( )
( )( )10
2
12
x x x x!
f x R −−
ε=
Sea ( ) ( )( )10 x x x x xg −−= : su máximo ocurre en el vértice, así2
10 x x x +
= , y
como h x x += 01 , entonces2
2 0 h x x +
= , y ( )máximo22
2 20 hh xg =
+
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
16/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 53
Sí existe 0> M tal que ( ) ( ) M x f ≤2 para toda [ ]10 , x x x ∈ , entonces:
( )842
22
1
Mhh M x R ==
Observe que el máximo error ocurre en el punto medio del intervalo [ ]10 , x x ,
por lo que ´´ f puede aproximarse por ( ) M x f ´´ , donde2
01 x x x M +
= .
Ejemplo 2.5 Evaluar ( )´1820sen ° usando el polinomio de Lagrange de grado
1, sabiendo que: ( ) 34202.020sen =° , ( ) 335837.021sen =° . Halle una cota para
el error.
Solución. Recuerde que ( )°=° 3.20´1820 ,9
20 π =° ,
60
721
π =° .
El polinomio de Lagrange de grado 1 viene dado por:
( ) ( ) ( )°°−°
°−+°
°−°
°−= 21sen
2021
2020sen
2120
211
x x xP
Evaluando en ( )°= 3.20 x se obtiene: ( ) ( ) 346925.03.203.20sen 1 =°≈° P
El valor exacto es ( ) 34693565160320 ..sen =° .
La fórmula del error viene dada por:
( )( )( )
−
−=
60
7
9!2
2
2
π π ε x x
f x R ,
60
7
9
π π ε yentre
donde ( ) ( ) xsen x f )( −=2 luego se tiene que:
( ) ( ) ( ) 358368060
79
342020 2 .sen f sen. )( =π≤ε≤π=
De allí: ( ) 35836802 .ε f )( ≤ . Luego:
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
17/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 54
( )
−
−≤°
60
7
180
3.20
9180
3.20
!2
358368.03.202
π π π π R
( ) 52 10146.1180
7.0
180
3.0
!2
358368.03.20
−×=××≤° π π
R
52 101461
180
320 −×≤
.
. R
π ( cota superior del error)
EJERCICIOS RESUELTOS 2.1
1. Sea la tabla de valores
i 1 2 3 4 5
i x 0 0.25 0.5 0.75 1.0
( )i
x f 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055
a) Escriba la fórmula de interpolación de Lagrange ajustada a los datos 2, 3,
y 4 de la tabla anterior.
Sea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4433222 x f x L x f x L x f x L xP ++= donde
( ) ( )( )
( )( )
→
−−
−−=
4232
43
2
x x x x
x x x x x L ( ) ( )( )75.05.082 −−= x x x L
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )750250162
4323
42
3 . x. x x L x x x x
x x x x x L −−−=→
−−
−−=
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )75.025.084
3324
32
4 −−=→−−
−−= x x x L
x x x x
x x x x x L . Luego:
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
18/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 55
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )5.025.04768.475.025.00896.1175.05.04872.62 −−+−−−−−= x x x x x x xP
b) Aproxime f (0.6) usando P2( x) : ( ) 6415840602 ..P =
c) Si la tercera derivada para el nodo 3 es ( ) 260503 .. f )( −= , estime el error
de interpolación que se obtiene al realizar la aproximación en la parte (b) :
( ) ( )
( )( )( )75.05.025.0!3
5.0´´´2 −−−= x x x
f x R , así ( ) 000230602 ..R ≈
2. Considere la tabla
i 0 1 2 3 4
i x 0 0.25 0.50 0.75 1.00
( )i x f 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055
a) Aproxime ( )60.0 f mediante un polinomio de Lagrange de grado 2.
Solución. En este caso se deben elegir tres puntos, para ello se tienen las
siguientes opciones:
i) Elegir los nodos 4,3,2=i
ii) Elegir los nodos 3,2,1=i ( Ver ejercicio anterior )
iii) Elegir los nodos 2,1,0=i
Para la opción (i) se tiene:
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
19/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 56
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )001
75015001
750500
750
175050750
15050
1500750500
17502
. f ..
. x. x
. f
...
x. x. f
...
x. x xP
−−
−−+
−−
−−+
−−
−−=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )705002443150953681750544852 . x. x. x. x. x. x. xP −−+−−−−−=
De allí que: ( ) 64217206002 ..P =
No se puede estimar el error. Se deja al lector que realice los cálculos para la
opción (iii) . Compare los resultados.
b) Repita la parte (a) usando la fórmula (2.12): Sea
i x 0.50 0.75 1.00
( )i x f 0.6931 0.5596 0.4055
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( ) 4055.0122
1
5596.0211
2
6931.02010
212 −
−
+−
−
+−−
−−
=
ssssss
sP
( ) ( )( ) ( ) ( )1202750255960213465502 −+−−−−= ss.ss.ss.sP .
Se quiere aproximar f en x=0.6, así: 4.025.0
50.060.0=
−=s , luego:
( ) ( ) 64276604060 2 ..P. f =≈
2.5 DIFERENCIAS DIVIDIDAS.
Las diferencias divididas se usan para obtener los polinomios de
Newton . Sean ( )( )ii x f x , , ni ,...,2,1,0= (n+1) puntos distintos; las
diferencias divididas se definen así:
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
20/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 57
i) Las diferencias divididas de orden cero de f respecto a i x , se denotan
así: [ ]i x f , y se definen:
[ ] ( ) ni x f x f ii ,...,2,1,0, ==
ii) Las diferencias divididas de orden uno de f respecto a i x y 1+i x , se
denotan por [ ]1, +ii x x f y se definen así:
[ ] [ ] [ ]
12101
1
1
−=−
−=
+
+
+
n ,..., , ,i , x x
x f x f x , x f
ii
ii
ii
iii) Las diferencias divididas de orden 2 de f respecto a i x , 1+i x , 2+i x se
definen por:
[ ] [ ] [ ]
ii
iiiiiii
x x
x , x f x , x f x , x , x f
−
−=
+
+++++
2
12121
En general, las diferencias divididas de orden k respecto a los nodos i x ,
1+i x , 2+i x , ..., k i x + se definen por:
[ ] [ ] [ ]
ik i
k iik iik ik iii
x x
x x f x x f x x x x f
−
−=
+
−++++−++
1111
,...,...,,,...,,
El valor de las diferencias divididas es independiente del orden en que
se fijan los i x . Para calcular las diferencias divididas de orden k se necesitan
( )1+k nodos, y para cada una se requieren dos diferencias divididas de
orden ( )1−k .
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
21/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 58
Para calcular las diferencias divididas de f es mejor construir una tabla
llamada tabla de diferencias divididas: en la primera columna van los i x ,en la
segunda columna van las diferencias de orden cero, y así sucesivamente:
Orden 0 Orden 1 Orden 2 Orden 3
x0 F[x0]
x1 F[x1] F[x0,x1]
x2 F[x2] F[x1,x2] F[x0,x1 ,x2]
x3 F[x3] F[x2,x3] F[x2,x3 ,x4] F[x0,x1 ,x2 ,x3]
TABLA 1
Si se añade un nodo al final o al principio de la tabla se pueden usar las
diferencias calculadas anteriormente.
Ejemplo 2.5. Para la siguiente tabla de datos construya la tabla de
diferencias divididas:
x -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
F(x) 1.6081 1.4016 1.2001 1.0000 0.8001 0.6016 0.4081
Solución.
xi F [xi] Orden
1
Orden
2
Orden
3
Orden
4
Orden
5
Orden
6
-0.3 1.6081-0.2 1.4016 -2.065
-0.1 1.2001 -2.015 0.25
0.0 1.0000 -2.001 0.07 -0.6
0.1 0.8001 -1.999 0.01 -0.2 1.0
0.2 0.6016 -1.985 0.07 0.2 1.0 0
0.3 0.4081 -1.935 0.25 0.6 1.0 0 0
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
22/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 59
Note que las diferencias divididas de orden 4 tienen el mismo valor, y las
diferencias de orden superior a 4 son nulas, lo cual concuerda con que laderivada de orden 4 de un polinomio de cuarto grado es constante y su quinta
derivada es cero.
Si al construir una tabla de diferencias divididas en alguna columna k
todos los elementos tienen el mismo valor y en las siguientes columnas los
elementos son ceros, entonces la tabla corresponde a un polinomio de grado
k.
2.6 POLINOMIOS DE NEWTON
El polinomio interpolante ( ) xPn que pasa por los puntos
( )( ) ni x f x ii ,...,2,1,0,, = se puede escribir así.
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )110102010 ...... −−−−++−−+−+= nnn x x x x x xa x x x xa x xaa xP (2.15)
Para constante adecuadas naa ,...,0 , las cuales se calculan evaluando (15)
en n,...,,i,xx i 21== :
( ) ( ) [ ]00000 x f a x f a xP =→==
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
01
011101101
x x
x f x f a x f x xaa xP
−
−==−+= dondede así
[ ]101 x , x f a =
( ) ( ) ( )( ) ( )21202201102 x f x x x xa x xaa xP =−−+−+= , de allí que:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
22
10212
02
01
01
12
12
2 x x
x , x f x , x f a ,
x x
x x
x f x f
x x
x f x f
a−
−=
−
−
−−
−
−
= ,
[ ]2102 x,x,xf a =
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
23/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 60
En general [ ]k k x ,... , x , x f a 10= .
Sustituyendo naa ,...,0 en (2.15) se obtiene:
( ) [ ] [ ]( ) [ ]( )( )
[ ]( )( ) ( )11010
102100100
−−−−+
+−−+−+=
nn
n
x x... x x x x x ,..., x , x f
... x x x x x , x , x f x x x , x f x f xP (2.16)
( ) [ ] [ ] ( )∑ ∏=
−
=
−+=n
k
k
i
ik n x x x x x f x f xP1
1
0
100 ,...,, (2.17)
Este polinomio se conoce con el nombre de aproximación Polinomial de
Newton o fórmula de diferencias divididas interpolante de Newton.
NOTA: Para construir el polinomio de Newton que interpola los nodos
(xi , f(xi)) , para i=0,..,n se construye la tabla de diferencias divididas : note que
las diferencias que se usan para construir este polinomio quedan en la
diagonal superior de la tabla.
2.7 ESTIMACIÓN DEL ERROR USANDO POLINOMIOS DE
NEWTON.
Si se conoce la ley de asignación que define a f , el error se puede
estimar usando la fórmula (2.13). Si no se conoce f, entonces el error se
estima así: el polinomio de Newton de grado n≤ que interpola los puntos.
i x 0 x ... n x
( )i x f 0 f ... n f
viene dado por la expresión (2.16), y supongamos que se le añade el punto
( )t f t , a la tabla, entonces el error ( ) x Rn es igual al término que se le añadiría
a ( ) xPn si fuéramos a construir un polinomio de grado ( )1+n , es decir:
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
24/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 61
( ) [ ]( ) ( )nnn x x x xt x x f x R −−= ...,,..., 00 (2.18)
Otra forma de deducir la fórmula (2.18):
Sea ( ) xPn el polinomio de Lagrange de grado n que interpola los puntos
( )( )ii x f x , , ni ,..,2,1,0= , entonces:
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )n
n
n x x x xn
f xP x f −−
++=
+
...!1
0
1 ε (2.19)
y ( ) xQn el polinomio de Newton correspondiente:
( ) ( ) [ ]( ) ( )nnn x x x x x x f xQ x f −−+= + ...,..., 010 (2.20)
Pero ( ) ( ) xP xQ nn = (ya que el polinomio interpolador es único), de allí que de
(2.19) y (2.20) se tiene que:
( ) ( )
( ) [ ] { }1010
1
1 ++
+
ε=+
εnn
n
x ,..., x , x ,... , x f !n
f entre (2.21)
La igualdad (2.21) nos da la relación entre las diferencias de orden
( )1+n y la derivada de orden ( )1+n . La fórmula (2.21) es equivalente a:
( ) ( ) [ ]k k
x ,..., x f !k f 0=ε
2.8 POLINOMIOS INTERPOLANTES DE NEWTON CON NODOS
IGUALMENTE ESPACIADOS.
2.8.1. Sí los nodos ni xi ,...,3,2,1,0, = se ordenan en forma creciente y están
igualmente espaciados, entonces la fórmula (2.16) se puede expresar de otra
forma: sea h el tamaño de paso entonces: los nodos se pueden expresar así
i.h x xi += 0 , y cualquier punto no tabulado x es igual a 0,.0 >+= ssh x x ;
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
25/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 62
por lo que: ( ) 1210 −=−=− n,...,,,i,is.hxx i lo cual se sustituye en (2.16) y
se obtiene:
( ) [ ] [ ] [ ] ( )
[ ] ( ) ( )11
1
10
2210100
+−−+
+−++=
ns...ssh x ,..., x , x f
...ssh x , x , x f sh x , x f x f sP
nn
n
( ) [ ] ( ) ( )∑=
+−−=n
k
k k n k s...ssh x ,..., x , x f sP
010 11 (2.22)
La cual se conoce como la fórmula de diferencias divididas progresivas de
Newton (también se conoce como fórmula hacia adelante) y el error viene
dado por:
[ ] ( ) ( )ns...ssh x ,..., x , x f )s( R nnn −−= +
+ 11
110
Nota:
a) El valor de [ ]k x x x f ,...,, 10 se calcula usando la tabla de diferencia dividida.
b) Como 00 >+= s ,s.h x x , entonces
h
x xs 0
−= , donde x punto a
evaluar, 0 x el primer nodo.
c) La fórmula (2.22) se puede expresar de otra forma usando el siguiente
proceso: recuerde que: ( )( )
( )( ) ( )
( ) !k s!k
!k s...sss
!k s!k
!ssk
−
−−−=
−=
21 lo cual
equivale a ( ) ( )( ) ( )!k
k s...ssssk
121 +−−−= , esto se sustituye en (2.22) y se
obtiene :
( ) [ ] ( )∑=
=n
k
k sk k n h!k x ,..., x , x f sP
010 , [ ]
110
+= nsnnn h!n x ,..., x , x f )s( R (2.23)
d) La fórmula (2.22) también se puede expresar usando la notación de las
diferencias progresivas ∆ :
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
26/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 63
[ ] [ ] [ ] ( )
h
x f
x x
x f x f x x f 0
01
0110 ,
∆=
−
−=
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )( )
2
0
2
01
02
1021210
22 h
x f
h
x f x f
x x
x , x f x , x f x , x , x f
∆∆=
∆−∆=
−
−=
[ ] ( )02
2210 2
1 x f
h x , x , x f ∆=
En general: [ ] ( )01011
x f h!k
x ,... , x , x f k
k k ∆= , lo cual se sustituye en (2.23)
obteniéndose lo que se conoce con el nombre de Diferencias Progresivas de
Newton :
( ) ( ) ( )∑=
∆=n
k
k sk n x f sP
0
0 (2.24)
2.8.2. Si los nodos se ordena así 01 ,...,, x x x nn − (en forma decreciente), el
polinomio de Newton es igual a:
( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) ( )
[ ]( )( ) ( )110
1211
x x... x x x x x ,... , x f
... x x x x x , x , x f x x x , x f x f xP
nnn
nnnnnnnnnn
−−−+
+−−+−+=
−
−−−− (2.25)
Sí los nodos son equidistantes con el tamaño de paso h entonces :
ih x xi ×+= 0 , hn x xn += 0 , sh x x n ×+= , ( ) niinsh x x i ,...,2,1,0, =−+=−
los cuales se sustituyen en (2.25) obteniéndose:
( ) [ ] [ ] [ ] ( )
[ ] ( ) ( )11
1
0
2211
−+++
++++= −−−
ns...ssh x ,... , x f
...ssh x , x , x f hs x , x f x f sP
nn
nnnnnnn (2.26)
[ ] ( ) ( )ns...ssh x ,..., x f )s( R nnn ++= +
+ 11
01 ( Error asociado )
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
27/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 64
que se conoce como la fórmula de diferencias divididas regresivas ( o hacia
atrás ) de Newton.
NOTAS:
a) las diferencias que aparecen en la fórmula (2.26 ) quedan en la diagonal
inferior de la tabla de diferencias divididas.
b) Si ya has construido la tabla de diferencia dividida hacia delante no es
necesario construir la tabla de diferencia dividida hacia atrás. Se trabaja con la
primera y se toman los elementos de la diagonal inferior (trazadas de abajo
hacia arriba).
ALGORITMO : Fórmula de diferencia dividida interpolante de Newton.
ENTRADA: - El valor de cada nodo: ni xi ,...,2,1,0, = .
- El valor donde se requiere evaluar el polinomio: a.
- El valor de cada ( ) ni x f i ,...,2,1,0, = . (El valor de estas
imágenes se almacenan en la primera columna de una
matriz Q de orden ( )1+n : ( ) ni x f Q ii ,...,2,1,00, ==
SALIDA: - Los números niQ ii ,...,2,1,0, = ( elementos de la
diagonal ) representan las diferencias divididas del
polinomio interpolante en los ( )1+n nodos.
- El valor del polinomio interpolante ena x =
.
Paso 1: Para ni ,...,2,1= hacer:
Paso 2: Para i j ,...,2,1= calcule: jii
ji ji
ji x x
QQQ
−
−−−
−
−=
1,11,
,
Paso 3: Escribir niQ ii ,...,2,1,0,, =
Paso 4: Evaluación del polinomio interpolante en a x = :
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
28/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 65
( ) 001
,
n
i
ii,i QP.QaP +
= ∑
=
donde: ( )∏−
=
−=1
0
i
j
ji xaP
Paso 5: Escribir el valor de ( )aP
FIN
Detalles del paso 4: Para realizar el programa.
0,00 Qs = , 10 =P , 10 = Z
Para n j ,...,2,1= calcule: )i ji j j xaPP −− −= , j j P Z =
Escribir n j Z j ,...,2,1,0, =
Para nk ,...,2,1= calcule: k k ,k k k ZQss += −1
Escribir “ El valor del polinomio interpolante de Newton en = x ”; “es”; ns
FIN.
Veamos una prueba del algoritmo:
0,00 Qs = , 1
0 =P , 1
0 = Z
1= j : ( ) ( ) 1101001 ,1 P Z xaP xaPP =−=→−=
2= j ( ) ( )( ) 22102112 , P Z xa xaP xaPP =−−=→−=
En general:
n j = : ( )( ) ( ) nnnn PZ,xa...xaxaP =−−−= −110
1=k : ( )01,10,0111,101 xaQQS Z QS S −+=→+=
2=k : ( ) ( )( )102,201,10,0222,212 x x xaQ xaQQS Z QS S −−+−+=→+=
3=k : 33,323 Z QS S +=
( ) ( )( ) ( )( )( )2103,3102,201,10,03 xa xa xaQ x x xaQ xaQQS −−−+−−+−+=
En general: nk = : ( ) ( )( ) ( )110,01,10,0 ...... −−−−++−+= nnnn x x x x xaQ xaQQS
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
29/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 66
Ejemplo 2.6 Considere la siguiente tabla.
i 0 1 2 3 4
i x 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8
( )i x f 0.5103757 0.5207843 0.5104143 0.4813306 0.4359160
a) Construya la tabla de diferencias divididas:
xi f( xi )
0 2.0 0.5103757
1 2.2 0.5207843 0.0520432 2.4 0.5104143 -0.051850 -0.2597325
3 2.6 0.4813306 -0.145419 -0.2339225 0.0430167
4 2.8 0.4359160 -0.227073 -0.2041350 0.0496458 0.00828637
b) Halle el polinomio de Newton que ajuste los nodos de la tabla; luego úselo
para aproximar ( )5.2 f :
( ) ( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )62422220082863704222204301670
2222597325020520430510375704
. x. x. x x.. x. x x.
. x x. x.. xP
−−−−+−−−
+−−−−+=
Luego: f ( 2.5) ≈ ( ) 49800114140524 ..P =
c) Repita usando la fórmula de diferencias divididas progresivas con 2.0=h
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )32110325826121104413363
10103891300104086051037570
54
4
−−−×+−−×+
−−+=
−− S S S S .S S S .
S S .S ..S P
Como 52. x = y 20.h = entonces20
252
.
.S
−= , de allí que 52.S = , luego
( ) 49807020524 ..P =
d) Repita usando fórmula regresiva : 20.h =
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
30/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 67
( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) 43
24
3210082863702104964580
120413500227073043591600
hS S S S .hS S S .
hS S .hS ..S P
+++++++
+−−=
Como =−
=⇒−
=⇒+=20
8252
.
..S
h
x xS Sh x x
nn 51.− , luego:
( ) ( )5249805870514 . f ..P ≈=−
EJERCICIOS RESUELTOS 2.2
1. La siguiente tabla se obtuvo de ( ) ( ) x x f ln= :
x 1 4/3 5/3 2
( ) x f 0 0.28768 0.51083 0.96315
a) Aproxime ( )5.1 f usando un polinomio de Newton de grado 3. Se deja al
lector que construya la tabla de diferencias divididas y luego compruebe que:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )353411066600341290390186304003 / x / x x. / x x. x. xP −−−+−−−−+=
( ) ( )
( ) ( )
43 107429193405465105151
514058394051−×=
==
≈=.relativo Error
..ln. f
. f ..P
Estimación del error de truncamiento:
Como se conoce f se usa la fórmula:
( )( )( )
( ) ( ) ( ) nn
n
n x y xentre x x x xn
f x R 00
1
...!1
ε ε
−−+
=+
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
31/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 68
Así: 3=n , 5.1= x , ( )( )4
4 6
x x f −= , luego:
( ) ( )( )( )( )25.13 / 55.13 / 45.115.1!4
65.1
4 −−−−−=
ε n R
( ) 21107361111
514
3
y.
. Rn entreεε
×=
−
Como 21 ≤≤ε entonces 11
16
14
≤≤ε
Por lo que: ( ) 310736111.15.1 −×≤n R
2. Sea la tabla de datos:
i 0 1 2 3 4 5 6
i x 0.1 0.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.3
( )i x f 0.99750 0.99002 0.96040 0.88120 0.76520 0.67113 0.62009
a) Construya la tabla de diferencias divididas:
0 0.1 0.99750
1 0.2 0.99002 -0.07480
2 0.4 0.96040 -0.14810 -0.24433
3 0.7 0.88120 -0.26400 -0.23180 0.02088
4 1.0 0.76520 -0.38667 -0.20445 0.03418 0.01478
5 1.2 0.67113 -0.47035 -0.16736 0.04636 0.01218 -0.00236
6 1.3 0.62009 -0.51040 -0.13350 0.05643 0.01119 -0.00090 0.00122
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
32/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 69
b) Halle el polinomio interpolante de Newton que pasa por los nodos 0=i
hasta 5=i . Estime el error.
Este polinomio es de grado 5 y los coeficientes del mismo son los que
aparecen subrayados en la tabla:
( ) ( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )( )0170402010002360
70402010014780402010020880
2010244330100748009975005
. x. x. x. x. x.
. x. x. x. x.. x. x. x.
. x. x.. x.. xP
−−−−−−
−−−−+−−−+
−−−−−=
El término error es:
( ) ( )( )( )( )( )( )2.117.04.02.01.000122.05 −−−−−−= x x x x x x x R
El término 00122.0 es la diferencia de orden 6 (última columna de la tabla)
c) Aproxime ( )3.0 f usando ( ) xP5 , y estime el error : se sustituye 3.0= x en 5P
y en 5 R obteniéndose: ( ) ( ) 97762.03.03.0 5 =≈ P f y ( )7
5 101488.63.0 −×= R
d) Halle el polinomio de Newton que ajuste los nodos i = 2, 3 , 4 : este
polinomio es de orden 2:
( ) [ ] [ ]( ) [ ]( )( )3243223222 ,,, x x x x x x x f x x x x f x f xP −−+−+=
Las diferencias [ ] [ ] [ ]432322 ,,,,, x x x f x x f x f aparecen en negrillas en la
tabla de diferencias divididas :
( ) ( ) ( )( )7040204450402640009604002 . x. x.. x.. xP −−−−−= (A)
Para el error de puede usar el nodo 5=i o el 1=i . Sí se usa el nodo
5=i se tiene: ( ) [ ]( )( )( )43254322 x x x x x x x , x , x , x f x R −−−= , luego
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
33/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 70
( ) ( )( )( )170400463602 −−−= x. x. x. x R donde 04636.0 es el número
que aparece en la tabla , encerrado en el circulo.
e) Aproxime ( )3.0 f : ( ) ( ) 97862203030 2 ..P. f =≈ , ( )3
2 1029808130 −×−= .. R
Si se usa el nodo 1=i para estimar el error se tiene que:
( ) ( )( )( )170400341802 −−−= x. x. x. x R (C)
f) Ordene los nodos 4321 ,,, x x x x en forma decreciente y construya la tabla de
diferencias: observe que construir la tabla de esta manera equivale a leer la
tabla (2) de abajo hacia arriba. Luego P2(x ) es :
( ) ( ) ( )( )70120445013866707652002 . x x. x.. xP −−−−−= (B)
( ) ( )( )( )407010341802 . x. x x. x R −−−= Igual al (C)
( Desarrolle los polinomios (A) y (B) y compare ).
3. Dada la tabla:
i 0 1 2 3 4
i x 1.00 1.35 1.70 1.90 3.00
( )i x f 0.00000 0.30010 0.53063 0.64185 1.09861
a) Construya la tabla de diferencia dividida : Se deja al lector
b) Aproxime ( )5.1 f mediante el polinomio de Newton de segundo grado.
Solución ( b ) . Se pueden escoger los nodos así::
i) 2,1,0=i : ( ) ( ) ( )35.1128396.0185743.002 −−−−+= x x x xP
( ) 40742.05.12 =P
ii) 3,2,1=i : ( ) ( ) ( )( )70.135.118647.035.165866.030010.02 −−−−+= x x x xP
( ) ( ) 40449.05.15.1 2 =≈ P f
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
34/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 71
c) Estime el error en ambos casos :
i) ( ) ( )( )( )70.15.135.15.115.110832.05.12 −−−= R o ( ) 32 106248151 −×−= ..R
ii) ( ) ( )( )( )90.170.135.104735.02 −−−−= x x x x R o ( )3
2 10682.55.1 −×−= R
d) Agregar el punto ( )73451.1,2.3 y complete la tabla.
4. Sea la tabla:
i 0 1 2 3 4
i x 0 0.25 0.50 0.75 1.00
i f 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055
a) Construya la tabla de diferencias divididas hacia adelante:
i i x [ ]i x f Orden 1 Orden 2 Orden 3 Orden 4
0 0 0.9162
1 0.25 0.8109 -0.4212-0.4712
-0.5340
-0.6164
-0.1
-0.1256 -0.0341
-0.1648 -0.0523 -0.0182
2 0.50 0.6931
3
4
0.75
1.00
0.5596
0.4055
b) Escriba el polinomio de Newton que ajusta los datos 3,2,1=i :
( ) ( ) ( ) ( )50.025.01256.025.04712.08109.02 −−−−−= x x x xP y
( ) 641584.06.02 =P . El error :
( ) ( )( )( )75.06.050.06.025.06.00523.06.02 −−−−= R 410745752 −×= .
c) Halle el polinomio de Newton usando diferencia progresiva: con los nodos
321 , ,i = se tiene que : ( ) ( )1125604712081090 22 −−−= S S h.S h..S P .
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
35/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 72
Para evaluar 2P en 6.0= x se toma 41250
25060.
.
..S =
−= , luego
( ) 6415840412 ..P = y ( ) ( )( )2105230413
2 −−−= S S S h.. R ,
( ) 42 107457241 −×= .. R
d) Aproxime f en 6.0= x usando diferencia regresiva con 432 ,,i =
i i x [ ]i x f
4 1.00 0.4055 -0.6164
-0.5340
-0.4712
-0.4212
-0.1648 -0.0523 -0.0182
3 0.75 0.5596 -0.1256
-0.1000
-0.0341
2 0.50 0.6931
1 0.25 0.8109
0 0 0.9162
( ) ( )11648.06164.04055.0 2 +−−= S S hS hS P , 61250
160 ..
.S −=−= ,
P(-1.6)=0.642172
5. La siguiente tabla proporciona las presiones P de vapor en 2lg / plb a
diferentes temperaturas para el 31− Butadieno.
I 0 1 2 3 4 5
T (°F)50 60 70 80 90 100
P 24.94 30.11 36.05 42.84 50.57 59.30
Se pide
a) Construir la tabla de diferencia dividida:
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
36/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 73
i T Orden 0 Orden 1 Orden 2 Orden 3 Orden 4 Orden 5
0 50 24.94
0.517
0.594
0.679
0.773
0.873
1 60 30.11
3.85x10-3
4.25x10-3
4.75x10-3
1.33x10-5
1.50x10-5
2 70 36.05
4.25x10-8
3 80 42.84
4 90 50.57
5 100 59.30 5.00x10- 1.00x10- -1.25x10- -1.675x10-
b) Usando el polinomio de Newton de grado 1 aproxime la presión a latemperatura de 64°F.
i) Usando los puntos i=0 y i=1:
( ) ( ) ( ) 17832645051709424 11 .PT..TP =⇒−+= ( Extrapolación )
ii) Usando los puntos i=1 y i=2 :
( ) ( ) ( ) 486.326460594.011.30 11 =⇒−+= PT T P
c) Usando el polinomio de Newton de segundo grado aproxime la presión a la
temperatura 64°F.
i) Usando los puntos i=0, 1, 2:
( ) ( ) ( )( )60501085.350517.094.24 32 −−×+−+= − T T T T P .
Así ( ) 3936.32642 =P
ii) Repita el ejercicio, pero con los puntos i = 1, 2, 3. ¿Cuál de los dos
resultados es mejor? ¿Por qué?
d) Estime el error en la aproximación realizada en (c-i):
( ) ( )( )( )7064606450641033.164 52 −−−×= − R , ( ) 32 104688.464
−×−= R
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
37/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 74
e) Aproxime ( )64P usando un polinomio de Newton de grado 5:
( ) ( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )( )90807060501067518070
60501025470605010331
6050108535051709424
7
85
35
−−−−−×−−−
−−×+−−−×+
−−×+−+=
−
−−
−
T T T T T .T T
T T .T T T .
T T .T ..T P
Luego: ( ) 39103232645 .P =
6. Repita el ejercicio (5) usando diferencia progresiva.
i) La tabla construida en el ejercicio (5) es la que se utiliza aquí.
ii) Usando el polinomio de Newton de grado 1 con diferencia hacia
delante, aproxime la presión a la temperatura de 64°F.
a) Usando los puntos i=0 y i=1:
( ) hS ..S P 51709424 += , 4110
506464 0 .S h
T S =⇒
−=
−= .
Luego: ( ) 1783241 ..P =
b) Usando los puntos i=1 y i=2:
( ) hS ..S P 59401130 += , 4010
606464 1 .S h
T S =⇒
−=
−= .
Luego: ( ) 4863240 ..P =
c) Estime el error en (a): ( ) ( ) ( ) =⇒−×= − 4.111085.34.1 23 RS S h R 0.0924
iii) Aproxime la presión cuando T=64°F mediante un polinomio de
Newton de grado 2 con diferencia hacia delante. Estime el error:
( ) [ ] [ ] [ ] ( )1,,, 2210100 −++= S S h x x x f hS x x f x f S Pn
( ) ( )11085.3517.094.24 232 −×++= − S S hS hS P
Pero 4.110
5064=
−=S , luego ( ) 385.324.12 =P .
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
38/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 75
Estimación del error: ( ) ( )( )211033141 35 −−×= − S S S h.. R ,
( ) 3104688441 −×−= .. R
7. Interpole el valor de la presión a una temperatura de 98°F utilizando la
tabla de presiones del ejemplo (5), y polinomio de Newton con diferencia
regresiva.
i) Usando un polinomio de grado 1 con los puntos 4 y 5 se obtuvo :
( ) 20
10
1009887303059 .S ,S h..S P −=
−=+= , ( ) 555720 ..P =−
ii) Usando un polinomio de grado 2 se obtuvo :
( ) ( ) 2010
10098110587303059 23 .S ,S S hS h..S P −=
−=+×++= −
( ) 6745720 ..P =−
8. Determine la calidad (si es saturado ) o la temperatura (si es
sobrecalentado) de la siguiente sustancia con las condiciones dadas :
a) Agua: P: 6.8 MPa. b) Agua: P: 8 MPa.
V: 0.025 m3/Kg. V: 0.040 m3/Kg.
donde P es la presión , V volumen , MPa significa Mega Pascal.
Solución. En del desarrollo de este problema se usan las siguientes
variables:
V : Volumen específico.
Vf : Volumen específico del líquido saturado.
Vfg : Incremento del volumen específico cuando el estado cambia de líquido
saturado a vapor saturado.
Vg : Volumen especifico del vapor saturado.
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
39/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 76
Se debe hacer uso de las tablas de vapor de agua, herramienta importante
para la resolución de problemas termodinámicos. Igualmente se cumplen lassiguientes reglas:
A) Sí V > Vg : la sustancia se encuentra como vapor sobre calentado, por
tanto se debe obtener el valor de temperatura, para las condiciones dadas en
el enunciado del problema.
B) Sí V < Vg : la sustancia se encuentra en la zona de saturación o de
mezcla, por lo que se debe hallar la calidad X con la fórmula siguiente:
Vfg
Vf V X
−=
PARTE a: Agua: P: 6.8 MPa. V: 0.025 m3/Kg.
Se debe usar la tabla de vapor de agua 2 : buscar a la presión P= 6.8 MPa
el Vg, cuyo valor es 28.27 x 10-3 m3 /Kg. ; luego se compara con el volumen
V dado, y se busca temperatura o calidad según el caso. Como V < Vg sehalla calidad, para ello se necesitan los valores de las Vf y Vfg ( las cuales se
obtienen con la presión dada en la misma tabla ):
Vf = 0.0013448 m3 /Kg. Vfg = 0.0269252 m3 /Kg.
Con estos valores se calcula la calidad:
kgm
kgmkgm X
/ 0269252.0
/ 0013448.0 / 025.03
33 −= =0.878552434151
Así la calidad de la sustancia es X = 0.87858434151 es decir la calidad es
87.85%.
PARTE b: Agua: P: 8 MPa. V: 0.840 m3/Kg.
Ir a la tabla de vapor de agua y buscar a la presión dada P=8 MPa el
valor de Vg el cual es Vg = 23.52 x 10-3 m3 /Kg. Como V > Vg debemos hallar
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
40/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 77
la temperatura. Vamos a la tabla de vapor de agua, como vapor
sobrecalentado y se busca al volumen dado el valor de la temperatura. En latabla se observa lo siguiente:
T V
450 0.03817
? 0.040
500 0.04175
Para hallar T usaremos interpolación lineal de Lagrange:
041750450500
450038170
500450
500. x
T . x
T V
−
−+
−
−=
Se sustituye V=0.040 despejamos el valor de T: T = 475.5 °C
( Este ejercicio fue proporcionado por los Bres. Zahyra Balza y Murua
Lautaro, estudiantes de Ingeniería Electrónica, UNEXPO-Puerto Ordaz )
9. Determinar la presión de saturación y volumen específico para una mezcla
de agua y vapor en estado saturado a una temperatura de 381°F y una
calidad de 67%.
Solución. Es necesario interpolar ya que la tabla de vapor no muestra la
presión a 381 °F sino a 380 °F y a 382 °F. Hay que hacer conversión de
unidades : usando las siguientes relaciones :
1 Lb = 0.4535927 Kg
1 psi = 14.22 Kg/cm3
1 m3 = 35.31466672 ft3
Se obtiene que :
211 / 752041.136.195380 cmKgf psiPF T ==→°=
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
41/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 78
222 / 084593.1433.200382 cmKgf psiPF T ==→°=
lbm ft V f / 018363.03
1= KgmV f / 001146.0 31 =
lbm ft V g / 339.23
1= lbm ft V g / 286.2
3
2=
lbm ft V f / 018389.03
2= KgmV f / 001148.0
3
2=
KgmV g / 146019.03
1= KgmV g / 14271.0
3
2=
Lo anterior se resume en la siguiente tabla:
T(ºF) P(Kgf/cm2) Vg ( m3kg) Vf ( m3kg)
380 13.752041 0.146019 0.001146
382 14.084593 0.14271 0.001148
Se quiere hallar P para °= 381T , para ello usaremos interpolación
lineal de Lagrange con los datos
T(ºF) P(Kgf/cm2)
380 13.752041
382 14.084593
Obteniéndose 29183213 cm / Kgf .P = ( Presión de saturación, es
decir, presión a la temperatura de saturación 381°F ).
Para hallar el volumen específico: ( ) f g V X XV v −+= 1 a
T=381ºF es necesario calcular gV ( volumen específico a vapor saturado) y
f V ( volumen específico a líquido saturado ). Recuerde que X representa la
calidad.
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
42/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 79
Para calcular gV y f V se usa interpolación lineal de Lagrange con
los datos:
T(ºF) Vg ( m kg) Vf ( m kg)
380 0.146019 0.001146
382 0.14271 0.001148
Obteniéndose :
KgmV g / 144364.0 3= , KgmV f / 001147.0 3=
Luego ( ) KgmKgmv / 001147.067.01 / 144364.067.0 33 ×−+×= de donde
Kgmv / 097102.0 3=
10. Determinar la presión de saturación y volumen especifico para una
mezcla de agua y vapor en estado saturado, a una temperatura de 211 °F y
una calidad de 72%.
Solución: C F T °=°= 44.99211
KgmV KgmV C T g f / 982.1; / 001040.09533
1 ==→°=
KgmV KgmV C T g f / 6729.1; / 001044.010033
2 ==→°= ,
kPaP C 55.8495 =°
kPa MPaP C 35.10110135.0100 ==°
Interpolando para obtener C P °44.99
( ) 959544.9995100
9510044.99 PT T
T T
PPP C +−
−
−=°
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
43/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 80
( ) kPaC C C C
KPakPaP C 55.849544.99
95100
55.8435.10144.99 +°−°
°−°
−=° ,
kPaP C 4684.9944.99 =°
Interpolando para obtener f V
( ) KgmoC C C C
KgmKgmV f / 00104.09544.99
95100
/ 001040.0 / 001044.0 333
+°−°°−°
−=
KgmV f / 001043.03=
Interpolando para obtener gV
( ) KgmC C C C
KgmKgmV g / 982.19544.99
95100
/ 982.1 / 6729.1 333
+°−°°−°
−= ,
KgmV g / 7075.13=
Ahora
( ) KgmKgmv / 001043.072.01 / 7075.172.0 33 −+×= ,
Kgmv / 2297.13=
EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1
1) a) Escriba la interpolación de Lagrange que pasa por los puntos
dados:
X 0 0.4 0.8 1.2
f(x) 1.0 1.491 2.225 3.320
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
44/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 81
Luego aproxime f en x = 0.2 , 0.6, 1.0.
Conociendo que 8221604 .).( f )( = estime el error en x= 0.2, 0.6, 1.0.
b) Dado el hecho de que la tabla de datos se obtuvo de f (x) = xe , evalúe
el error de la fórmula de interpolación en x = 0.2, 0.6, 1.0 mediante
E(x) = e x - g (x) , donde g (x) es el polinomio de Lagrange.
2. Aproxime2321
1
x x
x y
++
+= para x∈[0,5] mediante la interpolación de
Lagrange de orden 4, luego evalúe el error según E(x) = y – g(x), donde g (x)
es el polinomio de Lagrange. Aproxime y(2) y compare con el valor exacto.
3. Se mide la caída de voltaje V a través de una resistencia para cierto
número de valores de la corriente i. Los resultados obtenidos son:
i 0.25 0.75 1.25 1.50 2.00
V -0.23 -0.33 0.70 1.88 6.00
Estime la caída de voltaje para i= 0.9 y i= 2.1 usando:
a) El polinomio de Lagrange de grado 4
b) El polinomio de Newton de grado 4
c) Compare ambos resultados.
4. Sean los siguientes datos:
Xi 0.0 0.1 0.3 0.6 1.0
f(Xi) -7.00000 -5.89483 -5.65014 -5.17788 -4.28172
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
45/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 82
a) Eligiendo adecuadamente los nodos, estime el valor de f(0.7) usando
polinomios de Lagrange y polinomios de Newton de grado 1, 2, 3.
b) Compare los resultados obtenidos con ambos polinomios.
5. Encuentre el polinomio de Lagrange y el polinomio de Newton que se
ajustan a los puntos 2, 3, 4 y 5 de la siguiente tabla:
K 1 2 3 4 5
XK
0 0.25 0.50 0.75 1.00
f(X K ) 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055
6. Escriba una fórmula de interpolación lineal que aproxime f(x)= sen (x),
con Xε
4,0 π
utilizando los valores en x = 0 y x =4
π . Grafique f(x) y el
polinomio interpolante, halle el error máximo de interpolación y en que x se
produce .
7. Use los polinomios interpolantes de Lagrange de grados 1, 2, 3 , 4 para
aproximar:
a) f(2.5) sabiendo que:
Xi 2 2.2 2.4 2.6 2.8
f(Xi) 0.5103757 0.5207843 0.5104147 0.4813306 0.4359160
b) f(0) sabiendo que:
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
46/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 83
Xi -0.3 -0.1 0.1 0.3
f(Xi) -0.20431 -0.08993 0.11007 0.39569
8. Las densidades del sodio para tres temperaturas están dadas por:
I Ti iϕ (densidad) Kg/m 3
0 94ºc 929
1 205ºc 902
2 371ºc 860
Escriba una fórmula de interpolación de Lagrange que se ajuste a los
tres datos dados. Después halle ϕ si T = 251ºc.
9. La siguiente tabla muestra la población de los Estados Unidos de América
desde 1930 hasta 1980.
Año 1930 1940 1950 1960 1970 1980
Pobl. En
Milla.
123,203 131,669 150,697 179,323 203,212 226,505
Encuentre el polinomio de Lagrange de grado 5 que ajusta estos datos,
y use este polinomio para estimar la población en los años 1920, 1965 y 2000.
10. Dados los datos:
Xi 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
f(Xi) 1 2.119 2.910 3.945 5.720 8.695
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
47/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 84
a) Calcule f(1.6) usando polinomios interpolantes de Newton de grado 1, 2 y
3. Escoja la secuencia de puntos adecuadas para lograr exactitud. Calcule elerror en cada caso.
b) Repita la parte (a) usando la fórmula de diferencia dividida progresiva de
Newton.
11. Sea x
) x(F 1
= y sean }{ n x ,...., x , x 10 ( n + 1 ) puntos distintos.
Calcule:
i) Las diferencias de orden cero, es decir : [ ]i xF para i = 0,…,n
ii) Las diferencias de orden uno, es decir : [ ]1+ii x , xF para i = 0,1,…, n-1
iii) Las diferencias de orden dos, es decir: [ ]21 ++ iii x , x , xF para i = 0,1,…, n-2
iv) En general : halle una fórmula para la diferencia : [ ]n
x ,..., x , xF 10
2.9 INTERPOLACIÓN ITERADA DE NEVILLE.
Una desventaja de los polinomios de Lagrange es que no son muy
cómodos de usar, y si se añade un punto más a la tabla, después de haber
calculado un polinomio de Lagrange hay que rehacer los cálculos. Este
inconveniente se subsana usando el método de Neville: que es un proceso
iterativo de mucha utilidad para evaluar polinomios de Lagrange ( ) xP en un
valor a x = .
Sea la tabla de valores:
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
48/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 85
i 0 1 2 3 L n-2 n-1 n
i x 0 x 1 x 2 x 3 x L
2−n x 1−n x n x
( )i x f ( )0 x f ( )1 x f ( )2 x f ( )3 x f L ( )2−n x f ( )1−n x f ( )n x f
Se quiere evaluar en a x = el polinomio de Lagrange de grado n que
interpola los datos de la tabla, usando el método de Neville. Para ello se
construye la tabla siguiente:
i i x a x i −−−− (((( ))))ii x f P ==== 1, ++++ii P 2,1, ++++++++ iii P
00 x a x −0 ( )00 x f P =
1,0P
2,1P
3,2P
M
1n,2nP
−−
n,1nP
−
2,1,0P
3,2,1P
M
nnnP ,1,2 −−
11 x a x −1 ( )11 x f P =
22 x a x −2 ( )22 x f P =
33 x a x −3 ( )33 x f P = … nP ,,2,1,0 L =P(a)
M M M M
n-2 2−n x a xn −−2 ( )22 −− = nn x f P
n-11−n x a xn −−1 ( )11 −− = nn x f P
nn x a xn − ( )nn x f P =
Esquema 1
donde los polinomios evaluados en x=a se calculan así:
a) Polinomios de grado 1: 1+i ,iP (usan los nodos 132101 −=+ n , , , ,i , x , x ii L )
( ) ( )
ii
iiii
ii
ii
ii
i ,i x x
a xPa xP
x x
a xP
a xP
P−
−−−=
−
−
−
=+
++
+
+++
1
11
1
111
b) Polinomios de grado 2:
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
49/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 86
2,1, ++ iiiP (usan los nodos 2321021 −=++ n , , , ,i , x , x , x iii L )
ii
ii ,i
ii ,i
i ,i ,i x x
a xP
a xP
P−
−
−
=+
+++
+
++2
221
1
21 donde ,1i,iP + se obtiene como se indica en (a).
c) Polinomios de grado 3:
321 +++ i ,i ,i ,iP (usan los nodos 33210321 −=+++ n , , , ,i , x , x , x , x iiii L )
ii
ii.i ,i
ii ,i
i.i ,i ,i x x
a xP
a xP
P−
−
−
=+
++++
++
+++3
3321
21
321
Finalmente: ( ) )a( f aP x x
a xP
a xP
Pn
nn , , ,
n , , ,
n ,nn , , , ≈=−
−
−
=
−
−0
21
0110
110L
L
L
La forma más cómoda de trabajar es construyendo una tabla. Se ilustra el
proceso con 4 nodos:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
13
132321321
23
233232
3333
22
12
122121
2222
11
02
021210210
01
011010
1111
0000
1 21
x x
a xPa xPP
x x
a xPa xPP
f Pa x x
f P
x x
a xPa xPP
f Pa x x
f P
x x
a xPa xPP
x x
a xPa xPP
f Pa x x
f Pa x x
i ,i ,PP x f Pa x x
, , , , ,
,
, , , , ,
ii ,iiiii
−
−−−=
−
−−−=
=−
=
−
−−−=
=−
=
−
−−−=
−
−−−=
=−
=−
++=− +
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
50/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 87
Finalmente:( ) ( )
( )a f
x x
a xPa xPP
, , , , , , , =
−
−−−=
03
032132103210
El polinomio de orden K se calcula usando dos polinomios de orden (k-1).
Ejemplo 2.7. Considere la siguiente tabla de valores:
i x 2 2.2 2.4 2.6 2.8
( )i x f 0.5103757 0.5207843 0.5104147 0.4813306 0.4359160
Aproxime ( )5.2 f usando el método de Neville.
Solución: Construir la tabla:
i x 52. xi − ( )i x f
2.0 -0.5 0.5103757
0.5363972
0.5052299
0.49587265
0.5040379
0.497438075
0.4982119625
0.4979139625
2.2 -0.3 0.5207843
2.4 -0.1 0.5104147
0.498068298312.6 0.1 0.4813306
2.8 0.3 0.4359160 0.4980629625 0.4980704685
De allí que ( ) 498070468052 .. f ≈
Compare este resultado con el obtenido en el ejemplo 2.6
Ejemplo 2.9 Aplique el método de Neville para aproximar 3 con la función
( ) x x f 3= considerando los nodos que a continuación se dan :
21012 43210 ===−=−= x , x , x , x , x .
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
51/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 88
Solución: Se quiere aproximar 3 usando ( ) x x f 3= , es decir, hay que
aproximar ( )5.0 f . A continuación se presentan las aproximaciones obtenidas
usando el esquema 1.
i x 5.2−i x ( )i x f
-2 -2.5 0.111111
0.666666
1.333333
20
1.500000
1.8333331.500000
-1 -1.5 0.333333
0 -0.5 1
1.7777771 0.5 32 1.5 9 1.666666 1.708338
Así, el valor aproximado de 3 es 1.7083338, mientras que el valor
“exacto” de 3 es: 1.732050808.
Ejemplo 2.10. Use el método de Neville para aproximar ( )78.0 f donde la
función f se define mediante ( ) ( ) xe x x f x cos2= , tomando los nodos siguientes:
607080901 43210 . x ,. x ,. x ,. x , x −=−=−=−=−= .
Solución: Aplicando el esquema 1:
ix xi -0.78 ( ) iPi x f =
-1 -1.78 0.19876611
0.3045580945
0.1315092325
-0.0247300786
-0.1543333051
-1.2355765
-1.1809009
1.053335 1.06745112
-0.9
-0.8
-1.68
-1.58
0.2047094
0.20035232
-0.7 -1.48 0.18610660 -.911168224
-.466534663-0.6 -1.38 0-16306336
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
52/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 89
De allí que: ( ) 06745112.178.0 = f . El valor que arroja la calculadora es:
0.9435299404.
ALGORITMO DE INTERPOLACIÓN ITERADA DE NEVILLE.
Para evaluar en el punto x el polinomio interpolante P en los ( )1+n nodos
n x x ,,0 L .
ENTRADA: Nodosn x x ,,0 L ; los valores ( ) ( ) ( )n x f x f x f ,,, 10 L ( se
almacenan como la primera columna 0,0,10,0 ,,, nQQQ L de una
matriz Q.
SALIDA: La tabla Q con ( ) nnQ xP ,= ( valor buscado )
Paso 1: Para ni ,,2,1 L=
Para i j ,,2,1 L= calcular( )
jii
jii ji ji
ji x x
Q x xQ x xQ
−
−−−−
−
−−−=
1,11,
,
Paso 2: SALIDA (Q)
FIN
Este algoritmo se puede modificar de la siguiente manera : introducir
el criterio de paro ε
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
53/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 90
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. a) Use el método de Neville para aproximar ( )03.1 f con 2,1,0P para la
función ( ) x x e xe x f 23 −= usando 07.105.1,1 210 === x y x x .
b) Suponga que la aproximación de (a) no es lo suficientemente exacta y
calcule 3,2,1,0P donde 04.14 = x .
2. Repita el ejercicio anterior usando aritmética de cuatro dígitos. Compare.
3. Considere los siguientes datos:
i 0 1 2 3 4
Xi 0 0.25 0.50 0.75 1.0
F(Xi) .9162 0.8109 0.6931 .5596 .4055
Aproxime F(0.38) usando Interpolación iterada de Neville.
2.10 INTERPOLACIÓN INVERSA.
Considere la tabla de valores:
i x 0 x 1 x L
n x
( )i x f ( )0 x f ( )1 x f L ( )n x f
Se quiere hallar x tal que ( ) a x f = , con a dado: para ello se puede hallar el
polinomio ( ) xPn que interpola los datos de la tabla, y luego se resuelve la
ecuación ( ) a xPn = . Pero este trabajo resulta un poco complicado ya que
algunas veces se requieren de métodos numéricos para resolver la ecuación
resultante. Afortunadamente, el método de Neville se puede adaptar para
realizar interpolación iterada inversa, para ello se requiere que 1− f exista,
`, f f existan, ( ) 0´ ≠ x f en el intervalo de interpolación. Para aplicar el
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
54/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 91
método de Neville se intercambian los papeles de losi x y los ( )i x f , el
esquema 1 se transforma en:
i y y yi − ( )i y f
0 y y y −0 ( )0 y f
1,0P
2,1P
M
nnP ,1−
nP ...012 ( valor de x)
1 y y y −1 ( )1 y f
2 y y y −2 ( )2 y f
M M M
1−n y y y
n
−−1
( )1−n
y f
n y y yn − ( )n y f
Esquema 2
Ejemplo 2.11 Use interpolación inversa para encontrar una aproximación a la
solución de 0=− − xe x , usando:
x 0.3 0.4 0.5 0.6
xe
− 0.740818 0.670320 0.606531 0.548812
Solución: Sea ( ) 0=−== − xe x x f y .
se quiere hallar x tal que ( ) 0= x f , para ello se aplica el método de Neville con
el esquema 2:
ix ( )ii x f y = iyy − ( )ii y f x1−
= 0.3 -0.440818 0.440818 0.3
0.5585473143
0.5650416048
0.56754481
0.4 -0.27032 0.27032 0.4
0.5671112170.5 -0.106531 0.106231 0.5
0.6 0.051188 0.051188 0.6 0.567146269 0.567142622
EL valor 0.567142622 es la solución de la ecuación 0=− − xe x .
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
55/56
Capítulo 2 Interpolación Polinomial Lic. Elizabeth Vargas 92
Ejemplo 2.12 Considere la tabla:
x 0 1 2 3 4 5
( ) x f 0 0.5 0.8 0.9 0.941176 0.961538
La cual se obtuvo de ( )2
2
1 x
x x f
+= . Resuelva la ecuación ( ) 93.0= x f , en
forma:
a) Exacta. b) Usando interpolación inversa.
Solución:
a) Para calcular el valor exacto se resuelve la ecuación 93.01 2
2
=+ x
x de allí
que 6449573.3±= x . (Se toma el valor positivo)
b) Usando interpolación iterada inversa:
xi yi=f ( xi) y – yi f-1( yi)
8/18/2019 Capítulo 2. INTERPOLACION
56/56
Recommended